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TAMAZUNCHALE S.L.P. A INSTITUTO TECNOLOGICO

SUPERIOR DE TAMAZUNCHALE

DE METODOS NUMERICOS EJERCISIOS DE LA UNIDAD CATEDRATICO: ING.EDUARDO FRANCO AUSTRIA ALUMNO:

Las fórmulas de integración de newton-cortes son los esquemas de integración numérica más comunes. Se basan en la estrategia de reemplazar una función complicada a datos tabulados con una función aproximada que sea fácil de integrar. A continuación se muestran los problemas a resolver de esta unidad 21.1 Evalué la integral siguiente: 𝝅 𝟐

∫ (𝟖 + 𝟒 𝐜𝐨𝐬 𝒙)𝒅𝒙 𝟎

a) En forma analítica: 𝝅 𝟐

𝒇(𝒙) = ∫ (𝟖 + 𝟒 𝐜𝐨𝐬 𝒙)𝒅𝒙 𝟎 𝝅 𝟐

𝝅 𝟐

= 𝟖 ∫ 𝒅𝒙 + 𝟒 ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 𝟎

𝟎

𝝅 𝝅 [𝟖𝒙 + 𝟒𝒔𝒆𝒏𝒙] 𝟐 = [𝟖 ( ) + 𝟒𝒔𝒆𝒏(𝟗𝟎°)] 𝟐 𝟎 𝑰 𝒓𝒆𝒂𝒍 = 𝟏𝟔. 𝟓𝟔𝟔𝟑𝟕𝟎𝟔𝟑 𝒖𝟐 b) Con una sola aplicación de la regla del trapecio El siguiente método que se utilizara se requiere de las siguientes formulas: 𝑰 = (𝒃 − 𝒂) (

𝒇(𝒂) + 𝒇(𝒃) ) 𝟐

En seguida se muestra el error de dicha regla o formula que se utilizó para saber qué tan alejado o que tan cerca está el resultado con el resultado real. 𝑬𝒕 = −

𝟏 ′′ 𝒇 (𝝃)(𝒃 − 𝒂)𝟑 𝟏𝟐

Antes de comenzar con el procedimiento, como se muestra en la formula anterior se requiere obtener 𝒇′′ (𝝃) procedemos a realizarlo con la siguiente formula.

𝒃

′′ (𝝃)

𝒇

∫ 𝒇′′(𝒙)𝒅𝒙 = 𝒂 𝒃−𝒂

A continuación procedemos a calcular cada una de las fórmulas que se nos indican Evaluamos 𝒇(𝒂) y 𝒇(𝒃). 𝒇(𝒂) = 𝒇(𝟎) = 𝟖 + 𝟒(𝟎) = 𝟏𝟐 𝝅 𝝅 𝒇(𝒃) = 𝒇 ( ) = 𝟖 + 𝟒 ( ) = 𝟖 𝟐 𝟐 Sustituimos en la fórmula: 𝝅 𝟏𝟐 + 𝟖 𝑰 = ( − 𝟎) ( ) 𝟐 𝟐 𝑰 = 𝟏𝟓. 𝟕𝟎𝟕𝟗𝟔𝟑 Calcular el error: Primero calculamos 𝒇′′ (𝝃) 𝒃

∫ 𝒇′′(𝒙)𝒅𝒙 𝒇′′ (𝝃) = 𝒂 𝒃−𝒂 Dada la fórmula es necesario derivar dos veces la función que se nos proporciona. 𝒇′ (𝒙) = −𝟒 𝒔𝒆𝒏𝒙 𝒇′′ (𝒙) = −𝟒 𝒄𝒐𝒔𝒙 Sustituimos en la fórmula: 𝝅

∫𝟎𝟐(−𝟒 𝒄𝒐𝒔 𝒙 )𝒅𝒙 ′′ (𝝃) 𝒇 = 𝝅 𝟐−𝟎 𝝅

[−𝟒 𝒔𝒆𝒏 𝒙] 𝟐 𝟎 ′′ (𝝃) 𝒇 = 𝝅 𝟐

𝒇′′ (𝝃) =

[−𝟒 𝒔𝒆𝒏 (𝟗𝟎°)] − [−𝟒 𝒔𝒆𝒏 (𝟎)] 𝝅 𝟐

−𝟒 𝒇′′ (𝝃) = 𝝅 = −𝟐. 𝟓𝟒𝟔𝟒𝟕𝟗𝟎𝟖 𝟐 Sustituimos este valor en la fórmula de error. 𝑬𝒕 = −

𝟏 𝝅 𝟑 (−𝟐. 𝟓𝟒𝟔𝟒𝟕𝟗𝟎𝟖) ( ) 𝟏𝟐 𝟐 𝑬𝒕 = 𝟎. 𝟖𝟐𝟐𝟒𝟔𝟕𝟎𝟑

c) Con la aplicación múltiple de la regla del trapecio, con 𝒏 = 𝟐 𝒚 𝟒 Primero haremos cuando n equivale a 2, utilizamos las siguientes fórmulas: 𝒉=

𝑰 = (𝒃 − 𝒂) (

𝒃−𝒂 𝒏

𝒇(𝒙𝟎 ) + 𝟐 ∑𝒏𝒊−𝟏 𝒇(𝒙𝟏 ) + 𝒇(𝒙𝒏 ) ) 𝟐𝒏

De igual manera en este método se calcula el error que existe en la formula. (𝒃 − 𝒂)𝟑 ′′ 𝑬𝒂 = − 𝒇 (𝝃) 𝟏𝟐𝒏𝟐 Procedemos a calcular, empezamos con el valor de h 𝝅 −𝟎 𝝅 𝒉=𝟐 = 𝟐 𝟒 Evaluamos 𝒙𝟎 = 𝒇(𝟎) = 𝟖 + 𝟒𝒄𝒐𝒔(𝟎) = 𝟏𝟐 𝝅 𝒙𝟏 = 𝒇 ( ) = 𝟖 + 𝟒𝒄𝒐𝒔(𝟒𝟓°) = 𝟏𝟎. 𝟖𝟐𝟖𝟒𝟐𝟕𝟏𝟐 𝟒 𝝅 𝒙𝒏 = 𝒇 ( ) = 𝟖 + 𝟒𝒄𝒐𝒔(𝟗𝟎°) = 𝟖 𝟐

Los valores que se han encontrado procedemos a sustituirlos en la fórmula: 𝝅 𝟏𝟐 + 𝟐(𝟏𝟎. 𝟖𝟐𝟖𝟒𝟐𝟕𝟏𝟐) + 𝟖 𝑰 = ( − 𝟎) ( ) 𝟐 𝟐(𝟐) 𝑰 = 𝟏𝟔. 𝟑𝟓𝟖𝟔𝟎𝟖𝟒𝟏 Procedemos a calcular el error 𝟑 𝝅 ( 𝟐 − 𝟎) (−𝟐. 𝟓𝟒𝟔𝟒𝟕𝟗𝟎𝟖) 𝑬𝒂 = − 𝟏𝟐(𝟐)𝟐

𝑬𝒂 = −𝟎. 𝟐𝟎𝟓𝟔𝟏𝟔𝟕𝟓𝟕

Ahora procedemos a calcular de la misma manera pero con la excepción del valor de 𝒏 = 𝟒. 𝝅 −𝟎 𝝅 𝒉=𝟐 = 𝟒 𝟖 Evaluamos 𝒙𝟎 = 𝒇(𝟎) = 𝟖 + 𝟒𝒄𝒐𝒔(𝟎) = 𝟏𝟐 𝝅 𝒙𝟏 = 𝒇 ( ) = 𝟖 + 𝟒𝒄𝒐𝒔(𝟐𝟐. 𝟓°) = 𝟏𝟏. 𝟔𝟗𝟓𝟓𝟏𝟖𝟏𝟑 𝟖 𝝅 𝒙𝟐 = 𝒇 ( ) = 𝟖 + 𝟒𝒄𝒐𝒔(𝟒𝟓°) = 𝟏𝟎. 𝟖𝟐𝟖𝟒𝟐𝟕𝟏𝟐 𝟒 𝒙𝟑 = 𝒇 (

𝟑𝝅 ) = 𝟖 + 𝟒𝒄𝒐𝒔(𝟔𝟕. 𝟓°) = 𝟗. 𝟓𝟑𝟎𝟕𝟑𝟑𝟕 𝟖

𝝅 𝒙𝒏 = 𝒇 ( ) = 𝟖 + 𝟒𝒄𝒐𝒔(𝟗𝟎°) = 𝟖 𝟐 Los valores que se han encontrado procedemos a sustituirlos en la fórmula: 𝝅 𝟏𝟐 + 𝟐(𝟏𝟏. 𝟔𝟗𝟓𝟓𝟏𝟖𝟏𝟑 + 𝟏𝟎. 𝟖𝟐𝟖𝟒𝟐𝟕𝟏𝟐 + 𝟗. 𝟓𝟑𝟎𝟕𝟑𝟑𝟕) + 𝟖 𝑰 = ( − 𝟎) ( ) 𝟐 𝟐(𝟒)

𝑰 = 𝟏𝟔. 𝟓𝟏𝟒𝟖𝟑𝟑𝟖 Procedemos a calcular el error 𝟑 𝝅 ( 𝟐 − 𝟎) (−𝟐. 𝟓𝟒𝟔𝟒𝟕𝟗𝟎𝟖) 𝑬𝒂 = − 𝟏𝟐(𝟒)𝟐

