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TEMARIO • Ruedas, figuras y palitos de fósforo • Cuadros numéricos • Multiplicaciones abreviadas • Relaciones de parentesco y tiempo • Repaso I • Pensamiento lateral • Orden de información I • Orden de información II • Repaso II

Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático 2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Ruedas, figuras y palitos de CAPÍTULO fósforo En este capítulo aprenderemos a:

1

•

Observar figuras hechas con palitos de fósforo y luego de algunos cambios, formar otras figuras.

•

Identificar y reconocer el giro horario o antihorario de una rueda.

•

Dividir y comparar figuras geométricas.

D

1

El matemático y el jugador

os amigos se encontraban en el café. La conversación entre ellos era nula. Dos taciturnos: uno de ellos, un consumado jugador casi arruinado, capaz de jugarse todo, apostar por todo, en fin, lo que podríamos llamar "loco por el juego". El otro, un matemático con otra locura, los números; pero además, un pertinaz avaro capaz de no hablar con tal de no gastar la lengua. Este último rompiendo el silencio le dice al jugador: M: ¿Tú sabes que mil es igual a mil cuarenta y nueve? J: ¿Me crees tonto? ¡Cómo va a ser igual mil y mil cuarenta y nueve! M: Muy fácil, mira: MIL = MIL

... Y como es eso. No soy tan tonto para creerte

Central: 619-8100

¡Sabías que mil es igual que mil cuarenta y nueve?

Unidad I 9

5

Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático Compendio de Ciencias - I BIM

2° Año de secundaria

1

Síntesis teórica

por

10 x 5 50

Aplica socilo sácomprendido b sotpecnoC •

En cada uno de los siguientes casos completar con la menor cantidad de palitos para obtener lo pedido:

1. Uno

• 3.

En cada caso, indicar cuántos engranajes se mueven en sentido contrario al engranaje "A". A

2. Ocho cuadrados

Rpta.:

10

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Unidad I

9

Ruedas, figuras y palitos de fósforo Compendio de Ciencias - I BIM

2° Año de secundaria

4.

5. Dividir la siguiente figura en dos partes iguales usando las líneas trazadas. Indicar dos posibles soluciones

A

Comunicación matemática 1. Indicar verdadero (V) o falso (F); según corresponda en el sistema: 1

2

3

4

5

6

7

8

10

9

I. Si se extraen los engranajes negros, el sistema puede moverse _______________________ ( ) II. Sin extraer engranajes, el sistema puede moverse __________________________________ ( ) •

Dado el siguiente diagrama, contestar cada 7. Si la rueda "A" gira en sentido horario, ¿cuántas pregunta: ruedas giran en sentido horario? A A

I

B

C

D

A

II

E

F G

2. En la figura I, ¿cuántos engranajes giran en el mismo sentido que "A"? 3. En la figura II, ¿cuántos engranajes giran en sentido horario? 4. En la figura II, ¿cuántos engranajes giran en el mismo sentido que "A"? 5. ¿Cuál de las dos figuras no tiene movimiento? ¿Por qué?

8. ¿En qué sentido se mueve el engranaje "A" y "D" respectivamente, si "C" se mueve como indica la flecha? A B C

D

E

6. En la figura I, ¿cuántos engranajes pueden girar en sentido contrario que "A"?

Colegios

10

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11

Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático Compendio de Ciencias - I BIM

2° Año de secundaria

9. Si la rueda "x" se mueve como indica la flecha, ¿cuántas se mueven en sentido antihorario? F

12. Dividir la siguiente figura en cuatro partes iguales.

1

x

B

13. Dividir la siguiente figura en tres partes iguales (Usando las líneas trazadas).

C

D

E

A

Resolución de problemas 10. Un día Mathías estaba aburrido y se puso a jugar con los palitos de fósforo de su casa, pero solo había seis palitos, entonces para probar la capacidad mental de su hermanita Laira le dijo que si podía formar cuatro triángulos con estos seis palitos sin romper ninguno de ellos y si era capaz le invitaría un helado. Luego de tres minutos Mathías tuvo que ir a comprar el helado para su hermana, pues ella había logrado realizar el reto propuesto por su hermano. ¿Cómo lo hizo?

14. Dividir la siguiente figura en dos partes iguales (Usando las líneas trazadas).

(Dibuje Ud. la figura formada por Laira)

11. ¿Cuántos palitos como mínimo se debe mover para obtener 139?

15. Dividir la siguiente figura en siete partes, trazando únicamente tres rectas que corten a la figura.

¡Tú puedes!básicos Conceptos 1. ¿En qué sentido se moverán los engranajes 30; 2. ¿En qué sentido gira la rueda 7? 52 y 71 (Horario = H; Antihorario = A)? 1

2

3

4

5

6

7

...

2

3

1

a) H ; H ; H c) A ; A ; A e) H ; A ; H

5

b) A ; H ; H d) A ; A ; H

4

a) Horario d) Igual que 5 12

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6 7

b) Antihorario c) No gira e) Ninguna Unidad I

11

Ruedas, figuras y palitos de fósforo Compendio de Ciencias - I BIM

2° Año de secundaria

3. ¿Cuántos palitos de fósforo se deben de mover como mínimo para que la manzana quede fuera y el "recogedor" en otro lugar?

¿Cuántos palitos de fósforo habrá que retirar como mínimo para que solamente queden nueve cuadrados, sin alterar su eje de simetría? a) 4 d) 7

b) 5 e) 8

c) 6

5. En el siguiente sistema hay 90 engranajes, ¿cuál es la diferencia entre el número de engranajes que giran en sentido horario y los que giran en sentido antihorario? a) 5 d) 2

b) 4 e) 1

c) 3

4. Observe Ud. la siguiente figura:

a) 1 d) 4

b) 2 e) 0

c) 3 18:10:45

Practica enbásicos casa Conceptos 1. Un día Gina quiso ver la hora en su fino reloj "GUCHI" que le había regalado, por el día de los enamorados, su adorado esposo. Pero se dio con la ingrata sorpresa que el reloj no funcionaba; entonces tuvo que abrir el reloj y encontró el siguiente sistema de engranajes:

2. Si el engranaje sombreado se mueve como indica la flecha, ¿cuántos se mueven en sentido antihorario?

A B

G

C

F

3. ¿Cuántos engranajes giran en sentido horario y cuántos en sentido antihorario?

D E



Diga usted qué engranaje tuvo que retirar para que su fino reloj pueda funcionar. A Colegios

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B

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13

Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático Compendio de Ciencias - I BIM

2° Año de secundaria

4. ¿Cuántos palitos hay que retirar como mínimo para que no quede ningún triángulo?

10. ¿Cuántos palitos de fósforo como mínimo debes agregar para formar seis cuadrados?

1

5. ¿En qué sentido giran "B" y "C", si el engranaje "A" gira en el sentido que indica la flecha? 11. Mover un palito de fósforo para lograr una B igualdad real.

C

12. Indicar cuántos giran en sentido horario, si el engranaje "A" gira en el sentido que indica la flecha.

A





B: ...............



A

C: ..................

6. ¿Cuántos palitos como mínimo debes mover para que la igualdad sea correcta?

7. Si el engranaje 5 se mueve en sentido antihorario, ¿hacia dónde giran los engranajes 16 y 22 respectivamente?

•

... 1

2

3

4

Se define como números digitales, a aquellos que aparecen en la pantalla de una calculadora,: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9. En las siguientes operaciones incorrectas, ¿cuántos palitos de fósforo hay que mover como mínimo para transformar la operación en correcta?

8. Quitar seis palitos de la figura, de tal manera 13. que queden dos cuadrados.

14. 9. ¿Cuántos palitos de fósforo como mínimo debes quitar para formar cuatro triángulos iguales? 15.

14

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Unidad I

13

Cuadros numéricos Compendio de Ciencias - I BIM

2° Año de secundaria

CAPÍTULO

Cuadros numéricos

2

En este capítulo aprenderemos a: •

Desarrollar tu capacidad de razonar tanto lógica como analíticamente, resolviendo los problemas en forma recreativa y directa.

El número mágico 153

E

n el evangelio, según San Juan (Cap 21; versículo 11) se lee que: "Los discípulos no habiendo pescado nada durante la noche se disponían a abandonar la tarea, cuando siguiendo el consejo de Jesús, echaron de nuevo la red, la cual Simón Pedro, la levantó y la trajo a tierra; estaba llena de grandes peces en número 153 y siendo tantos la red no se rompió. Por eso el número 153 se consideró en la antigüedad como número mágico, buscándose distintas propiedades del mismo. Por ejemplo: Es un número triangular:



1 + 2 + 3 + 4 + ... + 15 + 16 + 17 = 153 13 + 53 + 33 = 153







1+2×1+3 ×2×1+4×3×2×1+5×4×3×2×1 = 153

Si se parte de un número natural, cualquiera que sea múltiplo de 3, y se suma el cubo de sus cifras, el resultado también será múltiplo de 3, se aplica la misma operación. Continuando así se llegará al número 153. 252 → 23 + 53 + 23 =141 13 + 43 + 13 = 66 63 + 63 = 432

141

→

66

→

432

→

99

→

1458

→

702

→

13 + 43 + 53 + 83 = 702 73 + 03 + 23 = 351

351

→

33 + 53 + 13 = 153

43 + 33 + 23 = 99 93 + 93 = 1458

Fuente:http://enroquedeciencia.blogspot.com

"Subió Simón Pedro y trajo a tierra la red llena de ciento cincuenta y tres grandes peces" Juan, 21; 11

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Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático Compendio de Ciencias - I BIM

2° Año de secundaria

2

Síntesis teórica

En base a

Colocando cifras en

En forma de

10 x 5 50

Aplica lo comprendido Conceptos básicos 1. Con tres cifras 3 y utilizando únicamente las cuatro operaciones fundamentales, obtener los números:

16



6 =



12 =



18 =



30 =

•

Complete los números que faltan en los casilleros de las siguientes pirámides, teniendo en cuenta que la suma de los números de dos casilleros adyacentes resulte el casillero inmediatamente superior.

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2. 21 13 7 3. A cada cuadrado asignarle un número del 1 al 8, con la condición que en dos cuadrados contiguos los números no sean consecutivos.

Unidad I

17

Cuadros numéricos Compendio de Ciencias - I BIM

•

2° Año de secundaria

En cada una de las casillas de un tablero cuadriculado de 3×3 se escribe uno de los siguientes números: 1;2;3;4;5;6;7;8 y 9, sin repetir ninguno, de tal modo que en cada fila y en cada columna, se cumpla que la suma de los tres números que en ella aparecen sea un múltiplo de 5.

4. En el tablero mostrado, ¿qué números deben 5. Al completar el tablero mostrado, ¿qué número debe ir en el lugar marcado con la ir ubicados en las posiciones "a" y "b", respectivamente? letra "x"?

a

8

6

9

4

c

5

b

7

6

x 9

5

7 2

Conceptos básicos Aprende más... •

La calculadora mostrada abajo es realmente peculiar. Tiene una pantalla y solamente dos teclas "A" y "B". Al encenderla muestra en la pantalla un número entero positivo. Si se presiona la tecla "A", el número "x" de la pantalla es reemplazado por el número (2x+1). Si se presiona la tecla "B", el número "x" de la pantalla es reemplazado por el número (3x - 1).

A

1. Si en la pantalla aparece el número 6 y se presiona la tecla "B", y luego la tecla "A", el número que se obtiene en la pantalla es el : ....................... 2. Si en la pantalla aparece el número 5, ¿cuántas teclas se deben presionar como mínimo para obtener en la pantalla un número que termine en cero? 3. Si en la pantalla aparece el número 8 y se presiona dos veces la tecla "A", dicho resultado es mayor, menor o igual al que resulta de presionar dos veces la tecla "B" cuando aparece sobre la pantalla el número 4.

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Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático Compendio de Ciencias - I BIM

2° Año de secundaria

•

Se tiene un cuadrado mágico de nueve casillas cuadradas. Al ubicar los dígitos del 1 al 9 en las siguientes casillas:

8

8. Colocar los números del 1 al 9 uno en cada casillero y sin repetir de manera que cumplan las igualdades en las horizontales y las verticales. -

6



2

= ×

÷

=

+

=

=

5 4

2

4. La suma de los números faltantes es igual a: ____________________ 5. La suma de cada fila y columna es igual a: ____________________ 6. Completar los números que faltan en cada casillero en blanco de las pirámides, sabiendo que la suma de dos números contiguos tiene como resultado el número de la casilla superior.

• Hallar: A - B

9. Con cuatro cifras 2 y las operaciones: "+" ; "-" ; "×" y "÷ " formar los siguientes números:

• 8 = ______________________________



• 13 = ______________________________



• 46 = ______________________________



• 44 = ______________________________

10. Con ocho cifras 8 y utilizando solamente la operación de la adición obtener el número 1000. 11. Colocar las cifras del 1 al 6 en los círculos correspondientes y lograr que la suma de los lados sea:

A 83



• Igual a 10 10=

40 199 125 43

8

•

72

B

Hallar: A+2

=10 10 =



103

A

• Igual a 12

6 33

33

22

7. ¿Qué símbolos deben ir en los paréntesis para formar una igualdad correcta?

18

3 ( ) 3 ( ) 3 ( ) 3 = 10

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=12 12 =

55

=

13 99

1

12

17

Unidad I

19

Cuadros numéricos Compendio de Ciencias - I BIM

2° Año de secundaria

12. Al cuadrado mágico le faltan algunos números, ¿qué número debe ir en lugar de "B"? 11

2

4

14

B 13. La casilla central del tablero tiene el número:

Enunciado : • Se tiene un tablero con cinco casillas grises y cuatro blancas, de manera que cada casilla blanca tiene tres casillas grises vecinas, tal como se muestra en la figura. En cada casilla se ha colocado un número entero diferente mayor que 4 pero menor que 20, además

- -



- -

La diferencia entre el número de una casilla blanca y el número de cualquiera de sus vecinas grises es por lo menos 3. En cada fila y en cada columna del tablero hay exactamente un número par. Los números ubicados en las diagonales son múltiplos de 3. Al sumar los tres números de cualquier diagonal se obtiene el mismo resultado.

______________ 14. Al sumar los número de tres casillas grises vecinas a una misma casilla blanca se puede obtener como resultado cualquiera de los siguientes números, excepto: 27

33

39

45

51

15. Indique Verdadero (V) o Falso (F) en: I. La casilla central del tablero tiene el número 6. ............................... ( ) II. El número 7 se encuentra en una casilla blanca. ............................... ( ) III. El número 9 se encuentra en una casilla gris. ............................... ( )

socisáb¡Tú sotpuedes! pecnoC 1. Las letras colocadas en los casilleros de 2. En el gráfico, las letras representan dígitos diferentes entre sí y diferentes de 8. Si se la siguiente figura representan a los ocho cumple que: primeros números enteros positivos y están M . E . N = T . A . L ubicados de tal manera que, no existen dos calcular: M+E+N+T+A+L números consecutivos en casilleros que tengan algún elemento en común (lado o vértice).

e

a

b

f

g

c

d

E

h

Calcular : ( a + b) (c + d) - (e - h) (f + g)

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20

TRILCE

T

A

M

N L

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19

Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático Compendio de Ciencias - I BIM

2° Año de secundaria

3. Ubicar los números del 1 al 12 de modo que cada lado del cuadrado sume la misma cantidad y esta sea la máxima posible. Indicar como respuesta la suma de los números que están en los vértices.

A

B

C

D

E

F

G

H

I

2

 La diferencia de los números de dos casillas vecinas cualesquiera debe ser por lo menos 2.  La suma de los tres números de cada una de las diagonales del tablero debe ser la misma.  Las letras "A", "C", "I" y "G" representan números pares.  El valor de "A" solo puede ser 6 u 8.

• En el siguiente tablero, cada letra representa un dígito diferente del 1 al 9. Dos casillas del tablero son vecinas si tienen un lado común. Por ejemplo, las casillas con letras "G" y "H" son vecinas pero las casillas con letras "E" y 4. El valor de "E" es: _______________ "C" no son vecinas.

5. El mayor valor que se puede obtener al sumar "G +H +I" es:

18:10:45

soPractica cisáb soten peccasa noC Enunciado (Preg.: 1 ; 2 y 3) 1. ¿Cuál será la suma de los números ubicados en El siguiente tablero va dar origen a la formación las extremidades? de un pequeño "ROBOT" el cual va estar formado por las casillas blancas, además en él se ubican los 2. ¿Cuánto suman los números de la columna D? números del 1 al 17, uno en cada casilla, de manera 3. Calcular: (CIII ÷ DIV) - DI que se cumplan las siguientes reglas:  No habrá números repetidos. • Indicar verdadero (V) o falso (F), si en el  Los números múltiplos de cinco deben cuadrado mágico de nueve casillas cuadradas estar contenidos exclusivamente en la fila I. se ubican los números del 1 al 9; luego:  Los números de la fila III deben sumar 72.  Los números de la fila IV deben sumar 6. 4. El número 5 va en el casillero central ........( )  Los números de la fila V deben sumar 18.  Los números múltiplos de tres deben estar 5. Una diagonal está conformada solo por contenidos exclusivamente en la columna C. múltiplos de 3 ................................( )  Los números de la columna B deben sumar 47.  En las extremidades del robot (AIII, EIII, BVI • Completar los números que faltan en cada casillero en blanco de las pirámides, sabiendo y DVI) solo pueden haber números primos. que la suma de dos números contiguos dan como resultado el número de la casilla A B C D E superior. I 6. Completar, hallar "x" II x III 114 IV V VI

20

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50 9 29 135 173 3 7 2 8

4

Unidad I

21

Cuadros numéricos Compendio de Ciencias - I BIM

2° Año de secundaria

7. Completar, hallar "x+y"

11. Si se forma un cuadrado mágico utilizando los números: 8; 17; 11; 26; 20; 32; 2; 14 y 23, ¿cuál debe ser el valor de la suma común "S"?

560 240

x

100

180

609 255

100 453

153

2 25

y 5

8. Distribuir en los círculos los números del 1 al 9 con la condición que la suma de cada lado sea 20, indicar la suma de los vértices.

12. Si se forma un cuadrado mágico utilizando los números: 11; 20; 14; 29; 23; 35; 5; 17 y 26, ¿cuál debe ser el número ubicado en la casilla central del tablero?

SUDOKU •

Considerar que cada casilla será nombrada por fila y columna a la que pertenece. Por ejemplo en el tablero, la casilla HR se encuentra escrito el número 9. P A

Q

7

C

4

D

9

=9 2 × ÷ -

+

+

× b + 3 =5 +

+

4 × =4

+ + c =13

=4

=3

10. Al cuadrado mágico le faltan algunos números. ¿Qué número debe ir en lugar del ∗? 11

4

Colegios

22

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2

14

2

T

2

1

7 9

8

1 2

1

5 9 3

W X

3

1 7

H I

V

2

F G

U

1

9 6

E

a

S 5

8

B

9. Hallar el valor de "a + b + c"

R

7 4

4

3 6 9

8 9

8

3 6

13. ¿Qué valor se obtendrá al sumar los números escritos en las casillas HT y EX? 14. ¿Qué valor se obtendrá al sumar los números escritos en las casillas AV y FR? 15. ¿Qué número debe ir escrito en la casilla CR?

∗

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2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

CAPÍTULO

3

Razonamiento Matemático

Multiplicaciones abreviadas En este capítulo aprenderemos a: •

Afrontar ejercicios que aparentemente tienen una solución larga y tediosa, pero que con un poco de habilidad en las operaciones se puede resolver de una forma más rápida.

Multiplicación con los dedos de la mano

E

n la Edad Media, los mercaderes acostumbraban multiplicar valiéndose de los dedos. Usaban este tipo de cálculo solo para los números comprendidos entre 5 y el 10. El sistema será práctico cuando te falle el recuerdo de la tabla de multiplicar.

Veamos como multiplican los mercaderes 6 por 9. Primero señalaban el 9 con una mano, extendiendo los cinco dedos, cerrando luego el puño y extendiendo otra vez cuatro dedos, uno a uno: 6 - 7 - 8 - 9. Quedan así cuatro dedos extendidos. Para señalar el 6, extiende primero los cinco dedos de la otra mano, cierra el puño y extiende después un dedo más, el pulgar. Así habrás extendido un total de seis dedos. Para llevar a cabo la multiplicación, se procede así: se suman los dedos extendidos y se multiplican los doblados. En el caso del grabado, habría que sumar 1 (el pulgar) con 4 (los cuatro dedos), los que nos daría un total de 5 este número corresponde a las decenas, es decir 50. Multiplica ahora los dedos doblados: 4x1=4; sumando las dos respuestas, obtendríamos: 50+4=54, que es igual a 6×9. Efectúa ahora otras multiplicaciones, naturalmente, en este caso no se dará al final ninguna solución.

22

3

Razonamiento Matemático 2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

3

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62 + 4 = 40

42 = 16 2 × 6 × 4+1=49

Síntesis teórica

Unidad I 23

27

Multiplicaciones abreviadas 2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM 10 x 5 50

Aplica lo comprendido Conceptos básicos 1. Completar los espacios en blanco, para cada uno de los siguientes casos de multiplicaciones abreviadas: 156×5=156

÷



•



• 563×11=



•

234×11=2

4



• 83×99= 83

-

1





V/F

JUSTIFICACIÓN

852 = 5625

3

Columna "A"



PROPOSICIÓN

=

472 × 11 = 4192

=

2. Relacionar cada elemento de la columna "A" con un elemento de la columna "B", sabiendo que tienen el mismo resultado.



3. Indicar (V) si es verdadero o (F) si es falso en:

Columna "B"

A 851×9

452

B 942×11

23×12+45×16

C

7659

2025

D 996

73 × 5 = 355 4. Calcular: 452 5. Si: a5 = 4225; hallar el valor de: a2 + a 2

10 362

Conceptos básicos Aprende más... 1. El profesor del 2º año de secundaria del Colegio Trilce propuso el siguiente ejercicio en la pizarra:

2. Indicar (V) si es verdadero o (F) si es falso; según corresponda: Proposición

21677 × 11

•

V/F

Justificación

752 = 4225

Ximenita lo resolvió así : 2 1 6 7 7 × 11 = 2 3 8 4 4 7

365 × 11 = 3015 372 = 1159



y dada su habilidad lo hizo en cuestión de segundos. • Fátima lo resolvió así: 21677× 11 21677 21677 238447

Demoró un poco más pero también lo hizo correctamente. Ahora el profesor pidió una forma distinta de resolver dicha multiplicación. ¡Encuentra TÚ otra forma de efectuar la operación!

Colegios

28

24

TRILCE

3. Colocar los signos < ; > ó = ; según corresponda:

•

31×11+43×11 42×11+32×11

•

53 × 35





63 × 25

•

87 × 46



94 × 33

•

822

412 × 4

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Razonamiento Matemático 2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

En cada caso calcular: 4. • 49×5

=

_____________________

• 1649×5 =

_____________________

• 168 × 5 =

_____________________

• 326 × 5 =

_____________________

5. • 89×99 =

_____________________



• 124×9 =

_____________________

• 456×99 =

_____________________

• 81×999 =

_____________________

6. • 76×28 =

_____________________

• 56×72 =

_____________________

• 96×27 =

_____________________

• 84×76 =

_____________________

7. • 542 = • 922 = • 362 =

_____________________

• 792 =

_____________________

_____________________ _____________________

Resolución de problemas

b) 848 e) 364

a) 25 d) 20

c) 484

b) 24 e) 30

c) 28

10. Si: 223 × 11 = PQRS ; hallar (QR) 2 a) 2125 d) 3025

b) 2025 e) 2505

c) 2225

11. Si: (xx) 2 = 3025 ; hallar "x2 + x" a) 40 d) 72

b) 32 e) 42

c) 30

12. Si: (x5) 2 = 7yy5 ; hallar "x + y" a) 12 d) 10

b) 14 e) 8

c) 6

13. Si: XIFER × 999 = ...56322 hallar: X + I + F + E + R a) 26 d) 21

b) 22 e) 30

c) 24

14. Calcular: 3A + 2B + C Si: 11×A = 385 (B5) 2 = 5625 11×C = 220 a) 163 d) 173

8. Si: 292 = abc ; hallar: bb × cc a) 464 d) 454

9. Si: abc × 11 = a595 hallar "a × b × c"

3

b) 139 e) 193

c) 129

15. Si: 666 ...666 × 11 = 73...ABCDE hallar "A + B + C + D + E " a) 15 d) 17

b) 16 e) 19

c) 71

socisáb¡Tú sotpuedes! pecnoC 2

1. Si: PQ = P69; hallar: 2P + 3Q a) 16 d) 14

b) 13 e) 15

c) 11

2. Calcular la suma de cifras del resultado de:



b) 71

d) 73

e) 74 2

3. Si: x6 = 73yz hallar: 5x + 4y - 2z

Central: 619-8100

c) 72

b) 64 e) 39

c) 58

4. Si: a8b6c4 × 11 = 10d6419e hallar: (a+b)2 - (c+d)2+3e a) 54 d) 99

12345678 × 99999999

a) 70

a) 45 d) 47

b) 76 e) 104

c) 87

5. Al elevar al cuadrado a7, se obtiene un número de tres cifras. Hallar la suma de todos los valores que puede tomar "a". a) 2 d) 10

b) 3 e) 15

c) 6

Unidad I 25

29

Multiplicaciones abreviadas 2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM 18:10:45

Practica enbásicos casa Conceptos 1. Dado el plano "OPS" (correspondiente al primer piso de una casa), se pide calcular de manera rápida (multiplicaciones abreviadas) el área de las siguientes regiones: • Sala = ________________________ • Patio = ________________________ • Jardín = ________________________ • Área total = ________________________ 13

12

patio

sala

B= 64 × 14 = ________________________ C= 94 × 72 = ________________________ D= 63 × 35 = ________________________ 5. Si: 332 = a (a - 1) b (b + 1) hallar: aa×bb 6. Si: pqr × 11= p732 hallar "p × q × r"

baño

cocina

4. A= 72 × 38 = ________________________

jardín

36

7. Si: (aa) 2 = 4225 hallar "a2 - a"

15 8. Si: VELIN × 99 = ...81849 hallar: V + E + L + I + N 24

25

11

Plano "OPS" 2. Relacionar cada elemento de la columna "A" con un elemento de la columna "B", sabiendo que tienen el mismo resultado. Columna "A" A. 324 × 99

I.



B. 768 × 11

II. 46×14+57×18

C. 5625

III. 32076



D. 1670





A ( )

IV. 8448 B ( )

En cada caso, calcular el valor de "A","B","C" y "D"

3.

A= 1252 = ________________________ B= 8752 = ________________________ C= 752 = ________________________ D= 6052 = ________________________

Colegios

TRILCE

10. Si: (x8) 2 = 23yx hallar "x + y" 11. Si: 9A0B41 = 11 8C4DE

hallar: C + E + B 2

12. Si: 8N = MP24 hallar: M + N × P

C ( ) D ( )

•



30

752





26

Columna "B"

9. Calcular: A + 2B + 3C, si: 11 × A = 264 (B5) 2 = 1225 C × 11 = 209

13. 8q4nm×11 = 9r0p41 hallar "p+q" 14. Si: 452 = a025 2 hallar: a5 15. Si: abc x 99 = ... 177 hallar: a + b + c

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Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático 2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Relaciones de parentesco CAPÍTULO y tiempo

4

4

En este capítulo aprenderemos a: •

Determinar los parentescos que hay entre los miembros de una familia.

•

Manejar los distintos términos que se emplean con respecto a los días de la semana

Relaciones familiares

..ah... eres mi tío

Fuente: http://es.123rf.com

. yo Hola.. jo l hi soy e amá m a l de apá p u t de

Central: 619-8100

Unidad I 27

31 31

Relaciones de parentesco y tiempo 2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM 10 x 5 50

Aplica lo comprendido Conceptos básicos •

•

Dado el siguiente esquema:

4. ¿Cuál sería el pasado mañana de hace tres días?

Bene

Óscar

Si hoy es martes , responder correctamente:

______________________________________ Velin

Rolo

Lily

Wily

5. ¿Cuál sería el anteayer de dentro de cinco días? Xime

Fátima

Luciana

______________________________________

Colocar verdadero (V) o falso (F) según corresponda: 1. Rolo es sobrino solo de Luciana .............. ( ) 2. Rolo y Lily son primos ............................. ( ) 3. El abuelo paterno de Xime es Óscar ......... ( )

Conceptos básicos Aprende más... Comunicación matemática 1. El 1 de noviembre visité uno de los cementerios de Lima, al colocar flores a las tumbas de unos familiares y al caminar por una lareda observé una placa en la cual decía:

Aquí yace El padre, el esposo, el abuelo, la madre, la hija, la esposa, la hermana, el hijo, el hermano, el nieto

Colocar verdadero (V) o falso (F); según corresponda:

• Si el primer apellido de Juan es Bustamante, entonces el segundo apellido de Mía tambien es Bustamante. .................... ( ) • La hija de la hija de Juan se llama Mía. ( )



•

Juan tiene tres nietas



•

Edú es cuñado de Hugo .................... ( )

3. Si el ayer del anteayer de mañana del ayer de hace dos días del mañana del pasado mañana es jueves, indicar verdadero (V) o falso (F): • •

¿Podría usted ayudarme y decir cuál es la menor cantidad de personas que hay en esta cripta (si es la mínima posible) ?

•

2. Dado el esquema: Juan

Rosa

Edú

Mía

Colegios

34

28

TRILCE

Mañana es lunes ............................... ( ) Pasado mañana de mañana será jueves .............................. ( ) El ayer del anteayer del ayer de mañana fue domingo .............................. ( )

4. Dada la siguiente información:

Frida

Valentina

...................... ( )



•

Hugo



•

Beto



• •

Luis Flores es abuelo de Renato Flores Gutiérrez. Laira Flores Gómez es tía de Amara Flores Silva. Gina Gómez es bisabuela de Claudia. Mathías Flores es abuelo de Claudia.

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Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático 2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Completar:

10. Si el anteayer de mañana de pasado mañana será viernes, ¿qué día fue ayer?

a) miércoles d) jueves

b) lunes e) martes

4

c) sábado

11. Si dentro de tres días será lunes, entonces el ayer del pasado mañana del anteayer del mañana fue:

a) lunes d) domingo

b) miércoles e) viernes

c) jueves

Enunciado (Preg.: 12-15) • Álvaro y Claudia tuvieron solo tres hijos: 5. Completar los siguientes enunciados de Hernán, Emperatriz y Micaela. Leopoldo es manera que sean correctos: el único vástago de Segundo y Hortensia. Emperatriz es hermana de la esposa de • La madre de la hermana de mi madre es mi Leopoldo. Leopoldo y su esposa tienen solo .................. dos hijos: Diego y Laura; entonces: • Mi esposo es ...................... de mi padre. • El hermano de mi esposa es mi ............... • Mis primos hermanos son los ..................... 12. ¿Qué parentesco hay entre Micaela y Leopoldo? carnales de mis padres. a) Son cuñados b) Son esposos c) Son consuegros d) Son hermanos Resolución de problemas e) Son primos de sangre 6. La hija de Rosa es la madre de mi hijo. ¿Qué parentesco tengo con el hijo del hijo de Rosa? 13. Es cierto que: a) Es mi hijo b) Es mi primo I. Micaela es la madre de Laura. c) Es mi sobrino d) Es mi cuñado II. Hernán es tío de Diego. e) Es mi suegro III. Álvaro no es abuelo de Laura. 7. Si Juan es padre de Carlos, Óscar es hijo de Pedro y a la vez hermano de Juan, ¿quién es el padre del tío del padre del hijo de Carlos? a) Juan d) Pedro

b) Carlos c) Óscar e) Hijo de Juan

8. Si el mañana del mañana del pasado mañana de ayer del anteayer es lunes, ¿qué día será el ayer del mañana del pasado mañana de hace dos días del ayer del pasado mañana?

a) lunes d) jueves

b) martes e) viernes

c) miércoles

9. Siendo viernes el mañana del día anterior al pasado mañana del ayer de antes de ayer de mañana, ¿qué día será el ayer del pasado mañana del ayer de mañana? a) jueves d) viernes

Central: 619-8100

b) domingo e) lunes

c) sábado

a) Solo I d) I y II

b) Solo II e) I y III

c) Solo III

14. Es cierto que Hernán es:

I. Cuñado de Leopoldo. II. Yerno de Leopoldo. III. Tío de Laura. a) Solo I d) I y II

b) Solo II e) I y III

c) Solo III

15. Es cierto que Emperatriz es:

I. Nuera de Hortensia. II. Cuñada de Leopoldo. III. Soltera. a) Solo I d) I y II

b) Solo II e) I y III

c) Solo III

Unidad I 29

35 35

Relaciones de parentesco y tiempo 2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

¡Tú puedes!básicos Conceptos 1. Si dentro de tres días ocurrirá que el mañana del antes de ayer del pasado mañana de ayer será jueves, ¿qué día fue el pasado mañana del mañana del ayer de hace tres días?

a) martes

b) jueves

c) miércoles

d) domingo

e) lunes

2. En una reunión están presentes un bisabuelo, tres hijos, tres padres, dos nietos y un bisnieto. Cada uno lanzó dos dados obteniendo entre todos 17 puntos. Si todos excepto el bisabuelo obtuvieron el mismo valor cada uno y la cantidad de personas reunidas es la mínima, ¿cuál es el máximo valor obtenido por el bisabuelo? a) 9

b) 7

c) 11

d) 5

e) 10

3. En una reunión se encuentran presentes un abuelo, una abuela, dos padres, dos madres, dos esposos, dos esposas, una tía, una nuera, un nieto, una nieta, un cuñado y una cuñada. ¿Cuántas personas como mínimo se encuentran presentes en la reunión? a) 6

b) 7

c) 8

d) 9

e) 5

4. Si el día de mañana fuese como pasado mañana, entonces faltarían dos días a partir de hoy para ser domingo. ¿Qué día de la semana será el mañana del ayer de hoy?

a) sábado

b) viernes

c) domingo

d) jueves

e) miércoles

5. Hace dos días se cumplía que el anteayer del ayer de mañana era martes. ¿Qué día de la semana será, cuando a partir de hoy transcurran tantos días como los días que pasan desde el ayer de anteayer hasta el día de hoy? a) lunes

b) martes

c) jueves

d) sábado

e) domingo

18:10:45

Practica enbásicos casa Conceptos 1. El 12 de setiembre del año pasado salí con unos parientes a cenar, estábamos en la reunión: tres padres, tres tíos, tres hermanos, tres hijos, tres sobrinos y tres primos; cada uno al final de la cena pidió una gaseosa y un keke de postre. Si cada gaseosa costó S/. 2 y cada keke S/. 1,50, ¿cuánto fue el monto a pagar generado por el consumo solo de las gaseosas y kekes?

3. Si hace cuatro días se cumplió que el ayer del ayer de pasado mañana del mañana fue jueves, relacionar correctamente

2. Del problema anterior, si cada uno de los que cenamos dicho día consumió un plato cuyo precio fue de S/. 12, ¿cuánto se tuvo que pagar por todo lo consumido?

Colegios

36

30

TRILCE



I. Mañana será ...



(A) domingo



II. Ayer fue ...



(B) sábado



III. Hace tres días fue ...

(C) lunes















(D) jueves















(E) viernes





I ( )



II ( )





III ( )

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Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático 2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

10. Me preguntaron: ¿Cuántos hermanos tengo? y respondí: "Tengo ocho, pero conmigo no somos nueve; porque somos seis y somos cuatro y además porque soy el último y el primero". ¿De cuántas personas se habla? (Sin contarme a mí)

4. Esquema: Pedro

Luisa

Luis

Ana

Carlos

César

Gustavo

Natalia

Miluska

Según el esquema anterior, colocar verdadero (V) o falso (F) según corresponda: • Luis es hermano de Gustavo ................ ( ) • Miluska es sobrina de Carlos ................ ( ) • Natalia es hija de Ana

.......................... ( )

• Pedro es suegro de Luisa ........................ ( ) 5. Pepe le dice a su papá que la hermana de su tío no es su tía y su papá le responde: "Tienes razón". ¿Quién es entonces la hermana de su tío que no es su tía? 6. Los esposos Flores tienen siete hijas y cada hija tiene un hermano, ¿cuántas personas como mínimo hay en la familia Flores? 7. Si el día de ayer fuese igual al de mañana, faltarían dos días para ser domingo. ¿Qué día es hoy? 8. Si el mañana del mañana del ayer del pasado mañana del mañana del ayer será jueves. ¿Qué día será dentro de cuatro días? 9. Mi tía Julia es hermana de mi madre. Martha es la hermana de mi tía, pero no es mi tía. ¿Qué parentesco existe entre mi hermano Eduardo y Martha?

Central: 619-8100

4

11. Si el día de ayer fuese como hoy, faltarían tres días para ser lunes. ¿Qué día será el ayer del pasado mañana de mañana de hoy? 12. Sabiendo que el mañana del anteayer del mañana de pasado mañana será jueves. ¿Qué día fue el anteayer del ayer del mañana de hace dos días? 13. Rosa es soltera, no tiene hermanos y su única hermana se casó una sola vez con Álex. Si Amelia es sobrina de Rosa, entonces Álex es de Amelia, su: Enunciado: (Preg.: 14 - 15) Luis está casado con Ana y tiene únicamente tres hijos varones: José, Miguel y Raúl. Lina es hija de Tania y su abuela paterna es Ana. Miguel es soltero (no tiene hijos) y la esposa de Raúl se llama Karla. Tadeo es nieto de Luis y es primo de Lina. 14. Sobre Tadeo se sabe que:



a) Es sobrino de Ana b) Es primo de Miguel c) Es tío de José d) Es hijo de Raúl e) Es hijo de Tania

15. Si la mamá de Karla se llama Julia, es necesariamente cierto que: I. Raúl es yerno de Julia. II. Tadeo es nieto de Julia. III. Julia es hermana de Ana.

Unidad I 31

37 37

Repaso I 2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Repaso I

CAPÍTULO

5

... y ahora vamos a repasar los temas estudiados anteriormente . • • • •

Colegios

38

32

TRILCE

Palitos de fósforo, ruedas. Juegos con cuadros numéricos. Multiplicaciones abreviadas. Relaciones de parentesco y tiempo.

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Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático 2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

5

sociAprende sáb sotpemás... cnoC 1. ¿Cuántos palitos se debe mover como mínimo para obtener cinco cuadrados y once cuadrados?

5. Si al completar el arreglo se ha escrito tres veces el dígito 7, entonces ¿cuál de los siguientes números puede haberse escrito en el lado con vértices 3 y 2? a) 4 d) 8

a) 4 y 2 d) 3 y 3

b) 2 y 3 e) 2 y 4

c) 1 y 2

2. Usando tres cifras 5 y las operaciones fundamentales formar los números 11 y 30. Enunciado: (Preg.: 3 al 7) Un juego consiste en escribir números en un arreglo de forma triangular, que está compuesto por nueve círculos. Daniel ha comenzado a jugar y ya ha escrito tres números como muestra la figura. Complete el gráfico, teniendo en cuenta las siguientes condiciones: • • •

b) 5 e) 9

c) 6

6. Si cada lado del triángulo debe sumar 12 y no se puede repetir el 3, ¿de cuántas formas diferentes se pueden ubicar los números? a) 2 d) 8

b) 4 e) Más de 8

c) 6

7. Si cada lado del triángulo debe sumar 17, ¿cuál de los siguientes dígitos no puede escribirse en el lado con vértices 3 y 2? a) 4 d) 7 •

b) 5 e) 8

c) 6

Completa los números que faltan en los casilleros:

8.

A 192

En cada círculo se ubicará un dígito del 1 al 9. No puede haber dos dígitos iguales en un mismo lado del triángulo. Cada lado del triángulo debe sumar lo mismo.

17 32

4

1

1

13 64

9 6 5 12 3 20 3 7 2

9. A 17 144

3

2

32

1

3. Si se han escrito los números faltantes en los círculos del triángulo, ¿cuál es la mínima suma que puede tomar un lado del triángulo? a) 10 d) 6

b) 5 e) 12

c) 7

7

9

13 176

6 5 40 3 48 3 2 9 11 13

10. Utiliza los números 1;2;3;4;5;6 sin repetir, de tal manera que la suma sea la misma de cada lado de la figura. 10 =

4. Si se han escrito los números faltantes en los círculos del triángulo, ¿cuál es la máxima suma que puede tomar un lado del triángulo? b) 22 e) 19

c) 21 =10

10

=

a) 23 d) 20

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Unidad I 33

39

Repaso I 2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

a) Su hijo c) Su nieto e) Su sobrino

11. Del esquema responder Verdadero "V" o Falso "F" si:

b) Su esposo d) Su hermano

Rosa

Juan

13. Si el ayer de pasado mañana es lunes, ¿que día será el mañana de ayer de anteayer? Anita

Pepe

Julio

Jorge

José



• • • • • •

Fátima

Mily

a) jueves d) martes

b) viernes e) sábado

c) lunes

14. Si dentro de tres días será lunes, entonces el ayer del pasado mañana del anteayer del ayer del mañana fue:

Pepe es hermano de Jorge ............ ( ) Mily es sobrina de Julio ............ ( ) a) lunes b) miércoles c) jueves Fátima es hija de Rosa ............ ( ) d) domingo e) viernes José es primo de Mily ............. ( ) Juan es suegro de Anita ............. ( ) 15. Si: XIMENA×999999=...603541 El abuelo materno de Mily es Juan ....... ( ) hallar: X + I + M + E

12. ¿Qué parentesco tengo con la madre del nieto de mi padre, si soy hijo único?

18:10:45

Practica enbásicos casa Conceptos 1. ¿Cuántos palitos como mínimo debes quitar para formar cuatro triángulos iguales?

1

• 2. Se tienen "dos copas" y se pide cambiar de posición de "x" cerillas para que resulte "una casa". Calcular "x" . (Obs.: "x" es la menor cantidad de cerillas)

Completa los números que faltan en los casilleros y calcular "x+y"

4. 20A

8 717

313

x

39

16

y

5. 18A 9

3. Si el engranaje 1 se mueve como indica la flecha, ¿cuántos se mueven en sentido horario?

17

4

Colegios

40

34

TRILCE

x

19

13

y

26

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Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático 2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

6. Utiliza los números 1;2;3;4;5;6;7;8 sin repetir, de tal manera que la suma sea la misma en cada línea indicada.

8. Del 1 al 16 16

5

13 11 10

15 =

6 1 9. Del 1 al 25

=

=

15 = 15

•

3

15

9 8

Cuadrado mágico: Colocar números diferentes de tal manera que la suma en la fila y columna y diagonal sea la misma.

7

13 18

7. Impares del 1 al 17

11

23

2

3

10. Si: 8N = MP24 , hallar: M + N × P

17

11. Si: 8q4nm× 11 = 9r0p41 hallar: p + q

7

12. Del esquema responder Verdadero (V) o Falso (F) si: Luis

Manuel

Ana

Emilio

Karen



• • • • •

Beto

Julia

Carla

Martha

Greta

Carlos

Emilio es yerno de Beto ..........................................................................................( ) Karen es sobrina de Greta ..........................................................................................( ) La abuela paterna de Carlos es Carla .....................................................................................( ) Julia es cuñada de Manuel ..........................................................................................( ) Luis y Beto son consuegros ..........................................................................................( )

13. Siendo miércoles el pasado mañana de ayer, ¿qué día será el mañana del anteayer de pasado mañana? 14. En un determinado mes existen cinco viernes, cinco sábados y cinco domingos. ¿Qué día de la semana será 22 de dicho mes y cuántos días tiene? 15. Carlos se jactaba de tratar muy bien a la suegra de la mujer de su hermano ¿por qué?

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Unidad I 35

41

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

CAPÍTULO

6

Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático

pensamiento lateral En este capítulo aprenderemos a: •

Analizar los problemas desde distintas direcciones, de tal manera que encontremos diferentes, nuevas e ingeniosas soluciones.

La puerta de la vida

U

n preso condenado a la pena de muerte, tiene una oportunidad de salvar su vida si es capaz de resolver el siguiente problema: El juez mostrándole dos puertas 1 y 2, cada una cuidada celosamente por un guardia, le dijo: "Una de estas puertas conduce a la libertad y la otra a la silla eléctrica; los guardias las conocen, solo que uno de ellos siempre miente y el otro guardia dice la verdad. Tienes la opción de hacer una sola pregunta a uno de ellos". Tras unos minutos de titubeo, el reo preguntó al guardia "A". "Si le preguntó al guardia "B" ¿Cuál de las puertas conduce a la libertad? ¿Qué me responderá?" "Te dirá que la puerta 2", respondió el custodio. Luego de oír la respuesta el preso se encaminó con toda seguridad hacia la "puerta de la vida" y salió libre. ¿Por cuál de las puertas salió?

