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Diseño Experimental

Fase 3

Grupo 30156_55

Estudiante Luz Angela Gil Hernandez -1030622335

Tutor Diego A. Marin Idárraga

Universidad nacional abierta y a distancia (UNAD) Escuela de ciencias básicas tecnología e ingeniería (ECBTI) 2017

FASE 3 DISEÑO EXPERIMENTAL FACTORIAL DESIGN

Autor: Luz Angela Gil Hernández Universidad Nacional Abierta y Distancia (UNAD) [email protected]

Resumen Por medio de este articulo se da a conocer el tema tratado de la unidad 2 ¨Diseño factorial ¨ en la cual se desarrolla por medio de variables, formulas entre otros métodos, para la comprensión del tema a tratar a través de la realización de los ejercicios propuestos en el curso.

Abstract By means of this article is to know the topic of the unit 2 "factorial design in which develops through variables, formulas, among other methods, for the understanding of the topic to be addressed through the implementation of the proposed exercises in the course.

Palabras claves Cuadro Greco-latino Diseño factorial Diseño de bloque Tamaño experimental

Tratamientos Variable

Unidad experimental

Introducción .

El diseño factorial estudia el influjo de una sola variable independiente sobre una variable dependiente en dos o más grupos equivalentes. El investigador sólo manipula una variable independiente, que como mínimo debe tener dos valores. Es un tipo de experimento diseñado que permite estudiar los efectos que pueden tener varios factores sobre una respuesta. Al realizar un experimento, el hecho de variar los niveles de todos los factores al mismo tiempo en lugar de uno a la vez permite estudiar las interacciones entre los factores.

Apéndice 3. Fase 3. 1. Se estudia el efecto de cuatro ingredientes diferentes sobre el tiempo de retardo de un proceso bioquímico. Para lo cual se toman cuatro cantinas con leche proveniente de cuatro sitios diferentes, recolectadas en cuatro días diferentes. Se les agregan los ingredientes independientemente y se determina el tiempo de cambio de una de las propiedades características de la leche, utilizando medios electrónicos. Los datos obtenidos son:

Procedencia 1 2 3 4

Días 1 C=54 B=57 A=48 D=59

2 B = 50 C=55 D=56 A=42

3 A=47 D=61 C=54 B=50

4 B=50 A=48 D=56 C=56

a) ¿Qué tipo de diseño experimental siguieron los proyectantes? Rta: El tipo de diseño experimental que siguieron los proyectantes fue un cuadro Latino, la cual se utiliza un diseño de bloques completos al azar. Los diseños en cuadrados latinos son apropiados cuando es necesario controlar dos fuentes de variabilidad. En dichos diseños el número de niveles del factor principal tiene que coincidir con el número de niveles de las dos variables de bloque o factores secundarios y además hay que suponer que no existe interacción entre ninguna pareja de factores Recibe el nombre de cuadrado latino de orden K a una disposición en filas y columnas de K letras latinas, de tal forma que cada letra aparece una sola vez en cada fila y en cada columna. A continuación vamos a dar una forma simple de construcción de cuadrados latinos. Se parte de una primera fila con las letras latinas ordenadas alfabéticamente.

Las sucesivas filas se obtienen moviendo la primera letra de la fila anterior a la última posición (construcción por permutación cíclica), el cuadrado así obtenido es un cuadrado latino estándar. Un cuadrado latino se denomina estándar cuando las letras de la primera fila y la primera columna están ordenadas alfabéticamente. A parte de los cuadrados latinos así obtenidos existen otros cuadrados latinos diferentes, estándares y no estándares. En el Apéndice B se muestran algunos cuadrados latinos estándares para los órdenes 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. El procedimiento para construir un diseño en cuadrado latino es el siguiente:  Se elige aleatoriamente un cuadrado latino de los disponibles.  Se asigna aleatoriamente el orden de las filas y columnas. 