𝑬𝒂 = −𝟎. 𝟎𝟓𝟏𝟒𝟎𝟒𝟏𝟖𝟗 d) Con una sola aplicación de la regla de Simpson 1/3 Utilizaremos las siguientes formulas: 𝑰 = (𝒃 − 𝒂) (

𝒇(𝒙𝟎 ) + 𝟒 𝒇(𝒙𝟏 ) + 𝒇(𝒙𝟐 ) ) 𝟔

𝑬𝒂 = −

(𝒃 − 𝒂)𝟓 (𝟒) 𝒇 (𝝃) 𝟐𝟖𝟖𝟎

Procedemos a calcular: 𝝅 −𝒂 𝝅 𝒃−𝒂 𝒉= = 𝟐 = 𝟐 𝟐 𝟒 Evaluamos con los valores de cada uno de los segmentos: 𝒙𝟎 = 𝒇(𝟎) = 𝟖 + 𝟒𝒄𝒐𝒔(𝟎) = 𝟏𝟐 𝝅 𝒙𝟏 = 𝒇 ( ) = 𝟖 + 𝟒𝒄𝒐𝒔(𝟒𝟓°) = 𝟏𝟎. 𝟖𝟐𝟖𝟒𝟐𝟕𝟏𝟐 𝟒 𝝅 𝒙𝟐 = 𝒇 ( ) = 𝟖 + 𝟒𝒄𝒐𝒔(𝟗𝟎°) = 𝟖 𝟐 Sustituimos los valores en la formula 𝝅 𝟏𝟐 + 𝟒 (𝟏𝟎. 𝟖𝟐𝟖𝟒𝟐𝟕𝟏𝟐) + 𝟖 𝑰 = ( − 𝟎) ( ) 𝟐 𝟔 𝑰 = 𝟏𝟔. 𝟓𝟕𝟓𝟒𝟔𝟏

Ahora calcularemos el error, si observamos en la formula nos indica que debemos tener la cuarta derivada de la función, para que enseguida se utilice en la fórmula para obtener 𝒇′ (𝒙) = −𝟒 𝒔𝒆𝒏 𝒙

𝒇′′′ (𝒙) = 𝟒 𝒔𝒆𝒏𝒙

𝒇′′ (𝒙) = −𝟒 𝒄𝒐𝒔𝒙

𝒇(𝟒) (𝒙) = 𝟒 𝒄𝒐𝒔𝒙

Calculando 𝒇(𝟒) (𝝃) 𝒃

(𝟒) (𝝃)

𝒇

𝒇(𝟒) (𝝃) =

∫ 𝒇(𝟒) (𝒙)𝒅𝒙 = 𝒂 𝒃−𝒂 𝝅

𝝅 ∫𝟎𝟐 𝟒

[𝟒 𝒔𝒆𝒏 𝒙 ] 𝟐 [𝟒 𝒔𝒆𝒏 (𝟗𝟎°) ] − [𝟒 𝒔𝒆𝒏 (𝟎) ] 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒙 𝟎 = = 𝝅 𝝅 𝝅 − 𝟎 − 𝟎 𝟐 𝟐 𝟐 𝒇(𝟒) (𝝃) = 𝟐. 𝟓𝟒𝟔𝟒𝟕𝟗𝟎𝟖𝟗

Sustituimos en la fórmula de error.

𝑬𝒂 = −

𝟓 𝝅 ( 𝟐 − 𝟎)

𝟐𝟖𝟖𝟎

(𝟐. 𝟓𝟒𝟔𝟒𝟕𝟗𝟎𝟖𝟗) = −𝟎. 𝟎𝟎𝟖𝟒𝟓𝟓𝟔

e) Con la aplicación múltiple de la regla de los Simpson 1/3 Para este método se requiere de las siguientes formulas: 𝒉=

𝑰 = (𝒃 − 𝒂) (

𝒃−𝒂 𝒏

𝒇(𝒙𝟎 ) + 𝟒 ∑𝒏𝒊=𝟏,𝟑,𝟓 𝒇(𝒙𝒊 ) + 𝟐 ∑𝒏𝒋=𝟏,𝟑,𝟓 𝒇(𝒙𝒋 ) + 𝒇(𝒙𝒏 ) 𝟑𝒏 (𝒃 − 𝒂)𝟓 (𝟒) 𝑬𝒂 = − 𝒇 (𝝃) 𝟏𝟖𝟎𝒏𝟒

)

Procedemos con el cálculo: 𝝅 𝒃−𝒂 𝟐−𝟎 𝝅 𝒉= = = 𝒏 𝟔 𝟏𝟐 Calcular los intervalos: 𝒙𝟎 = 𝒇(𝟎) = 𝟏𝟐 𝒙𝟏 =

𝝅 𝝅 = 𝒇 ( ) = 𝟏𝟏. 𝟖𝟔𝟕𝟎𝟑𝟑𝟏 𝟏𝟐 𝟏𝟐 𝝅 𝝅 ) = 𝒇 ( ) = 𝟏𝟏. 𝟒𝟔𝟒 𝟏𝟐 𝟔

𝒙𝟐 = 𝟐 ( 𝒙𝟑 = 𝟑 (

𝝅 𝝅 ) = 𝒇 ( ) = 𝟏𝟎. 𝟖𝟐𝟖𝟒 𝟏𝟐 𝟒

𝒙𝟒 = 𝟒 (

𝝅 𝝅 ) = 𝒇 ( ) = 𝟏𝟎 𝟏𝟐 𝟑

𝝅 𝟓𝝅 ) = 𝒇 ( ) = 𝟗. 𝟎𝟑𝟓𝟐𝟕𝟔𝟏𝟖 𝟏𝟐 𝟏𝟐

𝒙𝟓 = 𝟓 (

𝝅 𝝅 𝒙𝒏 = ( ) = 𝒇 ( ) = 𝟖 𝟏𝟐 𝟐 Calcular con la fórmula: 𝝅 𝟐

𝑰 = ( − 𝟎) (

𝟏𝟐 + 𝟒(𝟏𝟏. 𝟖𝟔𝟕𝟎𝟑𝟑𝟏 + 𝟏𝟎. 𝟖𝟐𝟒𝟐 + 𝟗. 𝟎𝟑𝟓𝟐𝟕𝟔𝟏𝟖) + 𝟐(𝟏𝟏. 𝟒𝟔𝟒 + 𝟏𝟎) + 𝟖 ) 𝟏𝟖

𝑰 = 𝟏𝟔. 𝟑𝟗𝟏𝟔𝟏𝟏𝟗𝟖

𝑬𝒂 = −

𝟓 𝝅 ( 𝟐 − 𝟎)

𝟏𝟖𝟎𝒏𝟒

(𝟐. 𝟓𝟒𝟔𝟒𝟕𝟗𝟎𝟖𝟗) = 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟏𝟎𝟒𝟑

f) Con una sola aplicación de la regla de los Simpson 3/8 Para este método se utiliza la siguientes formulas 𝒉=

𝒃−𝒂 𝟑

𝒇(𝒙𝟎 ) + 𝟑𝒇(𝒙𝟏 ) + 𝟑𝒇(𝒙𝟐 ) + 𝒇(𝒙𝟑 ) 𝑰 = (𝒃 − 𝒂) ( ) 𝟖 𝑬𝒂 = −

(𝒃 − 𝒂)𝟓 (𝟒) 𝒇 (𝝃) 𝟔𝟒𝟖𝟎

Procedemos a calcular cada una de las fórmulas que se nos indica 𝝅 𝒃−𝒂 𝟐−𝟎 𝝅 𝒉= = = 𝟑 𝟑 𝟔 Calcular los intervalos: 𝒙𝟎 = 𝒇(𝟎) = 𝟏𝟐 𝒙𝟏 =

𝝅 𝝅 = 𝒇 ( ) = 𝟏𝟏. 𝟒𝟔𝟒𝟏𝟎𝟏𝟔𝟐 𝟔 𝟔

𝝅 𝝅 𝒙𝟐 = 𝟐 ( ) = 𝒇 ( ) = 𝟏𝟎 𝟔 𝟑 𝝅 𝝅 𝒙𝟑 = 𝟑 ( ) = 𝒇 ( ) = 𝟖 𝟔 𝟐 Sustituir en la formula: 𝝅 𝟏𝟐 + 𝟑(𝟏𝟏. 𝟒𝟔𝟒𝟏𝟎𝟏𝟔𝟐) + 𝟑(𝟏𝟎) + 𝟖 𝑰 = ( − 𝟎) ( ) 𝟐 𝟖 𝑰 = 𝟏𝟔. 𝟓𝟕𝟎𝟑𝟗𝟎𝟑 Calculemos el error

𝑬𝒂 = −

𝟓 𝝅 ( 𝟐 − 𝟎)

𝟔𝟒𝟖𝟎

(𝟐. 𝟓𝟒𝟔𝟒𝟕𝟗𝟎𝟖𝟗) = 𝟎. 𝟎𝟎𝟑𝟕𝟓𝟖𝟎𝟔𝟔𝟕𝟖

Como conclusión de este problema decimos que el método con menos error al utilizar la fórmula es la del método de Simpson de 3/8

21.2 Evalué la integral siguiente 𝟑

∫ (𝟏 − 𝒆−𝒙 )𝒅𝒙 𝟎

a) En forma analítica 𝟑

∫ (𝟏 − 𝒆−𝒙 )𝒅𝒙 = [𝒙 + 𝒆−𝒙 ] 𝟎

𝟑 = [(𝟑) + 𝒆−(𝟑) ] − [(𝟎) + 𝒆−(𝟎) ] = 𝟐. 𝟎𝟒𝟗𝟕𝟖𝟕 𝟎

b) Con una sola aplicación de la regla del trapecio Se utilizaran las siguiente formulas, 𝑰 = (𝒃 − 𝒂) (

