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´ UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE HONDURAS-VS Departamento De F´ısica Gu´ıa 1 de Mec´anica I: I periodo 2015 Catedr´ati

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´ UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE HONDURAS-VS Departamento De F´ısica Gu´ıa 1 de Mec´anica I: I periodo 2015 Catedr´atico: Marco Antonio Reyes Pagoada 1. Una persona de 72 kg esta parada sobre una b´ascula en un elevador. El elevador parte del reposo y asciende con una rapidez que var´ıa con el tiempo seg´ un v (t) = 3t + 0.20t2 . En t = 4.0s qu´e marca la b´ascula? Resp: 1036.8N 2. Si el coeficiente de fricci´on est´atica entre una mesa y una cuerda gruesa uniforme es µs , qu´e fracci´on de la cuerda puede colgar por el borde de la mesa sin que la cuerda resbale? µs Resp: µs + 1 3. Pedro usa una cuerda ra´ıda para tirar una caja sobre un piso horizontal. La tensi´on m´axima que resiste la cuerda es Tmax y el coeficiente de fricci´on cin´etica es µk . Demuestre que el peso m´aximo que Pedro puede arrastrar con rapidez constante es Tmax /senθ, donde θ = tan−1 (µk ) es el a´ngulo de la cuerda arriba de la horizontal. 4. Dos bloques de masas m1 y m2 se apilan como en la figura y se colocan en una superficie horizontal sin fricci´on. Hay fricci´on entre los bloques. Se aplica una fuerza externa de magnitud F al bloque superior con un angulo α bajo la horizontal. (a) Si los bloques se mueven juntos calcule su aceleraci´on. (b) Demuestre que los bloques se mueven juntos s´olo si

F ≤

µs m1 (m1 + m2 ) g m2 cosα − µs (m1 + m2 ) senα

5. En la figura, las masas m1 y m2 est´an conectadas por un hilo ligero A que pasa por una polea ligera sin fricci´on B. El eje de la polea B esta conectado por otro hilo ligero C a una masa m3 pasando por una segunda polea ligera sin fricci´on D. La polea D esta suspendida del techo por su eje. El sistema se suelta del reposo. En t´erminos de m1 , m2 , m3 y g, encuentre la aceleraci´on de cada bloque. Resp: a1 = g

(4m1 m2 − 3m2 m3 + m3 m1 ) (4m1 m2 + m2 m3 + m3 m1 )

a3 = g

(−4m1 m2 + m2 m3 + m3 m1 ) (4m1 m2 + m2 m3 + m3 m1 )

a2 = g

1

(4m1 m2 − 3m1 m3 + m3 m2 ) (4m1 m2 + m2 m3 + m3 m1 )

6. Las masas de los bloques A y B de la figura son 20.0 kg y 10.0 kg, respectivamente. Inicialmente los bloques est´an en reposo sobre el piso y conectados por un hilo sin masa que pasa por una polea sin masa ni fricci´on. Se aplica una fuerza F hacia arriba a la polea, calcule las aceleraciones del bloque A y B si (a) F=124 N, (b) F= 294 N, (c) F= 424 N. Resp: (a) a1 = a2 = 0, (b) a1 = 0, a2 = 4.9m/s2 , (c) a1 = 0.8m/s2 , a2 = 11.4m/s2

7. Una caja de peso w se acelera rampa arriba mediante una cuerda que ejerce una tensi´on T. La rampa forma una angulo α con la horizontal, y la cuerda tiene un ´angulo θ sobre la rampa. El coeficiente de fricci´on cin´etica entre la caja y la rampa es µk . Demuestre que la aceleraci´on m´axima se da con θ = tan−1 (µk ) sea cual fuese el valor de α, en tanto la caja siga en contacto con la rampa. 8. Considere el arreglo de tres poleas que se muestra en la figura. Las tres masas m1 , m2 y m3 tienen los valores respectivos de 2.0 kg, 4.0 kg y 5.0 kg, respectivamente. Ninguna polea tiene fricci´on y ning´ un cable tiene masa. Cu´ales son las tensiones en todos los cables, y las aceleraciones de las masas? Resp: T1 = 23.1N , T2 = 46.2N , a1 = 1.76m/s2 ↑ , a2 = 1.76m/s2 ↑, a3 = −5.29m/s2 ↓

