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UNIDAD 4: DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETA Y CONTINUA ING. C.P.A. JENIFFER BONILLA BERMEO, MEDE OBJETIVO DE LA

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UNIDAD 4: DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETA Y CONTINUA ING. C.P.A. JENIFFER BONILLA BERMEO, MEDE

OBJETIVO DE LA UNIDAD Conocer conceptos y definiciones de probabilidad discreta y continua

DESARROLLO DE LA UNIDAD PARTE 1      

Distribución Uniforme Discreta Distribución Binomial Y Multinomial Distribución Hipergeométrica Distribución Binomial Negativa Y Geométrica Distribución De Poisson Proceso De Poisson

DISTRIBUCIÓN UNIFORME DISCRETA La más simple de todas las distribuciones de probabilidad discretas es la distribución uniforme donde cada variable aleatoria toma una probabilidad idéntica de ocurrencias. Si la variable aleatoria X toma los valores 𝑋1 + 𝑋2 … … . . , 𝑋𝑘 con idénticas probabilidades, entonces la distribución uniforme discreta esta dada por 1 𝑓 𝑥: 𝑘 = , 𝑘

𝑥 = 𝑋1 , 𝑋2 , … … . 𝑋𝑘

Utilizamos la notación 𝑓 𝑥: 𝑘 en lugar de 𝑓 𝑥 para indicar que la distribución uniforme depende de k k=número de elementos de la muestra

EJEMPLO Cuando se selecciona un foco al azar de una caja que contiene un foco de 40 watts, uno de 60 watts, uno de 75 watts y uno de 100 watts. Determinar la distribución de probabilidad uniforme discreta

EJEMPLO Cuando se selecciona un foco al azar de una caja que contiene un foco de 40 watts, uno de 60 watts, uno de 75 watts y uno de 100 watts. Determinar la distribución de probabilidad uniforme discreta S = {40,60,75,100} N (S) = 4 N (40) = 1. Cada elemento del espacio muestral ocurre con probabilidad de 1/4

𝑓 𝑥: 4 =

1 , 4

𝑥 = 40, 60, 75, 100

EJEMPLO Determinar la distribución de probabilidad uniforme discreta del lanzamiento de un dado

EJEMPLO Determinar la distribución de probabilidad uniforme discreta del lanzamiento de un dado S = {1,2,3,4,5,6} N (S) = 6 N (1) = 1. Cada elemento del espacio muestral ocurre con probabilidad de 1/6

𝑓 𝑥: 6 =

1 , 6

𝑥 = 1, 2, 3, 4, 5, 6

MEDIA Y VARIANZA La media y varianza de la distribución uniforme discreta 𝑓 𝑥: 𝑘 son

En el ejercicio del lanzamiento del dado la media y varianza obtenida es:

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Distribución Uniforme Discreta Distribución Binomial Y Multinomial Distribución Hipergeométrica Distribución Binomial Negativa Y Geométrica Distribución De Poisson Proceso De Poisson

PROCESO DE BERNOULLI Proceso de pruebas repetidas, cada una con dos resultados posibles que se pueden denominar éxito o fracaso Características principales 1. 2. 3. 4.

El experimento consta de ensayos repetidos Cada ensayo produce un resultado que se puede considerar como éxito o fracaso La probabilidad de un éxito que se denota con p, permanece constante de un ensayo a otro Los ensayos repetidos son independientes

EXPERIMENTO DE BERNOULLI A cada una de las pruebas o ensayos dentro del proceso de Bernoulli se lo conoce como experimento de Benoulli

EJEMPLO Considere el conjunto de experimentos de Bernoulli en el que se seleccionan tres artículos al azar de un proceso de producción (con reemplazo), luego se inspeccionan y se clasifican como defectuosos o no defectuosos. Un articulo defectuoso se designa como un éxito. Se asume que el proceso produce 25% de artículos defectuosos (p=1/4). Éxito = 1/4 Fracaso = 3/4 Cuál es la distribución de probabilidad de artículos defectuosos

EJEMPLO Considere el conjunto de experimentos de Bernoulli en el que se seleccionan tres artículos al azar de un proceso de producción (con reemplazo), luego se inspeccionan y se clasifican como defectuosos o no defectuosos.