Se asignan aleatoriamente los tres factores a las filas, columnas y letras, respectivamente.

b) Calcule el ANAVA y pruebe la hipótesis correspondiente. Utilice  = 0.05. Rta: Identifica el bloque (factor de bloqueo) n = Bloques (procedencia = 4) Identifica los tratamientos K = Tratamientos (días = 4) N = Datos = nk N = Total de datos recolectados (4 x 4 = 16) °L = grados de libertad (acorde con la definición del módulo) °L totales= N-1 = (Nk-1) L Totales =16-1= 15

°L Tratamiento = (n-1)= 4-1=3 °L Bloque = (k-1)= 4-1= 3 °L Totales = °LA + °LB + °L Error (Nk-1) = (n-1) + (k-1) + ° Error °L Error = (Nk-1) - (n-1) - (k-1) = 12 °L Error = (16-1)=15 - (4-1)=3 - (4-1)=3 =9

Tabla 1. Recolección de los datos sobre la ganancia de peso de los semovientes Tabla No 1: Gran media. Procedencia

Días 1

1 2 3 4 Total suma

C B A D

Total suma

2

54 57 48 59 218

B C D A

50 55 56 42 203

3 A D C B

47 61 54 50 212

4 B A D C

50 48 56 56 210

201 221 214 207 843

Gran media

52,6875

Tabla No 2: SC totales. Procedencia

Días 1

2

(54)2+(50)2+(47)2…+(56)2 3

{(843)2/(4*4)}

4

1 C 54 B 50 A 47 B 50 10.125 2 B 57 C 55 D 61 A 48 12.299 3 A 48 D 56 C 54 D 56 11.492 4 D 59 A 42 B 50 C 56 10.881 suma de todos los datos al cuadrado 44.797 total de la sumatoria de los datos elevado al cuadrado dividido el número de datos SC. totales 44.797 menos 44.416 =

201 221 214 207 843 44.416 381

Tabla No 3: SC Bloques. Procedencia

Días 1

2

3

Totales

Cuadrados

201

40401

221

48841

214

45796

207

42849

4

1

C

54 B

50 A

47 B

2

B

57 C

55 D

61 A

3

A

48 D

56 C

54 D

4

D

59 A

42 B

50 C

5 0 4 8 5 6 5 6

SC cuadrado del total de la sumatoria de los cuadrados de resultados de los Bloques ST 843 cuadrado del total de la sumatoria de los resultados de los 710.649 Bloques SC Bloque

177.887 44.472

44.416 56

Tabla No 4: SCT tratamientos Procedencia

Días 1

1 2 3 4 Total Cuadrados

C B A D

2 54 57 48 59

218 47.524

S cuadrados SC/No de tratamientos S totales cuadrado de S totales SC Tratamientos

B C D A

50 55 56 42 203 41.209

3 A D C B

47 61 54 50 212 44.944

4 B A D C

50 48 56 56 210 44.100 177.777 44.444 843 44.416 29

Tabla No 5: SCE SCE SC Total SC Tratamiento SCB SCE

381 29 56 296

Tabla No 6: ANOVA Fuentes de Variación

Grados de liberta

Suma de cuadrados

Tratamiento

3

29

Cuadrados Medios = SC cuadra/° Libertad 0,966666667

FC = cuadrad Medí / cuadra medios Error 0,006531532

Bloques

3

56

1,866666667

0,012612613

Error

9

296

9,866666667

0,066666667

Total

15

381

12,7

0,085810811

c) Se podrá aplicar la prueba de Tukey?. Justifique su respuesta.

