fishbane vol 2.pdf

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PARA CIEIICIAS E INIGEMERIA VolumenII

Paul M. Fishbane UNTT¡ERSITY OF VIRGINIA

Stephen Gasiorowicz

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UNTI¡ERSITY OF MINNESOTA

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Stephen T. Thornton

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UNTVERSITYOFVIRGINIA

TRADUCCION rNG. QUrM. VTRGTLTOG'ONZALEZPOZO Consultor REVISIONTECNICA ALBERTO LIMA SANCHEZ FIS. FísicoUNAM

Universidad

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T.JAVIER DE I-q. RUBIA Dpto. de Física Fundamental Nacional de Educac i6n a Distancia-UNED Madrid-Españ;a

S.A. PRENTICE-TIALL HISPANOAMERICAIYA, MDilCO-ENGI^EIT/OOD CLIFFS-LONDRES-SYDNEY DEJANIIRO TORONTO-NUIVA DELI]I-TOKIO-SINGAPUR-RIO

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SINISSIS DE CONTEN¡-IDO

TOMO II

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22 r c RcAEI^EcrRra\ 23 trt.c.AMpoEtr¡crn¡co

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669

42 cttANrrz./rcroN ¡)lt v¡t.otrrisDlt

24 L¡rrDEcAUss 25 ForrNctALELEcrRrco

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725

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26 c P clTorusYDrrlrcrnrcos 27 coRruENlEssl¡crRlcAs riN

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28 clnctrlTos DEcoRTLNTEDrRtrcrA

813

46 lr^RTlctrisYcosMor.ocrl

13't

29 nrtrmos DEl.os cAMPosMAGNgncos Dti Los 30 PRoDUcqoNY PRoPIEDADES

gr2

N)IiNDICI I |jL SISTIiMA IMIüNACIONAI, DIiUMDADIIS

A- l

AIIIiM)ICII IT AI,GUNAS CONSTAN'I'T6 I¡ISICAS rT.,M)AMI1N'IAIIiS

A-l

APTiNDICA UI OTRAS CANTIDADIIS I;IS¡CA.S

A-5

APNNDTCEry MATEMAIICAS

A-7

AI'IIM)ICUV',t'Atil u¡.IiMnNTOS

A-1'

¡uAGNETtsMoYMATERTA

873 908 936

33 tNDUcTANcr YosüI^eoNEs NNCINCI.JITOS

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34 coRRTEMEsALTERNAs 35

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36 Lr\LUz 37

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960 982

EcUAc¡oNESDE MoTvT]LLY oNDAs ELECTROMAGNETICAS

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STS'I'TIMA.S DIi I{iRMIONIIS Y BOSONIIS

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3L T¡YDETAnADAY

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43 l:I;EcrosculNrtcos nNcR^NDr¡s

786

CAMPOSMAGNETICOS

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MOMI]NTO ANGUIAN Y üM]RGIA

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44 rNcrir,grmrA cultvrrcl

MATERIALESi

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760

nsrclculurrcA

Dsprilos,LtrNTrsysus ApLIcAcroNns

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I'HUOI)ÍCA DIiI.OS

APDNDICtr vI III]C¡IAS IMPONTANTI6 I1N lrt IüSlOITIA DI! Il TTSICA APIiND¡CE VTI T'A¡}IAS I;N TiI,TIilN'O

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AI'DNDICE VIII RI]CT.]ADRO CON TEXIC) SI'I.I|CCIONADO

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38 rnnTruEnENc¡A 39 DrFRAccroN

1l 08

RlisPtJLslAS A I'ROITLnMAS CON NUMtitro IM¡'AIT

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INDICIi

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cRllDI'tosDlil;o't'ocR n^^s

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RF.rrrrrvrDADFspticIAL

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CONTEMDO

(46 22 IJ\ cARGA Fr FcTRrcA 22-L l.aspropiedades dela materiaconcetga, &6 y cuantización 22-2 l¡ conservación dela carga, 652 22-3 I-a ley deCoulornb,654 22-4 I¡s fuenasenlasqueintervienen cargas múltipleso continuas, 657 22-S El significado dela interacción eléctrica, 662 preguntas, problemas, Resumen, 663

254 Determinaciónde camposeléctticosa partir de potetrciales eléctricos,737 25-5 Cálculode los potencialesde disFibuciones finitas de carga,740 25-6 Potencialesy camposeléctricosque rodean a conductores,T45 25-7 Potencialeseléct¡icosy campos electrost¡iticos en tecnologla,748 Resumcn,preguntas,problemas,753

26

)

Capacitancia,T6O Energlaen capacitores,764 Energlaen camposeléctricos,766 Capacitoresconectaclos en seriey en paralelo,768 26-5 Dieléctricos,77l 26-6 Descripciónmicroscópicade los dieléctricos, 777 Resunren,preguntas,problemas,780

) ) -)

669

23-L El campoeléctrico,670 23-2 L¡s lfneasdel campoeléctrico,676 23-3 El campocléchico debidoa una disttibucióncontinuade carga,680 23-4 El movimientode una partfculacatgadaen un campoelécttico,685 23-S El dipolo eléctricoen un campoeléctrico exüemo,689 . Resumen,preguntes,problemes,692

)

24 LEYDE GAUss

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24-l 24-2 24-3 24-4 *24-S

699

Flujo eléctrico,700 L-eyde Gauss,703 Aplicacionesde la ley de Gauss,707 Conductoresy camposeléctricos,713 ¿Quétan bien conocemosla ley de Gaussy la de Coulomb?716 Resumen,preguntas, problemas,719

25 PoTENcIALFTFcTRIco 25-L Energlapotencialelécttica,726 25-2 Potencial cléchico,728 25-3 Regiónesequipotenciales, 735

725

760

26-l 26-2 26-3 26-4

)

23 EL cAMPo ELEcTRrco

CAPACITORES Y DIELECTRICOS

27

CORRIENTES FI FCTRICAS EN MATERIALES

786

27-L 27-2 27-3 *274

La conienteeléctrica,786 Corrienües eléctricasen materiales,789 Resisüencia,79l Modelo de electroneslibtes para resistividad, 796 *27-5 Aisladores,conductoresy semiconductotes, 799 t'27-6 Superconductores, 803 27-7 Potenciaeléctrica,8M Resumen,preguntas,problemes,807

28 crRcurros DEcoRRTENTE DrREcrA Bt3 28-l Fuenaclectromotriz, 813 28-2 Circuitosdeunaespiray la reglade Kirchhoffparauncircuito,I l7

1"

28-3 Circuitosde variasespirasy la tegla de Kirchhoff paranudos,820 28-4 Instrumentosde medición,826 28-S CircuitosRC,830 Resumen,preguntes,problemas,833

29

EFECTOS DE LOS CAI}ÍPOS MAGNETICOS

J¿-l

842

29-I Imanesy camposmagnéticos,843 29-2 Fuetzamagnéticasobreuna carga eléctrica,845 29-3 Aplicacionesde la fueza magnéticasobre una cargaeléctrica,848 29-4 Fuer¿asmdgnéticassobrecortientes eléctricas,854 29-S Fuerzamagnéticasobreespirascon conienteselécttica,856 29-6 El efectoHall, 862 preguntas,problemas,863 Resumenr' li

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Y MATERIA

936

Propiccladcs lnagrróticas clc In rnatcri¡ crr conj unto,937

32-2 Los átomoscorno imanes,94I 32-3 Femomagnetisrno,945 *32-4 Diamagnetismo,949 *32-5 Paramagnetisrno,950 *32-6 Magnetismoy superconductividad, 95 I *32-7 Resonanciarnagnóticanuclear,952 Resumen,preguntas, problenras,955

33 INDUcTANcTAY oscrLrcroNEs EN ctRcr.rrTos 960 33-l 33-2 33-3 33-4 33-5

Inductancia e inductores.960 Energfaen inductores, 966 Energfaetrcatnposnragnéticos, 968 Oscilaciones en circuitos, 969 EnerglaerrcircuitosRLC,974 Rcsumcn,preguntas,problcrnas, 976 :

30 PRODUCCIONIYPROPIEDADESDE LOS 873 Cá,MPOSMAGnIEfiCOS,,,

3 0 - 1 L e yd eA mp é q4 7 4 '" ,^ '

' 3O:2 Ley dg Gausspad ál óasodel i magnetismo,STg 30-3 Solenoides,882 3O-4 l,ey de Biot-Savart,886 30-5 [a conienüede desplazamiento de Maxwell,895 *30-6 Problemasde consistencia:dependencia de fuerzassegúnel marcode referenciay la terce¡aley de Newton, 898 Resumen,preguntas, problemas,901

3T LEYDEFARADAY

CNETISMO

908

31-1 Michael Faradayy la inducción magnética,908 3l-2 l-ey de Faradayde la inducción,910 31-3 Fuer¿aelecttomotrizde movimiento,9LT 3L-4 Fuelzas,energlay potenciaen la fuerza electromotrizde movimiento,92 I 3l-5 Efectosde camposmagnéticosvatiablesen el tiempo,924 : y motores,926 31-6 Generadores *31-7 Relaciónentrecamposeléctricosy' magnétiqosdesdemarcosde refetenciaen movimierrto,g2S ' Resunibn,iróguntas, problemas,929

34 coRRTENTEsALTtrRNAs

982

34-L Tmnsformadores, 982 34-2 Elementosindividualesen circuitosde CA. 986 34-3 Circuitosde coriente alternacon RLC en serie,990 34-4 Potencia en los circuitosde corrientc altenra,995 34-5 Algunasapiicaciones, 998 Resumen,preguntas,problemas,1002

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35 EcuAcIoNEs DE MAxwELL Y oNDAs ELECTROMAGNETICAS

1009

35-l [¿s ecuaciones dc Maxwell,l0l0 35-2 Propagaciólr de los campos electromagnéticos, 10I i 35-3 Ondaselecttomagnéticas, 1013 35-4 Densidady flujo de energfa,y flujo de calitidad detnovirniellto, I 02I *35-5 Radiación deun dipolo,1025 35-6 Polarización,1028 *35-7 Radiaciolres conro electrotnagnóticas partlculas,1034 1035 Resumen,preguntas,problemas,

36 [-^,LUZ

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LO42

36-1 La velocidadde Ia luz, 1M3 36-2 ¿Sepropagala luz e-r línearecta?,1046

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3ó-3 Retlexióny refracción,1048 a pafir delprincipio "36-4 Reflexióny refracción deFermat,1055 36-5 Dispersión, 1058 preguntas, problemas, Resumen, 1062

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Y sus 37 EsPqJos,LENTES APLICACIONES

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37-l 37-2 37-3 37-4 37-S *37-6

42 cuANTtzAcroNDEvALoREsDE MOMENTO ANGI,JLI\RY ENERGIA 42-l 42-2 42-3

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39 DIFRACCTON

42-4 42-5

43

rt32

I-a diftacciónde la luz, 1133 Rejillas de difracción, I134 Difracciónen rendüaúnica,I140 Difracción y tesoluciónde instrumentos ópticos,I 143 *39-5 Efecto del anchode rendijasobrelas figuras de rejilla, I 147 r'39-6 Difracciónde rayosX, I148 *39-7 Holograffa,1153 Resumen,preguntes,problemas,1156

39-l 39-2 39-3 39-4

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40 REraTrvrDADEsPEcrAL 40-l 40-2 40-3 40-4

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40-5 40-6 40-7 *40-8

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rt62

¿Esnecesarioun éüet?,I 163 lns postuladosde Einstein,I165 Espacio,tiempoy simultaneidad,1167 Dilatacióndel tiempoy contracciónde la lorigitud,1169 Conimiento Dopplerrelativista,1174 Transformaciones de Lormtz, ll80 Cantidadde movimiento y energlaen la relatividadespecial,I 187 Mrís allá de la telatividadespecial,1192 Resumen,preguntee,problemas,1194"

t?t

La naturaleza ondulatoriade la materia, 1202 4l-2 l¿s relacionesde incertidumbrede Heisenberg, 1206 4l-3 L¡ naturaleza corpuscular de la radiación, t2tl 4l-4 Mecánicacu¡inticay probabilida d, L2l7 Resumen,preguntas,problemas,1218

110E

Experimentode Young de la doblerendija, I 108 38-2 lntensidaden el experimentode Young, de la doblerendija,1113 38-3 lnterferencia en la reflexión,ll16 *38-4 Intcrferómetros,ll24 Resumen,preguntes,problemas,1126

FrsrcAcuA¡tTlca, 4l-l

ro6s

y espejos,1069 inrágenes Espejos esféricos, 1072 Reftacción ensuperficies esféricas, 1082 Lenües delgadas,,1090 Instrumentos ópticos,1095 Abenación, 1l0l preguntes,problemas,I 102 Reeumen,

38 ¡rvrsRFERENcrA

4l

12?

Cuantizaciónde la energlay el momento angular,1225 La teodacurinticadel momentoangulary r' espectroverdaderodel hidrógeno,l23L El spin,el principio de exclusióny la estn¡ctutade los átomos,1235 [-a eskucturay los estadosde energlade la, moléculas,l239 Teoria de bandas,1245 Resumen,preguntas,problemas,1247

EFECTOS CUA¡\TTICOS EN GRANDES SISTEMAS DE FERMIONES Y BOSONES

t25

43-l El principio de exclusiónen metalesy estrellas,1254 43-2 Ldsetes:aplicacióndel comportamientode agrupaciónde bosones,1260 43-3,Supetconductividad, L264 y el helio llquido, l27O 43-4 Supetfluidez Resumen,preguntas,problemas,1271

M

INGEI\IIERIA CUANTICA 44-l 44-2 44-3 44-4

].27-

Semiconductores, 1278 Estructurasde semiconductores, 1286 lngenieriade bandasprohibidas,1293 Microscoplade banido, 1298 Resumen,preguntas,problemes,1301

45 FrsrcANUcLEAR

1306

45-l Propiedades est¡iticasde los núcleos,1306 45-2 Fuetzasnuclearesy modelosnucleates, l3t6 45-3 Enetglaen las teaccionesnucleates,1321 45-4 Radiactividad,1323 45-5 Fisióny fusión,1330 xl

lqtfl'

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45-6 Aplicacionesde la flsica nuclear;'1332 Resumen,preguntesrpnoblemas,1337

46 penrrcur.r\sYcosMolocra

y '.343

46-l Muñecasrusas,fuerzassubnucleares relatividadespecial,1343 46-2 [,aspartfculasnuevasy lasleyesdela 1347 consetvació,n, 1353 46-3 Repasodelasfue¡zasfundamentales, partfculas, 1356 4H Henarrient¡sdela ffsicade delr¡nivcrso,13fi 46-5 Exponsión momentosdpl universo,1365 46-6 Ins prime¡-os l37L , ..: 46-7 Palabrasfinales, preguntee, Reeumen,; Problem*, 1372 iij,

APEI\DICE I ELSISTTIÍA INTERNACIONALDET'NIDADES APE¡TDICE U E¡TU|VIS CONSTANIES FISICáS TUNDAII{ENÍALES

APEIYDICEM FISICAS

OTRASCAI|ITIDADES

APEIIDICETV

MATEMATICAS : .I

A.-5

.APENDICE V TABIAPtrRIODIC^ DELOSELÉMENTOS APENDICE VI FECIIASIMPORTA¡¡TES ENIAHISTORIADEIAFISICA APENDICEVII

TABr-AsENErli'EC-rO

APENDICEVIU

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A-7 A-1.1. A.13 A-15

RECUADROCONTE}(TO

:ETECCToNADO

A PROBLEMAS RESPI,JESTAS '. DE IruMEROIMPAR

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INDICE

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CREDITOS DE FOTbGRAFIAS

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C A P I T UTJ O

22

pard comprender los dc la naturalezpdel relómpago Lasinvestigaciones fueron importontes fcnómcnoseléctricos,En cstcgrabado,Bcnjanln Franklinllevaa cabouno de susfamosos publicóentrc 1751y 1753. conla cometa,cuyosresullados cxpcrimcntos

LA CARGA ELECTRICA

Aquf es dondeiniciamosnuest¡oestudiode la electricidady el magnetismo,tema que se ramifica a través de todo el mundo flsico. l,as fuerzas electromagnéticas controlanla estructurade los átomosy de todoslos materiales,ylaluzy otrasondas sonubicuas.La comprensiónde esasfuetzasesuno delos grandes elechomagnéticas éxitos de la ciencia.En este capltulo pfesentaremosla carga eléctrica,propiedad de los átomos,y la ley fundamennueva,pafanosotros,queportanlos constituyentes tal de la interacciónde dos ca¡gasen reposo,que es la ley de Coulomb.Estaley de fuerzaes tan fundamentalcomo la de gravitaciónuniversaly tiene la mismaforma. Sin embargo,la fuerza que describela ley de Coulomb puedeser de atraccióno repulsión.

22-L rá.s pRopIEDADESDE LA MATERIAcoN cARGA La matcria y la catgacléctrica hastaahora,hemoscaracterizadoa la En la mayor patte de nuestrasdescripciones, gmnel, átomosque la forman,medianteun a asl como a los conjunto, en su maüeria Cuando se investiga la estructurade los átomoscon más at¡ibutoúnico: la masa. que por éstos formados electtonesy núcleos,Estosse están detalle,encontramos I

646

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II !

puedencaracüerizaf medianteotro atributo:la carge eléctrica, que por lo generalse identifica con q. I-as cargaseléctticas ejetcen fue¡zaselectricasentte sl, proporcionales al producto de sus cargas, de igual modo que las masas ejercen fuetzas gmviüacionalesentre sf, proporcionalesal producto de susmasas.Las fuerzas elécIricasmarrtienenunido al átomo.Sin embario, entraun nuevoelementoen las fuerzas eléctricas,que no sp ptesentaen la gravitación: las cargasson de dos signos y, dependimdodeellos,lasfuerzasentreellaspuedeserderepulsión o biendeatracción. El conjunto de fenómenosrelacionadoscon las fuer¿asentrecatgasestacionatiases el temade la electrostótica,o estudiode la electricid¡d estÁtic¡r.

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III(AMENDETALIJ\DO Brcvc hlstoda

dcl cstr¡dto dc la clcctrtctdad

y el magnetlsmo

La mayorlade los estudiantcstienenal menoscierto gradodc familiaridadcon las catgas eléctricas,las fuerzasentreellasy el hechode que el magnetismotiene algo que ver con la electricidad.Tan obvios y scncilloscomo pudieranpa¡ecerestosasuntos,la evidencia experimentaly su comprensión,sólo se desa¡rollarona lo largo de mucho tiempo. La palabraelectricidadyoviene de electrum,la palabragriegaparael "ámbar",y Ia primeracita escritaacercade los curiososcfectosdel ámbarfrotadodatadel siglo V a. de C. Con seguridad,muchotiempo anteslas personasobservaronel crujir y chispearde una piel frotada.No fue sino hastael siglo XVII que se llevó a caboel descubrimientocrltico de que las fuerzaspodfanser de atraccióno repulsión.A travésdel tiempo,se desanolló la idea de que una cantidad,que ahora llam'amoscargaeléctrica,estáasociadacon las fuerzaseléctricas.Entrc los muchosnombresimportantesrclacionadoscon csosdescubrimientosestánlos de StephenGray, CharlesDufay y BeqiamfnFranklin. de salóndc los efectoseléctricos,demoda Franklin,fasci¡radocon lasdemostraciones en el siglo XVI[, llevó a caboabundanteinvestigacióncientffica.Su fama principal es su desanollode la idea existentequeasociabalos fenómenoseléctricoscon un tipo de fluido contenidoen la materia.I: repulsióny la atracciónse rclacionabancon cxcesoo defecto del fluido. En estbmodelo, estabaimpllcito lo que ahoraconocemoscomo el fenómenode la conservación de la carga: si el fluido tuviera que salir de un cucrpo, dejada una deficiencia.Franklin introdujo los términos'positiva" y'negativa" paralos dos tipos de carga.Tambiénestablecióla convenciónnormal del sigro, en la cual el electrón,queesla partfculaque realmentese mueve en los conductores,tiene carganegativa.Franklin es famoso,en especialparael púbüco en gencral,por susexperimentosespecüaculare,y muy peügrosos,con los reliimpagos,a los cualesreconociócomo fenómcnoscléctricos.Franklin y su amigo, JgsephPriestley,al igual quc Henry Cavendish,'estánrelacionadoscon cl descubrimiento de que la fuerza fundamental entre las cargaseléctricas es una ley de la inversa del cüadrado.Esta ley fue confirmada'enforma más directa primero por John \obison y despuéspor CharlesCoulomb, cuyosnombresseunénhoy a esalcy, a mediados y a finales,respectivamente, del siglo XVIII. En la primerapartedel siglo XIX, el magnetismo,quesecrefaentoncesun fenómeno sin relacióncon la electricidad,fue objetode experimentacióninte¡siva.[¿ naturalezedel magnetismoy su relacióncon la electricidadcomenzarona aclararsealrededorde 1820, principalrnentepor el trabajode HansCh¡istianOersted,André Marie Ampérey Michael Faraday.Estarelaciónsecomprendióen forma definitiva,y seunificó, con la formulación, en la décadade por parte de JamesClerk Maxwell, de la teorfadel electromagnetismo, 1860. La naturalezarealde la materiaconcargaeléctricasólofue reveladacon la exploración experimentalde los átomos.[¿ mecánicacuánticaesun elementoadicionalque serequiere paraexplicar las propiedadesde los átomos.Todas las propiedadeseléctricasde la materia .sepuedencomprenderhoy dentrodel marcode la teodacuántica.

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¡ Clnndo las cargassomuovor¡lrc fi¡or¿¡ssonmdscornplicadas,comovcrcmc cn crpihrlospostcrio¡cs.

