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Universidad de Santiago de Chile Facultad de Ingeniería Cálculo 1, Módulo Básico Ingeniería Guillermo Acuña - Cristián Burgos.

Análisis de Funciones, optimización, razón de cambio. I. Análisis de funciones:

Ejercicios Resueltos:

(x + 1)2 1. Analice completamente y graque f (x) = 2 x +1 Solución:

Dada una función f traza su gráca a partir del análisis de monotonía, puntos críticos, concavidad, puntos de inexión, asíntotas, etc.(Ejercicio similar en la página 208 del texto guía) Para esta función Dom(f ) = R el único cero que posee esta función es x = −1, note que esta función es positiva para todo x en su dominio

Indicador de evaluación:

Para las asíntotas: Verticales: no tiene como consecuencia de su dominio Horizontales: analizamos el

(x + 1)2 =1 x→±∞ x2 + 1 lim

, por lo tanto, y=1

es asíntota horizontal. Dado que existe asíntota horizontal... no existe asíntota oblicua. Análisis de la primera derivada: f 0 (x) =

2(x + 1)(x2 + 1) − (x + 1)2 2x (x2 + 1)2 2(1 − x2 ) f (x) = 2 (x + 1)2 0

1

(

Puntos críticos:

x=1 x = −1

Análisis del crecimiento y decrecimiento de la función: f (x) es creciente si: x ∈] − 1, 1[ f (x) es decreciente si x ∈] − ∞, −1[∪]1, ∞[

Análisis de la segunda derivada: −2x(x2 + 1)2 − (1 − x2 )(x2 + 1)4x f (x) = 2 (x2 + 1)4   2 −x − 1 − 2 + 2x2 00 f (x) = 4x (x2 + 1)3 4x(x2 − 3) f 00 (x) = (x2 + 1)3 

00

Puntos de Inexión:f 00 (x) = 0 si y solo si x(x −

√

3)(x +

√

3) = 0, lo cual nos conduce a tres

x=0 √ puntos de inexión: x= 3  √  x=− 3  

Análisis de la curvatura: realizamos el análisis de la segunda derivada f 00 (x) < 0 si 4x(x2 − 3) < 0 (x2 + 1)3

√ √ x ∈ ] − ∞, − 3[∪]0, 3[

f 00 (x) > 0 si 4x(x2 − 3) > 0 (x2 + 1)3 x ∈ ]−

√ √ 3, 0[∪] 3, ∞[

Con toda esta información podemos gracar la función

2



Figure 0.1: Graco de f (x) = 2. Considere la función f (x) = xe−x

(x−1)2 x2 +1

2

a ) Determine dominio, ceros y signo. b ) Determine si posee asíntotas. c ) Determine puntos críticos, analice crecimiento y decrecimiento. d ) Estudie concavidad, determine puntos de inexión. e ) Graque. Solución:

Dada una función f traza su gráca a partir del análisis de monotonía, puntos críticos, concavidad, puntos de inexión, asíntotas, etc.

Indicador de evaluación:

Para la función f (x) = xe−x , se tiene: 2

a ) Dominio:R , ceros: f (x) = 0 si x = 0 , para el signo, notemos que eh(x) > 0 para todo x ∈ Dom(f ) , luego: f (x) > 0 ⇔ x > 0 f (x) < 0 ⇔ x < 0

b ) Para el caso de las asíntotas, vemos que como el dominio es todos los reales, no posee asíntotas verticales. Para las asíntotas horizontales: x 2 x→±∞ ex = 0

l´ım f (x) =

x→±∞

l´ım

De modo que y = 0 es asíntota horizontal. De aquí es posible desprender que f no posee asíntotas oblícuas. 3

c ) Cálculo de f 0 (x) 2

2

f 0 (x) = e−x + x · (−2xe−x ) 2

= e−x (1 − 2x2 )

Para los puntos críticos, se resuelve la ecuación f 0 (x) = 0 , 2

e−x (1 − 2x2 ) = 0 √ √ (1 − x 2)(1 + x 2) = 0  x 1 ⇔ x 2

= − √12 =

√1 2

El signo de la primera derivada, se ve notando que eh(x) > 0 , entonces: √ √ f 0 (x) > 0 ⇔ (1 − x 2)(1 + x 2) > 0   1 1 ⇔ x ∈ −√ , √ 2 2

El intervalo señalado anteriormente corresponde al sitio donde f crece. Además: √ √ f 0 (x) < 0 ⇔ (1 − x 2)(1 + x 2) < 0     1 1 ⇔ x ∈ −∞, − √ ∪ √ , +∞ 2 2

Aquí, f decrece.

d ) Calculando la segunda derivada: 2

2

f 00 (x) = −4xe−x + (1 − 2x2 ) · (−2xe−x ) 2

= −2xe−x (3 − 2x2 )