36

1

Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático 2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

1

Síntesis teórica

6

5

4

3

2

1

Conceptos básicos Aprende más... 1. Un gato saltó desde el borde de la ventana de un decimoquinto piso, y sin embargo no se mató. ¿Cómo es posible? 2. Un perro está atado por el cuello a una cuerda de tres metros de largo. Sin embargo, consigue alcanzar un hueso que se encontraba a ocho metros de él. ¿Cómo lo pudo lograr? 3. Dos personas de nacionalidad americana, esperaban en la entrada del Museo Británico. Una de ellas era el padre del hijo de la otra persona. ¿Cómo puede ser posible? 4. Antes de ayer Alex tenía 17 años y el año que viene tendrá 20. ¿Qué día nació? 5. Un amanecer de verano, dos padres y dos hijos fueron a pescar, tres peces pescaron y tocó a un pez cada uno. ¿Cómo es posible?

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Unidad II 37

45

Pensamiento lateral 2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Conceptos básicos Aprende más... 1. Componer la pulsera A un experto joyero le llevan cuatro trozos de cadena, de tres eslabones cada uno, para que los una formando una pulsera. "Para ello, dijo el joyero, tendré que cortar cuatro eslabones, uno de cada trozo, para engarzar los trozos y soldar a continuación cada eslabón cortado. Tendré, en definitiva, que hacer cuatro cortes y cuatro soldaduras". Pero la persona que le encarga el trabajo dice: "No, no es necesario hacer cuatro empalmes. Puede formarse la pulsera con solo tres". ¿Cómo podría hacerse esto? 2. La moneda más pesada de toda la docena El amigo Jacinto tiene doce monedas, pero sabe que una de ellas es falsa, esto es, que tiene un peso mayor que el peso de cada una de las restantes. Le dicen que use una balanza y que con solo tres pesadas averigüe, ¿cuál es la moneda de peso diferente? 3. Las etiquetas Sin acertar con ninguna de las tres, un empleado etiquetó erróneamente tres cajas que contenían lápices, bolígrafos y grapas. Cuando alguien le comunica el error, dice: "No hay problema, con solo abrir una de las tres cajas y mirar su contenido, ya podré colocar las tres etiquetas correctamente". ¿Cómo lo hace? 4. Con los relojes de arena Solamente dispones de dos relojes de arena, cuyas capacidades son de ocho minutos y de cinco minutos. ¿Podrás solo con ellos medir un intervalo de once minutos? 5. Repartir los ocho litros Un tonelero quiso repartir entre dos personas, por partes iguales, una jarra con ocho litros de vino pero al intentar hacer las medidas se vio con el problema de que solamente disponía, aparte de la jarra de ocho litros, de dos jarras con capacidades de tres y de cinco litros. Dijo: "No importa. Trasvasando adecuadamente el vino, puede ha-cerse la medición de forma que queden cuatro litros en jarra que ahora contiene ocho y otros cuatro litros en la jarra de capacidad para cinco". ¿Cómo lo va a hacer? 6. Las peinetas de la feria En la caseta de María tenemos cinco peinetas; dos blancas y tres rojas. Se ponen tres bailadoras en fila india y, sin que ellas vean el color, se les

Colegios

46

38

TRILCE

coloca una peineta en la cabecita a cada una de ellas. Está claro que la bailadora que queda en tercer lugar si ve el color de las peinetas de las otras dos y la bailadora que está en segundo lugar verá solo el color de la peineta de la bailadora que tiene delante, la primera de la fila. Bueno, pues cuando alguien le preguntó a la última bailadora si podía deducir cuál era el color de la peineta que tenía en la cabeza, dijo: "No, no puedo". A la misma pregunta, la bailadora segunda, que solo veía a la que tenía delante, dijo: "Yo tampoco puedo". En cambio cuando la pregunta se le hizo a la primera bailadora, que escuchó las respuestas de las dos compañeras de atrás, dijo: "Mi peineta es roja", a pesar de que no veía el color de ninguna de las peinetas. ¿Cómo lo dedujo? 7. Nueve puntos Traza cuatro segmentos rectilíneos, que sean horizontales, verticales y oblicuos, es decir, en las cuatro direcciones posibles, que pasen solo una vez por los nueve puntos siguientes:

8. Las colillas Comprendiendo el daño que le puede causar a su salud, Nicolás decidió dejar de fumar definitivamente, cuando aún le quedan 27 cigarrillos. Pensó en hacerlo cuando terminara de fumar ese resto que aún le quedaba. Pero entonces recapacitó en que él habitualmente consideraba que se había fumado un cigarrillo cuando se había fumado solo los dos tercios, tirando un tercio como colilla e inmediatamente, pensó en aprovechar también esas colillas uniendo cada tres de ellas con una cinta adhesiva para formar nuevos cigarrillos. Nicolás quiere saber, entonces, cuántos cigarrillos se habrá fumado al terminar, siguiendo con su inveterada costumbre de los dos tercios. 9. Problema del paso del río Una persona que dispone de una barca para atravesar un río desde una orilla a la otra, tiene que pasar un lobo, una cabra y un arbusto. El problema es que en cada viaje solo puede pasar a uno de los tres y no puede dejar solos, en ninguna de las dos orillas, al lobo y a la cabra porque el lobo la mataría, y tampoco puede

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Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático 2° Año de secundaria

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dejar solos a la cabra y el arbusto porque la cabra se lo comería. ¿Cómo podría esa persona resolver el problema con la barca de que dispone y sin ninguna otra ayuda externa? 10. Mitad más tercio más noveno Sin romper ninguno, un comerciante pretende repartir 35 televisores entre tres individuos, de modo que uno de ellos le corresponda la mitad, al otro la tercera parte y al tercero la novena parte. Se encuentra con el evidente problema de que no puede hacer las proporciones porque no salen televisores enteros. Entonces piensa: "Voy a regalar a los tres un televisor más, con lo cual serán 36, y entonces, si podemos hacer el reparto, pues al primero le corresponderían 18, al segundo 12 y al tercero 4, con lo que sumarían 34 televisores. De esta manera yo podría recuperar el televisor que les había regalado y quedaría para mí un televisor más, llevándome yo dos de los 36 televisores, y todos quedaríamos tan contentos". ¿Cómo se explica lógicamente este reparto? 11. El asunto de los tres interruptores En el inicio de un largo pasillo oscuro se encuentra un hombre, con tres interruptores de la luz delante. Quiere saber cuál de los tres interruptores es el que enciende la bombilla de su habitación, situada al final del pasillo dichoso. Y llega, después de una profunda reflexión, a la conclusión de que, pulsando uno o más interruptores y haciendo a continuación un solo recorrido hasta la habitación, podrá ya tener la seguridad de cuál es el interruptor que busca. ¿Cómo pensó el asunto nuestro amigo? 12. El preso listillo El alcaide de una prisión ofrece la libertad inmediata a uno de los diez presos que mantiene entre rejas, elegido al azar. Para ello

prepara una caja con diez bolas, nueve negras y una sola blanca y les dice que aquel que extraiga la bola blanca será el preso que quede libre. Pero el alcaide, persona con mala idea, coloca, sin que nadie lo sepa, las diez bolas negras, para, de esta manera, asegurarse que ninguno de sus diez presos quede en libertad. El preso Andrés, que tiene fama de listillo, se enteró casualmente de la trampa que iba a hacer el alcaide, e ideó una estrategia que le dio la libertad. ¿Cómo lo hizo Andrés?

1

13. Lo que dijo el reo En un determinado país donde la ejecución de un condenado a muerte solamente puede hacerse mediante la horca o la silla eléctrica, se da la situación siguiente, que permite a un cierto condenado librarse de ser ejecutado. Llega el momento de la ejecución y sus verdugos le piden que hable, y le manifiestan: "Si dices una verdad, te mataremos en la horca, y si mientes te mataremos en la silla eléctrica". El preso hace entonces una afirmación que deja a los verdugos tan perplejos que no pueden, sin contradecirse, matar al preso ni en la horca, ni en la silla eléctrica. ¿Qué es lo que dijo el reo? 14. El hombre en el bar Un hombre entra en un bar y le pide al barman un vaso de agua. El barman se arrodilla buscando algo, saca un arma y le apunta al hombre que le acaba de hablar. El hombre dice "gracias" y se va. ¿Por qué? 15. El hombre del edificio Un hombre va bajando las escaleras de un edificio cuando advierte súbitamente que su mujer acaba de morir. ¿Cómo lo sabe?

¡Tú puedes!básicos Conceptos 1. Se tiene tres recipientes de 9; 13 y 7 litros:

13 L

9 L

7 L

¿Cómo se podría medir exactamente diez litros de agua utilizando solo los tres envases?, señalar el número de veces que tuvo que pasar el agua de un recipiente a otro.

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Unidad II 39

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Pensamiento lateral 2° Año de secundaria

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2. Se encuentran en el extremo de un río tres hombres blancos y tres caníbales. ¿Cómo deben pasar al otro extremo, si únicamente caben dos en una barca y nunca debe haber mayor número de caníbales que de blancos en un extremo? 3. En una calle del centro de Lima ocurrió el siguiente problema de tránsito:

B



A

C

D

Los autos "A" y "B" desean pasar al otro lado de la calle pero los autos "C" y "D" no lo permiten. ¿Cómo podrán pasar aprovechando una pequeña zona libre, en cuyo espacio solamente puede ser ocupado por un auto?

4. En un pueblo se celebró un concurso de martillazos. Cada concursante tomaba un martillo y le daba con él a otro y si gritaba perdía. ¿Quién cree Ud. que ganó el concurso? 5. Se tienen cuatro gorros de fiesta de cumpleaños (forma de cono) : dos de color verde y dos de color rojo; los cuales son colocados sobre las cabezas de cada uno de los personajes, tal como se indica en el gráfico, sin que ellos sepan que color tiene el gorro; ¿quién de los cuatro personajes podrá decir con seguridad de qué color es el gorro que tiene puesto? ¿Por qué? ¿Debido a qué?

18:10:45

Practica enbásicos casa Conceptos 1.

En un funeral de la madre de dos hermanas, una 2. de ellas se enamora profundamente de un hombre que jamás había visto y que estaba prestando sus condolencias a los deudos. Las dos hermanas eran las únicas que quedaban ahora como mienbros de esa familia. Con la desaparición de la madre ellas dos quedaban como únicas representantes. Después del funeral y ya en la casa de ambas, una hermana le cuenta a la otra lo que le había pasado (y le estaba pasando con ese hombre) del 3. que no sabía quién era y nunca había visto antes. Inmediatamente después, mata a la hermana.

Colegios

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40

TRILCE

Cuatro trayectorias El mayor multimillonario del mundo ha prometido regalar su fortuna a aquel que consiga, con cinco objetos, cuatro trayectorias de tres objetos cada una. Cada trayectoria ha de ser tal que caminando en la misma dirección uno se topa con al menos tres objetos diferentes. En una casa hay dos padres, dos hijos, un abuelo y un nieto. ¿Cuántas personas como mínimo hay en una casa?

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4. Si: (x - a) (x - b) (x - c) ... (x - z) = p, ¿cuál es el valor que tiene "p"? 5. Tienes a tu disposición dos relojes de arena: uno de siete y otro de cuatro minutos. ¿Cómo puedes medir exactamente diez minutos? 6. Un hombre estaba caminando sobre la vía de tren, cuando observó que un tren expreso se precipitaba sobre él. Para evitarlo, saltó fuera de la vía, pero antes de saltar corrió cinco metros en dirección al tren. ¿Por qué? 7. Tres señoras realmente gordas paseaban por el camino debajo de un paragua de tamaño normal. ¿Cómo es posible que no se mojaran? 8. A un experto joyero le llevan cuatro trozos de cadena, de tres eslabones cada uno, para que los una formando una pulsera. "Para ello, dijo el joyero, tendré que cortar cuatro eslabones, uno de cada trozo, para engarzar los trozos y soldar a continuación cada eslabón cortado. Tendré, en definitiva, que hacer cuatro cortes y cuatro soldaduras". Pero la persona que le encarga el trabajo dice: "No, no es necesario hacer cuatro empalmes. Puede formarse la pulsera con solo tres". ¿Cómo podría hacerse esto? 9. Un hombre de edad mediana con lentes negros, un perro y un bastón blanco está caminando lenta y cautelosamente por la acera de una calle muy transitada a plena luz del día. Tiene visión perfecta, no está tratando de mendigar, ni tiene algún propósito criminal, ni es espía. ¿Qué está haciendo? 10. Valverde vivía en una hermosa aldea ubicada en un valle al sur de Turquía. Avido deportista, cada fin de semana trepaba a la montaña cercana. Sin embargo, aunque era un montañista muy eficaz, siempre regresaba antes de haber llegado a la cima, ¿por qué? 11. Alejandro, el excéntrico y anciano Rey de Draconia, decidió abdicar pero no podía decidir cuál de sus hijos debía heredar el trono. Por último decidió que, como los dos hijos eran buenos jinetes, haría una carrera en la cual el perdedor, es decir, quien tuviera

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el caballo más lento sería el Rey. Cada uno de los hijos tenía un caballo buenísimo y temía que el otro lo engañara retrasando su propio caballo, así que acordaron consultar al hombre más sabio del reino. Con solo dos palabras, el sabio aseguró que la carrera fuera limpia. ¿Qué dijo?

1

12. Una pareja iba a toda velocidad hacia la ciudad cuando el auto se quedó sin combustible. El hombre fue a buscar ayuda después de asegurarse de que la esposa cerrara las ventanillas y pusiera seguro a las puertas. Al regresar encontró a la esposa desmayada acompañada de una persona. Las ventanillas seguían cerradas, las puertas estaban aseguradas, y el coche no había sufrido el menor daño. ¿Quién es la persona que estaba acompañando a la esposa? 13. ¿Cuánto cuesta uno? - preguntó el cliente en una ferretería. - Dos soles - contestó el empleado. - ¿Y doce? - Cuatro soles. - De acuerdo. Llevaré ciento treinta y dos. - Muy bien. Eso costará seis soles. ¿Qué estaba comprando el cliente? 14. Robin Solórzano, de 32 años, vive en un rascacielos que queda a poca distancia de la fundición local, donde está empleado como supervisor de la planta. Cada mañana a las ocho, baja caminando un tramo de escaleras; al llegar al destino se sirve una taza de té. Después lee el diario de la mañana, que ha recogido en el kiosco de la esquina. Cuando llega a la mitad del diario se le ponen pesados los párpados y cae dormido durante ocho horas. Aun así, a fin de mes recibe un espléndido sobresueldo por productividad. ¿Cómo lo logra Robin? 15. Era un día soleado y cálido, y Luisa decidió llevar a Sally, de tres años, al parque. Cuando llegaron Luisa desplegó una toalla sobre el suelo y observó como Sally jugaba cerca, en la hierba. De pronto un perro (nunca visto por Luisa) corre hacia donde se encuentra Sally. En vez de entrar en pánico, Luisa siguió mirando, al parecer nada preocupada. ¿Por qué?

Unidad II 41

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2° Año de secundaria

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CAPÍTULO Pensamiento lateral

7

orden de información I En este capítulo aprenderemos a:

42

•

Ordenar información en forma creciente o decreciente.

•

Ordenar información en forma lateral.

2° Año de secundaria

El volcán Temboro está ubicado al este del Krakatoa. El volcán Singapur al oeste de Krakatoa. El Sumatra a su vez está ubicado al oeste de Singapur. ¿Cuál es el volcán ubicado más al este?

EjEmplo

EjEmplo

Orden de información I Compendio de Ciencias - I BIM

Resolución

¡Recuerda! Krakatoa

Temboro

Oeste

Este

Singapur

Krakatoa

Sumatra

Singapur

N

E

O

S

Juntando los datos:

Sumatra Oeste

Singapur

Krakatoa

Temboro Este Rpta.

Síntesis teórica

Colegios

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TRILCE

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2° Año de secundaria 10 x 5 50

Aplica socilo sácomprendido b sotpecnoC

2

1. Indicar (V) si es verdadero o (F) si es falso; según corresponda, dado el siguiente esquema: Juan

José

PROPOSICIÓN

Javier

V/F

Jorge

Julio

JUSTIFICACIÓN

Javier se encuentra adyacente a José y Julio. José está a dos asientos a la izquierda de Julio. 2. Esquematizar las siguientes situaciones (cada una es independiente de las otras)

•

"P" está adyacente a "Q" y "R"



•

"X" está dos asientos a la derecha de "Y" y dejando tres asientos a la izquierda de "Z".

3. Sobre la ubicación de cuatro ciudades que están ubicadas en una línea Norte - Sur, se sabe que:

• • •

Barranca está al norte de Huaura Chancay está al sur de Huacho Huacho está al sur de Huaura

¿Cuál de las ciudades está más al norte?

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Unidad II

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2° Año de secundaria

4. Tres amigos viven en casas adyacentes. Si Quintín vive a la izquierda de Luchín pero a la derecha de Pitín, ¿quién vive a la izquierda de los demás?

5. Carlos es mayor que Luis, este tiene la misma edad que Pedro y Juan es mellizo de Luis. Julio es mayor que Carlos pero menor que José. Entonces cuáles son ciertas:

I. Julio no es menor que Pedro. II. José es menor que Luis. III. José no es menor que Juan y Luis.



Rpta.: _______________

Conceptos básicos Aprende más... Enunciado 3. Sabemos que: • Al llegar las vacaciones del primer bimestre, cinco amiguitas del segundo año, que viven  "A" está al este de "P" en el edificio de seis pisos "Las mariposas de la  "Q" está al oeste de "R" Molina", deciden ir al cine del "Megapolo". Al  "P" está junto al oeste de "Q" regresar del cine se olvidaron en qué piso vive  "A" no está más al este del resto cada una, pero por suerte se encontraron con el portero y les dijo: Según los datos, ordenar y completar:  El cuarto piso está desocupado.  Marisol vive en un piso junto al de Norma y Martha.  Karina no vive en el último piso.  Jéssica es muy atleta. 1. Indicar verdadero (V) o falso (F):

I. Jéssica vive en el primer piso ................ ( )



II. Karina vive más arriba que Norma ........ ( )

Oeste

Este

4. Si el cerro "Candela" está al este del cerro "Camote", el río "Chillón" está al este del cerro "Candela", el lago "Chiquitanta" está al lado del cerro "Candela" pero al oeste del río Chillón ¿cuál está más al este?

III. Junto al piso vacío vive Marisol ............. ( )

Enunciado 2. Del enunciado anterior, relacionar el piso • Las ciudades "A", "B", "C" y "D" están alineadas de este a oeste en algún orden de acuerdo a las donde vive cada uno: siguientes condiciones: I. Jéssica A. 5to piso  La ciudad "A" está ubicada al este de la II. Marisol B. 2do piso ciudad "B". III. Karina C. 6to piso  La ciudad "C" está ubicada al oeste de la er ciudad "D". D. 1 piso  La ciudad "C" se encuentra al este de la E. 4to piso ciudad "B".



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I ( )

TRILCE



II ( )



III ( )

5. ¿Qué ciudad se encuentra más al oeste? ....................................................... www.trilce.edu.pe

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2° Año de secundaria

6. ¿Qué ciudad se encuentra más al este? .......................................................

 Compra la carne justo después de haber comprado los primeros tres artículos.  Los abarrotes son comprados justo después de haber comprado el pescado.  Los abarrotes son comprados antes que las frutas.

7. ¿Cuál de las siguientes es un posible ordenamiento de las cuatro ciudades, de este a oeste?

I. A, B, C y D II. B, A, C y D III. B, C, D y A



IV. A, D, C y B V. B, D, C y A

11. ¿Cuál de los artículos fue comprado al final?

Enunciado • Violeta debe realizar cinco tareas: "P", "Q", "R", "S" y "T" - en una semana, empezando el lunes y terminando el viernes. Las tareas serán realizadas de acuerdo a las siguientes reglas:  Debe realizarse una tarea por día  "P" debe realizarse antes que "S" y que "T"  "Q" debe realizarse antes que "R" y que "S" 8. ¿Qué tarea no puede realizar Violeta el día martes? .......................................................

I. P y Q II. R y S III. Q, R, S y T



IV. T y R V. R, S y T



• • • • •

P , S , T , Q y R P , Q , S , T y R P , T , S , Q y R Q , R , S , P y T Q , S , R , P y T



( ( ( ( (

) ) ) ) )

Enunciado • Una ama de casa debe comprar los artículos siguientes: verduras, carne, frutas, abarrotes, pan, pescado, pero no necesariamente en ese orden. Con respecto al orden de las compras se sabe que:  No compra más de un artículo a la vez.  No compra el mismo artículo a la vez.  Compra las frutas antes que el pan pero después que las verduras.

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b) Pan d) Pescado



a) Verduras c) Abarrotes e) Falta información

b) Pescado d) Frutas



Enunciado • Una persona compra seis libros y los decide ubicar en un estante. Se sabe que:  El libro de Álgebra está junto a la derecha del libro de Lenguaje.  El libro de Literatura está adyacente a los libros de Química y Física.  El libro de Historia está entre los libros de Lenguaje y Física. 13. ¿Cuántos ordenamientos son posibles? a) 1 d) 4

10. ¿En qué orden puede Violeta realizar sus actividades, empezando por la primera?

a) Fruta c) Verduras e) Falta información

12. ¿Cuál de los artículos fue comprado primero?

9. ¿Cuál de las siguientes es una lista completa de las tareas que podría realizar Violeta el día jueves?

2

b) 2 e) Más de 4

c) 3

14. Contando de izquierda a derecha, ¿qué posición podría ocupar el libro de Álgebra? a) Solo 2 d) Solo 4

b) 2 y 4 e) Solo 6

c) 2 y 6

15. Para obtener un único ordenamiento bastaría que: a)



El libro de Historia está junto al libro de Química. b) El libro de Álgebra está en un extremo. c) El libro de Física está en un extremo. d) Los libros de Lenguaje y Física están a los extremos. e) El libro de Historia está junto al libro de Física.

Unidad II

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2° Año de secundaria

¡Tú puedes!básicos Conceptos 3. Es imposible que "T" sea la ... actividad que Enunciado realice Lucrecia. Lucrecia debe realizar siete actividades en siete días consecutivos, una actividad cada día. Se sabe que la a) última b) penúltima c) quinta actividad "Z" debe realizarse después de "V" e "Y", pero antes que "X", y la actividad "Y" debe realizarla d) tercera e) segunda después de "W" pero antes que "T". Además, la 4. Si Lucrecia decide realizar la primera tarea un actividad "U" debe realizarla antes que "V". lunes, ¿en cuál de los siguientes días puede realizar la tarea "Z"? 1. ¿Cuál de las siguientes no es una posible secuencia, de la primera a la última tarea, a) Lunes b) Martes c) Miércoles respectivamente? d) Jueves e) Viernes a) U , V , W , Y , Z , T y X 5. Si Lucrecia decide realizar la tarea "Z" un b) U , V , W , Z , Y , T y X domingo, ¿en cuál de los siguientes días podrá c) W , U , V , Y , T , Z y X realizar la tarea "X"? d) W , U , V , Y , T , Z y X e) W , U , Y , V , Z , T y X I. Lunes II. Martes III. Miércoles 2. ¿Cuál de las siguientes actividades puede Lucrecia dejar para el final? a) Solo I b) Solo II c) Solo III d) I y II e) Ninguno a) T b) Z c) Y 18:10:45 d) V e) U

Practica enbásicos casa Conceptos 1. Interpretar:

• Óscar no es más alto que Benedicta. • Ximena no es más baja que Fátima

2. Dada la siguiente gráfica, responder:



•

Fernando



•

Humberto



•

Rolando

Javier Eduardo Elio



•

Humberto vive adyacente a ............... y ....................



•

Eduardo vive tres pisos abajo de: .............

Colegios

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TRILCE

3. Datos: "A", "B", "C", "D", "E", "F" y "G" son personas sentadas en una banca de siete asientos. "A" está a la izquierda de "B" y "D", pero a la derecha de "C" y "E" y "F" está a la derecha de "E". Luego, indica si es verdadero (V), falso (F) o indefinida (?) cada una de las siguientes proposiciones: A lo más hay cuatro personas a la derecha de "A". .............................................( ) Como máximo hay cuatro personas entre "C" y "D". ........................................( ) Hay dos personas a la derecha de "G". ( )

Enunciado Tres nigerianos (Nemo , Ono y Papuo) y tres cubanos (Karlo, Lino y Menco) participaron en una carrera. No hubo empates, y se sabe lo siguiente:  Papou llegó tres puestos antes que Karlo.  Nemo y Papuo llegaron en puestos consecutivos.  Un nigeriano no fue el ganador.  Ninguno de los cubanos llega en puestos consecutivos.

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Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático Compendio de Ciencias - I BIM

2° Año de secundaria

4. ¿Quién llegó en quinto lugar? 5. De las siguientes afirmaciones podemos afirmar con certeza:

•

Menco llegó antes que Nemo ............ ( )

•

Karlo no llegó último ......................... ( )



•

Nemo llegó antes que Papuo ............. ( )



•

Papuo llegó antes que Menco ............ ( )

6. A lo largo de una fila se van a colocar a cuatro peruanos ("A", "B", "C" y "D") y a tres colombianos ("E", "F" y "G") teniendo en cuenta las siguientes condiciones: • La persona que ocupe el primer lugar será un peruano. • No puede haber dos colombianos que estén juntos. • Las posiciones de "A" y "B" son consecutivas (no necesariamente en ese orden) • "E" está adyacente a "A" y "C". • "F" no está junto a "C".

¿ Quién ocupa la posición 5, si "B" quedó en la posición 3?

7. A lo largo de una fila se colocan seis fichas numeradas del 1 al 6. Se sabe que: • La ficha con el número 1 está junto a dos fichas con un número par, la menor a su derecha y la mayor a su izquierda. • La ficha 6 se encuentra junto y a la izquierda de la ficha 3. • Las fichas 2 y 5 se encuentran a los extremos. Contando a partir del extremo derecho, ¿cuál es la suma de las fichas que ocupan las posiciones 3 y 5? 8. En un edificio de tres pisos hay dos departamentos por piso donde viven Sandra, Karen, Daniel, Michael, Rolando y Luciana. Se sabe además que: • Michael vive más arriba que Luciana. • Para ir del departamento de Sandra al de Rolando, hay que subir dos pisos. • En el segundo piso viven dos chicas.

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¿Quiénes viven en el primer piso?

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Enunciado Sobre la ubicación de cinco cerros se sabe que: • El Humus está a la derecha del Maine. • El Yala está adyacente al cerro Rojo. • El Pastoruri está junto y a la izquierda del Humus. • El Yala está al extremo izquierdo

2

9. De izquierda a derecha, ¿quién ocupa el tercer lugar? 10. De derecha a izquierda, ¿quién ocupa el cuarto lugar? Enunciado Sobre el precio de seis frutas se sabe que: • Una naranja cuesta más que una manzana pero menos que un mango. • Una pera cuesta más que una naranja pero menos que una chirimoya. • Un plátano cuesta menos que una manzana. 11. ¿Cuál es la fruta que cuesta más barato? Enunciado Cinco autos de color diferente: rojo, azul, blanco, amarillo y verde, están ubicados en una fila horizontal, uno al lado del otro. Ni el auto blanco ni el auto azul está al lado del rojo. El auto azul está entre el verde y el blanco. Entre el auto amarillo y el rojo hay exactamente tres autos. 12. ¿Cuántos ordenamientos de los autos son posibles? 13. ¿Qué color tiene el auto que se encuentra en la posición central? 14. ¿Cuál de los siguientes son los autos que están en los extremos? • El rojo y el azul .................................( ) • El rojo y el verde ...............................( ) • El blanco y el verde ...........................( ) • El blanco y el rojo .............................( ) • El rojo y el amarillo ...........................( ) 15. Es verdad que: I.

El auto blanco está más lejos del rojo que del verde II. El auto rojo es el que está más a la derecha. III. A la derecha del auto verde hay dos autos

Unidad II

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2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM Orden de información II

CAPÍTULO

8 orden de Información II En este capítulo aprenderemos a: • •

Ordenar elementos en forma circular. Ubicar a otros elementos respecto al ordenamiento.

Ordenamiento circular

Fuente:http://www.aapa-ports.org

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Orden de información II 2° Año de secundaria

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Síntesis teórica

10 x 5 50

Aplica lo comprendido Conceptos básicos • Alrededor de una mesa hexagonal hay seis amigos sentados, sabemos que:



• Alrededor de una mesa circular hay seis sillas distribuidas simétricamente (dos de ellas vacías) y se sabe que:

 Juan está frente a José.  Luis está junto a Juan.  Rubén está junto y a la derecha de José y frente a Ricardo.  Víctor es amigo de colegio de Luis. Responder:

1. Víctor está sentado frente a : .......................... 2. A la derecha de Víctor se ubican: ...................



 Betty está frente a Nancy.  Patty está junto a una silla vacía.  Marcela está junto y a la izquierda de una silla vacía.  Nancy está a la derecha de Patty pero no junto a ella. Responder:

4. Frente a Marcela está: ....................................

3. Víctor está ubicado entre ................... y 5. Patty se ubica a ........................ asientos a la ................. . izquierda de .....................

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TRILCE

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Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático 2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

3

sociAprende sáb sotpemás... cnoC 1. Dado el siguiente esquema:

4. Cuatro amigas: Meda, Paola, Inés y Rada se sientan alrededor de una mesa circular que tiene cinco sillas, sabiendo que: • Junto a Paola e Inés hay un asiento vacío. • Rada no se sienta junto a Inés.

C E

H



B

A



F

G

D



Responder: • ¿Quién o quiénes están frente a "F"? • ¿Quién está diametralmente opuesto a "A"? • ¿Quién o quiénes están a la derecha de "H"?

2. Relacionar:

Fer

Rolo Paco

Bartolo

Javicho

Coqui



I. II. III.

Frente a Rolo Junto y a la derecha de Bartolo A la izquierda de Paco





I ( )



II ( )

(A) Fer (B) Rolo y Fer (C) Coqui (D) Rolo

III ( )

3. Indicar con (V) si es verdadero o (F) si es falso; según corresponda y explique:

• Seis amigos: "A", "B", "C", "D", "E" y "F" se sientan alrededor de una mesa circular con seis asientos distribuidos simétricamente. Si se sabe que:  "A" se sienta junto y a la derecha de "B" y diametralmente opuesto a "C"  "D" no se sienta junto a "B"  "E" no se sienta junto a "C" PROPOSICIÓN

A la derecha de "C" se ubican "C" y "D" Junto y a la derecha de "F" se ubica "E".

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V/F

¿POR QUÉ?

Son verdaderas: I. Paola se sienta junto a Meda. II. Inés se sienta junto a Meda. III. Meda se sienta junto a Rada.

5. Alrededor de una mesa circular con seis asientos distribuidos simétricamente se sientan cinco amigos: Rommel, Alex, Luis, Enrique y José, se sabe que:  José se sienta frente a Rommel, y este se sienta a la izquierda del lugar vacío.  Alex no se sienta al lado de José, pero sí al frente de Luis. ¿Entre quiénes se sienta Enrique? 6. Cuatro amigos se sientan alrededor de una mesa circular donde hay cinco sillas simétricamente separadas. Sabemos que:  Marco no está junto a Luis.  Vanessa no está junto a Patty.  A la derecha y junto a Patty hay una silla vacía.  Marco no está junto a Patty.

Indicar (V) si es verdadero o (F) si es falso



• • • • •

Marco está a la derecha de Vanessa .... ( ) Marco está a la izquierda de Luis ........ ( ) Vanessa está a la derecha de Patty ...... ( ) Luis está a la izquierda de Patty .......... ( ) Patty está al frente de Marco ............... ( )

Enunciado • Cierto día del mes de junio, para ser exacto un 21, se juntaron por el cumpleaños de Polo cinco grandes amigos en el restaurante "XIFER" cuya especialidad es la comida norteña. Los cinco grandes amigos se ubicaron en una mesa circular con seis asientos distribuidos simétricamente de la siguiente manera:  Polo se sienta junto y a la derecha de Juan.  Hugo se sienta a dos asientos y a la derecha de Juan.  Martín se sienta frente a Polo.  Italo y Hugo no se sientan juntos.

Responder:

7. ¿Quién se sentó frente al asiento vacío? 8. ¿Quiénes se ubicaron a la derecha de Italo?

Unidad II 51

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Orden de información II 2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Enunciado En una mesa con seis asientos distribuidos simétricamente se van a sentar cuatro personas y se sabe que:  Roberto estará junto a los asientos vacíos.  Manuel no estará frente a un asiento vacío.  Alonso y Diego son hinchas de la "U". 9. ¿Cuántos ordenamientos diferentes son posibles? 10. Según la pregunta anterior, ¿cuáles de las siguientes afirmaciones son ciertas?

I. Alonso se sienta frente a un lugar vacío. II. Diego no está sentado junto a Alonso. III. Manuel está sentado a la derecha de Diego.

Enunciado En las esquinas de una mesa cuadrada se sientan cuatro personas y se sabe que:  El ingeniero se sienta junto y a la derecha de Sandro.  Roberto se sienta frente al arquitecto.  Sandro y el arquitecto son amigos del profesor.  El contador se sienta frente a Eduardo.  Rubén es fanático de la salsa.

 Cuatro de ellos llevan puestos polos rojos, dos llevan puestos polos blancos y los dos últimos están con polo azules.  Los que usan polo rojo no se sientan juntos.  Cada uno de los que usa polo azul se sienta frente a uno que lleva un polo blanco.  "B" se sienta a la derecha de "A" y "C", pero frente a "E".  "D" no se sienta junto a "C" ni a "E".  "F" se sienta frente a "D" y a la derecha de "B". 13. Es posible que los cuatro que lleven polo rojo sean:

a) A, B, E y F c) C, D, E y G e) A, C, E y G

b) A, B, E y G d) C, D, F y B

14. Si "A" usa polo rojo y "H" está a la derecha de "G", es imposible que:

I. "G" use polo rojo. II. "F" use polo blanco. III. "D" use polo azul. a) Solo I d) Todas

b) I y II e) Ninguna

c) I y III

11. ¿Quién es el arquitecto?

15. Para determinar en qué orden están sentados alrededor de la mesa, basta saber que:

12. Según el enuciado anterior, el contador y Rubén son amigos de: ...........................



Enunciado "A", "B", "C", "D", "E", "F", "G" y "H" se sientan alrededor de una mesa circular con ocho asientos distribuidos simétricamente. Se sabe lo siguiente:

I. "D" usa polo azul. II. "H" usa polo blanco. a) b) c) d)

El dato I es suficiente y el dato II no lo es. El dato II es suficiente y el dato I no lo es. Es necesario utilizar I y II conjuntamente. Cada uno de los datos, por separado, es suficiente. e) Se necesitan más datos.

socisáb¡Tú sotpuedes! pecnoC Seis amigos: Gianella, Hilda, Israel, Joel, Kenzo y Lorenzo, se sientan alrededor de una mesa circular con ocho asientos distribuidos simétricamente. Se sabe lo siguiente: • Gianella se sienta junto y a la derecha de Hilda. • Isabel se sienta frente a Gianella. • Joel no se sienta junto a Hilda ni a Isabel. • Kenzo no se sienta junto a Isabel ni a Lorenzo. 1. Es verdad que: I. Joel se sienta junto a Gianella. II. Hilda no se sienta junto a Isabel. III. Isabel se sienta junto al menos a un lugar vacío. a)

Colegios

62

52

I y II

TRILCE

b) Solo II

c)

Solo III

d) II y III

e)

Ninguna

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Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático 2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

2.

Es posible que: I. Joel se siente junto a Lorenzo. II. Kenzo se siente junto a Joel. III. Lorenzo se siente junto a Isabel. a)

I y II

b) II y III

c)

Solo III

d) I y III

e)

3

I, II, III

3. Si Lorenzo se sienta frente a un lugar vacío, ¿cuántos posibles ordenamientos hay? a)

1

b) 2

c)

3

d) 4

e)

5

e)

Ninguna

4. Si Isabel se sienta adyacente a los dos lugares vacíos, entonces es cierto que: I. Hay cuatro ordenamientos posibles. II. Kenzo se sienta frente a Lorenzo. III. Lorenzo se sienta junto a un lugar vacío. a)

Solo I

b) Solo II

c)

Solo III

d) I y II

5. Para determinar las posiciones en las que se sientan los amigos, basta saber que: I. Kenzo se sienta frente a Joel. II. Kenzo se sienta junto a Hilda. a) b) c) d) e)

El dato I es suficiente y el dato II no lo es El dato II es suficiente y el dato I no lo es. Es necesario utilizar I y II conjuntamente. Cada uno de los datos, por separado, es suficiente. Se necesitan más datos.

18:10:45

Practica enbásicos casa Conceptos 1. Indicar con (V) si es verdadero o (F) si es falso; según corresponda y explique: •

Seis amigos están sentados alrededor de una mesa circular. Si se sabe que Luis no está sentado al lado de Enrique ni de José. Fernando no está al lado de Gustavo ni de José. Enrique no está al lado de Gustavo ni de Fernando, y Pedro está sentado junto a Enrique, a su derecha; entonces: Proposición

V/F Justificación

• Alrededor de una mesa circular hay cuatro asientos distribuidos simétricamente. Se sabe además que:  El abogado está frente a Lucho.  El arquitecto se sienta junto y a la izquierda de Mariano.  El ingeniero se sienta frente al arquitecto.  El médico es amigo de Max y del arquitecto.  Aldo tiene puesto un pantalón verde. 2. ¿Quién es el arquitecto?

José no está sentado a la izquierda de Enrique. Pedro y Fernando se ubican a la izquierda de Enrique.

Central: 619-8100

3. Frente a Max se sienta: 4. ¿Quién es amigo del ingeniero y de Aldo? 5. ¿Cuántos ordenamientos se pueden realizar?

Unidad II 53

63

Orden de información II 2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Enunciado 10. Si Franco se sienta a la derecha de Blanca, entonces es cierto que: Alrededor de una mesa circular se sientan cuatro mujeres: "A", "B", "C" y "D" y cuatro hombres: a) Guido se sienta al frente de Ana "M", "N", "P" y "Q". Los ocho asientos que se b) Blanca se sienta junto a Guido. ubican alrededor de la mesa están distribuidos c) Ana está a la izquierda de Blanca. simétricamente. Se sabe además que: d) Ana está a la derecha de Franco. e) Guido está sentado junto a Diana. • No hay dos hombres que se sienten juntos. • •

"A", "Q" y "C" están a la derecha de "M". "B" y "D" están a la derecha de "P".

6. ¿Cuántos ordenamientos diferentes son posibles? 7. Frente a "Q", ¿quién se encuentra? Enunciado Ocho amigos: Anaís, Blanca, Diana, Helga, Carlos, Ever, Franco y Guido, se sientan alrededor de una mesa circular cuyos ocho asientos se encuentran distribuidos simétricamente. Se sabe lo siguiente:

 Anaís se sienta adyacente a Franco y Ever.  Diana no se sienta junto a Blanca.  Carlos se sienta al frente de Franco.  Helga se sienta al frente de Blanca.  Guido no se sienta junto a Carlos.

8. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas?

I. Anaís se sienta frenta a Diana. II. Ever se sienta frente a Guido. III. Diana se sienta adyacente a Carlos y Guido.

11. Si Helga se sienta a la izquierda de Ana, entonces es cierto que:

12. Si Helga se sienta al lado de Carlos y Ever, ¿cuántos ordenamientos posibles hay? Enunciado Seis personas se sientan alrededor de una mesa circular con ocho asientos distribuidos simétricamente, teniendo en cuenta las siguientes condiciones:  Mariana se sienta adyacente a Javier y Alonso (Alonso a su izquierda)  Beto se sienta frente a Tito.  Carolina está sentada junto a solo un asiento vacío. 13. ¿Cuántos ordenamientos diferentes son posibles? 14. Sobre Carolina podemos afirmar que:

9. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas? I.



Al menos un hombre se sienta frente a una mujer. II. Diana se sienta junto a Blanca. III. No hay dos mujeres que se sienten juntas.

Colegios

64

TRILCE

a) Se sienta junto a Beto. b) Se sienta junto a Tito. c) Se sienta frente a Javier. d) No está frente a Mariana. e) Se sienta a la izquierda de Alonso.

15. Sobre los asientos vacíos podemos afirmar que:



54

a) Blanca está a la izquierda de Franco. b) Blanca está a la derecha de Franco. c) Guido está junto a Blanca. d) Diana está frente a Ever. e) Guido está junto a Helga.

a) Están juntos. b) Están separados por una persona. c) Se encuentran uno frente al otro. d) Uno de ellos está junto a Beto. e) Uno de ellos está junto a Tito.

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Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático 2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Repaso II

CAPÍTULO

4

9

... y ahora vamos a repasar los temas estudiados anteriormente

. Relaciones de parentesco y tiempo. Pensamiento lateral Orden de información I y II

http://www.emezeta.com/articulos/acertijos-de-pensamiento-lateral

• • •

Central: 619-8100

Unidad II 55

65

Repaso II 2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Conceptos básicos Aprende más... 1. ¿Qué parentesco tiene conmigo la hija de la 8. Si se sabe que Manuel es mayor que Sara y que esposa del único vástago de mi hija? Arturo, pero este último es mayor que Vanessa y que Sara, ¿cuál de las siguientes afirmaciones a) Hija b) Nieta c) Sobrina no es verdadera? d) Nuera e) Bisnieta a) Sara es menor que Arturo b) Vanessa es menor que Arturo 2. ¿Qué parentesco tiene la hija de mi hermana, c) Manuel es menor que Arturo con el hermano del hijo de mi hija? d) Sara es menor que Manuel e) Vanessa es menor que Manuel a) Tía - sobrino b) Abuela - nieto c) Sobrina - Tío d) Hija - padre 9. Cuatro hermanos viven en un edificio de e) Madre - hijo cuatro pisos. Fidel vive en el primer piso, Antonio vive más abajo que Manuel, y Freddy 3. Yo tengo un hermano únicamente. ¿Quién es el otro hijo del padre del tío del hijo de la vive un piso más arriba que Antonio. ¿En qué mujer del hijo de mi padre, que sin embargo, piso vive Freddy? no es mi hermano? a) 1º b) 2º c) 3º a) Mi padre b) Mi tío c) Yo d) 4º e) Ninguno d) MI hijo e) Mi nieto 4. Construyendo tu árbol genealógico, ¿cuántos bisabuelos tuvieron tus bisabuelos? a) 32 d) 1024

b) 64 e) 16

c) 256

5. Siendo martes el mañana de ayer, ¿qué día será el pasado mañana de ayer?

a) Miércoles d) Domingo

b) Jueves e) Martes

a) Sábado d) Lunes

 "E" vive adyacente a "C" y "B".  Para ir de la casa de "E" a la de "F" hay que bajar tres pisos.  "A" vive en el segundo piso.

¿Quién vive en el último piso?



a) B d) E

c) Sábado

6. Si el día de ayer fuese igual al de mañana, faltarían dos días para ser domingo. ¿Qué día es hoy?

10. Se tiene un edificio de seis pisos, en el cual viven seis personas: "A", "B", "C", "D", "E" y "F", cada una en un piso diferente. Si se sabe que:

b) Miércoles c) Martes e) Jueves

 Dos personas del mismo sexo no se sientan juntas.  Rafael se sienta en el extremo derecho.  Francisco y Úrsula se sientan a la izquierda de los demás.

 "D" se realizó antes de la "B"  "C" se realiza dos días después de "A"  "D" se realiza jueves o viernes ¿Qué actividad se realiza el martes?





a) E d) A



Colegios

66

56

¿Cuál de las afirmaciones es correcta?



TRILCE

c) B

c) D

11. Seis amigos: Francisco, Rafael, Luis, Úrsula, Carolina y Ana van al cine y se sientan en una fila de seis asientos contiguos vacíos. Si sabe que:

7. Se deben realizar cinco actividades: "A", "B", "C", "D" y "E", una por día, desde el lunes hasta el viernes, se sabe que:

b) D e) C

b) C e) F

a) Ana se sienta junto a Rafael. b) Carolina se sienta junto a Luis. c) Carolina se sienta junto a Rafael. d) Francisco se sienta junto a Ana. e) Ninguna.

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Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático 2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

12. Seis amigos se ubican alrededor de una fogata. 14. Seis personas juegan al póquer alrededor de una mesa redonda: Lito no está sentado al lado Toño no está sentado al lado de Nino ni de de Elena ni de Juana, Félix no está al lado de Pepe; Félix no está al lado de Raúl ni de Pepe. Gino ni de Juana, Pedro está junto a Elena a su Nino no está al lado de Raúl ni de Félix, Daniel derecha. ¿Quién está sentado a la derecha de está junto a Nino, a su derecha. Pablo? ¿Quién está sentado a la izquierda de Félix? a) Toño d) Nino

b) Pepe e) Daniel

c) Raúl

13. Cuatro amigos: José, Juan, Carla y Karen, se sientan alrededor de una mesa circular con seis asientos distribuidos simétricamente. Si se sabe que:  Entre dos personas del mismo sexo hay un asiento vacío adyacente a ellas.  Karen se sienta junto a José.