MEDIAS A A A A Tabla 1.3 prueba de Turkey 95%

TRATAMIENTOS 1,4600 1.4475 1,43750 1,42750

D C B A

Ft

Ft

5 %

1%

Rta: No se encuentra ninguna diferencia entre los tratamientos A y B. c1.) Si su respuesta es afirmativa, compare la diferencia entre los tratamientos. ¿Cuáles tratamientos son diferentes entre sí? d) Dibuje los gráficos de las medias para los tratamientos, los lotes y los días. ¿Cuál tratamiento es el mejor? e) ¿Consideras que los datos tomados son suficientes? ¿O habría que tomar datos adicionales? f) ¿El equipo de profesionales tomo la decisión correcta acerca de la selección del diseño utilizado? Tabla. 2. Incremento de peso de los semovientes por el tiempo del experimento realizado. RAZA W1 A= 26 B= 17 C =21 D = 16 E =9

R1 R2 R3 R4 R5

W2 B = 17 17 C =21 D=12 E=15 A=24

PESO W3 C= 19 D=17 E=16 A=22 B=17

W4 D=17 E=11 A=25 B=14 C=17

W5 E=13 A=21 B=13 C=17 D=14

d) Dibuje los gráficos de las medias para los tratamientos, los lotes y los días. ¿Cuál tratamiento es el mejor?

Tabla. No 1: suma de todos los cuadrados de la tabla. SUMA DE TODOS LOS DATOS DE LA TABLA RAZAS

PESOS W1

R1 R2 R3 R4 R5 TOTAL

W2 26 17 21 16 9 89

W3 17 21 12 15 24 89

W4 19 17 16 22 17 91

W5 17 11 25 14 17 84

TOTAL 13 21 13 17 14 78

92 87 87 84 81 431

Tabla No: 2 Sumatoria de cuadrados totales

W1 R1 R2 R3 R4 R5

W2 676 289 441 256 81

CUADRADOS W3 W4 289 361 441 289 144 256 225 484 576 289

CUA.TOT. SSCtotales W5 289 121 625 196 289

169 441 169 289 196

TOTAL 1.784 1.581 1.635 1.450 1.431

3.182.656 2.499.561 2.673.225 2.102.500 2.047.761

TOTAL

1.743 1.675 1.679 1.520 1.264 7.881 62.110.161 CUA.TO 3.038.04 2.805.62 2.819.04 2.310.40 1.597.69 62.110.16 T 9 5 1 0 6 1 SSCtotal es

2.484.091,20

Tabla. No 3: sumatoria de letras latinas SStratamiento letra latín W1 R1 R2 R3 R4 R5

W2 26 17 21 16 9

SStratamiento letra latín SStratamiento letra latín

W3 17 21 12 15 24

W4 19 17 16 22 17

W5 17 11 25 14 17

PROMEDIO 13 21 13 17 14

17

431 3.775,56

Tabla. No 4: sumatoria de renglones SS renglones W1 R1 R2 R3 R4 R5 total

W2 26 17 21 16 9

W3

W4

17 21 12 15 24

19 17 16 22 17

W5 17 11 25 14 17

13 21 13 17 14

SS renglones 92 87 87 84 81

Promedio

431

SS renglones

86

SS tratamiento de renglones

921.374,56

Tabla. No 5: sumatoria de columnas SSCOLUMNAS W1 R1 R2 R3 R4 R5 total SS columnas

W2 26 17 21 16 9 89

W3 17 21 12 15 24 89

W4 19 17 16 22 17 91

W5 17 11 25 14 17 84

total 13 21 13 17 14 78

431

promedio

SS columnas

86 921.374,56

Tabla. No 6: sumatoria de letras griegas. SS tratamiento letra griega W1 R1 R2 R3 R4 R5

W2 26 17 21 16 9

SStratamiento letra griega

W3 17 21 12 15 24

W4 19 17 16 22 17

W5 17 11 25 14 17

PROMEDIO 13 21 13 17 14

17

431

SStratamiento letra griega 3.775,56

EJERCICIO 2

2. 1. Se estudia el efecto de cuatro ingredientes diferentes sobre el tiempo de retardo de un proceso bioquímico. Para lo cual se toman cuatro cantinas con leche proveniente de cuatro sitios diferentes, recolectadas en cuatro días diferentes. Se les agregan los ingredientes independientemente y se determina el tiempo de cambio de una de las propiedades características de la leche, utilizando medios electrónicos. Los datos obtenidos son: Tabla. 1. Retardo en el cambio de la(s) propiedades de la leche Procedencia 1 2 3 4