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648 C¡pitulo

22 l¡ csrga cléctrlce

euperconduclores, Conductores, rlchdorcr y cemiconductore¡

Cer¡a por conducción

>. I-os átomossoneléctricamenteneutros (o simplemente,'neutros");estoes,un átomo en su conjunto no tiene carga eléctrica. Lo sabemosporque las fuerzas eléctricasentreátomossonpegueñas.2 Sin embargo,los electronesdeun átomo,que se representancon una ¿, cadauno, tienen,t¡mbién cadauno, la misma unidadde carganegativr,qacctnjn - -e.I,.oselectronessemuevenen órbitasenregionesparecidas a capasalrededordel núcleo,muchomáspesado,que consistede neutrcnes(repreporp), que tienenuna sentadospor n), quesonneuthles, y protones(tepresentados cargapositivade igualmagnitud,peroopuestaa la deun electrón,qpno{ór, - +¿.Aunque el núcleotieneel 99.95%de la masadeun átomo,el radionucleariólo esla 1O5parte del radiodeun átomo.En un átomoneutralel rrrfunero deelechonesesigual al número de protones,Irós elementosqufmicosse diferencianen el númerode elect¡onesen susátomos,o, de modo equivalente,en el númerc de protonesen susnúcleos.l¡s elechonesque, en promedio,se encuenhanmás cercadel núcleo, son diffciles de tetimr, por la interrsidadde la atracciónhaciaeste.Los elecFonesmásextemosson atrafdosconmenosinte¡sidadhaciael núcleoy seseparande él conmayorfacilidad. La facilidad con la que estosucededetermina,en gran parte,las ptopiedadestanto ffsicascomo qufmicasdel elementoque contieneesoselectrones.Un ótomogueha perdidouno o m¡íselectrones,y pot coisiguiente,que tienecargapositiva,sellama iottpositivo. Un ion negativoesun átotnoqueha gurado electrones. I-a evidenciaquecondujoal descubrimientode la cargaeléctricay de lasfuerzas eléctricas,dependlade las propiedadeseléctricasde la materia a granel y sólo indirecüamente del hechode quela materiaestáformadapor átomos.Poresemotivo, presentaremos una breveperspectivade las propiedadeseléctricasde la matetiaen conjunto. Si los electronesextemos de los átomos,en la materia a gfanel, son especialmente fáciles de retirar (o sea, estándébilmenteenlazadosa su núcleo),se comportancomo si estuvierancasi libres y se puedenmover a travésdel material, casi sin impedimento.Esos rnaterialesson buenosconductores.Los metalesson buenosconductores;algunoscomo el cobre, la plata y el aluminio, son rnejores conductoresqueotros.Determinadaclasede materiales,cuandoseenfrlarra temperaturaslo suficientemente bajas,contienenelectronesque,tealmente,semuevensin tienenotraspropiedades inhibición.Esosmateriales,llamadossuperconductores, parte de lossólidosno meuilicos dela mayor notables,comoveremos.Los electrones que sólidos, incluyen al vidrio,.el hule y los no se muevencon tantafacilidad; esos plásticos,son eisladores.El silicio, el germánioy un númerocadavez mayor de combinacionessintéticas,sonsustanciasquepodemoshacerconductoreso aisladoles res,controlandolasfuerzaseléctricasenellos,o la tempetahrta.A esassustancias tecnologfa. papel la un importante en llamamossemiconductoresy desempeflarr ' La facilidad con la cual se muevenlas cargaspor la materiase relacior¡u estrechamente connuestracapacidadde trarrsferircafgasen uno u otro sentidoentfe materialesdiferentes.Cuarrdolo hacemos,decimosquehemoscargadoo descargado los mate¡iales.Al frota¡un materialen el quelos electronesextemosesténdébilmpnte enlazados,como el ámbar, esos electronespueden'irse a otra parüey terminar depositadosen otro objeto.El materialoriginal, entonces,tiene un excesode carga positiva:ha perdidoelectrones. El objetoal cualsehan üansferidoesoselectrones, tendráun excesode ellosy quedacon un¡ carganegativa.Cuandola catgapasade estemodode un cuerpoa otro,se dice quelos cuelPosse cargan por conducción. Nótesequetantoel materialoriginal comoel objetohan adquiridouna catga. Podemostenerotro medio de control de la cargade un objeto si lo conectamos a tiena por medio de un buenconductor.Cuandose conectaasl un objetocon carga negativacon la tiena, los electronespasur del objeto a la tiera y el objeto queda ,neutral.Si, en lugar de ello, un objetotienecargapositivaen exceso'entoncesllegan electronesde la tierra y lo neutmlizan.¿Porqué fluye la carga?La Tiena mismaes

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2 Sin ombargo,no son prccisamcntcccro, L¡s razoncsaparcccrúntlaspucs'

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un buen conductor.En efecto, el conductorque va del objeto a la tierra permite compartirla cargadel objetocon la de la tiera; perocomoéstaestan$ande,la carga residualen el cuerpono se puededetectar.Sedice que eseobjeto est¡i¡terriz¡do o conectedoa tierrs (figura 22-l). Alcaminar cruzandouna alfombra,un dfa secode inviemo,podemosacumulargmdualmenteunacarga.Cuandonosaüerizamosüoca¡do un conductorconect¡doa la tiera, comoun tubometÁlico,derepenüe descargamos nuestraelect¡icidada la tiera. La chispague resultapuedesernotable. Evidencia dc que las cargas son dc dos ti¡ros

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I I I t_ I I I I II

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Se pueden demostra¡algunaspropiedadesimportantesde las cargaseléctricas, medianteexperimentoscon materialesfácilmenteasequiblesen un labontorio de ffsica elemental.Podemostransferir cargaeléctricafroüandouna varilla de teflón , sobreun trozo de piel, o frotandouna varilla de vidrio con sed¡, El teflón adquiere (figun 22-2a).Igualmenüe, unacargay la piel adquiereunacargaigral, peroopuesüe el vidrio adquiereuna carga,y la sedauna cargaigual, pero opuesta(figu¡a 22-2b>, En realidad,el üeflóntieneaho¡aunexcesode electronesy la piel, deficienciadeellos, mientrasque el vidrio tiene deftcienciade electronesy la seda,exceso.Asl, por ejemplo,la va¡illa de üeflónsehacenegativay la de vidrio, positiva.Habla¡emosde trIGITRA 22-l Panrnyc'porttüIct-, esasca¡gascuandodescribamoslos expetimentosmás adelanüe.Sin embargo,los modaal prtnclplo dcl slglo XIX. El signosque hayan adquirido las cargasen particularson i¡¡elevantespa¡a nuestros caballcroostl corrcctadooléctrlc¡nslo ücr¡¡. resulüados. El signodel electrónse llama'negativo'pot convención.El teflóny la piel parecentransferirla cargacon máseficienciaqueen el casodel vidrio y la seda, y con ellos seobtienenefectosmásfiicilmenteobservables. Paraestudiarlos efectosde las fuerzasentte las cargas,usaremosmasaspequeVarill¡ ñas, porque reaccionanmris visiblementehacia las fuerzas.Lo podemoshacer (a) (b) do tcflón empleandopelotitasde corchocubiertascon una pintum conducto¡a,que es la que permiteque la cargasemuevacon facilidadsobrela superficie.Secuelgaunapelota de corcho con un hilo delgadoy aislante(figrrta 22-3a),Si tocamosuna pelota de corchocon una va¡illa de teflón con carganegativa,de inmediatola pelotaseaparta de la va¡illa (figura 22-3b).Si tocamosdos pelotasde cotcho,colgadr" y neutrales, con la varilla de teflón con carganegativa,las peloüasserepelenlnfue¡tementemtre

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FIGITRA 22.2 C\ando (a) n frola tcflón con piol, y O) vldrio c¡¡¡ ¡oda,so budlcrc cargacléctrlca.

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Dcspuésdc tocarsc,la varilla y la pclot¡ sorcpclcn

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l,as cargasdo lgual slgrrosolcpclcn

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L,ascargasdc signo dlstlntoso¡trecn ; .1

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Un¡ v¡rlll¡ do tcllón ccrcargr rcgaüvero ¡cc¡cr porp¡i¡rtrr voza la pclotadocorcho rccrrblorta,ncutnl, qr d prlrclplo ce atníd¡ ¡ l¡ v¡¡llla. Dcspuéedo gr l¡ v¡¡tll¡ toca r la polota,óstr soha crryrdo y ro rtürn vlgorcanranto do h vullla cargrdr. (c) Sl tocann doepolot¡|rr do co¡choh¡cld¡¡s¡lc r¡oulr¡scon r¡m va¡lll¡ do tcfló¡¡ crry¡d¡¡ , ncgatlvanrcntc,las dc pclotllasro rcpclcn cntrosí. Las cargrs lgualoseorpolclr. (d) Si prtncro tocar¡¡o¡r¡u polot¡ doco¡r.ho, l¡rlcl¡lnnnto ¡¡or¡t¡r.cor¡un¡ v¡rllh dotofló¡t con carganogaüva,y rru polotr lgrd oot . r¡¡u v¡rlll¡ do vldrlo con cargr pocltlvr, hr 'dc polotitacsorlncranhod.Il crrgrr distlnt¡s soats¡cr¡. , ¡, . rrl . r: . p l { t j '

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6to Capítulo 22 La carga cléctrlce

flGURA 22-4 Expcrimcntodc Stcphcn Gny, sobrccloctricidadcstritica,cn cl siglo XVIII. El jovon,suspcndido onol aitc, cn crrgadoclcctrostdticamcntc; a contlnt¡aclón, podíaatncr pcdacitosdc papcl.

sf (figura 22-3c),Setieneun comporta¡nientosemejanteentredospelotasde corcho que se hayantocadocon una varilla de vid¡io con cargapositiva.Sin embnrgo,si tocamosuna pelotade corchocon la varilla de teflón, y la otra pelotacon la va¡illa de vidrio, las pelotasseatraenentresf (figura 22-3d). anteriores, llegamosa la conclusiónquelascargaseléctriConlosexperimentos casen las vatillas de teflón y vidrio son distintas,y gue Las cergrs igualee se repelen, les cergra difer^entesse ¡tr¡en

Antcsdo tocarsc, varills Y Polotasoatraen

I'IGURA 22-5 l,a pclotado corchonoutra cs atrrida, al principio, r la varllla cargada do tcflón, porqucalgwroccloctroncscnclla pasanal lado lcja¡¡oa causadc l¡ fucr¿¡ dc rcpulsióndcsdch varilla. Las cargas positivassobrcla pclotacsüin,cn promcdio,Íuis ccrcadc la va¡ill¡, y asila fucr¿ado atracciónsob¡ccüas,dcbidaa la vrrilla, cs mayor quola fucrzadc rcpulsión ¡obrc los clcctroncsdcsplazadoe.

sestrsen. Lescargasigualesserepeleny lascargasdiferentes Esasconclusionesson la explicaciónmás sencillade lo que hemosobservado.Por ejemplo,mientrasla varilla de teflón toca a la pelotade corcho,algo de la carga negativade la varilla pasaa la pelota.Entonces,tantola pelotacomola varilla tienen carganegativa.La pelota,qqeseha cargadopor conducción,de inmediatosaltay se quedanexplicadas, de igualmodo, alejade la va¡illa.Nuestrasdemásobservaciones por la regla de que las cargasigualesse repelen,y las cargasdiferenüesse atraen (ftgura22-4). Cuandolos expetimentosque hemosdescritose llevan a cabo con cuidado, podemosnota¡otro efecto.Antes quela varilla de teflón con ca¡ganegativatoquela pelotadecorchoneutfal,éstaesatraldahaciala vadlla,y no repelidapor ella.Despues de tocarse,se repelenfuertementeentresf, y acabamosde explicat por qué.¿Cómo podemosexplica¡su atracciónmutuainicial? Como hemoscubiertola pelotade corchocon pintuta conductora,hay electronesen movimientosobrela superftciede la pelota. Cuandose acercala varilla de teflón con carganegativa,los electrones móvilessonrepelidosy semuevenhaciael lado lejanode la pelotade corcho(figura 22-5). Esto dejauna cantidadigual de cargapositiva en el ¡i¡eade la pelotacercana a la va¡illa. Esascargaspositivasson at¡afdasa la varilla, con más fuerza que la repulsiónde las cargasnegativaspot la varilla. En otraspalabras,cuandolas cargas positivassobrela pelotade corchoestánmríscercanasa la varilla de teflón, de lo que estánlas cargasnegativasen esapelota,la fuerzanetaes de attacción.La atmcción inicial, por lo tanto,sepuedeexplicarsi la fuetzaeléctricasedebilitacuandoaumenta la distanciaentre las cargas.Al fenómenoen el que se redistribuyenlas cargas eléctricasdentrcdeun objeto,debidoa la presenciadeuna cargaexterna,sele llama polarizaciónde la carga.El hechode quelas fuerzaseléctricassedebilitencon la a é1. esde gran importancia,y regtesaremos distanciaentrelas ca¡gasinteractuantes l-acatgapor inducción Otro experimentoexplica cómo puedenobtenervna carga por inducción,o carga inducida,losconductoresinicialmenteneutrales.Pensemosen dosesferasmet¡ilicas neutras,sostenidascadauna pof un posteaislado,y que estánlado a lado, tocándo-

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22-1 l¡r proplcdadcr

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[,a vnrilla con cargr ncgallvoso acorcoI wra csfcra

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HGURA 22{ (e) Dc osfcrasnr.ltllcer rput¡¡lcs sctcnid.o cn pctcs ¡lsl¡r¡to¡ ¡o tocan (b) Uru vartlle do toflón con cerga rrcgativapolarlzehs csfcrasmctdllces.(c) Sl cstasscscparanmlcntns quola vrrillr do tcflón cslóccrc¡, hs osfcns ücnar cargrs ' opr¡ost¡s.(d) Ctrndo sorotln l¡ va¡lll¡ do tcflór¡,l¡s doecsfons nrtlllcrs rlguor toniccdocargasopucslas.Nótcecquola crrgr total do lrs doecsfonr pcnurnco cn

¡-nscsfcras trrctdl¡cas ¡rnrrnnccencnrgntlas cuando sc quita la v¡rilla

cc¡o,

se(figura22-6a).Si llevamosunava¡illadeteflón,concarganegativa,muy cercade una esfera,los electronesen movimiento en la esferase van al lado opuestode la esferaalejada,dejandocargasopuestasen lasdosesferas(figura 22'6b). l¡s esfetas tienencerocargatotal,pe¡ouna espositivay la otra,negativa.Mientrassiguecerca la varilla de teflón, separamoslas dos esferas,dejrindolascon cargaopuesta(figura 22-6c). Aun cuando quitemos la va¡illa de teflón, las cargasinducidasPor ella pennanecenen las dosesferasmetrilicas(figura 22'6d). Decimosquelasdoscsfems sehancargadopor inducción,EsascargaspuedenPasara pelotasde corchocubiertascon pinturaconductora.La fuerzade at¡acciónentrelas pelotasde corcho,quese petcibeconfaciüdadpor tene¡muy pocopesoesaspelotas,demueshaquelascargasson de signo contra¡io.Nótesequesólo los conductoressepuedencargarpor inducción.

Cergr por lnducclón

Las unidadcs dc carga La cantidadde cargaqueportat.l :lecttón dependede cómosedeñnala escalade la carga.La unidadde cargaen el SI se llama coulomb (C).3Podemosdetermina¡el la magnitudde la fuerzaentredosobjetossepatados valordel coulombespecificarrdo una distanciade I m, cuandocadaobjetotiene I C de carga. La magnitudde la cargadel electrón,la cargamrispequeñaquese encuentraen la naturaleza,se ha medido con g¡an precisión.Una aptoximaciónbastantebuena pafa nuestfosfines es (22-rl

e - t.6dl x lo-re c. en la tabla22-1. Las masasy cargasdel neutrón,protóny electtónaPa¡ecen

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i4l coulomb c¡ lg unlded dc crrS¡ cn cl SI

Ceryr dcl clcctr{n

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MASA Y^CARGA DE CONSITN,.rYENTES A,IOMICOS

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Masa (kg) Neutrón,n hotón,p Electrón,e

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1.6?5x 10-27 1.673'xlo-27 g ,l l x l 0 -rr

Carga (C)

0 1.602x lO-¡e x lo-re -1.602

I El coutomb so dcflno form¡lmortc cn térml¡¡c do corrlcnto, o carga por rnidad dc ticmpo, qrr cn cl SI ticnounldadcs dcarnpcras (A): uncoulorñbce ls cantidaddccrrga qrrcprsa porculquicrsccclóndcr¡¡condrctor cn I ¡. ¡l l¡ con{onto on ol condwtor c¡ I A.

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6sz Cepinrlo 22 Le cargecléctrlce

E J E M P LO 2 2 - | Ur.o.varilla de vidrio, frotada con secla,tiene una carga de + 110nC (1lO x l0-e C). ¿Cuántoselectronesle-faltana esavarilla? SOLUCION:Los elecüonesfueron hansferidosde la va¡illa de vid¡io al frota¡la con la seda,dejandoun excesodecatgapositivaen la varilla. Cadaelechóntiene unacargademagnitude,y por consiguiente,el númerodeelect¡onest¡ansfeddos debeser elect¡onestransferidos -

carga neta carga de cada electrón

1 1 0 xlo -e l L6 x l0-tnf/electrón

- 6.9x l0rr elechones

EJ EM PLO 22 -2 Ia mayormonedade oro con el águilaestadounidense tiene 28.4 g de masa.El númeto atómico del orc, que es el número de protones en el núcleodeun ritomodeoro,es79. Por consiguienüe, el númetode electnones en un átomoneutralde oro tambiénes 79. l¡ masaatómicadel oro es 197,lo cual quiete decir que I mol de oto tiene r¡na masc ñAu - 197 gt ¿C\ríntos elechoneshay en una monedade bro puto? ¿Cbál es la earganegativaque conüenela moneda? SOLUCION:El nrimero de átomosde oro en una masade 28.4 g es mN -=

(28.4É)(6.02x lgzr ¿¡e¡¡es/mof) = 8.68 x 1022átomos,

frAu

siendoN - 6.02 x td3 átomos/molel númerode Avogadro,queesel númerode átomosque hay en 1 mol de cualquiersustancia.Cada átomo de Au neutto contiene79 electrones,de modo que el númerototal de electroneses x ld2átomoc) númerode elect¡ones- (79 elechones/ritomo)(8.68 x 6.85 ld{ electrones. La cargaüotalde esoselechoneses catga total de electrones- (númerode dlecbones)(cargapor elechón) - (6.85 x ldacbct¡e*res)(-1.6 x lo-le C/clect¡e,n) - -1.1 x 10óc. El oro esneut¡o,y por lo tantohay una ca¡gapositivanetade igual magrritud,a causade los protones.Nóteseque el númerode elect¡onestransfe¡idosal frotar la varilla de vidrio en el ejemplo 22-I es 1013vecesmeno¡ que el que contiene una monedade oro,

22-Z r-A.coNsERvAcIoNY CUAI.ITIZACION DE lf,\ CARGA

Con¡crv¡cién de h cergl.

Los experimentossencillosque se describieronen la sección22-1 sugierenmucho que la carga se conserva,Sucedeque estoesuna ley flsica fundamental.Todoslos expedmentosquesehan llevadoa cabodesdesiemprehan demostradoquela carga netaes igual antesy despuesde cualquierinteracción,lo cual esun enunciadode la consbrvaciónde ls csrga. El hechode quela conseryaciónde la cargasedé a nivel microscópico, quictc dcck gue también sepresentaráa nivel tnactoscópico.

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Evidcncia de la conscn'ación de [a carga Veamosalgunasinteraccionesmicroscópicasquellevana la conclusiónquela carga se corsenra. Una de las reaccionesentrenúcleos atómicosque se lleva a cabo en un reactornucleares n + 'z3;U-* r!!Ba + !!Kr + 3r¡+ energfa. En ella,el nrirnerototaldeprotones(92)esel mismoenambos'lados- dela reacción.a Aun cuandoel númerode electroneso protonescambiaduranteunarcacción,la cargatoürlpermanecesin cambio.Asl, otrareacciónquepuedellevarsea caboen un núcleoatómico esla capturade electrón

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e- +P -rn*v' partfcula en la cu¡l v ¡epresenta una neuhallamadaneutrlno,El neutrino,a diferencia del neutrón,no tiene masa,hasüadondeeepuedesaber.En cst¡ teacción,los nri,mcros de protonesy electronescambian,perose sigueconsenrandola carga. por r, con un subfndicc Otro tipo de partfculacargadaas el plón, representado que indica el signo de la cargaque potta.En la reacción Y+P-+n*fi+' wrfotón,I, que esuna forma de radiaciónneutrade muy alüaenergfa,chocacon un protóny produceun neutróny un pión. Hastadondeindica la granexactitudcon la cualsellevana cabolos experimentosqueinvestiganesareacción,la cargaenel pión es exactamenteigual ¡ la del protón. Otras pnrtfculas,llamadaspositrones, sotr prácticamenüe idénticasa los electrones,a excepcióndel signo de la carga,y se mediante¿'. En la reacción representan y+p-p+e+

+e-,

se produceun electrón,pero sólo en asociacióncon un positrón,cuya cargatiene exacüamente ta mismamagnitud.De hecho,en las reaccionesobservadasen las que intervienenlas llamadaspartfculaselementales,nadie,nunca,ha presencladocaso alguno en el que aparezcao desaparezcauna carga neta. Hemosdadovarios ejemplosde la conservaciónde la catga.[.os deüallesde los ejemplosen particularno importan,al igual que los nombresde las partfculasque intervienen.Lo que importaes el principio de la conservaciónde la carga.Seaplica a cualquier casoen el cual hayatmnsferenciade carga. ¿Esposibleque algo de la cargade un elecüóno de un protón se desvanezca, como si fuera pintura?De nuevo,todaspruebasapuntanal hechode que las cargas del electróny el ptotón siempreson igrrales,sin impottar dóndeni cuándosemidan. Al vet los cuasares,quesonpoderosasfuentesde luz, a miles demillonesde añosluz de distancia,esüamos percibiendola materiaque existfahacemiles de millones de del color de la arios;la luz tardó esetiempo en llegar a la Tiera. Las observaciones luz que emitenlos cuasa¡esindica que,con muchaprecisión,las propiedadesde sus átomosson idénticasa las propiedadesde los átomosque obsewamosen el laboratorio. Esteresultadoimplica quela cargade los electtonesha permanecidoconstante durantemiles de millones de años. La cuantlzaclón dc la carga Ya hemosindicadoque las cargasparecenestarorganizadasen pequeñospaquetes. El tamañode uno de esospaquetesesel valor de una cargade eleckón (o una carga de protón,de igual magnitud).Las catgasmayotessiempreson múltiplos de los

' El irdtco cn ol símbolodcl clcmcntocs la rusa ¡tómica, quoa su vcz csla srrru dcl nrinrcrodc protorrcs y ncut¡oncscn uri átomo;cl subírdicc cs cl númcrodo protoncs.

22-2

I¡con¡crvrcló"r#; hc¡q¡

Cu¡ntiz¡ción de h cer3r

valoresanteriores.Seconocecomo cuentización de carga al hechode que,dentro la cargasepresentaenmúltiplos enterosde la cargadel de la exactitudexperimenüal, electron,y al hechode quenuncasehafi observadocargasmenoresque la del electrón. Esüehecholo estableciercnen 1909por primeravez los ahotaclásicosexperimentos, entoncespioneros,de RobeftMillikan. Ademris,susexperifnentosfueronlos primeros en los que se midió la carga del electrónen foma directa, y son la basede medicionesde gmn precisiónde esacantidad. Dunnüe las décad"sde 1970 y 1980, algunosflsicos han propuestoque los protonesy los neuttoneses!ánformados por partlculas todavla rnásfundamentales, llamado.querks, cuyascargassehanpoetuladoserdeZel3o -e13,A pesardemuchos experimentos,nuncasehan observadoesascargas,directamente,en el labotatotio. de Ahora,la mayor pattede los flsicos creequesólo sepuedenaislarcornbinaciones quarla con una carganeta que seaun tnúltiplo ehterode e, al igual que obset¡¡atse (figura 22-7).A cualquiercargaque sepuedaaislarla llama¡eindependientemente mos cerga libre. En tesumen,podemosdecir que Ll cerge6econsenv¡¡bsolutemente y que enmúltiplosenterospositivos o negativos dee. La cargrlibre estácusntizede

I'IGURA 22-7 Ihrolhs do portículas cargadns(olcctroncs)qrc pnsur¡>orrut solu mc>nd

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FICURA22-22Problcm¡ 39.

40. (IID ¿Cuál es la fuer¿epor unidad de áreaentre dos placas infinitas, uniformcmentc cargadas,con dcnsidad de carga supcrficial dc +10-' C/mt y -10'' C/m?,rcspcctivüncntc, cuando la distanciacnt¡c las placas cr l0 cm? ¿Y ci rc duplica la distancia cntrc las placas, cuál cs la fucrze? fSugarencia:pucdc ustedcmplearcl rcsultadodcl problcma 36,1 Problcmosgeneralcs 41. (II) ¿Curíntaca¡ga+Q se debedistribui¡ rniformemcntccn una placa cuadraday horizontal,dc 1 m por lado, ¡i dcbc quedarsrspendidaen el ai¡e r¡rr,amasad¿ I I y carta dc I pC a I mm de la superficie de la placa?Tenga en cucntala gravitación en este problema. ¿Cuál serfa la rcspuestasi la pelota debequedar suspendida2 mm sobre laplaca?, en forma cualitafiva, ¿cuálserfael cambio en la respuestasi la pelotatuvieraquc estarsuspendidaa I m sobrcla placa? 42. ('íDUna cargaúnica,q, - +10'7C, cstáfija en la bascdc rur plano quc forma un ángulo 0 con la di¡ección horizontal. En una ¡anu¡alisa y sin fricción del plano, sc colocaunapclotita & m - 2 g de masa,y con un¡ cargade +10-7C; cl plano sc prolongadirectamentchastclacargaflja (frg.22-23).Scpv¡fu mover pendienteaniba o abajo hasla quedara uru distarrcia estable/- l0 cm, dc la cargafija. ¿Cuálcs 0?