Podemos afirmar que:



I. Carla se sienta junto a Juan. II. José se sienta frente a Carla. III. Karen se sienta frente a Juan. a) I d) II y III

b) II e) Ninguno

c) I y II

18:10:45



a) Félix d) Juana

b) Lito e) Gino

4

c) Elena

15. Alicia, Beatriz, Carmen, Diana, Emilia y Fabiola se sientan sobre seis sillas simétricamente distribuidas alrededor de una mesa circular. Si se sabe que:

• Alicia no se sienta frente a Beatriz. • Diana está frente a Emilia. • Carmen está junto y a la siniestra de Alicia.



Podemos afirmar que:



I. Carmen se sienta frente a Beatriz. II. Alicia se sienta junto a Diana. III. Fabiola se sienta frente a Alicia. a) I y II d) Todas

b) I y III e) Ninguna

c) II y III

soPractica cisáb soten peccasa noC 1. Una familia consta de dos padres, dos madres, cuatro hijos, dos hermanos, una hermana, un abuelo, una abuela, dos nietos, una nieta, dos esposos, una nuera. ¿Cuántas personas como mínimo conforman dicha familia?

6. Sabiendo que: Dora tiene más dinero que Sandra pero menos que Ana, quien a su vez tiene lo mismo que Betty, quien tiene menos que María. Si Rocío no tiene más que Ana, podemos afirmar: I. María tiene más que Dora. II. Sandra tiene menos que Betty. III. Sandra es la que tiene menos.

2. ¿Qué parentesco tengo con la madre del nieto de mi padre, si soy hijo único? 7. En una carrera intervienen siete participantes. Los jueces determinan que no puede haber empates. Sabiendo que: 3. Los esposos Ramírez tienen cuatro hijos  "L" llegó un puesto detrás de "M" varones. Cada hijo tiene una hermana y  "N" llegó dos puestos detrás de "K" cada hermano tiene tres sobrinos. ¿Cuál es el  "P" llegó cinco puestos detrás de "M" número mínimo de personas que conforman  "Q" llegó un puesto detrás de "P" esta familia? Luego "R" llegó: 4. El hermano de Carla tiene un hermano más que hermanas. ¿Cuántos hermanos más que hermanas tiene Carla?

8. En cada vértice de una mesa cuadrada se sienta una persona. Si se sabe que: • Chana está frente a Juana. • Giuliana no está a la derecha de Chana ni al costado de Mariana. 5. Si el anteayer de mañana es lunes, ¿qué día de ¿Quién está a la izquierda de Mariana? la semana será el mañana de anteayer?

Central: 619-8100

Unidad II 57

67

Repaso II 2° Año de secundaria

9. Cinco autos numerados del 1 al 5 participan en una carrera. Si se sabe que:  El auto 1 llegó en tercer lugar.  La diferencia en la numeración de los dos últimos autos en llegar fue igual a dos.  La numeración del auto no coincidió con su orden de llegada.



Podemos afirmar: I. No es cierto que el auto 2 llegó en último lugar. II. El auto 3 ganó la carrera. III. El auto 4 llegó después del auto 2.

Compendio de Ciencias - I BIM

12. En cada lado de una mesa triangular se sientan dos personas siendo tres hombres ("X", "Y", "Z") y tres mujeres ("A", "B", "C") y además se sabe que:  Dos personas del mismo sexo no pueden sentarse juntas.  "X" está entre "A" y "B".  "Z" no está al costado de "B"

¿Quién está a la derecha de "Y"?

13. En una mesa circular se sientan tres parejas distribuidas simétricamente. Se sabe que:

10. Las notas en un pentagrama están dispuestas de la siguiente manera:

 Cada varón está frente a su novia.  Andrés está entre María y Sonia.  Roberto está frente a Sonia y al costado de Esther.  Juan es el otro chico.

 La semifusa se encuentra dos líneas debajo de la corchea.  La fusa se encuentra dos líneas debajo de la blanca.  La corchea se encuentra una línea abajo de la fusa. 14.  La blanca se encuentra una línea arriba de la semicorchea.

Alrededor de una mesa circular hay cuatro asientos simétricamente distribuidas y tres personas una por asiento, si se sabe que:

Representa el orden relativo de abajo hacia arriba.

 Manuel está al costado del asiento vacío.  José no está frente al asiento vacío.

¿Quién es la novia de Juan y de Andrés?

11. Cinco automóviles: "P", "Q", "R", "S" y "T" ¿Entre quiénes se sienta Ana? son comparados de acuerdo a su costo y a su tiempo de fabricación. Si: 15. Alrededor de una mesa rectangular, se sientan seis personas, dos en los lados más grandes y • "P" es menos caro que "R" y menos moderno uno en los más cortos. Se sabe que: que "Q".  "A" está al costado de "C" y a la izquierda • "Q" es más caro que "P" y más moderno de "D". que "S".  "D" no está al costado de "B" ni de "F". • "R" es más caro que "T" y más moderno que  "E" está frente "F" y "D". "S". • "S" es menos caro que "P" y más moderno Indica el orden comenzando por "B" y que "T". siguiendo el sentido horario. • "T" es más caro que "Q" y más moderno que "P".

¿Cuál(es) de los siguientes autos es más caro que "P" y más moderno que "T"?

Colegios

68

58

TRILCE

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TEMARIO • Números fraccionarios • Operaciones con fracciones • Aplicación de fracciones (Parte I) • Aplicación de fracciones (Parte II) • Complemento • Expresiones decimales: Fracción generatriz • Operaciones con números decimales • Ejercicios de texto con números decimales • Repaso.

Números fraccionarios

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Números fraccionarios CAPÍTULO

En este capítulo aprenderemos: •

1

1

A establecer relaciones de orden entre fracciones.

El Ojo de Horus

D

e acuerdo a la mitología egipcia el dios Horus, era hijo de Osiris y de la diosa solar Isis, se dice que Horus había perdido su ojo en una batalla contra Set.

Asimismo los egipcios también utilizaban otras subunidades del Ojo de Horus, para expresar las fracciones 1 1 1 1 1 1 ; ; ; ; . y 2 4 8 16 32 64 Estas fracciones estaban representadas como una parte del “Ojo de Horus”.

1 2

1 4

1 8

1 16

1 32

1 64

Como anécdota, la suma de estas fracciones no da la totalidad, es decir 1, sino que le falta una pequeña parte, la fracción que falta era considerada como la parte que perdió Horus en su lucha contra Set. • ¿Qué parte del “Ojo” perdió “Horus”?

central: 619-8100

UNIDAD 1 61

5

Números fraccionarios

2° Año de secundaria 10 x 5 50

Compendio de Ciencias - I BIM

1

Aplica lo comprendido 1. Complete:

4. Buscando fracciones equivalentes, complete:

=

;

36

60

•

36

60

=

2. Represente la fracción en número mixto 48 = 7

•

5

45

21

5. Complete con “” o “=”

59 = 12

3. Represente el número mixto en fracción: 3 • 2 = ––––– 5

30

9

7 • 4 = ––––– 8

12 7

12 11

9 14

11 14

12 5

20 5

Aprende más 1. ¿Cuántas fracciones propias reductibles tienen como denominador a 24? 2. Reducir la fracción 60/84 hasta encontrar una fracción equivalente e irreductible. Halla la suma de sus términos 3. Ordene las siguientes fracciones: 7 3 5 1 a = ;b= ; c = ;d= 12 4 12 3 en forma ascendente. 4. Determina una fracción equivalente a 3/8 de modo que la suma de sus términos es 132. ¿Cuál es la suma de cifras de su denominador? 5. Ordena de mayor a menor las siguientes fracciones. 2 3 5 3 a) ; ; ; 5 10 20 15

62

b)

3 4 12 ; ; 5 7 70

c)

2 3 3 7 ; ; ; 4 9 12 8

central: 619-8100

6. Simplifica estas fracciones hasta obtener fracciones irreductibles. 12 24 a) = b) = 18 64 c)

120 = 600

d)

48 = 240

7. ¿Cuántas fracciones propias e irreductibles tienen como denominador a 36? 8. Determina una fracción equivalente a 36/60 de modo que la suma de sus términos sea 56. Dar como respuesta la suma de cifras del denominador. 9. ¿Cuántas fracciones con denominador 12 son mayores que 1/3 pero menores que 3/4? 10. Dada la fracción 11/15, si le agregamos 13 a su numerador y denominador y luego simplificamos hasta obtener la fracción equivalente irreductible, entonces de las proposiciones: I. Los términos son consecutivos II. Es equivalente a 11/15 III. La suma de sus términos es 13 Las verdaderas son: a) solo I b) solo II c) solo III d) I y II e) I y III UNIDAD 1

9

Aritmética

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

11. Si a los dos términos de una fracción reducida a simple expresión, se le suma el doble del denominador y al resultado se le resta la fracción resulta la misma fracción. ¿Cuál es la fracción original?

13. Indica la verdad o falsedad de estas proposiciones: •

Existen infinitas fracciones entre 1/3 y 1/2.

•

Todo número mixto es equivalente a una fracción impropia

12. Calcular la fracción equivalente a 123/287, de modo que la suma de sus términos es 40. Dar como respuesta la suma de las cifras del numerador. aplicación cotidiana Clavos de carpintería En una ferretería se muestra el siguiente aviso: Como se observa, se refiere a la medida en pulgadas de los clavos para carpintería.

1” 1 1/ 4”

14. La medida de los clavos de mayor tamaño es:

1 1/ 2” 1 3/ 4” 2” 21/ 4” 2 1/ 2”

15. Si el grosor del tablero de una mesa es 12/7 pulgadas, ¿qué medidas puede escoger el carpintero, si el clavo debe atravesar el grosor de la mesa?

¡Tú puedes! 1. ¿Cuántas fracciones propias e irreductibles tienen como denominador a 120? a) 40

b) 48

c) 60

d) 36

e) 32

2. Determina la fracción equivalente a 376/705, cuya suma de sus términos es 46. Dar como respuesta la suma de cifras del denominador. a) 7 3. Si:

b) 3

c) 12

d) 9

e) 6

c) 2

d) 1

e) 3

ab 3 es equivalente a , hallar: b – a. 11 bb

a) 4

b) 5

4. Hallar la fracción propia e irreductible producto de términos a 840. 7 4 b) a) 9 5

m 1 1 , sabiendo que la fracción equivalente a tiene como + n m n c)

3 10

d)

3 7

e)

4 7

5. Hallar una fracción que no cambia su valor al sumar 5 unidades a su numerador y 9 unidades a su denominador. 15 15 15 16 13 b) c) d) e) a) 29 28 27 27 27

10

Colegios

TRILCE

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63

Números fraccionarios

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

18:10:45

1

Practica en casa 1. ¿Cuántas fracciones propias e irreductibles tienen como denominador al 12?

10. ¿Cuántas fracciones propias e irreductibles tienen como denominador a 15?

2. El numerador de una fracción decimal propia es 425. Si esta fracción debe ser la mayor posible, ¿cuál es la diferencia de sus términos?

11. Calcular la fracción equivalente a 188/329, de modo que la suma de sus términos es 44. Dar como respuesta la suma de cifras del numerador

3. Reducir la fracción 16/28 hasta encontrar una fracción equivalente e irreductible. Halla la suma de sus términos

Enunciado

4. Determina una fracción equivalente a 3/5 de modo que la suma de sus términos es 136. ¿Cuál es la suma de cifras de su denominador? 5. Simplifica estas fracciones hasta obtener fracciones irreductibles. 120 48 180 180 64 600 6. ¿Cuántas fracciones con denominador 18 son mayores que 1/3 pero menores que 5/6? 7. ¿Cuántas fracciones propias e irreductibles tienen como denominador a 18? 8. Determina una fracción equivalente a 36/84 de modo que la suma de sus términos sea 60. Dar como respuesta la suma de cifras del denominador. 9. Ordena las fracciones: 9 11 5 7 a = ; b= ; c= y d= 15 12 6 60

El desfile por Fiestas patrias se dará inicio a 11/12 del mes de julio. 12. ¿Qué día será dicho desfile? 13. ¿A qué hora se dará inicio el desfile? aplicación cotidiana Ya en el siglo XX, el 21 de mayo de 1904 se funda la Federación Internacional del Fútbol Asociado (FIFA) y por primera vez se establecen reglas mundiales, algunas de ellas son: Periodos de juego: El partido durará dos tiempos iguales de 3/4 de hora cada uno. Intervalo del medio tiempo: Los jugadores tienen derecho a un descanso en el medio tiempo. El descanso del medio tiempo no deberá exceder de 1/4 de hora. 14. ¿Cuánto tiempo en horas dura un partido de fútbol considerando el descanso de 1/9 de hora? 15. si el descanso es de 1/9 de hora, ¿qué fracción de todo el juego es el descanso?

en forma ascendente.

64

central: 619-8100

UNIDAD 1

11

2

Aritmética

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

operaciones con fracciones CAPÍTULO

En este capítulo aprenderemos: •

2

A resolver las operaciones básicas con las fracciones

El Chou pei suan ching

L

as civilizaciones de China y de la India son más antiguas que las de Grecia y Roma, por ello Chou pei suan Ching, se considera como el más antiguo de los clásicos de contenido matemático. Algunos historiadores consideran el Chou Pei como un buen ejemplo de lo que era la matemática china del 1200 a.C. aproximadamente. El libro está escrito en forma de diálogo entre un príncipe y su ministro sobre el calendario; el ministro explica a su soberano que el arte de los números deriva del círculo y del cuadrado, de los que el cuadrado pertenece a la tierra y el círculo a los cielos. Las palabras “Chou pei” parecen referirse al estudio de las órbitas circulares en los cielos.

Los chinos en este compendio explican bien las operaciones con fracciones ordinarias, hasta el punto de que en este contexto hallaban el mínimo común denominador de varias fracciones. Al igual que hacían en otras materias, también aquí establecían analogías, refiriéndose al numerador como “el hijo” y al denominador como “la madre”; el énfasis generalizado en toda la cultura china sobre los principios del yin y el yang hacía más fácil seguir las reglas para manipular fracciones.

Saberes previos Completa con letras:

2/3; 5/4; 7/9; 3/7

Único primo par COlEgIO El MCM de TRIlCE 6; 4 y 3 Enero, Agosto ... De 12; 18 y 30 el 6 es

Vocales

12 y 25 son ... entre sí

Representa la unión

El MCM de 12; 15 y 20 Uno en el dado

2/9; 4/9; 5/9; 7/9 1/2 El MCD de 12; 18 y 36 Azufre y carbono “0 c) x

80 n + 16 n 20 n + 4 n b) 2 e) 5

c) 3

24

8

b) x 32 e) x

7. Efectuar: 6 x5 . a) x 35 d) x

c) 4

x@

20 c2

15. Simplificar: 2n

Calcular: m+n

a m . b- n ; a ! 0 a- n . b m

b) 3 e) 1/2

a) 2 2 d) x

a16 .b64 ; se obtiene a .b

5. Al efectuar:

14. Efectuar:

c) b a

b) a/b e) b

13. Reducir: L = x

b) 21 x e) 21

b.

b) a b e) b

12. Efectuar: m + n c) 8

b

aa ; ab ! 0 b a. a b b

2

b) 4 e) 16

2

9

a

c) x

16

c) x

30

12 x . 3 x@ 25

b) x 24 e) x

8. Hallar el exponente de "x" luego de efectuar: 3 x x a) 1/2 d) 3/4

b) 3/2 e) 5/2

c) 5/4

9. Efectuar: A = 9 2. 4 32 a) 2

b)

d) 3 2

e) 6 2

2

c) 4 2

3 5 10. Efectuar: A = 5 2 . 4 2 . 3 16

a) 2 d) 1 www.trilce.edu.pe

b) 4 e) 16

c) 8

Segundo año de secundaria 101

17

3

Capítulo

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Practica en casa 9. Efectuar: L =

1. Reducir: 3 a . 3 a . .... . 3 a 1 4444 2 4444 3 90 factores

2. Reducir: 3 2

3. 3. 3

2

2

3

3 16 2 4 9

11. Reducir: L = 2y

x

a36 .b324 ; se obtiene a .b

6. Efectuar: (5 x2 . 3 5 x ) 45 x .4 4 x .

y

13. Reducir: a

y.

x. x y y

-2 1

8. Hallar el exponente de "x" luego de efectuar: 4 3 x x

xx

1 + 2a + b 1 + 2a

14. Calcular: 16- 4

x ) 32

y

15. Reducir: M=

n

; xy ! 0

ax .b- 2y ; a ! 0 b ! 0 a- 2y .bx

12. Efectuar: x + 2y

Calcular: x y2 7. Efectuar: (4

4

2x

4. Efectuar: n 3 n - 2 . n (3 n - 1) 2 . n 34 - 3n 5. Al efectuar:

3. 310

10. Efectuar: L =

2a + 3a 2- a + 3- a

3. Reducir: L = a

3

1 + 5b 1 + 5- b -2 1

+ 25- 4

64 n + 162n 8 n + 32 n

Tú puedes 1. Reducir: a) 4 d) 3

0 3 4 1 -1 ;(− 2) + (− 2) + (− 3 ) + 4 3 E

b) 2 e) 1 -2 1

-4 2. Calcular: E = ` 1 j 36

a) 6 d) 12

c) 0

4. Calcule el valor de "M": 3 M = = 8 . 18 − 3500 − 5 − 1G 4

a) 1 d) 4 53

b) 2 e) 5

c) 3

57

+ 20 + 31

b) 8 e) 20

1/3

c) 10

5. Halle el exponente final de "x" luego de reducir la siguiente expresión: a) –2 d) 1

3. Simplifique la expresión "S":

b) –1 e) 3

x.

5

x2 .

3

x 7 . x4

c) 0

x+ 2 + 2 .3x + 1 S=3 2 . 3x + 1 − 3x

a) 1 d) 4

Colegios

18

102TRILCE

b) 2 e) 5

c) 3

Central: 6198 – 100

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

CAPÍTULO

4

Capítulo

ecuacioNes expoNeNciaLes Lectura: Vieta FraNcisco (1540 - 1603) Matemático francés, nacido en Fontenay-le-Comte y fallecido en París. La más espectacular de sus virtudes, fue su capacidad para descifrar enigmas, llegando incluso a descifrar, las claves utilizadas por el rey Felipe II de España. Tomó las matemáticas como pura diversión, y sin embargo, llegó a elaborar un gran trabajo en Álgebra y Trigonometría. Fue el primero en utilizar letras para simbolizar incógnitas y constantes en las ecuaciones algebraicas; de esta manera el libro que escribió en 1591, Isagoge in artem analiticam se considera como el primer libro de Álgebra con la notación actual. Por esta razón se le llamo padre del Álgebra Moderna. También fue aficionado a la Geometría, calculando el número “pi” con una aproximación correcta de diez decimales.

En este capítulo aprenderemos Ecuaciones exponenciales .

Los principios básicos para la resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita.

.

A las ecuaciones exponenciales; y sus criterios básicos de resolución.

.

Los criterios básicos para resolver ecuaciones exponenciales: – Potencias de bases iguales. – Potencias de exponentes iguales. x 4 – Resolución por comparación (x =4 ).

103

4

Álgebra

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Saberes previos Reducir las siguientes expresiones:

4. 4x − 1 = 5 3

1. –5x+6x–7x+11x

2. –7(x+4) 5. 5x+8=3x+30 Resolver las siguientes ecuaciones: 3. 3x–2=91

Aplica lo comprendido 1. Resolver: 5

x–2

2. Resolver: 7

2x–3

4. Resolver: 49

=25

=3

x–5

5- x 5. Resolver: ` 1 j = 9x + 1 3

3–x

www.trilce.edu.pe

=343

2x–3

3. Al resolver la ecuación 7 Indicar el valor de: 3x+1

104

x–2

=49

x–1

Segundo año de secundaria

21

4

Capítulo

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Aprende más 1. Resolver: 8

x–2

=4

a) 6 d) 10 2. Resolver: 4

b) 5 e) 11 x–1

. 5=5

a) 1 d) 4 3. Resolver: 7

x+3

x–1

c) 12

a) 1 d) 4

.4

b) 2 e) 5 3x–2

=49

1 5 d) 5 6 a)

2x = 84 , se obtiene como solución la fracción irreductible: a ; indique b a+b.

a) 2 d) 5

c) 6 5

12. Resolver: (3). (2

x- 2 x+ 1 4. Resolver: 45 =425

a) –2 d) 1

b) –3 e) 2

1 3 d) 2 a)

a) 1 d) 4

c) –4

5. Encontrar el valor de “x”, al resolver: 6 3 b) 3 4 e) 1 2

c)

x @3

4 3

6. Determinar el valor de “x”, al resolver: 22 a) 7 d) 10 7. Hallar “x”, si (4 a) 10 d) 15

7x - 1

2x + 3

= 48

b) 8 e) 11 x+1

)(8

x–1

c) 3

2x

2–x

1 6

b) 2 e) 5

11. Al resolver: 163

c) 3

b) 6 e)

10. Calcular el valor de “x” en: x+1 x–1 x +3 +3 =351 3

c) 9

b) 3 e) 6 x+3

)=(192) . (3

=9 1 3 d) 5 3

x–3

b) 2 e) 5

13. Encontrar el valor de "y", si:

a)

c) 4

) c) 3 1

1

1 ( y–12 ) b

b) 2 3 e) 3

c)

= b 8y

4 3

x- 5 x+ 2 14. Resolver: 55 = 312525

a) 10 d) –10

c) –15

b) 15 e) –5 -1

)=16

x+3

b) 13 e) 20

15. Hallar "x+3"; en: c) 14

a) 3 d) 6

- 25- x 9- 32

b) 4 e) 7

= 3- 1 c) 5

x+ 3 5x + 1 8. Encontrar el valor de “x”: 33 = 279

a) 1

b) 2

d) 1 3

e)

c)

1 2

c)

1 5

1 4

x+ 5 2x + 1 9. Hallar “x” en: 53 = 1253

a) 2

b) 3

d) 5

e) 1

Colegios

22

TRILCE

Central: 6198 – 100

105

Álgebra

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Practica en casa 1. Resolver: 5

3x–2

=25

x+9

5x + 1 x+ 3 8. Resolver: 33 = 279 3x 93 9 3 9. Resolver: `5 j = 59

x- 1 x+ 1 2. Resolver: 936 = 9216 2x + 1

3. Hallar "x" en: 74

4. Calcular el valor de "x" en: 5 3x

5. Al resolver: 815 Se

obtiene

-1

2x - 1

= 492

x+1

10. Resolver: x

+5 +5

x–1

=3875

3x

= 2434

la

fracción

x

irreductible:

x

m n

–5

12. Si: 25- 8

= 5- 1, hallar: x+1

x 13. Resolver: 6x8 @

4- x

14. Si: 11

8x 7. Resolver: 23 = 512

=1 3

11. Si: 216 . 6 =6 , hallar el valor de x - x- 1 - 27

indique: m+n 16 4 6. Resolver: x81 = x3

- 9- x 9- 8

12

= x16

a25 + a n = a . Determinar "n" a3 + a n

2a + 2 15. Si 5 a 1 = 24 , encontrar "a" 10 -

Tú puedes 1. Hallar "x", si 7 a) 1 d) 4

4. Hallar "x"; en: x - 1 x = 3 4

712 + 7 x + 5 = 7 7 x + 73 b) 2 e) 5

a) 2 d) 40

c) 3

–6

a) 3 –3 d) 3

Indicar el producto de soluciones. –1

c) 32

1/3 3 5. Hallar "x" en: xx = 9 3

2. Resolver: x = 1 . 2 x

a) –2 –3 d) 2

b) 4 e) 54

–2

b) –2 –3 e) –2

c) 2

–2

b) 3 –9 e) 3

c) 3

–8

–2

n 3. Hallar "x"; si xx =n

a) n –1 d) n

106

www.trilce.edu.pe

b) 2 n –2 e) n

c) n n

Segundo año de secundaria

23

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

5

CAPÍTULO

5

Capítulo

VaLor Numérico eN poLiNomios

Lectura: LegeNdre, adrieN-marie (1752-1833) Matemático francés nacido el 18 de septiembre de 1752 en París y fallecido el 10 de enero de 1833 en la misma ciudad, a quien se deben gran parte de los métodos de análisis matemático de las teorías físicas. Fue miembro del Instituto y catedrático de Matemáticas en la Escuela militar de París, e hizo grandes adelantos en varias ramas de la ciencia, pudiendo citarse su teorema sobre la solución de los triángulos esféricos de lados pequeños, sus descubrimientos sobre la teoría de números, su método de los menores cuadrados, etc. Dejó asimismo muchas obras de mérito, como son: Elementos de geometría; Ejercicios de cálculo integral; Tratado de las funciones elípticas y de las integrales eulerianas; Teoría de los números; Investigaciones sobre la figura de los planetas; etc.

En este capítulo aprenderemos Valor numérico en polinomios .

La notación polinómica; sus elementos y características.

.

Las diferentes formas de hallar el valor numérico de un polinomio (casos P(x); P(x+a); P(x−a); P(ax±b))

107

5

Capítulo

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Saberes previos 10

4. Efectuar: 9.3 −27.3

1. Completar: Polinomio

M(x)=–4x

9

Variables Exponentes Coeficiente

3

2 5

T(x;y)=8x y

2. Efectuar: C=–5+7–3–10–8+23 2

5. Sea: P=(x+5)(x+2)+x –xy Hallar el valor que toma "P", si: x=3 ∧ y=5

2

3

3. Efectuar: A=(–2) +(–1) +(2)(–5)–(–1)

2

Aplica lo comprendido 2

2

1. Si: P(x)=x +5x+1 Hallar: P(1)+P(−1)

2. Sea: P(x;y)=3xy–2xy Hallar: P(2;–2)

4. Sea: M(x−5)=x –3x Hallar: M(1)

2

10

5. Sea: P(x)=25x –125x Hallar: P(5)

9

3. Sea: F(x−1)=4x+3 Hallar: F(3)

Colegios

26

108TRILCE

Central: 6198 – 100

Álgebra

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Aprende más 2

1. Si: A=x +2xy, hallar el V.N. de "A" cuando: x=5; y=–2 a) 4 d) 7

b) 5 e) 8

c) 6

2. Si: P(x)=8x +2x –x+ 3 2 3

2

2

1 2 d) 7 2

b) 3 2 e) 4 2

3. Si: M(x;y)=(x+y) –(x–y) Calcular: M(0;5) a) 0 d) 16

c) 5 2

2

b) 1 e) 25 2

c) 4

3

b) 6 e) 15

b) 4 e) 49

c) 9

c) 25

b) 4 e) 25

c) 9

7. Si "B", es el cuadrado de la suma de "x" y el doble de "y", hallar el valor de "B" si: x=5; y=–10 a) 100 d) 226

b) 220 e) 625 5

a) 44 d) 50

c) 3

b) 46 e) 52

c) 48

11. Si: Q(3x−1)=3−8x Hallar: Q(2)−4.Q(−4) b) −49 e) −52

c) −47

2

12. Si: P(5x+3)=x –4x+2 Hallar: P(−2)+3.P(3) b) 12 e) 15 2

c) 13

2

13. Si: R=x –48 , hallar el V.N. para: x=50 a) 200 d) 194

b) 198 e) 192

c) 196

2

14. Si: M=(x+y)(x–y)+y ; hallar el V.N. para: x=100; y=89 a) 1 d) 1000

2

6. Si: A(x)=x –60x+900, hallar: A(31) a) 1 d) 16

b) 2 e) 5

a) 11 d) 14

5. Si "E" es el cuadrado de la diferencia de "x" y "4", hallar el V.N. de "E" cuando: x=–1 a) 0 d) 36

a) 1 d) 4

a) –48 d) −50

4. Si: A(m;n)=m +n +3mn Hallar: A(−2;−1) a) 3 d) 12

94

10. Si: P(x−2)=4x+11 Hallar: P(2)+P(0)

Calcular: P ` 1 j a)

99

9. Si: P(x)=2x −64x +x+1 Hallar: P(2)

b) 10 e) 10000

c) 100

b) 25 e) 38

c) 28

2

15. P(x–3)=2x –5x Hallar: P(2)+P(0) a) 15 d) 35

c) 225

4

8. Si: P(x)=27x −81x +x Hallar: P(3) a) 0 d) 1000

www.trilce.edu.pe

b) 1 e) 27000

c) 3

Segundo año de secundaria 109

27

5

Capítulo

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Practica en casa 2

2

1. Si: M(x;y)=3x –xy Hallar: M(1;3)

2

2

10. Si: G=(x+2y)(x–2y)–x Hallar el V.N. cuando: x=100; y=–1

2. Si: P(x)=27x +9x Hallar: P ` 1 j 3

2

9. Si: F=x –y ; hallar el V.N. de "F" para: x=38; y=22

2

3. Si: P(x;y)=(x+y) –(x–y) Hallar: P(–1;4) 2

4. Si: M(x;y)=x –2xy+y Hallar: M(15;10)

2

98

2

2

5. Si: Q(x;y)=x +2xy+y Hallar: Q(20;–10)

96

11. Si: M(x)=4x –16x +x Hallar: M(2) 2

12. P(x)=(x+3) +5x Hallar: P(0)+P(1)+P(–2)

2

3

13. Si: M(x)=x Hallar: M(–1)+M(–2)+M(3)

2

6. Si: A(x)=x –40x+400 Hallar: A(22)

14. Si: P(x–2)=3x+8 Hallar: P(9)

7. Si "R" es el cuadrado de la suma de "x" e "y", hallar el valor de "R" cuando x=–5; y=8

15. Si: Q(x+3)=5x–7 Hallar: Q(2)+Q(5)

2

8. P(x;y)=2xy+y Hallar: P(0;2)+P(0;5)

Tú puedes 2 1–x

1. Cuál es el valor numérico de: (2–x–x ) x=–2 a) 0 d) 3

b) 1 e) 4 99

a) 184 d) 189

94

b) 2 e) 5

c) 3

Colegios

28

110TRILCE

b) 185 e) 200

c) 187

2

2

(a+b+2c) +(a+b–2c) =8(a+b)(c) Calcular el valor de: E = ` a − c j c−b

3

3. Si: P(x;y;z)=x +xy+xz+yz Hallar: P(–3;3;–2) b) 1 e) 4

2

5. Sabiendo que:

2

a) 0 d) 3

2

4. Si: P(x;y)=(3x+y)(9x –3xy+y ) Hallar: P(2;–3)

c) 2

2. Si: P(x)=3x –729x +x+1 Calcular: P(3) a) 1 d) 4

; para:

c) 2

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

Central: 6198 – 100

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

CAPÍTULO

6

Capítulo

6

teoría de grados Lectura: eL triáNguLo de pascaL En matemática, el triángulo de Pascal es una representación de los coeficientes binomiales ordenados en forma triangular. Es llamado así en honor al matemático francés Blaise Pascal, quien introdujo esta notación en 1654, en su Traité du triangle arithmétique. También se le denomina como Triangolo di Tartaglia debido a que el matemático italiano Niccolò Fontana Tartaglia fue el primero en describirlo en un tratado de la primera mitad del siglo XVI. En regiones como Uretra, India o Persia, esta formulación era bien conocida y fue estudiada por matemáticos como Al-Karaji, cinco siglos antes de que Pascal expusiera sus aplicaciones, o por el astrónomo y poeta persa Omar Kayam (1048-1123). En China es conocido como Triángulo de Yanghui, en honor al matemático Yang Hui, quien lo describió en el año 1303.

En este capítulo recordaremos Teoría de grados .

Concepto de grado.

.

Grado relativo para monomios y polinomios.

.

Grados absoluto para monomios y polinomios.

111

Álgebra

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Saberes previos 5 7 3

9 5

8 7

6 6

1. Dada la expresión: M(x;y)=6x y z Indicar: • Las variables • Los exponentes de las variables

4. Dada la expresión: A(x;y)=x y +x y +x y Indicar: a) El mayor exponente de "x". b) El mayor exponente de "y".

2. Calcular la suma de coeficientes de: 4 3 2 E(x)=x +2x +3x +4x+5

5. Halla "x" en cada caso: a) x–3=11

a–2

a–3

a–1

3. De la expresión: P(x)=x +x +x Calcular el valor de "a", si el mayor exponente de "x" es 5.

b) x+2=7

Aplica lo comprendido 8 7 10

5 10

1. Si: H(x;y)=5x y z Calcular: G.R(x)= G.R(y)=

G.R(y)=

G.A.=

G.A.=

2. Si el grado relativo de: M(x)=3x Calcular: "a"

7 8

2 12

4. Del polinomio: E(x;y)=x y +x y +x y Calcular: G.R(x)=

a–2

es 5

7

6

5. Del problema: A(x;y)=x +y +1 Hallar: G.R(x)= G.R(y)=

3. Si el exponente de la variable es un número 12/a entero positivo en: R(x)=8x Calcular la suma de los posibles valores que puede asumir "a".

112

www.trilce.edu.pe

G.A.=

Segundo año de secundaria

31

6

Capítulo

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Aprende más 8 6

1. Del monomio: H(x;y)=3x y Calcular: G.R(x)–G.R(y) a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

9. Calcular el valor de "a", en: a+2 a+1 a+3 a +x +x +x H(x)=x si: G.R(x)=21–2a

c) 3

2. Calcular: "a+b", si G.R(x)=3 ∧ G.R(y)=5, en: a a–7 b+7 P(x;y)=2 .x .y a) 11 d) 8

b) 10 e) 7

c) 9

3. Si el G.R(x)=2, calcular el grado absoluto del m–3 10+m .y monomio: R(x;y)=–7x a) 17 d) 15

b) 12 e) 13

c) 19

4. Si los monomios: m 2m–1 A(x;y)=5x . y 5m m–13 B(x;y)=–6x . y Poseen igual grado absoluto, calcular "m". a) 3 d) 5

b) 2 e) 6

2m+3 3

c) 24 3n–5 2

b) 7 e) 10

c) 8 7 6

5 10

b) 36 e) 26

8. En el polinomio: F(x;y)=x G.R(x)=10 ∧ G.R(y)=8 Calcular: "a.b" a) 35 d) 30

Colegios

32

TRILCE

b) 36 e) 31

c) 30 a+5 5

7 b+2

.y +x .y

b) 14 e) 17

c) 15

11. Calcular m+n en el polinomio: m–2 n+3 m+1 n–3 m–3 n+5 y +x y +x y A(x;y)=x si el grado absoluto de "A" es además: m>3 ∧ n>3 a) 12 d) 15

b) 13 e) 16

15,

c) 14 a–1

17–a

b) 39 e) 31

c) 45

13. Del polinomio: a–3 a/2 a/3 31–a N(x)=x +x +x +x Calcular la suma de los posibles valores de "a"

6 8

7. Del polinomio: P(x;y)=3x y +4x y +2x y Calcular: G.R(x)+G.R(y)+G.A a) 32 d) 28

a) 13 d) 16

a/3

6. De: H(x;y)=8(x ) .(y ) Se sabe que el grado absoluto es 47, calcular "m+n" a) 6 d) 9

c) 7

10. Calcular el valor de "m", en: m–5 m–3 m–7 10 +x +x +x R(x)=x si el grado absoluto es 13

a) 40 d) 63

b) 16 e) 22

b) 6 e) 9

12. Del polinomio: H(x)=x +x +x Calcular la suma de los posibles valores de "a".

c) 4

5. Calcular el coeficiente de: 3a–2 2b–3 .y M(x;y)=(2a+3b)x si: G.R(x)=13 ∧ G.R(y)=5 a) 18 d) 20

a) 5 d) 8

a) 85 d) 90

b) 87 e) 76

c) 98

14. Si la suma de coeficientes del polinomio: a–3 a–2 a–1 K(x)=(a+2)x +(a+1)x +(a+3)x es 21, calcular su grado absoluto. a) 4 d) 7

b) 5 e) 8

c) 6

2 2 15. Del polinomio: P(x;y)=3x35 - a .y5 + 7x2 .y3b - 11 2

2

se sabe que: G.R(x)=a +3 ∧ G.R(y)=b +7 identificar un valor de "a+b" a) 8 d) 2

b) –3 e) 5

c) –1

c) 20

Central: 6198 – 100

113

Álgebra

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Practica en casa 7 8 3

1. Del monomio: E(x;y;z)=5x y z Calcular: 2(G.R(x))+3(G.R(y))–5(G.R(z)) 2. Si el G.R(y)=8, calcular el grado absoluto del 3m–2 m+3 y monomio: H(x;y)=12x 3. Si: G.R(x)=12 ∧ G.R(y)=5 a+3 b–8 .y en: M(x;y)=–10x calcular: "a+b"

12. Calcular la suma de los posibles valores de "a", a/5 a–3 32–a en el polinomio: P(x)=x +x +x

5. Calcular el coeficiente de: 5a–3 4b–1 S(x;y)=(3a–2b)x .y si: G.R(x)=12 ∧ G.R(y)=15

43–a

2n–1 6

6 11

8

7. Del polinomio: H(x;y)=5x y +3x y +4x y Calcular: G.A.+G.R(x)–G.R(y) m+7 8

a–1

a/2

a/5

13. Del polinomio: E(x)=x +x +x +x Calcular la suma de posibles valores de "a".

6. De: A(x;y)=(x ) .(y ) se sabe que el grado absoluto es 48, calcular "m+n" 9 5

10. Calcular el valor de "m", en: m–4 m–6 m–2 13 A(x)=x +3x +x +x si su grado absoluto es 18. 11. Del polinomio: m–5 n+4 m+3 n–6 m–2 n+5 H(x;y)=x y +x y +x y se sabe que el G.A(H)=16 Calcular: "m+n"

4. Si: G.R(x)=12 ∧ G.R(y)=4 5a+2 b–5 .y en: E(x;y)=(3a–2b)x calcular el coeficiente.

4m–2 3

9. Calcular el valor de "a", en: a+5 a+7 a+2 a+1 +x +x +x P(x)=x si: G.R(x)=35–3a

3 n+4

8. Del polinomio: E(x;y)=x y +x y se sabe que: G.R(x)=16 ∧ G.R(y)=14 calcular el valor de "m+n"

14. Si la suma de coeficientes del polinomio: a–4 a–3 a–1 R(x)=(a+5)x +(a–3)x +(a+1)x es 27, calcular su grado absoluto. 2 2 15. Del polinomio: M(x;y)= x9 + a .y7 + x4 .y2b + 1 2

2

se sabe que: G.R(x)=2a +5 ∧ G.R(y)=b +10 Calcular el mínimo valor de "a+b"

Tú puedes m n p

1. En el monomio: E(x;y;z)=2012.x .y .z la suma de sus grados relativos tomados de 2 en 2 es 9, 10, 11 respectivamente, calcular el valor p- n de: m + n ; además GR(y)0 Hallar el mínimo valor de a+b+c

Tú puedes 1. Si el polinomio: 2b a+2 2a 4b +10bx y P(x;y)=5ax y es un polinomio homogéneo, calcular P(1;1) a) 5 d) 20

b) 10 e) 25

c) 15

2. Si el polinomio: m–2 n–1 7 2n–3 y (x +y ) P(x;y)= 5 x es homogéneo cuyo grado de homogeneidad es 16, determinar los valores de m y n respectivamente. a) 2;6 d) 5;8

b) 7;5 e) 6;9

c) 6;8

4. Si los polinomios: 2 P(x)=mx(1+x)+n(x+p)+x 2 Q(x)=3x +8x+12 son idénticos , hallar: m+n+p a) 5 d) 14

b) 10 e) 16

c) 13

5. El polinomio: 2 2 P(x)=x(ax +bx+c)–2x(bx +cx+d)+2d–1 es idénticamente nula, halla: acd abcd a) 8 d) 2

b) 6 e) 1

c) 4

3. Si el polinomio: a+b a+2 2a a a–1 +x –x +3x +x P(x;y)=ax es completo y ordenado, hallar el valor de "b+1" a) 12 d) 2

Colegios

38

118TRILCE

b) 6 e) 1

c) 4

Central: 6198 – 100

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

CAPÍTULO

Capítulo

8

8

muLtipLicacióN aLgebraica Lectura: aL-Khwarizmi, eL áLgebra y Los aLgoritmo Mahommed ibn Musa al-Khwarizmi fue un matemático árabe, nacido en Kharizm (actualmente Jiva, Uzbekistán) en el año 780. Entonces reinaba el califa Harun al-Rashid, quinto califa de la dinastía Abbasid. La capital estaba en Bagdag. Harun, tuvo dos hijos y a su muerte, hubo una guerra de sucesión entre los dos hermanos, al-Amin y al-Mamun. Ganó la guerra al-Mamun y al-Amin fue ejecutado en 813. al-Mamun continuó el patronazgo de las artes y la cultura que había iniciado su padre y fundó la Casa de la Sabiduría, donde enseñaban filósofos y científicos griegos. También construyó una biblioteca y un observatorio astronómico. Al-Khwarizmi fue bibliotecario en la corte del califa al-Mamun y astrónomo en el observatorio de Bagdad. Sus trabajos de álgebra, aritmética y tablas astronómicas adelantaron enormemente el pensamiento matemático. La obra al-jebr w'al-muqabalah fue traducida al latín, por primera vez, en la Escuela de Traductores de Toledo y tuvo mucha influencia en las matemáticas de la época. La traducción del título de la obra era complicado, por lo que los traductores optaron por latinizar el título, convirtiéndolo en aljeber que acabó derivando en el actual álgebra. La palabra jebr se refiere a la operación de pasar al otro lado del igual un término de una ecuación y la palabra muqabalah se refiere a la simplificación de términos iguales. La versión latina del tratado de al-Khwarizmi sobre álgebra fue responsable de gran parte del conocimiento matemático en la Europa medieval. Otro libro de al-Kharizmi fue De numero indiorum (Sobre los números hindúes). En este libro se dan las reglas para hacer las operaciones aritméticas. Estas reglas se denominaron como las reglas de al-Kharizmi y por deformación de la palabra llegó al término actual algoritmo. Su trabajo con los algoritmos introdujo el método de cálculo con la utilización de la numeración arábiga y la notación decimal. Las matemáticas le deben a al-Khwarizmi la introducción del sistema de numeración actual y el álgebra. Murió alrededor del año 835.

En este capítulo aprenderemos Multiplicación algebraica .

Multiplicar un monomio por otro monomio.

.

Multiplicar un monomio por un polinomio.

.