Días 1 C=54 B=57 A=48 D=59

2 B = 50 C=55 D=56 A=42

3 A=47 D=61 C=54 B=50

4 B=50 A=48 D=56 C=56

a) ¿Qué tipo de diseño experimental siguieron los proyectantes? ¿Por qué? El modelo en cuadrado greco-latino se puede considerar como una extensión del cuadrado latino en el que se incluye una tercera variable de control o variable de bloque. En este modelo, como en el diseño en cuadrado latino, todos los factores deben tener el mismo número de niveles K y el número de observaciones necesarias sigue siendo K2 . Este diseño es, por tanto, una fracción del diseño completo en bloques aleatorizados con un factor principal y 3 factores secundarios que requeriría K4 observaciones. Los cuadrados greco-latinos se obtienen por superposición de dos cuadrados latinos del mismo orden y ortogonales entre sí, uno de los cuadrados con letras latinas el otro con letras griegas. Dos cuadrados reciben el nombre de ortogonales si, al superponerlos, cada letra latina y griega aparecen juntas una sola vez en el cuadrado resultante. El cuadro greco latino (DCGL), en el cual los niveles de el nuevo factor se denotan por las letras griegas α ,β ,δ ,γ a; representándose los tratamiento con las letras latinas A, B, C y D.

b) Defina la variable, los tratamientos, elige una significancia apropiada.  UNIDAD EXPERIMENTAL: La unidad experimental fueron los 25 semovientes, en los cuales se presenta un incremento en el peso durante el tiempo en que duro el experimento.  FACTORES:  Se evalúan dos factores los cuales son: los bloques y los tratamientos.  TRATAMIENTOS: En este caso se presenta los tratamientos de la letra griegas y los tratamientos de las letras latinas.  VARIABLES: Los dos complementos alimenticios que fueron adicionados a la alimentación de los semovientes.  REPLICA: Se muestra 5 replicas en las cuales se les asignado a 5 semovientes en cada tratamiento. c) Calcule el ANOVA.

R1 R2 R3 R4

W1

W2

W3

W4

W5

A α =26 B £=17 C ε=21

B β=17

C £=19

D θ=17

D ε=13

C θ=21 D α =12 E

D ε=17 E β=16

E €=11 A £=25

A

B

D

TOTALE S 92

PROMEDI O 18.4

A β=21 B θ=13

87

17.4

87

17.4

C

84

16.8

β=16

£=15

θ=22

ε=14

R5

E θ=09

A ε=24

C β=17

TOTALES PROMEDI O

89 17.8

89 17.8

B α =17 91 18.2

α =17 D £=14

84 16.8

78 15.6

81

16.2

431

Tabla. 2. Incremento de peso de los semovientes por el tiempo del experimento realizado.

a

b

2

i 1

j 1

ijk

  ck 1 y SC Totales=



y

2 ...

N

SCTOTALES=(26*26) + (17*17) + (19*19) + (17*17) + (13*13) + (17*17) + (21*21) + (17*17) + (11*11) + (21*21) + (21*21) + (12*12) + (16*16) + (25*25) + (13*13) + (16*16) + (15*15) + (22*22) + (14*14) + (17*17) + (9*9) + (24*24) + (17*17) + (17*17) + (14*14) - (431*431)/25 SC Totales= 7881 – 7430,4 SC Totales= 450,6

2

2 Y i ..  Y ...  a

i 1

N

b

SC Razas=

SC Razas= ((92*92) + (87*87) + (87*87) + (84*84) + (81*81))/5 - (431*431)/25 SC Razas= 7443,8 – 7430,4 SC Razas= 13,4