FTGURA22-23 Problcrn¡42.

26 protones 43. (II) El nricleode un átomode hienocontiene dentrode unaesferade 4 x 1g-tsm de radio.¿Cuálesla

67

fuerza de Coulomb entredos protonesen los ladosopuestos de estenúcleo?La respueslaa esteproblemademuestra quela fuerzaqueune al núcleo,comparadacon la repulsión de Coulombentresusconstituyentes, dcbeserverdaderamentefuerte. u. (II) Un electrónsemueveen órbita planetariaci¡cula¡alrededordel protón (a) Si la fuerzacentrlpetae.sla deCoulomb, de atracción,¿cuáles la velocidaddel electrónen términos de la cargae y el radio de la órbita circula¡?(b) ¿Cu:iles la cantidaddemovimientoangula¡,tr, del electrónenla órbita? (c) ExprescIa velocidaden términosdc e y L. (d) Exprese el radio de la órbita en términosde e y L. (e) Exprese,en términosde e y L, el tiempo necesarioparaque el electrón ¡econa una vez el cfrculo. (f) Evalúe esascantidades,para t - 1.05 x l0-'4 kg.mtA. Esto conespondea una versión simplificadadel átomodc hidrógeno. 45. QI) Supongaquela cargadel protónfueraligeramentemayor quc la del electrón, {prorri. (1 + ó)e,X q¿"a.¿n - -¿, siendo 0 < 6 c, y por quéestan distinta? gl Dos cargaspositivasfijas, q, estánseparadas una distanQ ü, cia /. Um tercera carga positiva q tiene masa m y está restringidaa moverseen uu rccta entrelas doscargasfrjas (ft1rlr:a22-24).(a) Cuandose colocala terceracargaa una distancia¡ de la cargafija de la izquierda,¿cuáles la fuerza netásobre ella? ¿Dóndees cero esafuerza; esto es, dónde estáel puntode equilibrio?(b) ¿Cuálesla fuerzanetacomo

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l-., ¡*"=-F_

l._¡ *__*l

-A--:-ñ-

= @ _ _ _+q_ @ _ _ _ _ : _ _ _+q_ @ :

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[.-----.-.---------....--....-.--.l FIGURA 22-24 Problcma 47.

función del desplazamientode la terceracargarespectoal punto de equilibrio encontradoen la parte (a)? (o) Para valorespequeñosdcl dcsplazamientorespcctoal punto de equilibrio,la terceracargasecomporlacomosi actua¡asobre ella un resorte.¿Cuáles el valor de la frecuenciade oscilación?

48. (II) Demuestreque la fuerzaentredos distribucionesesféricamentesimétricasde cargaesidénticaa la fuerzaentredoe paffculas puntualesque estánen el centro geométricode cadadistribucióny que tienenla misma cargatotal. (Srgerencia: hagauso del hechodeque la fuerzasobreunacarga puntual,debidaa la distribución1, es la misma quc si la distribución I se concentra¡aen su cento,y a continuación useel mismo razonamientoparala distribución2; después, usela terceraley de Newton.) 49. (III) Dos varillas, cada una con longitud 21, se colocan paralelasentrcsf a unadistanciaR. Cadaunatiencunacarga total Q, distribuida ruriformemeuteen la longitud de la va¡illa. Deduzcauna integralparala magrritudde la fuerza entre las varillas, pero no la evalúe. Sin desanollar las integrales,¿puedeustcddeterminarla fuerzaentrclas varillascuandoR>> L? (n (III) Setieneun númeroinlurito Jv' de'cargaspuntualesidénticas,g, colocadas en puntosigualmenteespaciados, encl eje ¡, en los lugares.x^ na (n asumevaloresenterosquevan de -6 a +a). (a) Deduzcaunaecuaciónparala fuerzasobreuna cargaQ, colocadaen,r - 0 y y - R, debidaa todaslascargas puntualesg, c indique la di¡ección de la fuer¿aneta. O) Encuentreel ¡esultadoparael llmite en el cual la distan-cia entrelas cargasrc * 0, y la carga4 0. de tal modo que Qla- 1(una densidadlineal de cargafrja).Demuestrequesu ecuaciónse puede formula¡ como una integral y emplee análisisdimensionalpara determinarla dependenciade la fuerzasobrela cargaQ, con respectoa R.

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Sefornn un campo eléctrico cuando setrota un peine con un trapo, k nuísprobable que los pedacitos de papel sean atraldos al peine porque el campo ha inducido un momcntodipolar cn ellos, y no porque tengan carga neta alguna,

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EL CA}TPO ELECTRICO

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De igual modo que el Sol ínfluye sobrela Tiema,no obst¡nteestara 150millones de kilómetros, una carga puede ejerceruna fuetza sobre otra, aun cuando esten poruna gmn distancia.El conceptode accióna distancia,segrinel cualuna separadas fuerza achia a $avés del espaciovacfo, siempreha parecidodiffcil de acepüar.L,a accióna distanciasugiereque de algunamanerael cuerporesponsablede la fuerza sobreun segundocue¡po lo alcanza,mide la distanciay actúa.Michael Faraday sugirióun modoparaevitarestadificultad conceptual:el primercuerpoinfluye sob're el espacioque lo rodea,estableciendorn campoa su al¡ededor,que estripresente hayao no un segundocúerpo.Cuandoel segundocuerpose localizaen un det$minadopunto,el c¡mpo quehay en dicho punto achiasobreel cuerpo.Estaimportante idea se puededesarollar en forma cuantitativa,y, al igual que todaidea realmenüe buena,cónducea mrísideas,que se alejanmucho del conceptooriginal, en utilidad y perspectiva. En esüecapftulo presentaremosy desanollaremosel concepto del campoeléctricd que producencargaseslriticasy aprenderemosalgunosde los modos en los que nos puedeser útil. Continuaremosempleandoel conceptodel campo,en capltulosposteriores,porque forma la basede la comprensiónde muchosefectos eléctricosy magnéticos.

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Capitulo 23 El campo cléctrlco

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UGURA 23-1 (a) Existc nn campocléctricocn rm punto P dcbidoa las cargassobrola csfcra,{, (b).l¡ cargadc prucba,go,rcpclc a las cargasdc la c.sfcraá. Sc produccun nucvo carnpoolóctrico,E', cn fl por la csfcrar{, porquclas cargascn,{ soh¡n rcdist¡ibuido.(c) la cargado prucba, q, cs ahorat¡n pcqucñ¡,quc casino afcct¡ a las ca¡gascn l¡ csfcra,{. El carnpoclcctrico quc producc.{ cn cl puntoP cs ehoraol mismoquocn la putc (a). En cadacaso,ol campoclcctricosodcbc¡ l¡ cargrdola osfoná.

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t'

A

23-L EL cAMPo ELEcrRIco Es útil imaginarseque una distribuciónde catgas,positivaso negativas,da lugar a un cempo eléctrico, que actua sobre cualquier carga colocadaen é1.El cempo eléctricopresenteen cualquierpuntodeterminadosepuededescubrircolocandouna una carga de prueba pequeñay positiva,{e¡ ett €selugat,y viendosi experimenta fuerza.Una cargade pruebasólo es un sensor:no produce el campoeléctticoque estamostratandode medir; el camposedebea ottasca¡gas.La cargadepnrebadebe eslafenreposotporque,comovefemospfonto,lascatgasenmovimientoexperimentan fuerzasdiferentes.El campoeléctrico,E, sepuededefrnirmidiendola magnitud y direcciónde la fuer¿aeléctrica,F, queactuasobrela cargadeprueba.La definición del campoes Deflnlción del cempo eléctrico

F E=:-

(23-1)

Qo

La razónde usaruna catgapequeñade pruebaes que una gtandepodria,media¡rte del campoeléctricose su inte¡acciónde Coulomb,hacerquelas cargasresponsables la distribuciónoriginalde cargaque movieran(figum 23-1).Con ello afectarlamos produceal carnpoeléctrico,y por lo tanto,al campomismo.Asf, usaremosunacal€a depruebainfinitesimalmentepequeña,go,y definiremosal campoeléctrico,enfoffia ideal,mediarrte

'E=ümI

(x3-2)

. qo'o Qo

Unidedee SI del cempo eléctricq

I-a fuerzaeléctricaes un vector, y por consiguienteel campo eléctrico tarnbién. Caracterizamospof completo a un vector, como el del campo eléctrico,cuando conocemossu rnagnitud,direccióny sentidoen cadapunto del espacio, De acuerdocon la definición de la ecuaciín (23-2), las unidadesdel c:ampo eléctrico en el SI son newtons pot coulomb (N/C)t. La tabla 23-1 presenlalasr' niagnihJdesde los camposeléctricosparadiversoscasos.

I Vercmos, cn cl capitulo 25, quc cl campo clcctrico sc puede cxprcsar, cn forma altcmatlVa, cn rmidadcs dc volts por mctro, cn cl SI (V/m), ya quc I N/C - I V/rn

t

(

L (

TABLA 23.I I

Í

67t

VALORES DE AI,GI.]NOS CAMPOS ELBCTA¡COS (N/C)

Espaciointerplanetario Atmósfera en la superficie terrestre,despejada En una tempestadeléctrica Chispaeléctricaen ai¡e seco En un acelerado¡Van de Graaff(') En el acele¡adordel Fermilab(") En los átomos, en interior de la órbita del electrón En la ndiación electromagnética del lásermás intenso A una distanciaigual al doble del radio, del centrode un núcleode uranio

a?l

lo'r-10-2 100-200 lf 3xlff

ElcrmpoclÉc&lo

ltr 1.2x 107 ld 10t2 5xl om

{ Vcasc capíhrlo 25. rr Véasc sccción 23-4.

[,] canr¡lo cléctdco dc una cafg¡ ¡runhral El ejernplomrissencillode un campoeléctricoesel asociadoconuna cargapuntual, qr. Tenemosdoscargaspuntuales,qr y q0,separadas poruna distanciar (figura23-2). La fuerzade Coulombque ejerceq¡ sobreg0es

paraunacargapuntual:For

#!i,,

¡r,,

4t

@ ;for *

qo

_ _ _ L _ _ _0 * F u ,

(2 3 3 ) IICURA 23-2 hrcrzr Fo¡qrnoJorco rrnr

cargapuntul 4¡ sobmla cargapnturl 96

de acuerdocon la ecuación(22-8).si decimosqueqoesnuestracargadeprueba, ambascargrssonpclüvrs. podemos ernplear lasecuaciones (23-l) y (23-3)paradeterminar el campoeléctrico debido a qr: pa¡auna cargapuntual:

tt: -

Fo, r/o

4t o' :únuo;t'

(23 4)

El valor de la cargade pruebaseha anulado,y asl,el procesollmite en la ecuación (23'2) no inttoduci complicaciones.La ecuación(234) especificaque E¡ tiene la mismadirecciónqueFs¡,la del vectorunita¡ioie¡,rpe apuntadeq¡ a qo.Eliminamoe el sublndicede ior en la figura 23-3, que muestmla direcciónde E¡, determinada moviendonuestracargadepruebaa varioslugaresa unadistanciar de qr. Estecampo esradial (figura 2J-3a),y hemosusadoel vectorunitario radial i (medidoa partir de qr) pa¡aespecificarpor complentoel campoeléctricoE debidoa una ca¡gapuntual q (tambiénomitimoslos sublndicesde E¡ y q¡):

(23-s)

(b)

'- . t I l*

¡..".,

FIGIIRA 213 (a) l,e trila qtr flotan c¡r accilo so alkrcrn con cl campo oléctrlco do csta carga punhral. @) t^r diracclón&l campo cléctrico E dobldo a q, c¡ ndial. L¡ carga cs po,sitiva, y la dlrocclón dol campo cs alcjóndco dc clla. (c) I.r carga ce ncgativa, y la dirocctón dol campo cs hacla olla,

,,.El campoeléctrlcodebido. un¡ c¡rgr puntu¡l I oerlcJr dc une cerge posit¡vi y B€diri¡e hrcie un¡ c¡r8¡ neg¡tiv¡.

El campoeléctricose aleja de una cargapositiva,come en la figura zi-gb, cuando la cargaesnegativa,el campoeléctricotienela mismamagnitud,perosu sentidoes opuesto.El campoeléctricodebidoauna carganegativaapuntahacia esaca¡ga, como en la figura23-3c.

i

{

La utilidad del conccpto dcl campo IJnavezconocidoel campoeléctrico,E, producidoporunacargapuntual,q, podemos calcularla fue¡zasobrecualquiercargapuntual,q', colocadaen esecampo,empleando la ecuación(23-L);esto es, F : Q '8 .

\_ \_

(23-6)

Lo mrísimportanteesquecualquierüstribucióndecargas,no sólounacargapuntual, produceun campoeléctricoen el espacio.Usaremosel subfndice'ext" (extemo)en E, pamsubrayarqueel campocléctricoexternocs independiente dela curgaq'sobre la cualnctuala fuerza.Una vezconocidoE"r,,Iafuerzasobrecualquicrcargapuntual q' en el campo,esla genetalización de la ecuación(23-6): Fuerz¡ ¡obre un¡ carS¡ puntual en un crmpo elóctrico

pa¡ar¡naca¡gapunrualen un campoeléctricoextemo: F - q'E"*, (23-7) La ecuación(23-7)esurrresultadogeneralmuy útil. ¿Porqué nos preocupamosen introducir los campos?¿Porqué no manejartan sólo fuerzasentrecargas?Ya hemosmencionadoel papelque desempeña el campo en la tesoluciónde las dificultadesconcepfuales de una accióna distancia.Hay otras razonespor las'cualesel conceptode campoesútil y hastanecesa¡io,Cuandoalguna configutacióncomplicadade cargasactuasobreuna cargade pn:eba,éstasufreuna fuerzaquedependede su ubicación,r. Esafuerzae-sr¡nafunción complicadade los vectoresquemidenel desplazamiento dela cargadepruebacónrespectoa lasdemrís ca¡gas.Es mejor determinarde una vez por todasel campoeléctricoE(r) debidoa las demáscargas,Una vez conocido,es asuntosencillo determinarla fuetza sobre cualquiercargacolocadaen cualquierlugar del campo. El conceptodel camposehaceindispensablecuandoveatnos,en el capltulo25, que el campotiene energfa.Parapreservarla impofianteideade la conservaciónde la energfa,es necesarioel conceptodel campo.Peroel poderreal del conceptodel carnpoaparececuandoesel resultadode cargasenmovimiento.Aun si las cargasen movimientoestánlimitadasa una pequeñaregión,por ejemplo,dentrode los brazos de una antrena, el campoeléctricose extiendepor todo el espacioy la velocidadde propagaciónesla velocidadde la luz, l¿ supernova1987Aestallóhaceunos 163,000 años;los camposeléctricosoriginadospor el bruscomovimientode muchascargas en y alrededorde la estrellaenexplosiónllegatona la Tiena el 23 defebrerode 1987. Esoscamposviajeroshicieronmoversea los electronesen las antenasenla Tierra y fue la señalde que habfaestalladola supemova1987A.La descripcióndel proceso esmuchomásfácil de comprenderquela ideade queexisüeunafuerzaeléct¡icaent¡e las cargasde la supemovay las de un detectottenestre,y que esafuerzano sólo dependede la separaciónentrelas cargas,sino tambiéndel tetrasoentresusmovimientosrespectivos,Una ley de fuetzacon demomde tiempoincluida,quedepende de la distatrciaenhedoscuerposqueinteractuan,esdiflcil de expresaryde rnanejar. l,a noción de un campo es útil en muchasdisciplinas.En la hid¡odin¿imica empleamosun campodevelocidades,quedescribela velocidadv detodoslos puntos en los que se tiene flujo del fluido, como en los tubosde un sistemamunicipal de aguapotable.En el intetcambiode calor se empleaun campode temperatufas,que describela temperaturaen todoslos puntosen un recinto,Y en acústicaempleamos un campo de vatiacionesde densidaddel aire. En los dos últimos casos,no hay direccionalidaddel campo,por lo queserelacionacon una fuerzade un modo más

672

\-{ l

7_

indirectoque en el casodel campoeléct¡icorelacionadocon la fuerzaeléchica.En esoscasos,los camposson escala¡es, en lugat de vectoriales.

673 ElcropoG¡6ctrlo

EJEMPLO 2 3 - I Oeterminarelcampoeléctricodebidoaunacargapuntual q - +1.4 ttC a una distanciade 0.10 m de la carga.¿Curiles la ñ¡e¡z¡ sobrc una cargaq' - -1,2 pC colocadaa esadistanciadc q? SOLUCION: El campoeléctrico deuna cargapuntual estáexptesadodirectamenüe por la ecuación(23-5): t0-6 É)

]':

t''' x

l0óN/c)i.

El campoeléctricose dirige haciaafuera,en direcciónradial,desdeel lugar de la cargade 1.4¡rC (figura 23-3b).Si la cargafueranegativaen lugarde positiva, el camposedirigirla mdialmentehaciaadentro. queel campoeléctricoque Paradeterminarla fuerzasobteg', considerarnos dete¡minamosaniba es un campoextemoy etnpleamosla ecuaciónQ3-7).Ia rnagnitudde la fuerzaes la del campomultiplicadapor la magnitudde q': r = lq'lE= (1.2x to-6 é)0.3 x loó N/d) = 1.5N. El signo de q'es negativo,y entonces,cuandosemultiplica por la magnituddel camporadial haciaafuera,la fr¡e¡z¡ resultantesobreq'achia ¡adialmentehacia adentto.No esde sorprenderque las catgasopuestasseatraigan. En forma alternativa,podemosempleardi¡ectamentela ecuación(23-7), incluyendola noüaciónvectorial.Obtenemos F = (- 1.2x l0ó y')10.3x 106N/¿)il = (- 1.5N)i, que esel mismo resultadoque el anüerior. Si es m¡is de una cargapuntual la rcsponsabledel campoeléctrico,empleamos principio El el de superposiciónparadeiermina¡el campoeléctriconetoo resultanüe. pdncipio de superposiciónestableceque la fuerzaeléctricaneüasobreun cuerpoes la suma vectorial de las fuerzasdebidasa las cargaspuntualesindividuales.Por consiguiente,el'campoeléctriconetoesla sumavectotialde los camposde lascargas individualespresentes.La fuerzanetaqueseejercesobrenuestracargade pruebage, debidaa las demáscargasde la regiónes

f

(2 3 -8 )

Frrr"= Fs¡ * Fe2+ Fo3+ "' = I Fo,' Asf r;do:

Frr," Fo, s"*

Fo, , For , ... so*-+"'

(23-e)

:E ^= t*B ri n r+" ':IE,.

(2 3 -r0 )

En estaúltima ecuación,F¿,por ejemplo,esel campoeléctricodebidosóloa la carga 4t, en el punto en el espacioen el cual hemoscolocadoqo.Empleandola ecuación (23-5)paracadacargapuntualq¡,vemosque

puntuales:E..o: paraungrupodecargas

I \

I

"l

*)#

r,

(23- I l)

En estaecuación,el vectorunitario i, sedirige desdeel lugarde la cargaq¡hasta lugar en dondesemide el camPo.

por un Compoekfttriconetopr.oducldo gmpodc clrgeepunturlco

en llnea:Qt - + 2 pC en EJEMP Lo 23 - 2 Setienentrescargascolocadas = * + + y 3 ¡¡Ceo.Í2- 4 cm; h -2 ¡rCen-r3= + 10cm (frg!tru.23-q. \' -2 crrl qz campoelectricoen el purrtoz{,origendel sisüemade coordenadas. Deüerminar,el

6cm -------l

6crn +.-

l.l. 2c m . l -l'

I I

@ --ttl -.r- -e qt

42

SoLUCIoN:La soluciónseobtienepor aplicacióndirectade la ecuaciónQ3'LL). Aunque po¡ lo generales importante üeneren mente que la suma requeridaes vectorial,en estecasotodaslasposicionesquedanenunallnearecta.Colocamos un sistemade cootdenad"scartesianasen el puntoá. El campoeléctricoen el punto.Áes

[email protected]

E,r:Er+E2+83,

qj

FIGURA 23-{ Ejcrrplo 23-2. El campo clcctico cr¡cl puntoz{ sodcbc a troscargas. [a distancla,r, sonridoa partlr dol punto¿,

endondeE¡ (i = 1,2 o3)esel campodebidoa la catgaqienelpunto.4.Aplicando la ecuación(23-LL)paracarnposeléctricosindividuales,obtenemos

,^:*({P.^#.#)

(23-t2)

Debemosponeratencióna los signos.Los vectoresunitariosti en el Paréntesis indicanla direccióndel vectorunitatio, l¡, de la posiciónde la cargaq/ al punto .,{.La direcciónrealdel campoeléctricoE¡ debidoa la cargaq¡,sin embargo,está determinadapor el producto qiii,y el signo de la cargase debeüeneren cuenta. Por ejemplo,la direcciónde E3 es +i, Porqueel signonegativode la carga93, multiplicadapor (-i) produceuna dirección(+i). La evaluaciónnuméricade la ecuación(23-12)da comoresultado B, : (9 x 10eN'm2/C2)

.

(3

(-2

x 10-óC) . .. , ..1 (r)+ (0r4;t(-r)+ x 10-6Q) t-'r-1 s¡Io.ro L foOf;pf Q x 10-6Q) ...

: (3 x 107N/C)i. El campoeléctricoen el puntoz{ tienela di¡ección+¡, haciala derecha.

Dlpolo electrico

Los dipolos eléctricos y sr¡scamlrs cléctricos Un dipolo eléctrico constade doscafgas,+4 y -q,de igual magnihrdpeto con signo unadistanciatr (figura23-5a).El campodeuna éargadisminuye contrario,sepa¡adas de acuerdocon tlf . Si las dos cargasopuestas(digamos,hY -Qz)no sumanceto, su campotenddala forma (qt - q)lf , Pafar >>l. Si se colocarancafgasigualesy opuestas,precisamenteuna sobte otrá, las dos contribucionesal campo llf se anulariany darfancampoeléctricocero.Perocomolas doscargasigualesy oPuestas de un dipolo no estánuna sobteotfa, el carnPoresultantedisminuye en función de

e-¿----4) -q +q (a) FIGURA 23-5 (a) Un üpolo olcctrico corsisto do cargas igualos, poro opucstas, scparadas poruru distancia l. @) Et campo nclo cn cl punto P, quo cs D, scttl¡ sólo s lo largo do la dirección quo vr de +q a -9' (c) El momcnto dlpol¡r oléctrlco, p, so dirig,c dc la carga ncgatlva a la posltlvl.

674

o +t1 (c)

.P

e

-.1

a a a a a L L L L L L

L L 1L L L Li L L L L L L ,

L l"

L L L L L. L L L

l/É, como vetemos.El campoeléctricodependesólo del productoqL,quese llama momentoeléctricodipolar o momentodel Sipoloeléctricodel parneutro(+q,-q), y setepresentacon la letrap. Hacemosquep - gl seaun vectordefiniendoa L como dirigido de -g hacia +4 (figura 23-6). Asl, el momentodipolar eléctricop es p=qL.

Momento dlpol¡r eléctrlco

(23-t3)

El vector p apuntadesdela carganegativahaciala positiva.

EJEM PLo 2 3 - 3 Determinarelcampoeléct¡icodeldipoloqueseveenla figura 23-5b,en un puntoP a grandistanciar (r >>L) de cadacarga.P estrien el eje perpendicularquebisecüala llnea entrelas doscargas.