Multiplicar un polinomio por otro polinomio. 119

Álgebra

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Saberes previos 4 3 6

1. Efectuar: 3 3 a) 4x –7x =

6

b) a .a .a =

4. Indicar verdadero (V) o falso (F):

6

b) –8a –4a =

2. Efectuar: a) (–4)(5)=

•

3.5=5.3 ..........................................(

)

•

x.y=y.x ...........................................(

)

5. Calcular: a) 5×3×4=

b) (–8)(–4)=

b) (–4)(–2)(–5)=

3. Efectuar: a) x.x.x=

Aplica lo comprendido 2

4. Efectuar: (–4xy)(2x–3y)

1. Efectuar: (4x )(5x)

3

2

2. Efectuar: (–4xy )(–5x y) 5. Efectuar: (3x+5)(x–1)

2

3. Efectuar: (–2x )(2x+5)

120

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Segundo año de secundaria

41

8

Capítulo

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Aprende más 2 3

4

6 4

2

1. Efectuar: (3x y )(–5x y)+14x y 6 4

8 3

a) x y

b) –x y

d) –x y

e) –x y

6 4

2

c) 29x y

4

2. Efectuar: x(x+6)–6(x–1)–x a) 6x

b) 12x

d) 6

e) 12

2

c) 2x

2

3

4. Efectuar: 3x.2x .3x .5x a) 13x d) 90x

10 24

e) 90x 2 4

10

d) –96x y

e) –16x y

9 7

24 8

c) 64x y

d) 8x

e) 0

c) 1

7. Dados: A=3x(x–2) B=6x(x+1) Hallar: A + B a) 2x d) 3x

c) 2x

e) –2x 2

2

2

2

2

b) 3x y

4

4

2

4 4

c) 9x y–21x y

e) 6x y

a) –6(x +x)

b) 2

d) 5x

e) 0

14. Dados: A =

c) –6x

2

(a2 + 6a + 9) − (a + 4) (a + 2)

a) 2 d) –1 2

b) 1 e) 0

c) –2

2

15. Si: x +y =2 Hallar: (x + 2y) (x + y) − x (3y − x)

b) 3x

2

2

B = a2 + 8a + 16 − (a + 1) (a + 7) Hallar: A–B

6. Efectuar: 3x(x–2)–(3x+2)x+8x 2

b) 10x

2

4 2

b) –96x y

2

13. Efectuar: 2 2 2 2 (x +x–1)(x +x–2)–(x +x+1)(x +x+2)

c) 90

a) 96x y

b) 9x

3

d) –5x 10

c) 16x

3

2

a) 5x

3

a) 6x

e) 4

4

12. Efectuar: (x +2y)(3y–5x )+6y(x –y)+x y

c) 4x

9 7

24 8

d) 0

d) 10

5. Efectuar: (–8x y )(–2x y)(–6x y ) 9 7

b) 16x 2

4

b) 45x

6

a) 4x +16

a) 2x

b) 16x e) 12x

2

11. Efectuar: (x–5)(x +2)–x +5x(x+2)–10(x–1)

2

3. Efectuar: (2x+1)(4x)–8x(x+1) a) –4x d) 0

3

10. Efectuar: A=x(x –2x+4)–(x –2x ) 2 Hallar: A

c) 6

e) x

a) 4 d) 1

b) 2 e) 0

c) 3

2

8. Efectuar: (4x–6)(5x–8)–20x +62x a) 32x+48

b) 30x

d) 48x

e) 30x 3

2

c) 48

3

9. Si: A=3x(2x –5x )–x (6x–16) Hallar: 3 A a) x d) x

Colegios

42

2

TRILCE

b) 3 6 x e) 2x

c) 3 6

Central: 6198 – 100

121

Álgebra

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Practica en casa 2

2 4

4 5

2

1. Efectuar: (2a b)(–3a b )+5a b 2

2. Efectuar: x(x +5)–5(x–2)–x

11. Efectuar: (a+1)(a–1)(a +1)+1

3

2

3. Efectuar: 4x(2x+1)–8x(x–1)–11x 2

3

4. Efectuar: 4a.5a .3a .7a 2 4

4

3

4 2

13. Efectuar: 10 7 7 10 10 7 10 7 (x +x –1)(x +x –2)–(x +x +1)(x +x +2)

2

14. Si: A =

5. Efectuar: (–5a b )(–2a b)(6a b ) 6. Efectuar: 4x(x–5)–(3x–2)x–x 2

2

A + B + 2x 2 2

3

4

15. Si: a +b =2 Hallar:

8. Efectuar: (5x–3)(3x–4)–15x +29x 2

a2 + 6a + 9 − (a + 5) (a + 1)

B = a2 + 8a + 16 − (a + 1) (a + 7) Hallar: A–B

7. Si: A=5.(x –3) 2 B=3.(5+3x ) Hallar:

2

12. Efectuar: (a+1)(a –a+1)+(a–1)(a +a+1)

(a + 2b2) (a + b2) − a (3b2 − a)

3

9. Si: A=6x(2x +x )–x (6x–4) Hallar: 3 4A 2 2 10. Efectuar: M= x. (x – x + 21) + x – x x

Tú puedes 1. Dada la expresión: P(x;y)=( n x3 y2) n - 1 cuyo grado es igual a 15. Halle el valor de su coeficiente. a) 4 d) 16

b) 6 e) 20

c) 8 n

3

2. Dado el polinomio cúbico: P(x)=4x .(3x –2x+n) n+m+4 3–m .(x ) Halle el grado de: Q(x)=x a) 6 d) 9

b) 7 e) 10

c) 8

4. Dada la identidad: 5 m (5x+3)(2x–2)(x +3x–5) ≡ ax +...+bx+6k; m ! N ∧ m>6 Hallar el valor de: a+m+k a) 20 d) 23

b) 21 e) 24

c) 22

5. Halle el grado de: 8 3 4 2 5 P(x)=(x +4)(x +2)(x–1)+5x(x –3)(x +x+5)+3x (x–300) a) 10 d) 25

b) 12 e) 27

c) 20

3. Halle el grado de siguiente polinomio: 4 2 R(x)=(x+2)(x–2)(x +4x +16) a) 4 d) 7

122

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b) 5 e) 8

c) 6

Segundo año de secundaria

43

9

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

CAPÍTULO

Capítulo

9 repaso i Lectura: Los desceNdieNtes de carLomagNo Se cuenta que cierto personaje estaba en extremo orgulloso de ser un descendiente del mismo Carlomagno. Cierto día topó con un matemático de su entorno que le hizo los siguientes cálculos: “Usted tiene dos padres, y cada uno de estos, otros dos de modo que ya tiene seis ascendientes. Como cada uno de sus cuatro abuelos tiene dos padres, el número de ascendentes que contamos son 14, y si nos remontamos 40 generaciones, el número de antepasados que tiene usted es: 2

3

4

38

39

40

2+2 +2 +2 + ... +2 +2 +2 =22 199023, 255550 Así que una vez conocida tan extraordinaria cantidad de descendientes del gran Carlomagno, el matemático de nuestra historia pensó “Poca sangre noble tiene este buen hombre”; pero sigió sintiéndose muy orgulloso de pertenecer a tan noble cuna. FUENTE: http://ciudadanodelmundo.espacioblog.com

En este capítulo recordaremos Repaso I .

Expresiones algebraicas; agregando además el concepto de grado para polinomios en una variable.

.

Teoría de exponentes.

.

Ecuaciones exponenciales.

.

Notación P(x)−Valor numérico

123

Álgebra

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Saberes previos 4

4

4

4

1. Reducir: A=7ab –5a b+9a b–18ab

2. Efectuar: B = ` 1 j 4

-1

3

2

4. Sea: P(x)=4x –5x +4 Calcular: P(–1)

+ 50 − 811/4 5. Resolver: 7

3x–2

2–x

=49

2 33 3. Reducir: C = (a 3.b )2 (a .b)

Aplica lo comprendido 5

8

5

8

1. Reducir: P(x)=4x +x –9x +4x

4

3

2. Reducir: (–x) .(–x) .(–x)

3. Hallar "x"; si: 4

5

3x–1

=0,25

6. Hallar el grado de P 4 3 2 3 3 2 4 Si: P(x;y)=x y +5x y –7x y z

7. Dado el polinomio homogéneo: 2 a 4 b 3 8 P(x;y)=4x y +5x y –ax y ; hallar: "a.b"

3

a

b

8. Sea: P(x)=4x +2x +3x +70 un polinomio completo y ordenado, hallar 2 2 a +b

x x- 1 4. Calcular: Q = x9 1.5 x 1 3 - .15 +

9. Halle: Q(5) si: Q(2x+1)=4x+3

5. Hallar el grado de Q 4 5 4 3 2 si: Q(x;y;z)=4x .y .z .y .z .x

124

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10. Resolver: 3 2x - 2 = 8x - 2

Segundo año de secundaria

45

9

Capítulo

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Aprende más 1. Completar el siguiente cuadro: Coeficiente 3

0

Variables

Exponentes

2 x 4 y2

7 xy3 z4 5

11. Resolver: 8

2. Reducir: 2 3 2 3 2 3 A=x y –7xy+x y –3xy+8xy–2x y a) xy d) –2xy

b) –xy e) 0

c) 2xy 4 a+b y ; 1x y 3

a–b 5

3. Dado los términos semejantes: 5x 2 2 Calcular: a –b a) 0 d) 15

b) 1 e) 20

c) 10

4. Dado el polinomio: 3 n+5 m+1 5 8 6 –3x y –2x y P(x;y)=4x y Halle el valor de "m.n"; si P(x;y) es un polinomio homogéneo. a) 47 d) 50

b) 48 e) 52

c) 49

0 0 0 0 0 5. Efectuar: A=7 +4 –(–3) +2` − 1 j –3 5 3 a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

6. Efectuar: B = 5.5.5....5 − (− 5) 58 .25 14 424 43 60 veces

60

b) –1 60 e) 2.(5)

c) 1

a) 0 d) 9

b) 1 e) 27

`^a2 bh3 aj

c) 3

5

8. Efectuar: D =

^a7 b3h

;

4

a) a b d) ab

b) ab e) 1

ab ! 0

3

7 3

c) a b 22

0 9. Reducir: A = 5 − 3 + `37 j − ^− 10h2 21

a) 0 d) 3

Colegios

46

TRILCE

12

b) 1 e) –3

c) 3

x+3

=4

b) 4 e) 32

c) 12

5- x 12. Resolver: ` 1 j = 9x + 1 3 a) 1 b) 6 d) –5 e) –7

c) 7

x+ 1 x- 2 13. Resolver: 425 = 45

a) –4 d) 1

b) –3 e) 2

14. Hallar "x" en: 1253

x+ 5

c) –2 2x + 1

= 53

a) 1/5 b) 1 d) 3 e) 5 15. Calcular el valor de "x" en: x x+1 x–1 +5 =3875 5 +5 a) 2 d) 8

b) 4 e) 10

16. Hallar "x" en: 4

x–2

a) 0 d) 3

=5

c) 2

c) 6

x–2

b) 1 e) 4

c) 2

2

17. Sea: P(x)=x –16x+64 Hallar: P(10) a) 4 d) 64

b) 8 e) 128

c) 16

2

18. Sea: M(x+3)=2x +7x–25 Hallar: M(5)+M(4)

19 21 33 37 7. Efectuar: C = 3 .39 8.3 38.3 (3 ) .3

7

x–2

a) 1 d) 16

5 x 4 + 3y 2

a) –2.(5) d) 0

6 4 )2 10. Efectuar: M = (15) (45) (81 2 (32) 9 .53 a) 1 b) 5 d) 9 e) 25

c) 2

a) –20 d) 10

b) –10 e) –19

c) 20

2

19. Sea: P(x)=x +1 Q(x)=5–3x Hallar: P^Q (2)h + Q^P (1)h a) 1 d) 2

b) 3 e) 4

c) 5

2 20. Sea: P (x) = ) x − 5; si x < 0 2x + 3; si x H 0

Calcular: P(–3)+P(1)+P^P (

a) –1 d) 4

b) –4 e) 5

2)h

c) –5

Central: 6198 – 100

125

Álgebra

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Practica en casa 1. Completar el siguiente cuadro: Coeficiente

0

7

0

9. Efectuar: M = 23 − 51 + (23) 4 − (− 5) 2

Variables

Exponentes 7 5 )3 10. Efectuar: N = 6 . (2245) . (632 (3 ) . (2 ) 6

5 x3 y5 − 2 xy3 z4 3

11. Resolver: 25

x–2

=125

x–4

6 3

–7x y

3- x x+5 12. Resolver: ` 1 j =49 7

2. Reducir: 7 2 3 5 7 2 3 5 7 2 A=–5x y +3x y +2x y –9x y +x y

2x + 1

3. Dado los términos semejantes: b+8 a–7 2 7 9 7x y ; x y 5 2

Calcular: a .b

14. Hallar "x" en: (49) 2

2

15. Calcular "x"en: 3

16. Hallar "x" en: 7

4. Dado el polinomio: 4 n+1

m+2 4

0

5. Reducir: A = ^− 5h2 + ` − 1 j + 5 2 + 72 3 0

0

6. Efectuar: B =S 3.3.3...3 − (3) 98 .81 102 veces

2

3

4

10

3 7. Efectuar: C = 3.3 .93 5.3 .... 25 (3 ) . (3 )

^(x3 y2) 5 y3h

126

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3x–1

x

+3 +3

=9

x+ 5

x+1

=117

3x–1

2

17. Sea: M(x)=x –24x+144 Hallar: M(15)

2

18. P(x)=x +40x+400 Hallar: P(–18)

2

19. P(x)=x –5 R(x)=3x+7 Hallar: P(5)–R(7)+P^R (

2)h

20. Si: S (x) = )3x + 2; si x H 0 x2 + 10; si x < 0

2

2 ^x10 y13h

x–1

= 72

9 5

Q(x;y)=8x y –2x y –13x y Halle el valor de m.n; si Q(x;y) es un polinomio homogéneo.

8. Reducir: D =

x+ 1 x- 2 13. Resolver: 34 = 32

; xy ! 0

Hallar: S(–3)+S(–4)+ S^S (

2)h

Segundo año de secundaria

47

9

Capítulo

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Tú puedes 1. Calcular el valor numérico de: xy F (x; y) = 4 x (x − y) + 5 (x + y) − 3 4 5 Para: x= 1 ; y= 2 4 3 a) 443 60 d) 141 31

b) 331 30 e) 101 720

2. De: ` 4 ab2 − 5 bc2 + 7 a2 b2j 3 2 4 Restar: ` 2 bc2 − 9 a2 b2 − 3 ab2j 5 2 4 2 2 2 2 a) ab + 1 a b – 1 bc 4 10 2 2 2 2 b) 25 ab + 25 a b – 29 bc 12 4 10 2 13 2 2 19 2 c) ab + a b – bc 4 10 2 2 2 2 d) 25 ab + 25 a b + 29 bc 12 4 10 2 2 2 e) ab + 25 a b 4

Colegios

48

TRILCE

1

x- n + y- n n 3. El valor simplificado de: M = e n o x + yn tal que xy! 0, es: –1

c) 143 37

a) x y d) (xy)

–1

b) xy

–1

c) xy

e) x/y

n + 1 1 - 2n .9 + 272 - n 4. Simplificar: P = 3 81 (3 n)- 3

a) 9

b) 3

d) 1/3

e) 5

5. Simplificar: Q =

c) 28/3

y.y3 .y5 .y7 ......."n" factores ; y2 .y4 .y6 .y8 ......."n" factores

y! 0 a) y d) y

–3

b) y

–1

e) y

–n

c) y

–2

Central: 6198 – 100

127

2° Año de secundaria

128

Compendio de Ciencias - I BIM

TEMARIO • Introducción • Segmento de recta • Punto medio y el segmento de recta • Recordando lo aprendido • Identificando y midiendo ángulos • Operaciones con ángulos • Solo con enunciados • Complemento y suplemento de un ángulo • Repaso bimestral

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Introducción

CAPÍTULO

1

1

En este capítulo aprenderemos: • • • • •

A reconocer elementos y figuras geométricas en el plano. A reconocer elementos y figuras geométricas espaciales. A identificar y graficar rectas paralelas y secantes. A identificar y graficar planos paralelos y secantes. A contar puntos de corte entre rectas y figuras geométricas planas.

CAPITULO A diario vemos objetos de diversas formas, que si quisiéramos describirlos tendríamos que usar términos geométricos. • ¿Qué diferencia hay entre un cubo y un dado? • ¿Es igual círculo que circunferencia?

Central: 619-8100

Unidad 131 I

5

2° Año de secundaria



•

Entre una circunferencia y una recta secante. • Entre un triángulo y una recta secante.

Dos puntos de corte

Dos puntos de corte.

•

1

Compendio de Ciencias - I BIM

Entre una circunferencia y dos rectas secantes. Cinco puntos de corte como máximo.

Tres puntos de corte como mínimo.

10 x 5 50

Aplica lo comprendido Conceptos básicos 1. Graficar un rayo OA en posición horizontal. 2. Graficar un rayo PB en posición vertical. 3. Graficar los rayos MN y MQ opuestos. ¿Qué se forma?

en sentidos

4. Graficar tres rectas paralelas y una secante. ¿Cuántos puntos de corte se obtienen? 5. Graficar tres rectas secantes y dar el máximo número de puntos de corte.

6. Calcular el máximo número de puntos de corte entre cinco rectas paralelas y dos rectas secantes. 7. Calcular el máximo número de puntos de corte entre un triángulo y tres rectas secantes. 8. Calcular el máximo número de puntos de corte entre un cuadrilátero y tres rectas secantes. 9. Calcular el máximo número de puntos de corte entre un pentágono y dos rectas secantes. 10. Calcular el número de puntos de corte entre una circunferencia y seis rectas paralelas.

Conceptos básicos Aprende más... Comunicación matemática 1. Dar el valor de verdad de las siguientes proposiciones ("V" o "F")

•

Según Euclides, los elementos geométricos son cuatro ........................................................

(

)



•

La Geometría se divide en plana y del espacio. ...................................................................

(

)

2. Dar el valor de verdad de las siguientes proposiciones ("V" o "F")

132



•

Las rectas paralelas tienen un punto de intersección. ...........................................................

(

)



•

Las rectas secantes no tienen ningún punto en común. ........................................................

(

)

Central: 619-8100

Unidad I

9

Introducción

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

3. Completar correctamente las siguientes proposiciones, usando los términos del recuadro mostrado:

•

La intersección entre dos ............................ está representado por .......................... recta.

•

El rayo tiene un ......................... de origen y es ilimitado en un solo .................................. rectas - punto - planos - dos - una - sentido - número

4. Graficar un plano "H" y a una circunferencia contenida en "H". 5. Graficar un plano "M" y a dos rectas a y b secantes en "P". Resolución de problemas 6. Calcular el máximo número de puntos de corte 8. Calcular el máximo número de puntos de corte entre cinco rectas secantes. entre seis rectas paralelas y dos rectas secantes. 7. Calcular el máximo número de puntos de 9. Calcular el máximo número de puntos de corte corte entre cuatro rectas paralelas y dos rectas entre una circunferencia y cuatro rectas secantes. secantes. 10. Calcular el máximo número de puntos de corte entre una circunferencia y cinco rectas secantes. Aplicación cotidiana • Supongamos que en el Perú se quiere construir la mayor cantidad de carreteras subterráneas rectilíneas para trenes eléctricos, que facilitarían el viaje entre los departamentos mostrados.

Piura Lima

Ayacucho Arequipa Ica

11. ¿Cuántas carreteras se forman entre Piura, Lima y Ayacucho? 12. ¿Cuántas carreteras se forman entre Lima, Arequipa e Ica? 13. ¿Cuántas carreteras se forman entre Lima, Ayacucho, Ica y Arequipa? 14. ¿Cuántas carreteras se forman entre Piura, Arequipa, Ica y Ayacucho? 15. ¿Cuántas carreteras se forman entre los cinco departamentos? Colegios

10

TR ILCE

www.trilce.edu.pe 133

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

1

socisáb¡Tú sotpuedes! pecnoC 1. Calcular el máximo número de puntos de corte entre cinco rectas paralelas y cuatro rectas secantes. 2. Calcular el máximo número de puntos de corte entre seis rectas secantes. 3. Calcular el máximo número de puntos de corte entre siete rectas secantes. 4. Calcular el máximo número de puntos de corte entre seis rectas secantes y dos rectas paralelas. 5. Calcular el máximo número de puntos de corte entre cinco rectas secantes y tres rectas paralelas.

18:10:45 18:10:45

Practica enbásicos casa Conceptos 1. Hallar el máximo número de puntos de corte 9. ¿Cuántos puntos de corte hay en el gráfico? entre tres rectas secantes y una circunferencia. 2. Calcular el máximo número de puntos de corte entre ocho rectas paralelas y una circunferencia. 3. Calcular el máximo número de puntos de corte entre un triángulo y tres rectas paralelas. 4. 5. 6. 7.

8.

134

10. Hallar el máximo número de puntos de corte entre tres rectas paralelas y dos rectas secantes. Hallar el máximo número de puntos de corte entre un triángulo y una circunferencia. 11. Hallar el máximo número de puntos de corte entre cinco rectas paralelas y una circunferencia. Hallar el máximo número de puntos de corte entre dos rectas secantes y un triángulo. 12. Hallar el máximo número de puntos de corte entre seis rectas paralelas y un triángulo. Calcular el máximo número de puntos de corte entre dos rectas secantes y un cuadrilátero. 13. Hallar el máximo número de puntos de corte entre tres rectas secantes y un triángulo. Calcular el máximo número de puntos de corte entre cuatro rectas secantes y dos rectas 14. Hallar el máximo número de puntos de corte paralelas. entre un cuadrilátero y una circunferencia. ¿Cuántos puntos de corte hay en el gráfico? 15. ¿Cuántos puntos de corte hay en el gráfico?

Central: 619-8100

Unidad I

11

2

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

segmentos de recta CAPÍTULO

En este capítulo aprenderemos: • • •

A identificar al segmento de recta y a su medida. A relacionar segmentos consecutivos y no consecutivos. A sumar y restar longitudes de segmentos consecutivos.

2

Podemos mencionar otros tipos de líneas: línea curva y línea quebrada. En nuestro lenguaje común, el término "segmento" significa parte o porción de algo con lo cual lo podemos conjugar a términos anteriores.

• ¿Qué líneas observas?

Saberes previos •

Unidades de longitud



•

Unidad de peso: .......................





Unidad de temperatura: .........................



•

Ecuaciones de primer grado:

Colegios

12

- Centímetros, metros, kilómetros.



TR ILCE

CAPITULO

En el capítulo anterior, mencionamos a la "línea recta", pero no es el único tipo de línea, en la naturaleza encontramos diversidad de formas así como en nuestro mismo cuerpo.

- Pulgadas, pies, yardas, millas.

2x + 10 = 18 ⇒ x = 3x + x + 5 = 25 ⇒ x =

www.trilce.edu.pe 135

2° Año de 10 xsecundaria 5 50

2

Compendio de Ciencias - I BIM

Aplica socilo sácomprendido b sotpecnoC 1. Si: AC = 42 cm y BC = 31 cm, calcular "AB".

A

B

6. Si: EH = 41u; FN = 38u y EN= 52u, calcular "FH".

C

2. Si: EH = 56u y FH = 14u, calcular "EF".

E

F

E

F

H

N

7. Si: PT = 22u; QU = 45u y PU = 59u, calcular "QT".

H

P Q T U 3. Si: MN = 13u; NE = 8u y EF = 18u, calcular 8. Si: EL = 120 cm; EJ = 30 cm y KL = 70 cm, "MF". calcular "JK". M

N

E

F

E

J

K

L

4. Si: PR = 24 cm; QS = 36 cm y QR = 100 cm, 9. Si: AB = 17,2u; CD = 41,8u y AD = 80u, calcular "PS". calcular "BC". P

Q

R

S

A B C 5. Si: AC = 58 cm; BD = 76 cm y BC = 32 cm, 10. Si: PT = 56 cm, calcular "x". calcular "AD".

A

B

C

2x

D P

D

5x Q

T

Conceptos básicos Aprende más... Comunicación matemática 1. Dar el valor de verdad de las siguientes proposiciones ("V" o "F")

• •

El segmento de recta está formado por dos puntos ................................................................. ( El segmento de recta tiene una cantidad indeterminada de puntos......................................... (

) )

2. Completar las siguientes proposiciones con los términos del recuadro:

•



•

La menor ................................ entre dos puntos está representado por el ................................ de recta que los une. Dos o más segmentos de ................................ se llaman colineales, si ................................ a una misma recta. plano - recta - perpendicular - distancia - pertenecen - segmento - secantes.

136

Central: 619-8100

Unidad I

15

Segmento de recta

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

3. Completar los siguientes recuadros, de acuerdo a la teoría hecha en clase: E

P

Q

EQ = .......... + .........

P

M

N

PM = ......... – .........

4. Grafica a los segmentos consecutivos no colineales AB y BC, tal que: AB = 2 cm y BC = 3 cm. Luego mide la longitud del segmento AC. (Usar regla calibrada en centímetros) 5. Usando una regla calibrada en centímetros, graficar los segmentos consecutivos no colineales: PQ = 3 cm y QR = 5 cm. Luego mide la longitud de PR. Resolución de problemas 6. En el gráfico: AC = 17 cm; BD = 22 cm y 10. Si: AB = x + a ; BC = 6x - a y AC = 63u, BC= 6 cm. Calcular "AD". calcular "x".

A

B

C

A

D

B

C

7. Si: PR = 19u; QS = 26u y QR = 4u, calcular 11. Si: AB = x; BC = 2x; CD = 5x y AD = 40u, calcular "x". "PS". P

Q

R

S

A

B

C

D

8. Si: AF = 11u; EN = 19u y AN = 25u, calcular 12. Si: PQ = 3k; RT = 7k; QR = 38u y PT = 118u, "EF". calcular "k". A

E

F

N

9. Si: PQ = 2x; QE = 8u; EF = 5x y PF = 43u, calcular "x". P

Q

E

P

Q

R

T

F

Aplicación cotidiana • Un grupo de alumnos van de excursión partiendo de un punto "A", en una carretera recta, siendo su destino el punto "B". Pero tienen que hacer escala en los puntos "E" y "F". La distancia entre "A" y "F" es de 34 km, la distancia entre "E" y "B" es de 42 km y la distancia entre el punto de partida y el punto de destino es 63 km.

A

E

F

B

13. Calcular la distancia entre "A" y "E". 14. Calcular la distancia entre "E" y "F". 15. Calcular la distancia entre "F" y "B". Colegios

16

TR ILCE

www.trilce.edu.pe 137

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

2

socisáb¡Tú sotpuedes! pecnoC 1. Si: AC = 46u y BC - AB = 14u, calcular "AB" A

B

4. Si: PQ + PR = 65 cm y QR = 3(PQ), calcular "PQ".

C

2. Si: PQ = 2(QR) y PR = 36u, calcular "QR".

P

Q

P

B

135 cm

R

C

R

5. Si: BC = 3(AB) y CD = 5(AB), calcular "AB".

A

3. Si: AC + BD = 53u y AD = 30u, calcular "BC".

A

Q

B

C

D

D

18:10:45

Practica enbásicos casa Conceptos 1. En una recta, marcar a los puntos consecutivos "A", "B" y "C". ¿Cuántos segmentos como máximo se determinan?

8x

A

E

B

E

B

N

Q

5. Si: EF=20u; MH=30u y MF=16u, calcular "EH". E

M

F

H

6. Si: PR=16u; QT=23u y QR=9u, calcular "PT". P

Q

R

M

N

H

A 138

4x

x B

C

Central: 619-8100

Q

10a

Q

R

T

12. En el problema anterior, calcular "PT" 13. Si: AL = 4x; LE = 6x y AJ = 24x, calcular "x". 28 cm A

L

E

J

14. Si: MT = 98u, calcular "x". 5x

26u

M

N

7x Q

T

15. ¿Cuántos segmentos se cuentan como máximo en la siguiente figura? A

8. Si: AE = 96 cm, calcular "x". 2x

T

3a

P

T

7. Si: EN = 24u; MH = 43u y EH = 57u, calcular "MN". E

F

4a

C

4. Si: MQ = 124u y NQ = 80u, calcular "MN" M

P

11. Si: PR = 21u, calcular "RT".

7x

A

B

10. Si: EF = 16u; TQ = 22u y EQ = 53u, calcular "FT".

3. Si: AC = 120 cm, calcular "x". 3x

8x

2x A

2. Si: AB = 72u, calcular "x". x

9. Si: AP = 60u, calcular "AB".

B

C

D

E

5x D

E Unidad I

17

3

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

punto medio del segmento de recta En este capítulo aprenderemos: • • •

CAPÍTULO

3

A ubicar los puntos medios de los segmentos, conociendo sus medidas. A usar variables para representar segmentos congruentes. A usar el compás para ubicar el punto medio del segmento de recta.

CAPITULO

En nuestro país, las unidades de longitud más usadas son:

• •

1 metro = 100 centímetros 1 kilómetro = 1000 metros

En las carreteras, para señalar las distancias entre las ciudades se usan los kilómetros.



Por ejemplo, en Norte América se usan: pulgadas; pies; yardas y millas. 1 pie = 12 pulgadas



1 milla = 1760 yardas

Partiendo de que 1 pulgada es aproximadamente 2,54 centímetros, se calcula que 1 milla es aproximadamente 1,6 kilómetros Colegios

18

1 yarda = 3 pies

TR ILCE

www.trilce.edu.pe 139

Punto medio y el segmento de recta 2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias 10 x - I BIM 5 50

Aplica lo comprendido Conceptos básicos 1. Grafica un segmento de recta AB de 4,2 cm y ubica a su punto medio, usando el compás. (Usar regla calibrada en centímetros) 2. Grafica un segmento de recta PQ de 5,7 cm y ubica a su punto medio, usando el compás. (Usar regla calibrada en centímetros)

7. Si: AM = 79u; MF = 31u y "E" y "N" son puntos medios de AM y MF respectivamente, calcular "EN". A

E

M

N

F

8. Si: RB = 70u; "A" es punto medio de RM y "C" es punto medio de MB, calcular "AC". 3. Si: AB = 15 cm; BC = 42 cm y "M" es punto medio de BC, calcular "AM". a a b b R A M C B A B M C 4. Si: PQ = 48u; QR = 14u y "N" es punto medio de PR, calcular "NQ". P

N

Q

9. Si: PR = 55u, calcular "MN"; siendo "M" y "N" puntos medios de PQ y QR. x

R

P

x M

y Q

y N

R

5. Si: EF = 23u; NG = 25u y "F" es punto medio 10. Si: EF = 118 cm, calcular "AB", siendo "A" y de EN, calcular "EG". "B" puntos medios de EK y KF respectivamente. E

F

N

G

E

A

K

B

F

6. Si: AB = 21u y BC = 65u, hallar "MN", si "M" y "N" son puntos medios de AB y BC. A

M

B

N

C

Conceptos básicos Aprende más... Comunicación matemática 1. Dar el valor de verdad de las siguientes proposiciones ("V" o "F")

• •

Cada segmento de recta tiene solo un punto medio ................................................................( El punto medio de un segmento de recta equidista de los extremos de dicho segmento .........(

) )

2. Completar las siguientes proposiciones, usando los términos del recuadro. • •

Dos ..........................de recta que tienen igual longitud se denominan segmentos .......................... El .......................... medio de un segmento de recta .......................... a éste en otros dos segmentos congruentes. iguales - semejantes - congruentes - punto - recta - segmentos - divide - determina

3. Grafica a los segmentos consecutivos no colineales AB y BC que miden 3,2 cm y 2,5 cm (usar regla calibrada en centímetros). Luego ubicar a los puntos medios de AB y BC con el uso del compás. Colegios

20

140

TR ILCE

www.trilce.edu.pe

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

4. Grafica a los segmentos consecutivos y colineales PQ y QR, tal que: PQ = 2,8 cm y RP = 3,6 cm (usar regla calibrada en centímetros). ¿Cuánto mide QR y qué observa?

3

5. Grafica al segmento EF que mide 6 cm y a los segmentos consecutivos no colineales EA y AF de cualquier medida. Luego ubica a los puntos medios de EA y AF con el uso del compás. ¿Cuánto mide el segmento de recta que une dichos puntos medios? (Usar regla calibrada en centímetros) Resolución de problemas 6. Si: AB = 31u; BC = 75u y "M" es punto medio de AC, calcular "BM".

A

B

M

N

P

C

7. Si: EQ = 86u; FQ = 32u y "N" es punto medio de EF, calcular "NQ".

E

10. Si: PR = 43u; QS = 47u; QR = 13u y "A" y "B" son puntos medios de PQ y RS, calcular "AB".

F

A

Q

R

B

S

11. Si: AB = 26u; BC = 58u; "M" y "N" son puntos medios de AB y BC y además "P" es punto medio de MN, calcular "BP".

Q

A

M

B

P

N

C

8. Si: MQ = 33u; MN = 97u y "P" es punto medio 12. Si: PQ = 72u; QR = 28u y "E", "F" y "M" son de QN, calcular "MP". puntos medios de PQ, QR y EF respectivamente, calcular "MQ". M

Q

P

N

9. Si: AC = 40u; BD = 80u y BC = 10u, calcular "MN", siendo "M" y "N" puntos medios de AB y CD respectivamente.

A

M

B

C

N

P

E

M Q

F

R

D

Aplicación cotidiana •

Un edificio está compuesto por siete pisos, tal que el primer piso tiene una altura de 3 metros y el resto de los pisos 2 metros de altura.

13. ¿Qué altura tiene el edificio? 14. ¿Qué altura sube una persona que vive en el cuarto piso? 15. ¿Qué altura sube una persona que vive en el sexto piso?

Central: 619-8100

Unidad 141 I

21

Punto medio y el segmento de recta 2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

¡Tú puedes!básicos Conceptos 1. Sobre una recta se tienen los puntos consecutivos 4. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos "A", "B", "C" y "D". Si: AC + BD = 64µ, calcular "A", "B", "C" y "D". Si: AB = CD y AD + BC = 16, calcular "BD". "PQ", siendo "P" y "Q" puntos medios de AB y CD respectivamente. 2. En una recta se ubican los puntos consecutivos "A", "B" y "C". Si: AB + AC = 28, calcular 5. En una recta se ubican los puntos consecutivos "AM", siendo "M" punto medio de BC. "P", "Q", "R" y "S". Si "M" es punto medio de PS, PQ + RS = 17 m y QM - MR = 3 m, 3. Sobre una recta se toman los puntos consecutivos calcular "RS". "A", "B", "C" y "D". Calcular "AD", si: AC = 12µ y AD + CD = 28µ. 18:10:45

Practica enbásicos casa Conceptos 1. Si: AC = 40 cm; BD = 60 cm y AD = 90 cm, 9. Si: PE = MT = 38; EF = 11 y PT = 127, hallar "FM". hallar "BC". P E F M T A B C D 10. Si: AB = 7u y BC = 19u, hallar "PQ", siendo 2. Si: AB = 11 cm; BD = 28 cm y "C" es punto "P" y "Q" puntos medios de AB y BC. medio de BD, hallar "AC". A

B

C

D

3. Si: PM = 58; TM = 34 y "Q" es punto medio de PT, hallar "QM". P

Q

T

M

A

P

B

Q

C

11. Si: AR = 27 cm; TQ = 32 cm y TR = 18 cm, hallar "AQ". A

T

R

Q

4. Si: AC = 24; CB = 50 y "M" es punto medio de 12. Si: EN = 48; EM = 26 y "N" es punto medio de MF, hallar "EF". AB, hallar "CM". A

C

M

B

E

M

N

F

5. Si: AB = 18; BC = 32, "M" y "N" son puntos 13. Si "E" es punto medio de AF y AG = 60u, calcular "x". medios de AB y AC , hallar "MN". x 3x A M B N C A E F G 6. ¿Cuántos segmentos hay? P

E

F

T

Q

7. Si: AB = 42; BC = 19; CD = 64 y "M" y "N" son puntos medios de AB y CD, hallar "MN". A

M

B

C

N

D

8. Si: AE = 26; EF = 32; FH = 48 y "M" es punto medio de EF, hallar "MH - AM". A Colegios

22

142

TR ILCE

E

M

F

H

14. Si "R" es punto medio de PT y PT = 70u, calcular "PQ". 2x P

3x Q

R

T

15. Si "C" es punto medio de AD y AD = 160 cm, calcular "x". 5x A

3x B

C

D www.trilce.edu.pe

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

recordando lo aprendido

4

CAPÍTULO

4

Conceptos básicos Aprende más... Comunicación matemática •

Dar el valor de verdad de las siguientes proposiciones ("V" o "F")



1. 2. 3. 4.

•

Completar las siguientes proposiciones correctamente, usando los términos del recuadro mostrado:

Por un punto pasan infinitas rectas. ............................................................................ ( Por dos puntos solamente pasa una recta .................................................................... ( Dos rayos con el mismo origen y en sentidos opuestos forman una recta. .................. ( Si un punto tiene igual distancia a los extremos de un segmento de recta, entonces es necesariamente el punto medio. ................................................................................. ( 5. Los puntos que pertenecen a una misma recta se llaman colineales. ........................... (

) ) ) ) )

6. Los elementos ................................... son tres y no tienen ................................... 7. El punto ................................ de un segmento de ........................... pertenece a dicho segmento y ........................ igual distancia a los ................................. del segmento. 8. Dos segmentos de recta son ................................... y colineales si ................................... a una misma recta y tienen un ................................... en común.

extremos - medio - plano - congruentes consecutivos - geométricos - calculan punto - pertenecen - tiene - recta - medida

•

Completar correctamente los recuadros adjuntos a cada gráfico: 9.

B

m

1

3c

cm

A 10.

BC < ............... C

3 cm A

Central: 619-8100

1 cm B

C

AC = ...............

Unidad 143 I

23

Recordando lo aprendido

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Resolución de problemas 11. Calcular el máximo número de puntos de corte 16. Si: PE = 78u; PR = 32u; QE = 60u y "M" es punto medio de QR, calcular "MR". entre tres rectas paralelas y dos rectas secantes. 12. Calcular el máximo número de puntos de corte entre dos rectas paralelas y tres rectas secantes. 13. Calcular el máximo número de puntos de corte entre dos circunferencias y tres rectas paralelas.

P

Q

M

R

E

17. Si: AB = DE = x ; BC=3x; CD = 5x y AE = 130u, calcular "AC".

A B C D E 14. Si: AB = 28u; BC = 12u y "P" y "Q" son puntos medios de AC y BC respectivamente, calcular 18. Si: AB + AC = 96u y BC = 54u, calcular "AB" "PQ". A

P

B

Q

C

15. Si "M" y "N" son puntos medios de EN y EQ respectivamente, calcular "MN", si además: EQ = 60u E

M

N

Q

A

B

C

19. Si: PQ - QR = 31u y PR = 59u, calcular "QR". P

Q

R

20. Si: EQ = 80u; PF = 140u y EF = 170u, calcular "MN", si además "M" y "N" son puntos medios de EP y QF. E

M

P

Q

N

F

socisáb¡Tú sotpuedes! pecnoC 1. En una recta se marcan los puntos consecutivos "A", "B", "C", "D", "E", "F", "G" y "H". Calcular el máximo número de segmentos determinados. 2. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos "A", "B" y "C", tal que: AC + BC = 68u y "M" es punto medio de AB. Calcular "MC". 3. Se tienen los puntos colineales "P", "Q" y "R" (PQ > QR) tal que: PQ - QR = 18u. Calcular "MQ", siendo "M" punto medio de PR. 4. Se tienen 10 rectas secantes. Calcular el máximo número de puntos de corte. 5. Calcular el máximo número de puntos de corte entre 12 rectas paralelas y 10 rectas secantes.

Colegios

24

144

TR ILCE

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2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM 18:10:45

4

soPractica cisáb soten peccasa noC 1. Calcular el máximo número de puntos de corte 8. Si: PF = 59u y EF = 21u, calcular "MF", siendo entre dos triángulos. "M" el punto medio de PE. 2. Calcular el máximo número de puntos de corte entre cuatro rectas secantes. 3. Calcular el máximo número de puntos de corte entre cinco rectas secantes. 4. ¿Cuántos puntos de corte hay entre el triángulo ABC y la circunferencia? B

P

M

E

F

9. Si: AD = 48u y BC = 15u, calcular: a + b a A

b B

C

D

10. Si: AB = 12u; BC = 10u; CD = 18u y "M" es punto medio de BD, calcular "AM". A

B

C

M

D

11. Si: AM = 38u; MP = 54u; PQ = 22u y "N" es punto medio de AQ, calcular "NP". A

C

A

5. ¿Cuántos puntos de corte hay entre las circunferencias y las rectas paralelas?

M

N

P

Q

12. Si: AD = 72u, calcular "y" y

16u

A

B

7y C

D

13. Si: AC + AB = 72u y BC = 50u, calcular "AB" A

6. Si: AD = 58 cm, calcular "x". x A

18 cm B

C

14. Si: QR - PQ = 16u y PR = 60u, calcular "PQ"

3x C

B

D

P

Q

R

7. Si: AB = 11u; BC = 39u y "M" y "N" son puntos 15. Si: AB=24u; BC=30u y "M" y "N" son puntos medios de AB y BC respectivamente, calcular medios de AB y BC respectivamente, calcular "MN" "MN" A

M

Central: 619-8100

B

N

C

A

M

B

N

C

Unidad 145 I

25

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

1

Identificando y midiendo ángulos CAPÍTULO

5

En este capítulo aprenderemos:

A diferenciar entre ángulo, medida angular y región angular. A clasificar a los ángulos de acuerdo a su medida. A usar el transportador para graficar y/o medir ángulos. A trazar la bisectriz de un ángulo con el uso del compás y con el uso del transportador.

¿Por qué una vuelta mide 360º? 12

11 10 1º 360º

CAPITULO

• • • •

1

2

1º

9

3

4

8 7

1º: un grado sexagesimal

6

5

Antigüamente; al tomar como base la división del año en 360 días se dividió al círculo en 360 partes, dando como origen al sistema sexagesimal para la medición angular, que posteriormente sirvió para la elaboración del reloj. Las antiguas civilizaciones de Mesopotamia observaron que el Sol parecía desplazarse hacia el Oeste en el firmamento de una manera regular, con el paso de los días. Este era un descubrimiento sofisticado: primero crearon un mapa de las estrellas, luego observaron que cada día el Sol salía y se ponía en un intervalo breve; pero discernible, contra el fondo de las estrellas para completar un circuito completo de todo el campo de estrellas. Los egipcios sabían que el Sol tardaba aproximadamente 360 días, por eso fue que se dividió el círculo en 360º donde "cada grado representaba la distancia recorrida por el Sol contra el fondo de estrellas en un día". Sin embargo, los egipcios sabían que el año verdadero tenía 365 días y no 360, el asunto se complicaba más por el uso de un calendario de 12 meses de 30 días sin añadirles nada. Hasta los avances de la Aritmética, el año oficial egipcio duraba 360 días y simplemente se declaraban que los restantes cinco no existían, al menos oficialmente. Este periodo era dedicado a festejos y banquetes con animales especialmente sacrificados para este periodo.

146

Central: 619-8100

Unidad II

27

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

2. Trazar una recta a perpendicular a la recta mostrada L y que pase por el punto "E".

E

4. Traza la bisectriz del siguiente ángulo con el uso del compás.

1

L

3. Medir los siguientes ángulos y clasifícalos. 5. Traza la bisectriz del ángulo mostrado.

6. Grafica un ángulo de 120º y traza su bisectriz con el transportador. 7. Grafica un ángulo de 70º y traza su bisectriz con el transportador. 8. Grafica un ángulo de 60º y traza su bisectriz con el uso del transportador. 9. Grafica un ángulo de 140º y traza su bisectriz con el uso del transportador. 10. Grafica un ángulo de 200º y traza su bisectriz con el uso del transportador.

sociAprende sáb sotpemás... cnoC Comunicación matemática 1. Dar el valor de verdad de las siguientes proposiciones ("V" o "F")

•

El ángulo de una vuelta mide 360º .................................................................................... (

)



•

El ángulo llano mide 90º ...................................................................................................(

)

2. Completar correctamente las siguientes proposiciones, usando los términos del recuadro.

•

La ................................... de un ángulo divide a éste en ................................... iguales.



•

Dos ángulos que ................................... igual medida se llaman ángulos ................................... rayo

-

recta

-

congruentes - iguales

- tienen - bisectriz - medidas - ángulos

3. Grafica los ángulos congruentes AOB y PMQ que miden 80º. 4. Grafica los ángulos congruentes MON y APB que miden 130º. 5. Grafica el ángulo AOB, tal que: m AOB = 230º. Central: 619-8100

Unidad II147

31

Identificando y midiendo ángulos 2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Resolución de problemas 6. Medir los ángulos internos "A", "B" y "C" usando el transportador.

10. Medir los: AOB; BOC y transportador.

B

COD usando el

C B

Recta

C

A

7. Medir los ángulos en los vértices "A", "B", "C" y "D" usando el transportador. C

B

A

AOC usando el

A

A

11. Graficar los ángulos consecutivos AOB y BOC, tal que: m AOB = 100º y m BOC = 60º. ¿Cuánto mide el ángulo AOC? (Usar el transportador) 12. Graficar los ángulos consecutivos PQM y MQN tal que: m PQM=70º y m MQN= 50º. ¿Cuánto mide el ángulo PQN? (Usar el transportador)

D

8. Medir los: AOB; BOC y transportador.

13. Usando el compás, trazar la bisectriz del ángulo AOB. Luego ubicar a un punto "P" de dicha bisectriz y medir las distancias de "P" a los lados OA y OB A

B O

C

9. Medir los: AOB; BOC; COD y usando el transportador. A

D

O

O AOD

B

B O

D

C

Aplicación cotidiana • Las agujas del reloj (horario y minutero) son observadas por Anita que entusiasmada con el tema de ángulos encuentra que: 14. Al escuchar la campanita del reloj siendo las 8 a.m en punto, las agujas forman un ángulo de:

http://es.123rf.com

15. Luego de dos horas vuelve a escuchar la campanita y las agujas del reloj forman un ángulo de:

Colegios

32

148

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2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

1

socisáb¡Tú sotpuedes! pecnoC 1. Graficar un ángulo no convexo de 240º y luego trazar su bisectriz usando el transportador. 2. Graficar un ángulo no convexo cualquiera y luego trazar su bisectriz con el uso del compás. 3. Graficar a los ángulos consecutivos AOB y BOC que miden 120º y 100º respectivamente. Luego trazar la bisectriz OM del ángulo AOC. 4. En el problema anterior, calcular: m MOB. 5. Trazar las bisectrices de los ángulos AOB y BOC, usando el compás. Luego mide el ángulo formado por dichas bisectrices. B

A

O

C 18:10:45

Practica enbásicos casa Conceptos •

Graficar y clasificar a los siguientes ángulos (usa • el transportador)

Graficar a los ángulos consecutivos AOB y BOC. Luego, calcular m AOC. (Usa el transportador)

1. 35º

9. m AOB = 30º y m BOC = 60º

2. 65º

10. m AOB = 40º y m BOC = 80º

3. 104º

11. m AOB = 20º y m BOC = 70º

4. 170º

12. m AOB = 80º y m BOC = 70º

5. 28º

13. m AOB = 110º y m BOC = 90º

6. 126º

14. m AOB = 130º y m BOC = 80º

7. 58º

15. m AOB = 100º y m BOC = 50º

8. 220º

Central: 619-8100

Unidad II149

33

2

Ordenamiento lineal y circular 2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

operaciones con ángulos En este capítulo aprenderemos: • • •

A relacionar ángulos por sus lados A graficar ángulos sin el uso del transportador comparando al ángulo recto y ángulo llano. A sumar y restar medidas de ángulos consecutivos.