Para el análisis de punto de inexión, considerando que eh(x) > 0 , se tiene que: √ √ √ √ f 00 (x) = 0 ⇔ x( 3 − x 2)( 3 + x 2) = 0   x =0    1 q ⇔ x2 = − 32  q   x = 3 3 2

4

En el análisis de concavidad, en primer lugar se tiene que para que sea convexa: √ √ √ √ f 00 (x) > 0 ⇔ x( 3 − x 2)( 3 + x 2) < 0

Y para que sea cóncava: √ √ √ √ f 00 (x) < 0 ⇔ x( 3 − x 2)( 3 + x 2) > 0

Realizando un análisis de signo para resolver ambas inecuaciones anteriormente mencionadas, y en virtud del método reducido se encuentra: q q q q 2 2 2 ] − ∞, − 3 [ ] − 3 , 0[ ]0, 3 [ ] 23 , +∞[ √ x √ √2 − x√3 2+x 3 R(x)

− + − +

− + + −

+ + + +

+ − + −

De modo que podemos concluir lo siguiente: La función será convexa(f 00 (x) > 0) si x ∈] − cóncava(f 00 (x) < 0) si x ∈] − ∞, −

q

q

q

2 , 0[∪] 3

q 2 [∪] 23 , +∞[ 3

e ) Para el gráco:

Figura 0.2: Gráco de f (x) = xe−x Ejercicios Propuestos:

5

2

2 , +∞[ 3

, por otro lado, f será

1. Considere la función f (x) =

(x + 1)3 (x − 1)2

a ) Analice su dominio, ceros, signo y asíntotas. b ) Encuentre la primera derivada, encuentre puntos críticos y monotonia. c ) Encuentre la segunda derivada, sus puntos de inexión, su curvatura y graque. 2. Sea f (x) = xe−x

a ) Determine su dominio, ceros y signo b ) Analice la existencia de asíntotas horizontales y verticales c ) Analice la existencia de puntos críticos y estudie su crecimiento d ) Analice la existencia de puntos de inexión y estudie concavidad e ) Graque 3. Dada f (x) = ln



x2 − 4 9 − x2



a ) Determine su dominio, ceros y signo b ) Analice la existencia de asíntotas horizontales y verticales c ) Analice la existencia de puntos críticos y estudie su crecimiento d ) Analice la existencia de puntos de inexión y estudie concavidad e ) Graque 4. Sea f una función contínua con segunda derivada contínua en R tal que f (x) > 0 y f 0 (x) = −x·f (x) , ∀x ∈ R . Encontrar:

a ) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. b ) Intvalos de concavidad y convexidad c ) Puntos de Inexión II. Optimización

Ejercicios Resueltos.

6

1. Se dispone de un alambre con el cual se desea formar un trapecio isósceles, con tres lados iguales a a y la base más grande de largo x de modo de maximizar el área. Determine el valor de x que cumple con esta condición extremal. Justique su respuesta. Solución:

Indicador de evaluación:

Resolver problemas de optimización de interés en ingeniería aplican-

do las derivadas. Se tiene que el área del trapecio esta dada por A =

1 (a + x)h 2

Donde h es la altura del trapecio. Se puede apreciar (hacer la gura) que la base del triángulo rectángulo formado por la altura h y el lado a vale x−a , luego, se cumple la relación 2 2 x−a a = h + 2 s  2 x − a a2 − h = 2 √ 1 = 2ax − x2 + 3a2 2 2



2

Luego √ 1 (a + x) 2ax − x2 + 3a2 4

A(x) =

Derivando 1 A (x) = 4 0

 √

2ax −

x2

+

2a − 2x + (a + x) · √ 2 2ax − x2 + 3a2
2ax − x2 + 3a2 + a2 − x2



3a2

1 √ 4 2ax − x2 + 3a2 ax − x2 + 2a2 = √ 4 2ax − x2 + 3a2

=

Luego A0 (x) = 0 si ax − x2 + 2a2 = 0 (a + x)(2a − x) = 0

Como x > 0, la única solución factible de esta ecuación es x = 2a, la cual es nuestro candidato a máximo. Notese que el signo de la primera derivada sólo depende del factor (2a − x), donde 7

A0 (x) < 0 para x > 2a y A0 (x) > 0 para x < 2a lo que conrma el hecho de que x = 2a es un

máximo. 2. Considere una caja de base cuadrada de lado a y altura h. Un insecto está localizado en el vértice A y debe llegar al vértice B caminando en línea recta desde A hasta P y de igual forma desde P hasta B . Determinar la posición del punto P de manera de minimizar la distancia total de la gura. Justique su respuesta.