2

2 Y ..k  Y ...  b

k 1

a

N

SC Peso=

SC Peso= ((89*89) + (89*89) + (91*91) + (84*84) + (78*78))/5 - (431*431)/25

SC Peso= 7452,6 – 7430,4 SC Peso= 22,2

En este ejercicio, para determinar la suma de cuadrados debida a el factor razas, utilizamos los totales por renglón, es decir los totales por nivel, en; Para el caso del factor peso, en el cual sus niveles se mueven de izquierda a derecha por columnas, utilizamos las sumas por columna para calcular esta suma de cuadrados, una vez más, estamos utilizando los totales por nivel para calcular la suma de cuadrados del factor en cuestión. Para calcular la suma de cuadrados del componente Griego, se debe obtener obtener las sumas naturales totales por nivel:

NIVEL GRIEGO

α

λ

ε

β

θ

TOTAL

Y.1. = 26 + 12 + 17 + 11 + 17 = 83

Y.2. = 17 + 15 + 19 + 25 + 14 = 90

Y.3. = 21 + 24 + 17 + 14 + 13 = 89

Y.4. = 16 + 17 + 16 +17 + 21 = 87

Y.5.= 9+ 21 + 22 + 17 + 13 = 82

Nivel latino

 NivelA(Y .1. )   NivelB(Y .2. )   NivelC (Y .3. )   NivelD(Y .4. )   NivelE(Y .5.) 

26+24+22+25+21= 118 17+17+17+14+13= 78 21+21+19+17+17= 95 16+12+17+17+14= 76

9+15+16+11+13= 64 2

2 Y . j .  Y ...  c

k 1

c

N

SC Complemento alimenticio 1= SC Complemento alimenticio 1= ((118*118) + (78*78) + (95*95) + (76*76) + (64*64))/5-(431*431)/25

SC Complemento alimenticio 1= 7781 – 7430,4 = 350,6

2

2 Y . j .  Y ...  c

SC Complemento alimenticio 2 =

k 1

c

N

SC Complemento alimenticio 2= ((83*83) + (90*90) + (89*89) + (87*87) + (82*82))/5-(431*431)/25 SC Complemento alimenticio 2 = 7440,6 – 7430,4 = 10,2

La suma de cuadrados del error, se calcula por diferencia: SC Error = SC Totales – SC Razas – SC Peso– SC Complemento alimenticio 1 – SC Complemento alimenticio 2 SC Error = 450,6 – 13,4 – 22,2 – 350,6 – 10,2 = 54,2

Grados libertad Raza= 5-1 = 4 Grados libertad Peso= 5-1 = 4 Grados libertad Componente Alimenticio 1= 5-1 = 4 Grados libertad Componente Alimenticio 2= 5-1= 4 Grados libertad Error= 8 Grados libertad Total= (5)2-1 = 24 Cuadrados medios Raza = 13,4/4 = 3,4 Cuadrados medios Peso = 22,2/4 = 5,5 Cuadrados medios Componente Alimenticio 1= 350,6/4 = 87,7 Cuadrados medios Componente Alimenticio 2= 10,2/4 = 2,550 Cuadrados medios Error= 54,2/8 = 6,8 Fo ecuación Raza= 3,4/6,775 = 0,5 Fo ecuación Peso= 5,55/6,775 = 0,82

Fo ecuación Componente Alimenticio 1= 87,7/6,775 = 12,94 Fo ecuación Componente Alimenticio 1= 2,550/6,775 = 0,38 FUENTE VARIACION

DE SUMA DE CUADRADO S Razas 13,4 Peso 22,2 Com. Alimenticio 350,6 1 Com. Alimenticio 10,2 2 Error 54,2