SOLUCION:Ios ejes¡ y y se ven en la figura 23-5b y el punto P tiene las (0, y). El campoeléctriconetoen P eskiexpresadopor E - Er + &, coordenadas siendo el campo E¡ debido a la carga +q y el Fz debido a la carga -q. Las magnitudesde los dos camposson iguales,pero E¡ apunüBalejr{ndosede +Q, mientrasqueE2sedirigehacia-q. Lascomponentesy de E¡ y E2seanulanentre sf y sólo nos quedamoacon una componenteneta¡ hacia Ia derecha,que es el doblede la componente¡ del carnpodebidoa cualquierade las cargas:

@ -q nGUItA 23{ Dlpolocléctrlcocuyo morrrnto dipolar oep - qL. [.¡ dlrccclóndo p o s d o - 4 n +q .

E = Eri = (Er, + E2r)¡=2Et,i, en la cual ., = Er,

q

0.

fficos

En la figura 23-5b vemosque cos 0 es

Llz

L

r

2r'

C o S0 = -:-

Asl, el campoeléctricotoüaldel dipolo, a lo largo de la perpendicular,es

,=(##)Gl,:ffi'

(23-l4)

La ecuación(23-14)esel resultado correctoa lo largodela perpendicular, aun cuandola distanciaal pardecargasno seag¡ande.El campoeléctricodemece conr enla formal/1. H campoenlospuntosa Io largodela mediatrizes

E:-a#,

(23-rs)

{

en la cual hemosempleadola ecuación(23-13)del momentodipolat eléctrico, p. Si r >>l, entoncesr ! y y

a lo largodela mediatriz: t = -Ah.

(23-16)

El campoeléctricode un dipolo, en general,no esantiparalelo. al momento dipolar, aunqueen estecasosf lo es.En las ecuaciones(23-15)y (23-16)hemos descritoel camposólo a lo largo de la mediatriz.

L

La lmportancia

L t

En el ejemplo2S-3encontramosque el campodel dipolo eléctrico,a lo largo de la mediahiz,no dependeni de q ni de I únicamente,sinode suproducto.Estoesválido

dc los dipolos cléctricos

L L L,

L L



675 -.'-.i*.

f..,.-

676

parael campoeléctticodel dipolo én cualquierpuntoeri el espacio.Sólo se puede deüermina¡el productop - ql, a partir del campodeun dipolo eléctrico,y no sepueden deüerminarq ni l, por sepa¡ado. L,os dipolos eléctticos son de gran interes porque se pfeqentancon mucha ftecuenciaen lanaturaleza.Septoduceun campoeléctricoauncuandola cargatotal deun dipolo seacero.Con frecuencia,los camposextemos,inducenseparaciones de cargasen moléculasy materialeseléctricamente neutros,produciendoun excesode Dlpoloe elécrricosInducidos y cargapositivao negativadeun lado,o del otro. Por lo tanto,ocasionanun momento p€rmenentes eléctricodipolar inducido (figura 23-7).Tambiénhay ejemplosde configuraciones decargaconmomentoseléctricosdipolarespernanentes (momentosdipolaresque no se inducenpo¡ camposextemos),en la naturaleza.Mu¡has moléculasque tienen estructutadisttibuida,con electronesde catganegativadistribuidosde preferenciaen ciertasregiones,tienenmomentosdipolareseléctricospennanentes. [¿ moléculade agua¡H2O,que tieneforma de V, con el átomode oxfgenoen el véttice de la V, es Dlpolo ol&trico Cargaccrcanaquo ejemplode ellas (figura 23-8). Én casoscomo el de la sal común (NaCl) y el ácido producocl dlpolo lrdr¡cldo (polarir¡do); oléctricoinducido clorhfdrico (HCD, una moléculase forrna a partir de electronesque sc agrupande car¿atotal4- 0 ptefetenciaal¡ededo¡deun átomo,comunic¡indoleunacarganegativa.El otro átomo FIGURA 217 Una cargaccrcanapucdc quedaconunacargapositiva.En esasmoléculas,queestrinunidaspot lo quesellama inducir rna carg¡ polarizadr,y por lo t¡nto, iónico,siemptehayun momentoeléctricodipolarpermanente. enl.azamiento A nivel m dipolo cléctrlco,cn un cucrporrutral. molecular,cuandolos efectosde los camposdipolareseléctricostieneng¡animportanciaflsica, los momentosdipolatespefinanenües siempresonmuchomayoresque [email protected] los inducidos.Por ejemplo,p - 6 x 10-s C . m parauna moléculade agua,mientras que un átomode hidrógenoen el senode un campomuy intenso,E - 3 x 10óN/C, adquiereun momentodipolarinducidodep = 3 x 10-YC . m. Capitnlo 23 El cempo cléctdco

23-2

.\

\ \ ,,ñ [email protected]

FIGURA ALE I-a nroléculado agtu, HrO, cs un dipolo clcct¡ico porruncnto, AmbG olccboncsdcl hidrógcnosoncompalidos con ol átorio dc oxígcno,crcandoüi fucrto aüaco clcctrico quom¡¡rticnor¡¡ridaa l¡ molccula;cs lo quc sc llsnr crilaco covalcr¡tc.

DEL cA"ilrpoELEcTRrco LAs LTNEAS

El campoeléctricodebidoa una distribuciónde cargay la fuerzaque experimentan partfculascargadasen esecatnpo,se puedenvisualiza¡en Grminosde las líneasde cempo eléctrico. Michael Faradayintrodujo su empleo,a mediadosdel siglo XIX, aun a.ntesde que se comprendieracon claridad el conceptodel campo eléctrico.2 Faradaydecia"lfneasde fuerza".l¿s llneasdel campoeléctricoson continuasen el por un vector distinto espacio,en contrasteal campomismo, que estrirepresentado en cadapunto del espacio. Ya hemosvisto que podemosdesoibir al campoeléctticomoviendouna ca¡ga de pnrebaen el espacio.El camposeexpresacon facilidad en forma algebraicay es la mejor herramientapardobüenerresultadosalgebraicoso numéricosconcernientes a las fuerzaseléctricas.Sin embatgo,eshortible, desdeel aspectovisual,manejatel carnpo.No es fácil trazatuna región en el espacioy en cadapunto (ni siquieraen puntoscercanos)hazatun vectorcuyalongitud y direcciónvariablesfepresentenal campoeléctrico.[¡s llneasde campoeléctricosonuna altemativamrisadecuadaa la visual. reptesenüación Las lfneasde campoeléctricosontrazosuniformesy direccionalesenel espacio, por el campoeléctrico,de acuerdocon dosreglassencillas: determinadas

Líneasde campoeléctrico

1. l,as lfneasde campoeléctricosetrazande tal modo que la tangentea la lfnea del campo,en cadapunto,especifiquela direccióndel campoeléctricoiE, ep esepunto.Estareglarelacionala direcciónde las llneasdel campoeléctrico, con la ditecciónde éste. 2. La densidadespacialde las lfneasdel campoeléctticoen detetminadopunto, esptoporoionala la intensidaddel campoeléctricoen esepunto:

f' ¡,

2 DcspudsFnrudly,quo cm gnn cx¡rcriurcntntlor, pcro ¡ncnosbucnocomo toórico,to dio ¡ dihs w¡, significadorruisfísico quc cl qubticnonenla ach¡alidad.

(

( {

$

(

I l/
>--* '

n, = J-.

(23- 3 I

) 2neoR' rrí' La ecuación(23-31)represenü¡al campoeléct¡icoparauna varilla casi infinitamentelarga,o paraun punto muy cctcanoa una varilla finita. l,a di¡eccióndel que campoesperpendicula¡a la va¡illa.Nótesequela ecuación(23-31)esüablece el campoeléctricovarla en función de l/R patauna va¡illa infinitamentelarga, en contrastecon la dependencirde la inversadel cuadrado(l/¡*) en la carga puntual. l¡ razon es que en estecasohay una cantidad infinita de cargaen una vadlla infinita con deruidadfurita de carga.l¡ sumade todoslos camposdebidos a ca¡gasen la varilla, aunaquellosque estÁnmuy alejadosdel puntoen el quese mide el campo, acumulaun camponeto que decrec¿con más lentitud que el campo dc una disttibución finita de carga. Pa¡ael casoen el que R >>1, sen 0s - UR,y la ecuación(23-30)sevuelve

para R>>L:

E,=lki

=

#,

Cempo eléctrlco ccrcr dc un¡ v¡rlll¡ lergr, rcctr, unlformemente cerard¡

(23-32)

caso(R >>l), hemos en la cualQ - 2LL esla cargatotalen la va¡illa.En esüe dela cargapuntual,potqueunava¡illadelongitudfinitase obtenidoel resultado disüancias. vecomoun punto,desdegrandes EJ EMP Lo, 2 3 - 6 Determineel.gampoeléct¡icoa una distanciaR de una lómina plana infinita con densidadsrperfrcial uniforme de catga, 03.

I I

Ir

i

el planoxy en la SoLUCIoN:Veatnosla figura 23-l6a,en la cual establecemos limina plana. Deseamosdetermina¡ cl campo eléctrico en un Punto P a una distanciaR sobre el plano y escogemosel eiez de tal modo que pasepor P. Con ftecuencia,un problemade inüegmciónmúltiple se puedeconsiderar comouna integtal de un resultadode otra intcgraciónsencilla;por ejemplo,una integtal doble sobreun áreasepuedeconsidera¡comouna integal sobrebandas delgadas,y cadaband¿es el resultqdode una integral sencillaa lo largo de su longirud.Comoya hemosdeterminadoE debidoa un alambreinfurito,dividimos el p-lanoen una serie de alambres,o bandasparalelas,alineadasen'ditección del e.!e.r.Cadabandaüeneanchutady. I-a figuta 23-16besla vistaen dheccion'del eje.r. Como o es la cargapor unidad de átea, 2" o dy es la cargapor unidad de longituda lo largodecadaun¡ de lasbandasparalelas.En lafigura 23-16avemos que P egtri a una distancia mfnima r de cada banda, y podemos emplear los resultadosdel ejemplo 23-5 patael campoen el punto P debidoa la bandaque se muesha.,L,aecuaciónQ3-31)rentonces,representael campodE debidoa la banda.Estecampotienemagnitud ody dE: ;-. ¿Tepr I Estocjarplocs tnrpchna porqr¡cscrtl¡ciau conlasplacrscargadas docaplcitoros,quosonolc¡¡rcntc dc ci¡cuitoeclé¿kica.

(a)

(b) FIGURA 2$16 Ejcrnplo23ó. (r) Crmpo cléctrlcocn rurpr¡nroP, a u¡u dlst¡ncl¡ fi sobrcruraplacacargadainñnita; scpualo dotcrmlrur coruidcrandouu ba¡d¡ do anctn dy. @) Anpo cléctico dcbido¡ u¡a bandadcandrcdy.

:,i':i

>_--

684 Crpítulo

23 El cemPo cléctr{co

En la figura 23-16bse muestrala dirección de dE. Podemossepa¡ara dE en comPonent: (seno)ody _ --) 2ne^r ' (cosl,))ody

at,: ji;_.

como en el ejemplo23-5,podemosver, por simetrfa,queel componetitetotal E, la de anchoa) al ouo lado de P anula¡áexactaimente - 0, porquett*b*du determinecesitamos Sólo que estamosconsiderando. de la banda "onfiUu"i¿n narE-Ek: o l" cos0 --*--dv. - - | r": ! an,2ne¡1 : )-., r La inüegraciónse facilita mucho si empleamos0 en lugar de y como variable. Como Jn el ejemplo23-5,tenemos!o telaciónfigonomérica tan 0 'y/R' asf gue,de nuevo,ay - R d(tan o - R sec2odg - Á/cos20 d0. Además,r - R/(cos0), qua la combinaciónque apafecedentto.de la integtal se simplifica á" ^o¿o mucho:

Esrfr

9os0 ,..

I

l :o r:@ fu d n :d o

Necesitamosconocerlos puntoslfmitesde la integraciónen 0, y segúnla figura, +nlZ' Asl, vemosquecuandoy va de -co a +co,Ova de -nl2 a E_=-

o

l " ''

I

/.nts J^n¡2

Ou: t

o

2€o'

o sea, Cempo eléctrico debido r un Pleno grlnde uniformementc cr¡ldo

pa¡aun planouniformementecargado:

s:*r.

(23-33)

LL. 9. (II) Se colocauna sucesiónde z cargasq positivasy negativasaltemadasa lo largo del cje r, a unádistanciad entresf. El aneglo es simétrico óon respectoal eje y, estandola primeracarga+q en x df2,la primera-q en x -dl2,la segunda-q en3dlZ,lasegunda+q en-3dl2,y asfsucesivamente(figura23-27). ¿Cuálesel campoenun puntodistante y . I, siendo Y >>ü, en el ejey?

t_ t_ I,

t_

a_

a_ L t-

a_

a_

tlcURA 2.1!.27 ltoblcnr¡9.

a_ l_

I, t-. l_ I,

L t_ tl_ t_ I, l-

aL l) l_

1,. I, L L L; l-

tL I

10. (lll) Supongaque la cargapositivade pruebadet problenra 7 estálimitadaa moversesólo a lo largodel ejex. ¿Seráx 0 un.puntode equilibrioestablc?En casoafirmativo,entonces la cargade pruebadeberlaoscilar con ¡espectoa ¡ 0 paradesplazamientoq lo suficientemente pequeños.Si ese fuerael caso,¿cuálserfala frecuenciade oscitaciónde una carga de pruebade masam? lsugerencia..supongaque la ca¡gase desplazaa un punto.r - 6, siendo6 1l:

It: --? =.

( ) 4 _ .1 ) \

4n€,rr"

Dentro de la esfera tnaciza, donde r < R, la situación es distinta. L,a carga pot nuestraesferagaussiana(figura 24-I3b) estáexpresadapor la encerrada Q' densidadvolumétrica de carga,p, multiplicada por el volumen, fnl. La dcnsidad de carga es p = Q/volumen total : Q/1|irIf). Así,

: ,i,#t:n;l Q': P!",'

-tɡ.",

rF

7rr 2,T3 Apllc¡cfoncr

'o 0

o

X

4neoR2

ü

r

& l¡ lcy&

G¡r¡r

FIGURA M-13 (a) Ejcmplo 24-5. l-a mojor supcrfictc gausriian¡ para dotcrminnr cl cam¡ro clccrtrico fucra dc r¡rif, c6fo¡r r¡niformcmcnto cnrgada y no condrrctora. l,a sinptría cs csfórica.(b) l,a mcjorsupcrficic garrqsian¡quc sc pucdo cscogcr para dotcrmi¡ur cl campo clectrico dontro do una osfora uniformcmcnt€ cargadn, no condrrctora, cs u¡u csfcra gaussiana dcniro do la csfcr¿ maclz¡. Sólo la carga dont¡o dc la csfora gaussian¡ contribuyc al campo clóctrico cn r. (c) El campo c¡cctrico dcbido a uru csfcra m cor¡dtrtor¡ y unifonrrcnrcnto cargada,os frrnclón dc la dist¡¡cl¡ al ccnt¡o do la csfora.

De acue¡do con la ley de Gauss,el campo, cuando el radio r < R, es

E= #: o## dentrode unaesferamaciza,r < R:

= h#

Q4-13)

En estecasola cargaaumentacon el mdio en proporcióna É, mientrasque el áreaaumentaen fonna l, de modo eue E oq/- p, y podemosprescindir del segrrndotérmino del denominador de la ecuación (25-23). El resultado es

para r >>(:

V.: .triar

pcos0 4neor2'

735

Rcgtoncr

-cqrilPotenclslce

(2s-24)

en la cual medimos ahora 0 partiendo de cualquier lugar entte las dos cargas del dipolo. Nótese que el poüencial del dipolo para puntos distantes dec¡ece en función de U f , en comparación de la dependencia l/r para una carga puntual.

25-3 nscroNnsreurpoTnrYcrAlns [:s regionesen lasqueel potencialeléci¡icodeunadistiibucióndecargatienevalores constantes se llaman equipotencieles.Sonde interésespecial,y vale la penainvestigarlas.Supongamosqueun sistetnade cargasprduce detenninadopotencial.Las posicionesen el espacioque tienenel mismo potencialeléctricoforman superficies enttes dimensiones,y llneasen dos dimensiones.Decimosque los lugaresdondeel potencialtienevalor constanteformansuperficiesequipotenciales, en tresdimenejemplo, linees equipotencieles dimensiones. Como veamoslas siones,o en dos superficies equipoüenciales formadasporunacargapuntual.El potencialeléctricoes proporcional a Llr y tienevalor constanteen cualquierdistanciaradialfija, respecto una esferacentradaen la'cargafo¡ma una superficie a la carga.Pot consiguiente, (figura 25-8). Cualquierotra esfetacentradaen la catgaforma una equipotencial equipotencialdiferente,porqueel potencialvarla en función del radio de la esfera. Las equipotencialesson análogasa las curvasde nivel de un mapatopogtáfico, quesonllneasparalas cualesesconstantela diferenciade elevacióncon respectoal niveldel mar (figura25-9).Debidoa que la enetglapotencialgmvitacionalde una masasólo dependede su elevación,la energlapotencialgtavitacionalno cambia la fuerza cuandouna masasemuevesiguiendouna lfneade nivel. En consecuencia, degravedadno tienecomponentea lo largo de las lfneasde nivel. I-a gtavedadactua endirecciónperpendiculara unallneadenivel, y unapelotaquepaftededetetminada lfneadenivel aceleraráenunadirecciónperpendiculara esallnea,lo quellamarlamos "ditectocuestaabajo" de la montaña.Un esquiadorla llamarfalfneade cafda.lo que

Dellnición de rcgloncr cquipotencl¡lo¡

TIGURA 25-E Supcrficicscqutpotcncirlcs parauna cargapuntual.Soncsfcrasquola rod€an,

I,'IGURA25-9 Líncasdc nivcl cn mrprs topognificoc;sonlínc¡sdc olovación co¡¡stanto.Tambiénsonlincasdc cnorgia pokncial gravitaclonalcorstantc.[¡ fucr¿a dc gravcdadno ücnc componcntcsalo largo dc las lincasdo nivcl. Estcmapa mucsl¡alos nivclcs dc doscimascn las MontañasC¡tskiü, dcl cstadodc Nucv¡ York

es válido para las líneasde nivel es válido tambiénpara cualquiersuPetficieo línea equipotencial.Cualquierfuerza conservalivaactúa-endirecqiónperpendiculara la equipotencial,porque no pr¡edetener componentea lo largo de una equipotencial. -Como la eneigfapotencial tiene exactanlenteel mismo valor en una equipotencial, también así se comporta la enetgla potencial de una carga de prueba' No se efectua trabajo suando la carga de pmeba se mueve a velocidad constanteen una superficie o lfnea equipotencial.Parala cargapuntual que se describióarriba,las equipotenciales son esferascentfadas en la carga (figura 25-8). Una catga de preuba se puede mover libremente con fespectoa cualquierade esassuperficies,sin que el campo eléctrico

736 Capítulo

25 I'otcnclal

clóctrico

Las lineas de campo eléctrico son per¡rendicularcs e las srrperficies equí pot en c i a l c sd c b i d n s e r ¡¡ rsiste ¡ ¡ lnd e c¿¡r8ns.

efectuetrabajo. Como la fuerza eléctticano efectuatrabajo cuandouna cafga de pruebasemueve pof una equipotencial, podemos comPrenderpor qué el campo eléctrico no puede tenef una componente a lo latgo de una superficie equipotencial. Si la tuviefa, esa componentedel campo eléctrico efectuarfatrabajo pata mover a una carga sobre la supekicie equipotencial.Esto no es posible. Asl, el campo eléctríco debeser perpen' diiutar en úd; lugar a la superfcie equipotencial. Ademds, como toda la carga en un conductor en equilibrio reside en la superficie, una diferencia de potencial entre dos purrtossobre la superficie serfa igualaclarápidalnetrtepor u¡r flujo de carga libre, el d" niodo queta superficie de un conductor debc ser una equipotcncial. De hecho, al mismo entonces estará completo que conductof el itl¿i"u mismo razonamierrto potencial eléctrico. p^rtirde equipotencialcs ^ entresl seanperpendiculares El hecho que el campo eléctricoy las eqrripotenciales si se siempre, con fre"uencia es útil para determinat.superficies equipotenciales equipolas conocen el campo, y para determinar los camPoseléctricos si se "ono"" Podemosdar un ejemplo de ello paraalgunasconfiguracionesde cargaPafa üenciales. demoslas cualesconozcalnoslos campos. Veamos la carga puntual. Err la figUta 25-8 agregatfamos que las superficiesequipotencialesson esféricas.En la figura 25-10' si la mos laslheas de campo eléctrico, que se prolongan radialmente hacia afuera, esfefas, Por carga es positiva. Las superficies equipotencialesson, necesariatnente' origen' del que emergen vectores o los radios a serlerpendiculares (figurl Veamos las lfneasde campo eléctrico entre dos placascon catga opuesta Si placas cargadas' 23-11),Las superficiesequipoiencialesson planos paralelosa las

Líneas dc campo cléctrico

+l

+ + +

Supcrficies cqui¡ntcncialcs

\/

\lu Planoscquilntoltcialcs

¡'IGURA 25-10 l,as lincas dol campo olc(trico para urur carga puntual positiva (ncgativa) sc prolongan alcjrindose (acircándosc) radialrncnle, ¡rcrpcndicularcsa las cquipotcncialcs.

FIGURA 25-11 L¿s líncas dc campo clcctrico (trazos grucsos)y los planos cqrrif¡tcncialos (cn gris) pam rlos placas paralolascon carg$sopr¡cslas'

737 Dctcmlnaclón dc caiñfns a partk dc potcnclalcs

clóctilcos clóctdcos

(lc lul FICIIRA 25-12 I¡s línoasrlc carnpoolcctricoy las cquit)otcnciírlos rl i ¡xrl ocl crtri co.

lasplacascargadassotrcorlductoras, entoncestambió¡rdebetrsersuperficiesequipoZ¡, Vr, Vy .. ". 2,,entre tenciales. Asl, tenetnosuna seriede rr planosequipotenciales, e incluyendo las dos placascargadas. A continuación veamos las superficiesequipotencialesdebidas a un dipolo eléctrico,como una molécula polar (figura 25-12). Si trazamosnuestrassuperficies equipotencialessiempte perpendicularesa las lfneasde campo eléctrico, llegamos a laslfneasgrises que aparecenen la figura 25-12. Aun sin usar el potencial del dipolo eléctricodeducido en el ejemplo 25-4, acabamosde determinar,visualmente,cómo debeser el aspectode las superficiesequipotenciales.

25 - 4 pnrnnMrNAcroN DE cAMpos ElEcrRrcos A PARTIR DE POTENCIALES ELECTRICOS Como acabamos de ver, si conocemos el campo eléctrico E, la ecuación (25-9) determinala diferencia de potencial, Vt - Voentredos puntos a y á cualesquiera:

vr-vo =,[" o / = - "[.' t.Or , la diferenciade potenciales Comolas fuerzaselectrostáticas con conservativas, independiente de la trayectoriareconidaeritrea y b enlaintegralde llnea,y podemos escogef esatrayectoriade acuerdoa nuestraconveniencia. y calcuquepodemosinvertiresteprocedimiento En estasecciónaptenderemos análogo larel campoeléctricosi seconoceel potencial.Esecálculoescompletatnente al de la fuerzaentreobjetossi se conocesu energfapotencialcomofunciónde la posición.Tenemosla figuta 25-13,que muesttaun conjuntode líneasde catnpo a pocadistanciaentresí. Esassuperficies eléctricoy dossuperficieseuipotenciales perpendiculares a las líneasde campo.Si la equipotenciales son,por construcción, entoncestambiénserámuy es muy pequeñan distanciaentre las equipotetrciales mediantedZ. Según pequeña la diferenciadepotencialentreellas,querepresentamos la ecuación(25-9),si la distanciaentrelos puntosay b,inicial y final, es infinitesimalmentepequeña,entoncesno estamosintegrandoya en una trayectoriafinita en Jll B . ¿s.El signointegralsepuedeeliminary tenemos

d/ :

738

(2s-2s)

-E ' ds.