9. La diferencia de temperatura del verano al invierno hace que la longitud de un p´endulo de un reloj vari´e en una parte en 20,000. Qu’e error en la medida del tiempo se presentara 2

en 1 d´ıa? Resp: 2.2 seg 2

10. Un cuerpo de masa m tiene una energ´ıa potencial expresada por U (x) = U0 (x2 − a2 ) . (a) Cu´ales son las posiciones de equilibrio estable? (b) Cu´al es la frecuencia angular de su movimiento alrededor de un punto de equilibrio estable, cuando el cuerpo esta desplazado una distancia peque˜ na en comparaci´on con a? Resp: (a)x = ±a puntos estables, 1/2 2 (b) ω = (8U0 a /m) 11. Un resorte con k = 2.0N/m y un contrapeso fijo a ´el oscilan en un medio viscoso. El primer m´aximo, de 5.0cm del punto de equilibrio, se observa cuando t = 2.0 seg, y el siguiente, de 4.9cm, cuando t = 3.0 seg. Cu´al ser´a la posici´on del contrapeso a los 3.5seg y a los 4.2 seg? Resp: x (3.5cm) = −4.85cm, x (4.2cm) = 1.48cm 12. Para qu´e masa del contrapeso del problema 11, tendr´a el sistema del resorte su valor cr´ıtico? Cu´ales son la vida media y el factor Q en este caso? Resp: mc = 5.2 × 10−7 kg, τ = mc /b = 2.54 × 10−4 seg, Q = 0.50 13. La energ´ıa potencial de una mol´ecula diat´omica cuyos dos ´atomos tienen la misma masa y est´an separados por una distancia r, esta expresada por la formula U (r) = (A/r2 )−(e2 /r), donde A y e2 son constantes positivas. (a) Determine la separaci´on de equilibrio r0 de los dos cuerpos (b demuestre que si los a´tomos se desplazan ligeramente, de modo que su distancia sea r0 (1 + x), tendr´an movimiento arm´onico simple con respecto a la posici´on de equilibrio. √ Calcule la frecuencia del movimiento arm´onico simple. Resp: (a) r0 = 2A/e2 , 4 (b)ω = e / 4A3 m 14. Muchas mol´eculas diat´omicas est´an unidas por enlaces covalentes que son mucho m´as fuertes que la interacci´on de Van der Waals. Ejemplos de ellos son H2 , O2 y N2 . Los experimentos indican que, en el caso de muchas de tales mol´eculas, la interacci´on puede describirse con una fuerza de la forma   Fr = A e−2b(r−R0 ) − e−b(r−R0 ) donde A y b son constantes positivas, r es la separaci´on de los centros de los a´tomos y R0 es la separaci´on de equilibrio. Para la mol´ecula de hidr´ogeno, A = 2.97 × 10−8 N , b = 1.95 × 1010 m−1 . Calcule la constante de fuerza para oscilaciones peque˜ nas alrededor del equilibrio? Resp: 579.2N/m 15. (a) Determine el cambio ∆T del periodo de un p´endulo simple cuando la aceleraci´on debida a la gravedad cambia en ∆g. Exprese su resultado como el cambio fraccionario del periodo ∆T /T , en t´erminos del cambio fraccionario ∆g/g. (b) Un reloj de p´endulo da la hora correcta en un punto donde g = 9.8000m/s2 , pero se atrasa 4.0 seg cada d´ıa a una altura mayor. Use el resultado de (a) para calcular el valor aproximado de g en este nuevo lugar. (a) ∆T /T = −2∆g/g, (b) g = 9.7991m/s2 16. Para cierto oscilador, la fuerza neta que act´ ua sobre el cuerpo de masa m esta dada por 3 Fx = −cx . (a) Que funci´on de energ´ıa potencial describe este oscilador? (b) El cuerpo se mueve de x = 0 a x = A en un cuarto de periodo. Calcule este tiempo y de ah´ı el periodo. 3