CAPÍTULO

6 Se cree que el alfabeto griego deriva de una variante del fenicio, introducido en Grecia por mercaderes de esa nacionalidad. El fenicio, como los alfabetos semíticos posteriores, no empleaba signos para registrar las vocales; para salvar esta dificultad, que lo hacía incompleto para la transcripción de la lengua griega, los griegos adaptaron algunos signos utilizados en fenicio para indicar aspiración para representar las vocales. Este aporte puede considerarse fundamental; la inmensa mayoría de

los alfabetos que incluyen signos vocálicos se derivan de la aportación original griega. Además de las vocales, el griego añadió tres letras nuevas al final del alfabeto: fi y ji, para representar sonidos aspirados que no existían en fenicio, y psi. En el Álgebra se usan variables como "x", "y" y "z" para señalar valores numéricos, en general trabajando básicamente con las operaciones. En Geometría para señalar valores angulares no conocidos se utilizan

A B r ∆ E Z H Θ I K Λ M

α β γ δ ε ζ η θ ι κ λ µ

alfa beta gamma delta épsilon dseta eta zeta iota kappa lambda mi

N Ξ O ∏ P ∑ T ϒ Φ X Ψ Ω

ν ξ o π p σ τ υ ϕ χ ψ ω

ni xi ómicron pi ro sigma tau ipsilon fi ji psi omega

letras griegas como: "α";"β";"θ" y "δ"; etc

Colegios

34

150

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Geometría

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

2

A θº xº

O

B

βº

B

180º – θº θº A

O

C

C m AOB = 180º - θº

xº = βº – θº

P αº

Q xº 90º – xº

O

βº

αº R

βº

ωº θº

θº O

αº+ βº + θº = 180º

m QOR = 90º - xº

αº+ βº + θº + ωº = 360º

10 x 5 50

Aplica socilo sácomprendido b sotpecnoC 1. Calcular "xº", si: m AOF = 18º

3. Si OM es bisectriz del ángulo AOB y m BOC = 32º, calcular: m MOC.

A

M

F 2xº O

xº

B

E A

B

2. Si: m EOF = 130º; m EON = 100º y OM es bisectriz del ángulo NOF, calcular: m EOM

O

4. Si: m MOA = 48º y m MOQ = 142º, calcular: m NOQ, si OA es bisectriz del ángulo MON A

M

E

C

N N

O

M O Central: 619-8100

Q

F Unidad II151

37

Operaciones con ángulos

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

5. Calcular "xº"

8. Si: m EOF = αº y m FOH = 5αº, calcular "αº" F xº E

O

H

4xº 9. Calcular "αº". 6. Si: m AOB = 38º; m BOC = 72º y OM es bisectriz del ángulo AOC, calcular "θº".

αº

O

8αº

θº

C

A B

M

10. Calcular "αº".

7. Si: m AOB = 28º; m BOC = 102º y ON es bisectriz del ángulo AOC, calcular: m BON αº

O

80º

4αº

C

A B

N

Conceptos básicos Aprende más... Comunicación matemática 1. Dar el valor de verdad de las siguientes proposiciones ("V" o "F")

• •

La medida de un ángulo llano es el doble de la medida de un ángulo recto. ........................ ( La bisectriz de un ángulo es un rayo que divide en medidas iguales a dicho ángulo. ............ (

) )

2. Completar correctamente las siguientes proposiciones, usando los términos del recuadro mostrado:

•

Dos ángulos .......................................... por el vértice, tienen sus .......................................... en sentidos opuestos y sus medidas son ...........................................



•

Dos rectas secantes y .......................................... forman cuatro ángulos ...................................... consecutivos. perpendiculares - iguales

Colegios

38

152

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paralelas - llanos - rectos - opuestos - consecutivos lados - ángulos www.trilce.edu.pe

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM



Completar las relaciones, según los gráficos:

3.

2

B

E

m AOE = ........ − ........

βº O

A 4.

F αº E

m FOM = ........ − ........

O

M

5.

ωº

αº

αº + βº + θº + ωº = ........

βº

θº Resolución de problemas 6. Si: m COD = 23º, calcular: m AOB.

8. Si: m AOB=42º; m BOC=90º y ON es bisectriz del ángulo AOC, calcular: m BON. O

B C O

A

C

A B

D

7. Si: m AOC = 74º; m BOC = 22º y OM es bisectriz del ángulo AOB, calcular: m MOC.

9. Calcular "αº" A

A

Central: 619-8100

3αº

B C

B αº

M

O

N

D

2αº O

C

4αº

Unidad II153

39

Operaciones con ángulos

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

10. Calcular "xº", si: m AOD = 148º.

t B y CO t D. 12. OM y ON son bisectrices de AO Si: m AOB=36º, calcular: m MON

B C A

3xº

C

68º xº

B M

D

O

B

O

26º

B

E

N 34º

D

t C y BO t C, 13. Si OE y OF son bisectrices de AO calcular: m EOF

C

M A

O

A

11. Si OM y ON son bisectrices de los ángulos AOB y COD, calcular: m BOC

N

100º

F

D

C

30º A

O

Aplicación cotidiana • Una puerta metálica levadiza de la cochera de una casa está decorada y asegurada por varillas que forman ángulos consecutivos congruentes. 14. ¿Cuántos ángulos consecutivos, congruentes y menores se han formado? 15. ¿Cuánto mide cada ángulo menor?

socisáb¡Tú sotpuedes! pecnoC 1. Si: m BOC = 80º; OM y ON son bisectrices de los ángulos AOB y COD, calcular la m MON.

2. Calcular "xº", si: m AOC + m BOD = 130º. A

B

C

N

M A Colegios

40

154

TR ILCE

B

C xº O

D

O

D

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2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

3. Se tiene dos ángulos consecutivos POQ y QOR. 5. Se tienen los ángulos consecutivos AOB y BOC de tal manera que el ángulo AOB mide 50º. Se traza OM bisectriz del ángulo POQ. Calcular la medida del ángulo formado por las Si: m POR + m QOR =140º, calcular la bisectrices de los ángulos AOC y BOC. m MOR.

2

4. Si: m AOB - m BOC = 70º, calcular la m MOB. Además OM es bisectriz del ángulo AOC. M

B C

A

O 18:10:45

Practica enbásicos casa Conceptos 1. Si: m AOB = 20° y m AOC = 100°, calcule: 4. Calcule "x°" m BOC. C

B

xº

A

4xº

O 2. Si: m AOD=120º, m BOC=70º y m COD =30º, calcule: m AOB.

5. Calcule "x°", si: m AOD = 110°. C

C

B

D A

B

xº

D 50º

O

O

A

2xº

6. Calcule "x°"

3. Calcule "α°"

32º

Central: 619-8100

αº

xº

120º

3xº

Unidad II155

41

Operaciones con ángulos

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

7. Si: m AOC=120°, m BOC=20° y OM es bisectriz del ángulo AOB, calcule: m MOC.

12. Calcule "xº", si: m AOC=158º y OM es bisectriz del ángulo BOC

B

B C

M

M

A xº

A

64º O

O 8. Si: m POQ=100°, m QOR=40° y OM es bisectriz del ángulo POR, calcule: m MOQ.

13. Si OM es bisectriz del ángulo AOB, calcule "θ°". M 5θº

Q

M

B

R

P

C

A

O

9. Si OM es bisectriz del ángulo AOC y ON es bisectriz del ángulo BOC, calcule: m MON, si además: m BOC=40º.

14. Calcule "β°" C

B

B N

M

C 38º

A

θº

48º

O

Recta

βº

64º

O

A

O

10. Si: m AOB=36°, OM y ON son bisectrices de los ángulos AOB y COD, calcule: m MON.

D

15. Si: m AOB = 30° y m BOC = 80º y además t C, calcule m BOM. OM es bisectriz del AO M

C

B N

B M

C

A D

O

A

C

O

11. Calcular: m BOC. B

C

2xº 3xº A

O 8xº

5xº

D

Colegios

42

156

TR ILCE

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2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

solo con enunciados

3

En este capítulo aprenderemos: •

A interpretar un enunciado con términos geométricos de segmentos de recta y ángulos.

•

A graficar problemas para su resolución conociendo sus valores o usando variables.

•

A representar mediante una ecuación la suma y resta de segmentos y ángulos.

CAPÍTULO

¿Qué es generalizar?

7

¿Qué es para ti una fórmula?

3

2

1

2

1

4

3

2

1

n (n - 1) 2

"n" puntos 3 puntos

3 segmentos

4 puntos

3 ........

6 segmentos

n

segmentos

En la Aritmética, estudiamos a los números haciendo operaciones que resuelven problemas diversos de la vida cotidiana como compra, venta, edades, etc. En el Álgebra, el concepto de cantidad es mucho más amplio utilizando letras para representar a las cantidades conocidas y desconocidas. Una fórmula algebraica surge justamente de la generalización que implica la representación de cantidades por letras. En nuestro curso de Geometría, empleamos claramente estos conceptos básicos y en estos dos capítulos es importante entenderlo y dominarlo para aplicarlo en capítulos más complejos.

Conceptos básicos Recuerda que... •

•

"Q" es punto medio de AN a

A

Puntos y segmentos consecutivos y colineales.

a Q

a y

b

N A

B

C

D

AB = a – b AD=a+ y

Central: 619-8100

Unidad II157

43

10 x 2° Año de 5 secundaria

3

Compendio de Ciencias - I BIM

50

Aplica socilo sácomprendido b sotpecnoC 1. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos 6. Se tienen los ángulos consecutivos AOB y BOC, tal que: m AOB = 76º y m BOC = 48º. Calcular "A"; "B" y "C" tal que: AB = 32u y AC = 46u. t C. Calcular "AM", siendo "M" punto medio de BC. m BOM, siendo OM bisectriz del AO 2. Se tienen los puntos colineales "P"; "Q" y "R", 7. Se tienen los ángulos consecutivos POQ y QOR, tal que: PQ = 56u y QR = 38u. Calcular "MQ", tal que: m POR=140º y m POQ=110º. Calcular siendo "M" el punto medio de PR. m POE, siendo OE bisectriz del QOR. 3. AE y EF son segmentos colineales y consecutivos 8. Dados los ángulos consecutivos AOB; BOC y tal que: AE=36u y AF=78u. Calcular "MN", COD, tal que: m AOB=m BOC=m COD y siendo "M" y "N" puntos medios de AE y EF m AOD=144º. Calcular: m BOD. respectivamente. 9. Dados los ángulos consecutivos POQ y QOR, 4. PQ y QR son segmentos colineales y tal que: m POQ=2 m QOR y m POR=126º. consecutivos tal que: PQ = 84u y QR = 62u. Calcular: m QOR. Calcular "EQ", siendo "E" el punto medio de PR. 10. Dados los ángulos consecutivos MON y NOE, tal que: m MON=3 m NOE y m MOE=128º. 5. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos Calcular: m NOE. "A", "B", "C" y "D" tal que: AB=20u; BC=16u y CD=34u. Calcular "MN", siendo "M" y "N" puntos medios de AB y CD respectivamente.

Conceptos básicos Aprende más... Comunicación matemática 1. Completar las siguientes proposiciones, usando los términos del recuadro mostrado: •

Dos segmentos de ..................................... y dos ángulos se ..................................... congruentes si tienen sus ..................................... iguales respectivamente.

•

La menor ..................................... entre dos puntos en el espacio está representado por la ........... .......................... del segmento de recta que ..................................... a dichos puntos. distancia - medidas - recta - punto une - plano - denominan - longitud

2. Dar el valor de verdad de las siguientes proposiciones ("V" o "F") • • •

El ángulo de una vuelta mide 360º ...................................................................................... ( El ángulo no convexo es mayor de 90º y menor que 180º ................................................... ( Los ángulos opuestos por el vértice suman 180º .................................................................. (

) ) )

3. Trazar dos rectas perpendiculares y luego las rectas bisectrices de los ángulos rectos formados con el transportador. ¿Qué observas? 4. Graficar un ángulo agudo cualquiera, luego con el uso del compás traza su bisectriz. Mide las distancias de un punto cualquiera de la bisectriz hacia los lados del ángulo. ¿Qué observas? 5.

158

Grafica un segmento de recta de cualquier longitud, luego ubica a su punto medio con el uso del compás. ¿Qué se obtiene al dividir la longitud de uno de los segmentos obtenidos entre la longitud del segmento inicial?

Central: 619-8100

Unidad II

45

Solo con enunciados

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Resolución de problemas 6. Sobre una recta se ubican los puntos 10. Se tienen los ángulos consecutivos AOB y consecutivos "A", "B" y "C" tal que: AB = 86u BOC tal que: m AOB=68º y m AOC=138º. y BC =58u. Siendo "M" punto medio de AC, Calcular la medida del ángulo formado por OA calcular "BM". y la bisectriz del ángulo BOC. 7. Sobre una recta se ubican los puntos 11. Se tienen los ángulos consecutivos POQ y consecutivos "P", "Q" y "R" tal que: PR=68u QOR que miden 100º y 50º respectivamente. y PQ=22u. Calcular la distancia entre "P" y el Calcular el ángulo formado por OQ y la punto medio de QR. bisectriz del ángulo POR. 8. Se tienen los puntos colineales "A", "B", "C" 12. Dados los ángulos consecutivos AOB, BOC y "D" tal que: AB=18u, BC=24u y CD=30u. y COD que suman 180º. Si: m AOB=38º y Calcular la longitud del segmento que une los m COD=76º, calcular: m BOC. puntos medios de AB y CD. 13. En el ejercicio anterior, calcular la medida del tBy 9. Se tienen los puntos colineales "A", "B", "C" y ángulo formado por las bisectrices de AO t "D" tal que: AC = 36u, BD = 48u y BC = 10u. CO D. Calcular la longitud del segmento que une los puntos medios de AB y CD. Aplicación cotidiana •

Alejandrita es aficionada a la carpintería ya que ayuda a su papá en la elaboración de un mueble para su cuarto. El papá le dice a Alejandrita que corte con una sierra la madera mostrada de 2 metros de longitud en tres partes, tal que la menor parte mida 40 cm y la mayor parte exceda a la parte intermedia en 20 cm.

s

etro

2m

14. ¿Cuántos cortes realiza Alejandrita? 15. ¿Cuánto miden las otras dos partes?

¡Tú puedes!básicos Conceptos 1. Se tienen los puntos colineales "A", "B", "C" y "D" tal que: AC=42u; BD=78u y CD=3(AB). Calcular "AB". 2. Se tienen los puntos colineales "P", "Q", "R" y "S" tal que: PR + QS = 124u. Calcular: PS + QR. 3. Se tienen los ángulos consecutivos AOB y BOC tal que: m BOC - m AOB = 48º. Calcular la medida del ángulo formado por OB y la bisectriz del ángulo AOC 4. Dados los ángulos consecutivos AOB y BOC, tal que: m AOB = 90º. Calcular la medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos BOC y AOC. 5. Dados los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD que forman un ángulo llano. Calcular la medida del ángulo formado por las bisectrices de AOB y COD. Además: OB OC.

Colegios

46

TR ILCE

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2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

18:10:45

3

soPractica cisáb soten peccasa noC 1. Se tienen los puntos colineales "A", "B", "C" y 10. Calcular "xº". "D". Si: AC = 21u; BD = 28u y AD = 30u, calcular "BC". 2. Se tienen los puntos colineales "A", "B", "C" y "D". Si: AC = 19u; BD = 24u y AD = 27u, calcular "BC".

2xº 40º

3. Se tienen los puntos colineales "P", "Q", "R", "S" y "T". Si: PQ = QR; RS = ST; PR = 12u y RT = 20u, calcular "QS". 11. Calcular "xº". 4. Calcular "PM", siendo "M" punto medio de QR. 18u P

3xº R

Q

2xº

S 12. Calcular "xº".

22u 30u 5. Calcular "x", si: AM = MD; AC = 5m y AD = 16m.

3xº + 5º

4xº - 10º

x A

C

M

D

13. Calcular "xº".

6. Sobre una recta se dan los puntos consecutivos "P", "Q", "R" y "S" tal que "Q" es punto medio de PR. Si: PR=30 m y RS=10 m, hallar "QS". 60º 7. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos 2xº + 15º 2xº - 15º "P", "Q", "R" y "S", tal que: PR=10 m; QS=12 m y QR=4 m. Calcular "MN", siendo "M" y "N" 14. Calcular "xº". puntos medios de PQ y RS. 8. Se tienen los puntos colineales "A", "B", "C" y "D". Si: AB=BC; AC=CD y AD=48u, calcular "BC".

2xº - 10º

3xº + 10º

9. Del gráfico mostrado, calcular "MN", siendo "M" y "N" puntos medios de AC y BD respectivamente. 12u A

15. Calcular "xº".

18u B

8u C

D

A B

O

160

Central: 619-8100

4xº xº + 10º C

Unidad II

47

4

Complemento y suplemento de un ángulo Compendio de Ciencias - I BIM

2° Año de secundaria

Complemento y suplemento de CAPÍTULO un ángulo En este capítulo aprenderemos: • • •

8

A comparar la medida de un ángulo con el ángulo recto y el ángulo llano. A relacionar gráficamente y algebraicamente el complemento y suplemento de un ángulo. A identificar a dos ángulos complementarios y suplementarios.

Torre de Pisa La torre de Pisa (Italia) se construyó verticalmente, pero por lo débil de los cimientos de la torre se produjo una ligera inclinación dejando la torre en tres pisos. Después de 100 años de los cuatro pisos restantes con la finalidad de corregir la inclinación pero la torre se inclinó más. Desde el 2001 se reabrió el acceso al público ya que no existe riesgo alguno. Actualmente se hacen edificaciones con inclinaciones gracias a la tecnología, lo cual le da un aspecto de modernidad. ¿Qué ángulo está inclinada la torre de Pisa?

•

¿La inclinación de la torre de Pisa fue adrede?

http://www.viajesmag.com

•

CAPITULO

aproximadamente se reinició la construcción

Colegios

48

TR ILCE

www.trilce.edu.pe 161

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Ten en cuenta

4

Para combinar operaciones con el complemento y suplemento de un ángulo se usan términos prácticos como por ejemplo: 1. Si nos piden: • Calcular el complemento de 40º y luego el suplemento del resultado. La solución es: C40º = 90º - 40º = 50º

Respuesta: 130º •

S50º = 180º - 50º = 130º

En forma práctica: Calcular el suplemento del complemento de 40º.

La solución es: SC40º = 180º - (90º - 40º) SC40º = 180º - 50º

∴ SC40º = 130º

2. Si nos piden: • Calcular el complemento del resultado del suplemento de 110º. La solución es: S110º = 180º - 110º = 70º

Respuesta: 20º



•

C70º = 90º - 70º = 20º

En forma práctica: CS110º = 90º - (180º - 110º) CS110º = 90º - 70º CS110º = 20º

10 x 5 50

Aplica socilo sácomprendido b sotpecnoC 1. Calcular el complemento de 53º. 2. Calcular el suplemento de 81º. 3. Calcular la suma entre el complemento de 10º y el suplemento de 100º. 4. Calcular la suma entre el complemento de 30º y el suplemento de 70º. 5. Calcular la diferencia entre el suplemento de 70º y el complemento de 50º.

162

Central: 619-8100

6. Calcular la diferencia entre el suplemento de 50º y el complemento de 50º. 7. Calcular la suma entre el suplemento y el complemento de 60º. 8. Calcular la diferencia entre el suplemento y el complemento de 80º. 9.

Calcular el complemento del suplemento de 125º.

10. Calcular el suplemento del complemento de 75º.

Unidad II

51

Complemento y suplemento de un ángulo

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Conceptos básicos Aprende más... Comunicación matemática 1. Dar el valor de verdad de las siguientes proposiciones ("V" o "F") • •

Dos ángulos complementarios tienen que ser consecutivos .................................................( Tres ángulos que miden 30º; 40º y 110º son suplementarios...............................................(

) )

2. Completar correctamente las siguientes proposiciones, con los términos del recuadro mostrado: •

Para que un ángulo tenga ................................., tiene que ser menor o ................................. a 90º y para que un ................................. tenga suplemento ................................. que ser ................... .............. o igual a 180º.

•

El complemento de un ángulo ................................. es cero y el ................................. de un ángulo llano también es ................................. ángulo - recto - suplemento - complemento consecutivos - cero - igual - tiene - mayor menor - llano - centro

3. Graficar dos ángulos consecutivos y complementarios. 4. Graficar dos ángulos consecutivos y suplementarios. 5. Completar los recuadros, según los gráficos:

θº ...... − ......

...... − ...... αº

Resolución de problemas 6. Calcular el complemento del suplemento de 124º.

11. Calcular el suplemento del suplemento de 131º.

7. Calcular el suplemento del complemento de 72º.

12. Calcular la medida de un ángulo, si su complemento es 35º.

8. Calcular la suma entre el suplemento y el complemento de 68º.

13. Calcular la medida de un ángulo, si su suplemento es 128º.

9. Calcular la diferencia entre el suplemento y el complemento de 57º.

14. Si "xº" es la medida de un ángulo y el complemento de "xº" es 39º, calcular "xº".

10. Calcular la diferencia entre el complemento de 14º y el suplemento de 158º.

15. Si "θº" es la medida de un ángulo y el suplemento de "θº" es 63º, calcular "θº".

Colegios

52

TR ILCE

www.trilce.edu.pe 163

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

4

socisáb¡Tú sotpuedes! pecnoC 1. Si el complemento de "xº" es igual al doble de "xº", calcular "xº". 2. Si el suplemento de "θº" es el cuádruple de "θº", calcular "2θº". 3. Calcular la medida de un ángulo, si la suma de su complemento y su suplemento es 200º. 4. Si el suplemento de un ángulo es el cuádruple de su complemento, calcular la medida de dicho ángulo.

18:10:45

Practica enbásicos casa Conceptos 1. Calcular el complemento de 26º. 2. Calcular el suplemento de 83º. 3. Calcular el complemento de 72º. 4. Calcular el suplemento de 100º más el complemento de 50º. 5. Calcular el suplemento de 80º menos el complemento de 60º. 6. Calcular el complemento de 70º más el suplemento de 130º. 7. Calcular el complemento del suplemento de 170º. 8. Calcular el complemento del suplemento de 118º.

164

Central: 619-8100

9. Calcular el complemento del complemento de 39º. 10. Calcular el suplemento del suplemento de 111º. 11. Calcular el complemento del complemento de 83º. 12. Calcular el suplemento del suplemento de 141º. 13. Calcular la suma del complemento y el suplemento de 25º. 14. Calcular la diferencia entre el suplemento y el complemento de 65º. 15. Calcular la diferencia entre el suplemento y el complemento de 45º

Unidad II

53

5

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Ordenamiento lineal y circular

CAPÍTULO

9

repaso bimestral 10 x 5 50

Aplica lo comprendido Conceptos básicos 1. Si: BC = 3 (AB) y AC = 72u, calcular "AB".

A

B

6. Calcular "2θº"

C

2. Si: PQ = 5 (QR) y PR = 54u, calcular "QR". 74º P

Q

3θº θº

R

7. Si: m AOC = 104º; m BOD = 118º y m BOC = 60º, calcular: m MON. (OM y ON 3. Si: AB=36u; BC=42u y CD=54u, calcular son bisectrices de los ángulos AOB y COD.) "MN", siendo "M" y "N" puntos medios de AB y CD. B C A

B

C

D

A

D O

4. Calcular "αº"

8. Calcular el suplemento del complemento de 70º más el complemento de 60º. 9. Calcular el complemento del suplemento de 160º más el suplemento de 95º.

42º αº 2αº

10. Calcular el complemento del suplemento de 115º menos el complemento de 85º.

5. Calcular "xº".

5xº - 26º

2xº + 19º

Conceptos básicos Aprende más... Comunicación matemática 1. Dar el valor de verdad de las siguientes proposiciones ("V" o "F") • • • •

El complemento de 100º es -10º .......................................................................................... ( El suplemento de 200º es -20º .............................................................................................. ( El suplemento de 300º es 60º ............................................................................................... ( Los ángulos que miden 20º; 30º y 40º son consecutivos ...................................................... (

Colegios

TR ILCE

) ) ) ) 165

www.trilce.edu.pe

Geometría

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

2. Completar las siguientes relaciones gráficas:

C

M

2ωº A

y

C

B x

BC = ...... − ......

θº

E

O

αº

O

B

N m MOE = ....... − .......

A

m AOB = ........ − ........

3. Graficar dos ángulos opuestos por el vértice agudos. 4. Graficar dos ángulos consecutivos y complementarios, tal que uno de ellos mida 50º. 5. Graficar dos ángulos consecutivos y suplementarios, tal que uno de ellos mida 105º. Resolución de problemas 6. Se tienen los puntos colineales "A", "B" y "C" 10. Calcular la diferencia entre el suplemento del complemento de 65º y el complemento de 55º. tal que: BC = AB + 12u y AC = 32u. Calcular "AB". 11. Calcular la diferencia entre el complemento del suplemento de 98º y el complemento de 86º. 7. Se tienen los puntos colineales "P", "Q", "R" y "S" tal que: PQ = 6u; QR = 14u y RS = 36u. 12. Si el suplemento de un ángulo es igual a 116º, Calcular "QM", si "M" es punto medio de PS. calcular el complemento de dicho ángulo. 8. Se tienen los ángulos consecutivos y suplementarios AOB y BOC tal que: 13. Calcular el máximo número de segmentos que se determinan en una recta al ubicar 21 puntos. m BOC=2 m AOB. Calcular: m AOB. 9. Se tienen los ángulos consecutivos y complementarios AOB y BOC tal que: m AOB = 4 m BOC. Calcular: m BOC.

Aplicación cotidiana • En un encuentro de fútbol el delantero Waldy lanza un balón de larga distancia al arquero Ronaldo; pero antes de llegar al arco, el balón da un rebote de tal manera que el ángulo del trayecto del balón antes del rebote con el campo es el triple del ángulo del trayecto de rebote con el campo y el ángulo que forman estas trayectorias mide 105º.

http://www.futbolred.com

14. Calcular las medidas de los ángulos mencionados.

166

Central: 619-8100

15. Calcular el complemento del menor de los ángulos anteriores.

Unidad II

55

Repaso bimestral

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

¡Tú puedes!básicos Conceptos 1. En AC se ubica el punto "B", tal que: AB - BC = 10u. 4. Si: m AOC + m BOD = 250º, calcular la Calcular la distancia de "B" al punto medio de m BOC. AC. (AB>BC) B 2. Sobre una recta se toman los puntos consecutivos C "G", "M", "A" y "B". Calcular "GB", si: GA = 20u y GB + AB = 50u. 3. Calcular "xº", si: βº = 20º.

O

A

D

5. Si el suplemento del suplemento del suplemento del complemento del complemento de un ángulo es 80º, calcular la medida de dicho ángulo.

βº 2βº xº

18:10:45

Practica enbásicos casa Conceptos 5. Si: m AOC = 148º y m BOC = 82º, calcular el complemento del ángulo AOB.

1. Calcular "x", si: AB = 52. x

12

A

E

3x F

B

B

A

2. Si: PM = 33; MN = 45 y PQ = 98, calcular "NQ". P

M

N

Q

O

C

6. Si: m AOB = 42º, m BOC = 104º y OM es bisectriz del ángulo AOC, calcular: m BOM.

3. Calcular "x". 17 A

x E

F

D

78

A O

4. Si: AB = 14; BC = 16 y CD = 26, calcular "MN", si "M" y "N" son puntos medios de AB y 7. Calcular "xº". CD. A

M

B

C

N

Colegios

56

C

D

3xº xº

TR ILCE

M

B

49

2xº 4xº

www.trilce.edu.pe 167

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

8. Calcular el complemento de "αº". 139º

B

C 2α

A

13. Si: m AOB = 46º; m BOC = 72º y OM es bisectriz del ángulo AOC, calcular: m BOM.

º

100º αº

B

A

D

5

M

O 9. Calcular el complemento de 16º más el suplemento de 128º. 10. Si: AQ = 48 cm; NP = 72 cm y AP = 96 cm, calcular "NQ". A

N

Q

O 14. Calcular el suplemento de "αº".

P αº

11. Calcular "MN", si: AB=18; BC=40 y "M" y "N" son puntos medios de AB y AC. A

M

B

N

C

C

48º 2αº

15. Si: m AOB = 44º; OM y ON son bisectrices de los ángulos AOB y AOC, calcular: m MON.

12. Calcular "BE", si: AC = 18. 2x

x A

B

4x C

A

M

B

E

O

168

Central: 619-8100

N

C

Unidad II

57

TEMARIO • SISTEMAS DE MEDIDAS ANGULARES I • SISTEMAS DE MEDIDAS ANGULARES II • TRIÁNGULO RECTÁNGULO • R.T DE UN ÁNGULO I • R.T DE UN ÁNGULO II • SECTOR CIRCULAR

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

SISTEMAS DE MEDIDAS ANGULARES I

1

Aprendizajes esperados Aprendizajes esperados • Reconocer un ángulo trigonométrico. • Reconocer el sistema de medición sexagesimal. • Aplicar correctamente la conversión entre la unidad y subunidades del sistema sexagesimal.

Estrategias motivadoras

ORIGEN DE LA TRIGONOMETRÍA La agrimensura y la navegación son prácticas que, desde sus orígenes, han requerido de cálculo de distancias cuya medición directa no resultaba posible; y otro tanto sucede en el ámbito de la astronomía. Para resolver este problema, los antiguos babilonios recurrieron a la trigonometría; es decir, a una serie de procedimientos que permiten poner en relación las medidas de los lados de un triángulo con las medidas de sus ángulos. La distancia desde un punto situado al pie de una montaña hasta su cima, por ejemplo, o desde una embarcación hasta un determinado punto de la costa, o la que separa dos astros, pueden resultar inaccesibles a la medición directa; en cambio, el ángulo que forma la visual dirigida a un accidente geográfico, o a un punto de la bóveda celeste, con otra visual fijada de antemano(como puede ser la dirigida según la horizontal), acostumbra ser fácil de medir madiante instrumentos relativamente sencillos. El objetivo de la trigonometría es establecer las relaciones matemáticas entre las medidas de las longitudes de los segmentos que forman los lados de un triángulo con las medidas de las amplitudes de sus ángulos, de manera que resulte posible calcular las unas mediante las otras.

171

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO es Una figura formada por la rotación de un rayo alrededor de su origen llamado vértice desde una posición inicial hasta una posición final y puede ser Positivo (α > 0) Cuando la rotación es en sentido horario Nulo (α = 0) Si no hay rotación

Negativo(α < 0) Cuando la rotación es en sentido antihorario

Ángulo trigonométrico Es aquél que se genera por la rotación de un rayo alrededor de su prigen, desde una posición inicial hasta otra posición final. Esta rotación efectuada sobre un plano, puede hacerse en dos sentidos.

Sistema de medición angular Sistema sexagesimal(S) Tiene como unidad a un grado sexagesimal(1º) que es el resultado de dividir al ángulo de una vuelta en 360º partes iguales, es decir: 1º =

B

α 0

A

Elementos de un ángulo trigonométrico

Unidades menores:

•

:

lado inicial



:

lado final

•

: vértice :

 1 vuelta →  1 vuelta = 360º 360

Minuto sexagesimal( ' ) 1' =

1º → 1º = 60' 60

Segundo sexagesimal( '' ) 1'' =

1'

→ 1'' = 60'

60 Regla de conversión

medida ángular

Ángulo de una vuelta ( 1V)

×3600

×60

× 60

L.I. 0

L.F.

( 1V) El lado inicial y el lado final coinciden por primera vez.

GRADOS

MINUTOS

÷60

÷60 ÷3600

172

SEGUNDOS

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

AºB'C''=Aº+B'+C''

1.

Convertir 18º a minutos sexagesimales. A) 1070 min B) 1060 min C) 1080 min D) 1090 min E) 1100 min Resolución: Según la regla de conversión: 18º ×

3. Calcule: K=

10'+ 20'+ 30'+ ..... + 60' 2''+ 4 ''+ 6''+ ..... + 120''

A) 100 D) 350

60' = 1080 min 1º

B) 200 E) 370

C) 300

Resolución: Rpta.: 1080 min

2.

Efectuar E=23º35'+20º25'. A) 34º B) 44º D) 64º E) 70º Resolución: 23º 35'+ i) Ordenamos:

Damos la forma: K=

C) 54º

1º

2'' (1 + 2 + 3 + ... + 6)

K=

10 × (60 '' ) 2 ''

K=

600 2

20º 25'

43º 60' 

10' (1 + 2 + 3 + ... + 6)

K = 300

ii) Por lo tanto: 43º60'=44º

Rpta.: 300

Rpta.: 44º

1.

4.

Convertir 15º a minutos sexagesimales.

Convertir 14 400'' a grados sexagesimales.

Rpta.: 900' 2.

Rpta.: 4º 5. Calcule:

Convertir 14' a segundos sexagesimales.

A= 50º13'+6º47º

Rpta.: 8400''

Rpta.: 57º 3.

Converitr 480'' a minutos sexagesimales. Rpta.: 8'

6. Calcule: B= 40º45' – 13º55'

Rpta.: 26º50'

173

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

7. Calcule:

12. Convetir A en grados sexagesimales si: A = 1º1' + 2º2' + 3º3' + ......+15º15'

C= 20º15' 37'' + 17º44' 23'' Rpta.: 38º

Rpta.: 122º

8. Calcule: D= 40º15'32'' – 15º50'48'' 13. Siendo: Rpta.: 24º24'44'' 9. Calcule α; si β= 15º29' y θ=18º43'.

18º32'41'' + 21º14'22'' + 3º26'12'' = aºb'c'' Calcular

K=

a−b c Rpta.: 8

β α θ

14. Calcular: Rpta.: 34º12'

= R

1º 2' 2º 3 ' + 2' 3'

10. Calcule α; si β=75º45'; θ= 15º25'.

Rpta.: 62 15. Si 5º37'54'' + 8º42'26'' = aºb'c''.

α θ

β

Calcular

E=

a + b +1 c Rpta.: 7/4

16. Calcular: Rpta.: 60º20'

60 11. Si a + b = Calcule aº b '+ bº a '

3º 3 ' 5º 5 ' + 3' 5' Rpta.: 122

Rpta.: 61º

174

= C

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

1.

2.

3.

Convertir 17º a minutos sexagesimales. A) 1020'

B) 1000'

D) 1400'

E) 1200'

8. Calcule φ; si α = 13º38' y β=15º42'.

C) 1040' α θ

φ

Convertir 15º23' a minutos sexagesimales. A) 1523'

B) 900'

D) 923'

E) 623'

C) 823'

Convertir 1º10'20'' a segundos sexagesimales. A) 420''

B) 11 020''

D) 4000''

E) 4200''

A) 29º D) 28º10º

B) 29º20' E) 29º10'

C) 28º20'

9. Calcule:

C) 42 200''

A=

10 '+ 20 '+ 30 '+ ... + 80 ' 3º

A) 3

B) 4

D) 5

E) 2

C) 3/2

4. Calcule: E = 17º45' + 30º50' A) 47º35'

B) 48º15'

D) 48º25'

E) 49º35'

10. Calcule: C) 48º35'

5. Calcule:

K=

10 ''+ 20 ''+ 30 ''+ 40 ''+ ... + 150 '' 1'+ 2'+ 3 '+ 4 '+ ... + 15 '

A) 6

B) 60

D) 300

E) 150

C) 600

F = 82º12'30'' – 20º10'18'' A) 62º22'48''

B) 62º02'12''

D) 62º02''12''

E) 61º02''

6. Calcule:

E=

C) 61º01'12''

23º41'17'' + 17º32'56'' = aºb'c'' a−b K= c −4 Calcular

3 ( 20º 15 ' 40 '' ) 5

A) 12º9'24''

B) 12º6'24''

D) 15º9'24''

E) 12º9'16''

11. Siendo:

C) 6º24'9''

A) 9

B) 1

D) 3

E) 2

12. Sabiendo que: x º y ' z '' = aº b ' c ''+ bº c ' a ''+ c º a ' b '' Calcular:

7. Si Calcule

J = z +1

. .

A) 71º59'

B) 71º01'

D) 71º10'

E) 70º10'

C) 71º

C) 8

A) 5 D) 6

B) 4 E) 2

x y C) 8

175

2° Año de secundaria

•

Alumno(a) :

• Curso

Compendio de Ciencias - I BIM

______________________________________________________________ :

____________________________________________ • Aula : __________

• Profesor : ______________________________________________________________

1.

2.

3.

4.

Calcule 20º a minutos sexagesimales. A) 1400'

B) 1200'

D) 1800'

E) 600'

C) 1000'

Convertir 18' a segundos sexagesimales. A) 1080''

B) 108''

D) 1000''

E) 1800''

C) 10 800''

Convertir 3600'' a grados sexagesimales. A) 2º

B) 3º

D) 10º

E) 6º

C) 1º

3 (16º 32' 20 '') 4

K=

7. Calcule

A) 4º8'5''

B) 16º12'10''

D) 12º24'15''

E) 16º18'15''

C) 12º15'24''

80 8. Si a + b = Calcule aº b '+ bº a ' A) 81º20'

B) 82º

D) 81º59'

E) 81º10'

C) 80º20'

9. Calcule α; si θ = 19º23' y β = 20º37'.

Convertir 8º15' a minutos sexagesimales. A) 480'

B) 490''

D) 495'

E) 490'

C) 595'

θ β α

5. Calcule: A = 43º19' + 15º46' A) 60º05'

B) 59º05'

D) 59º59'

E) 59º

C) 58º05'

A) 41º59' D) 40º59' 10. Calcule:

Q=

6. Calcule: B = 35º23' – 13º48'

176

A) 22º02'

B) 22º25'

D) 21º59'

E) 21º35'

C) 21º05'

A) 1/7 D) 4/3

B) 41º E) 39º

C) 40º

10 '+ 20 '+ 30 '+ 40 '+ ... + 70 ' 3º 30 ' B) 3/4 E) 2/3

C) 1/2

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

SISTEMAS DE MEDIDAS ANGULARES II

2

Aprendizajes esperados Aprendizajes esperados • Reconocer un sistema de medida angular. • Aprender a convertir la medida de un ángulo de un sistema a otro. • Aplicar correctamente el factor de conversión entre sistemas sexagesimales y radial.

Estrategias motivadoras



¿Quién era Hiparco de Nicea?

(c. 190- 120 a.C), Hiparco de Nicea fue astrónomo griego, el más importante de su época. Nació en Nicea, Bitinia(hoy Iznik, Turquía). Fue extremadamente preciso en sus investigaciones, de las que conocemos parte por comentarse en el tratado científico Almagesto del astrónomo alejandrino Tolomeo, sobre quien ejerció gran influencia. Comparando sus estudios sobre el cielo con los de los primeros astrónomos, Hiparco descubrió la precisión de los equinoccios. Sus cálculos del año tropical, duración del año determinada por las estaciones, tenían un margen de error de 6,5 minutos con respecto a las mediciones modernas. También inventó un método para localizar posiciones geográficas por medio de latitudes y longitudes. Catalogó, hizo gráficos y calculó el brillo de unas mil estrellas. También recopiló una tabla de cuerdas trigonométricas que fueron la base de la trigonometría moderna.

177

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

SISTEMA DE MEDICIÓN ANGULAR

SEXAGESIMAL (S)

RADIAL (R) * Unidad: radián (rad) * Se obtiene: 1 vuelta=1rad 2

* Unidad: grado sexagesimal (º) * Se obtiene: 1 vuelta =1º 360º

1 vuelta 360º 2 rad Factor de conversión π rad 180º S

R 180º π rad

Sistema de medición angular

S: número de grados saxagesimales R: número de radianes

Sistema radial (R) Tiene como unidad de medida a 1 radián (1 rad) que viene a ser la medida de un ángulo central en una circunferencia, cuando el arco que le corresponde tiene la misma longitud que el radio de la circunferencia.



Método de factor de conversión Para los ejercicios de conversión se puede utilizar el llamado "factor de conversión" formado por la fracción unitaria.

l A B = r → m A O B = 1rad

A

180º π rad

r



θ

O

1V = 2π rad

ó

π rad 180º

Ejemplo: Convertir 45º a radianes. Resolución:

r B

Conversión entre el sistema sexagesimal y radial Sabemos que:

m 1vuelta 360º 2π rad Entonces podemos establecer:

S R = 360º 2π

178

Donde:

S R = 180º π

i) Multiplicamos por el factor de conversión: π rad 45º × 180º

45 π rad ii) Simplificando: 180º π rad

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Equivalencia Ejemplo: Convertir

a grados sexagesimales.

Sistema sexagesimal

Resolución:

π rad

180º

π 2 π 4 π 6 π 3

90º

ii) Multiplicando:  180 π     5π 

iii) Simplificando:

º

45º 30º

36º

60º

π 1. Convertir rad al sistema sexagesimal. 10 A) 15º B) 16º C) 17º D) 18º E) 19º Resolución: i) Por el método del factor de conversión:

rad rad rad rad

3. Simplificar:

K=

10º +20º +30º +... + 50º π 3π 5π rad + π rad + rad + ... + rad 2 2 2

A) 1/3 B) 1/6 D) 2/6 E) 2/9 Resolución: i) Damos la forma:

π 180º rad × 10 π rad

ii) Ordenando:

180º = 18º 10 Rpta.: 18º

2. Calcule E =

2π rad

360º

i) Multiplicamos por el factor de conversión: π 180 rad × 3 π rad

Sistema radial

K=

C) 1/9

10º (1 + 2 + 3 + ... + 5 ) π rad(1 + 2 + 3 + ... + 5 ) 2

π rad 90º ii) Sabemos que 2 ; entonces 10º 1 K= ∴K = 90º 9

a + b + c , si: 4π rad = (abc)º 5

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 Resolución: i) Aplicando el factor de conversión:

Rpta.: 1/9

4π 180º rad × = (abc)º 5 π rad ii) Simplificando

.

iii) Nos piden:

E=

a+b+c =

1+ 4 + 4

E=

a+b+c=

9

∴E=

a+b+c= 3 Rpta.: 3

179

2° Año de secundaria

1.

Compendio de Ciencias - I BIM

8. Calcular:

Convertir 20º a radianes. Rpta.:

2. Convertir

π rad 12

π rad 20

a grados sexagesimales.

Rpta.: 5 Rpta.: 30º

3.

N=

30º +

9.

Calcular α en grados sexagesimales

Convertir a radianes θ = 23º + 22º. Rpta.:

4.

π 2 rad 3

α

Convertir a grados sexagesimales.

Rpta.: 60º

= α

5.

Simplificar

π π rad + rad 3 2

120º A= 2π rad 3

Rpta.: 150º

10. Calcular

; si:

π rad = (ab)º 5 Rpta.: 9

. 11. Calcule α en grados sexagesimales. Rpta.: 1

6. Calcular α en sistema radial.

π rad 3 5π rad 18

54º

α



Rpta.: 70º α

12. Calcular n; si:

π rad = (7n + 1)º 12

Rpta.:

Rpta.: 2 7. Calcular β en sistema sexagesimal.

13. Calcule φ; si

y

en radianes.

β

π rad 4

φ

α

β

Rpta.: 45º Rpta.:

180

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

14. Calcule α en radianes.



16. Se sabe que en todo triángulo, la suma de medidas de sus ángulos interiores es igual a 180º. 110º

α

β

80º

50º

15. Sabiendo que:

G Calcular =

2π rad Rpta.: 9

π rad = (3n + 1)º 18 π rad = (5m + 6)º n+ 2 m+n

α+β+θ = 180º

α

θ



Si tuvieramos un triángulo donde sus ángulos interiores miden: π (18 x)º ;(17 x)º y x rad 18



Calcular el valor de:

E=

x + 5 −1

Rpta.: 3 Rpta.: 2

1.

5. Calcular α en radianes.

Convertir 30º a radianes. A) D)

B) C) E)

A)



B)



78º

α

C) 2. Convertir A) 20º D) 12º 3.

a grados sexagesimales. B) 9º C) 18º E) 10º

Convertir en grados sexagesimales. π π = θ rad + rad 3 6 A) 60º B) 20º C) 40º D) 90º E) 30º

4. Simplificar:

A) 12 D) 8

240º M= π 10º + rad 18 B) 10 E) 1/2

D)



E) 6. Calcular β en sistema sexagesimal.

