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FORMULACIÓN DE PROBLEMAS DEPROGRAMACIÓN LINEAL Investigación Operativa I

Problema 1: un inversionista con ayuda de CORFO pretende invertir en el cultivo de palta, pomelo, naranja y mango en el valle de Azapa (Arica), persiguiendo dos objetivos esenciales: 1.- reducir el desempleo rural 2.- aumentar las exportaciones. Se sabe que la producción promedio de cada árbol está dado por: Tipo de árbol Palta Pomelo Mango naranja

Producción (unidades/árbol) 350 230 150 400

Promedio anual (kg/árbol) 150 200 50 150

Observación Una vez al año Una vez al año Una vez al año Una vez al año

El precio promedio en el mercado mundial a precios de 2004 fue de: Palta : 10 ($/kg) Pomelo : 4 ($/kg) Mango : 15 ($/kg) Naranja : 7 ($/kg)

Existe una extensión de 250.000 mt2 de tierra propicia para el cultivo de estos productos. Supóngase que los ingenieros agrónomos han determinado que las siguientes extensiones son necesarias para el cultivo de esos productos. Tipo de árbol Palta Pomelo Mango Naranja

Extensión mínima de cultivo por árbol 4mt2 5 mt2 3 mt2 6 mt2

Afortunadamente, no existen problemas de agua pues hay buenas napas subterráneas (pozos), como de un canal de regadío, que aseguran la existencia de este líquido por los próximos 20 años. El costo total por sembrar cada árbol es: Palta Pomelo Mango Naranja

: 2,0 ($) : 0,5 ($) : 1,0 ($) : 1,5 ($)

Estos costos ya incluyen la compra del árbol más su cuidado y mantenimiento anual inicial. Cada árbol empieza a ser productivo aproximadamente a los tres años de ser plantado. Cada árbol requiere: Palta Pomelo Mango Naranja

: 36 (h-h) de cuidado al año. : 72 (h-h) de cuidado al año. : 50 (h-h) de cuidado al año. : 10 (h-h) de cuidado al año.

El inversionista pretende invertir $20.000.000 pensando en exportar toda su producción a partir del tercer año. El desempleo en el Valle de Azapa se ha calculado en 500 personas y el inversionista y CORFO han delineado que este proyecto cumpla al menos con contratar 200 personas en forma continua (para que CORFO apoye el proyecto). Bajo estas circunstancias cuántos árboles de palta, pomelo, mango y naranja deberán sembrarse con objeto de maximizar el valor de la futura exportación anual.

Desarrollo

1.- resumen de la información entregada (a criterio de cada persona para comprender el problema inicial) 2.- planteamiento matemático del problema:

a.- definición de las variables de decisión sea: Xp : número de árboles de palta a ser plantados Xl : número de árboles de pomelo a ser plantados Xm : número de árboles de mango a ser plantados Xn : número de árboles de naranjo a ser plantados Pi : precio de la fruta (i = p, l, m, n)

b.- planteamientos de las restricciones : 1.- Tierra 4 X p  5 X l  3 X m  6 X n  250.000

2.- Horas hombre

36X p  72X l  50X m 10X n  200*8 * 5 * 52 3.- Capital 2 X p  0,5 X l  X m 1,5 X n  20.000.000

4.- No negatividad

Xi 0

i  p, l , m, n

c.- Función Objetivo VPE = volumen de producción esperado = cantidad promedio por cada árbol por el número de árboles plantados Max Z = 150*10*Xp + 200*4*Xl + 50*15*Xm + 150*7*Xn Max Z  1.500 Xp  800 Xl  750 Xm  1.050 Xn s.a : 4 Xp  5 Xl  3 Xm  6 Xn  250.000 36 Xp  72 Xl  50 Xm  10 Xn  390.000 2 Xp  0,5 Xl  Xm  1,5 Xn  20.000.000 X i  0 i  p, l , m, n y enteras

Problema 2: Una fábrica de bebidas tiene plantas ubicadas en Concepción, Santiago, Antofagasta, Puerto Montt y Arica. La empresa “El Botellón” fabrica botellas de vidrio desechables (subsidiaria) y tiene plantas ubicadas en San Bernardo, Chillán e Iquique. La demanda mensual de botellas desechables se pronostica en: Planta de Bebidas Santiago Concepción Puerto Montt Antofagasta Arica