𝒇(𝒂) + 𝒇(𝒃) ) 𝟐

𝒇(𝒂) = (𝟏 − 𝒆−(𝟎) ) = 𝟎 𝒇(𝒃) = (𝟏 − 𝒆−(𝟑) ) = 𝟎. 𝟗𝟓𝟎𝟐𝟏𝟐 𝒂=𝟎 𝒃=𝟑 Sustituimos los valores a la fórmula: 𝟎 + 𝟎. 𝟗𝟓𝟎𝟐𝟏𝟐 𝑰 = (𝟑 − 𝟎) ( ) = 𝟏. 𝟒𝟐𝟓𝟑𝟏𝟗 𝒖𝟐 𝟐 Calcular el error. 𝑬𝒕 = −

𝟏 ′′ 𝒇 (𝝃)(𝒃 − 𝒂)𝟑 𝟏𝟐

Se debe obtener el valor de 𝒇′′ (𝝃) 𝒃

′′ (𝝃)

𝒇

∫ 𝒇′′(𝒙)𝒅𝒙 = 𝒂 𝒃−𝒂

El cual nos pide en la formula la 2 derivada de la función 𝒇´(𝒙) = 𝒆−𝒙

𝒇´´(𝒙) = −𝒆−𝒙

Una vez encontrada procedemos a sustituir en la formula dada: 𝟑

∫𝟎 (−𝒆−𝒙 )𝒅𝒙 [−𝒆−(𝟑) ] − [−𝒆−(𝟎) ] ′′ (𝝃) 𝒇 = = = 𝟎. 𝟑𝟏𝟔𝟕𝟑𝟕𝟔 𝟑−𝟎 𝟑 El resultado anterior es sustituido en la fórmula para obtener el error. 𝑬𝒕 = −

𝟏 (𝟎. 𝟑𝟏𝟔𝟕𝟑𝟕𝟔)(𝟑 − 𝟎)𝟑 = −𝟎. 𝟕𝟏𝟐𝟔𝟓𝟗𝟔𝟗𝟖 𝒖𝟐 𝟏𝟐

c) Con aplicación múltiple de la regla del trapecio, con 𝒏 = 𝟐 𝒚 𝟒 Formulas a ocupar son las siguientes Primero haremos cuando n equivale a 2, utilizamos las siguientes fórmulas: 𝒉=

𝑰 = (𝒃 − 𝒂) (

𝒃−𝒂 𝒏

𝒇(𝒙𝟎 ) + 𝟐 ∑𝒏𝒊−𝟏 𝒇(𝒙𝟏 ) + 𝒇(𝒙𝒏 ) ) 𝟐𝒏

De igual manera en este método se calcula el error que existe en la formula. (𝒃 − 𝒂)𝟑 ′′ 𝑬𝒂 = − 𝒇 (𝝃) 𝟏𝟐𝒏𝟐 Procedemos a calcular, empezamos con el valor de h 𝒉=

𝟑−𝟎 𝟑 = 𝟐 𝟐

Evaluamos 𝒙𝟎 = 𝒇(𝟎) == 𝟎 𝒙𝟏 = 𝒇(𝟏. 𝟓) = (𝟏 − 𝒆−(𝟏.𝟓) ) = 𝟎. 𝟕𝟕𝟔𝟖𝟔𝟗 𝒙𝒏 = 𝒇(𝟑) = 𝟖 + 𝟒𝒄𝒐𝒔(𝟗𝟎°) = 𝟎. 𝟗𝟓𝟎𝟐𝟏𝟐 Los valores que se han encontrado procedemos a sustituirlos en la fórmula: 𝟎 + 𝟐(𝟎. 𝟕𝟕𝟔𝟖𝟔𝟗) + 𝟎. 𝟗𝟓𝟎𝟐𝟏𝟐 𝑰 = (𝟑 − 𝟎) ( ) 𝟐(𝟐)

𝑰 = 𝟏. 𝟖𝟕𝟕𝟗𝟔𝟑𝟕𝟔 Procedemos a calcular el error (𝟑 − 𝟎)𝟑 (𝟎. 𝟑𝟏𝟔𝟕𝟑𝟕𝟔) 𝑬𝒂 = − 𝟏𝟐(𝟐)𝟐 𝑬𝒂 = 𝟎. 𝟏𝟕𝟖𝟏𝟔𝟒𝟗 Ahora procedemos a calcular de la misma manera pero con la excepción del valor de 𝒏 = 𝟒. 𝝅 −𝟎 𝝅 𝒉=𝟐 = 𝟒 𝟖 Evaluamos 𝒙𝟎 = 𝒇(𝟎) = (𝟏 − 𝒆−(𝟎) ) = 𝟎 𝒙𝟏 = 𝒇(. 𝟕𝟓) = (𝟏 − 𝒆−(.𝟕𝟓) ) = 𝟎. 𝟓𝟐𝟕𝟔𝟑𝟑 𝒙𝟐 = 𝒇(𝟏. 𝟓) = (𝟏 − 𝒆−(𝟏.𝟓) ) = 𝟎. 𝟕𝟕𝟔𝟖𝟗 𝒙𝟑 = 𝒇(𝟐. 𝟐𝟓) = (𝟏 − 𝒆−(𝟐.𝟐𝟓) ) = 𝟎. 𝟖𝟗𝟒𝟔𝟎𝟎 𝒙𝒏 = 𝒇(𝟑) = (𝟏 − 𝒆−(𝟑) ) = 𝟎. 𝟗𝟓𝟎𝟐𝟏𝟐 Los valores que se han encontrado procedemos a sustituirlos en la fórmula: 𝟎 + 𝟐(𝟎. 𝟓𝟐𝟕𝟔𝟑𝟑 + 𝟎. 𝟕𝟕𝟔𝟖𝟗 + 𝟎. 𝟖𝟗𝟒𝟔𝟎𝟎) + 𝟎. 𝟗𝟓𝟎𝟐𝟏𝟐 𝑰 = (𝟑 − 𝟎) ( ) 𝟐(𝟒) 𝑰 = 𝟐. 𝟎𝟎𝟓𝟔𝟓𝟔 Procedemos a calcular el error 𝑬𝒂 = −

(𝟑 − 𝟎)𝟑 (𝟎. 𝟑𝟏𝟔𝟕𝟑𝟕𝟔) 𝟏𝟐(𝟒)𝟐

𝑬𝒂 = 𝟎. 𝟎𝟒𝟒𝟓𝟒𝟏𝟐𝟐𝟓

d) Con una sola aplicación de la regla de Simpson 1/3 Utilizaremos las siguientes formulas: 𝑰 = (𝒃 − 𝒂) (

𝒇(𝒙𝟎 ) + 𝟒 𝒇(𝒙𝟏 ) + 𝒇(𝒙𝟐 ) ) 𝟔

(𝒃 − 𝒂)𝟓 (𝟒) 𝑬𝒂 = − 𝒇 (𝝃) 𝟐𝟖𝟖𝟎 Procedemos a calcular: 𝒉=

𝒃−𝒂 𝟑−𝟎 𝟑 = = 𝟐 𝟐 𝟐

Evaluamos con los valores de cada uno de los segmentos: 𝒙𝟎 = 𝒇(𝟎) = 𝟎 𝒙𝟏 = 𝒇(𝟏. 𝟓 ) = 𝟎. 𝟕𝟕𝟔𝟖𝟔𝟗 𝒙𝟐 = 𝒇(𝟑) = 𝟎. 𝟗𝟓𝟎𝟐𝟏𝟐 Sustituimos los valores en la formula 𝟎 + 𝟒 (𝟎. 𝟕𝟕𝟔𝟖𝟔𝟗) + 𝟎. 𝟗𝟓𝟎𝟐𝟏𝟐 𝑰 = (𝟑 − 𝟎) ( ) 𝟔 𝑰 = 𝟐. 𝟎𝟐𝟖𝟖𝟒𝟒

Ahora calcularemos el error, si observamos en la formula nos indica que debemos tener la cuarta derivada de la función, para que enseguida se utilice en la fórmula para obtener 𝒇′ (𝒙) = 𝒆−𝒙 𝒇′′ (𝒙) = −𝒆−𝒙 Calculando 𝒇(𝟒) (𝝃)

𝒇′′′ (𝒙) = 𝒆−𝒙 𝒇(𝟒) (𝒙) = −𝒆−𝒙

𝒃

(𝟒) (𝝃)

𝒇

∫ 𝒇(𝟒) (𝒙)𝒅𝒙 = 𝒂 𝒃−𝒂 𝝅

𝟑 [−𝒆−𝒙 ] 𝟐 [−𝒆−(𝟑) ] − [−𝒆−(𝟎) ] ∫𝟎 −𝒆−𝒙 𝒅𝒙 𝟎 (𝟒) (𝝃) 𝒇 = = = 𝟑−𝟎 𝟑−𝟎 𝟑

𝒇(𝟒) (𝝃) = 𝟎. 𝟑𝟏𝟔𝟕𝟑𝟕𝟑 Sustituimos en la fórmula de error. 𝑬𝒂 = −

(𝟑 − 𝟎)𝟓 (𝟎. 𝟑𝟏𝟔𝟕𝟑𝟕𝟑) = −𝟎. 𝟎𝟐𝟔𝟕𝟐𝟒𝟕 𝟐𝟖𝟖𝟎

e) Con aplicación de la regla múltiple de Simpson 1/3 con 𝒏 = 𝟒 Para este método se requiere de las siguientes formulas: 𝒉=