Capitulo 25 Potc¡rctal cléctrlco

Lo m¡is sencilloes decir que nuestratrayectotiainfinitesimal seacomo en la figura 25-13,estandods perpendipulat,a.,l,as,dos super,ficies equipotenciales. Comohemos dicho aniba, el campoeléctricotainbiénapuuta'etresadirección,dc modo que la ecuación(25-25)indica d(: &luipotcncial Iz+ dZ

-Eds.

En forma equivalente,

(2s-26)

- dv 'ds

L ---.

Con estaecuaciónse obtienela magnituddel campoeléctricoen términosde la a la equipotehcial en esepunto. rapidezde cambiode Zen direcciónperpendicular orientadahacia La direeccióndel campoesa lo largode la ditecciónperpendiculat, del potencial,En otraspa.labral, los valoresdecrecientes FIGURA 25-13 Doscqui¡rotcncialcs ds,cscn dlflcrcncn d/. El dcsplazamicnto, y dircccióndo E, cntrolascquipotcnci¡lc.s, a cllns. ospcrpcndlcular

hecia .nl campoeléctricocpuntaen la direcciónmáscortadeuna.equipotencial la siguiente. forman esferasconcéntricas,como parauna cargapunCuarrdolas equipotenciales a lo largode un radio..Por lo tanto,el campo tual, la direcciónperpendicular,queda eléctricoapuntaen ditecciónradial,y su magn'itud,es

E: -9!. dr

)

queformancilindrosconcéntricos, l¿ mismaexpresiónesválidaparaequipotenciales pero en estecaso,la variabler esla distanciaal eje cilfndrico. Cómo detcfmina cl potencial al campo en coofdcnadas'cartesianas Podemosver esüaforma desdeun puntode vista difetente,suponiendoqueun vector cartesianas: en coordenadas arbitmdo,ds,sedescompone desplazamiento ds-dxi+dyj+dzk. .t, y y ¿,tespectivafnente, En ella,i, j y k sonlos vectoresunitariosenlasdirecciones (25-25) la en ecuación asume la forma producto escalar Entonces,el dv = -E. ds : -E,dx - Erdy - E,dz,

(2s-27)

en dondehemossepatadoel campoE en componentescartesianos.En general,el V - V(x,y,z),El cambiode V al espaciales, potencialdependedelastrescootdenadas = + * posición yi xi a una nueva'r + ds - (x + d-r)i r posición inicial, pasardeuna ¿k + (y + dy)j + (¿ + dz)k es

: a *+ Y a y+ Y d r . d v:aox oz ov

(2s-28)

Nóteseel uso de derivadasparcialesaquf, que se hacenecesarioPorqueZdepende Reco¡demosqueel usode lásderivadasparciales cartesianas. de lastrescoordenadas parcial con respectoa x, polejemplo, quiete dech que detivada es muy sencillo: la se y y toma la derivadao¡dinariacon tespectoa ¡. Para mientras semantiehenfijas r = dVldx* 27;}Vldy.=0,ydVldz-?-xz. darunejemplo,siV xt,entonces Podemosigualar los coeficientesde d¡, dy Y dz en las ecuaciones(25-27) y (25-28):

u":-ZT,E,:-X, E,:-#'"

t

En forma equivalente,el vector campo eléctrico se expresaen términos de las derivadasdel potencialeléctricomediante (25 -2g)

Cempo eléctrico en términos de l¡s derivades del potenci¡l eléctrico

La ecuación(25-29) presentalos componentescartesianosdel campoeléctricoen términosdel potencial.Hemosencontradoun mododeexpresatun vectorparticular, el campoeléctrico,en tétminosde lasderivadasdeun escalar,el potencialeléctrico.2 La opeteaciónde detivat en la ecuación(25-29)produceun vectorcampoeléctrico que apunüaen direcciónde la mayor disminucióndel potencial.Esadirecciónes perpendicular a lassuperficiesequipotenciales.

E J It M P L o 25 - 5 Ernpleeel potcncialeléctricoder¡nacargnpurrtual, q, para obtetrersu calnpoeléctrico.

':

i

I -i

SOLUCIONT Conocemosel potencialeléctricoy senospide determinarel campo elécttico.En estecaso,el potencialesuna función tan sólo de la distancia.tadial por lo tantó,sonesferas a la carga,V * ql4ftesr,Lassuperficies equipotenciales, a una disüanciaconsüante de la carga.Segúnnuestradescripciónde la ecuación (25-26),el campoeléctricoestá,por consiguiente, dirigido tadialmentehacia y tienela direccióndel potencial afuera;esperpendicular a lasequipotenciales, decreciente. Sumagnitudes q q d(t\, : = -4".. E:.dv_ l*n.,' d, dr \;/ Tan sólo eslamosreproduciendolo queya conocfamosipe¡ola técnicaesútil en los contextosen los que no sepamosya la tespuesta. EJ EM PLo 2 5 -6 Una distribuciónde potencialen el espacioestádescrita por la función V - Axf - Byz,siendoA y B constantes.Determineel campo eléctrico. SoLUCION:En estecasode nuevo se nos da el potencialeléctricoy debemos una aplicaciónsencillade la ecuadeterminarel campoeléctrico,Necesitamos lasderivadaspatciales: ción(25-29).Ptimerodetetminamos

AV ;- : A y 2 ; 0x AV =- :2 A x y - B z; dy

Y : - ur. oz Por consiguiente, el campo eléctric.oes

E : - Ay'i - (2Axy- Bz)i+ Byk. Termina¡emosestaseccióncon un comentarioacercadel dipolo eléctrico.La (25-24)da el potencialdel dipblo, que es ptoporcionalal factor cos 0 en ecuación la figura 25-7.8n el eje de la mediatriz,0 - 90o,y como cos 90o- 0, el potencial 2 Unaconvcncióntaquigrríficaparacsasopcracioncsscapücacncstccaso.El cam¡ncléctricocstádcfinido porcl opcrador6radiente,A,quc achiasobrccl polcncial,E - -V( cstaxlo dcfinidocl opcradorgradicntc mcd iaritcV=il+¡ * + l* . ov ox

oz

739

740 Capitulo 2J Potcnclal cléctr¡co

eléctticoseráceto.Sin embargo,estono quieredecir queel carnpoeléctricoseacero en la mediatriz.El campoeléctricose detetminacon las derivadasdel potencialen determinadar o 0. Lo quecuentaparadeterminatel campoes lo rápidoque cambia r sen0. A lo punto.TenemosqueAVIOA el potencial,no si esceroen determinado latgo de la rnediattiz,cuandog = 90o,el campoeléctricoesmáximo.

25-5 cALcuLo Dtr los porriNcrAlns Dtr DrsTruDUcroNEs FINITAS DE CARGA

Técnlceeporc cnlcularpotenciales clóctricos

Sólo raramentetendremosque manejat el campo eléctrico y el potencial de una sola carga puntual; Con más frecuencia, tendremos grupos de cargas esparcidos en regiones del espacio, como cuando una carga se distribuye en la superficie de un metal, o cuando el catnpo de una molécula iónica complicada detennina su comportamicnto qulmico o biológico. Por lo tanto, es necesarioque podamosdetenninar los potencialesde distribucionescontinuas de carga. Esas distribucionespuedenno ser sencillas, y debemos desarrollarestrategiaspara calcular los potencialeseléctticos correspondientes.En estasección resumiremosprimeto las técnicasque se aplican, y a continuación mostraremosr¡naserie de ejemplos de su empleo. I.as formas cualitativas de las superficies equi¡rotencialesdebidas a una distribución de cargase determinancon más facilidad mediantetécnicasgráficas.Pata los cálculos cuantitativos,hastaahorahemos aprendidodos modos distintos de determinar el potencial eléctrico de una distribución de catgas:, l. Si se conoceel carnpoeléctrico,entoncesse puecleetnplearla ecuación(25-9) paradeterminarel potencial:

L v : i,,- vn : - f, u .a r . 2. Si no se conoce el campo eléctrico, podemos calcular el potencial en forma directaempleandouna de las diversasformas:

parauna cargapuntual,ecuación(25-7):

o v : -;-i +fi€or

ecuación(25-11); paramuchascargaspuntuales,

Iz:

l^

t I 9 ': 4 n eo i r ,'

parauna distribucióncontinuade carga,ecuación25-12): , : + 4nes)f+r En un cálculodirectodel potencialeléctricose debetomarla decisiónacercade la ubicacióndel potencialcero.De hecho,la convenciónque el potencialceroesláen el infinito, ya estáimplfcitaen las ecuaciones(25-7), (25-11)y (25-12).Es casi siemprela mejorselecciónparaunadistribucióndecargaqueno seextiendahastael unadiferenclade potencial,no senecesitatomar infinito. Si secalculadirectamente decisiónalgunaaccrcadelnivelcero, Placasparalelas

j( 1-

i r ,_ Veamosprimerola relaciónentteel campoeléctricoy el potencialparadosplacas conductorasparalelas(un capacitordeplacasparalelas,comoveremosmásadelante acercade los mismosen el capltulo26), cadauna de ellasa difetentespotenciales quelasplacasestánlo suficientemente entresi, cercanas (figura25-l4a).Suponemos podamos grandes para que las como tener cuenta no en o quesonlo suficientetnente de las por es una cerca orillas. Este caso, consiguiente, distorsionesdel campo aproximacióna las partescentralesdecapacitoresrealesde placasparalelas.En la

,

\-

it 1!

I

:( t-

(_ l

,l

't_

jv l

i(

i*

\_

figura,la placaizquierdaestáa menorpotencialquela derecha. se sabequeel campo eléctticoentreplacasparalelas esconstante, y queva delaspartesdemayorpotencial a lasde menorpotencial;en estecasode derechaa izquierda.En la ecuación(25-9) considcrntnos qucIn trnyectorin csunnrccl¡rdc ln plncnizquierdn n In dercchn, de tnl ntodoqucE esantipnmlelo a ds.Scala direccióndc izquiodaa derccha la qucdefina al ejer, y estéla placaizquierdaen ¡ - 0. Entonces,la diferenciade potencialentre lasplacasestáexpresada en ténninosdel campoEentrelasplacas,y la separación / de lasmismas,por

= -I,l ra ;:. L V = v u " ,o *- yr4 u rcn

E.ds= * [íudx= E !{ a*= nr ,

74r Z5-J Cálqtlo & loc potcnclalcr dc ¡ll¡trlbuclonc¡ flnltar dc crraa

Campoelóctrico entrcphcaeprrnlelro

A su vez,el calnpoeléctricoentrelasplacnsparalelas lieneunamagnitud

u-AV :7 .

( 25_30)

La ecuación (25-30) es un resultadopráctico imporiante. Dice que El campoeléctricoconstsnteenlre plecasconductorasperalelasesla diferenci¡ de potencialentre lss placasdividid¡ entre ls distanciaentre ellcs. Este resultado da el campo eléctrico entre dos placas conductoras plano-paralelas cuya diferencia de potencial es az. También podemos usatla para calcular las superficies equipotenciales relaciona das con cualquier campo constante.Esassuperficies son planos perpendicula¡es al ca¡npo, y la diferencia de potencial pam un plano a una distancia / de una equipotencial de referencia varla linealmente con /, LVE/. Nótese el signo: El potencial disminuye a lo largo de la dirección en la que apunta el campo eléctrico.

0v

0.25V

il

il il

ll il ds

,r,[.J

E J E M P L o 2 5 - 7' Dos placasmetálicasparalelas tienen225 cm2de área, cadauna,y esüinseparadas | 0.50 cm. Tienen una diferenciade potencial Wr de 0.25 V (figura 25-l4a). Determineel valor numéricodel campoeléctrico. ¿Cuálesson la densidadde cargay la cargatotal de cadaplaca?Trace las superficiesequipotenciales en 0.10V y 0.20V. OV

SOLUCION; La ecuación(25-30)seaplicadirectamente enestecaso.Conocemos la diferenciadepotencial,AZ, entrelasplacas,al igualquela separación deéstas. Entonces,la magnituddel campoeléctricoes

= 5ov/m, E=+: *:: / 0.0050 m y apunta dederecha (figura25-l4b). a izquierda En el capftulo 23 aprendimosque el campo eléctrico entre las placas es o/q:

E=50 Ylm:e' '

€o-

o = 50eoY l m:

(5 0 V /m )(8 .8 5x l 0 -r2 C 2/N .m2) :4.4 x l 0-t0 C /m2.

La respuestadebe estar en coulombs por metro cuadrado, porque empleamos unidadesSI en forma consistente.Conocemosel áreaenhe las placas,y con ella podemos calculat la carga total en cada placa, que es

Q: oA = (4.4x

= 1.0x l0- '5 C. Clmz)(225cm2)(10-a.m"lttm')

Como el campoeléctricoesconstanteentrelas placasparalelas,>R, que se reduce, correctamente, al lfmite de la cargapuntual,Ql4ne"*,

EJEM PLO 2 5 - 10 Líneacon carga.Detennineel potencialeléctrico comofunciónde la distanciaradial,R, a unallneacon densidadlinealuniforme de carga,1. SOLUCION: el campoeléctricoparaunalfneainfinita concarga, Ya determinamos y podemosemplearla ecuación(25-9)paradeterminarel potenciala paÍir del carnpoeléctrico.La ecuación(23-32)nos proporcionael campoeléctrico,que sólo tieneun componente mdial.Integramosa lo largode una direcciónradial, de modoqueds - dr (figura25-17a),La ecuación(25-9)set¡ansformaen

I I fdr L,V: - | E,dr : -^ |¿ÍeoJ r J

P ( r =R )

FIGURA 25-17 Ejemplo 25-10. (a) Una linca infinita, cargada, ticnout cam¡n clcct¡ico radial. Para dctcrmi¡¡ar cl potcnclal cn c¡ prmto P, sc oxamina un dcsplazamicnto,ds, en cl cam¡rc cléclrico E, y sc usa cl campo oléctrico conocido. @) El potcncial resultantc, dclinido como ccro cn r - a, va do infnito positivo, pasaprrr r - 0, y contlnúa hacla lnfurito ncgativo panr r grandc.

/+4 Capítulo 25 Potcnclal cléctrlco

La diferenciade potencialdepende, naturalmente, de l-osllmitesde integración. Digamosqueel potencialceroseencuentreen r - a, de modoque

av : vn- vo: v : -:- i^ t = -=i- ,n "' ,"l*, 2res r 2reo '1"' J"

r :- 3 ¡ n R. ¿fteo

(2s-33)

a

Nótese que, en estecaso,no es posible ubicar el potencialcero en el infinito, porque efr fr - 6r el logaritmo es infinito. Ffsicamente,esto es osf porque la llltea misma llega al infinito; nunca nos podemos apartar de ella. Graficamos el potencial de la ecuación(25-33) en la figura 25-l7b,donde hemos supuestoque lacargade la llnea es positiva.

(

I

EJEMPLO 2 5- 11 kfera con carga. Determineel potencialpafaun cascafónesféricode radio R, uniformementecargadocon una cargatotal Q, en lugarestanto en el interior como en el exteriordel cascarón.Establezcael potencialceroen el infinito. SOLUCION:Ya conocemosel campo eléctricodel cascarónesférico,en el ejemplo24-4,y podemosusarla ecuación(25-9)paradeterminarel potencial eléctrico.Comosegundopuntofijo, escogemos r = ooydeüerminamos la diferencia de potencial,AIz,en r, con el potencialenco.Del ejemplo24-4 tenemoslas (24-10)y (24-l l): ecuaciones o

fuera de un cascarónesférico. r > R:

dentrode un cascarónesférico,r ( R:

Distancia

1'

+n€or-

E : 0.

radial,demodoqueenla ecuación(25-9),que El campoeléctticoesúnicamente da la diferenciaclepotencial,integtamosa lo largodeun radio,del infinito a una distanciaradial,r, arbitraria.El elementodiferencial,dr, apunüa aparkindose del origen,demodoqueE . ds = E, ü = E d¡. Parar¡npuntofueradel cascarónesférico,

(a)

f' g : :- ( !- 1 ) : L V: v ( r ) - v( a ) : - f' Ed:r - :-4neo)*r" 4neo\r aJ

JDecimosque lz(co)- 0, y entonces, el potencialV(r) esiguala AZ: fuera del cascafón,r > R:

V:

Q +n€or

O 4neor'

(2s-34)

y el La diferenciaentreel potencialparauna posicióndentrodel óascarón potencialen el infinito es

LV: -(f^ uo**a,+ i ro**,dr). \J. / Jn Distancis (b)

-

FIGURA 25-18 (a) Ejemplo l5-l l. El campo elcctrico, y (b) cl ¡ntcrr;ial clcctrico para un ca-scaróncsfórico de r,rdio R. Aun cuando cl campo clcctrico cs ccro dcnt¡o dcl cascarón,cl potcncial ticnc r¡n valor constantc, igual al de la supcrficic dcl casca¡ón,

Como E¿"n¡o- 0, la segundaintegral desaparecey la integtación es semejantea la anterior, de nuevo con el potencial ceto en el infinito: dentro del cascarón,r 3 R:

: '

#;u:

constante' (25-35)

Aun cuandoel campoeléctticoescerodentrodel cascarón, el potenciaino lo es, si definimosqueseaceroen el infinito.En la figura25-I8a graficamosei iii,,¡.,c esférico,y el potencialen la figura25-18b. eléctricoparael cascaróri

TA r! r.¡

25-t

CAMPOSY

POTENCIAI,NS NI.IiCTTCOS

Magnitud del campoelCctrico

Configuraciónde cargas Cargapuntual

PARA DTVtr,R5AS CONT:TGT'RAC¡()NIIS DI]CJTRGAS

q

4*F

4nerr

a'l

En cualquierlugar

-

€o

o /JRTT -.\

re\-ffiFl o

Lejos,sóloa lo largo de la mediatriz: p

c.d' Qx 4?t(o(Ri-+-ñtt

o

r>R: ;:, q fi< o r ' ,.R ' .

n (JRz + x2 - x) Zne¡R" -J--. "

o

r > /{' --:-4nenr

r< R :

r< R :0

Esferamacizano conductora,uniformemente cargadacon radioR

r:a

LV : - E¿ : -":

Cascarón csféricocargado, ,' > ,t' ---:--4nenr' de radioR

Anillo cargadode radioR, a lo largodel eje

@

),' r _;__ In _ tf€o u

Placasparalelascon carga o opuesta, densidad €o uniformede cargao d separación Discocargadode radioR, a lo largodel ejea unadistancia¡

Potencíaleléctrico

,q

1 Lfneainfinita de densidad 2"%, uniformede carga, l,

Ubicación del potencial cero

Q' , 4zcoR'

o 4neoR -::

c,,

üJ

@

[.ejos,errcualquier lugar: pcos0 f,,rrr'

.o

o 4neo.,[nTTF

,> R,- 9-

,corrstante,B, y se hace gitár a una velocidadangularcr, respectoa un eje pe pen,iicular al campo (figura 3l-25a). Las terminalesdel conductorque forma la bobj ia (e r el casode los motores,cambiarenlos *bobina" por el de "devan do" que es el que se aplica) se sacanal el nombre de exteriot a tiavés de determinado tipo de < :nta :to deslizante,con un céndrtctorfijo, Al girar el devanadoen el campo mag étic.r, canrbia el flujo magnético que io attaviesa,y se induceuna fem. De acue¡cr corrla figura 3 I -25b, el flujo magnético a travésdel devanadoes ó¡ - A ' B =.48 c 's 6. Imaginemosque'larotación comienz¡ cuando I - 0, de modo que 0 = r¡t. Ento rces.la derivada del flujo magnético con respectcial tiernpo es d@ o:sgj d¿



cos(cr¿l: - ABU sen(rr.rt).

(3 1- r 3 )

Hay Nweltas de alambre,y entonces,la fuerzaelectromotrizinducidaentrelasdos terminalesdel devanadoes I --il"

I,-IGURA 31-26 Cua¡rdo r icct¡'omoü'izq ' rc varía sc, r¡uc sc origina t rr la rotaci, dcntro dc un ca¡mpo¡nngn' (como cn la figrra 3 t-2.5a circuito, sc producc rma cr con la mlsma frecucncia a

926

_l

fucr, ' ridal r:ntc,y r d ctr a b o b ill:r ico c, rsta¡rtc cs p;r,tc dc rur ricntc senoidal gular, a¿.

(i : -,t, {;"u : \,,,18a.¡sen(>X6,o que r0>> que ar6.(a) Denrueslreqúe V*t = (XclX)Vo.(b) Demuestre pr:: el circuitodela figura34-27,porlogeneral, esefectivo de CA, perono los de CD Ce:: reducirlos cbmpoñentes fuerzaelectromotriz. 1 l,-l'-l

-

tv,sblentasGenerales ó:. 'tr) Setieneel circuitode la figura 34-28.Lafuerzaelcctronrot¡iztieneuna amplitudVo- 12 V, y una frecuenciade i0O0Hz; L - 20 mI{, Ct - 25 ttFy Ct- 45 pF.Calcule(a) (c) el la conientemáxima,(b) la frecuencia dc resonancia, !'oltajei¡stantdneomáximoa travésde cadacapacitor;(d) el r oltajeinstantáneo máximoa travésdel inductor.

+w

tl ¿ ;

L -

l U ¡ l l .( 1, r ,L'

¿l

l t| , J v ¿ -

J u pL. \,J r s ui c

o o o o o O o a o o o o o o O o o o o o o I o o o o o o

\J /

la corrientemáxima en cadatramo; (b) la frecuenciade resoruncia; (c) el voltaje instantáneomáximo a traves de cada capacitor; (d) el voltaje instantáneomáximo a travésdel indr¡ctor,

67. (II) Formule las dos ecuacionesque espccifican las cor¡ientes /, e /2 en las dos espirasdel circuito que se ve en la figura

34-3t.

E

Lspira I

Lspira 2

Inductancia mutr¡aM FIGURA 3l-31 Problcma 67.

FIGIIRA34-28Problcma 63.

68. fll) Se va a diseñarun circuito RLC en serie,para que tenga una f¡ecuencia de resonanciade 2.2 MHz, cuya curva dc polenciaen función de frecuencia,/, debe tener un ancho total de 1l@ Hz. Si el único capacitordisponibletiene50 p F d e c a p a c i t a n c i a¿, c u á l e sd e b e ns e r R y L ?

equiva6¡. .IJ) tjn arnplificadorcon 15,000O de impedancia

h_\.

;entese va a concctara una bocinade 8 Q medianteun t¡ansfonnador. ¿Cudldebeser la relaciónde weltas del uaruformador? la figura34-29,sepuedeconside,.II)L: impedancia,Zr,de nrr como una resistenciapura, Rr - 2 fl, mientrasque la en serie,R2 irnpedancia Z, se relacionacon una resistencia . i /- l 0 5 H z y V o - 4 O, yu na c apac it ancCia- 5 x 1 0 -8 FS . 50 v, ¿cuálesla ¡rotencia dislpadaen Z¡?

69. 0l) Un resistor con I - 2 O lleva una corriente desdeel enchufede la pared,un capacitorestaconectadoen paralclo con esteresislor.L: fuente de coniente tiene una amplitud de I 10 V v una frecuenci¡ de óO I{2, y la reactanciadel capacrtores E Q a estaf¡ecuencia.¿Cuáles la corrienteque s e l l e v a p o r i a c c r r , b i n a c i ó ne n p a r a l e l o ?

70. ( i l )

U n c a p a c i t c :d e l - r , u F ; 'u n r e i i . t o r d e r e s i s t e n c i R a, variable,se cciecial: e;r serie entre sl y con una fuentede V^ de 110 \', ó0 Hz. lia_sauna gráflcade la variacióndela coniente rms en función ie R, ¡ calcule el valor de R pua e l c u a l I a p o t e n c i ae n t l e g a d as e am á x i r n a ,

7t.