Un articulo defectuoso se designa como un éxito. Se asume que el proceso produce 25% de artículos defectuosos (p=1/4). Éxito = 1/4 Fracaso = 3/4 Cuál es la distribución de probabilidad de artículos defectuosos ´ El numero de éxitos es una variable aleatoria X que toma valores integrales de cero a 3. Los ocho resultados posibles y los valores correspondientes de X son

Si X = 0, entonces NNN. Como los artículos se seleccionan de forma independiente P (NNN) = P (N) X P (N) X P(N) = (3/4) X (3/4) X (3/4) = 27/64

La distribución de probabilidad de X es, por lo tanto,

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL El numero X de éxitos en n experimentos de Bernoulli se denomina variable aleatoria binomial. La distribución de probabilidad de esta variable aleatoria discreta se llama distribución binomial y sus valores se denotaran como

𝑃 𝑋 = 𝑥 = 𝑓 𝑥 = 𝑏(𝑥; 𝑛, 𝑝)

EJEMPLO

Cada éxito ocurre con probabilidad p y cada fracaso con probabilidad q = 1 – p. La distribución de probabilidad de la variable aleatoria binomial X, el numero de éxitos en n ensayos independientes, es

EJEMPLO Esta fórmula es para cada valor específico de X

EJERCICIO La probabilidad de que cierta clase de componente sobreviva a una prueba de choque es de 3/4. Calcule la probabilidad de que sobrevivan exactamente 2 de los siguientes 4 componentes que se prueben.

FORMULA DE EXCEL = COMBINAT ¿Y si solicitaba calcular la probabilidad de que sobrevivan máximo 2 componentes? X 0 1 2 TOTAL

PROBABILIDAD 0,0039 0,0469 0,2109 0,2617

0,2109

¿Y si solicitaba calcular la probabilidad de que sobrevivan más de 2 componentes?

FORMULA DE EXCEL = COMBINAT ¿Y si solicitaba la calcular la probabilidad de que sobrevivan máximo 2 componentes? X 0 1 2 TOTAL

PROBABILIDAD 0,0039 0,0469 0,2109 0,2617

0,2109

P (X ≤2) = 0,2617 ¿Y si solicitaba la calcular la probabilidad de que sobrevivan más de 2 componentes? 1 - P (X ≤2) = 1 - 0,2617 = 0,7383

DISTRIBUCIÓN MULTINOMIAL El experimento binomial se convierte en un experimento multinomial si cada prueba tiene mas de dos resultados posibles. La clasificación de un producto fabricado como ligero, pesado o aceptable, y el registro de los accidentes en cierto crucero de acuerdo con el día de la semana, constituyen experimentos multinomiales.

En general, si un ensayo dado puede tener como consecuencia cualquiera de los k resultados posibles El, E2, ..., Ek con probabilidades pl, p2, ... , pk, la distribución multinomial dará la probabilidad de que El ocurra xl veces, E2 ocurra x2 veces... y Ek ocurra xk veces en n ensayos independientes, donde

EJEMPLO La complejidad de las llegadas y las salidas de los aviones en un aeropuerto es tal que a menudo se utiliza la simulación por computadora para modelar las condiciones “ideales”. Para un aeropuerto específico que tiene tres pistas se sabe que, en el escenario ideal, las probabilidades de que las pistas individuales sean utilizadas por un avión comercial que llega aleatoriamente son las siguientes:

.Cual es la probabilidad de que 6 aviones que llegan al azar se distribuyan de la siguiente manera?

X

PROBABILIDAD 2 1 3 6

0,2222 0,1667 0,6111 1,0000

PROB

0,1127

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Distribución Uniforme Discreta Distribución Binomial Y Multinomial Distribución Hipergeométrica Distribución Binomial Negativa Y Geométrica Distribución De Poisson Proceso De Poisson

DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA Los tipos de aplicaciones de la distribución hipergeométrica son muy similares a los de la distribución binomial DIFERENCIA El muestreo en la distribución binomial se debe efectuar reemplazando cada articulo después de observarlo (independencia en los ensayos). Por otro lado, la distribución hipergeométrica no requiere independencia y se basa en el muestreo que se realiza sin reemplazo

CARACTERÍSTICAS El experimento hipergeométrico es aquel que posee las siguientes dos propiedades: 1. De un lote de N artículos se selecciona una muestra aleatoria de tamaño n sin reemplazo. 2. k de los N artículos se pueden clasificar como éxitos y N – k se clasifican como fracasos. El numero X de éxitos de un experimento hipergeométrico se denomina variable aleatoria hipergeométrica.

En consecuencia, la distribución de probabilidad de la variable hipergeométrica se conoce como distribución hipergeométrica, y sus valores se denotan con h(x; N, n, k), ya que dependen del numero de éxitos k en el conjunto N del que seleccionamos n artículos

EJEMPLO Lotes con 40 componentes cada uno que contengan 3 o mas defectuosos se consideran inaceptables. El procedimiento para obtener muestras del lote consiste en seleccionar 5 componentes al azar y rechazar el lote si se encuentra un componente defectuoso ¿Cual es la probabilidad de, que en la muestra, se encuentre exactamente un componente defectuoso, si en todo el lote hay 3 defectuosos?