(c) Seg´ un el resultado obtenido en la parte (b), el periodo r depende de la amplitud? Son 7.41 m las oscilaciones arm´onicas simples? Resp:(b) T = (c) oscilaciones no arm´onicas. A c 17. Muchos resortes reales son m´as f´aciles de estirar que de comprimir. Podemos representar esto usando diferentes constantes de resorte para x > 0 y para x < 0. Por ejemplo, considere un resorte que ejerce la siguiente fuerza de restituci´on: ( −kx x > 0 Fx = −2kx x < 0 Una masa m en una superficie horizontal sin fricci´on se une a este resorte, se desplaza a x =rA estirando el   resorte, y se suelta. Calcule el periodo del movimiento. Resp: 1 m 1+ √ T =π k 2 18. Una part´ıcula con velocidad inicial v0 experimenta una fuerza dada por la ecuaci´on

F (t) =

1 p0 δt   2 π (t − t0 ) + (δt)2

a) H´allense v (t) y x (t). (b) Demu´estrese que cuando δt −→ 0 el movimiento tiende a ser uniforme con un cambio brusco de velocidad para t = t0 de magnitud p0 /m. 19. Una part´ıcula inicialmente en reposo esta sometida, a partir de t = 0, a una fuerza F = F0 e−γt cos (ωt + θ) (a) H´allese su movimiento, (b) Como depende su velocidad final de θ y ω? 20. Una canoa con una velocidad inicial v0 se ve frenada por una fuerza de rozamiento F = be−αv (a) H´allese su movimiento (b) Calc´ ulense el tiempo y la distancia que necesita para detenerse. 21. Se utiliza un motor de propulsi´on capaz de desarrollar un empuje constante F0 , para impulsar un avi´on que esta sometido a una fuerza de rozamiento proporcional al cuadrado de su velocidad. Si el avi´on parte en t = 0 con una velocidad despreciable y acelera con el empuje m´aximo, h´allese su velocidad v (t). 22. Una part´ıcula de masa m es repelida por el origen de coordenadas con una fuerza inversamente proporcional al cubo de su distancia a dicho origen. Establ´ezcase y resu´elvase la ecuaci´on de movimiento si la part´ıcula esta inicialmente en reposo a una distancia x0 del origen.

4

23. Una particula esta sometida a una fuerza F = −kx +

a x3

(a) Encuentre el potencial U (x), descr´ıbase la naturaleza de las soluciones y encuentre x (t) (b) D´ese una interpretaci´on del movimiento cuando E 2  ka. 24. Se dispara un proyectil verticalmente hacia arriba con una velocidad v0 . Calcule x (t) suponiendo que esta sometida a una fuerza de rozamiento proporcional al cuadrado de la velocidad. 25. Obt´engase la soluci´on general del movimiento de un cuerpo sometido a una fuerza repulsiva lineal F = kx. Demu´estrese que este es el tipo de movimiento que cabe esperar en la proximidad de un punto de equilibrio inestable. 26. La energ´ıa potencial para la fuerza entre dos a´tomos de una mol´ecula diat´omica tiene la forma aproximada

U (x) = −

a b + 12 6 x x

(1)

Donde x es la distancia entre los dos ´atomos y a, b constante positivas. (a) Encuentre la fuerza, (b) Encuentre la distancia de equilibrio y el periodo de las peque˜ nas oscilaciones alrededor de la posici´on de equilibrio si la masa mas ligera es m. 27. Una fuerza F0 (1 − e−at ) act´ ua sobre un oscilador arm´onico en reposo en el instante en el instante t = 0. La masa es m, la constante del resorte k = 4ma2 , y b = ma. Encuentre x (t) 28. Un oscilador arm´onico no amortiguado de masa m, frecuencia natural ω0 esta inicialmente en reposo y recibe un impulso en el instante t = 0, por lo que parte de x0 = 0 con velocidad v0 y oscila libremente hasta t = 3π/2ω0 . A partir de este momento se le aplica una fuerza F = Bcos (ωt + θ). Encuentre x (t) 29. Un oscilador armonico subamortiguado esta sometido a una fuerza aplicada F = F0 eat cos (ωt + θ) Encuentre x (t) 30. H´allese, por el m´etodo de la serie de Fourier, la soluci´on estacionaria para el oscilador amortiguado sometido a la fuerza    1   , nt < t ≤ n + T, 0 2   Ft = 1   T < t ≤ (n + 1) F 0 , n + 2

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