65. FIGURA34-29Problcrr¡a ffi. $ Setieneel circuitode la figura 34-30.Ia fuerzaelectroir.otriztieneuna amplitud Vo- 12 V, y una frecuenciade

(lI) Un circurroie C.{ suniilsira t;- - 110 V a 60 Hz a un resistor de 5 Q, un caiaciior de .10 ¡rF y un inductordc autoinductanciava;i;'rle, enlre 5 mH :'200 mH; todoseilos en serie.El ca¡rc:lcr ie:e ¡eslsli;un voitajemáximo de 800 V. (a) ¿Cuáles la cc;:leiie i:láxl-maposible que no dañeel capacitor?(b) ¿A qué r'alor puedeaunlentarcon seguridad l a a u l o i n d u c t a n cai?

a O

flGURA 34-30 Problemaóó.

: :"S

r-1,i

o o o o o a o o o o o I

o

o O o

o o

o o o O o o o O o o o o

CA P I T UL O

35

o O O

o o a O

O

o o o o o a

o

o o o o o

o

a

o o o o lo lo

lo lo lo lo

Estosplatos, parte del Conjunto Muy Grande (Very Large Army) dc telescopios cn Nucyo México, reuncn ondos dc radio de galaxias lejanas. La luz lal ondas dc rddio, ¡'otrasfornas de radiación, son conaccuenciadc [as ccuacioncsfundanen¡álesdel electromagneÍismo:Ios ccua ci o ¡t c'sdc M tÁi,c It.

ECUACIONES DE MAXWELL Y ONDAS ELECTROMAGNETICAS L^by de Faradayindicaquela electricidad y el magnetismo tienenunarelación por partede James fundamental, La introducciónde la corrientede desplazamiento, ClerkMaxwell,ampllaestarelacióny conduce a un conjuntocompletoy consistente de leyesde electticidady magretismo.Esasleyesse conocencomolas ecuaciones de qr¡econdujeron a suestablecimiento Maxwell.Losexperimentos nunca individuales La predicciónmás dieronuna indicaciónde la amplitudde sus implicaciones. deondaselectromagnéticas dramática de lasecuaciones deMaxwellesla existencia por el espacioa unavelocidadpredecible,la velocidadde la luz. El quesepropagatr electromagnética ha conducido darsecuentade quela luz esunaformaderadiación a una comprensióncompletade todaslas propiedades de ésta.En estecapítulo y relaciónde loscanrpos eléctrico y ma$rético tambiéndescribiremos la orientación quesepropagan enel espacio, formandolasondaselectfomagnéticas; la enetgíay la queno fenómeRo cantidad de movimientoquellevnnesasondns,y la polnrización, hastaahora. aparece enningunade lasondasconlasquenoshemosencontrado

1ryX

1 0 10

35-l

Capítulo 35 Ecr¡¡clonca dc Maxwcll y ondas clcctroma gnéticas

t

r¡.s EcUACIoNES DE MAxvrr-L

Vamosa haceruna lista y a comentarlas ecuacionesde Maxwell, que resu::t::'t 3. y el tnagnetismo. contenidode la electricidad Esasecuaciones porcomp:3:! describen los camposeléctricosy magnéticos en presencia de cargasy conienteseléctricas. I. Ley de Gaussparacamposeléctricos

ff r on:*

l ?5-:

II. I-ey de Gaussparacamposmagnéticos tt t¡

f f s . d A: 0 . J] III. I-ey de Ampéregeneralizada ccnada J ¡to i¡rfinitc.si¡¡¡,n1, dA, fl(; URA 35- I Dlcr¡¡t'.¡ cn ln su¡rcrficicccrra [.os componentesvioleta, azul, vefde,etcétera,de la luz blanca,se van dispersando I¡IGIJRA proccdcnto dc wt a¡coiris sccr¡nda¡io ha y' El color del Sol cambiade blancoa amarillo,luegoa anaranjado sufrido doe rcfloxiones iltemas cn las gotas sucesivamenüe. f¡ralmenüea rojo, porquelasfrecuenciasmayoressedispersany no lleganal observador' do lluvia. l,a luz dc ondas más colas fla luz t N. dcl T.: En cspañolsolo tcncmc rm vocablo,dÍspersidn,pararnmbrar tantáa la descom¡xxicióndc dc su y cs rcflcjada¡nr cllas,dcsviándosc la luz por ¡n prisn¡a,con¡ofnra indicarqricla luz llcgaa ¡rartículns casial mismo camino.Sonfcnomcnosdistintos.En los prirrafossiguicntcssc hatrlanidc las dosacc¡rciones ticrnpo,y cl lcctor dcbccsta¡alort¡ al fcnómc¡¡ocspccíficoquc sc cstólratat¡do'

azul) salo conun:ingulo m.is p

el puntoS queusamosparalocalizarla imagende S en el punto/en el casoconvexo (figura 37-18).En las figuras 37-t9b y 37-L9cel rayo 3 puedeno pasarpor la superficiecurva. Podemosampliar la superficiepa¡aver lo que sucededasi el rayo 3 pasarapor ella, porquelos rayosprincipalestansólosonauxiliaresparadeterminar dóndesecruzantodoslos rayosquepasanpor la superficie.En cadacaso,la imagen esderechay vittual (los rayossólo parecendivetgerdesdeel puntol),

108ói

.*DEDUCCION

Capí¡¡lo.37,Eipclg6,' lentcS,ysui'r: apllcacloncs

/

¡' f

Deducción de l¡s ecuaciones(37-2)y (37-8)

dos puntosde un eje óptico, la fuente .Paradeducirla ecuación(37-2) exar¡rinaremos es esféricay cóncava. ,luminosa,u objeto,5, y su imagen,1;la superficiequetrataremos Podemosver,confacilidad,en la figura82-1, y conel hechode quela sumadelosángulos ecuaciones sonválidas: iintemosde un triánguloes n, quelassiguientes 'l =B +d i

(82-1)

6-"f+ a:y+(^t-il:Zy-0.

(B.2-2)

(B2-1).Las distanciasdela ,Parallegara la ecuación@2-2) hemosempleadoIa 'figuraB2-1serelacionan conlos ángulosmediantela""u."ión ecuaciónexacta AB - Ry,y mediante las ecuacionesaproximadas(paraángulospequeños)AB - í6 - sF. Esasecuacionesnos pennitenreacomodarla ecuación@2-2) en la siguienteforma: .

t.

.

1

ü _2*B _*ú lRs

la distanciafocal/- rR/2paraura superficie ;Eliminamosel factorcomún,{By empleamos '' iesférica.Asf obtenemos i

ttl í s'f'-

--r-:-.

'

que es la que dqseábamos deducir;es la-ecuación(37-2). la ecuación(37-8),la relaciónentrela distanciadel objeto,la Ahora deduci¡emos y la dilancia focal, parauna superficiéde.refraccióñ distanciáde.latima8en de'radiode Qurvatura'R"parael caso:particula¡de una superficie convexa (ftgura.B2-2). Hemos el resultadofinal no dependerá.de esahipótesisiParaángulos supuestoquen¡ < ñ2,aunQüé pequeños, la forma aproximadade la ley de Snell,ecuación(37-6),siguesiendoválida. Por deduccionesgeométricassencjllasse demuestraque 02 -. F.-. g, y Que01 - p + y, dc modo que n{ p+ y)= n.zU J-d):. üó distañcias8e lafiguia B2,2 siguenla relación exacta'AB=.'R9;y las aproximacioner peraángülosp¿quéñds,áB :6y = ii1. Asf, la ecuacióri(82.3) se transformeen ' . "l\

...,'

. .i.

1

. . , ... : .,

FIGURA 82.1

'.

(+s . +s\ = /i r t'- - - 'r | ' \' R

s ./

llri

(.48. 4.8\ , l'

-' \.R

-

-

i .,J

o o o o o o o o o o o

o o o o o o o o o o o o o o o a o o o o o o o o o o o o o o o o o o

a

o o o o o o o o o o o

1087 37-3 Rcfncclón

cn supcrflclcr

c¡fé¡lcat

FIGURA B2-2 Constn¡cción gcornétrica por¿ dcducir la ccuación (37-8) para ruu sr¡nrñcic rcfractora c.sfórica.

EliminandoIa longitudde arco.,{8, n2 -

,tl

,{ que es la ecuación(37-8).

Relación cntrc Ia distancia al objeto y la distancia ala imagcn La relaciónentrelasppsicionesdeun objetoy unaimagen,paraunasuperficieúnica derefracción,cóncava,sededuceenel tecuadro"Deduccióndelasecuaciones (37-2) y (37-8)".Allf se llegaal resultado Pa¡a una superficie de refracción:

17t -T

,s

nz ;D

,12 -

nl

(37 8)

Estaecuación es análoga ala (37-2), válida para el caso del espejo.Para deducirla, hemossupuestoque la superficie era convexa; esto es, que el centro de curvaturade la superficieestádel lado hacia el cual pasala luz. Supongamosque estocoffesponde a un valor positivo de R, al igual que para el espejocóncavo. Además,s fue positiva desdeel principio. Si i es positiva o negativa, según la ecuación (37-8), es asunto numérico; ambos signos se penniten. Cuando i es positiva, está del lado de la superficiehacia el cual pasala luz, y la imagen es real, lo que quiere decir que la luz pasapor ella. Cuando i es negativa, queda del lado desde el cual llega la luz, y la imagenes virtual, lo que quiere decir que la luz sólo parece irradiar de la imagen cuandose la observa desde el medio 2. Podemos demostra¡ que el resultado no dependede hacer eue rt2 > n¡ (véaseproblema l5), aunqueun dibujo geométrico sf podnadependetde ello. Podemosrepetit esteejercicio con una superficie esféricacóncavaentre los dos nedios (véaseproblema 16). En estecaso,el cent¡o de la superficie esféricaestádel ladode la fuente luminosa.El resultadoimpo(ante es que /a ecuación(37-8) continúa s:erio t'álida, pero con valor negativo para R. Del mismo rnodo que cuando la :ra?en esrádel lado hacia el cual pasa la luz, i es positivo y la imagen es real, R es :osi::r'a cuando eslá de ese lado. Cuando la imagen estádel lado de donde viene la i':2,i esnegativa y la imagen es virtual. Igualmente,R es negativa cuandoestáde ese ;dc. \'éase el resumende las convencionesde signo en la tabla 37-1. \o veremos el aumento pata rüia sola superficie de refracción. Es de mucho ru¡'ar irnportancia práctica para el caso de una lente, que tiene dos superficies,y en l¿sección37J lo deduciremosen forma directa para ese caso.

-

I

1088 Capimlo'37 Fop*l*, apllcaclonc

Signo de la distancia aI otrlcto lcntcr y ru

Flemosestablecidoque una distancianegativaa la imageny \¡n radio de curvatura negativotienenun significado.¿Esposibleque s tengaun valor negativo?A primera vista, esteconceptopareceno tenermucho sentido.Sirrernbargo,es conecto y a la vez útil. Una s positivacorespondea un objetoreal,desdeel cual irradiala luz. Para +,t,los rayos luminosos divergen del objeto al acercarsea ia superficie ciela frontera. I-os valotes negativos de s correspondena los rayos que coilvcrgen al acercafsea la ffontera, de modo que su extrapolación quedaríadel lado hacia el cual pasa la luz. ¿Cómo es posible arreglar esteestadode cosas?Desde luego que no se puede hacer con un objeto real.Pero es posible,si la irnagenproducidapor una superficieactúa como el objeto para una segundasuperficie (figura 37-20a). Los rayos de la fuente se refracta¡iinen anrbasfronteras, la I y la 2. Podernosdescornponetel probletnay determinarprimero el punto imagen, /¡, producido por la frontera 1 (figura 37-2)bi. En realidad, la luz nunca fonla el punto irnagen .f1,oorque in"'etvienela frontera 2. Sin embargo,la itnagcnss transformacn el objcto virtual parala luz quc,se refracta en la frontera2 (figura 37-20c),De acue¡tjocon nucsiraconvcnciólr,la distarrciaa la fuente,,s2, esnegativa,porquelos rayoscon\.ergenhaciaia frontera2, y el objeio está en el lado opuestode la fro¡:te¡3respectoai lugar de donde procedela luz. La luz viene del lado izquierdode la frontcra2, pero el objeto virtual estádel lado derecho, La ecuación(37-8) es r'álid.apara la refracciónen la frontera2, con distancias2al objeto,negatil'a.[.as trayectoriasrealesde los rayosluminososque atraviesanambas fronterasse muestranen la fiEura 37-:Cii.

(r)

(b)

,iir

ijl t: ,:l

/.t \ \u/

i l;,,:.

o o o o a o o o o o o o o o o o o o o

-_E_.

(t)

O O

O

A H

FIcuRA 37-20 (a) Formacióncto imágcnes crrandointcn icncn dos su¡rcrficics de refracción. Para simplificar, ft) ¡rcdcmos dcscomponcr cl proble¡na ubicando primcro cl purito imagcn I,, para la frontcra 1. (c) La imagcn rasrrltantcsirvc como objcto vilual; u-sarnos cl prrtto objct"-O b0o.

I Iidrógcno

/

fi-tt -9

-il -t2 - t3 - .- - *- ,| = l

campo magnético, cadanivel con dctcrmi¡¡,aria F¡GURA 42-g Espcct¡o dc u¡r átomo dc lúdrógcno, rcsultado d¿ la mccúúca cuántica. E¡r auscrrciadc tm / consistc,cn rcalidad, cn 2/ + I est¡dos.

123¿t

L

Capitulo 42 Cua¡llzacióil di momcnto angular y cnc4gia

v¡lorés

dc

'l

+

0= 0

II

C onti rl r¡o

^l ul . I - l L'l a

-3 -4

' -5 ? -.0 'rti-

Hidrógeno

/

H -n -9 -t0 -|l

-12 - 13

rr= |

- l ¿.

FIGURA 42-10 Algruas trarr-sicioncs¡rosiblesdo cloctroncs cn la rcprascntaciónrnccárücocúárl(ic¿dc trn átcnp dc hit:n5gc:::

moyimiento continúan siendo v¿ilidasen.lamec¿inicacuántica.Lo mi'rno es cierto de la conservacióndelmomento angula¡en ausenciaCepaiesertexrcs. Esto afectaal estaCo en el cual puede terminar un electrón,cuandoefeciia i:n sai:c enitiendo un fotón. l¿ radiación electromagnéticatransportael momen:o ang'.¡lai,]'para un tbtó;r, el riloniento angular es la'a -.ñ. AsÍ, los momentos a::gula¡es inicial y frral de los estadosdel elect¡ón deben diferi¡ en una unidad de i. Algu.ras de fas t¡-"¡siciones posibies se muest¡an.e¡r la figura 42-lO. Todc los resultados que se describen aquí tienen una concordancia ext¡emadamentebuena con los experimentos.

Corfi¡ruo

espectnies EJEMP LO 42 - 4 l-a seriede Balnteresun conjun:c i¿ i:.:^.eas que conesponden a transicionesatómicas del hidrógenot que terminan con un número cuántico principal n 2. Haga un esquemadelas t¡ansicionespermitidas que conduzcana estaserie, y.calcule las longitudes 2), se necesitabautl nuevo ingrediente.Propusoel principio de exclusión, según el cual, cada estadocuántico puede acoinodar sólo a dos ele'ctrones,uno en el estado "arriba" y el otro en el estado "abaio ". (figura

42-15). Examinemosqué sucedecuandocómenzafnosa llenar niveles de enetgíasiguiendo el pdncipio de exclusión(figura 42- 16).El helio, Z - 2, tiene dos electrones;atnbos pueden entrar en el estadon : I, f = 0. No hay lugar para otro electrón'enel estado mfnimo. Se dice'qúe el helio forina una capa cerrada. A continuación, veamos al litio, Z'= 3. Dos electronescaben en el estadon = I, I = 0, y el tercer electrón debe ir al siguienteestadode etrergfa mínima, para el cual n : 2, / * O. El tercer e'lect¡ón

o o o a o o o o o o o o o o o o o o O

o o o o o o o o o o o o o O

o o o o o o o o o a o o

1)142-3 EI apl¡r, cl prlnclplo dc cxch$ió!yla cctructura dc los átooo

I

r, I

Z= | ( H)

¡r=2. i =

I

Z = 4 (lJc)

z =1 ( L i )

Z= 2( He)

t *'t,J

'r=2 . e= 0

-rr-

r= l . e= 0

-rrr-

I fl

Z = 7 (N )

----4t-

-;-r-

-*JfZ- 9 (l:)

Z= ll( O \

Z = l 0 (N c)

¡,

t

¡= 3.1 =0

J*r--f-uLrrt n= 2. l=0

-f-r_

*,

Z= ll( Na)

-t-¡-+:-F+T

-:+l ' -t-¡-l;-Lr

Z = 1 5(P)

IM il ,' '' 11; .,Ll -' f il f -L;-l-r-Lr ,, a,

l,

1,

' ? ;l ' 1

- t s F- - - !

-bl-l-l-F

Z = lll (Ar)

Z = 20 (Ca)

estámásalejadodel núcleoque los otrosdos (tecuérdese que r ccnr), y que la carga positiva+3e de ese núcleo quedaalgo oculta por la carganegativade los dos electrones en la órbita n - 1, Cotnotesultadode ello, el te¡cerelectrónestáligado conmenosfirmezaal núcleo,y por consiguiente puedepasarcon másfacilidada la órbitadeun átomocercano.Porconsiguiente, un átomode litio puedeenlazarse con otroátomopatafonnar una molécula,y, al igual que otrosátomosque tienenun electrón fuerade unacapacerrada,esmuy activoqufmicamente. Parael berilio,Z - 4, denuevollenamosuna capa,la n - 2, /' 0,y esperamos queel berilio seamenosactivoque el litio. Estotesultasercierto.Pa¡aZ : 5 a Z = l0, sellenansucesivamente los nivelesn - 2, I : 1. El elementoZ- lO esel neón, quecomesponde a otra capaprincipal cerrada,la capan - 2; esun gasinefte,de una clase'deelementosnotablespor su inactividadqufmica.El flúor, Z - 9, tieneun eiectrónde menosrespectoa la capacompleta.Lós elementoscomo el flúor, que :enenun agr4eroo huecoenunacapa,feaccionanconintensidadespecialconátomos :omoel litio, que tienenun electrónfuerade una capallena.El flúot tieneel valor nlnimo de Z deloshalógenos,átomosconun sólo agujeroen su capa,de igualmodo ;ueel litio tiene el valor mfnimo Z delos metalesalcalinos,con átomoscon un ¿lect¡ón fuerade una capacompleta. El cuadroque hemosbosquejadoes muy cualitativo,y se necesitamuchamás qulmicasde los átomos. ;-lormaciónpara explicarpor cornpletolas propiedades Sastedecir que los detalles de la tabla periódica se pueden comprender,lanto ;¿itativa comocuantitativamente, conunadescripciónmecánicocuántica.El lectrcr iie notarquela existenciadenivelesdisctetosde energfa,spin, y el principio de

FIGURA 42-16 Ev¡ucma dc ocupación dc nivcles dc cncrgia por clcctroncs, para clcmcntos dc Z - | a Z - 20. Las palicioncs dc los nivclcs no cst¿ina ascala.

t

r23e C:pinrlo 42 Cuart¡"iclór de falorcs momcnto angular ycncryía

&

exclusión son'fenómenostotaknentemec¿inicoóuánticos.No hay indicio clásico de su existencia EJ EM P Lo 4 2 - 5 UnátomotieneZ= 3Telectro¡res. ¿Cuálessonlosvalores de n y para el electrón ligado con menos intensidad? SOLUCION:Procederemoshaciendo una lista dc los niveles posibles para valores crecientesde n y / , empleandola tegia qu", pu* detenninaáan, r. puedeasumir valores solo hasta lt - 1, para despuescontar los elecholresque llenan cadauno de los niveles. Núntcro de electroncs I

2 ) J

0 0 1 0 1 a

A a A

r+

0 1 2

¿ 2 2 6 10 2 ó l0

Total acumulado de elcclrones

2 Á 10 12 t8 28 30 36 46

De estemodo, se esperaque el 37selectrónquedeen la capa rt: 4, [ - 2.

los En el ejemplo42-5aplicamosreglassencillasde conteoparadeterminar númeroscuánticosdel electrónexternode un átomocon determinadonúrnerode electrones. Al aumentar z,eslasreglassencillasfallan,porqueentranetracciónnuevos de a unatendencia efectos. Porejemplo,la dinámicadelmovimientoorbitalconduce un electróna alinearzu spincon o contrael momentoangularorbital.Entonceshayun dcl spiny del ¡notnelrtoangulat : términoen la energÍaquedepcndedel alinearniento orbital,que se llama términospin-órbita.Estosefectospuedenoriginarpequeñas respecto.a'nuesfras diferencüsen el ordendellenadode losniveles;lasdesviacioned reglassencillascomienza¡cuan-doZ = 19. , , ''i ' ¿obcdccen todas las partículas al principio dc exclusión? :; de ffsica,nucleat han Los electronestienenun spin igual a lt12.Los experimentos queprotonesy neutronestambiéntienenspin igual a hl/,y,dp acuerdo demost¡ado conun teoremamuy general , todaslasparticulascuyasspiyessqanh12,3hlzt5lil2, semientero al principio de exclusión.A laspartlcul4squetienen:spin . . . , obedecen se les llarna ferrniones,en honor deEnrico Fermi. Esto tiene.unaconsecuencia y importantesobrela est¡uctura'delos trúcfeos,que estátrformadospot Protones y con los experhlrentos, los.núcleos tienen neutrones.De acuerdocon lo esperado, una estrucfuraen capasanálogaa la de los electronesatómicos.En los núcleos,.la energfapotenqialpromedioesel resultadode |a atracciónm¡¡tuade todoslos protones Esafuerzaqstal, quetodoslosnivelesde energia, y neutronesporunafuerza..nuclear. tiendenaestarigualmenteespaciados. . Pauli demostróque Hay partlculasqueno obedecenal principiode exclusión.. aquellaspartfculascuyospin inttlnsecotienela forry¿s/i, siendos:,0,. li 2,. . ..,se compor@nenfotma distintade lasquetienenspinli12.A diferenciade los fermiones, queno puedencompartirel mismo estadocu¿inticoer\tresf, de hecho,las partículas "prefiere.n'l.tenet el mismo egtado.las partJculas,deesta clase,cuyo spin es un múltiploeqtero de li,.sellaman bosones,eq honor de SatyendraNath Bose.El fotón esun eje¡nplodebosón;tieneun¡nomentoangularintrínsecoiguala h. Loslorc,::s al igual quetodapart{culacgnspin entero,nuestrailunapreferenciapcre c: r.?re' f' I

1"

+

És

_

;f;*_

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o O O

o o o o o o o o o _o_ o o

garse en el misnto estado cuántico. Verentosalgunas consecuenciasf{sicasde esta congregación,cuando estudiemoslos ldseresy el aHc lQuido.