EJEMPLO Lotes con 40 componentes cada uno que contengan 3 o mas defectuosos se consideran inaceptables. El procedimiento para obtener muestras del lote consiste en seleccionar 5 componentes al azar y rechazar el lote si se encuentra un componente defectuoso ¿Cual es la probabilidad de, que en la muestra, se encuentre exactamente un componente defectuoso, si en todo el lote hay 3 defectuosos?

EJEMPLO Lotes con 40 componentes cada uno que contengan 3 o mas defectuosos se consideran inaceptables. El procedimiento para obtener muestras del lote consiste en seleccionar 5 componentes al azar y rechazar el lote si se encuentra un componente defectuoso ¿Cual es la probabilidad de, que en la muestra, se encuentre exactamente un componente defectuoso, si en todo el lote hay 3 defectuosos?

¿Y si consulta la probabilidad de tener más de un defectuoso? X

PROBABILIDAD

0

0,6624

1

0,3011

2

0,0354

3

0,0010

EJEMPLO Lotes con 40 componentes cada uno que contengan 3 o mas defectuosos se consideran inaceptables. El procedimiento para obtener muestras del lote consiste en seleccionar 5 componentes al azar y rechazar el lote si se encuentra un componente defectuoso ¿Cual es la probabilidad de, que en la muestra, se encuentre exactamente un componente defectuoso, si en todo el lote hay 3 defectuosos?

¿Y si consulta la probabilidad de tener más de un defectuoso? X

PROBABILIDAD

0

0,6624

1

0,3011

2

0,0354

3

0,0010

1 - P (X ≤1) = 1 – (0,6624+0,3011) = 0,0364

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DESARROLLO DE LA UNIDAD PARTE 1      

Distribución Uniforme Discreta Distribución Binomial Y Multinomial Distribución Hipergeométrica Distribución Binomial Negativa Y Geométrica Distribución De Poisson Proceso De Poisson

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL NEGATIVA Las pruebas se repetirán hasta que ocurra un numero fijo de éxitos. En la distribución binomial negativa nos interesa encontrar la probabilidad de que ocurra el k-esimo éxito en la x-esima prueba

DIFERENCIA CON LA BINOMIAL En la distribución binomial nos interesa encontrar la probabilidad de x éxitos en n pruebas, donde n es fija Si ensayos independientes repetidos pueden dar como resultado un éxito con probabilidad p y un fracaso con probabilidad q = 1 – p, entonces en la distribución de probabilidad de la variable aleatoria X, el numero del ensayo en el que ocurre el k-esimo éxito, es

EJEMPLO En la serie de campeonato de la NBA (National Basketball Association), el equipo que gane 4 de 7 juegos sera el ganador. Suponga que los equipos A y B se enfrentan en los juegos de campeonato y que el equipo A tiene una probabilidad de 0.55 de ganarle al equipo B. a) ¿Cual es la probabilidad de que el equipo A gane la serie en 6 juegos?

b) ¿Cual es la probabilidad de que el equipo A gane la serie?

c) Si ambos equipos se enfrentaran en la eliminatoria de una serie regional y el triunfador fuera el que ganara 3 de 5 juegos, .cual es la probabilidad de que el equipo A gane la serie?

X

PROBABILIDAD 0 #¡NUM! 1 #¡NUM! 2 #¡NUM! 3 #¡NUM! 4 0,0915 5 0,1647 6 0,1853 7 0,1668

No es posible este evento k

4ÉXITO

p

0,55A

X

TOTAL

PROBABILIDAD 0 #¡NUM! 1 #¡NUM! 2 #¡NUM! 3 0,1664 4 0,2246 5 0,2021 0,5931

EJERCICIO PARA PRACTICAR EN CASA considere el uso de un medicamento que se sabe que es eficaz en el 60% de los casos en que se utiliza. El uso del medicamento se considerara un éxito si proporciona algún grado de alivio al paciente. Nos interesa calcular la probabilidad de que el quinto paciente que experimente alivio sea el séptimo paciente en recibir el medicamento en una semana determinada.

EJERCICIO considere el uso de un medicamento que se sabe que es eficaz en el 60% de los casos en que se utiliza. El uso del medicamento se considerara un éxito si proporciona algún grado de alivio al paciente. Nos interesa calcular la probabilidad de que el quinto paciente que experimente alivio sea el séptimo paciente en recibir el medicamento en una semana determinada.