Figura 0.3: Ruta de la hormiga Solución:

Indicador de evaluación:

Resolver problemas de optimización de interés en ingeniería aplicando

las derivadas. Sea x la distancia de vertice superior a B hasta P entonces, el segmento restante mide a − x . Luego, en la tapa superior, se forma un triángulo rectángulo, por lo tanto es válida la relación AP =

p a2 + (a − x)2

En la cara frontal, también se forma un triángulo rectángulo, entonces PB =

√

h2 + x2

Luego la distancia L(x) es L = AP + P B p √ L(x) = a2 + (a − x)2 + h2 + x2

Derivando −(a − x) x L0 (x) = p +√ 2 h + x2 a2 + (a − x)2

8

Luego, L0 (x) = 0, entonces x h2 + x2 x2 h2 + x2 x2 a2 + x2 (a − x)2

=

(a − x) p a2 + (a − x)2 (a − x)2 a2 + (a − x)2 h2 (a − x)2 + x2 (a − x)2

a2 x 2

=

h2 (a − x)2

√

= =

ax = ± h(a − x)

Como x < a , entonces ax = h(a − x) ah x = a+h

Este punto es el buscado, la comprobación del mínimo se obtiene derivando denuevo, luego p (a − x)2 + a2 − (a − x) · √ 00

L (x) =

a−x (a−x)2 +a2

√

2 √ x x2 +h2 h2

x2 + h2 −

+ (a − x)2 + a2 (a − x)2 + a2 − (a − x)2 x2 + h2 − x2 + = 3 3 (x2 + h2 ) 2 ((a − x)2 + a2 ) 2 a2 h2 = 3 + 3 (x2 + h2 ) 2 ((a − x)2 + a2 ) 2

x2 +

Como L00 (x) > 0 , se comprueba que el punto obtenido, es un mínimo. Ejercicios Propuestos.

1. Hallar las dimensiones del cono recto circular de máximo volumen, que puede ser inscrito en una esfera de radio a (Ejercicios similares en la página 220 del texto guía). 2. Hallar la altura y el radio de la base de un cono recto circular, de volumen mínimo, que se circunscribe una esfera de radio r. ¾Cuál es este volumen mínimo? (Indicación: Utilice convenientemente la semejanza de triángulos que se produce allí) 3. Un alambre de longitud L se corta en dos partes, una se dobla para que forme un círculo y la otra para que forme un cuadrado. ¾Cómo se debe cortar el alambre para que la suma de las áreas encerradas por las dos partes sea máxima? 4. Una estatua está colocada sobre un pedestal, como se muestra en la gura.¾A qué distancia del pedestal debe pararse la persona para maximizar el ángulo visual θ? (indicación: recuerde la identidad tan(θ2 − θ1 ) . También es suciente maximizar tan θ en vez de θ ¾por qué? ) 9

Figure 0.4: Estátua III. Razón de cambio.

Ejercicios Resueltos.

1. Una barra de metal tiene forma de cilindro circular recto. Cuando se calienta, su longitud L y su radio R aumentan a razón de 0, 005[cm/min] y 0, 002[cm/min] respectivamente. ¾A qué razón aumenta el volumen de la barra en el momento que el largo mide 40[cm] y su radio mide 1, 5[cm] ? Solución:

Indicador de evaluación:

Analiza, plantea y resuelve problemas que involucran tazas relacio-

nadas. Los datos del problema son los siguientes dL = 0, 005[cm/min] dt dr = 0, 002[cm/min] dt

Sabemos que el volumen del cilindro está dado por: V = πr2 h

Derivando:   dr dV 2 dL = π 2rL + r dt dt dt

Como L = 40[cm] y r = 1, 5[cm] reemplazando todos los datos:
dV = π 2 · 1, 5 · 40 · 0, 002 + 1, 52 · 0, 005 dt

10

2. Una cámara de TV sigue desde el suelo el despegue vertical de un cohete, que se produce de acuerdo con la ecuación s = 50t2 (s es la altura medida desde el suelo en metros y t es el tiempo en segundos). La cámara está a 2000m del lugar de despegue. Halle cómo varía el ángulo de elevación de la cámara después de 10s del despegue del cohete. Solución:

Analiza, plantea y resuelve problemas que involucran tazas relacionadas(Ejercicios similares en la página 162 del texto guía) Figura del problema Indicador de evaluación:

Figure 0.5: Diagrama del problema Solución:

De la gura, es posible deducir que s 2000 1 ds dθ = sec2 θ dt 2000 dt dθ cos2 θ ds = dt 2000 dt tan θ =

Además cos θ = √

2000 ds , s = 50t2 ⇒ = 100t , reemplazando 2 dt + 2000

s2

dθ 2000 = · 100t 2 dt (50t )2 + 20002

Reemplazando en t = 10[s]   dθ rad 2000 = · 100 · 10 dt t=10[s] s (50(10)2 )2 + 20002

La reducción de esto se deja a cargo del lector. 3. Un canal vacio empieza a llenarse a razón de 14[m3 /min] . El canal mide 50 metros de largo y su 11

sección transversal es un trapecio isósceles con altura 1 metro y las dimensiones dadas de la gura.