𝑰 = (𝒃 − 𝒂) (

𝒃−𝒂 𝒏

𝒇(𝒙𝟎 ) + 𝟒 ∑𝒏𝒊=𝟏,𝟑,𝟓 𝒇(𝒙𝒊 ) + 𝟐 ∑𝒏𝒋=𝟏,𝟑,𝟓 𝒇(𝒙𝒋 ) + 𝒇(𝒙𝒏 ) 𝟑𝒏 (𝒃 − 𝒂)𝟓 (𝟒) 𝑬𝒂 = − 𝒇 (𝝃) 𝟏𝟖𝟎𝒏𝟒

Procedemos con el cálculo: 𝒉=

𝒃−𝒂 𝟑−𝟎 𝟑 = = 𝒏 𝟒 𝟒

Calcular los intervalos: 𝒙𝟎 = 𝒇(𝟎) = 𝟎 𝒙𝟏 = 𝒇(. 𝟕𝟓) = 𝟎. 𝟓𝟐𝟕𝟔𝟑𝟑 𝒙𝟐 = 𝒇(𝟏. 𝟓) = 𝟎. 𝟕𝟕𝟔𝟖𝟔𝟗 𝒙𝟑 = 𝒇(𝟐. 𝟐𝟓) = 𝟎. 𝟖𝟗𝟒𝟔𝟎𝟎 𝒙𝟒 = 𝒇(𝟑) =. 𝟎𝟗𝟓𝟎𝟐𝟏𝟐

)

Calcular con la fórmula: 𝝅 𝟐

𝑰 = ( − 𝟎) (

𝟏𝟐 + 𝟒(𝟎. 𝟓𝟐𝟕𝟔𝟑𝟑 + 𝟎. 𝟖𝟗𝟒𝟔𝟎𝟎) + 𝟐(𝟎. 𝟕𝟕𝟔𝟖𝟔𝟗) + 𝟖 ) 𝟏𝟐

𝑰 = 𝟐. 𝟎𝟒𝟖𝟐𝟐𝟎𝟓 𝑬𝒂 = −

(𝟑 − 𝟎)𝟓 (𝟎. 𝟑𝟏𝟔𝟕𝟑𝟕𝟑) = 𝟎. 𝟎𝟎𝟏𝟔𝟕𝟎𝟐𝟗𝟒 𝟏𝟖𝟎(𝟒)𝟒

f) Con una sola aplicación de la regla de Simpson 3/8 Para este método se utiliza la siguientes formulas 𝒉=

𝒃−𝒂 𝟑

𝒇(𝒙𝟎 ) + 𝟑𝒇(𝒙𝟏 ) + 𝟑𝒇(𝒙𝟐 ) + 𝒇(𝒙𝟑 ) 𝑰 = (𝒃 − 𝒂) ( ) 𝟖 𝑬𝒂 = −

(𝒃 − 𝒂)𝟓 (𝟒) 𝒇 (𝝃) 𝟔𝟒𝟖𝟎

Procedemos a calcular cada una de las fórmulas que se nos indica 𝒉=

𝒃−𝒂 𝟑−𝟎 = = 𝟏 𝟑 𝟑

Calcular los intervalos: 𝒙𝟎 = 𝒇(𝟎) = 𝟎 𝒙𝟏 = 𝒇(𝟏) = 𝟎. 𝟔𝟑𝟐𝟏𝟐𝟎 𝒙𝟐 = 𝒇(𝟐) = 𝟎. 𝟖𝟔𝟒𝟔𝟔𝟒 𝒙𝟑 = 𝒇(𝟑) = 𝟎. 𝟗𝟓𝟎𝟐𝟏𝟐 Sustituir en la fórmula: 𝟎 + 𝟑(𝟎. 𝟔𝟑𝟐𝟏𝟐𝟎) + 𝟑(𝟎. 𝟖𝟔𝟒𝟔𝟔𝟒) + 𝟎. 𝟗𝟓𝟎𝟐𝟏𝟐 𝑰 = (𝟑 − 𝟎) ( ) 𝟖 𝑰 = 𝟐. 𝟎𝟒𝟎𝟐𝟏𝟏𝟓

Calculemos el error (𝟑 − 𝟎)𝟓 (𝟎. 𝟑𝟏𝟔𝟕𝟑𝟕𝟑) = −𝟎. 𝟎𝟏𝟏𝟖𝟔𝟔𝟑𝟗𝟖 𝑬𝒂 = − 𝟔𝟒𝟖𝟎

21.3 Evalué la siguiente integral 𝟒

∫ (𝟏 − 𝒙 − 𝟒𝒙𝟑 + 𝟐𝒙𝟓 )𝒅𝒙 −𝟐

a) En forma analística 𝟒

𝒙𝟐 𝒙𝟔 𝟒 𝟒 ∫ (𝟏 − 𝒙 − 𝟒𝒙 + 𝟐𝒙 )𝒅𝒙 = [𝒙 − − 𝒙 + ] 𝟐 𝟑 −𝟐 −𝟐 𝟑

𝟓

Evaluamos (𝟒)𝟐 (𝟒)𝟔 (−𝟐)𝟐 (−𝟐)𝟔 𝟒 𝟒 = [(𝟒) − − (𝟒) + ] − [(−𝟐) − − (−𝟐) + ] 𝟐 𝟑 𝟐 𝟑 =

𝟑𝟑𝟏𝟔 𝟒 − = 𝟏𝟏𝟎𝟒 𝒖𝟐 𝟑 𝟑

b) Con una aplicación de la regla del trapecio Se utilizaran las siguiente formulas, 𝑰 = (𝒃 − 𝒂) (

𝒇(𝒂) + 𝒇(𝒃) ) 𝟐

𝒇(𝒂) = (𝟏 − (−𝟐) − 𝟒(−𝟐)𝟑 + 𝟐(−𝟐)𝟓 ) = 𝟐𝟗 𝒇(𝒃) = (𝟏 − (𝟒) − 𝟒(𝟒)𝟑 + 𝟐(𝟒)𝟓 ) = 𝟏𝟕𝟖𝟗 𝒂 = −𝟐 𝒃=𝟒 Sustituimos los valores a la formula: 𝟐𝟗 + 𝟏𝟕𝟖𝟗 𝑰 = (𝟑 − 𝟎) ( ) = 𝟓𝟒𝟓𝟒 𝒖𝟐 𝟐 Calcular el error. 𝑬𝒕 = − Se debe obtener el valor de 𝒇′′ (𝝃)

𝟏 ′′ 𝒇 (𝝃)(𝒃 − 𝒂)𝟑 𝟏𝟐

𝒃

′′ (𝝃)

𝒇

∫ 𝒇′′(𝒙)𝒅𝒙 = 𝒂 𝒃−𝒂

El cual nos pide en la formula la 2 derivada de la función 𝒇´(𝒙) = −𝟏 − 𝟏𝟐𝒙𝟐 + 𝟏𝟎𝒙𝟒

𝒇´´(𝒙) = −𝟐𝟒𝒙 + 𝟒𝟎𝒙𝟑

Una vez encontrada procedemos a sustituir en la formula dada: 𝟑

′′ (𝝃)

𝒇

∫ (−𝟐𝟒𝒙 + 𝟒𝟎𝒙𝟑 )𝒅𝒙 [−𝟏𝟐 (𝟒)𝟐 + 𝟏𝟎(𝟒)𝟒 ] − [−𝟏𝟐 (−𝟐)𝟐 + 𝟏𝟎(−𝟐)𝟒 ] = 𝟎 = 𝟑+𝟐 𝟔 𝒇′′ (𝝃) = 𝟑𝟕𝟔

El resultado anterior es sustituido en la fórmula para obtener el error. 𝑬𝒕 = −

𝟏 (𝟑𝟕𝟔)(𝟒 + 𝟐)𝟑 = −𝟔𝟕𝟔𝟖 𝒖𝟐 𝟏𝟐

c) Con la regla del trapecio compuesta, con 𝒏 = 𝟐 𝒚 𝟒 Formulas a ocupar son las siguientes Primero haremos cuando n equivale a 2, utilizamos las siguientes fórmulas: 𝒉=

𝑰 = (𝒃 − 𝒂) (

𝒃−𝒂 𝒏

𝒇(𝒙𝟎 ) + 𝟐 ∑𝒏𝒊−𝟏 𝒇(𝒙𝟏 ) + 𝒇(𝒙𝒏 ) ) 𝟐𝒏

De igual manera en este método se calcula el error que existe en la formula. (𝒃 − 𝒂)𝟑 ′′ 𝑬𝒂 = − 𝒇 (𝝃) 𝟏𝟐𝒏𝟐 Procedemos a calcular, empezamos con el valor de h 𝒉=

𝟒+𝟐 𝟔 = =𝟑 𝟐 𝟐

Evaluamos 𝒙𝟎 = 𝒇(−𝟐) = 𝟐𝟗 𝒙𝟏 = 𝒇(𝟏) = −𝟐 𝒙𝒏 = 𝒇(𝟒) = 𝟏𝟕𝟖𝟗 Los valores que se han encontrado procedemos a sustituirlos en la fórmula: 𝟐𝟗 + 𝟐(−𝟐) + 𝟏𝟕𝟖𝟗 𝑰 = (𝟒 + 𝟐) ( ) 𝟐(𝟐) 𝑰 = 𝟐𝟕𝟐𝟏 Procedemos a calcular el error 𝑬𝒂 = −