X 0 1 2 3 4 5 6 7

PROBABILIDAD #¡NUM! #¡NUM! #¡NUM! #¡NUM! #¡NUM! 0,0778 0,1555 0,1866

k

5 ÉXITO

p

0,6 ALIVIO

DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA Si consideramos el caso especial de la distribución binomial negativa, donde k = 1, tenemos una distribución de probabilidad para el numero de ensayos que se requieren para un solo éxito. Un ejemplo seria lanzar una moneda hasta que salga una cara. Nos podemos interesar en la probabilidad de que la primera cara resulte en el cuarto lanzamiento.

En este caso la distribución binomial negativa se reduce a la forma

Como los términos sucesivos constituyen una progresión geométrica, se acostumbra referirse a este caso especial como distribución geométrica y denotar sus valores con g(x; p).

EJERCICIO Se sabe que en cierto proceso de fabricación uno de cada 100 artículos, en promedio, resulta defectuoso. Cual es la probabilidad de que el quinto articulo que se inspecciona, en un grupo de 100, sea el primer defectuoso que se encuentra?

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Distribución Uniforme Discreta Distribución Binomial Y Multinomial Distribución Hipergeométrica Distribución Binomial Negativa Y Geométrica Distribución De Poisson Proceso De Poisson

PROCESO DE POISSON Los experimentos que producen valores numéricos de una variable aleatoria X, el numero de resultados que ocurren durante un intervalo de tiempo determinado o en una región específica, se denominan experimentos de Poisson.

El intervalo de tiempo puede ser de cualquier duración, como un minuto, un día, una semana, un mes o incluso un año. Un experimento de Poisson se deriva del proceso de Poisson y tiene las siguientes propiedades:

1. numero de resultados que ocurren en un intervalo o región especifica es independiente del numero que ocurre en cualquier otro intervalo de tiempo o región del espacio disjunto. De esta forma vemos que el proceso de Poisson no tiene memoria. 2. La probabilidad de que ocurra un solo resultado durante un intervalo de tiempo muy corto o en una región pequeña es proporcional a la longitud del intervalo o al tamaño de la región, y no depende del numero de resultados que ocurren fuera de este intervalo de tiempo o región. 3. La probabilidad de que ocurra mas de un resultado en tal intervalo de tiempo corto o que caiga en tal región pequeña es insignificante.

DISTRIBUCIÓN DE POISSON El numero X de resultados que ocurren durante un experimento de Poisson se llama variable aleatoria de Poisson y su distribución de probabilidad se llama distribución de Poisson La distribución de probabilidad de la variable aleatoria de Poisson X, la cual representa el numero de resultados que ocurren en un intervalo de tiempo dado o región específicos y se denota con t, es

donde λ es el numero promedio de resultados por unidad de tiempo, distancia, área o volumen y e = 2.71828…

El numero medio de resultados se calcula a partir de μ = λt, donde t es el “tiempo”, la “distancia”, el “área” o el “volumen” específicos de interés. Como las probabilidades dependen de λ, denotaremos la tasa de ocurrencia de los resultados con p(x; λt).

EJEMPLO Durante un experimento de laboratorio el numero promedio de partículas radiactivas que pasan a través de un contador en un milisegundo es 4. .Cual es la probabilidad de que entren 6 partículas al contador en un milisegundo dado?

EJEMPLO Durante un experimento de laboratorio el numero promedio de partículas radiactivas que pasan a través de un contador en un milisegundo es 4. .Cual es la probabilidad de que entren 6 partículas al contador en un milisegundo dado? X

PROBABILIDAD 0

0,01832

1

0,07326

2

0,14653

3

0,19537

4

0,19537

5

0,15629

6

0,10420

EJERCICIO El numero promedio de camiones-tanque que llega cada día a cierta ciudad portuaria es 10. Las instalaciones en el puerto pueden alojar a lo sumo 15 camiones-tanque por día. .Cual es la probabilidad de que en un día determinado lleguen mas de 15 camiones y se tenga que rechazar algunos?

EJERCICIO El numero promedio de camiones-tanque que llega cada día a cierta ciudad portuaria es 10. Las instalaciones en el puerto pueden alojar a lo sumo 15 camiones-tanque por día. .Cual es la probabilidad de que en un día determinado lleguen mas de 15 camiones y se tenga que rechazar algunos? x

Probabilidad

0

0,0000

1

0,0005

2

0,0023

3

0,0076

4

0,0189

5

0,0378

6

0,0631

7

0,0901

8

0,1126

9

0,1251

10

0,1251

11

0,1137

12

0,0948

13

0,0729

14

0,0521

15

0,0347

TOTAL

0,9513

1 - P (X ≤15) = 1 – (0,9513) = 0,0487