Figure 0.6: Sección transversal del canal Determine la rapidez con que crece la altura del agua transcurridos 3 minutos. Solución:

Indicador de evaluación:

Analiza, plantea y resuelve problemas que involucran tazas relaciona-

das Sean h y x la altura y el ancho del agua acumulada después de t minutos. En el instante t , el volumen es V

1 · 50 · h · (4 + x) 2 = 25h(4 + x) =

De semejanza de triángulos, se tiene que h 1 = 1 − 4) (6 − 4) 2 2h = 1 x−4 x = 4 + 2h

1 (x 2

Reemplazando V

= 50h(4 + h) = 50h2 + 200h

12

Derivando y usando que

dV = 14 , se tiene que dt   dV dh dh = 50 (4 + h) + h dt dt dt dh 14 = 50(2h + 4) dt dh 7 = dt 25(2h + 4)

Para calcular h , usamos los datos del problema, luego V (3) = 42 V

= 50h + 200h2

Igualando 42 = 50h + 200h2

Ecuación cuya solución válida es h = 0, 2

Reemplazando en la expresión para la variación de altura se obtiene lo pedido. (se deja al lector). Ejercicios Propuestos.

1. ean dos resistencias R1 y R2 conectadas en paralelo. De acuerdo con esto, la resistencia equivalente corrresponde a 1 1 1 = + R R1 R2

Si R1 y R2 aumentan a una razón de 0, 01 y 0, 02 (Ω/s) respectivamente. ¾En cuánto varía la resistencia equivalente cuando R1 = 30[Ω] y R2 = 90[Ω] ? (Ejercicio 109 de la página 178 del texto guía)

2. Una persona de 2(m) de altura camina a una rapidez constante de ,3(m/s) alejándose de un poste de alumbrado de 6(m) de altura. ¾Con qué rapidez se alarga la longitud de la sombra? (Indicación: Utilice la semejanza de triángulos) 3. Dos barcos, A y B, parten del mismo punto O según drecciones que forman un ángulo de 120º. El barco A navega a 20(km/h) y el barco B a 30(km/h). ¾Con qué rapidez está variando la distancia entre ellos en el instante que OA = 8(km) y OB = 6(km) ? (Indicación: ver gura) 13

Figure 0.7: Esquema del problema 4. Un depósito de agua tiene la forma de un cono circular recto con su vértice hacia abajo. Su altura es de 10(m) y el radio de la base es de 15(m). Al mismo tiempo, se vierte agua en el depósito a una razón de A(m3 /s) y el agua sale por el fondo a una razón de 1(m3 /s). Calcule el valor de A de modo que el nivel de agua ascienda a una razón de 4(m3 /s) en el instante que el agua alcanza una altura de 8(m) (Ejercicio resuelto similar en la página 156 del texto guía) Ejercicios Adicionales de Aplicaciones de la Derivada.

1. Un terreno circular de radio R se ilumina con un foco colocado en el punto A como indica la gura adjunta. Un móvil recorre el segmento BC con movimiento rectilíneo uniforme de velocidad u, mientras su sombra S proyectada sobre el muro perimetral describe un movimiento circular de velocidad v . En un instante t cualquiera el móvil se encuentra en un punto P , siendo x la distancia BP y s la longitud de arco BS .

Figura 0.8: Descripción geométrica del problema

a ) Hallar la relación entre θ y ϕ y calcule θ en términos de x (Indicación: Use propiedades de ángulos en la circunferencia) b ) Encuentre la expresión de v en términos de x c ) Tomando t = 0 cuando el móvil pasa por el punto B , determine en que posiciones del móvil la velocidad de la sombra es máxima y mínima para x ∈ [0, 2R] 14

d ) Calcule la velocidad de la sombra cuando el móvil pasa por el punto medio del segmento BO e indique cuál es el porcentaje de esa velocidad con respecto a la velocidad máxima. 2. En la gura hay una varilla de largo L ja en el punto B , en el aro de la rueda de radio r, el otro extremo de la varilla (en el punto A), se mueve de forma horizontal. La rueda rota ja en su centro O en contra de las manecillas del reloj a 3 revoluciones por segundo.

Figure 0.9: Rueda Demuestre que

dx 3rx(t) sin(θ(t)) = (Indicación: note que OB no siempre es perpendicular dt r cos(θ(t)) − x(t)

a AB de moso que el triángulo no siempre es rectángulo. Use las propiedads de un triángulo cualquiera y observe cuidadosamente la gura.)

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