(𝟒 + 𝟐)𝟑 (𝟑𝟕𝟔) 𝟏𝟐(𝟐)𝟐

𝑬𝒂 = −𝟏𝟔𝟗𝟐 Ahora procedemos a calcular de la misma manera pero con la excepción del valor de 𝒏 = 𝟒. 𝒉=

𝟒+𝟐 𝟔 = 𝟒 𝟒

Evaluamos 𝒙𝟎 = 𝒇(−𝟐) = 𝟐𝟗 𝒙𝟏 = 𝒇(−𝟎. 𝟓) =

𝟑𝟏 𝟏𝟔

𝒙𝟐 = 𝒇(𝟏) = −𝟐 𝒙𝟑 = 𝒇(𝟐. 𝟓) = 𝟏𝟑𝟏. 𝟑𝟏𝟐𝟓 𝒙𝒏 = 𝒇(𝟒) = 𝟏𝟕𝟖𝟗 Los valores que se han encontrado procedemos a sustituirlos en la fórmula:

𝟑𝟏 𝟐𝟗 + 𝟐 (𝟏𝟔 − 𝟐 + 𝟏𝟑𝟏. 𝟑𝟏𝟐𝟓) + 𝟏𝟕𝟖𝟗 𝑰 = (𝟒 + 𝟐) ( ) 𝟐(𝟒) 𝑰 = 𝟏𝟓𝟔𝟎. 𝟑𝟕𝟓 Procedemos a calcular el error (𝟒 + 𝟐)𝟑 (𝟑𝟕𝟔) 𝑬𝒂 = − 𝟏𝟐(𝟒)𝟐 𝑬𝒂 = −𝟒𝟐𝟑 d) Con una aplicación de la regla de Simpson 1/3 Utilizaremos las siguientes formulas: 𝑰 = (𝒃 − 𝒂) (

𝒇(𝒙𝟎 ) + 𝟒 𝒇(𝒙𝟏 ) + 𝒇(𝒙𝟐 ) ) 𝟔

(𝒃 − 𝒂)𝟓 (𝟒) 𝑬𝒂 = − 𝒇 (𝝃) 𝟐𝟖𝟖𝟎 Procedemos a calcular: 𝒉=

𝒃−𝒂 𝟒+𝟐 𝟔 = = =𝟑 𝟐 𝟐 𝟐

Evaluamos con los valores de cada uno de los segmentos: 𝒙𝟎 = 𝒇(−𝟐) = 𝟐𝟗 𝒙𝟏 = 𝒇(𝟏 ) = −𝟐 𝒙𝟐 = 𝒇(𝟒) = 𝟏𝟕𝟖𝟗 Sustituimos los valores en la formula 𝟐𝟗 + 𝟒 (−𝟐) + 𝟏𝟕𝟖𝟗 𝑰 = (𝟑 − 𝟎) ( ) 𝟔 𝑰 = 𝟏𝟖𝟏𝟎

Ahora calcularemos el error, si observamos en la formula nos indica que debemos tener la cuarta derivada de la función, para que enseguida se utilice en la fórmula para obtener 𝒇´(𝒙) = −𝟏 − 𝟏𝟐𝒙𝟐 + 𝟏𝟎𝒙𝟒

𝒇´´(𝒙) = −𝟐𝟒𝒙 + 𝟒𝟎𝒙𝟑

𝒇′′′ (𝒙) = −𝟐𝟒 + 𝟏𝟐𝟎𝒙𝟐

𝒇𝟒 (𝒙) = 𝟐𝟒𝟎𝒙

Calculando 𝒇(𝟒) (𝝃) 𝒃

(𝟒) (𝝃)

𝒇

∫ 𝒇(𝟒) (𝒙)𝒅𝒙 = 𝒂 𝒃−𝒂

𝟒

(𝟒) (𝝃)

𝒇

𝟒 [𝟏𝟐𝟎𝒙𝟐 ] −𝟐 ∫−𝟐 𝟐𝟒𝟎𝒙 𝒅𝒙 [𝟏𝟐𝟎(𝟒)𝟐 ] − [𝟏𝟐𝟎(−𝟐)𝟐 ] = = = 𝟒+𝟐 𝟒+𝟐 𝟔

𝒇(𝟒) (𝝃) = 𝟐𝟒𝟎 Sustituimos en la fórmula de error. 𝑬𝒂 = −

(𝟒 + 𝟐)𝟓 (𝟐𝟒𝟎) = − 𝟔𝟒𝟖 𝟐𝟖𝟖𝟎

e) Con la regla de Simpson 3/8 Para este método se utiliza la siguientes formulas 𝒉=

𝒃−𝒂 𝟑

𝒇(𝒙𝟎 ) + 𝟑𝒇(𝒙𝟏 ) + 𝟑𝒇(𝒙𝟐 ) + 𝒇(𝒙𝟑 ) 𝑰 = (𝒃 − 𝒂) ( ) 𝟖 𝑬𝒂 = −

(𝒃 − 𝒂)𝟓 (𝟒) 𝒇 (𝝃) 𝟔𝟒𝟖𝟎

Procedemos a calcular cada una de las fórmulas que se nos indica 𝒉=

𝒃−𝒂 𝟔 = = 𝟐 𝟑 𝟑

Calcular los intervalos: 𝒙𝟎 = 𝒇(−𝟐) = 𝟐𝟗 𝒙𝟏 = 𝒇(𝟎) = 𝟏 𝒙𝟐 = 𝒇(𝟐) = 𝟑𝟏 𝒙𝟑 = 𝒇(𝟒) = 𝟏𝟕𝟖𝟗 Sustituir en la fórmula: 𝑰 = (𝟒 + 𝟐) (

𝟐𝟗 + 𝟑(𝟏) + 𝟑(𝟑𝟏) + 𝟏𝟕𝟖𝟗 ) 𝟖 𝑰 = 𝟏𝟓𝟑𝟓. 𝟓

Calculemos el error 𝑬𝒂 = −

(𝟒 + 𝟐)𝟓 (𝟐𝟒𝟎) = −𝟐𝟖𝟖 𝟔𝟒𝟖𝟎

21.4 Integre la función siguiente en la forma analítica y con el empleo de la regla del trapecio, con 𝒏 = 𝟏, 𝟐, 𝟑 𝒚 𝟒 𝟏 𝟐 ∫ (𝒙 + ) 𝒅𝒙 𝒙 𝟏 𝟐

En forma analítica: [

(𝟐)𝟑 (𝟏)𝟑 𝒙𝟑 𝟏 𝟐 𝟏 𝟏 + 𝟐𝒙 − ] = [ + 𝟐(𝟐) − ]−[ + 𝟐(𝟏) − ] (𝟐) (𝟏) 𝟑 𝒙 𝟏 𝟑 𝟑 =[

𝟑𝟕 𝟒 𝟐𝟗 − ]= 𝟔 𝟑 𝟔

Método del trapecio Se utilizaran las siguiente formulas, 𝑰 = (𝒃 − 𝒂) (

𝒇(𝒂) + 𝒇(𝒃) ) 𝟐

𝟏 𝟐 𝒇(𝒂) = ((𝟏) + ) =𝟒 (𝟏) 𝟏 𝟐 𝒇(𝒃) = ((𝟐) + ) = 𝟔. 𝟐𝟓 (𝟐) 𝒂=𝟏 𝒃=𝟐 Sustituimos los valores a la fórmula: 𝑰 = (𝟐 − 𝟏) (

𝟒 + 𝟔. 𝟐𝟓 ) = 𝟓. 𝟏𝟐𝟓 𝒖𝟐 𝟐

Calcular el error. 𝑬𝒕 = − Se debe obtener el valor de 𝒇′′ (𝝃)

𝟏 ′′ 𝒇 (𝝃)(𝒃 − 𝒂)𝟑 𝟏𝟐

𝒃

′′ (𝝃)

𝒇

∫ 𝒇′′(𝒙)𝒅𝒙 = 𝒂 𝒃−𝒂

El cual nos pide en la formula la 2 derivada de la función 𝟐(𝒙𝟒 + 𝟑) 𝒇´´(𝒙) = 𝒙𝟒 Una vez encontrada procedemos a sustituir en la formula dada: 𝟒 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐(𝒙 + 𝟑) [𝟐(𝟐) − ] − [𝟐(𝟏) − ] 𝟏𝟓 ) 𝒅𝒙 ∫𝟏 ( 𝟑 𝟒 (𝟐) (𝟏)𝟑 𝒙 ′′ (𝝃) 𝒇 = = = 𝟐−𝟏 𝟏 𝟒

El resultado anterior es sustituido en la fórmula para obtener el error. 𝑬𝒕 = −

𝟏 𝟏𝟓 𝟓 ( ) (𝟏)𝟑 = 𝒖𝟐 𝟏𝟐 𝟒 𝟏𝟔

Iniciamos ahora con 𝒏 = 𝟐 Formulas a ocupar son las siguientes Primero haremos cuando n equivale a 2, utilizamos las siguientes fórmulas: 𝒉=

𝒃−𝒂 𝒏

𝒇(𝒙𝟎 ) + 𝟐 ∑𝒏𝒊−𝟏 𝒇(𝒙𝟏 ) + 𝒇(𝒙𝒏 ) 𝑰 = (𝒃 − 𝒂) ( ) 𝟐𝒏 De igual manera en este método se calcula el error que existe en la formula. (𝒃 − 𝒂)𝟑 ′′ 𝑬𝒂 = − 𝒇 (𝝃) 𝟏𝟐𝒏𝟐 Procedemos a calcular, empezamos con el valor de h 𝒉=