A)



B)

β

C) C) 3

66º

D)

5π rad 12



E)

181

2° Año de secundaria

7. Simplificar:

M=

A) 3 D) 1/3

Compendio de Ciencias - I BIM

42º +

10. Simplificar:

π rad 10

K=

π rad 9

B) 2 E) 0



B)



B) 1/6 E) 1/36

C) 6

11. Sabiendo que:

π rad = (7n + 1)º 12 π rad = (4 m − 2)º 2n + 6

C) D)

A) 36 D) 24

C) 1

8. Calcular α en grados sexagesimales. A)

10º +20º +30º +... + 60º 2π rad + 4 π rad + 6 π rad + ... + 12π rad

36º



α

E (m + n)2n−m Calcular = A) 1 B) 2 D) 4 E) 5

3π rad 10

E)

C) 0

12. En un triángulo sus ángulos interiores miden:

(16 x)º ;(14 x)º y 9. Calcular

A) 2 D) 1

; si:

Calcular:

2π rad = (ab)º 5

B) 4 E) 0

M= C) 3

A) 161 D) 152

π x rad 6

( x 2 )º x ' x'

B) 182 E) 171

C) 181

“El Mundo de los Q” (Cuento - Guía) No recordaba claramente cómo llegó hasta allí. Su última imagen era la de su madre dándole un beso y deseándole que durmiera bien, pero como el sueño no llegaba, se entretuvo observando en la penumbra de su cuarto la repisa llena de juguetes acumulados a lo largo de sus once años de vida. El movimiento ondulatorio de las paredes no le impresionó, ni tampoco el gracioso baile de su osito de felpa favorito, ni menos al encontrarse tendido sobre un prado perfumado y multicolor bajo un cielo que mostraba dos hermosos soles. Ya su abuelo le había contado sobre sus viajes al mundo de los Q y por eso nada de lo que ocurría le causaba temor, pero sí mucha curiosidad. Como ser, el hermoso y perfecto coro de aves-Q que trinaban la melodía más bella jamás escuchada. Se encontraba en plena meditación cuando un gemido le hizo incorporarse y pudo observar el movimiento agitado y temeroso de una tortuga-Q, la cual al verlo, sin sorprenderse, se dirigió a él diciendo:

—¡Oh, cielos!, ¿qué podemos hacer. Esto será el final de nuestro inigualable mundo.



Sintió curiosidad y le preguntó la causa de sus lamentos, ante lo cual le relató:

—Hace cinco días-Q un ser con forma y propiedades de una goma, cruzó desde una dimensión desconocida a la nuestra. Su misión no era de paz, por el contrario, este ser maligno llegó con intenciones de borrar para siempre todo signo de vida-Q y construir el Mundo de la Nada, habitado por todos los seres goma del universo.

182

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

•

Alumno(a) :

• Curso

______________________________________________________________ :

____________________________________________ • Aula : __________

• Profesor : ______________________________________________________________

1.

7. Calcular β en radianes.

Convertir 135º a radianes.

A) D)

B) C) E)

2. Convertir A) 300º D) 270º

C) 90º

4. Convertir θ en radianes.

B) C)

D)

E)

K=

6.

30º +

π rad 12

π rad 20

B) 5 E) 1

27º



8. Calcular A) 4 D) 2

, si B) 5 E) 1

Sabiendo que:

Calcular

5. Simplificar:

A) 4 D) 2



β

E)

9.

A)

B)

D)

3. Convertir α en grados sexagesimales.

B) 100º E) 140º



C)

a grados sexagesimales. B) 135º C) 90º E) 250º

A) 180º D) 60º

A)

G=

. C) 3

π rad = (6n + 2)º 9 π rad = (7m + 2)º 2n

2n + m 5 .

A) 2

B) 1

D) 10

E) 3

C) 1/2

C) 3 10. Calcule α en radianes.

Calcular α en grados sexagesimales A) 40º B) 30º C) 45º D) 60º E) 50º

2π rad 3 α

π rad 3

π rad 4

α

A)

B) C)

D)

E)

183

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

TRIÁNGULO RECTÁNGULO

3

Aprendizajes esperados Aprendizajes esperados • Reconocer lados del triángulo rectángulo. • Aplicar el teorema de Pitágoras en la resolución de problemas.

Estrategias motivadoras DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA DE PITÁGORAS En la figura siguiente se demuestra el teorema de Pitágoras. Aparecen en ella dos cuadrados iguales cuyo lado mide b+c. En ambos cuadrados hemos colocado, pero de manera diferente, cuatro triángulos rectángulos iguales cuya hipotenusa mide a y sus catetos, b y c. En el cuadrado de la izquierda, el hueco que queda después de haber colocado los cuatro triángulos es un cuadrado de lado a, la hipotenusa del triángulo. El área de ese cuadrado mide por tanto a2. En el cuadrado de la derecha, quedan dos huecos cuadrados de lados b y c. Sus áreas miden por tanto b2 y c2 respectivamente. Como los cuadrados originales son iguales, los huecos que quedan en ambos tienen la misma superficie. En el de la izquierda, a2 y en el de la derecha, b2+c2.

Luego a2 = b2+c2

b c

c

c

b

b

a

a

b

c

b

a

a c

184

c

c

b

c

b

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

TRIÁNGULO RECTÁNGULO

B β

a y b : catetos donde

c

a

c : hipotenusa α y β : ángulos agudos

α C

b

A

TEOREMA DE PITÁGORAS

c 2 = a2 + b2

Triángulo rectángulo El triángulo rectángulo es aquel que tiene un ángulo recto(90º) y los lados que forman el triángulo rectángulo se les conoce como catetos e hipotenusa, tal como lo indica la figura. B

Teorema de Pitágoras Se define así: "El cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos".

β a

c

C

b

α

Donde: • a y b : catetos • c : hipotenusa • α + β : 90º • α y β : son ángulos agudos

Teorema de Pitágoras

A

c 2 = a 2 + b2 c

a

b

185

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

3.

1. Calcule x. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

Calcule el perímetro de la figura ABCD. B

C

5 10

5

x

A 5 D

3

Resolución: • Aplicando teorema de Pitágoras: c2 = a2 + b2 5 =3 +x 2

2

16 = x

12

A) 40 D) 43 Resolución:

E

B) 41 E) 44

C) 42

En (1):

2

Por el teorema de Pitágoras:

2

AD2 = 52 + 122 AD2 = 25 + 144

4=x Rpta.: 4

AD2 = 13 En(2):C

2. Calcular x. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

A

AD2 = 169

5 D

12

E

5 10 A

10 13 D

x

Resolución:

8

4

i) Por el teorema de Pitagóras: 10

R

En(3):

B



13



C

8

9

9

ii) Por el teorema de Pitagóras: 3 x2 = 32 + 42 2 x = 9+16 x

4



x2 =25



x =5

186



Nos piden el perímetro de la figura ABCD. 13 + 9+ 13 + 9 =44 Rpta.: 44

Rpta.: 5

D

A 13

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

1. Calcular x.. 5. Hallar

.

x 12 17 m

Rpta.:15

9

Rpta.: 4

15

2. Calcular x. 6. Calcular

.

2 14 x

12

x

Rpta.: 4

20

Rpta.: 4

3. Calcular x. 7. Calcular

.

25

x

x

5

5 3

Rpta.: 10

7

Rpta.: 10 8. Calcular y2.

4. Calcular x.

x

5

5

40

y 41

Rpta.: 50 Rpta.: 9

187

2° Año de secundaria

9. Calcular

Compendio de Ciencias - I BIM

13. Calcular x.

.

3

5

y

x

3

6

x

4

2

Rpta.: 36 8

10. Hallar x.

Rpta.: 5 14. Calcule m.

10

m

x

8

7

7

3

3 3

Rpta.: 4 11. Hallar m2.

Rpta.: 4

3 m

15. Hallar el perímetro del rectángulo ABCD. B

4

C

2

65 1

1

Rpta.: 6 10

12. Calcular y.

D

A

y

16. Hallar el perímetro de la figura ABCD. B

25

41

Rpta.: 30

A

9

Rpta.: 15

25 2

C

7 24

D

Rpta.: 100

188

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

1. Calcular x.

5. Calcular A) 169

A) 25

B) 170

B) 16 24

E) 181

E) 50 7

A)

A) 7

x

9



B) 5

7

20

C) 6

C) 49

y

D) 7

D) 289

7 2

E) 10

E)

11

7. Calcular x.

3. Calcular m2+5.

10 3

10 3 x

A) 10

A) 9

12

B) 81 C) 85

B)

E) 17

12

D) 25 E)

m

16

8. Calcular x.

4. Calcular y. A) 36 B) 6 C) 34



C) 20

15

D) 86

E)

12

6. Hallar y.

2. Calcular x2.

D)

y

x

D) 180



B) 17

15

C) 171

x

C) 35 D)

.

35

1



A)



B)

10 3

C) 41 D)

1

x



E)

8

y

6

189

2° Año de secundaria

9.

Compendio de Ciencias - I BIM

11. En la figura:

Hallar el perímetro de la figura MQRT.

ABCD: cuadrado

Q

PQRS: rectángulo

A) 60 B) 33

Q

C) 52 D) 24

13 2

M

R

E) 63

5

12

R

10. Calcular el perímetro de la figura. 6

A)



B)



C)

B

4

C

20

6

2

A

D

... EL ELEFANTE AFRICANO ES EL MAMÍFERO MÁS GRANDE DE LA TIERRA? El elefante africano (Loxodonta africana) alcanzan normalmente (los machos) los 3 - 3,35 metros de altura y las 6 toneladas de peso aunque se han encontrado individuos de 12 000 kg y 4 metros de altura. Para alimentarse necesitan 225 kg de vegetales que no son digeridos totalmente por el animal. En cuanto al agua, son igual de derrochadores, unos 190 litros al día.

190

A D 1 Hallar el perímetro de las dos figuras sombreadas. A) 20 B) 25 C) 30 D) 35 E) 40

10

D) 40 E)

C

17

P T

8 B

5

5

12. Un niño visualiza una torre a 300 m de distancia; si la torre mide 500 m; hallar la distancia de la parte más alta de la torre a la cabeza del niño; considerar que el niño mide 100 m de estatura. A) 400 B) 500 C) 550 D) 555 E) 450

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

•

Alumno(a) :

• Curso

______________________________________________________________ :

____________________________________________ • Aula : __________

• Profesor : ______________________________________________________________

1. Calcule x.

6. Hallar x. A) 5

A) 5

B) 6

B) 6

C) 7

C) 7 D) 8

D) 8

x

4

x

3

5

E) 9

3 2

E) 10 7.

2. Calcule m.

A) 5

2 5

B) 10 D)

B) 6

m

C) 7

12

7



x

E)

8.

E) 18

3. Calcule x.

5

15

Calcule M. A) 27 B) 25

25

C) 26

x

A) 19

M

D) 30

B) 18 C) 22

E) 28 12

D) 21

24

16

E) 20

10

9. Calcule x.

4. Calcule y. A)



B)



6

A) 100 B) C)

x

4

D) 20

C) D)

13

C)

A) 5

D)

Calcule x.



E)

4 3

E) 10. Calcule el perímetro del rectángulo ABCD. 5. Calcule m . 2

A

2

C

A) 60 A) 9

B) 40

B) 10 C) 81

C) 48

m

40

D) 64

25

D) 52 E) 62

E) 27 41

7

B

D

191

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO I

4 Aprendizajes esperados Aprendizajes esperados • Reconocer los elementos del triángulo rectángulo. • Definir las razones trigonométricas seno, coseno y tangente. • Aplicar las definiciones de las razones trigonométricas en la resolución de ejercicios.

Estrategias motivadoras

ESTRATEGIA MOTIVADORA

LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS Se pueden utilizar, fundamentalmente, para triángulos, así como para resolver diferentes situaciones problemáticas en otras ciencias. En topografía se puede determinar la altura de un edificio. Teniendo la base y el ángulo. Por ejemplo la Torre de Pisa, fue construida sobre una base de arena poco consistente; debido a ello ésta se aparta cada vez más de su vertical. Originalmente tenía una altura de 54,6 m, aproximadamente. En 1990 un observador situado a 46 m del centro de la base de la torre, determina un ángulo de elevación de 54º a la punta de la torre, el observador para determinar el desplazamiento (hundimiento en el suelo es muy pequeño, comparado con la altura de la torre) aplicó la ley de seno para determinar el ángulo de inclinación y la ley de cosenos para determinar el desplazamiento de la torre.

192

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO I

A Donde: c

• c : cateto opuesto a φ • a : cateto adyacente a φ • b : hipotenusa a φ

b

φ

B

C

a

Se define:

seno senφ =

coseno c b

cosφ =

tangente a b

tgφ =

c a

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO

c : cateto opuesto a : cateto adyacente b : hipotenusa

Se define como el cociente que se obtiene al dividir las medidas de las longitudes de dos lados de un triángulo rectángulo, respecto a uno de sus ángulos agudos. Son seis las razone trigonométricas • Dado un triángulo rectángulo recto en B, con respecto a

A α

se cumple:

A

c

C.O.

B

b

φ

C

Nota

B

a

C.A. φ

C

• • •

= 90º son ángulos complementarios = 90º (ángulo recto)

193

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

DEFINICIONES •

Recuerda

A

Seno de

= sen φ

Teorema de Pitágoras:

cateto opuesto a φ c = hipotenusa b

c •

φ

cateto adyacente a φ a = hipotenusa b

B

C

a

Tangente de

cateto opuesto a φ c = cateto adyacente a φ a

= tg φ

1.

b2 = a 2 + c 2

Coseno de

= cos φ

•

b

ii) Por definición de las R.T.:

Calcule

C.O. C. A . + H H 5 12 sen α + cos α = + 13 13 sen α + cos = α

5 φ 12



Resolución:

sen α + cos α =

17 13

Rpta.: 5

C.O.

tg θ H= tg α 2. Calcule

H

C.A.

12

i) Por el teorema de Pitágoras H2 = 52+122 H2 = 25+144 H2 = 169

α

C

α



θ

Resolución:

C.O.



194

α

a

θ

C.A.

a

b

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Nota:



• C.O. de α = b

• C.A. de α = 2a

ii) Calculemos a

• C.O. de θ = b • C.A. de θ = a

a2 + y2 = 52 a 2 + 16 = 25

i) Por definición. b α H= =2 b 2α

a2 = 9 a = 3



Luego definimos:

Rpta.: 2

3.

Si sen



Resolución: i) Construimos el triángulo rectángulo.

calcule tgα.



tg α =

C.O. C. A .

tg α =

4 a

∴tg α =

4 3

Rpta.: 5

α

C.O.

4

C.A.

1. Completa el recuadro:

2. Calcule N = 5 sen β. •

sen α =

β 10

8 3

5

α

•

cos α =

•

tg α =

2

Rpta.: 3 3. Calcule cos θ. 2

2

5 2 5 ; ; 3 3 2 Rpta.: 29 θ

Rpta.: 25/29

195

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

4. Calcule P = senα + cosα.

15 tg α = . 8 si

7. Calcule 10

Rpta.: 23/17



3 cos θ = . 5 8. Calcule x; si 24

10

α

Rpta.: 17/13

θ x+L

5. Calcule

Rpta.: 5

12

2

 cos α  A=  .  tg α  9. Calcule

13 3

θ α



1

Rpta.: 24

Rpta.: 3



B 5 cos β ⋅ tg α. 10. Calcule=

6. Calcule Q

7

β

5 5

2

β

Rpta.: 1

196

α

3

Rpta.: 6

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

11. Calcule

si ABCD es un cuadrado.

B

14. Calcule

si

.

C 15 β x+2

β A

D

Rpta.: 1/2



12. Si

sen β =

Rpta.: 3

15. Calcular

2 ; 3 siendo β agudo.

β

= tg 2 β + 1. Calcule C Rpta.: 9/7

= cos k ⋅ tg β 13. Calcule D

φ

Rpta.: 1/2

2

β

16. Calcular

si ABCD es un cuadrado. B

C

2a

6

α a

Rpta.: 3



α

A

D

Rpta.: 1/9



Nivel I 1. Calcule senα.

2. Calcule A) 5/3

A) 5/2

B) 3/5

B) 7/25

25

C) 3

C) 2/5 D) 25/7 E) 24/25

α 24

3

D) 1 E) 2

β 5

197

2° Año de secundaria

3.

Compendio de Ciencias - I BIM

Calcule

8. Calcule

A) 1

A) 4

B) 5/3

B) 1

1

C) 3/5 D) 2

2

α

x

D) 1/2 E) 0

4. Calcule

9. Si

si

x+4

donde ABCD es un cuadrado, calcule

tgθ.

siendo θ agudo.

B

A) 1 D) 3 5.

8

C) 2

E) 3



φ

B) 2 E) 4

C) 5

A) 3

C

α

B) 1/2

Calcule

C) 6/5

A) 1



D) 5/3

B) 3/5

E) 3/5

A

θ

D

C) 1/3 5

D) 1/2

θ

φ

E) 1

8

4

10. Si

es agudo.

Calcule

6. Calcule

.

A) 1 D) 23

A) 3

B) 1/2 E) 3

C) 4

β B) 2

11. En un triángulo rectángulo el perímetro es 120 m y la tangente de uno de sus ángulos agudos es 2,4 m.

2a

C) 1/3 D) 1/2

a

A) 18

A) 1

9

E) 3

198

2x–1

B) 6

D) 2

C) 360 m2

12. Del triángulo mostrado, calcule

Calcule

C) 4

B) 960 m2 E) 480 m2

α

E) 1

7.

Calcula su área. A) 120 m2 D) 240 m2

B) 6

α

β

C) 36

3

b 2a

D) 12 E) 3

α b

a



2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

•

Alumno(a) :

• Curso

______________________________________________________________ :

____________________________________________ • Aula : __________

• Profesor : ______________________________________________________________

1.

Calcule senα A)

H sen θ + cos θ Si 6. Calcule =



B)



C)





3

A) 17/5

B) 21/13



D) 17/13

E) 7/5

= 7. Calcule T α

2. Calcule A)

2



B) 25/29



C) 4/29



D) 29/25



E) 25



A) 5/2



B) 2/5



C) 5/4



D) 1/4



E) 5

29



A) 10



B) 12



C) 13



D) 15



E) 17

10 α

β

.

2 5



B) 3



C) 5



D) 5/3



E) 3/5



A) 2



B) 1



C) 10



D) 3



E) 5

. 2 1

α

5. Calcule

.

A) 6/5

B)

n+5

β





C) 1/3



D) 3/2



E) 2/3

B

9. Calcule

A) 1



B) 4/3



C) 2



D) 3/4



E) 3

10.



.

φ

4. Calcule A) 1

1

6

4



C) 2

17 sen β + 6 tg α .

8. Calcule n; si 3. Calcule

12 5 .

5

D) 5/3

E)





tg θ =

3

θ

n+1

C 2a φ 6a

A Calcule W= tg α ⋅ tg θ



A) 2



B) 3



C) 1/4



D) 4



E) 1/3

D

α

a

3a

θ

2

199

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO II

5

Aprendizajes esperados Aprendizajes esperados • Define las razones trigonométricas cotangente, secante y cosecante. • Aplica las definiciones de las razones trigonométricas en la resolución de ejercicios.

Estrategias motivadoras

PITÁGORAS

itágoras (c.582 – c. 500 a.C.). Vivió inmediatamente después de Tales. Fundó la escuela pitagórica (sur de Italia), organización que se guiaba por el amor a la sabiduría y en especial a las matemáticas y a la música. Después el pueblo se rebeló contra ellos y quemó su sede. Algunos dicen que el propio Pitágoras murió en el incendio. Otros, que huyó y, desencantado, se dejó morir de hambre. Además de formular el teorema que lleva su nombre, inventó una tabla de multiplicar y estudió la relación entre la música y las matemáticas. A partir de la Edad Media, el teorema de Pitágoras fue considerado como el «pons asinorum», el puente de los asnos, es decir, el conocimiento que separaba a las personas cultas de las incultas.

200

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO II

A Teorema de Pitágoras

Donde: c

b2 = c2 + a2

• c : cateto opuesto a φ • a : cateto adyacente a φ • b : hipotenusa

b

φ

B

C

a

Se define:

cotangente

secante

a ctgφ = c

b secφ = a

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO II Se define como el cociente que se obtiene al dividir las medidas de las longitudes de dos lados de un triángulo rectángulo a uno de sus ángulos agudos. Dado un triángulo rectángulo recto en B, con respecto a φ se cumple:

c

cosecante cscφ =

TEOREMA DE PITÁGORAS • Cotangente de φ

= ctg φ

•

b C.A. a

•

cateto adyacente a φ a = cateto opuesto a φ c

Secante de φ

= sec φ

C.O.

b c

hipotenusa b = cateto adyacente a φ a

Cosecante de φ

φ

• c : cateto opuesto • a : cateto adyacente • b : hipotenusa

= sec φ

hipotenusa b = cateto opuesto a φ c

201

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

J csc θ − sec θ. 1. Calcule =

2. Si

θ 1

csc α =

41 9 y θ es ángulo agudo.

Calcule ctgα

Resolución:

2



⇒cscθ =

41 →H 9 →C.O.

Resolución: i) Calculando la hipotenusa: 2 H= 12 + 22

9

2

H = 1+ 4

41

C.O.

H2 = 5

C.A.

H= 5

i) Calculando C.A.

θ



α

2 41= 9 2 + C. A .2

1600 = C. A .2 40 = C. A .

2

1 C .O .

C. A.

1681 = 81 + C. A .2





ii) Por definición: = J

= J

H H + C.O. C. A .



ii) Por definición:



ctg = α

C. A . 40 = C.O. 9

5 5 + 1 2

Rpta.: P ctg α ⋅ ctg β; si 4AD=OC. 3. Calcule =

3 5 J= 2

A β



Rpta.: B

202

α D

C

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Resolución: A

Nota:

β b

• C.O. de β = a

• C.O. de α = b

• C.A. de β = b

• C.A. de α = a

i) Por definición: a

B

α 4a

D

P=

C

5a b ⋅ b a

P=5 Rpta.: 5

Nivel I 1. Completa el recuadro:

2 3. Calcule csc φ

•

ctg α =

1 4

25

7

•

sec α = φ

α

•

csc α =

Rpta.: 17

24

24 25 25 ; ; Rpta.: 7 24 7

T csc β − ctg β 4. Calcule =

13 sec β

2. Calcule

9

15

β

3

Rpta.: 1/3

β 2

Rpta.: 13/2

203

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

= R csc 2 φ − ctg φ. 5. Calcule

9. Calcule

1

.

3

8 φ

φ

6 Rpta.: 1

= S 15 ctg α + 8 sec α 6. Calcule

Rpta.:16/3 10. Calcule

17

15

5

α

Rpta.: 25 7. Si

φ

α

2

3

es agudo.

Calcule

Rpta.:

Rpta.: 1

1 ctg α = . 2 8. Calcule x; si

11. Calcule

θ

3x+1 5a

α x+2   Rpta.: 3

a

α Rpta.: 1/6

204

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

= ctg α ⋅ ctg β. 15. Calcule Q

2 , siendo β 3 agudo.

= sen β 12. Si

= C ctg 2 β + l. Calcule

α

Rpta.: 9/2 13. Calcule

W=

sen φ . sec α

θ

β

B

10

C

D

Rpta.: 3

α

16. Calcular ctg θ; si ABCD es un cuadrado.

5 Rpta.: 1/2

E sec φ + tg φ. 14. Calcule =

B

C

3 a+

2a+3

3a

2a φ

a

A

θ

D

Rpta.: 3

Rpta.: 5/2

3. Calcule M = cscα – ctgα.

1. Calcular A) 5/3

A) 1

B) 3/5 20

C) 4/3

B) 2

16

C) 3 40

D) 3/4

D) 4

φ

E) 4/5



α

E) 5 2.

9

Calcule H=3secβ. 4. Calcule

A) 1



B) 2

8

C) 5 D) 7 E) 9

= Q

3 csc θ + 2 ctg θ si

A)



B) 4

D)

E) 3

sec θ =

3 . 2 C) 5

β 6

205

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

9.

5. Calcule I= tg θ + 13 sec α.



A) 5/2

A) 13/3

B

C

β

B) 2/5

B) 17 C) 3/17

C) 3/5

5

D) 17/3

D) 1/2 13

θ

E) 4/3

E =

9 5

x + 5; si se c α =

A) 1

x–

B) 3

1

α

A

D

5 = ctg α ; siendo α agudo. 12 10. Si Calcule 1 − tg α T= 1 − sec α A) 7 B) D) –3 E)

2x

α

–3

C) 4

E) 3

α

3

6. Calcule

Si tgβ = 0,6 donde ABCD es un cuadrado; calcule ctgα.

7/12 –7

C) 5/12

D) 5 E) 2 7. Calcule

W= ctg x − ctg β

A) 3 B) 1

D) 0

α

E) 5

Además si A) 170 cm D) 190 cm

. B) 240 cm E) 150 cm

C) 130 cm

C) 3

2

B) 10

W= csc α − ctg α

C) 15 D) 20

B) 5 4

E) 25

x–5

D) 2

206



A) 5

β

A) 4

E) 1

La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 65 cm. Si θ es uno de sus ángulos, calcule su perímetro.

 ctg α + ctg β   12. Del gráfico, calcular K =  ctg θ  

C) 2

8. Calcule

11.

α x–3

α

β

θ

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

•

Alumno(a) :

• Curso

______________________________________________________________ :

____________________________________________ • Aula : __________

• Profesor : ______________________________________________________________

1.

Calcule ctgα A) 5/12

6. Calcular x si

B) 12/5

26

C) 13/5 D) 13/2 E) 5/13

A) 5



B) 4



C) 1

x



D) 3

E) 2

β

Calcule B) 29/2

2x+1

5

A) 25/29

7. Si

β

D) 5/29

A) 3/10 B) 4/3

29

E) 4/29 3. Calcule

2

A) 2 B)



C)





2



A) 4



B) 3



C) 49



D) 12



E) 41



C) 1



D) 1/2 E) 4

A) 3



B) 2



C) 1

D) 10/3 E) 1

3

D)

α

β

6

1

Calcular A) 1 B) 3

θ 9

40

C) 2

α 3

4x+1

3

D) 0

α

E) 4 10. Calcule

A) 3 B) 2



9.

5. Calcule



Calcule

C) 10

φ

E) 1/2 Calcule

8.

E)

D) 1

4.

es agudo.

Calcule

C) 29/5





α 10

2.

.

A) 1/16

2x–1

si ABCD es un cuadrado.

B

C

B) 16

3a

C) 1/19 D) 9 4

a

E) 3

A

θ

D

207

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

SECTOR CIRCULAR

6

Aprendizajes esperados Aprendizajes esperados • Reconoce la proporcionalidad de los lados del triángulo de 37º-53º. • Calcular razones trigonométricas de ángulos de 37º - 53º. • Aplica la proporcionalidad del triángulo de 37º - 53 en problemas gráficos.

Estrategias motivadoras

En el antiguo Egipto existían los llamados «TENSORES DE CUERDAS» llamados harpedonaptas, los cuales aprovechaban para formar ángulos rectos, una propiedad el triángulo rectángulo. Usando muchos señalaban en una cuerda trozos proporcionales a los números 3, 4 y 5, la cuerda la ponían bien tensa, sujeta por dos estacas y juntaban los extremos. El resultado era una escuadra llamada «TRIÁNGULO EGIPCIO» que servía a los constructores de templos.

Pitágoras de Samos, que conoció esta cuerda «experimentó» las relaciones entre los valores numéricos 3, 4 y 5 descubriendo su famoso teorema al comprobar que el cuadrado de 5 era igual a la suma de los cuadrados de 3 y 4. El importantísimo teorema descubierto por Pitágoras, el cual se le llamó REGLA DE ORO DE LA GEOMETRÍA, fue demostrado dos siglos después de Euclies. La más conocida e intuitiva de las demás demostraciones es al del matemático hindú Bhaskara hace más de ocho siglos y medio. Una aplicación del teorema de Pitágoras nos lleva a la famosa relación trigonométrica.

sen 2 α + cos 2 α =1

Llamada REGLA DE ORO DE LA TRIGONOMETRÍA

208

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Triángulo rectángulo de ángulos agudos de 37º - 53º

razones trigonométricas

lados

R.I.

53º

5k

3k

37º 4k

sen

cos

tg

ctg

sec

csc

37º

53º

3/5

4/5

4/5

3/5

3/4

4/3

4/3

3/4

5/4

5/3

5/3

5/4

209

2° Año de secundaria



Compendio de Ciencias - I BIM

Reconocimiento del triángulo

A continuación el siguiente cuadro:

En un triángulo rectángulo, cuyos ángulos son 37º y 53º sus lados son proporcionales a los números 3k; 4k, y 5k de tal modo que: 53º 5k

3k

37º 4k



Observación: Al ángulo agudo de 37º se le opone 3k; al ángulo agudo de 53º se le opone 4k; y al ángulo agudo de 90º (recto) se opone 5k.



C.O. 3 sen 37º = → sen 37º = H 5



C. A . 4 cos 37º = → cos 37º = H 5 tg 37º =

sen

3 5

4 5

cos

4 5

3 5

tg

3 4

4 3

ctg

4 3

3 4

sec

5 4

5 3

csc

5 3

5 4

C.O. 3 → tg 37º = C. A . 4

= A 2 sen 37º ⋅ cos 37º . 1. Calcule

tg 53º . 2. Calcule R = (27)

Resolución:



3 4 ⇒ A = 2⋅ ⋅ 5 5

Resolución: 4

⇒R= (33 ) 3

24 A= 25 24 Rpta.: 25

210

53º

Razones trigonométricas Del gráfico podemos calcular las demás razones trigonométricas.





37º

R.T.



⇒R= 34 ∴ R= 81 Rpta.: 81

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

3.

Del gráfico, calcule x.



Resolución:



Del gráfico:

x–1

tg37º=

x–1 x

tg37º=

3 4

3 x–1 = 4 x 4(x–1) = 3x 4x – 4 = 3x ∴x=4

37º

Rpta.: 4

x

4. Calcular. = M sen 37º + sen 53º

1. Hallar x.

Rpta.: 7/5 x

5.

Calcular.

= A sen 37º + tg 37º 37º 16



Rpta.: 27/20 Rpta.: 20

2. Hallar x+y

6.

Calcular.

M=

tg 53º csc 37º Rpta.: 4/5

x

7.

y

Calcular:

= A sec 53º ⋅ cos 53º Rpta.: 1 53º

100



8.

Calcular:

= N

tg 37º ⋅ ctg 53º

Rpta.: 280 3.

Hallar

Rpta.: 3/4

. 9.

Calcular:

M = sec 37º tg 53 sen 37º Rpta.: 1

15 10.

x

37º

Calcular:

Y= Rpta.: 5

sen 37 csc 37º tg 37º Rpta.: 4/3

211

2° Año de secundaria

11.

Compendio de Ciencias - I BIM

15.

Calcular:

Calcular tgα.

J = tg37º + tg 53º + sec 37º Rpta.: 10/3 16

12.

Calcular: 53º

G = 16 tg 37º

α

x

2x

Rpta.: 2

Rpta.: 8 13.

16.

Calcular x.

sen 37º =

Calcular ctgα.

x +1 2x Rpta.: 5

14.

Calcular x.

2x =

α

x +1 cos 37º

53º

Rpta.: 3/2 Rpta.: 5/3

1.

4.

x+y 2 Hallar

Calcular: = G sen 2 53º + cos 2 53º A) 3/5 D) 2

x

40

y

M = tg 53º + tg 37º − sen 37º

2. Calcular: = J sen 53º + ctg 37º

A) 3/5 D) 5/6 6.

212

D) 2

sec 37º csc 53º

B) 2

D) 5/3

E) 3/5

C) 3/4

C) 5/4

Y = 32 sen37º A) 4

3. Calcular:

B) 4/3 E) 1

Calcular :

A) 16/15 B) 15/32 C) 32/15 D) 1/5 E) 8/5

A) 1

C) 1

5. Calcular:

53º

A) 20 B) 30 C) 40 D) 80 E) 100

S=

B) 16/25 E) 4/3

oooooooooooooo B) 8 E)

C) 16

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

7. Calcular:

11. Calcule

J=

25 tg 53º ⋅ ctg 53º 9 csc 37º ⋅ sen 37º

A) 3/5 B) 5/3 D)

10 C)



θ 15

E)

8. Calcular x. A) 3/4 9.

37º

B) 8

C) –10

D) –2

E) 5/3

A)

B)

D)

E)

C)



12. Al diseñar una estructura metálica de acero para un puente como se muestra en la figura; BC=100 m; CA = 80 m; si BA es perpendicular, hallar el ángulo α.

Calcule tgα.

B

10

Perpendicular

α C

α

37º

A

3 A) 5/6 B) 3/4 10. Calcule tgα.

C) 2/3

E) 6/5

A) 37º B) 53º

C) 60º

D) 30º E) 45º

α 4 A) 3

D) 1

37º

B) 1/3 C) 4/3 D) 3/4 E) 2

213

2° Año de secundaria

•

Alumno(a) :

Compendio de Ciencias - I BIM

______________________________________________________________

• Curso

:

____________________________________________ • Aula : __________

• Profesor : ______________________________________________________________

1. Hallar x.

7.

Calcular x.

ctg 37º = 36

A) 2/3 B) 3/2 C) 3 D) 1 E) 5/4

37º

8.

x

A) 70 B) 50 C) 60 D) 48 E) 75 2.

2x + 1 3

Calcular x.

sen = 53º sen 37º + x

A) 5/3 D) 16/15

B) 16/13 E) 12

C) 15/16

Hallar x+y. 9.

53º

Hallar tgα.

50

y

x A) 40 B) 30 C) 60 D) 70 E) 50

3. Calcular:

α

37º 3



A) 1/3 B) 2/3 C) 6 D) 13 E) 1

= M sen 37º ⋅ csc 37º

A) 3/5 B) 4/3 C) 1 D) 3/4 E) 5/4

10. Hallar ctgα.

4. Calcular: A) 8/5 D) 15/13

B) 16/25 E) 1

5. Calcular.

J=

C) 20/12

sen 37º tg 37º

A) 3/4 B) 3/5 C) 4/5 D) 6/5 E) 1 6.

Calcular. = G cos 2 37º + sen 2 37º A) 1 B) 2 C) 3/6 D) 9/25 E) 16/25

214

37 º

= Y sen 53º + cos 37º

12

α A) 1 B) 2 C) 3/4 D) 4/3 E) 3/2

TEMARIO • La energía • Fuentes de energía • Transformaciones de la energía • Temperatura • Calor • Transmisión del calor • Efectos del calor • Actividades complementarias Transmisión del calor • Repaso

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Unidad I

CAPÍTULO

La energía

1

217

www.trilce.edu.pe

Segundo año de secundaria

1

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Física

Aprende más... Capacidad: comprensión de la información Manejo de información 1. Justifica la veracidad o falsedad de las siguientes proposiciones:

Proposición

Justificación

• La palabra energía proviene de los vocablos griegos en y ergon, que juntos significan “con velocidad”. • Según el sistema internacional, la unidad de la energía es el joule. • La energía eléctrica se genera por los electrones en movimiento. • La energía nuclear es la almacenada en los núcleos de los átomos. • La energía química es la proveniente del Sol. • La energía térmica produce cambios en la temperatura de un cuerpo. 2. Completa adecuadamente. • La energía es la capacidad de realizar una

o

• La palabra energía significa “en

”.

• Un cuerpo en movimiento posee energía

.

.

• Los resortes estirados o comprimidos poseen energía • Energía

. es la que poseen los combustibles.

• La energía sonora se debe a la

del cuerpo.

3. Relaciona correctamente. I. Energía proveniente del Sol. II. Energía producida por los electrones en movimiento. III. Energía debido al movimiento de las partículas de un cuerpo. I. 218

www.trilce.edu.pe

II.

a) b) c) d)

eléctrica térmica solar cinética

III. Segundo año de secundaria

11

1

Unidad I

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Aplicación de la información 1. Un coche de la montaña rusa sigue el camino mostrado. Indica verdadero (V) o falso (F), según corresponda. B

A

I. La energía cinética del coche A es igual a la energía cinética de B. II. La energía potencial gravitatoria de A es menor que la energía potencial de B, respecto al piso. III. La energía cinética del coche A es mayor que la energía cinética de B. a) VVF

b) FVV

c) FVF

d) VFF

e) FFV

2. ¿Qué energía cinética tiene una pelota de 0,8 kg de masa que lleva una velocidad de 20 m/s? a) 120 J

b) 150 J

c) 160 J

d) 60 J

e) 90 J

3. ¿Con qué velocidad se debe lanzar una masa de 3 kg para que adquiera una energía cinética de 2400 J? a) 20 m/s

b) 25 m/s

c) 30 m/s

d) 35 m/s

e) 40 m/s

4. Para que una bala de 200 g pueda atravesar un bloque de madera, la energía cinética mínima requerida es de 250 J. ¿Con qué velocidad la bala atravesará el bloque de madera? I. 40 m/s II. 50 m/s III. 60 m/s a) todas d) I y III

b) solo III e) ninguna es suficiente

c) solo II

5. ¿Qué energía potencial adquiere una masa de 8 kg al ser elevada 4 m? (g = 10 m/s2) a) 320 J

b) 250 J

c) 32 J

d) 160 J

e) 400 J

6. Si una masa de 4 kg se suelta desde una altura de 20 m, ¿qué energía potencial gravitatoria tendrá respecto del piso, cuando ha descendido 8 m? (g = 10 m/s2) a) 240 J

b) 300 J

c) 320 J

d) 480 J

e) 800 J

7. ¿Hasta qué altura se debe elevar una masa de 40 kg para adquirir una energía potencial de 14 000 J? (g = 10 m/s2) a) 15 m

Colegios

12

TRILCE

b) 22 m

c) 30 m

d) 35 m

e) 40 m

Central: 619 8100

219

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Física

Practica en casa Capacidad: comprensión de la información Manejo de información 1. Justifica la veracidad o falsedad de las siguientes proposiciones:

Proposición

Justificación

• La temperatura depende de la masa del cuerpo. • Según el S.I. la unidad de la temperatura es el Celsius. • Los artefactos creados por el hombre pueden funcionar sin energía. • La energía sonora se produce por la vibración de un cuerpo. • La energía térmica produce cambios en la temperatura de un cuerpo. 2. Completa adecuadamente. • La unidad de la energía en el S.I. es el • La palabra energía proviene de los vocablos griegos

y su símbolo es y

que significan “

. ”

• Cuando los electrones pasan por un conductor poseen energía

.

• Los resortes estirados o comprimidos poseen energía

.

• La energía

es la que poseen los combustibles.

• A la energía solar también se le conoce como energía • La energía sonora se debe a la

. del cuerpo.

• Al elevar un cuerpo hasta cierta altura este almacena energía

.

3. Relaciona correctamente. I. Energía que poseen los combustibles y los alimentos. II. Energía producida por las vibraciones de un cuerpo. III. Energía debido al movimiento de las partículas de un cuerpo. I.

220

www.trilce.edu.pe

II.

a) b) c) d)

sonora térmica química solar

III.

Segundo año de secundaria

13

1

Unidad I

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Aplicación de la información 1. Determina la energía cinética de una masa de 6 kg que posee una velocidad de 15 m/s. a) 125 J d) 2250 J

b) 225 J e) 675 J

c) 450 J

2. ¿Qué energía cinética tiene un atleta de 60 kg de masa que lleva una velocidad de 10 m/s? a) 1500 J d) 3000 J

b) 1800 J e) 3600 J

c) 2400 J

3. Una masa de 8 kg posee una energía cinética de 1024 J. Determina la energía cinética de otra masa de 5 kg que posee el doble de velocidad que la primera masa. a) 2560 J d) 1840 J

b) 2250 J e) 1530 J

c) 1540 J

4. Un ladrillo de construcción tiene una masa de 2 kg. Si es elevado hasta una altura de 4,5 m, ¿qué energía potencial gravitatoria adquiere? (g = 10 m/s2) a) 900 J d) 120 J

b) 90 J e) 150 J

c) 180 J

5. Una masa de 6 kg es lanzada con una velocidad de 240 m/s. ¿A qué altura se debe elevar la masa para que la energía potencial gravitatoria tenga el mismo valor que la energía cinética? (g = 10 m/s2) a) 1520 m d) 3620 m

b) 1440 m e) 4240 m

c) 2880 m

Capacidad: indagación y experimentación 1. Investiga sobre los usos de la energía solar como: • sistema térmico • sistema fotovoltaico 2. Investiga sobre la evolución del auto solar.

Colegios

14

TRILCE

Central: 619 8100

221

2° Año de secundaria

Fuentes de energía

222

www.trilce.edu.pe

2 CAPÍTULO

Unidad I

Compendio de Ciencias - I BIM

2

Segundo año de secundaria

15

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Física

Aprende más... Capacidad: comprensión de la información Manejo de información 1. Justifica la veracidad o falsedad de las proposiciones.

Proposición

Justificación

• Las fuentes de energía también son llamadas recursos energéticos.

• Los recursos renovables son los que no se pueden llegar a agotar.

• La fuerza del viento es una fuente de energía no renovable.

• La energía no se crea ni se destruye solo se transforma.

• En una transformación energética, la energía total permanece constante. 2. Completa adecuadamente. • Las fuentes de energía se clasifican en

y

. • La energía

es aquella que, administrada adecuadamente, po-

dría explotarse de manera ilimitada. • La energía no se

ni se

solo se transforma.

• La energía producida por las mareas se denomina

.

• La energía está en constante

• La energía

se obtiene a partir de las caídas de agua.

• La energía no renovable se encuentra generalmente en • La energía • El petróleo, el carbón y el gas natural son ejemplos de energía

www.trilce.edu.pe

es aprovechada por los veleros. .

Segundo año de secundaria 223

23

2

Unidad I

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

• La energía • La energía

aprovecha el calor interno de la Tierra. se obtiene de la modificación de los núcleos de algunos átomos.

• Mediante la energía de la

, las plantas elaboran su propio alimento.

• Las fuentes de energía

se encuentran en cantidades ilimitadas. .

• En toda transformación energética la energía total es 3. Relaciona correctamente. I. Se obtiene de la modificación de los núcleos de algunos átomos. II. Es una de las fuentes de energía más importantes, de donde se obtiene el combustible, el plástico, etc. III. Se aplica en el transporte y para la generación eléctrica a través de los molinos de viento. I.

II.

a) b) c) d)

energía eléctrica energía eólica energía nuclear energía fósil

III.

Aplicación de la información 1. Proviene de aquellos recursos que podrían llegar a agotarse. a) energía solar d) energía mecánica

b) energía renovable e) energía no renovable

c) energía natural

2. ¿Cuál de las siguientes fuentes de energía es renovable? a) petróleo d) fuerza del viento

b) combustible e) nuclear

c) gas natural

3. La energía aprovechada del movimiento de las mareas es la energía a) eólica. d) mareomotriz.

b) nuclear. e) biomasa.

c) solar.

4. De la siguiente lista, ¿cuántos recursos energéticos corresponden a una fuente renovable? • carbón mineral • gas natural • molinos de viento • radiación solar • fuerza de las mareas • la biomasa a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

5. La energía solar, eólica y nuclear son a) fuentes de energía renovable. b) fuentes de energía no renovable. c) fuentes alternativas de energía. d) fuentes de energía fósil. e) fuentes internas de energía. 6. Las plantas aprovechan la energía solar para la a) evaporación. d) respiración.

b) combustión. e) superposición.

c) fotosíntesis.

7. La energía que aprovecha el calor interno de la Tierra es la a) energía solar. d) energía geotérmica. Colegios

24

224TRILCE

b) energía calorífica. e) energía mareomotriz.

c) energía eólica.

Central: 619 8100

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Física

Practica en casa Capacidad: comprensión de la información Manejo de información 1. Justifica la veracidad o falsedad de las siguientes proposiciones:

Proposición

Justificación

• Una fuente de energía renovable es ilimitada. • Las fuentes de energía también son llamadas recursos energéticos. • La energía no se crea ni se destruye solo se transforma. • En una transformación energética la energía total disminuye. 2. Completa adecuadamente. y

• Las fuentes de energía se clasifican en • Las fuentes de energía

son ilimitadas.

• La energía está en constante

.

• La energía no se crea ni se

solo se

• La energía

.

.

es aprovechada por los veleros y los molinos de vien-

to. es obtenida de las caídas de agua.

• La energía

.

• En una transformación energética, la energía total es • Del

se obtienen los plásticos y los combustibles para el transpor-

te. • En un foco o bombilla, la energía eléctrica se transforma en energía

.

• En nuestro hogar los artefactos funcionan con energía

.

• El viento, las olas del mar, la energía geotérmica y la energía solar son ejemplos de fuentes de energía . • La energía

aprovecha el calor interno de la Tie-

rra.

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Segundo año de secundaria 225

25

2

Unidad I

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

3. Relaciona correctamente. I. Podrían usarse para disminuir el excesivo consumo de petróleo. II. Es el aprovechamiento de las olas del mar para generar energía eléctrica. III. Se obtiene a partir del calor interno de la Tierra. II.

I.

a) b) c) d)

petróleo energía mareomotriz fuentes alternativas energía geotérmica

III.