Demanda Mensual en Botellas 2.000.000 500.000 100.000 400.000 100.000

Las botellas abiertas se retornan a la fundidora de vidrio, en donde se convierten a materia prima y de ahí se mandan a las fábricas de botellas. Así la producción máxima mensual de botellas es: Planta de Bebidas San Bernardo Chillán Iquique

Capacidad Mensual en Botellas 1.500.000 1.000.000 750.000

El costo por miles de botellas desde las plantas de botellas a las plantas de bebidas es: DE \ A Santiago Concepción Puerto Montt Antofagasta Arica

San Bernardo 5 20 25 75 45

Chillán 20 15 2 50 80

Iquique 15 2 10 40 60

Bajo estas condiciones ¿qué programa de distribución mensual de botellas se debería establecer a fin de satisfacer la demanda mensual en las fábricas de bebidas sin exceder la producción mensual y todo al costo mínimo? Desarrollo

Variables de decisión.Xij : cantidad de botellas (en miles) producidas en la planta i (San Bernardo, Chillán e Iquique) y enviadas a la planta embotelladora j (Santiago, Concepción, Puerto Montt, Antofagasta y Arica) en el mes.

Función Objetivo

3

Min

8

 C

ij

* X ij  Z

i 1 j  4

i = 1,2,3 planta de botellas j = 4,5,6,7,8 planta de bebidas Min Z = 5X14 + 20X15 + 25X16 + 75X17 + 45X18 + 20X24 + 15X25 + 2X26 + 50X27 + 80X28 + 15X34 + 2X35 + 10X36 + 40X37 + 60X38

Restricciones: No Negatividad

xij  0

De Demanda X 14



X 24



X 34



2.000

X 15 X 16

 

X 25 X 26

 

X 35 X 36

 

500 100

X 17 X 18

 

X 27 X 28

 

X 37 X 38

 

400 100

De Oferta

X 14  X 15  X 16  X 17  X 18  1.500 X 24  X 25  X 26  X 27  X 28  1.000 X 34  X 35  X 36  X 37  X 38  750

Problema 3: Un barco dispone de tres bodegas para la carga: una proa, una popa y una de centro. La capacidad máxima de bodega es: Bodega Proa Centro Popa

Capacidad en peso (ton) 2.000 3.000 1.500

Máximo en Volumen (pie3) 100.000 135.000 30.000

Las cargas que deben ser transportadas pudiendo ser la cantidad total o parcial, son las siguientes: Mercadería A B C

Carga disponible (ton) 6.000 4.000 2.000

Volumen unitario (pie3/ton) 60 50 25

Utilidad ($/ton) 6.000 8.000 5.000

A fin de asegurar la estabilidad del barco, el peso en cada bodega debe ser proporcional a su capacidad en toneladas. ¿Cómo debe ser distribuida la carga a fin de asegurar una utilidad máxima?

Desarrollo Variables de decisión Xip : cantidad de carga de mercadería i, a ser llevados a proa Xic : cantidad de carga de mercadería i, a ser llevados a centro Xipp: cantidad de carga de mercadería i, a ser llevados a popa i = A, B, C Restricciones:

No Negatividad

X ip , X ic , X ipp  0 De capacidad máxima de bodegas X Ap X Ac

 

X App

 X Bpp

X Bp X Bc

 

X Cp X Cc

 2.000  3.000

 X Cpp  1.500

Del volumen máximo de bodegas 60 X Ap 60 X Ac

 

60 X App

 50 X Bpp

 

25 X Bp 50 X Bc

25 X Cp 25 X Cc

 100.000  135.000

 25 X Cpp 

30.000

De las mercaderías a las bodegas X Ap X Bp

 

X Ac X Bc

 

X App X Bpp

 

6.000 4.000

X Cp



X Cc



X Cpp



2.000

De proporcionalidad a la capacidad

( X Ap  X Bp  X Cp ) 2.000

( X Ac  X Bc  X Cc ) ( X App  X Bpp  X Cpp )   3.000 1.500

Función Objetivo: Max Z = 6000(XAp + XAc + XApp) + 8000(XBp + XBc + XBpp) + 5000(XCp + XCc + XCpp)