𝟐−𝟏 𝟏 = 𝟐 𝟐

Evaluamos 𝒙𝟎 = 𝒇(𝟏) = 𝟒 𝒙𝟏 = 𝒇(𝟏. 𝟓) =

𝟏𝟔𝟗 𝟑𝟔

𝒙𝒏 = 𝒇(𝟐) = 𝟔. 𝟐𝟓 Los valores que se han encontrado procedemos a sustituirlos en la fórmula: 𝟏𝟔𝟗 𝟒 + 𝟐( ) + 𝟔. 𝟐𝟓 𝟑𝟔 𝑰 = (𝟒 + 𝟐) ( ) 𝟐(𝟐) 𝑰 = 𝟒. 𝟗𝟎𝟗𝟕𝟐 Procedemos a calcular el error 𝑬𝒂 = −

(𝟐 − 𝟏)𝟑 𝟏𝟓 ( ) 𝟏𝟐(𝟐)𝟐 𝟒

𝑬𝒂 = −

𝟓 𝟔𝟒

Ahora con valor de 𝒏 = 𝟑 Procedemos a calcular, empezamos con el valor de h 𝒉=

𝟐−𝟏 𝟏 = 𝟑 𝟑

Evaluamos 𝒙𝟎 = 𝒇(𝟏) = 𝟒 𝟒 𝒙𝟏 = 𝒇 ( ) = 𝟒. 𝟑𝟒𝟎𝟐𝟕𝟕 𝟑 𝟓 𝒙𝟏 = 𝒇 ( ) = 𝟓. 𝟏𝟑𝟕𝟕𝟕 𝟑 𝒙𝒏 = 𝒇(𝟐) = 𝟔. 𝟐𝟓

Los valores que se han encontrado procedemos a sustituirlos en la fórmula: 𝟒 + 𝟐(𝟓. 𝟏𝟑𝟕𝟕𝟕 + 𝟒. 𝟑𝟒𝟎𝟐𝟕𝟕) + 𝟔. 𝟐𝟓 𝑰 = (𝟒 + 𝟐) ( ) 𝟐(𝟑) 𝑰 = 𝟒. 𝟖𝟔𝟕𝟔𝟖𝟐𝟓 Procedemos a calcular el error (𝟐 − 𝟏)𝟑 𝟏𝟓 𝑬𝒂 = − ( ) 𝟏𝟐(𝟑)𝟐 𝟒 𝑬𝒂 = −

𝟓 𝟏𝟒𝟒

Ahora con 𝒏 = 𝟒 Procedemos a calcular, empezamos con el valor de h 𝒉=

𝟐−𝟏 𝟏 = 𝟑 𝟑

Evaluamos 𝒙𝟎 = 𝒇(𝟏) = 𝟒 𝒙𝟏 = 𝒇(𝟏. 𝟐𝟓) = 𝟒. 𝟐𝟎𝟐𝟓 𝒙𝟐 = 𝒇(𝟏. 𝟓) =

𝟏𝟔𝟗 𝟑𝟔

𝒙𝟑 = 𝒇(𝟏. 𝟕𝟓) = 𝟓. 𝟑𝟖𝟒𝟎𝟑𝟎 𝒙𝒏 = 𝒇(𝟐) = 𝟔. 𝟐𝟓 Los valores que se han encontrado procedemos a sustituirlos en la fórmula: 𝟒 + 𝟐 (𝟒. 𝟐𝟎𝟐𝟓 + 𝑰 = (𝟒 + 𝟐) (

𝟏 + 𝟔𝟗 𝟑𝟔 + 𝟓. 𝟑𝟖𝟒𝟎𝟑𝟎) + 𝟔. 𝟐𝟓) 𝟐(𝟑)

𝑰 = 𝟒. 𝟖𝟓𝟐𝟕𝟒𝟑 Procedemos a calcular el error

𝑬𝒂 = −

(𝟐 − 𝟏)𝟑 𝟏𝟓 ( ) 𝟏𝟐(𝟒)𝟐 𝟒

𝑬𝒂 = −

𝟓 𝟐𝟓𝟔

21.5 integre la función siguiente en forma analítica con la regla de Simpson, con 𝒏 = 𝟒 𝒚 𝟓 analice los resultados. 𝟓

∫ (𝟒𝒙 − 𝟑)𝟑 𝒅𝒙 −𝟑

[

𝟏 𝟓 𝟏 𝟏 (𝟒𝒙 − 𝟑)𝟒 ] = [ (𝟒(𝟓) − 𝟑)𝟒 ] − [ (𝟒(−𝟑) − 𝟑)𝟒 ] 𝟏𝟔 −𝟑 𝟏𝟔 𝟏𝟔 [𝟓𝟐𝟐𝟎. 𝟎𝟔𝟐𝟓] − [𝟑𝟏𝟔𝟒. 𝟎𝟔𝟐𝟓] = 𝟐𝟎𝟓𝟔 𝒖𝟐

Utilizaremos la regla de Simpson múltiple 1/3 Para este método se requiere de las siguientes formulas: 𝒉=

𝑰 = (𝒃 − 𝒂) (

𝒃−𝒂 𝒏

𝒇(𝒙𝟎 ) + 𝟒 ∑𝒏𝒊=𝟏,𝟑,𝟓 𝒇(𝒙𝒊 ) + 𝟐 ∑𝒏𝒋=𝟏,𝟑,𝟓 𝒇(𝒙𝒋 ) + 𝒇(𝒙𝒏 ) 𝟑𝒏 𝑬𝒂 = −

(𝒃 − 𝒂)𝟓 (𝟒) 𝒇 (𝝃) 𝟏𝟖𝟎𝒏𝟒

Procedemos con el cálculo: 𝒉=

𝒃−𝒂 𝟓+𝟐 𝟖 = = 𝒏 𝟒 𝟒

Calcular los intervalos: 𝒙𝟎 = 𝒇(−𝟑) = −𝟑𝟑𝟕𝟓 𝒙𝟏 = 𝒇(−𝟏) = −𝟑𝟒𝟑 𝒙𝟐 = 𝒇(𝟏) = 𝟏 𝒙𝟑 = 𝒇(𝟑) = 𝟕𝟐𝟗

)

𝒙𝒏 = 𝒇(𝟓) = 𝟒𝟗𝟏𝟑 Calcular con la fórmula: 𝝅 𝟐

𝑰 = ( − 𝟎) (

−𝟑𝟑𝟕𝟓 + 𝟒(−𝟑𝟒𝟑 + 𝟕𝟐𝟗) + 𝟐(𝟏) + 𝟒𝟗𝟏𝟑 ) 𝟏𝟐

𝑰 = 𝟐𝟎𝟓𝟔 𝒖^𝟐 𝑬𝒂 = −

(𝟑 − 𝟎)𝟓 (𝟎) = 𝒏𝒐 𝒆𝒙𝒊𝒔𝒕𝒆 𝒆𝒓𝒓𝒐𝒓 𝟏𝟖𝟎(𝟒)𝟒

Ahora con 𝒏 = 𝟓 Procedemos con el cálculo: 𝒉=

𝒃−𝒂 𝟓+𝟐 𝟖 = = 𝒏 𝟒 𝟒

Calcular los intervalos: 𝒙𝟎 = 𝒇(−𝟑) = −𝟑𝟑𝟕𝟓 𝒙𝟏 = 𝒇(−𝟏. 𝟒) = −𝟔𝟑𝟔. 𝟎𝟓𝟔 𝒙𝟐 = 𝒇(𝟎. 𝟐) = −𝟏𝟎. 𝟔𝟒𝟖 𝒙𝟑 = 𝒇(𝟏. 𝟖) = 𝟕𝟒. 𝟎𝟖𝟖 𝒙𝟒 = 𝒇(𝟑. 𝟒) = 𝟏𝟏𝟗𝟏. 𝟎𝟏𝟔 𝒙𝒏 = 𝒇(𝟓) = 𝟒𝟗𝟏𝟑 Calcular con la fórmula: 𝝅 𝟐

𝑰 = ( − 𝟎) (

−𝟑𝟑𝟕𝟓 + 𝟒(−𝟔𝟑𝟔. 𝟎𝟓𝟔 + 𝟕𝟒. 𝟎𝟖𝟖) + 𝟐(−𝟏𝟎. 𝟔𝟒𝟖 + 𝟏𝟏𝟗𝟏. 𝟎𝟏𝟔) + 𝟒𝟗𝟏𝟑 ) 𝟏𝟐

𝑰 = 𝟏𝟔𝟓𝟎. 𝟖𝟔𝟒𝒖𝟐 𝑬𝒂 = −

(𝟑 − 𝟎)𝟓 (𝟎) = 𝒏𝒐 𝒆𝒙𝒊𝒔𝒕𝒆 𝒆𝒓𝒓𝒐𝒓 𝟏𝟖𝟎(𝟒)𝟒

21.6.- Integre la función siguiente tanto en forma analítica como numérica. Emplee las reglas del trapecio y de Simpson 1/3 para integrar numéricamente la función. Para ambos caso, utilice la versión de aplicación múltiple, con n=4. Calcule los errores relativos porcentuales para los resultados numéricos, 3

∫ 𝑥 2 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 0

Procedemos a integrar la función de manera analítica: 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 𝑒 𝑥 3