GRADOS DE CUADRADO LIBERTAD S MEDIOS

Fo

4 4 4

3,4 5,55 87,7

0,50 0,82 12,94

4

2,550

0,38

8

6,775

Totales

24

450,6

Para F0.05, 4, 8 = 3.84, entonces tenemos: Raza: Como la Fo (0,50) < F0.05, 4, 8 = 3.84, entonces se Acepta Ho, la raza no es fuente de variación para la respuesta. Peso: Como la Fo (0,82) < F0.05, 4, 8 = 3.84, entonces se Acepta Ho, el peso no es fuente de variación para la respuesta. Componente alimenticio 1: Como la Fo (12,94) > F0.05, 4, 8 = 3. 84, entonces se Rechaza Ho, el componente alimenticio 1 es la fuente de variación para la respuesta. Componente alimenticio 2: Como la Fo (0,38) < F0.05, 4, 8 = 3.84, entonces Ho, el componente alimenticio 2 no es fuente de variación para la respuesta.

se Acepta

c) ¿Se podrían realizar comparaciones entre medias? Justifique su respuesta. RTA: Sí, se pueden realizar ya que esta prueba se emplea para hacer comparaciones múltiples, y es posible con t tratamientos. En caso afirmativo determine la mejor de ellas. Con el análisis de varianza ANOVA ya sé que el componente alimenticio Nº 1, es que presenta diferencias en sus medias. Por tal razón use sus valores para determinar con exactitud tal diferencia. Nº de Tratamientos = 5

Promedios de Tratamientos: 23.6 15.6 19 15.2 12.8 Nombres de tratamientos asignados por el Programa: A B C D E Valor Tabular = 4.89 C.M. Error = 6.775; Nº efectivo de replicación = 5 Comparació n A-E A-D A-B A-C C-E C-D C-B B-E B-D D-E

Diferencia 1 10.8000 8.4000 8.0000 4.6000 6.2000 3.8000 3.4000 2.8000 0.4000 2.4000

Promedio 2 23.6000 23.6000 23.6000 23.6000 19.0000 19.0000 19.0000 15.6000 15.6000 15.2000

Promedio

DMS

Conclusión

12.8000 15.2000 15.6000 19.0000 12.8000 15.2000 15.6000 12.8000 15.2000 12.8000

5.4781 5.4781 5.4781 5.4781 5.4781 5.4781 5.4781 5.4781 5.4781 5.4781

Sig. Sig. Sig. No sig. Sig. No sig. No sig. No sig. No sig. No sig.

d) ¿Consideras que los datos tomados son suficientes? ¿O habría que tomar datos adicionales? RTA:Si son suficientes, porque ya se determino cual es el tratamiento que causa la variación. e) ¿El equipo de profesionales tomo la decisión correcta acerca de la selección del diseño utilizado? RTA: sí, ya que Independientemente de las fórmulas que describen las sumatorias de los cuadrados para cada fuente de variación, es posible visualizar el algoritmo que se utiliza en ellas y en este caso para poder determinar la suma de cuadrados debida a el factor razas, utilizamos los totales por renglón para calcular esta suma de cuadrados, es decir, utilizamos los totales por nivel. Para el caso del factor peso, en el cual sus niveles se mueven de izquierda a derecha por columnas, utilizamos las sumas por columna para calcular esta suma de cuadrados, una vez más, estamos utilizando los totales por nivel para calcular la suma de cuadrados del factor en cuestión.

Referencias Bibliográficas

Montgomery, Douglas. Diseño y análisis de experimentos. Grupo editorial Iberoamérica.1991. 589p jmmarin. (2017). Diseño experimental. 2017-03-10, de diseño Sitio web: http://halweb.uc3m.es/esp/Personal/personas/jmmarin/esp/Disenno/IntroDE.pdf. Antony, J. (2003). Design of Experiments for Engineers and Scientists. Oxford: Elsevier. Consultado el 25/11/16 en: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2125/ehost/detail/detail? vid=13&sid=e22015ba-77e2-45c8-865a3b4ea65d46ce %40sessionmgr106&hid=118&bdata=Jmxhbmc9ZXMmc2l0ZT1laG9zdC1saXZl#AN=104796&db =e000xww.