Aplicación de la información 1. Indicar verdadero (V) o falso (F), según corresponda. I. Mediante las caídas de agua se obtiene la energía renovable. II. El petróleo y el gas natural nunca llegarán a agotarse. III. La energía mareomotriz corresponde a una energía no renovable. a) VVV

b) FVF

c) VFF

d) VFV

e) FFF

2. De la siguiente tabla, ¿cuántos recursos energéticos son renovables? energía de los núcleos atómicos

radiación solar

fuerza de las mareas

carbón natural

fuerza del viento

geotérmica

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

3. ¿Qué fuente de energía es renovable? a) fuerza de las mareas d) combustibles

b) carbón natural e) plástico

c) gas natural

4. En un proceso de transformación de energía, la energía total a) aumenta. d) cambia.

b) disminuye. e) disminuye a su mitad.

c) no cambia.

Capacidad: indagación y experimentación 1. Investiga sobre el impacto en el medio ambiente del empleo de las siguientes fuentes de energía: • fósil ( combustibles) • nuclear • hidráulica

Colegios

26

226TRILCE

Central: 619 8100

Unidad I

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

actividades compLementarias transFormaciones de La energía Objetivo

3

CAPÍTULO

3

Comprobar el cambio o transformación de una energía en otra.

Materiales • una regla de plástico de 20 cm • una tijera • un plumón • una balanza • un tubo vacío de papel higiénico • tres ligas • una cinta métrica de sastre de 1,5 m • cinta maskintape

Procedimiento Hacer un cohete y lanzador liga 1. Corta una liga y la aseguras con la cinta maskintape a través de un extremo del tubo de papel higiénico. La liga no debe estar estirada. Esto va a ser el lanzador.

cinta maskintape

2. Pesa la regla en la balanza y anota la masa en gramos, en la tabla de datos. 3. Con el lanzador en la mano y los dedos encima de los extremos de la liga (la liga está hacia arriba), coloca la regla en forma vertical, con la marca cero hacia abajo, en el interior del tubo apoyándola en la liga. 4. Empuja la regla con la otra mano hasta que sobresalga 3 cm del tubo de papel higiénico, como se muestra en la figura 2. 5. Suelta la regla cohete y con la ayuda de tu compañero, empleando la cinta métrica, mide la altura que la regla alcanzó. Escribe los datos en la tabla. Repite el experimento dos veces más y registra los datos en la tabla adjunta.

tubo de papel higiénico

Figura 1 20 19 18 17

3 2 1 0

Figura 2 www.trilce.edu.pe

Segundo año de secundaria 227

27

3

Unidad I

2° Año de secundaria

Estiramiento

Altura 1

Compendio de Ciencias - I BIM

Altura 2

Altura 3

Promedio de las alturas

Masa de la regla

3 cm

5 cm

10 cm 6. Ahora, fija el plumón sobre la regla con ayuda de la cinta. Repite las medidas del paso anterior y anota los nuevos resultados.

Cuestionario 1. ¿Qué energía tiene la liga estirada?

2. Al soltar la regla esta adquiere velocidad, ¿qué tipo de energía tiene?

3. Cuando la regla alcanza su punto más alto, ya no tiene velocidad, ¿qué energía tiene entonces?

4. Explica qué tipos de energía se manifiestan durante el experimento.

5. Con los datos de la tabla, determina la energía potencial que adquiere la regla, en cada caso.

6. Cuando se coloca el plumón, la altura alcanzada es menor. ¿Por qué?

Colegios

28

228TRILCE

Central: 619 8100

1

Unidad II

Compendio de Ciencias - I BIM

temperatura

Colegios

30

TRILCE

2° Año de secundaria

CAPÍTULO

4

Central: 619 8100

229

1

Unidad II

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Aprende más... Capacidad: comprensión de la información Manejo de información 1. Justifica la veracidad o falsedad de las siguientes proposiciones:

Proposición

Justificación

• La temperatura es una cantidad física escalar.

• La temperatura es proporcional al movimiento de las partículas que conforman el cuerpo.

• La unidad de la temperatura en el S.I. es el Kelvin.

• La temperatura depende de la masa del cuerpo.

• Dos recipientes que contienen cantidades diferentes de un mismo líquido pueden tener igual temperatura.

• En la escala Kelvin el punto de ebullición del agua es 100ºC. 2. Completa adecuadamente. • La temperatura de un cuerpo es proporcional al

de las partículas que posee.

• El punto de solidificación del agua en la escala Kelvin corresponde a • Un cuerpo caliente tiene más

. que un cuerpo frío.

• Si las partículas de dos cuerpos de diferentes masas están vibrando con la misma velocidad, entonces la temperatura de ambos es • En la escala Celsius, el cero absoluto corresponde a

. .

• La escala Kelvin se denomina absoluta por que solo toma valores

Colegios

34

230TRILCE

.

Central: 619 8100

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Física

3. Relaciona correctamente. a) b) c) d)

I. Punto de congelación del agua II. Punto de ebullición del agua III. El cero absoluto I.

II.

100 K 0 K 273 K 373 K

III.

Aplicación de la información 1. La temperatura más baja registrada en el Polo Sur fue de –60 ºC. Expresa este valor en la escala Fahrenheit. a) –66 ºF d) –68 ºF

b) –76 ºF e) –108 ºF

c) –56 ºC

2. La temperatura en un día de verano puede alcanzar los 46 ºC en Piura, ¿cuál es la temperatura expresada en la escala Fahrenheit? a) 143,4 ºF d) 105,6 ºF

b) 124,6 ºF e) 108,4 ºF

c) 114,8 ºF

3. Una persona con hipotermia registró una temperatura de 34ºC, ¿cuál es su temperatura en la escala Fahrenheit? a) 93.2 ºF d) 99,2 ºF

b) 98,4 ºF e) 96,7 ºF

c) 87,4 ºF

4. En el centro de un mechero encendido de un laboratorio se alcanzan temperaturas de 520 ºC, expresar esta temperatura en la escala Fahrenheit. a) 868° F d) 896° F

b) 968° F e) 768° F

c) 986° F

5. ¿A qué temperatura en la escala Celsius corresponde el cero absoluto? a) 0 ºC d) –273 ºC

b) –73 ºC e) –160 ºC

c) –460 ºC

b) solo II e) I y II

c) solo III

6. ¿Qué temperaturas no existen? I. –243 ºC II. –198 ºC III. –280 ºC a) solo I d) I y III

7. ¿A qué temperatura las escalas Celsius y Fahrenheit coinciden? a) –20 d) 20

www.trilce.edu.pe

b) –30 e) 40

c) –40

Segundo año de secundaria 231

35

1

Unidad II

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Practica en casa Capacidad: comprensión de la información Manejo de información 1. Justifica la veracidad o falsedad de las siguientes proposiciones:

Proposición

Justificación

• La temperatura de un cuerpo depende de la agitación o del movimiento de las partículas del cuerpo. • Según el S.I., la unidad de la temperatura es el Celsius.

• La temperatura más corresponde a 0 ºC.

baja

posible

• La escala termométrica más empleada en Estados Unidos es la Celsius. 2. Completa adecuadamente. de las moléculas del cuerpo.

• La temperatura de un cuerpo depende de la

y su símbolo es

• La unidad de la temperatura en S.I. es el

. .

• El cero absoluto corresponde en la escala Celsius a • El punto de congelación del agua es

ºF.

• La escala termométrica más empleada en el mundo es la

.

• El punto de ebullición del agua en la escala Kelvin corresponde a

.

• El instrumento para medir la temperatura es el

.

• Las moléculas de un cuerpo caliente tienen mayor movimiento que las de un

.

• La escala más empleada en Sudamérica es

.

• La escala de temperatura empleada en la investigación científica es

.

3. Relaciona correctamente. I. Escala empleada en la investigación científica II. Escala mas usada en Estados Unidos III. Corresponde al cero absoluto I.

Colegios

36

232TRILCE

II.

a) b) c) d)

Fahrenheit 0 ºC Kelvin 0 K

III.

Central: 619 8100

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Física

Aplicación de la información 1. Expresa 90 ºC en la escala Fahrenheit. a) 184 ºF d) 186 ºF

b) 194 ºF e) 178 ºF

c) 164 ºF

2. El 24 de agosto de 1960 la temperatura más baja registrada en la Antártida fue de –88 ºC. Exprésala en la escala Fahrenheit. a) –126,4 ºF d) –116,6 ºF

b) –136,4 ºF e) –122,6 ºF

c) –128,4 ºF

3. Una persona con fiebre registró una temperatura de 41 ºC, ¿qué valor tienen en la escala Kelvin? a) 324 K d) 336 K

b) 314 K e) 304 K

c) 334 K

4. La temperatura de un gas encerrado en un recipiente es de 353 K, ¿qué lectura tiene expresada en Fahrenheit? a) 172 ºF d) 166 ºF

b) 182 ºF e) 152 ºF

c) 176 ºF

b) 252,4 K e) 245,2 K

c) 267,6 K

5. Expresa 0 ºF en la escala Kelvin. a) 265,5 K d) 255,2 K

Capacidad: indagación y experimentación 1. Investiga sobre la temperatura interior de la Tierra. 2. Investiga sobre la temperatura de ebullición de los metales más empleados.

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Segundo año de secundaria 233

37

2

Unidad II

2° Año de secundaria

CAP

caLor

Colegios

38

Compendio de Ciencias - I BIM

234TRILCE

5

Central: 619 8100

2

PÍTULO

5

Unidad II

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Aprende más... Capacidad: comprensión de la información Manejo de información 1. Justifica la veracidad o falsedad de las siguientes proposiciones:

Proposición

Justificación

• El calor es una energía en tránsito.

• Según el S.I., la unidad de calor es la caloría.

• El calor específico es propio de cada sustancia.

• El calor va de un cuerpo de menos temperatura a otro de mayor temperatura. • Un cuerpo con menor calor específico que otro se calienta más rápido, aun cuando sus masas son iguales.

• Una kilocaloría equivale a 4186 J. 2. Completa adecuadamente. en tránsito que va de un cuerpo de mayor

• El calor es la

.

a otro de menor • La unidad del calor en el S. I. es

y su símbolo es

• Un cuerpo para elevar su temperatura debe • Cuando un cuerpo se enfría ha • El

. calor. calor.

es la cantidad de calor que debe ganar o perder un unidad de masa .

para aumentar o disminuir su temperatura en • Se llama

Colegios

44

TRILCE

al calor que libera una unidad de masa en su combustión.

Central: 619 8100

235

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Física

3. Relaciona correctamente. a) b) c) d)

I. Unidad del calor en el S.I. II. Sustancia con mayor calor específico. III. Energía que pasa de un cuerpo a otro, por diferencia de temperaturas. I.

II.

agua caloría calor joule

III.

Aplicación de la información 1. Expresa 400 cal en joule. a) 1546,4 d) 1774,4

b) 1572,6 e) 1664,2

c) 1674,4

2. ¿A cuántas calorías equivale una energía calorífica de 250 J? a) 56,72 cal d) 58,36 cal

b) 59,72 cal e) 54,68 cal

c) 52,32 cal

3. ¿Qué cantidad de calor se debe suministrar a 600 g de un pedazo de hierro para elevar su temperatura de 20 ºC a 240 ºC? (Cehierro=0,12 cal/g°C) a) 16646 cal d) 14882 cal

b) 14916 cal e) 15840 cal

c) 14584 cal

4. ¿Cuántas calorías se debe suministrar a un bloque de plata de 400 g para elevar su temperatura de 18 ºC hasta 318 ºC? (Ceplata=0,06 cal/g°C) a) 7200 cal d) 720 cal

b) 3600 cal e) 360 cal

c) 4800 cal

5. ¿Cuántas calorías se debe suministrar a dos litros de agua a temperatura ambiente (20 ºC) para que alcance el punto de ebullición (100 ºC)? a) 120 kcal d) 240 kcal

b) 160 kcal e) 260 kcal

c) 180 kcal

6. ¿Cuánto calor se libera en la combustión de 2,8 kg de hulla? a) 120 kcal d) 22400 kcal

b) 160 kcal e) 260 kcal

c) 180 kcal

7. ¿Cuántos kilogramos de gasolina se necesitan para producir 27500 kcal? a) 2,5 kg d) 3,5 kg

236

www.trilce.edu.pe

b) 2,75 kg e) 3,8 kg

c) 3,0 kg

Segundo año de secundaria

45

2

Unidad II

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Practica en casa Capacidad: comprensión de la información Manejo de información 1. Justifica la veracidad o falsedad de las siguientes proposiciones:

Proposición

Justificación

• El calor es llamado energía en tránsito.

• Según el S.I., la unidad del calor es la caloría.

• El calor específico del agua es de 1 cal/ g°C.

• Una caloría equivale a 4,23 J.

2. Completa adecuadamente. • Las unidades del calor específico en el S.I. son • El calor es la energía en

.

que va de un cuerpo de mayor

a otro de .

menor • Una kilocaloría equivale a

calorías.

• La sustancia con mayor calor específico es • El calor

.

es la cantidad de calor que un cuerpo debe

o



para aumentar o disminuir su temperatura. 3. Relaciona correctamente. I. Cantidad de calor que un cuerpo debe ganar o perder para aumentar o disminuir su temperatura. II. Unidad de calor en el S.I. III. Calor que se libera en el proceso de combustión de un cuerpo, llamado combustible. I.

Colegios

46

TRILCE

II.

a) b) c) d)

poder calorífico caloría calor sensible joule

III.

Central: 619 8100

237

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Física

Aplicación de la información 1. Expresa 600 J en calorías. a) 132,6 cal d) 175,8 cal

b) 143,3 cal e) 163,8 cal

c) 167,2 cal

2. ¿A cuántos Joules equivale una energía calorífica de 1800 calorías? a) 7534,8 J d) 7883,71 J

b) 6789,5 J e) 6995,4 J

c) 5635,21 J

3. ¿Qué cantidad de calor se debe suministrar a 500 g de un pedazo de cobre para elevar su temperatura de 30°C a 250°C? (Cecobre=0,09 cal/g°C) a) 9460 cal d) 12350 cal

b) 8950 cal e) 9900 cal

c) 10230 cal

4. ¿Cuántos kilogramos de gasolina se necesitan para producir 38 500 Kcal? a) 2,5 kg d) 3,5 kg

b) 2,2 kg e) 3,8 kg

c) 3,0 kg

Capacidad: indagación y experimentación 1. Investiga sobre los calores específicos del agua. 2. Investiga sobre el equivalente mecánico del calor.

238

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Segundo año de secundaria

47

3

Compendio de Ciencias - I BIM

Unidad II

2° Año de secundaria

CAPÍTULO

transmisión deL caLor

6

239 Colegios

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Física

Aprende más... Capacidad: comprensión de la información Manejo de información 1. Justifica la veracidad o falsedad de las siguientes proposiciones:

Proposición

Justificación

• En la convección, el aire caliente desciende y el aire frío asciende.

• Los rayos solares llegan a la Tierra propagándose por convección.

• En los sólidos, el calor se transmite por conducción.

• El calor se puede transmitir de tres formas.

• El plomo es mejor conductor de calor que el oro.

• La madera es un aislante térmico.

2. Completa adecuadamente. • La • La • En los • La plata es un • Las ondas • Un

240

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es la forma en que el calor se propaga en el vacío. es la forma en que el calor se propaga de un extremo a otro en un sólido. , el calor se transmite por convección. conductor de calor. pueden propagarse en el vacío, como la luz y el calor. es un gran absorbente de radiación térmica.

Segundo año de secundaria

53

3

Unidad II

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

3. Relaciona correctamente. a) b) c) d)

I. Es la forma como el calor se propaga en el vacío. II. Es un material mal conductor del calor. III. Son materiales buenos conductores del calor. II.

I.

metales conducción madera radiación

III.

Aplicación de la información 1. En los sólidos, la transmisión del calor se da por a) radiación. d) conducción. 2. La propagan en el vacío. a) conducción d) contacto

b) inducción. e) contacto.

c) convección.

ocurre porque los cuerpos calientes emiten una clase de ondas que se b) convección e) inducción

c) radiación

3. Forma de transmisión de calor que ocurre porque las moléculas del cuerpo más próximas al foco calorífico absorben energía de este y las transmiten a las moléculas vecinas. a) convección d) inducción

b) conducción e) contacto

c) radiación

4. El calor se puede propagar por a) contacto, inducción o radiación. b) contacto, inducción o frotamiento. c) conducción, convección o radiación. d) conducción, inducción o radiación. e) conducción, inducción o frotamiento. 5. En los fluidos, la transmisión del calor se da por a) conducción. d) contacto.

b) inducción. e) radiación.

c) convección.

6. La luz y el calor se propagan como ondas a) mecánicas. d) longitudinales. 7. Un cuerpo negro es a) ideal – absorbente d) existente – reflector

Colegios

54

TRILCE

b) electromagnéticas. e) armónicas. por ser un perfecto

c) sonoras.

de la radiación térmica.

b) real – emisor e) real – absorbente

c) inexistente – reflector

Central: 619 8100

241

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Física

Practica en casa Capacidad: comprensión de la información Manejo de información 1. Justifica a veracidad o falsedad de las siguientes proposiciones:

Proposición

Justificación

• La propagación del calor por conducción se da en los sólidos.

• El calor puede propagarse en el vacío.

• En los líquidos y gases el calor se propaga por convección.

• En la propagación por convección, existe una corriente de convección, que hace que el líquido o gas caliente suba y el líquido frío baje.

• En la propagación por conducción, el calor se propaga en el vacío. 2. Completa adecuadamente. • Los metales son

conductores del calor.

• En los líquidos y en los gases, el calor se propaga por • En el vacío el calor se propaga por

. .

• La propagación por conducción se da en los • En la propagación por convección se genera

. de convección, que mueve

el líquido o gas. • La plata es un

242

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de calor.

Segundo año de secundaria

55

3

Unidad II

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

3. Escribe en los paréntesis la forma por la que se trasmite el calor en cada uno de los casos. • En los fluidos

( ............................................. )

• Cuando calentamos agua

( ............................................. )

• Cuando golpeamos un clavo

( ............................................. )

• Desde el Sol hacia la Tierra

( ............................................. )

• Dentro de la habitación

( ............................................. )

4. Relaciona correctamente. a) b) c) d)

I. Son buenos conductores del calor. II. Se puede propagar en el vacío. III. En ellos, el calor se propaga por convección. I.

II.

el calor y la luz sólidos metales fluidos

III.

Aplicación de la información 1. En los fluidos, la transmisión de calor se da por a) contacto. d) radiación.

b) convección. e) inducción.

c) conducción.

2. En los sólidos, la transmisión del calor se da por a) radiación. d) convección.

b) conducción. e) contacto.

c) inducción.

Capacidad: indagación y experimentación 1. Investiga sobre la conductividad térmica de los metales. 2. Investiga sobre la radiación ultravioleta.

Colegios

56

TRILCE

Central: 619 8100

243

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Unidad II

eFectos deL caLor

7

244

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4

CAPÍTULO

Segundo año de secundaria

4

Unidad II

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Aprende más... Capacidad: comprensión de la información Manejo de información 1. Justifica la veracidad o falsedad de las siguientes proposiciones:

Proposición

Justificación

• Al ganar calor un cuerpo, experimenta fenómenos térmicos.

• Un fenómeno térmico es la dilatación.

• Al ganar calor un cuerpo, puede elevar su temperatura.

• En la dilatación, el cuerpo disminuye sus dimensiones al aumentar su temperatura.

• La materia en todas sus formas se expande cuando se calienta. 2. Completa adecuadamente. • Al darle calor a un cuerpo,

su temperatura.

• La medida de calor que se da o quita a un cuerpo se denomina • Al derretirse el hielo, • Al condensarse el agua,

. calor. calor.

• Todo cambio de una sustancia debido al calor se denomina • Al vaporizar el agua,

. calor.

• Todo cambio de fase se produce a temperatura

Colegios

62

TRILCE

.

Central: 619 8100

245

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

3. Relaciona correctamente. I. Aumento de las dimensiones de un cuerpo debido al aumento de su temperatura. II. Aumento o disminución de la temperatura debido a la transferencia de calor. III. Transformación de una sustancia al pasar de una fase a otra, debido a la ganancia o perdida de calor. I.

II.

Física

a) cambio de temperatura b) dilatación c) cambio de fase

III.

Aplicación de la información 1. Si las moléculas aumentan su agitación, entonces estas a) tienden a acercarse. d) se ordenan más.

b) tienden a alejarse. e) no se alteran.

c) dejan de moverse.

2. Indica qué alternativa muestra un efecto del calor. a) cambio de fase d) cambio de la energía interna

b) dilatación térmica

c) cambio de la temperatura e) todas las anteriores

3. Cuando un cuerpo disminuye su temperatura puede a) dilatarse. d) calentarse.

b) expandirse. e) estirarse.

c) contraerse.

4. En los días muy fríos, los materiales de una construcción a) se dilatan. d) se congelan.

b) se expanden. e) no se alteran.

c) se contraen.

b) las líquidas e) cualquier sustancia

c) los gases

5. ¿Qué sustancias se dilatan más? a) las sólidos d) las fluidas

6. En un termómetro, al aumentar la temperatura, el mercurio se a) contrae. d) enfría.

b) reduce. e) congela.

c) dilata.

7. Cuando un pedazo de hielo se convierte en agua, durante el proceso su temperatura a) aumenta. d) se reduce a la mitad.

246

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b) disminuye. e) disminuye en 1 ºC.

c) es constante.

Segundo año de secundaria

63

4

Unidad II

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Practica en casa Capacidad: comprensión de la información Manejo de información 1. Justifica la veracidad o falsedad de las siguientes proposiciones:

Proposición

Justificación

• Los fenómenos térmicos que experimenta un cuerpo pueden ser el cambio de fase y el de dilatación

• Al fundir los metales se pueden obtener aleaciones con nuevas características.

• En todo cambio de fase, la temperatura y la presión varían durante el proceso.

• Normalmente, al aumentar la temperatura de una sustancia, sus moléculas se separan.

• Los líquidos se expanden o contraen más que los sólidos. 2. Completa adecuadamente. • La

térmica es el incremento de las dimensiones de un cuerpo.

• Los efectos que el calor puede producir en un cuerpo se denominan fenómenos

.

para combinarse y obtener

.

• En la metalurgia se funden los

.

• Cuando damos calor a un cuerpo, su temperatura generalmente • El calor

es la medida de calor que gana o pierde un cuerpo para cambiar

su temperatura. 3. Relaciona correctamente. a) b) c) d)

I. Se expanden o se contraen más que los sólidos y los líquidos. II. Es uno de los efectos del calor. III. Es la expansión de un cuerpo al aumentar su temperatura. I.

Colegios

64

TRILCE

II.

dilatación gases compresión cambio de temperatura

III.

Central: 619 8100

247

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Física

Aplicación de la información 1. Si las moléculas aumentan su agitación, entonces estas a) tienden a acercase.

b) tienden a alejarse.

d) no se alteran.

e) se ordenan más.

c) dejan de moverse.

2. En los días calurosos, los materiales de una construcción a) se contraen.

b) se dilatan.

d) se congelan.

e) no se alteran.

c) se enfrían.

3. En un termómetro, al aumentar la temperatura, el mercurio se a) contrae.

b) reduce.

d) enfría.

e) congela.

c) dilata.

4. Si las moléculas de un cuerpo se agitan más, entonces su temperatura a) ha disminuido.

b) ha aumentado.

d) no ha cambiado .

e) falta la masa del cuerpo.

c) se ha reducido a la mitad.

Capacidad: indagación y experimentación 1. Investiga cómo influye la dilatación térmica en la construcción de estructuras metálicas y qué alternativas se plantean. 2. Investiga cómo influye la presión atmosférica en el punto de ebullición del agua.

248

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Segundo año de secundaria

65

5

Unidad II

Compendio de Ciencias - I BIM

2° Año de secundaria

actividades compLementarias transmisión deL caLor Objetivo Comprobar las formas de propagación del calor en forma general.

Materiales

CAPÍTULO

8

• un metro de alambre galvanizado N° 11 • una hoja de papel aluminio de 10 x 10 cm • medio pliego de cartulina de color • una vela • una ampolla de agua destilada de 5 ml • tijera para cortar papel • cinta adhesiva • un alicate

Procedimiento

1. Quiebra la ampolla por la parte marcada. Solo debe quedar la parte superior (pequeña).

2. En el papel aluminio dibuja y corta una hélice, como se muestra en la figura

3. Con el alambre galvanizado forma una estructura como se muestra en la figura . Coloca la ampolla en la parte central de la hélice. 4. Coloca la cartulina rodeando la estructura y sujétala con cinta adhesiva. Luego enciende la vela. Observa lo que ocurre.

Colegios

66

TRILCE

Central: 619 8100

249

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Física

Cuestionario 1. ¿Qué formas de propagación de calor existen? Explica cada una brevemente.

2. ¿Qué cuerpos son buenos conductores de calor?

3. ¿Por qué la hélice empieza a girar luego de un rato? ¿Cómo se denomina este fenómeno?

4. ¿Cómo aumentarías la velocidad de giro?

5. ¿Cómo explicarías los resultados de este experimento?

250

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Segundo año de secundaria

67

6

Unidad II

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

CAPÍTULO

repaso

9

Capacidad: comprensión de la información Manejo de información 1. Justifica la veracidad o falsedad de las siguientes proposiciones:

Proposición

Justificación

• La energía química está en los alimentos.

• El plástico y los combustibles provienen del petróleo.

• El cobre es mejor conductor de calor que el oro.

• La luz solar y el calor pueden propagarse en el vacío.

• En la escala Kelvin, el punto de ebullición del agua es 100 ºC.

• En los sólidos, el calor se transmite por conducción.

• Según el S.I., la unidad de temperatura es el Celcius.

• La madera es un aislante térmico.

• La fuerza del viento es una fuente de energía no renovable.

• En todas sus formas, la materia se expande cuando se calienta.

Colegios

68

TRILCE

Central: 619 8100

251

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Física

2. Completa adecuadamente. de las partículas que posee

• La temperatura de un cuerpo es proporcional al dicho cuerpo. • Un cuerpo para elevar su temperatura debe

calor.

, el calor de transmite por convección.

• En los

.

• Los resortes estirados o comprimidos poseen energía • La medida de calor que se da o quita a un cuerpo se denomina • La palabra energía significa “

.

”. .

• Un cuerpo en movimiento posee energía es la que poseen los combustibles.

• La energía

.

• La escala termométrica más empleada en el mundo es la • La energía

se obtiene de la modificación de los núcleos de algunos átomos.

3. Relaciona correctamente. a) Fuente de energía más importante, de donde se obtiene el combustible, el plástico, etc. b) Material mal conductor del calor. c) Escala más usada en Estados Unidos. d) Se aplica en el transporte y para la generación eléctrica a través de los molinos de viento. e) Energía producida por los electrones en movimiento. f) Aumento de las dimensiones de un cuerpo al incrementar su temperatura. g) También se les llama recursos energéticos. h) Forma de transmisión de calor en los fluidos. i) La energía almacenada en los núcleos atómicos y que se aprovecha en las centrales nucleares. j) La energía que se transfiere de un objeto a otro debido a una diferencia de temperaturas.

252

energía eólica

calor

dilatación

petróleo

madera

energía nuclear

convección

energía eléctrica

Fahrenheit

fuentes de energía

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Segundo año de secundaria

69

6

Unidad II

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Aplicación de la información 1. ¿Qué energía potencial adquiere una masa de 8 kg al ser elevada hasta una altura de 4 m? (g = 10 m/s2) a) 320 J d) 160 J

b) 250 J e) 400 J

c) 32 J

2. Una persona con fiebre registró una temperatura de 40 ºC, ¿cuál es su valor en la escala Kelvin? a) 323 K d) 335 K

b) 313 K e) 303 K

c) 333 K

3. La energía aprovechada del movimiento de las mareas es la energía a) eólica. d) mareomotriz.

b) nuclear. e) biomasa.

c) solar.

4. Forma de transmisión de calor que realizan las moléculas del cuerpo más próximas al foco calorífico que absorben energía de este y la transmiten a las moléculas vecinas. a) convección d) inducción

b) conducción e) contacto

c) radiación

5. La temperatura de un gas encerrado en un recipiente es de 353 K, ¿cuál es su lectura expresada en Fahrenheit? a) 172 ºF d) 166 ºF

b) 182 ºF e) 152 ºF

c) 176 ºF

6. En los fluidos, la transmisión del calor se da por a) conducción. d) contacto.

b) inducción. e) radiación.

c) convección.

7. ¿Qué altura se debe elevar una masa de 30 kg para que adquiera una energía potencial de 5400 J? (g= 10 m/s2) a) 12 m d) 18 m

b) 15 m e) 24 m

c) 16 m

8. ¿Qué cantidad de calor se debe suministrar a 600 g de un pedazo de hierro para elevar su temperatura de 20 ºC a 240 ºC? (Cehierro=0,12 cal/g°C) a) 16646 cal d) 14882 cal

b) 14916 cal e) 15840 cal

c) 14584 cal

9. Una persona con fiebre registró una temperatura de 41 ºC, ¿cuál es su valor en la escala Kelvin? a) 324 K d) 336 K

b) 314 K e) 304 K

c) 334 K

b) las líquidas e) cualquier sustancia

c) las gaseosas

10. ¿Qué sustancias se dilatan más? a) las sólidas d) las fluidas

Colegios

70

TRILCE

Central: 619 8100

253

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Física

Practica en casa Capacidad: comprensión de la información Manejo de información 1. Justifica la veracidad o falsedad de las siguientes proposiciones:

Proposición

Justificación

• La energía radiante es la energía almacenada en el núcleo de los átomos.

• En la escala Kelvin, el punto de congelamiento del agua es 0 ºC.

• La energía es la capacidad que un cuerpo tiene de realizar una acción o trabajo. • El calor fluye espontáneamente del cuerpo de menor temperatura al de mayor temperatura. • La temperatura indica el grado de agitación de las moléculas.

• En la convección, el aire caliente baja y el aire frío sube.

• Los metales son malos conductores del calor.

• En la mayoría de casos, los sólidos se expanden más que los líquidos.

• La fuerza de las mareas es una fuente de energía renovable.

• En los sólidos, el calor se transmite por convección.

254

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Segundo año de secundaria

71

6

Unidad II

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

2. Completa adecuadamente. .

• Al dar o quitar calor a un cuerpo se puede aumentar o disminuir su y

• La energía mecánica es la suma de las energías

.

el calor se transmite por conduc-

• En los ción. • Las fuentes de energía se clasifican en

y

. • Al derretirse el hielo,

calor y al congelarse el agua,

• La plata es mejor

que el hierro.

• En el vacío, el calor se transmite por

.

• En los fluidos, el calor se transmite por

.

calor

.

• Un cuerpo ubicado a una cierta altura tiene energía • El calor es la

que se transfiere de un cuerpo a otro debido a una diferencia

entre sus temperaturas. • La temperatura es la medida de la • La

de las moléculas de un cuerpo. es la forma de propagación del calor en los líquidos y gases

3. Relaciona correctamente. a) Energía que poseen los cuerpos en movimiento. b) Las plantas elaboran su propio alimento con ella. c) Proveniente de recursos que almacenados en cantidades limitadas. d) Unidad de la energía y el calor en el S.I. e) Cantidad de calor necesaria para que el gramo de una sustancia cambie su temperatura en 1 ºC. f) Escala de temperatura en el S.I. g) Temperatura de congelación del agua en la costa. h) Significado de la palabra energía. i) Buenos conductores del calor. j) Aumento de las dimensiones de un cuerpo debido al incremento de su temperatura.

Colegios

72

calor específico

0ºc

metales

biomasa

dilatación térmica

en acción

cinética

joule

kelvin

energía no renovable

TRILCE

Central: 619 8100

255

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Física

Aplicación de la información 1. En los fluidos, la transmisión del calor se da por a) conducción. d) contacto.

b) inducción. e) radiación.

c) convección.

2. En los días muy fríos, los materiales de una construcción a) se dilatan. d) se congelan.

b) se expanden. e) no se alteran.

c) se contraen.

3. ¿Cuántas calorías se deben suministrar a un bloque de cobre de 800 g para elevar su temperatura de 23º C hasta 273 ºC? (Cecobre=0,09 cal/g°C) a) 12400 cal d) 7200 cal

b) 18600 cal e) 18000 cal

c) 14200 cal

4. ¿Cuál es la energía cinética de un atleta de 52 kg de masa que lleva una velocidad de 15 m/s? a) 2995 J d) 3240 J

b) 5850 J e) 3800 J

c) 4650 J

5. La luz y el calor se propagan como ondas a) mecánicas. d) longitudinales.

b) electromagnéticas. e) armónicas.

c) sonoras.

b) las líquidas e) cualquier sustancia

c) las gaseosas

6. ¿Qué sustancias se dilatan más? a) las sólidas d) las fluidas

7. ¿Cuál de las siguientes fuentes de energía es renovable? a) petróleo d) fuerza del viento

b) combustible e) nuclear

c) gas natural

8. La energía aprovechada del movimiento de las mareas es la energía a) eólica. d) mareomotriz.

b) nuclear. e) biomasa.

c) solar.

9. Una masa de 5 kg es lanzada con una velocidad de 30 m/s, ¿a qué altura se debe elevar esta masa para que la energía potencial gravitatoria tenga el mismo valor que la energía cinética? (g = 10 m/s 2) a) 18 m d) 40 m

b) 36 m e) 45 m

c) 42 m

10. ¿Cuántos kilogramos de carbón de leña se necesitan para producir 18000 kcal? a) 2,4 kg d) 3,6 kg

b) 2,6 kg e) 1,8 kg

c) 3,2 kg

Capacidad: indagación y experimentación 1. Investiga cómo influye la dilatación de los materiales empleados en la construcción (cemento, fierro, etc.) 2. Investiga cómo funcionan los termómetros digitales.

256

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Segundo año de secundaria

73

TEMARIO • Estados de la materia • División y clasificación de la materia • Propiedades de la materia • Materia y sus propiedades • Sistema de medición • Múltiplos • Submúltiplos • Prefijos de medición

Química CAPÍTULO

Unidad i

1

Estados dE la matEria http://www.ahorrarnoshacebien.com/images/news/hervir-agua.jpg

1

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Las burbujas de agua registran el momento de la ebullición del agua.

Leemos: De joven, recuerdo haber visto asombrado como hervía el agua en una cacerola. Al buscar la explicación de por qué se formaban las burbujas, creí por un tiempo que el movimiento del agua calentada llevaba aire hacia el fondo de la cacerola que después se elevaba en forma de burbujas a la superficie. No sabía que lo que estaba pasando era aún más mágico de lo que imaginaba: las burbujas no eran de aire, en realidad eran agua en forma de gas. Los diferentes estados de la materia han confundido a la gente durante mucho tiempo. Los antiguos griegos fueron los primeros en identificar tres clases (lo que hoy llamamos estados) de materia, basados en sus observaciones del agua. Pero estos mismos griegos, en particular, el filósofo Thales de Mileto (624 - 545 a.C.) sugirió incorrectamente, que como que el agua podía existir siendo un elemento sólido, líquido, o hasta gaseoso, bajo condiciones naturales, entonces debía ser el único y principal elemento en el universo de donde surgía el resto de sustancias. Hoy sabemos que el agua no es la sustancia fundamental del universo, en realidad, no es ni siquiera un elemento.

259

Química

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Practiquemos 1. Completa: A la cantidad de materia que posee un cuerpo se le conoce como __________________. 2. Completa: El __________________ es la fuerza de atracción que ejerce la Tierra sobre los cuerpos. 3. Completa: A la capacidad de realizar trabajo se le conoce como __________________. 4. Completa: El __________________ es la disposición atómica o molecular de una porción de materia. 5. Completa: En el estado __________________ las sustancias se caracterizan por presentar resistencia a ser deformados. 6. Completa: En el estado gaseoso, las fuerzas de __________________ prevalecen sobre las fuerzas de __________________. 9. Indica con una V (verdadero) o F (falso) según corresponda:

7. Relaciona: I.

Mercurio

A. Gas

II. Latón

B. Líquido

III. Sombra

C. Sólido

IV. Hidrógeno

D. No materia

Masa

II. Energía

B. Kilogramos

III. Peso

C. Newton

Rpta: _____________

260

A. Joule

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(

)

b) Los gases presentan volumen definido. (

e)

8. Relaciona:

La materia mide la capacidad para realizar trabajo.

c)

Rpta: _____________

I.

a)

)

La energía es una forma de materia. Los líquidos son fluidos.

(

)

(

)

10. Indica con una V (verdadero) o F (falso) según corresponda: a)

El bromo es un sólido a temperatura ambiente. ( )

b) Los sólidos son compresibles. (

)

c)

El yodo se sublima.

(

)

e)

Los gases se expanden.

(

)

Segundo año de secundaria 9

1

Unidad i

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

11. ¿Cuál es una unidad de energía? a) Calorías b) Pascal d) Metros e) Libras

c)

14. De los mencionados, ¿cuál es un gas? Newton

Vinagre b) Carbón

d) Ozono

e)

Litio

d) Azufre

12. Indica una sustancia sólida. a)

a)

b) Cobre e)

c)

Bromo

Helio

15. ¿Qué masa origina 72 . 1020 ergios de energía? c)

Mercurio

a)

Monóxido de carbono

2g

d) 16 g

b) 4 g e)

c)

8g

32 g

13. Indica una materia no másica. a)

Agua

d) Aire

b) Roca e)

c)

Calor

Plantas

Tarea domiciliaria Comprensión de la información 1. Completa: La masa es la cantidad de __________________ . 2. Completa: La ___________________ tiene como unidad al Joule. 3. Completa: Los ___________________ presentan forma y volumen variable. 4. Completa: El acero se encuentra en estado ___________________ . 5. Completa: La energía es la capacidad de realizar ___________________. 6. Completa: En el estado sólido las fuerzas de _______________ son mayores a la fuerzas de __________________. 7. Relaciona: I. II. III. IV.

Helio Acero Luz Gasolina

Rpta: _____________ Colegios

TRILCE Unidad i 10

8. Relaciona: A. B. C. D.

Líquido Materia dispersada Sólido Gas

I.

Plata

A. Gas

II. GNV

B. Líquido

III. Vinagre

C. Sólido

Rpta: _____________ Central: 6198 - 100

261

Química

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

9. Indica con una V (verdadero) o F (falso) según corresponda: a)

Los líquidos se comprimen.

(

)

(

)

El dióxido de carbono se sublima.(

)

b) Toda materia presenta masa. c)

d) Todos los sólidos se funden.

(

12. Indica una sustancia líquida. a)

d) Cobre

(

)

La energía se mide en calorías.

(

)

d) Todos los gases se condensan.

(

)

11. ¿Cuál es una unidad de masa? a) Newton b) Libras d) Joule e) Dinas

c)

Latón

Cal viva b) Metano

d) Acero

e)

c)

Carbón

Leche de magnesia

14. Al paso del estado sólido al líquido, se le conoce como:

b) Los gases se expanden porque la fuerza de atracción es mayor a la repulsión.( ) c)

e)

Propano

)

10. Indica con una V (verdadero) o F (falso) según corresponda: La sombra es materia.

b) Mercurio c)

13. De los mencionados, ¿cuál es un gas? a)

a)

Azufre

a)

Sublimación

b) Licuación

c)

Fusión

d) Condensación

e)

Solidificación

15. ¿Qué masa puede producir 54 . 1021 ergios de energía? Calorías a)

10 g

d) 40 g

Actividades complementarias

b) 20 g e)

c)

30 g

60 g

Investiga un poco más: Busca información sobre el plasma y responde las siguientes preguntas en tu cuaderno de manera clara, breve y ordenada: •

¿Qué es el plasma?

•

¿Qué partículas la constituyen? ¿cómo se forman?

E = m C2

262

www.trilce.edu.pe

Segundo año de secundaria 11

2

Unidad i

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

división y clasificación dE la matEria

CAPÍTULO http://www.edicionesmedicas.com.ar/var/edicionesmedicas_com_ar/storage/images/media/ images/termometro_clinido_okok/15117-1-esl-AR/termometro_clinido_okok.jpg

2

El termómetro de mercurio aprovecha la dilatación del metal para registrar una lectura termométrica

Leemos: Adiós a los termómetros de mercurio Si tiene uno en casa, puede seguir usándolo; pero si va a tirarlo, llévelo al punto limpio. La vida de los viejos termómetros de mercurio tenía fecha de caducidad desde la aprobación de una directiva europea en julio de 2007. Sin embargo, en abril de 2009, se acabó la prórroga. Después de 18 meses de adaptación al nuevo escenario, los tradicionales termómetros de toda la vida dejaron de venderse y de fabricarse en toda la Unión Europea. Los instrumentos de medición que contengan mercurio y que los ciudadanos tengan en casa, podrán seguir usándose, aunque la Organización de Consumidores y Usuarios (OCU) recomienda que no los tiren a la basura cuando quieran deshacerse de ellos, sino que los lleven a un punto limpio. La decisión adoptada por el Parlamento Europeo el pasado verano del 2008 no afecta únicamente al instrumental sanitario, sino también a todos los termómetros meteorológicos, manómetros o esfigmomanómetros (aparatos que miden la presión arterial) que contengan este compuesto tóxico. Solo se ha indultado a los aparatos con una antigüedad mayor de 50 años, al entender que se trata de bienes culturales La medida comunitaria se enmarca dentro de una estrategia de la UE para erradicar el uso industrial de este metal, cuyos efectos nocivos potenciales sobre la salud y el medio ambiente son ampliamente reconocidos por la comunidad científica. La acumulación de pequeñas dosis en el organismo humano puede llegar a causar diversas enfermedades nerviosas. Fuente: Diario El Mundo, España - Madrid, 2009 Colegios

UTRILCE nidad Unidad i i 12

Central: 6198 - 100 263

Química

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Practiquemos 1. Completa: Toda porción de materia que presenta forma y volumen definido se le conoce como ______________ 2. Completa: La molécula es la unión de 2 o más ___________________ . 3. Completa: Las moléculas que tienen 2 o más átomos reciben el nombre de moléculas ___________________ . 4. Completa: Las ___________________ son agrupaciones de 2 o más sustancias que no reaccionan químicamente. 5. Completa: Las mezclas se clasifican en ___________________ y ___________________ 6. Completa: Todo elemento es una sustancia ___________________ 7. Relaciona: I.

Tiza

9. Indica con una V (verdadero) o F (falso) según corresponda: A. Homogénea

II. H2O

B. Sustancia simple

III. Magnesio

C. Cuerpo

IV. Aire

D. Sustancia compuesta

Rpta: _____________

a)

El lápiz es un cuerpo.

(

)

b) En una mezcla, sus componentes se separan por medios químicos. ( ) c)

El latón es una sustancia compuesta. ( )

e)

El acero es una mezcla homogénea. ( )

8. Relaciona: a)

Cobre

A. Cuerpo

10. Indica con una V (verdadero) o F (falso) según corresponda:

b) Amoniaco

B. Heterogénea

c)

C. Sustancia Simple

a)

D. Sustancia

b) El acero no es una mezcla homogénea.

Ensalada de fruta

d) Lapicero Rpta: _____________

El ozono es una sustancia simple. (

Compuesta

(

)

(

)

c)

La luz es materia.

e)

La arena es una sustancia simple. (

264

www.trilce.edu.pe

)

)

Segundo año de secundaria 15

2

Unidad i

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

11. Indica un cuerpo: a)

14. Indica una sustancia compuesta:

Rayos X b) Calor

d) Luz

e)

c)

Termómetro

Sombra

12. Indica una sustancia triatómica: a)

N2

d) HBr

b) NaCl e)

c)

H2O

Cl2

13. Indica una sustancia simple: a)

Cafeína b) Glucosa

d) Metano e)

c)

Plata

Amalgama

a)

Magnesio

b) Yeso

c)

Cobalto

d) Mercurio

e)

Latón

15. Indica la técnica que no es usada para la separación de los componentes de una mezcla. a)

Tamizado

b) Sublimación

c)

Hidrólisis

d) Decantación

e)

Centrifugación

Tarea domiciliaria Comprensión de la información 1. Completa: Un cuerpo es aquella porción de materia que tiene ________________ y ________________ definido. 2. Completa: El amoniaco es una sustancia compuesta por ___________________ átomos. 3. Completa: El yeso es una sustancia ___________________. 4. Completa: Las soluciones también son conocidas como mezclas ___________________. 5. Completa: El aire es una mezcla homogénea compuesta principalmente por ______________ y ______________. 6. Completa: El tolueno es una sustancia ________________________________________. 8. Relaciona:

7. Relaciona: I.

Teléfono

A. Sustancia simple

I.

II. Platino

B. Mezcla homogénea

II. Centrifugación

B. Sustancia Simple

III. Humo de tabaco

C. Cuerpo

III. Helio

C. Mezcla Heterogénea

IV. Agua azucarada

D. Mezcla heterogénea

IV. Probeta

D. Técnica de separación

Rpta: _____________

Colegios

Unidad nidad TRILCE U ii 16

Concreto

A. Cuerpo

Rpta: _____________

Central: 6198 - 100 265

Química

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

9. Indica con una V (verdadero) o F (falso) según corresponda: a)

El latón es una sustancia simple. (

12. Indica una sustancia diatómica:

)

b) El diamante es una sustancia compuesta. ( ) c)

El mechero es un cuerpo.