3 ∫ 𝑥 2 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥 (𝑥 2 − 2𝑥 + 2) | = 𝑒 3 (32 − 2(3) + 2) = 𝟏𝟎𝟎. 𝟒𝟐𝟕𝟔𝟖𝟒𝟔 0 0 a) Regla del trapecio de aplicación múltiple Ahora procedemos a calcular por medio de la regla ya mencionada. Para ello vamos a emplear las siguientes formulas: ℎ=

𝑏−𝑎 (tamaño de paso) 𝑛

𝐼 = (𝑏 − 𝑎) 𝜀𝑎 = −

𝑓(𝑥0 ) + 2 ∑𝑛𝑖=1 𝑓(𝑥𝑖 ) + 𝑓(𝑥𝑛 ) 2𝑛

(𝑏−𝑎)3 12𝑛2

𝑓 ′′ 𝜉 (error relativo porcentual)

Donde; 𝑏 = 3 (𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙) 𝑎 = 0 (𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙) 𝑛 = 4 (número de segmentos que tiene el intervalo de integración)  Como primer paso calculamos ℎ ℎ=  Ahora vamos a calcular 𝐼

𝑏−𝑎 3−0 3 = = =. 𝟕𝟓 𝑛 4 4

Primeramente se tendrá que evaluar el valor de cada segmento en la función. 𝑥0 = 0 ⇒ 𝑓(𝑥0 ) = (0)2 𝑒 0 = 0 𝑥1 = .75 ⇒ 𝑓(𝑥1 ) = (.75)2 𝑒 .75 = 1.190812509 𝑥2 = 1.5 ⇒ 𝑓(𝑥2 ) = (1.5)2 𝑒 1.5 = 10.08380041 𝑥3 = 2.25 ⇒ 𝑓(𝑥3 ) = (2.25)2 𝑒 2.25 = 48.03166267 𝑥𝑛 = 3 ⇒ 𝑓(𝑥𝑛 ) = (3)2 𝑒 3 = 180.7698323

𝐼 = (𝑏 − 𝑎)

𝑓(𝑥0 ) + 2 ∑𝑛𝑖=1 𝑓(𝑥𝑖 ) + 𝑓(𝑥𝑛 ) 2𝑛

𝐼 = (3 − 0)

0 + 2(1.190812509 + 10.08380041 + 48.03166267) + 180.7698323 2(4)

𝐼 = (3)

299.38238335 = 𝟏𝟏𝟐. 𝟐𝟔𝟖𝟑𝟗𝟑𝟖 8

 Para terminar calcularemos el error relativo porcentual Para realizar este cálculo primero se debe tener el valor de 𝑓 ′′ 𝜉 para ello haremos uso de la siguiente fórmula: 𝑏

∫ 𝑓 ′′ (𝑥) 𝑓 𝜉= 𝑎 (𝑏 − 𝑎) ′′

De acuerdo a la formula tenemos que derivar dos veces la función inicial dada. 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 𝑒 𝑥 𝑓′(𝑥) = 𝑒 𝑥 (𝑥 2 + 2𝑥) 𝑓´´(𝑥) = 𝑒 𝑥 (𝑥 2 + 4𝑥 + 2) 3 3 𝑥 2 (3) 2 𝑒 𝑥 (𝑥 2 + 2𝑥) | 𝑒 (𝑥 + 4𝑥 + 2) 𝑑𝑥 ∫ 0 = 𝑒 (3 + 2(3)) = 301.2830538 𝑓 ′′ 𝜉 = 0 = (3 − 0) 3 3 3 = 𝟏𝟎𝟎. 𝟒𝟐𝟕𝟔𝟖𝟒𝟔

Con estos datos ahora si podemos calcular el error relativo porcentual. (𝑏 − 𝑎)3 ′′ 𝜀𝑎 = − 𝑓 𝜉 12𝑛2 𝜀𝑎 = −

(3 − 0)3 (3)3 27 (100.4276846) (327.5889002) (100.4276846) = − = − 12(4)2 12(16) 192 = −𝟏𝟒. 𝟏𝟐𝟐𝟔𝟒𝟑𝟏𝟓

b) Regla de Simpson 1/3 de aplicación múltiple Formulas a utilizar en esta regla; ℎ=

𝑏−𝑎 (tamaño de paso) 𝑛

𝑛=2 𝑓(𝑥0 ) + 4 ∑𝑛=1 𝑖=1,3,5 𝑓(𝑥𝑖 ) + 2 ∑𝑖=2,4,6 𝑓(𝑥𝑗 ) + 𝑓(𝑥𝑛 ) 𝐼 ≅ (𝑏 − 𝑎) 3𝑛

𝜀𝑎 = −

(𝑏−𝑎)5 180𝑛4

𝑓 (4) 𝜉 (error relativo porcentual)

Donde; 𝑏 = 3 (𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙) 𝑎 = 0 (𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙) 𝑛 = 4 (número de segmentos que tiene el intervalo de integración)  Como primer paso calculamos ℎ ℎ=

𝑏−𝑎 3−0 3 = = =. 𝟕𝟓 𝑛 4 4

 Ahora vamos a calcular 𝐼 Primeramente se tendrá que calcular los intervalos. 𝑥0 = 0 ⇒ 𝑓(𝑥0 ) = (0)2 𝑒 0 = 0 𝑥1 = .75 ⇒ 𝑓(𝑥1 ) = (.75)2 𝑒 .75 = 1.190812509 𝑥2 = 1.5 ⇒ 𝑓(𝑥2 ) = (1.5)2 𝑒 1.5 = 10.08380041

𝑥3 = 2.25 ⇒ 𝑓(𝑥3 ) = (2.25)2 𝑒 2.25 = 48.03166267 𝑥𝑛 = 3 ⇒ 𝑓(𝑥𝑛 ) = (3)2 𝑒 3 = 180.7698323

𝐼 ≅ (𝑏 − 𝑎)

𝑛=2 𝑓(𝑥0 ) + 4 ∑𝑛=1 𝑖=1,3,5 𝑓(𝑥𝑖 ) + 2 ∑𝑖=2,4,6 𝑓(𝑥𝑗 ) + 𝑓(𝑥𝑛 ) 3𝑛

𝐼 ≅ (3 − 0)

0 + 4(1.190812509 + 48.03166267) + 2(10.08380041) + 180.7698323 3(4)

𝐼 ≅ (3)

196.8899007 + 20.16760082 + 180.7698323 397.8273338 ≅ (3) 12 12 ≅ 𝟗𝟗. 𝟒𝟓𝟔𝟖𝟑𝟑𝟒𝟔

 Para terminar calcularemos el error relativo porcentual Para realizar este cálculo primero se debe tener el valor de 𝑓 (4) 𝜉 para ello haremos uso de la siguiente fórmula: 𝑏

𝑓

(4)

∫𝑎 𝑓 (4) (𝑥) 𝜉 = (𝑏 − 𝑎)

De acuerdo a la formula tenemos que derivar cuatro veces la función inicial dada. 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 𝑒 𝑥 𝑓′(𝑥) = 𝑒 𝑥 (𝑥 2 + 2𝑥) 𝑓´´(𝑥) = 𝑒 𝑥 (𝑥 2 + 4𝑥 + 2) 𝑓´´(𝑥) = 𝑒 𝑥 (𝑥 2 + 6𝑥 + 6) 𝑓 (4) (𝑥) = 𝑒 𝑥 (𝑥 2 + 8𝑥 + 12) 3 3 𝑥 2 𝑒 𝑥 (𝑥 2 + 6𝑥 + 6) | 𝑒 (𝑥 + 8𝑥 + 12) 𝑑𝑥 ∫ 𝑒 3 (32 + 6(3) + 6) 0 0 (4) 𝑓 𝜉= = = (3 − 0) (3 − 0) 3 = 𝟐𝟐𝟎. 𝟗𝟒𝟎𝟗𝟎𝟔𝟐

Con estos datos ahora si podemos calcular el error relativo porcentual. (𝑏 − 𝑎)5 (4) 𝜀𝑎 = − 𝑓 𝜉 180𝑛4 (3 − 0)5 (220.9409062) = 𝟏. 𝟏𝟔𝟓𝟏𝟏𝟖𝟎𝟔 𝜀𝑎 = − 180(4)4 21.7.- Integre la función siguiente tanto en forma analítica como numérica. Para las evaluaciones numéricas use a) una sola aplicación de la regla del trapecio, b) la regla de Simpson 1/3, c) la regla de Simpson 3/8, d) la regla de Boole, e) el método del punto medio, f) la formula de integración abierta de 3 segmentos y 2 puntos, y g) la formula de integración abierta de 4 segmentos y 3 puntos. Calcule los errores relativos porcentuales de los resultados numéricos.