42-4 t¿. EsTRUcTURA Y Los ESTADosDE ENERGIA DE I1IS MOLECUIAS I-a formación dc las moléculas Las moléculasson combin¡ciones de dos o más ¡itotnos.Podclnoscalculorlas propiedades de las moléculas,porqueaunel núcleomásligeroesunas20@ veces másmasivoque un electrón,y por consiguiente, los núcleosen una moléculase muevenmucho tnás lentamenteque sus electrones.Por consiguiente,se puede considerarcomo buena aptoximaciónsuponerque los núcleosestánfijos. Los electtonessemuevencon rapidezalrededorde los núcleos,y, de hecho,creanuna distribuciónde catganegativa,en la cualestánembebidoslos núcleos. de las moléculassimplesse pueden importantes Muchasde las propiedades Veremosln moléculaI'I2, a un ejemplodeterminado. comprender enfocándonos cómoestándispucstos qr.rcconstade dos ótomosde hidrógeno.Paracomprettder y los clcctronesdc los útotnos,paraquelos dosseenlacen los núcleos(protones) y fonnenunamoléculade H2,y paracalcularla energladeenlacedeesamolécula, la energlacomofunción de r, la separaciónentrelos dosnúcleosde estudiaremos hidrógeno. Hay varias contribucionesa esta energía.Primero tenemosa la entrelos núcleos,concargapositiva.Parala tnoléculaH2, repulsiónelectrostática estacontribuciónes U(r) = e2¡4nenr. paracada Tambiéndebemosincluirla atraccióndecadaunodelosdoselectrones Aunqueun cálculoexactonecesitade la núcleo,y la repulsiónelectrón-electrón. mecánicacurintica,podemosdescribiren formacuantitativala sumade esascontride esa bucionesa la ene¡gla,quees la "contribuciónelectrónica",y la dependencia contribuciónde r. Cuandor esgrande,la energlaesmfnimacuandoun electrónestá cercade uno de los núcleosde H, y el otro estácercadel otro núcleode H. En otras palabras,parar gmnde,la moléculaH2parececomodosátomosindependientes de el lfmitecuandor *0, Entonces, los dos hidrógeno.Tambiénpodemoscomprender núcleosde H estándirectamenteuno sobre otro, y, por lo que conciemea los pafafinesatómicos,escomoun núcleo electrones, "ven" utl núcleode catga2erque, dehelio.Asl, patar * 0, la moléculaH2 parececomoun ¿itomode helio. Asignemosahoraalgunosvaloresnuméricos,l,a energíadeun átomoaisladode hidrógeno,en estadofr¡ndamental, es - 13,6eV, de modo quea r grande,la contribucióntotal electrónicaes el doble de estevalor, -27.6 eY. Parar pequeña,la contribuciónelect¡ónicaes la de un átomode helio.EstaenergÍasepuedecalcular notandoque (a) cadaelectrónve.unnúcleode cargaZe, siendoZ = 2.La enetgía electrón.núcleo es,entonces,-22(1.3.6eV) - -54.4 eV paracadaelectrón,con un total de -108.8 eV. (b) Los dos electronesestánbastantecercanosentre sl, en promedio,aproximadamente a la mitadde un radiode bolrr.En estecasó,la energla asociada conla repulsiónelectrón-electrón esaptoximadamente el doblede 13.6eV, y espositiva.Cuandounimos(a) y (D),la contribuciónelectrónica parar pequeñoes (- 108.8eY) + (27.2eV) : -39 eV. Es una estimación'bastante buena;un'cálculo adecuado, mecánicocuántico,de.la energlade enlacedel helio, asl'como los experimentos, indicanquela energlade enlacedel helioes -78.5 eV.' Paraestima¡ la contribuciónelectrónica.comofunción de r, irazamosuna iÍ¡eauniformeent¡eel resultadopa¡ar pequeña(-78.5 eV) y el resultadoparar granie(-27.6 eV). La figura42-17muesttael términode repulsióninternuclear, e2;1;*r: ia contribuciónelectrónica y la sumade esosdostérminos.Estasunta

123i la cstru k Expresesuresultado en términosde L - nh y compárelocon la frecuenciaclásica, .f¿ - llT, siendoT el periodocalculadoen el problema12. Demuestreque las dos tan sólo seránigualespara,t - l, de modo que el requisitoque los resultadosde la mecánic.r cuánticacoincidanconlos de la mecánicaclásica,paravalores de Bofu) muy grandesde n (el principiode conespondencia

1249

quieredeci¡quesólosepermitentransiciones concambiosde ,' , n con valoresAn - 1. 16. (In) (a) Expresela potencia(P irradiadapcii un ^ElAt) electrónqueacelera(véaseproblema 13)en té¡minosde I - ntt.La energfase irradiaráen formade un fotónde energla á/, siendo/ la frecuenciaque concspondea une transición A¡ - 1. ft) Calcule,Ar- LEIP, en términosde n.-Conesta fórmula,calcule-unvalor numéricode Ar cuandon - 1, Este i¡tervalo de tiemposepuedeconsiderarcor.nola constantede tiempoparaque el estadon - 2 del átomode hidrógenopase al estadon - I (fundamcntal):(c) Comparesü constantede tiempoconel periodode un electrónen la órbitan = 2. Según su comparación, ¿podrlausteddecirquela órbitan = 2 escasi estable?(d) Grossomodo,Af esel mayortiempoquetieneusted disponibleparamedir la energladel estado¡ - 2. Con la relaciónde incertidumbretiempo-energfa, estimela dispersión de energfasdel estadon = 2,y compá¡elacon la energÍa de transición,E, - Er. 42-2

La teoríacuánticadel ñomento angulary el espectro verdaderodel hidrógeno

L7, (II) Se debehaceruna correccióna las fónrulas para los ¡úvelesde energfaclclos átomosscmejantes al del hidrógeno: lasórbitaselectrónicas en tomo al centrodemasadelsistema electrón-protón, más que en torno at protónmismo.A esta co¡rección se le llama efecto de la masa reducidn, y es pequeño,porqueelprotón,demasarl¡presmuchomás.masivo queel electrón,de masam..Fl respltadoesquelosnivelesde energladel hidrógenopedebencorregirparaquedar

21. (I) ¿Cuál es el elementomás ligero con un sólo electrón en el | nivel r¡ - 2? 22. (ll) En los electrones de varios átomos, la ordenación de nivelet no coincide con la de los átomos semejantesal hidrógeno. Ein un átonio ile varios ele'ctrones, que sea particularrhenteestable,los siguientesestadosestántotal= / =0 , 1 ; n - 3 , [ m e n t e O c u p a d o s : n = l , t - O ; n =2 , ( *A , 1 , 2 ; n - 6 , I 0,1,2;n-4, 1 , 2 , 3 ; n =5 , { -0 ,1 , -0, ¿Cuál es el valor Z parh este átomo? 23. (ID Un átomo con Z = 10 tiene una ca'pacerrada;otro con Z = I I (el sodio) se p'uedeconsiderarcomo un "núcleo" con una carga neta de +¿ y un electrón eh el exte¡ior. En términos de estarepresentaciónsimplista, iCuál esperarfausteclque fuera la energfade ionización del soclio?(sugerencia: ¿quéniveles estánllenosen el "núcleo"?) 21. 0I) Cuando un electrón, en un estadoatómico caracterizado por los números cuánticos (n,/), se coloca en un campo magnético, entonceslos (21 t- l) estadosposibles ya no ticnen la misma energfa,E r.El campo magnético divide losnívelcs degencrados, dc tal nodo que los'.nívelesde energía t i c n e n l o s t , a l o r c s D , t *x / l l , E,,.,_F r t

Propiedades electromagnóticas

dc los su¡rcrconductof€s

La propiedad más sorprendentede los superconductoreses que, por abajo de I su ¡esistividad es cero. Este fenómeno se explica por la coherencia en estado de supercunductividad.En un metal normal, cuarrdouna corriente se i¡icia y no hay diferenciade potencial que la mantenga,los electronesse dispersanen la red y ceden su ene¡gfa.La energfaaparececomo caleniamientoóhmico, y la coniente decaecon rapidez.Sin embargo, en un superconductor,un gmn número de paresde electrones

' ): hcchc, cl ala¡e^ilnicnto sc prcscntasólo dcbido.a la prc.scnciadc otrm parcscn cl ¡nismo cstado.Esto :¡ ¿ la c;:::s:ón estimulada de fotone^s,quc se llcva a cabo cn un láscr.

s -j.:

t26 Capituio € Efcascr¡ántkoc grands sis¡cos dc fmioncs ybosoos

cn

Matcrial supcrconductor ¡IGURA 43-12 Lírnas dc campo mngnitico cxpulsadas¡rcr un urillo dc un nratcrial qw cfcctúa rnla Iransición al cstado sulucondr¡ctor, crnndo la tcrn[rcratr¡rabaja rlc la critica, [. El flrrjo qrrc (Glv{llNlV' Calcule Ir*i"nv (c) l: csiicllr se aplastaráhasta que las clos presionesse anulen,cu::.io l:nqa L¡nradio Py. Calcule R7 ett ténninosde tn,, ni¡i,\'.Y.(C)EvaiúcR, parauna estrellaque tenSaunamasa pequelio. solar.El resuii¡cioserásorprendentetnente

' o ' t' TilT, T¿,llamadatemperaturade Debye,es en la cual L TD' h!,úJk, (a) Dcmuestrcque' en el lfmite, cuando?" >> ?r, la energfadel sólido es la expresiónclásica 3,\'ft7. O) Demuestrequeen et llmite, cuandoT >kT,el factor exponencial dotnina eu ei denominador,y obtenernosla aptoxirnación €

EJ EMPL O 4 4 - L Supongaquelos electronesdel cobreobedecenladistribuciótr de Fermi-Dirac. La energfade Fenni en ei cobre es Er. * 7.04 eV. (a) La vclocidad de Fermi, u¡r,es la de un electrón que se mueve con energfacinética igual a E¡,. ¿Cuánto vale u¡ para el cobre? (b) a partir de la distribución de Fermi-Dirac , f (Ei =| , ¿Cuál es el valor de a una ternperaturade 300 K -f(D paraun electrón cuya velocidad sea 1% mayor que u¡? (c) Estirnela temperatura a la cual la probabilidadf(E) sea 10-10 cuando E sea 1.2 eV mayor que E¡.

I

,,

J l¡.

Er Encrgia

tr'IGURA 44-1 Dist¡ibución de Fcrmi-Dirac,/(Q, quc dcscribc la probabilidad dc cncontrar un fcrmiór¡. dc ul conjunto idóntico, conuna cnergía E. I-a distribución sc'muostrapara trcs tcmpcratu¡assuccsivamcntcnuis gnrdcs, T - 0,'t\y Tt.

SOLUCION:(a) Supondremosque los electronesson no relativistas,de modo que E ¡ ; = lm " u ? ' ,o s e a

[1f,ffi

1.57x l0um/s. t)F: -t' l--" : l#: 0.9llxl0 {1t.. V ^ts (b) Cuandola velocidadde un electrónaumenta1%,la energía,proporcionalal 2%. Entonces,E l cuadradode la velocidad, aumentaaproximadamente (1.02)(7 .O4eV) = 7.18 eV. SiendokT : 2.6 x 10-2eV cuandoT: 300K, (E EilkT = 5.4 y,.porlo tanto

f (E )1 lt-=r a

O

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o

( E) = s - ( E- E r ) t k 7 '

(44-3) Esta ecuacióntiene la fonna de la distribuciónde Maxwell-Boltzmarrrr que describirnos en el capltulo 19, de modo que tenemosalgo comouna distribución clásicacuandola diferenciade energfas,E - Er es grandeen comparaciónde &T, ambiente, f = 300 ¿Cuálesun valornormaldekT?Esútil recordarquea tetnperatura K, estocoffesponde a Il4OeY.2 "f

I I

- 4.6x to- 3.

(c) Igualanrosf(D a 1O-r0ydespejamosa&2,dadoqueE- Er= L.zeV. Cuatrdo = l0-r0, el término exponencialdel denominadordef(D en la ecuación f(E) (44-2) es mucho tnayor que 1. Asf , (E) = u-@- Eñtkrs 10-to, "f y -(1.2 eY)lkT: ln(lO-to)= - 10ln(10) = -23. Entonces,tT= (1.2 ev)123= 0.052 eV. Es el doble del valor de kT a f = 300 K [véasela parte (b)] y, por lo tanto, el estimado que deseamoses 6@ K.

¿-- Banda dc conducción El

Er EL

Semiconductofes,

electrones y huccos

Pa-'a aplicar nuestras ideas acerca de las üemperaturasfinitas en serniconductores, :ebe:ros reconsiderarel papel de la banda prohibida de cnergfa, Supongarnosque la s::::;¡a de bandases la deunsemiconductor; estoes,cuarrdoT- 0, labandade valencia ='¿ --e:a, la de conducción eslávacla, y la bandaprohibida de energías6 Ec = E, - E, .-¿-.':..¿:neniepequena. Eoesla energiaen la banda prohibida, E, es la energlarniixima ¿e ':- :¿;:ia de valencia (e\ borde de la banda de valencia) y E es la energla mínima de i b,¿-..."ie condurción (el borde de ln baüa de conducciótt) (figura 44-2),

: ¡ t : " i = ]il

K,if

= ( i.3 8 * i0 - ? 3]/KX3 OOKy( 1.6* l o-l eJ/eV ) =2.6x l 0-2cV = t/40cV .

Scmicond¡rctor inlrir¡scco 0¡ o la

Banda do vnlcncia FIGURA,I4-2 l¡ cst¡uch¡radc ba¡das dc r:n scmiconductor intrirscco cs la dc u¡¡a banda ilena dc valcncia, una banda prohibida relaüvarrrcntc arigosta, y, cn T - 0, r¡¡n banda dc conducción vacía.Lc puntos llonos &prcsontan clcctroncs,y lc circulos reprascntanhuccos.Cuando I - 0, no lray clcctroncs en la banda dt, conducción, ni huecos cn la ba¡r,la dc valcncia.

T 27g

J

1280 C¡pau¡o 4{ IageaJcrb

orántlce

Pa¡a deüerminaf"qué sucedecualldo Zno es cero, debernosaclarar lo que quie;e decir la energlade Fermi pata este,caso.Si nos imaginanrosque la energíaCeFcnni es aquella affiba de.la cual no hay electrones,a tempefatura cefo, entonces,todo valot de la energla dentro de la banda prohibida podria sewir. Esto es importante, porque debemos encontra-rnna distribucién,có?recta de las energías del electrón, análoga a la ecuación (44-Z),y esaecuacióntiene la energfade Fermi. Nuestro procedirrrierrio es el siguiente:emplearemosla ecuación(44-2),pero colr una cantirjadclescorrccrda, p, en lugar de la energlade Fermi:

f(E):*i¡,*

(44-4)

I-a cantidad ¡r es, de hecho,utra variabie tennodinámica,el potencial quíntico, pero no nos deben preocupar las propiedadesdelalladas de esa variable, que solr corrsecuenciasde las leyes de la termodin¡ímica.Por el tnonrento,desconocemosa ptpero determinaretnoJsu valor pafiendo de una condición de conservaciónde carga. En Io quc sigue, nos apegaremos a la práctica establccida en la ingenieria d.eserniconductores,usandoEp en lugar de ¡.r.Cuando el lector vea fórmulas para semicondüctores con el parámetro E¡, tenga eu cuenta que no es la energia de Fenni en el seutido en que la hemos definido al principio. Cuando T t^0, algunoselectronespasana la banda de conducción,y la bandade valencia se vacfa, simult¿ineamente,de electro¡res(figura 44-3). A teurperatuta ambiente, Es >> kT (aproximadamenteI cV >>al eV). Entonces, podemos estimar muy toscamente que el número relativo de electrotrescapacesde saltar la banda p ro h i b i d a e n ,d i g a m os,el si l i ci o,parael cual fo-l eV , cse-Ii rtkr= ¿-25:10-1l .Asl, sólo es una pequeña fracción de los electrones la que podrá alcanzat la banda de conducción. I-a misma deducción serfa válida si, en lugar de Eo,hubiéramos empleado la cantidad menor E" - E¡, siemp¡e que esa difetencia tro fuera del nristno orden de magnitud que 89, como veremos que sf es, en fonna caracterlstica.Tendríamos asf un caso en el cual es válida una distribución de energía de la misma forma que la ecuación (44-3), aunque todavfa debemos detenninar E;', Cotno la filtrción cle la ecuación(44-3) decrecetan rápidamentea medida que aur¡rentala energia,el núrnero de elect¡ones por unidad de volumen (la densidad nurnérica n) en la baucla de conducción se aproxima bien si eambiatnosa E en la ecuación 44-3) y ponelros ell su lugar la energíamlnima en la banda de conducción, E"-:

Despu& veremos la constantede proporcional:o¡.i. .\:.. Lcs eieciro:.ese;: lc benda de conducciónson libres de moversecua:idose apiicau;-.ca:',!-r eie:tiico. Lc,sque tienenmovimientolibre se llamanporta¿ores¡¡ \,'icuieie iecl:::ee:iivo). I.os elect¡onesque'ascienden- térmicarne¡te )' ei:ia a la i:e-i:dade cc;il:cción

n'"'*'' I

IIGURA 44-3 L,c clcctro¡rosócrcanc a la p,afc zupcriordc la bandadc rdancia puc&n sslt¡r la bahdahrohibidaonun sc¡nicondtrctor,a tcmpcratura finit¡. l¡ distibt¡cion dc Formi'Di¡ac dcscribcla probabilidaddo quc un ctccu,cntcagaIa cncrgia:suficidhtcparápasara Ia ba¡¡d¡docortducción:Por odr clcctrónguosoprcdc prsar, qucdaun huccocn l¡ ba¡¡dadc valcrrcia.

R¡nción de distribucióridc Fenni

Nivcle.sdc cncrgra

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o

o o o o o o o o o I o o o

o o o o o o o O

o o o O

o o o o o o o o o o o o o o O

o o o o o o o o a o o o o o o o o o o

ce,'anlu-eatesvacantesen la banda de valencia.Ascienden sólo los elec&onescuyas e:.':;gias seancercanasa Eu,y entonceslos huecoso lugaresvacantesestán e¡r esas L':rrrgtas.¡\ esos lugaresvacalltesse les llama agujeros, o huecos,elr el .estudiode .:-. capasatórnicasy nucleares.Los huecos se propagancuandouno se llena con un :-:::lón, lo cual a su vez deja un hueco en la posición original del electrón,el cual a sr '.'ez se iiena con un electrón, y asf sucesivamente. Si hay un campo eléctrico que se :irige a +.r, entonceslos electronespasaránhacia la dirección --r y, por lo Lanto, :, i.:eco se moverá hacia la dirección +¡, originandomás corriente.Una analogfa que a;'-uCa a visualizar es la de una burbuja de aire que asciendeen un fanquede agua.La "..:cante" en ei agua, que es la butbuja de aire, se fepone constanternentecon agua c;e va hacia abajo pof la fuerza de gravedad;esa agun deja su propia vacnnte,y asf se :i.ruevecolltinualllentehacia aniba. Por consiguiente,el hueco se comporta como i;la partículacon cargapositiva, lo cr¡alexpiics por qué s utr hueco se le llama, como aiiernativa,portador p (p de positivo). La probabilidndde encontrarun hueco con eirergÍaE se puede detenninar mediantela distribución de Fermi-Dirac. Si /(E) es la prcbabilidad de encontrarun electtón con energlaE, entonces,la probabilidad de no encontrarloes

I -/(E):

I-

1287 4á-1

Scmkon0, pas¿ndoa l¡ banda dc cond¡cóión. (b) En los scmiconductorcstipop, E,, quc sc rcprrscnta por E , ciucda ccrca dc [" Hay nivclcs rclacionadosco¡¡ las impurczas sccptorss quc cstd,nmuy cercanos a E, dc niodo quc, a tcmpcrahras finitas, los clcctroncs dc la banda dc valcncia passn con faciiidad a esosnivclcs, dcjando huccos (rcprcscnlados ¡nr círculos) cn la banda dc valcncia.

1283

128d C.¡pf¡¡¡o +i

lagsa.:rb

orántlca

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o a o o o o o o o o

huecos a niveles en los cuales puedan conducif. La energía cle Fenni se calcula relacionando en forma cotfecta las densidade3de los portadores n y los p, Coi:io ia energla de Fermi desctibe, básicatnentg un punto de partida en la deten¡inaciórr ie cómo aumentan las densidadesde portadores en función de la temperatu;'a,como eu la ecuación (44.3), podemos generalizar que la energfa de Fermi seacerba (aumenta) a E" en los semiconductores tipo n, y se aberc'a(deérece) a E, en los semiconductores tipop. En realidad,si el donador de un semiconductortipo n da la tnáyot partc de los portadores n, como sucede en el caso noffial, enlonces Ia energiá de Fenni estará sobre los niveles de donador, muy cercanaa E ; iguáhnente, ell un senriconductor tipo p que esé suftcientementeimpurificado, la energíade Fermi estarácerca de E,, abajo de los niveles del aceptor. Esos resultados se pueden deducir fonnahnente comenzando con la ecuación (44-8), que se ha deducido a su vez empleando las condiciones especialesde un semicondüctor intrinseco, y sigue siendo válid:r inciependientementede si el semiconductorestá dopado o no. Las consthntesAt y N, "n la ecuación (44-8) se-puedenobtenet sumando el número de electronesen la banda de conducción,y el número de huecosen la banda de valencia, respectivamente:

N -)f'dII)"' -

"c

\ '2 n h '

(nttrk7'\3t2 ""'\ i;i;r r

v

1

)

(44*12)

El siendo nti y nú las masasefectivas Eo tiene ma¡o: número de portadoresn y p,y por consiguiente,mayor conductividad. Los dispositivos cuya conductividad cambia cuando se exponen a la luz, -que son dispositivos fotocottductores-, se emplcan en luces que se enciendenen fonna auto¡náticaen ei cfepúsculo y en la auurora, o para medir la intensidad luminosa, conto en los exposÍmetros de las cáma¡as (figura 44-10). Hay aplicaciotresmás cotnpiicadas, como los diodos emisotesde luz (LED), y los láseresde semiconductor,en los cuales intervienen estructurassemiconductoras.como verefnosen la sección44-2.

FIGUITA 44-10 Ex¡roeimctro,quc usan los fotógrafos para dotcrmiria¡ l0's ajustcs corrcctos dcl diafragnrn dc su cámar¡. Iln cl corazó¡r dcl irstn¡mcnto so c¡lcucntra url matcrial cuya rcspucsta clerctrica dc¡rcndc dc la intcrsidad dc la luz quc recibo.

Las energias de Fermi se igualan a travós de ¡neterieles que esté¡re¡r contacto cléctrico.

44-2 EsTRUcruRAsDE sEMTcoNDUCToREs Al aplicar nuestroconocimientode las distribucionesde energlaen semiconductores, en a las estn¡ctutasde semiconductores,que son combinacionesde semiconductores que pasar principio es el puedan ellos portadores de catga, un entre contactopara que detennina escencialmentetodas las propiedadesimportantes:al igual que la temperatura, el potencial quínrico, esto es, -lo que hemos convenido en llannr Ia energía de Fermi de los scmiconductores-, ticne el mismo valor para un sistcna cn equilibrio. Este hecho es consecuenciade las Ieyes de la termodin¿lmica,perotto necesitarnosdel lenguaje de la tennodinámicapara deducirlas.Sólo necesitanlos apiicar las mismas ideas que enrpleamospara los semiconductoressetrcillos,que fueron, de que en ausenciade potencialesextemos, y en equilibrio termodinámico, no hay flujo neto de carga o de energíaa través de Ia frontera entte dos materiales, Los materiales pueden se¡ del nrismo tipo de semiconductor, dopado en fonna distinta, dos semiconductoresintrLnsecosdistintos, o aun un semiconductory un metal. Demostramosesteimportante resultadoen el recuadro "Por qué la energíade Fermi es constantea trav& de una frontera".

