Consolidado Trabajo Colaborativo Fase 3

ECUACIONES DIFERENCIALES FASE TRES Presentado a: MÓNICA MARCELA PEÑA Tutor Entregado por: José Domingo Palomino Códig

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ECUACIONES DIFERENCIALES

FASE TRES

Presentado a: MÓNICA MARCELA PEÑA Tutor

Entregado por: José Domingo Palomino Código: 91185402 Leonardo Abdón Barón Hernández Código: 91111009 Néstor Yesid Contreras Suárez Código: 1098680718 Cristhian Adrián Villabona Macías Código: 1095940225 Jorge Augusto Jaimes Código: 91541983

Grupo: 100412_19

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD ESCUELA DE CIENCIAS AGRÍCOLAS, PECUARIAS Y DEL MEDIO AMBIENTE JUNIO del 2016 BOGOTÁ D.C.

INTRODUCCION

El desarrollo del trabajo colaborativo de la fase 3 de ecuaciones diferenciales nos permite abarcar los temas desarrollados en esta unidad, con el desarrollo de las actividades propuestas, ejercicios y estudio de la temática correspondiente. Las ecuaciones diferenciales constituyen un buen instrumento para la interpretación y modelación de fenómenos científicos y técnicos de mayor variedad que contienen dinámicas de evolución, transformación o cambio en términos de algunos parámetros. Por eso son de importancia para los ingenieros de cualquier rama. La participación en el foro de cada uno de los compañeros con sus respectivos aportes da muestra en el interés por aprender, desarrollar y aplicar los conceptos en ambientes de la vida real, en que la construcción de modelos matemáticos para tratar estos problemas implican una ecuación en que la función y sus derivadas desempeñan papeles decisivos, estas ecuaciones son llamadas Ecuaciones Diferenciales.

OBJETIVOS

* Solucionar ecuaciones con la aplicación de los diferentes métodos teniendo en cuenta el modulo general de ecuaciones diferenciales. * Resolver ecuaciones diferenciales, criterios de aplicación, criterios de convergencia, método de series de potencia y series de potencia alrededor de un punto * Obtener una herramienta fundamental que le permitirá al estudiante, abordar problemas concretos relacionados con otras ciencias. * Reconocer y aplicar las técnicas fundamentales para la solución de ecuaciones diferenciales.

Aporte individual Trabajo Colaborativo Fase 3 Unidad 3

1. Resolver el problema de valor inicial a través del método de series de Taylor 𝒅𝒚 𝟏 = , 𝒅𝒙 𝒙 + 𝒚 + 𝟏

𝒚(𝟎) = 𝟎

Nombre estudiante que realiza el ejercicio PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESION MATEMATICA 𝒅𝒚 𝟏 = , 𝒅𝒙 𝒙 + 𝒚 + 𝟏

𝒚(𝟎) = 𝟎

𝑑𝑦 1 = =1 𝑑𝑥 0 + 0 + 1 Se encuentra que: 𝑦 ′ (0) = 1 (0)(𝑥 + 𝑦 + 1) − (1)(1 + 𝑦 ′ ) 𝑑2 𝑦 = 𝑑𝑥 2 (𝑥 + 𝑦 + 1)2 2 𝑑 𝑦 1 + 𝑦′ = − 𝑑𝑥 2 (𝑥 + 𝑦 + 1)2 𝑑2 𝑦 1+1 = − = −2 𝑑𝑥 2 (0 + 0 + 1)2 Se encuentra que: 𝑦 ′′ (0) = −2 (𝑦 ′′ )(𝑥 + 𝑦 + 1)2 − (1 + 𝑦 ′ )2(𝑥 + 𝑦 + 1)(1 + 𝑦 ′ ) 𝑑3 𝑦 = − [ ] 𝑑𝑥 3 (𝑥 + 𝑦 + 1)4

José Domingo Palomino Martínez RAZON O EXPLICACION Ecuación original Reemplazando la condición inicial en la ecuación diferencial: (𝑥 = 0, 𝑦 = 0)

Derivando la ecuación diferencial

Reemplazando las condiciones iníciales en la expresión anterior Derivando nuevamente

(𝑦 ′′ )(𝑥 + 𝑦 + 1)2 𝑑3 𝑦 2(𝑥 + 𝑦 + 1)(1 + 𝑦 ′ )2 = − + 𝑑𝑥 3 (𝑥 + 𝑦 + 1)4 (𝑥 + 𝑦 + 1)4

𝑑3 𝑦 𝑦′′ 2(1 + 𝑦 ′ )2 = − + 𝑑𝑥 3 (𝑥 + 𝑦 + 1)2 (𝑥 + 𝑦 + 1)3

Reemplazando las condiciones iníciales en la ecuación anterior

𝑑3 𝑦 (−2) 2(1 + 1)2 = − + = 2 + 8 = 10 𝑑𝑥 3 (0 + 0 + 1)2 (0 + 0 + 1)3 Se encuentra que: 𝑦 ′′′ (0) = 10

Pn (𝑥) = 𝑃𝑛−1 (𝑥) + ∞

Pn (𝑥) = ∑

𝑓 (𝑛) (𝑥0 ) (𝑥 − 𝑥0 )𝑛 𝑛!

Entonces usando la serie de Taylor para aproximar la solución a un polinomio

𝑓 (𝑗) (𝑥0 ) (𝑥 − 𝑥0 )𝑗 𝑗!

𝑗=0

𝑃3 (𝑥) = 0 +

𝑦 ′ (0) 𝑦 ′′ (0) 𝑦 ′′′ (0) 2 (𝑥 − 0) + (𝑥 − 0) + (𝑥 − 0)3 1! 2! 3!

Tomando un polinomio de grado 3

1 (−2) 10 𝑃3 (𝑥) = 0 + (𝑥) + (𝑥)2 + (𝑥)3 1 2 6 𝑃3 (𝑥) = 𝑥 + −𝑥 2 +

10 3 𝑥 6

𝒚(𝒙) ≈ 𝒙 + −𝒙𝟐 +

𝟏𝟎 𝟑 𝒙 𝟔

Solución hallada

2. Determinar por el criterio del cociente el conjunto de convergencia de: ∞

∑ 𝒏=𝟎

(−𝟐)𝒏 ∗ (𝒙 − 𝟑)𝒏 𝒏+𝟏

Nombre estudiante que realiza el ejercicio PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESION MATEMATICA ∞

(−2)𝑛 ∑ ∗ (𝑥 − 3)𝑛 𝑛+1

Cristhian Adrián Villabona Macías RAZON O EXPLICACION Desarrollamos la sumatoria

𝑛=0

|

(−2)𝑛+1 (𝑥 − 3)𝑛+1 (𝑛 + 1) | (−2)𝑛 (𝑥 − 3)𝑛 (𝑛 + 2) (−2)(𝑥 − 3)(𝑛 + 1) | | (𝑛 + 2) 2(𝑛 + 1)|𝑥 − 3| (𝑛 + 2)

2(𝑛 + 1)|𝑥 − 3| = 2|𝑥 − 3| 𝑛→∞ (𝑛 + 2) lim

Ahora calculamos el límite de esa expresión cuando n tiende a infinito debe cumplir el siguiente criterio para que la serie sea convergente 2|𝑥 − 3| < 1

−1 < 2(𝑥 − 3) < 1 − 1 < 2(𝑥 − 3) < 1 1 1 − +3