(

d) El aire es una mezcla homogénea. (

) )

En una mezcla homogénea, sus componentes se diferencian a simple vista. ( )

Ozono

b) Nitrógeno gas

c)

Metano

d) Amoniaco

e)

Agua

13. Indica una mezcla homogénea:

10. Indica con una V (verdadero) o F (falso) según corresponda: a)

a)

a)

Arena

b) Agua salada

c)

Leche de magnesia

d) Ensalada

e)

Detergente en agua

14. Identifica una sustancia simple:

b) Mediante la filtración se puede separar el agua del aceite. ( )

a)

Ácido sulfúrico

b) Mercurio

c)

c)

Bronce

d) Arcilla

e)

Propano

La destilación consiste en separar los líquidos. ( )

d) El bronce es un elemento.

(

) 15. Identifica una sustancia triatómica.

11. ¿Cuál no es cuerpo? a)

Roca

d) Calor

b) Vinagre e)

c)

Hidrógeno

Tubo de ensayo

a)

Cl2

b) CO

d) FeO

e)

c)

Na2O

HCl

Actividades complementarias

Investiga un poco más: Busca información sobre el efecto Tyndall y responde las siguientes preguntas en tu cuaderno de manera clara, breve y ordenada: •

¿Qué es un coloide?

•

Explique el efecto Tyndall.

Mezcla

266

www.trilce.edu.pe

Sustancia

Segundo año de secundaria 17

3

Unidad i

Compendio de Ciencias - I BIM

2° Año de secundaria

ProPiEdadEs dE la matEria CAPÍTULO

http://picasaweb.google.com/lh/photo/sE40uzai3jqUFdIhrbYKYQ

3

El chip (circuito integrado) es un dispositivo electrónico muy pequeño que puede almacenar y registrar una gran cantidad de información.

Leemos: Materiales y tecnología La investigación y el desarrollo de la Química en el siglo XX han generado nuevos materiales con efecto de mejoramiento profundo de la calidad de vida y han ayudado a mejorar la tecnología de diversas maneras. Unos cuantos ejemplos son los polímeros (el caucho y el nylon), la cerámica, los cristales líquidos (como los de las pantallas electrónicas) y los materiales de recubrimiento (las pinturas de látex). ¿Qué nos reserva el futuro cercano? Algo muy probable es el uso de superconductores a temperatura ambiente. La electricidad se conduce por cables de cobre, que no son conductores perfectos. Por consiguiente, casi el 20% de la energía eléctrica se pierde en forma de calor entre la planta generadora de electricidad y los hogares u oficinas, lo que constituye un desperdicio enorme. Los superconductores son materiales desprovistos de resistencia eléctrica, por lo tanto, conducen la electricidad sin pérdida de energía. Si fuera necesario mencionar un adelanto tecnológico que ha conformado nuestras vidas más que ningún otro, habría que señalar a las computadoras. El motor que impulsa la revolución de las computadoras es el microprocesador, un diminuto chip de silicio que ha servido de base para numerosas invenciones como las computadoras portátiles y celulares. Toda sustancia se diferencia de las demás por medio de sus cualidades o características, ya sean físicas o químicas.

Colegios

TRILCE U ii Unidad nidad 18

Central: 6198 - 100

267

3

Unidad 2° iAño de secundaria

•

Compendio de Ciencias - I BIM

•

Densidad: es la comparación entre la masa y el volumen, es una propiedad de la naturaleza del material. Por ejemplo, 100 g de plomo posee la misma densidad que 1 g del mismo elemento.

•

Solubilidad: es la capacidad que tienen algunos materiales para disolverse en un líquido. Esta propiedad depende de la temperatura de los sólidos como la sal, el azúcar o el bicarbonato.

•

Punto de fusión: es la temperatura en la que un sólido pasa a un estado líquido. Por ejemplo, el hielo se funde a 0 ºC a diferencia del fósforo que es 41,1 ºC.

Punto de ebullición: es la temperatura con la cual la presión de vapor de un líquido es igual a la presión externa, que se ejerce sobre él. Por ejemplo, el punto de ebullición del H2O a una atmósfera de presión es 100 ºC; del alcohol es 78 ºC; y del mercurio, 356,58 ºC.

Por otra parte, la aseveración “el hidrógeno se quema en presencia del oxígeno para formar agua”, describe una propiedad química del hidrógeno. Ahora, atendiendo a que las propiedades dependen o no de la cantidad de materia, se clasifican en propiedades extensivas e intensivas. Propiedades extensivas Son aquellas que dependen de la cantidad de • materia. Entre ellas podemos citar: inercia, peso, volumen, masa, etc. Son aditivas (se suman), así por ejemplo; dos • piezas de alambre de cobre tendrán juntas en volumen total igual a la suma de cada una de ellas.

•

•

Propiedades intensivas Son aquellas que no dependen de la cantidad de materia. Podemos citar: la densidad, temperatura, calor, sabor, etc. No son aditivas, así por ejemplo, 20 ml de H2O a 15 ºC se mezcla con 30 ml de H2O a 70 ºC, la mezcla tendrá una temperatura de 48 ºC, distinta a la suma de las iniciales.

Sabías que: • Cada vez que se cuece un huevo ocurre un cambio químico, cuando se somete a temperaturas cercanas a 100 ºC la yema y la clara experimentan cambios que no solo modifican su aspecto físico, sino también su composición química. Después al comerse, el huevo se modifica de nuevo, por efecto de sustancias del cuerpo humano llamados enzimas.

Practiquemos 1. Completa: Las ___________________ se pueden clasificar en generales y específicas.

2. Completa: La masa y el volumen son propiedades ___________________.

3. Completa: Las propiedades ___________________ son aquellas que solo poseen algunos cuerpos. Colegios

20

TRILCE U i Unidad nidad 268 i

Central: 6198 - 100

Química

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

4. Completa: Los pequeños espacios que presentan los cuerpos se llaman ___________________. 5. Completa: Propiedad por la cual todo cuerpo que trata de conservar su estado inicial, corresponde a la _______.

6. Completa: Las propiedades específicas se clasifican en ___________________ y ___________________.

10. Indica con una V (verdadero) o F (falso) según corresponda:

7. Relaciona: I.

Combustión

A. Propiedad general

II. Inercia

B. Químico

III. Punto de

C. Propiedad específica

ebullición IV. Elasticidad

D. Físico

a)

La fermentación es un fenómeno químico. ( )

b) La densidad compara la masa con el volumen. ( ) c)

El punto de ebullición del agua es 100 K. ( )

d) La fusión es un fenómeno físico.

Rpta: _____________

(

)

11. De los mencionados, ¿cuál es extensiva?

8. Relaciona: A. Propiedad general

a)

Densidad

b) Temperatura

II. Volumen

B. Compuesto

c)

Impenetrabilidad

d) Maleabilidad

III. Maleabilidad

C. Propiedad específica

e)

Sublimación

IV. Oxidación

D. Químico

I.

Cuarzo

12. De los materiales señale, ¿cuál es menos duro? Rpta: _____________ 9. Indica con una V (verdadero) o F (falso) según corresponda: a)

La maleabilidad es una propiedad general. ( )

b) La digestión es un fenómeno físico. ( ) c)

El color es una propiedad química. (

e)

La dureza es una propiedad general. (

www.trilce.edu.pe

a)

Diamante

b) Madera

c)

Talco

d) Vidrio

e)

Cuarzo

13. De lo mencionado, ¿cuál no tiene masa? a)

Acero

d) Agua

b) Helio e)

c)

Luz

Aire

) )

Segundo año de secundaria 269

21

31

Unidad 2° iAño de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

14. ¿Cuál no es un fenómeno químico? a)

Fermentación de la glucosa

b) Disolución de azúcar en agua c)

Oxidación de un clavo

d) Digestión e)

15. ¿Cuál es una propiedad extensiva? a)

Temperatura

b) Inercia

c)

Ductibilidad

d) Densidad

e)

Tenacidad

Fotosíntesis

Tarea domiciliaria Comprensión de la información 1. Completa: La sublimación de la naftalina es un cambio ___________________. 2. Completa: La densidad y temperatura son propiedades ___________________. 3. Completa: Las propiedades ___________________ dependen de la masa ___________________. 4. Completa: La ___________________ es la capacidad de convertirse en láminas. 5. Completa: Las propiedades ___________________ alteran solo la superficie de la materia. 6. Completa: Todo compuesto es una sustancia ___________________. 7. Relaciona: I.

Porosidad

A. Propiedad particular

I.

II. Viscocidad

B. Físico

II. Sublimación

B. Químico

III. Fotosíntesis

C. Propiedad general

III. Oxígeno

C. Físico

IV. Licuación

D. Químico

IV. Digestión

D. Propiedad general

Rpta: _____________

Colegios

22

8. Relaciona:

TRILCE U i Unidad nidad 270 i

Masa

A. Sustancia

Rpta: _____________

Central: 6198 - 100

Química

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

9. Indica con una V (verdadero) o F (falso) según corresponda: a)

La temperatura de fusión del hielo es 0 ºC. ( )

12. Indica una sustancia simple: a)

Oxígeno b) Sal

d) Petróleo e)

c)

Brea

Gasolina

b) Las propiedades intensivas son aditivas. c)

El alcohol es inflamable.

d) La extensión es intensiva.

(

)

(

)

(

)

13. ¿Cuál no es una propiedad intensiva?

10. Indica con una V (verdadero) o F (falso) según corresponda: a)

El metano es un combustible gaseoso. ( )

a)

Color

b) Sabor

c)

Ductibilidad

d) Peso

e)

Temperatura

14. De los mencionados, ¿cuál no tiene masa?

b) La solubilidad es una propiedad química. ( )

a)

c)

d) Gas

El diamante es el material más duro. ( )

d) El grafito es una sustancia compuesta. (

Sonido

d) 38 ºC

b) 78 ºC e)

c)

Aire

Agua

15. De los enunciados, ¿cuál es menos duro? a)

Vidrio

d) Papel 100 ºC

e)

c)

)

11. Indica la temperatura de ebullición del alcohol: a)

b) Bronce

b) Porcelana c) e)

Madera

Plástico

68 ºC

18 ºC

Actividades complementarias

Investiga un poco más: Busca información sobre el hielo seco y responde las siguientes preguntas en tu cuaderno de manera clara, breve y ordenada: •

¿Por qué el hielo seco se sublima? Explique.

•

¿Bajo qué condiciones se podría fundir?

PROPIEDADES DE LA MATERIA

P. Físicas www.trilce.edu.pe

Intensiva

Extensiva

P. Específicas

P. Generales P. Químicas Segundo año de secundaria 271

23

4

Unidad 2° iAño de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

matEria y sUs ProPiEdadEs

CAP

http://www.artfiles.art.com/images/-/Eric-Kamp/Lightbulb...

4

Teoría de la Relatividad, en una bombilla de luz, la resistencia al paso de electrones forma una incandescencia que luego produce luz.

Leemos: La Teoría de la Relatividad modifica la manera en que vemos la realidad. Por Einstein sabemos que la energía es igual a la materia (masa), pero en manifestaciones distintas. Gracias a su teoría sabemos que masa, energía, espacio y tiempo se relacionan entre sí. El espacio y el tiempo forman una especie de tejido y este tejido puede ser estirado, deformado… por la presencia de la materia y la energía.

La materia es todo aquello que forma parte del universo y está en constante transformación, e incluye todo lo que se puede ver y tocar como: la tierra, el agua, las plantas, y lo que no se puede tocar como: la luz, el aire, rayo, etc. Así pues todo el universo tiene una conexión “química”. Los químicos distinguen varios tipos de materia en base a su composición y propiedades. La clasificación de la materia incluye sustancias, mezclas, elementos y compuestos.

Colegios

24

TRILCE U i Unidad nidad 272 i

Central: 6198 - 100

4

PÍTULO

4

Unidad i

Compendio de Ciencias - I BIM

2° Año de secundaria

Al calentar un sólido (hielo) este se funde y se transforma en líquido (agua); la temperatura a la que ocurre este cambio de estado se denomina punto de fusión. Su calentamiento adicional convierte al líquido en gas, la temperatura a la que ocurre esta conversión se denomina punto de ebullición del agua. Por otro lado, el enfriamiento de un gas hace que se condense en la forma de líquido. Ahora, al enfriar este líquido, se congela a su forma sólida.

Propiedades de la materia: Se identifica a las sustancias por sus propiedades y su composición. El calor, punto de fusión y ebullición son propiedades físicas, una propiedad física se puede medir y observar sin que altere su composición. Ahora la oxidación, la combustión, la fermentación describen una propiedad química, en este caso desaparece la sustancia química original y solo queda una sustancia distinta. Todas las propiedades mensurables de la materia corresponden a una de las dos categorías adicionales que son propiedades extensivas y propiedades intensivas. •

Son ejemplos de propiedades extensivas: peso, inercia, impenetrabilidad, volumen.

•

Son ejemplos de propiedades intensivas: maleabilidad, ductibilidad, temperatura, densidad.

Sabías que: • La úrea es un compuesto químico que debido a su alto contenido de nitrógeno, se utiliza como fertilizante agrícola. Y que las arenas movedizas son una mezcla conformada principalmente por agua y arena, que contiene sílice.

Practiquemos 1. Completa: El agua a 25 ºC se encuentra en estado ___________________ . 2. Completa: La energía tiene como unidad ___________________ en el Sistema Internacional. 3. Completa: La masa es la cantidad de ___________________ . 4. Completa: La glucosa es una sustancia ___________________ . 5. Completa: En el estado ___________________ la fuerza de repulsión es mayor a la fuerza de atracción.

Colegios

TRILCE U ii Unidad nidad 26

Central: 6198 - 100

273

Química

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

11. Indica una sustancia compuesta:

6. Completa: El aire es una ___________________ .

a)

7. Relaciona: I.

d) Azufre

Amalgama

A. Físico

II. Condensación

B. Mezcla

III. Hierro

C. Químico

IV. Fermentación

D. Sustancia simple

8. Relaciona: Aire

A. Mezcla heterogénea

II. Aceite en agua

B. Sustancia compuesta

III. Benceno

C. Sustancia simple

IV. Neón

D. Mezcla homogénea

Rpta: _____________

El cloro es un gas.

(

)

b) La luz es materia.

(

)

c)

La impenetrabilidad es una propiedad intensiva. ( )

e)

El alcohol es un líquido.

(

)

10. Indica con una V (verdadero) o F (falso) según corresponda: a)

La salmuera es una mezcla homogénea. ( )

b) El carbono es una sustancia simple. ( ) c)

La cafeína es una mezcla.

(

)

d) El agua es una mezcla homogénea. (

274

www.trilce.edu.pe

e)

c)

Cal viva

Hidrógeno

a)

Tubo de ensayo

b) Vaso

c)

Luz

d) Agua

e)

Aire

13. De lo mencionado, ¿cuál no es una propiedad intensiva? a)

Temperatura de ebullición

b) Ductibilidad c)

Impenetrabilidad

d) Color

9. Indica con una V (verdadero) o F (falso) según corresponda: a)

b) Bromo

12. Señala la materia no másica:

Rpta: _____________

I.

Grafito

)

e)

Densidad

14. Usted desea separar azúcar de agua, ¿qué método usaría? a)

Decantación

b) Evaporación

c)

Destilación

d) Síntesis

e)

Centrifugación

15. ¿En qué grupo existen sólo sustancias simples? a)

Petróleo y ozono

b) Agua y benceno c)

Fósforo blanco y azufre

d) Plomo y sal e)

Acero y amoniaco

Segundo año de secundaria 27

4

Unidad i

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Tarea domiciliaria Comprensión de la información 1. Completa: El cloruro de sodio (NaCl) es una sustancia ___________________ . 2. Completa: El agua de mar contiene agua y ___________________ . 3. Completa: A los líquidos por su ___________________ se les llama fluidos. 4. Completa: Los _____________________ son compresibles. sólidos / líquidos / gases 5. Completa: El ácido muriático es una mezcla ______________________ . homogénea / heterogénea 6. Completa: La masa es la cantidad de ___________________ . b) La viscosidad es una propiedad general. ( )

7. Relaciona: I.

Azúcar

A. Se sublima

II. Condensación

B. Compuesto

III. Fermentación

C. Propiedad química

IV. Hielo seco

D. Propiedad física

Rpta: _____________ 8. Relaciona: I.

Fusión

c)

d) El color es una propiedad específica. ( ) 10. Indica con una V (verdadero) o F (falso) según corresponda: a)

A. Sustancia compuesta

La destilación es un fenómeno físico. ( )

Una mezcla definida.

II. Cobre

B. Cambio de estado

b) Un líquido definido.

III. Digestión

C. Fenómeno químico

c)

IV. Amoniaco

D. Sustancia simple

presenta tiene

forma

composición ( ) (

y

volumen )

La tensión superficial es una característica general. ( )

d) El lodo se sublima.

(

)

Rpta: _____________ 11. Indica un cuerpo sólido: 9. Indica con una V (verdadero) o F (falso) según corresponda: a) Colegios

TRILCE U Unidad nidad ii 28

El grafito es una sustancia compuesta. ( )

a)

Luz

b) Agua

d) Longitud e)

c)

Balanza

Aire

Central: 6198 - 100

275

Química

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

12. Señala una propiedad intensiva de la materia.

14. Identifica una propiedad extensiva.

a)

Inercia

b) Porosidad

a)

Ductibilidad

b) Viscosidad

c)

Temperatura

d) Peso

c)

Inercia

d) Color

e)

Volumen

e)

Temperatura

13. Es un fénomeno físico: a)

Fotosíntesis

b) Sublimación

c)

Oxidación

d) Fermentación

e)

Combustión

15. Cuando 2 kg de uranio sufre una fisión nuclear, produce 2,7 . 1014 Joule de energía. ¿Cuánto de materia en kilogramos se convierte en energía? a)

0,03

d) 3,0

b) 0,3 e)

c)

0,003

30,0

Actividades complementarias

Investiga un poco más: Busca información sobre entropía y responde las siguientes preguntas en tu cuaderno de manera clara, breve y ordenada: •

¿Qué es entropía?

•

¿Qué estado de la materia presenta mayor entropía? Explique.

P. Física

Propiedad Extensiva

P. Química

Propiedad Intensiva

MATERIA

Mezcla

Mezcla Homogénea

276

www.trilce.edu.pe

Separación por

Sustancia

métodos físicos

Mezcla Heterogénea

Simple

Separación por métodos químicos

Compuesta

Segundo año de secundaria 29

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

sistEma dE mEdición CAPÍTULO

5 http://joseangarita.iespana.es/Satelites-Espaciales.jpg

1

Química

Unidad ii

El Mars Climate Orbiter fue el primer satélite meteorológico del planeta rojo

Leemos: Error de medición En diciembre de 1998, la NASA lanzó el Mars Climate Orbiter, con un costo de 125 millones de dólares del cual se pretendía que fuera el primer satélite meteorológico del planeta rojo. Luego de un recorrido de casi 4016 millones de millas, la nave espacial debía de entrar en órbita marciana el 23 de septiembre de 1999. En vez de ello, el satélite entró en la atmósfera de Marte a una altura de casi 100 km menor que la planeada y el calor lo destruyó. Los controladores de la misión señalaron que la pérdida de la nave espacial se debió a un error en la conversión de las unidades inglesas de medición a las unidades métricas en los programas de navegación. Los ingenieros de la Lockheed Martin Corporation que fabricaron la nave espacial especificaron su fuerza en libras que es la unidad inglesa. Por su parte, los científicos del Jet Propulsion Laboratory de la NASA habían supuesto que los datos de fuerza que recibieron estaban expresados en unidades métricas, a saber, en newton. Por lo común, la libra es la unidad de masa. Sin embargo, cuando se expresa como unidad de fuerza, una libra es la fuerza debida a la atracción ejercida por la gravedad sobre un objeto que tiene dicha masa.

www.trilce.edu.pe

Segundo año de secundaria 277

31

1

Unidad 2°ii Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Practiquemos 1. Completa: A la comparación de dos cuerpos se denomina ___________________ . 2. Completa: Al medir un arco con pasos, se está midiendo la ___________________ . 3. Completa: En el Sistema Internacional, la ___________________ se mide en kelvin. 4. Completa: La magnitud que mide la cantidad de materia es la ___________________ . 5. Completa: En el sistema ___________________ la longitud se mide en centímetros. 6. Completa: La unidad amperio es usada para expresar ___________________ . 9. Indica con una V (verdadero) o F (falso) según corresponda:

7. Relaciona: I.

Masa

A. Metro

II. Temperatura

B. Onza

III. Longitud

C. Pie cúbico

IV. Volumen

D. Kelvin

a)

b) La masa mide la cantidad de materia. ( ) c)

Rpta: _____________

Intensidad luminosa A. Cantidad de

II. Tiempo

B. Kilogramo

III. Mol

C. Magnitud fundamental

IV Masa Rpta: _____________ Colegios

34

)

10. Indica con una V (verdadero) o F (falso) según corresponda: sustancia

TRILCE U i Unidad nidad 278 iii

La probeta mide el volumen. (

d) La temperatura mide el grado de agitación de los cuerpos. ( )

8. Relaciona: I.

La balanza es un instrumento para medir el peso. ( )

D. Candela

a)

En el Perú, la unidad más usada para medir la temperatura es el kelvin. ( )

b) El pie de rey mide la longitud.( c)

)

Según el Sistema Internacional la cantidad de sustancia se expresa en gramos. ( )

d) El termómetro es usado para medir la temperatura. ( )

Central: 6198 - 100

Química

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

11. La longitud en el sistema CGS, se expresa: a)

Pie

d) Yarda

b) Metro e)

c)

Centímetro

Milímetro

12. La masa en el Sistema Internacional, se expresa en: a)

Libra

d) Onza

b) Gramo e)

c)

Tonelada

Kilogramo

e)

c)

Newton a)

Metros

a)

Masa

b) Longitud

c)

Cantidad de sustancia

d) Peso

e)

Volumen

15. Indica el símbolo del metro: a)

13. Indique la unidad común entre los sistemas CGS y MKS: b) Kelvin

14. ¿A qué magnitud pertenece la yarda y la milla?

mt

d) m

b) M e)

c)

Mt

metro

d) Segundo

Kilogramo

Tarea domiciliaria Comprensión de la información 1. Completa: La unidad patrón para la cantidad de sustancia es ___________________ . 2. Completa: La ___________________ es todo aquello que se puede medir. 3. Completa: La ___________________ es la base de comparación en una magnitud. 4. Completa: La probeta mide el ___________________ . 5. Completa: El Kelvin es unidad de ___________________ . 6. Completa: El pie de rey mide la ___________________ . 8. Relaciona:

7. Relaciona: A. Longitud

I.

II. Pie de rey

B. Masa

II. Fuerza

B. Segundos

III. Probeta

C. Volumen

III. Masa

C. Dinas

IV. Termómetro

D. Temperatura

IV. Tiempo

D. Pie

I.

Balanza

Rpta: _____________ www.trilce.edu.pe

Longitud

A. Libras

Rpta: _____________ Segundo año de secundaria 279

35

1

Unidad 2° ii Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

9. Indica con una V (verdadero) o F (falso) según corresponda: a)

El volumen es una magnitud fundamental. ( )

b) La magnitud que mide la distancia entre dos puntos es la longitud. ( ) c)

Ergio es unidad de energía.

(

)

d) La cantidad de sustancia se expresa en moles. ( ) 10. Indica con una V (verdadero) o F (falso) según corresponda: a)

Según el Sistema Internacional el tiempo se mide en minutos. ( )

b) Son 7 las magnitudes fundamentales. ( c)

)

La intensidad eléctrica se mide en candela. ( )

d) La masa es igual al peso.

(

)

11. ¿Cuál es el símbolo del amperio? a)

Am

d) Amp.

b) a e)

c)

A

amp.

12. ¿Cuál es una magnitud derivada? a)

Longitud b) Tiempo

d) Masa

e)

c)

Densidad

Temperatura

13. ¿Qué magnitud se expresa con dina? a)

Fuerza

d) Masa

b) Energía e)

c)

Longitud

Tiempo

14. ¿Qué magnitud compara la masa con el volumen? a)

Volumen

b) Viscosidad

c)

Densidad

d) Masa

e)

Inercia

15. ¿Qué tipos de magnitudes son el área y la velocidad? a)

Fundamentales

b) Derivadas

c)

Métricas

d) Inglesas

e)

Clásicas

Actividades complementarias

Investiga un poco más: Busca información sobre la aurora boreal y responde las siguientes preguntas en tu cuaderno de manera clara, breve y ordenada. •

¿Cómo se produce este fenómeno?

•

¿Qué diferencia existe entre la aurora boreal y austral?

Sistema Métrico

MEDICIÓN

Magnitud

Sistema Inglés

Sistema Internacional

Colegios

36

TRILCE U i Unidad nidad 280 i i

Central: 6198 - 100

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

múltiPlos

CAPÍTULO

6 http://www.tonorama.com/wp-content/uploads/2009/03/megapiramide.gif

2

Química

Unidad ii

Las construcciones a gran escala requieren de mayor precisión y de mayor esfuerzo debido a sus dimensiones.

Leemos: Es común utilizar en el mercado el término “kilo”, para comprar papas, frutas, cereales, carne, etc. Cuando utilizamos el dial para ubicar una emisora en frecuencia modulada (FM), encontramos el término “mega”. En la compra de computadoras se escucha el término “giga”.

Sabías que: • Las ondas electromagnéticas viajan a 300 megámetros por segundo.

www.trilce.edu.pe

Segundo año de secundaria 281

37

Química

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Practiquemos 1. Completa: El kilogramo es una unidad patrón para medir la ___________________ . 2. Completa: La frecuencia se expresa en ___________________ . 3. Completa: 400 000 metros equivale a ___________________ km. 4. Completa: 20 Mhz equivale a ___________________ Hz. 5. Completa: El prefijo ___________________ representa el factor 1012. 6. Completa: El prefijo hecto tiene como factor a ___________________ . 9. Indica con una V (verdadero) o F (falso) según corresponda:

7. Relaciona: I.

Hecto

A. 109

II. Tera

B. 10

III. Zetta

C. 10

IV. Giga

D. 10

a)

2 21 12

La velocidad de la luz es 3 . 108 cm/s. (

)

b) Una unidad puede ir acompañado de 2 prefijos. ( ) c)

El prefijo exa tiene como factor 1021. (

Rpta: _____________

)

d) Un hectómetro equivalen a 100 m. (

8. Relaciona: I.

0, 2 m

A. 20 cm

II. 0, 02 m

B. 2500 g

III. 2, 5 kg

C. 2 cm

IV. 0,25 kg

D. 250 g

10. Indica con una V (verdadero) o F (falso) según corresponda: a)

El término mega se asocia a 1 millón. ( )

b) 2 decámetros equivalen a 0,2 m. (

Rpta: _____________

)

c)

)

Según el S.I. el tiempo se mide en segundos. ( )

d) El prefijo giga tiene como factor a 10-9. ( ) 282

www.trilce.edu.pe

Segundo año de secundaria 39

2

Unidad ii

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

11. ¿A cuánto equivale una mega? a)

103

d) 10-6

b) 106 e)

c)

14. ¿A cuántos segundos?

terasegundos

equivalen

1013

109 a)

10-9

10-1

d) 10-2

b) 10 e)

c)

102

103

12. ¿Cuántos metros equivalen un petámetro? a)

1012

d) 10-15

b) 1015 e)

c)

1018

15. ¿Cuántos átomos contiene 20 kilomoles de uranio?

10-12

Considera que 1 mol = 6 . 1023

13. ¿A cuántos Hz equivalen 0,2 Ghz? a)

2 . 106

b) 2 . 108

d) 2 . 10-10 e)

c)

2 . 1010

2 . 10-8

a)

12 . 1028

b) 1,2 . 1028

c)

1,2 . 1027

d) 1,2 . 10-27

e)

12 . 10-28

Tarea domiciliaria Comprensión de la información 1. Completa: El metro es una unidad patrón para medir la ___________________ . 2. Completa: El ___________________ es la unidad patrón para medir la corriente eléctrica. 3. Completa: Una mega equivale a ___________________ . 4. Completa: 0,4 metros equivalen a ___________________ km. 5. Completa: El símbolo del prefijo deca es ___________________ . 6. Completa: La candela es la unidad usada para medir ___________________ . 7. Relaciona:

I.

II. Deca

B. 106

II. 2 . 102 Ghz

B. 2 . 106 Hz

III. Mega

C. 1024

III. 0, 02 Ghz

C. 2 . 108 Hz

IV. Zetta

D. 10

IV. 2 . 10-3 Ghz

D. 2 . 1011 Hz

Yotta

Rpta: _____________ Colegios

TRILCE U Unidad nidad iii

0, 2 Ghz

A. 2 . 107 Hz

A. 1021

I.

40

8. Relaciona:

Rpta: _____________ Central: 6198 - 100

283

Química

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

9. Indica con una V (verdadero) o F (falso) según corresponda: a)

a)

Los múltiplos utilizan potencias de 10 con exponentes negativos. ( )

b) El prefijo mega es mayor que el hecto. ( ) c)

12. ¿Cuál de los prefijos es menor?

d) Yotta

10. Indica con una V (verdadero) o F (falso) según corresponda:

a)

c)

Exa

b) Yotta

d) Hecto

e)

c)

30

0, 04

d) 40

Hecto

Peta

b) 3 . 103

c)

3 . 102

e)

0, 3 . 10-3

b) 0, 4 e)

c)

4, 0

400

) 15. ¿Cuántos átomos contiene 0,2 megamol de uranio?. Considera que 1 mol = 6 . 1023

)

11. ¿Cuál de los prefijos es mayor? a)

c)

14. ¿A cuántos hectómetros equivalen 40 metros? a)

La magnitud frecuencia es una magnitud derivada. ( )

d) Un kilómetro equivale a 0,001 m. (

e)

d) 0, 3 . 102

El prefijo zetta tiene como factor a 10-21. ( )

b) 2 decámetros equivalen a 0,2 m. (

b) Exa

13. ¿A cuántos Thz equivalen 0, 3 Phz?

El prefijo peta tiene como factor 10-15. ( )

d) Según el S.I la longitud se expresa en metros. ( )

a)

Tera

a)

1, 2 . 1028

b) 1, 2 . 1029

c)

12 . 1027

d) 12 . 10-27

e)

1,2 . 10-29

Giga

Kilo

Actividades complementarias

Investiga un poco más: Busca información sobre la osmosis inversa y responde las siguientes preguntas en tu cuaderno de manera clara, breve y ordenada.

MAGNITUD

284

www.trilce.edu.pe

•

¿Qué es la ósmosis inversa?

•

¿Qué aplicación tiene?

Prefijos Multiplicativos

Múltiplo Submúltiplo

Segundo año de secundaria 41

Compendio de Ciencias - I BIM

2° Año de secundaria

sUbmúltiPlos

CAPÍTULO http://blogs.creamoselfuturo.com/nano-tecnologia/tag/nanotecnolog%C3%ADa

3

Unidad ii

7

Sin duda, uno de los ámbitos donde la Nanotecnología va a producir avances más significativos para la Salud. Bajo el paraguas "Salud" podemos englobar aspectos tan relevantes como la detección de enfermedades.

Leemos: Los científicos visualizan el átomo de la siguiente manera: la masa del núcleo constituye la mayor parte de la masa total del átomo, pero el núcleo ocupa solo 1/1013 del volumen total del átomo. Las dimensiones atómicas se expresarán, de acuerdo con la unidad del sistema internacional de medidas, en picómetros (pm), donde 1 pm= 1x10-12 m. El radio típico de un átomo es aproximadamente de 100 pm, en tanto que el radio del núcleo atómico es solo de 5x10-3 pm. Se puede apreciar la diferencia relativa entre el tamaño de un átomo y su núcleo imaginando que si un átomo tuviera el tamaño de un estadio olímpico, el volumen de su núcleo sería comparable con el de una pequeña canica. El trabajo del químico se ha caracterizado por el uso frecuente de cifras grandes y pequeñas. Por ejemplo: En 1 gramo de hidrógeno elemental hay aproximadamente: 6, 022 000 000 000 000 000 000 000 átomos de hidrógeno, cada átomo de hidrógeno tiene una masa de 0, 000 000 000 000 000 000 000 001 66 gramos. Estos números son difíciles de manejar y pueden generar errores al usarlos en cálculos aritméticos. Sería fácil pasar por alto un cero o añadir uno de más luego del punto decimal. Por lo tanto, cuando se trabaja con números grandes o pequeños se tomará en cuenta los prefijos numéricos (múltiplos o submúltiplos). Entonces la masa de cada átomo de hidrógeno se podrá expresar como: 0,166 . 10-24 gramos = 0,166 yoctogramo Actualmente, la medicina utiliza el término “mano” y “micro” para indicar cantidades muy pequeñas. Las bacterias y células no pueden ser observadas con una lupa, sino con un microscopio. Colegios

TRILCE U iii Unidad nidad 42

Central: 6198 - 100

285

3

Unidad 2°ii Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Practiquemos 1. Completa: El prefijo que se utiliza para un factor de 10-3 es ___________________ . 2. Completa: El prefijo ___________________ equivale 10-9 3. Completa: 2000 milisegundos equivalen ___________________ segundos. 4. Completa: El factor ___________________ está asociado con el submúltiplo femto. 5. Completa: Los ___________________ utilizan potencias de diez positivas. 6. Completa: El símbolo "m" corresponde al prefijo ___________________ . 7. Relaciona: I.

Mili

9. Indica con una V (verdadero) o F (falso) según corresponda: A. 10-1

II. Femto

B. 10

III. Deci

C. 10

IV. Zepto

D. 10-15

a)

El prefijo micro es mayor que nano.

-21 -3

b) 10 cm equivale a 100 mm. c)

(

)

(

)

Los segundos son unidades de tiempo. (

Rpta: _____________

d) Los submúltiplos negativas.

asocian (

) potencias )

8. Relaciona: I.

0,2 s

A. 2 cs

II. 2,5 mg

B. 0,0025 g

III. 0,02 s

C. 0,00025 g

IV. 0,25 mg

D. 2 ds

Rpta: _____________

10. Indica con una V (verdadero) o F (falso) según corresponda: a)

Las bacterias y las células se pueden observar con una lupa. ( )

b) El término micro es usado para indicar cantidades grandes. ( ) c)

El prefijo mili tiene como factor a 103. (

)

d) Un decímetro es mayor que un centímetro. ( Colegios

44

TRILCE U Unidad nidad iii 286

)

Central: 6198 - 100

Química

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

11. Indica el factor del submúltiplo pico. a)

10-9

d) 109

b) 10-12 e)

c)

1012

1015

14. ¿A cuántos n g equivalen 2 . 10-3 mg? a)

0,2

d) 0,02

b) 2 e)

c)

20

0,01

12. Indica el menor factor: a)

Femto

d) Centi

b) Micro e)

c)

Deci

Zepto

a)

13. 600 pm equivale a: a)

60 nm

b) 0,6 nm

d) 0,06 nm e)

15. ¿Qué prefijo está asociado al factor 10-15? Femto

d) Centi c)

b) Zepto e)

c)

Yocto

Deci

6 nm

600 nm

Tarea domiciliaria Comprensión de la información 1. Completa: Los submúltiplos utilizan potencias de 10 ___________________ . 2. Completa: El símbolo "f" corresponde al prefijo ___________________ . 3. Completa: 0,0025g equivale a ___________________ mg. 4. Completa: Las bacterias se pueden observar a través de un ___________________ . 5. Completa: 2 cm contiene ___________________ mm. 6. Completa: El prefijo utilizado para el factor 10-2 es ___________________ . 8. Relaciona:

7. Relaciona: A. 106

I.

II. Giga

B. 10-9

II. 0,25 mg

B. 25 . 10-5 g

III. Mega

C. 10-6

III. 0,04 km

C. 25 . 10-4 g

IV. Nano

D. 109

IV. 2,5 mg

D. 400 m

I.

Micro

Rpta: _____________ www.trilce.edu.pe

0,4 km

A. 40 m

Rpta: _____________ Segundo año de secundaria 287

45

3

Unidad 2° ii Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

9. Indica con una V (verdadero) o F (falso) según corresponda: a) El prefijo tera es mayor que pico. b) 1 m contiene 10-2 centímetros. c) El submúltiplos centi tiene como factor 102. d) El termino mili es usada para

( ( (

) ) )

(

)

12. ¿A cuántos femtómetros equivale 10-14 m? a)

d) 10

-13

a)

10. Indica con una V (verdadero) o F (falso) según corresponda: El tamaño del radio de un átomo ( es aproximadamente de 100 pm. b) El término nano es usado para ( expresar cantidades pequeñas. c) El prefijo kilo tiene como factor a 103.(

)

d) Un milímetro equivale a 1000 m.

)

(

b) 10-16 e)

c)

10

10

13

13. ¿Cuántos gramos contiene 0,01 miligramos?

expresar cantidades pequeñas.

a)

10-15

0,1 . 10-5 b) 0,1 . 10-4 c)

d) 10-5

e)

0,1 . 10-3

10-4

14. Convierte 6x10-2 m a milímetros.

)

a)

0,6 . 10-5 b) 6 . 101

d) 6 . 10-1

)

e)

c)

6 . 10-6

6 . 106

15. ¿Qué factor representa el prefijo hecto?

11. ¿Cuántos milímetros contiene 0,2 cm? a)

0,2

b) 2,0

d) 0,02

e)

c)

a)

20

10-2

b) 102

d) 0,1 . 10-2 e)

200

c)

10 . 10-2

0,1

Actividades complementarias

Investiga un poco más: Coloca una muestra de azúcar en un tubo de ensayo, caliéntala hasta su descomposición. Anota tus observaciones. •

¿Puedes determinar que elementos contiene el azúcar?

Yocto 10-24 Zepto 10-21 Atto 10-18 Femto 10-15 Pico 10-12 PREFIJOS MULTIPLICATIVOS

Submúltiplos

Nano 10-9 Micro 10-6 Mili 10-3 Centi 10-2 Deci 10-1

Colegios

46

U i TRILCE Unidad nidad 288 ii

Central: 6198 - 100

Compendio de Ciencias - I BIM

Química

2° Año de secundaria

PrEfijos dE mEdición

CAPÍTULO

8 http://www.ka-boom.com.mx/img2/clientes/rdigest/einstein02.jpg

4

Unidad ii

Las respuestas del genio Einstein eran tan reflexivas como: "La imaginación es más importante que el conocimiento"

Leemos: En una ocasión, se cuenta que a Einstein le ocurrió lo siguiente: Un periodista le pregunta "¿Me puede Ud. explicar la Relatividad?" y Einstein le contesta: "¿Me puede Ud. explicar cómo se fríe un huevo?". El periodista lo mira extrañado y le contesta: "Pues, sí, sí que puedo", a lo cual Einstein replica: "Bueno, pues hágalo, pero imaginando que yo no sé lo que es un huevo, ni una sartén, ni el aceite, ni el fuego".

Cuando se quiere cuantificar, ciertas magnitudes como la masa, volumen, tiempo, densidad, temperatura, se emplean instrumentos de medida y unidades apropiadas. Por ejemplo: •

La masa de un cuerpo se mide en una balanza que podrá registrar 2 kg.

•

El peso de un cuerpo se mide con un dinamómetro que podría señalar 40 N.

•

La temperatura de un cuerpo se mide con un termómetro que podrá registrar 75ºC.

•

El volumen de la sustancia líquida se mide en una probeta y nos indica 54,5 ml.

www.trilce.edu.pe

Segundo año de secundaria 289

47

Química

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Practiquemos 1. Completa: La ___________________ consiste saber cuántas veces un cuerpo está contenido en otro.

2. Completa En el Sistema Internacional, la ___________________ se mide en candela.

3. Completa El prefijo ___________________ representa al factor 1015.

4. Completa El prefijo hecto tiene como factor a ___________________ .

5. Completa 1500 milímetros equivale a ___________________ metros.

6. Completa El símbolo µ corresponde al prefijo ___________________ . 9. Indica con una V (verdadero) o F (falso) según corresponda:

7. Relaciona: I.

Longitud

A.

Celsius

II. Temperatura

B.

Segundos

III. Área

C.

Metro

IV. Tiempo

D.

Metro cuadrado

8. Relaciona: Exa

b) La unidad va acompañada de un prefijo. c)

(

)

El termómetro mide la temperatura. (

)

A. 1015 B. 1018

III. Nano

C. 10-9

IV. Peta

D. 109

a)

En el sistema MKS la masa se expresa centímetros. (

www.trilce.edu.pe

en )

b) El símbolo de la corriente eléctrica es Amp. ( ) c)

La magnitud área es una derivada de las magnitudes fundamentales. ( )

d) Un matraz mide el volumen. 290

)

10. Indica con una V (verdadero) o F (falso) según corresponda:

II. Giga

Rpta: _____________

La masa mide la cantidad de materia. (

d) Según el S.I. la masa se mide en miligramos. ( )

Rpta: _____________

I.

a)

(

)

Segundo año de secundaria 49

4

Unidad ii

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

11. La fuerza en el sistema MKS se expresa en: a)

Dinas

d) Ergios

b) Joule e)

c)

Newton

14. ¿A cuántos milisegundos equivalen 0,2 . 10-3 segundos?

Libras

a)

d) 20

12. ¿A qué magnitud pertenece la libra y la onza? a)

Masa

b) Densidad c)

d) Longitud e)

Tiempo

Volumen

10-1

d) 102

b) 10-2 e)

a) c)

b) 0,2 e)

c)

2,0

200

15. ¿Qué prefijo está asociado al factor 109?

13. ¿A cuánto equivale un deca? a)

0,02

Nano

d) Mili

10

b) Giga e)

c)

Exa

Micro

103

Tarea domiciliaria Comprensión de la información 1. Completa: La magnitud que mide la distancia entre 2 puntos es la ___________________ . 2. Completa: En el Sistema MKS la energía se expresa en ___________________ . 3. Completa: Los grados Celsius son unidades de la ___________________ . 4. Completa: 25 Mhz equivale a ___________________ Hz. 5. Completa: El prefijo micro tiene como factor a ___________________ . 6. Completa: La frecuencia se expresa en ___________________ . 7. Relaciona: I. II. III. IV.

Balanza Probeta Termómetro Cinta métrica

A. B. C. D.

Longitud Temperatura Masa Volumen

8. Relaciona:

Colegios

TRILCE U iii Unidad nidad 50

A. 109 B. 10-3

C. 10-9 D. 1012

Rpta: _____________ 9. Indica con una V (verdadero) o F (falso) según corresponda: a)

Rpta: _____________

I. Giga II. Nano

III. Mili IV. Tera

La velocidad de la luz es 3.1010cm/s. (

)

b) Según el sistema CGS el tiempo se mide en segundos. ( ) c) 0,5 dm equivale a 5 metros. ( ) d) En el S.I. la masa se expresa en kilogramos. ( ) Central: 6198 - 100

291

Química

2° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

10. Indica con una V (verdadero) o F (falso) según corresponda: a) El prefijo micro es mayor que mega. ( ) b) Un milímetro equivale a 0,001 metro. ( ) c) El prefijo nano es usado para expresar cantidades pequeñas. ( ) d) En el S.I. la temperatura se expresa en Celsius. ( )

13. ¿Cuál de los prefijos es mayor? a)

d) Micro

b) 500 e) 0,5

c)

a)

25 . 10

Mega

Nano

a)

Probeta

b) Dinamómetro

c)

Manómetro

d) Balanza

e)

Reloj

15. Indica la unidad de la energía.

b) 2,5 . 10

d) 25 . 107 e)

e)

c)

50

12. ¿Cuántos Hz equivale 2,5 Ghz? 9

b) Peta

14. ¿Qué instrumento mide la presión?

11. ¿Cuántos gramos contiene 0,5 kg? a) 5000 d) 5

Exa

c)

8

a) 2,5 . 10

9

Dina

b) Pascal

d) Newton e)

c)

Ergio

Libra

25 . 10-7

Actividades complementarias

Investiga un poco más: Busca información sobre la amalgama dental y responde las siguientes preguntas en tu cuaderno de manera clara, breve y ordenada. •

¿Qué es la amalgama dental y cuál es su composición?

•

Realice un comentario sobre su toxicidad.

MEDICIÓN Se necesita

Sistema de medición Múltiplo

Utilizando

Prefijos multiplicativo

Como

Submúltiplo FUENTES DE INFORMACIÓN a. Raymond Chang.Química.Mc Graw Hill 9º Edición 2007 b. http://www.wikipedia.org/wiki/archivo c. http://www.dsalud.com/numero54_5.htm d. http://www.profesoresenlinea.cl/fisica/material.htm e.

292

http://www.teleformacion.edu.aytolacoruna.es/fisica

www.trilce.edu.pe

Segundo año de secundaria 51