.DEDUCCION Por qué la energia de Fermi es constante a trsvés de una frontera Cuando dos materialesestánen contactode tal nrodo que puedenpasarportadoresclecarga entre ellos, entonces,en equilibrio térmico, sin potencialesextemos, la energla de Fenlli debe ser igual en los dos materiales. Para deducir este principio, notaremos que, en equilibrio témrico, no hay paso neto de encrgla tri de carga a través de la frontera. Representemoslos dos materiales mediante A y B; a las densidadesnuméricas de estados posibles de energía para ocupación de elect¡ones a la energfa E, por n¡(E) Y ¡ta(D, resp€ctivamente.Basta cor¡sidera¡sólo a los electrones,porque el corirportamientode los huecos se puede deduci¡ a partir del comportamiento de los electrones.Las condiciones de falta de paso de energiay falta de paso de carga quieren decir que el flujo de electrones deAaBac u a i q u i e r r . 'r l o ¡ d e f e s i g u a l a l p a s o d e e l e c t r o n e s d e B a A a l . m i s m o .va l o r d e E. Ei flujo de electronesde A a B a la energía.t'es proporcional al número de electrones presentesen z{ multiplicado por el núme¡o de estadosvacfos presentesen B; esto es,a h densidad de los estados ocupados en z{ por la densidad de estados vacfos en B. Pa¡a expresario matemáticamente, necesitamos las densidades de los estados ocupadosy desocupados: densidadde estadosocupados= (densidadde estadosdisponibles)(probabilidadde ocupación)

= n(Df(D, por la distribuciónde Fennien la cual,/(E) esla probabilidadde ocupación,expresada Si empleamos el resultadode quela probabilidaddequeun estado Dirac,ecuación(44-2).

1286

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o O

o o o o o

o o o o o o o o o o o o o o o o

3-i:e \'3cio es igual a luro menos la probabilidad que ese estado esté ocupado, ta¡¡rbién i:;-.::en]os que

128¡' 44-2

Estn¡ctrru

dc mlcond¡¡ctorc

::irsidad de estadosdesocupados= (densidadde estadosdisponibles)(probabilidadde estar

= n(Dll- f(Dl. Aplicalnos esosresultadosa nuestro caso; (i1ujo de elect¡onesde A a B, a ia energiae

cx ln n@)f ., (E )l r,tt,,(E )[ | _ J o @)D ;

(flujo de electronesde B a A, a la energfaE) x[no@)f o@)]{n^(E)[l _f.^(E)]] Igualanrose¡rtresf ias expresio¡resanteriores:

pylElf , Q:I {nn-(EJl| - f u@\} : Vt*Wf B@il | L.W)I I

.fn@) - thLF¿fír@fr: -[¡¡@) - l [ÁJ+h(tfi ; . [ n@ ) : . f n@ ) . Si comparamos ahora esta ecuación con la (44-2), vemos que el único nrodo en que se puede satisfaceres que los parámetrosE¡ en los dos materialesseaniguales.

Le uniónpn Cualido un selniconductor tipo p y uno tipo n se ponen en contacto, se forma una iinión p-n, o empalmep-n. Esa unió¡r tiene interés,porque funciona colno un diodo, conro verelnos a cotrtilruación.Veretnos uniones p-n en las cuaies alnbos semicotrCuctoresestén fabricados irnpurificando el mistno semiconducto¡intn¡seco. Err la figura 44-1 la, hetnos empleadoppf pnpararepreseutarlas densidadesde huecos,y & ti:,y n^ para las densidadesde electronesen los semiconductotestipo p y tipo n, T-.os respectivamente. esquemasestán muy deformados, porque la relación de los portadoresdotninantesa los portadoresde signo contra¡io en cadaIado del empalme E es,nonnallnet'rte, del orden de 10tI; dibujadosa escala,los nivelesde npy p,, serían E indistiguiblesdel eje horizontal.De aquí etr adelantellamaremosa las regionesde los conductorestipo n y tipo p, ei lado n y el lado p, respectivalnente. El lado p tietre un exceso de huecos móviles, y ei /l un exceso de electrones (u) rnóviles,no trecesarialnentecotr la tlrislna densidadnumérica. Se conservala neutralidad eléctricael) el lado p rnediatrtelos ionesnegativosaceptores,inmóviles,en ia red cristalina,y en el lado n por ios ionesdonadorespositivos,inmóviles.Cuandose ponenen contacto dos materiales,los huecosmóviles del lado p tienden a difundirse haciael lado rr,y los electronesmóviles del lado r¡ tiendena difundi¡sehacia el lado ? ,r. Esta rnezcla continúa hasta que alcalrzanel mismo nivel las energlasde Fermi en '6 .¡s dos materiales,medianteel siguientemecanismo:las cargaspasa¡rhastaque la o :::sa neta positiva que queda en el lado n (el derecho)y la carga neta negativa que :..:edaen el ladop (el izquierclo)establecenuncampo eléctricoque detienela difusión :"::¡a -i-i-l1b). El lado n estaráa mayor potencial, I/e, que el lado p. Pero los :.::::::-.estienencatganegativa,de tal modo que Ia energíade los electronesdel ladcr (b) :::::.-.: se red;tceen evo. '' e:::rcs el ernpaLnep-n corrayuda de diagratnasde energía.I,a figura 44-l2a FIGURA 4,f-f I Una urión tiF) p-r: sc ::.-:i::-1 ics r.i" eles de energíade los ser¡riconductores alrtesde potrerseen.contacto. fonrn ¡ronicmlo cn co¡fncto un sc¡¡¡ico¡xh¡ctor ti¡xr rr corrrno ti¡xr¡,. (a) Lrs .: =.-.:::;rsprchibidasson iguales,porqueambossemiconductores est¿infabricados tlctr.iidadus¡ttunóricasdc los ¡rcrtadrrres / :::,3:.*r e^nisino semiconductor intrinseco. Cuando se fonna la unión, las ba¡rdas (p, y p", rcspcctivarncntc)y las dc l.'s conducción se van a distorsionar(figura 44-l2b). El potencial pofadorcs n (rr, y ¡n, rcspectivarnenic)ci.: los sc¡niconductorcstipo p y n. Esas -.:":::::a;.'le :.::::._ i 1-r: .: q;e ,leva a ias energíasde Fermi al tnismo nivel. Según las figuras dersidadcs no estánreprcsentrCrsa cscal¿. (r) Cornclsc tlcscritx cn cl t':xi,,,l:¡ ri:f'.lci:; ---3 .. :;-9. r¿::lrs que estaafinnaciónequivalea la ecunción - 0nLr

- 0p= f,r

€ VO,

dc los portadorcs ltrcc quc sc ¡.:Llm,ic u:.: clifcrcncia dt: ¡rctcncial a u-¡t r:s(lc lir fro¡rtcra.Sc indica la dircccióndci cur:po eléctrico quc rcsulla.

C.:pimlo 4i

Lado rr

l,adop

1286 Ingcoicía

Latlo ¡r

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l ,¡tl o r¡

¡.

sánl¡ca Ij¿ntlado lJartrlarlt; condr¡cció¡l corxlucción

/,F¡GUR{ 4{-t2 (8) Estructura dc rúvclcs dc oncrgia do scmiconcluctorcsti¡xl r¡ y tipop, ailtcs dc conc.tar:c para fornur un¡ unión. (b) Dcspucs dc formnr Ia unión, y dc irabcrsccstablccido cl cquiübrio, los nivclos do cncrgia sc ajwtnn clc tal rr¡anc¡a $rc sc igualan lc nivolcs do Fcrmi dc los dos matorialos. Con cllo so bajan los niveics dc cncrgia dc los clcct¡oncs dcl ladp n, y so olovan los nivclcs do cncrgü clcctr'onicadcl ladop. (Scgln B. G. St¡cctman, Solü State Electronic Dcrices fDis¡rcitivc clcctrónicos dc cstado solido], Itcntico Hall, 1980, p. 14l.)

**--\___ Banda tlt:

Ilancla dc valcncia

v al onc i a

Il l rl hs rl t:cncrgi l i

(l t

en la cual, gi^y Ei, son las energÍasde Fenni clelos senricotrductoresiipo l y tipo p, respectivafnente,antes de poner en colltacto los nrateriales.Despuósde habedos puesto en con[ácto,

(44-14)

E ro- E r,r= eV g,

Hcy une diferenci¡ de potencial generad¡intern¡nrente¡ travésde le frontera en un¡ unión I-r.

en la cual E*l E*son las orillasde la balrdade corrducciónen el semiconcluctor tipo p y tipo n, respectivamente.Esta relacióli es colrsecuenciaclirectade la figura 44-12b. Una ecuaciónsemejantees válida para las orillas de las bandasde valencia. Nótese eue I/e,que se conoce como potctlcial de contacto,no cs un pot,'r)cixl externo. Es una propiedad del empalme mistno. Supongunos que el cambio de potcncial a travéscle la frontera es abnrl)to,y En los lnaterialcsrcflles)el cnmbio no puc(lc scr estudiemoslas consecuencias. abrupto. A la distanciaa travésde la cual se tiene cse car¡rbiosc lc llarnarcg¡ónde transicíón, o región de agotanriet¡ro,como en la figura 44-13. Sir-rernbargo, no üend¡emosen cuenüaa los efectosdebidosa la anchurafinita de la regiórrde transición. I asder¡sidadesde portadores¡t a los dos ladosson,en collsecuelrciade la ecuación(44-5), rr

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Porconsiguiente, t';,

'2:/'. y'¡' n, :(

¡on accptorncgati!e y hucco

Ion donador positivo y clcctrón

FIGURA,I4-t3 El ca¡nbio dc ¡rctcncial cn ruraunión p-n so llcva n cabo a t¡avcs dc una zor¡adc a¡cho finito, quo sc llarna rcgión dc agotamicnlo. Normalmcnto, hay u¡¡ campo olcctrico gcncrado intomamcntc. (Scgin Narciso Garcia y Ailrur C. Damask, Physicslor Cotnputer Sclcttcc Sludents [Física para ostudiantcsdc cicncias], John Wiley & Sors, 1986,p.457.)

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(4.1 r5)

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en las cuales,en el últitno paso,hen'¡osemplcaclola ecuaciótr(44-14).Igualtnetrte, de hr¡ecosen los podemosdemostrárque, en el equilibrio,1arelaciólide densiclades dos lados es P ,¡ _ ,,t,,:Ar ,,

(44,1ó)

el Las relacionesde las ecuaciones(44- l5) y (a-ft) trosayrrdatra collr¡)render mec¿mismoflsico del equilibrio de conientes en las dos direcciolles.Veamos los electrones;ya que el flujo de huecos trabaja de la urisnrafonna. Segúrr'laecuaciórr (44-15), la concentraciónde electronesen el lado p es nrellor que etr el lado /r pof un factot e-'vdkr, pero esos electtonesno tie¡.renbartera de potencial qlre salvar psre pasar al lado n. Hay una gran densidadde electronesdel lado n, peto para pasai al lado p necesitanla energíasuficientepara salvaruna barrerade potencial cuya airura 'e-cvdkr de Nh;t.":ll ES €Vs¡ y sólo habrá un número reducido, debido al factor que energía. De en ll:: .trj íanta este modo, el flujo de eiectrones tenga Boltzmann, direccionesse iguala en el equilibrio. (44-14),cadaunodel osproducl os,p,,n,,y | r¡,pptque,:e:': .. . : S e g ú n l a e c u a c i ón e c u a c i o n e s (4 4 -1 5 )y@ a-16)soni gual esenel equi l i bri o,tarrbi énsoni gual ..' rr , '. : ' Pr llr t

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Equilibrio i P .= 0 )

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o t o t o o o O o O o O o o o o o I o o o o o o o o o o o o o o o o O o o o o o o o

i-k-1

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Pol¿rización dirccta

128y

Polarizacióninvcrsa (V -.V \

(v - v.,)

Rcg ió nd c ngoram;cnto

44-2

Estruclr¡ru

dc rmicon&raorcs

I ..,

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f f i- - F - l -La.¿_-l¿$lgl'

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E (intcmo)

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I'IGURA 44-f 4 (a) En la rurión ¡.r-nsin ¡rcI:rriz,t, cl ¡>otcncialint¡írucco dc con{acto conducc Bl cquilibrio. ft) lin la ¡xrlariz;rciól](lirc€ta,on unn unión p-1, los nivclcsdo r;rtcrgíaciiante entte protones y neutrones es que, a diferencia de los protones, ios :.e j:¡cnes iibres no son eslables,sino que decaencon una vida aproximada-r=890 s. Sin =::.'ialgo, los neutrones no decaen dentro de los núcleos estables;pronto veremos : a: c ue. l-as propiedadesdel núcleo dependende la fuerza que lo mantieneunido, que se Jxna fuerza nuclear, o fuerte. Sabemosque debe existir esafuerza, porque sin ella -a :i:er¿ade Coulomb, de repulsión, harla que se desintegrarael núcleo.

Lr vide se describe en el crpítulo 41.

S.lgo de terminología Recordemos que el número de nucleones en un sólo trúcleo es el número de masa, ..1.cantidadque determina casi totalmentela masa del núcleo; el número de protones es el número atómico,Z;y el número de neutroneses N: A - Z.Un núclido es un i';cleo de un elemento con Z y.4 dados,y se represelrtamediante

2x, en donde X es el sfmbolo qufmico del elemento. Por ejemplo, el núclidol He es un núcleo de helio (Z * 2) con 2 protones y 2 neutrones.El núclido lHe también se presentaen la nafuraleza.Esta terrninologfaes redundante,¡;orqueei sfmbolo qufmico ce por sf ya deüerminaa Z, de modo que normalmente se usa la forma aHem¿íssencilia. El protón esun núcleo de hidrógeno,lH, pero con frecuenciaemplearemosel slmbolo normal, p, ptra el mismo. Como acabamos de ver para el helio, el núcleo de determinadoelemento qufmico tiene un valor de Z determi:rado,pero son posibles varios valores de N. Por ejemplo, el neón tiene tres núclidos estables¡21'{e,2¡ Ne y "N"), y varios inestables.I-os núclidos con el mismo valor de Z se llaman isótopos del elemento dado (véase capftulo 19). El peso atómico de un elemento qufmico en grarnos,- que es la masa de 1 mol del elemento -, en realidad es un promedio de los diversos isótopos naturales del elemento, ponderados de acuerdo con la abundancia relativa de sus isótopos. Masas nucleares y enetgías de enlace Las fnasasde los núcleos son iguales,haslauna exactifud deO.5%,a las masasde los átomos correspondientes, y esas masas se pueden determina¡ con ese nivel de exactitud a través de métodos puramente qufmicos. Sin embargo, la masa de un núcleo, que llamaremos ¡n(i.X) se puede deberminarcon mayor exactitud, quitando de su átomo uno o más electrones, y a continuación manejaado el núcleo con un espectrómetro de masas (véasecapftulo 29). Este espectrómetro puede, por ejemplo, emplear primero campos eléctricos y magnéticos cruzados para determinar la velocidad del ion, que se ha acelerado en oho campo eléct¡ico. El ion pasa por una zona de cunpo magnético fijo; en ella, el radio de curvatuta de su trayectoria determina con exactitud la cantidad demovimiento, Si conoce¡nosla velocidad y la cantidadde movimiento, podemos determinat Ia masa. Con esos i¡strumentos se pueden detetminar las masas de los iones con una gran exactitud: se pueden medir las masas atómic¿scon rttn exactitudtnejot que I parte en 108.El que se obtenganmasasaüomicas I'no nucleates no es desvenüaja,porque, como veremos, las masas de los electrones se a¡ulan en los cálculos. De pasada,hacemos notar que las abundanciasnucleares, que son las cantidades ¡elativas de isótopos que se encuenhafr en la naturaleza, üambién se pueden determirrar mediante la especttometda de masas.l,os átomos ionizados de detenninada muestm natural del eiemento pasan porel espectrómetro. Como sus masasson distintas, cada só'.opo sigue una ttayectoria distinta, y el número telativo de núcleos que siguen detrminada trayectoria es una indicación de su abundancia. Una unidad de masa práctica en flsica atómica y nuclear esla unidad de masa ;:ónúca, (u, o uma), que se define como;de la masa de un átomo l2C. Ese patrón de

Un núcleodedo contieneZ protonesy Nneutronee,h¡ciendo un tot¡l de,4- Z i lf nucleones.

TABL A 45. 1

y rrúcleossepuedenrrreelir masaesútil, porquelasmasasrelativasde ios¿itomos colr AI.GUNAS IYTASAS ATOMICAS granprecisión,auncuandopodamosexprcsa;"la unidaddemasaatómicaconnrucho ¡:,lemeflto Masa atómlca (utna) menosprecisiónen términosdel kilosram,r: 1.007825 lH 1u - 1.66057> . 10-27kg (4s-3) 2.Or4t02 t^¡ 3.0rffi29 Otra r¡nidadpráctica de masa es consecuerrci r de la relación relativista entre masay iHe 4.W26o3 enetgla, que nos permite expresarlas mas;,sr n eV/c2, o MeVic2: iHe 6.015121 (45 -/1\ 7.01ó003 lu=931.4(t4MeVic2. iLt tjts r0.012937 l2l12.000000 También,es cómodoexpresatla energlaetr términosde uc2,por la relaciónde la 6v l4^ (45-4).En unidades demasaatótni r Iu "' Ll

:oa¡"t- 1

+ (2.5x l0-: u)',.

'i r " l l :) -'-,, } 108 J

-

_f

(t.l x lo-2 u\

\

--

I

J2o8 /

:20'7.912u: u) -(209-S2X 1.008665 u) -( 1.7x l0 -'zuX209) M(oepb):(82x 1.007825

* ( r . 8x l0 - 1 u X 2 0 e- )("7 . 5x r 0 - a ",[#f"] r0En algrmoscasos,cl cocficicntccalculado0.?2 delfactorZ2¡All3enla ccuaciórr (45-l4) scrcmplaza ¡c2 concl parimctrocmpiricoa6 - 0.ffi1c'.fs r¡ru difercnciamuy pcqucñacn la cont¡ibucióndo la cnergiaalas la fomracrnpírica. masasdolosnúclcos.En la tabla45-3usarnos

1r

q q

q

ü

q

o ot o

ol

o o o o o o o o O

a o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o

I O

o o o o o o o a o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o a o o o o o o o O o o o o o

- 2(82)l'] + (2.s x ro-2Lr){[209 + o. .t

20e

)

:2 0 8 .9 1 5 u .

t32r 45-3

FncrgÁcn

las ecciorc nrclrc

(b) Para calcular la enetgía de separación de neutrones, fomularnos una ecuaciónsemejantea la (45-8): ^t,(t"oPb):frn,, * M(oBPb) - M(2oePb)lc2 : [.0 0 8 6 6 5 u -r2 0 7 .9 1 2 u - 208.915u]cr : (0,0057).ú(931.494 MeV ltñ

: 5.3 McV.

l,os valores experimentalesde las masas son M(208Pb)- 207.97663 u,y M(aePb) - 208,98107u, y el valor experimeutalde la energíade separaciónde un neutrón es 3,9 MeV. La que calculamos,de 5.3 MeV, a partir de la ecuación semiempftica de la masa,no tiene en cuentalos nrimerosmágicos del rnodelo de capas,para los cualeslos núcleos estánligados especialmentefuerte. El ¡rúclido totPb es un ejernplo de uno "doblementernágico", conZ = 82, N - 126,de modo que debe estar ntuy fuertemente unido. El núclido 2@Pbcede su neutrón con bastantefacilidadparaalcanzarestaconfiguraciónespecial.Por consiguiente,el valor real, 3.9 MeV, es inferior a nuestro valor calculado.

15-3 ENERGTA EN LAs REAccror\iEsNUCLEARES Por reaccionesnucleares,por lo general,se indican los procesosque sucedencuando los núcleos interaccionanmediantecolisiones.Sucedentodaslas posibilidadesde 1os distintos tipos de choques que se describieronen el capítulo 8. Dos núcleos pueden teneruna colisión elásticao diversostipos de colisionesinelásticas.Un núcleo puede absorberenergfa,y decaerdespuesen alguno de varíosmodos, que describiremosen la sección 45-4. La masa puede pasar de un núcleo a otro por intercambio de ::,ucleones. Los núcleos'quechocanpuedencoalescef,--pfoceso que se llama fusión nuclear. El decaimiento de un núcleo único inestablese puede corrsiderarcomo una :eacción nuclear. Como ejemplos tenemosal dccaitniento a, en el cual un núcleo se iescompone en otro núcleo y un núcleo de helio; y Ia fisión nuclear, en la cual los :¡oductos de decaitnientocomprendena dos núcleos de tamaño más o menos igual. En todas esasinteraccionesse aplican las leyes de conservaciónque hemos desamoi,aCoen este libro, incluyendo las de energla,cantidadde movirniento,momento :::'-:la¡ ) ca¡ga. Er e, nivel más sencillo, las colisiones entre núcleos nos permiten medi¡ :-.::j¡ies cinemáticas,como masaso momentos angulares.Para estudia¡ las reac:-:nes ir;:ieares se ha desarrolladouna terminologfa especial para su cinemática. -" ::::--s ::. choquenuclear en el cual los estados,tanto inicial como final, consisten =.-:: s :--:.ecs. ¡eacción que se escribe del siguientetnodo: A+ B -C + D . i,: l: - :: .: ::;sen'ación de la energla,pero como es importante la reiatividad en las ;:.-:¡a::.--,-. ;^;¡i.-¿:es, debemos emplear relaciones relativistas. Para cualquier : -.:,:: : :::---:r:.:. ie masaM, estaenergfatiene la fonna E-K + M c I, :5, .r.r. ::*r -i-':, 3 {,::3ls cnéica del núcleo. El valor de r(depende del ma¡co de refec¿ la energía,E,t * En- Ec + Eo,se aplica en cualquier mar:.r;.,¿, :Éi: ¿ :.:r-;-r"::i-: :: i: : : . - - , : - , : " " i..-.-i .:i :i i :s g u e e l n ú c l e o Be s e l bl ancodel núcl eo,enreposoenel -.i':i entoncesla conservacióndela enerefatiene la forma :::rrc-¡ ::e=:cic. --

- - =.----.*.#s¡iÚ

¡

7322 Capítulo

(Kt + M,tcz) + ]iñ2 4J

Físlc¡

nudqr

= (Xc + Mrrr) * (Kp + Mnc2)

/4
nr.C. Sin embargo, = pc, ;'-:de .sred enrplearla apoximación@ffi.Qn-ñl{f .-:,-):,2.pc en eslecaso.]

masa total deI iiidrógeno foinr:io c-s,rpic:iin':¡d:n:er'.:.:,-i vecesla Cei hclio que se fornró crltonces.

3tl. (III) Bajo condicionesquc se aplicau a nucstro u:ri'.-ersc. ':-. teo¡fa de gravitaciónde Ein-stei¡r relacional¡ drnsiC:¡Cde la materil con,el par:irnetrode l-lubble, con la ecurciór',p = l 3fl2l8nG. (a) El valor actr::l del paránetro de Flubble es H0 = 2 . 5 x 1 g - t as - r . C a t c u l c c l v a i o r a c t u a l c i e l a d e nsi d ¡ d ci c l a ' matcria, po. Suponiendoque la m¡teria está formad¡, casi 16-5 Expansión ilel universo exciusivamente,cie hid;:ógeno,)/ que M,1 = 1.7 x 10-2rkg, . calcule numóricade los átonlosde hidrógeno.(b) la cjensidaci (II) galaxias 46-l4ay de las figuras tienen las alineadas 29. Se Denluesircquc la consen'acióndel núrnerobariórricoimplice de queunhabitante B estarfa delagalaxia 46-14b. Demuestre gr¡c lr clcpcnclcncia cor'¡rcspectoal tiettipocs clelrr clcnsirlacl acuerdoen queesválidala ley de Hubble,perosi la distancia p ( t ) - p , i . nr l l i ( r ) , 1sr i,c r r c l oR , l e r s c a l l l c t u a l c l e..¡

l0 2 l J

jCad -' -:::.-' .¡::::c

I]LI-?.? L'so anual dc rcservas r'i:;S9. porccrrtaie del total)

Uso en EUA ( t ot al- 9 x l 1 te J )

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Usonwndial (to ta l * 4 x Iú o A

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::.:::--léctrico J

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Poder caloiífico de los cornbustiblcs

m-2,3

Cc¡;:b;utible

Poder calorífico (J^g)

pf,n 'ilucosa(CóHr20ó) l:r::era d e p ino b lan co e.:c i.ol nletil ico (CH4O) ::-.::3:lla

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