1

∫ 152𝑥 𝑑𝑥 0

Procedemos a integrar la función de manera analítica: 1

∫ 152𝑥 𝑑𝑥 = 0

152𝑥 152(1) 225 1 | = = = 𝟒𝟏. 𝟓𝟒𝟐𝟖𝟎𝟒𝟒𝟕 2 ∗ ln(15) 0 2 ∗ ln(15) 5.416100402

a) una sola aplicación de la regla del trapecio Se emplearan las siguientes formulas: ℎ=

𝑏−𝑎 (tamaño de paso) 𝑛

𝐼 = (𝑏 − 𝑎) 𝜀𝑎 = −

𝑓(𝑥0 ) + 2 ∑𝑛𝑖=1 𝑓(𝑥𝑖 ) + 𝑓(𝑥𝑛 ) 2𝑛

(𝑏−𝑎)3 12𝑛2

𝑓 ′′ 𝜉 (error relativo porcentual)

Donde; 𝑏 = 1 (𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙) 𝑎 = 0 (𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙)

𝑛 = 2 (número de segmentos que tiene el intervalo de integración)  Como primer paso calculamos ℎ ℎ=

𝑏−𝑎 1−0 1 = = =. 𝟓 𝑛 2 2

 Ahora vamos a calcular 𝐼 Primeramente se tendrá que evaluar el valor de cada segmento en la función. 𝑥0 = 0 ⇒ 𝑓(𝑥0 ) = 152(0) = 1 𝑥1 = .5 ⇒ 𝑓(𝑥1 ) = 152(.5) = 15 𝑥𝑛 = 1 ⇒ 𝑓(𝑥𝑛 ) = 152(1) = 225

𝐼 = (𝑏 − 𝑎)

𝑓(𝑥0 ) + 2 ∑𝑛𝑖=1 𝑓(𝑥𝑖 ) + 𝑓(𝑥𝑛 ) 2𝑛

𝐼 = (1 − 0)

1 + 2(15) + 225 2(2)

𝐼 = (1)

1 + 30 + 225 256 = (1) = 𝟔𝟒 4 4

 Para terminar calcularemos el error relativo porcentual Para realizar este cálculo primero se debe tener el valor de 𝑓 ′′ 𝜉 para ello haremos uso de la siguiente fórmula: 𝑏

∫𝑎 𝑓 ′′ (𝑥) ′′ 𝑓 𝜉= (𝑏 − 𝑎) De acuerdo a la formula tenemos que derivar dos veces la función inicial dada. 𝑓(𝑥) = 152𝑥 𝑓′(𝑥) = 2 ∗ 152𝑥 ln(15)

𝑓´´(𝑥) = 152𝑥 (4 ln(5)2 + 8 ln(3) ln(5) + 4 ln(3)2 ) 1 1 2𝑥 2 2 2 ∗ 152𝑥 ln(15) | 15 (4 ln (5) + 8 ln(3) ln(5) + 4 ln (3) ) 𝑑𝑥 ∫ 0 0 𝑓 ′′ 𝜉 = = (1 − 0) 1 2 ∗ 152(1) ln(15) 1218.62259 = = = 1218.62259 1 1 Con estos datos ahora si podemos calcular el error relativo porcentual. (𝑏 − 𝑎)3 ′′ 𝜀𝑎 = − 𝑓 𝜉 12𝑛2 (1 − 0)3 (1)3 1 (1218.62259) (1218.62259) (1218.62259) 𝜀𝑎 = − = − = − 12(2)2 12(4) 48 = −𝟐𝟓. 𝟑𝟖𝟕𝟗𝟕𝟎𝟔𝟑

b) la regla de Simpson 1/3 Se emplearan las siguientes formulas: ℎ=

𝑏−𝑎 (tamaño de paso) 𝑛 ⇐ 𝑑𝑒𝑏𝑒 𝑠𝑒𝑟 𝑝𝑎𝑟

𝑛=2 𝑓(𝑥0 ) + 4 ∑𝑛=1 𝑖=1,3,5 𝑓(𝑥𝑖 ) + 2 ∑𝑖=2,4,6 𝑓(𝑥𝑗 ) + 𝑓(𝑥𝑛 ) 𝐼 ≅ (𝑏 − 𝑎) 3𝑛

𝜀𝑎 = −

(𝑏−𝑎)5 180𝑛4

𝑓 (4) 𝜉 (error relativo porcentual)

Donde; 𝑏 = 1(𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙) 𝑎 = 0 (𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙) 𝑛 = 4 (número de segmentos que tiene el intervalo de integración)  Como primer paso calculamos ℎ ℎ=

𝑏−𝑎 1−0 1 = = =. 𝟐𝟓 𝑛 4 4

 Ahora vamos a calcular 𝐼 Primeramente se tendrá que calcular los intervalos. 𝑥0 = 0 ⇒ 𝑓(𝑥0 ) = 152(0) = 1 𝑥1 = .25 ⇒ 𝑓(𝑥1 ) = 152(.25) = 3.872983346 𝑥2 = .5 ⇒ 𝑓(𝑥2 ) = 152(.5) = 15 𝑥3 = .75 ⇒ 𝑓(𝑥3 ) = 152(.75) = 58.09475019 𝑥𝑛 = 1 ⇒ 𝑓(𝑥𝑛 ) = 152(1) = 225

𝑛=2 𝑓(𝑥0 ) + 4 ∑𝑛=1 𝑖=1,3,5 𝑓(𝑥𝑖 ) + 2 ∑𝑖=2,4,6 𝑓(𝑥𝑗 ) + 𝑓(𝑥𝑛 ) 𝐼 ≅ (𝑏 − 𝑎) 3𝑛

𝐼 ≅ (1 − 0)

𝐼 ≅ (1)

1 + 4(3.872983346 + 58.09475019) + 2(15) + 225 3(4)

1 + 247.8709341 + 30 + 225 503.8709341 ≅ (1) ≅ 𝟒𝟏. 𝟗𝟖𝟗𝟐𝟒𝟒𝟓𝟏 12 12

 Para terminar calcularemos el error relativo porcentual Para realizar este cálculo primero se debe tener el valor de 𝑓 (4) 𝜉 para ello haremos uso de la siguiente fórmula: 𝑏

𝑓

(4)

∫ 𝑓 (4) (𝑥) 𝜉= 𝑎 (𝑏 − 𝑎)

De acuerdo a la formula tenemos que derivar cuatro veces la función inicial dada. 𝑓(𝑥) = 152𝑥 𝑓′(𝑥) = 2 ∗ 152𝑥 ln(15) 𝑓´´(𝑥) = 152𝑥 (4 ln(5)2 + 8 ln(3) ln(5) + 4 ln(3)2 ) 𝑓´´´(𝑥) = 152𝑥 (8 ln(5)3 + 24 ln(3)ln(5)2 + 24 ln(5) ln(3)2 + 8 ln(3)3 ))

𝑓 (4) (𝑥) = 152𝑥 (16 ln(5)4 + 64 ln(3) ln(5)3 + 96 ln(3)2 ln(5)2 + 64 ln(5) ln(3)3 + 16 ln(3)4 )) 𝑏

𝑓

(4)

∫𝑎 𝑓 (4) (𝑥) 𝜉= (𝑏 − 𝑎) 1

∫0 152𝑥 (16 ln(5)4 + 64 ln(3) ln(5)3 + 96 ln(3)2 ln(5)2 + 64 ln(5) ln(3)3 + 16 ln(3)4 ))(𝑥) 𝑑𝑥 = (1 − 0) 1 152𝑥 (8 ln(5)3 + 24 ln(3)ln(5)2 + 24 ln(5) ln(3)2 + 8 ln(3)3 )) | 0 = 1 = 𝟑. 𝟓𝟕𝟒𝟕𝟐𝟓𝟎𝟎𝟐𝒙𝟏𝟎𝟒 Con estos datos ahora si podemos calcular el error relativo porcentual. 𝜀𝑎 = − 𝜀𝑎 = −

(𝑏 − 𝑎)5 (4) 𝑓 𝜉 180𝑛4

(1)5 1 (3.574725002𝑥104 ) = − (3.574725002𝑥104 ) 4 180(4) 46080 = −. 𝟕𝟕𝟓𝟕𝟔𝟒𝟗𝟕𝟒𝟑

c) la regla de Simpson 3/8 Se emplearan las siguientes formulas: ℎ=

𝑏−𝑎 (tamaño de paso) 3

𝐼 = (𝑏 − 𝑎) 𝜀𝑎 = −

𝑓(𝑥0 ) + 3𝑓(𝑥1 ) + 3𝑓(𝑥2 ) + 𝑓(𝑥3 ) 8

(𝑏−𝑎)5 6480

𝑓 (4) 𝜉 (error relativo porcentual)

Donde; 𝑏 = 1(𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙) 𝑎 = 0 (𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙)  Como primer paso calculamos ℎ

ℎ=

𝑏−𝑎 1−0 1 = = 3 3 3

 Ahora vamos a calcular 𝐼 Primeramente se tendrá que calcular los intervalos. 𝑥0 = 0 ⇒ 𝑓(𝑥0 ) = 152(0) = 1 𝑥1 =

1 1 ⇒ 𝑓(𝑥1 ) = 152(3) = 6.082201996 3

𝑥2 =

2 2 ⇒ 𝑓(𝑥2 ) = 152(3) = 36.99318111 3

𝑥3 =

3 3 ⇒ 𝑓(𝑥3 ) = 152(3) = 225 3

𝐼 = (𝑏 − 𝑎)

𝑓(𝑥0 ) + 3𝑓(𝑥1 ) + 3𝑓(𝑥2 ) + 𝑓(𝑥3 ) 8

𝐼 = (𝑏 − 𝑎)

1 + 3(6.082201996) + 3(36.99318111) + 225 8

𝐼 = (1)

1 + 18.24660599 + 110.9795433 + 225 355.2261493 = (1) = 𝟒𝟒. 𝟒𝟎𝟑𝟐𝟔𝟖𝟔𝟕 8 8

 Para terminar calcularemos el error relativo porcentual Para realizar este cálculo primero se debe tener el valor de 𝑓 (4) 𝜉 para ello haremos uso de la siguiente fórmula: 𝑏

𝑓

(4)

∫𝑎 𝑓 (4) (𝑥) 𝜉= (𝑏 − 𝑎)

De acuerdo a la formula tenemos que derivar cuatro veces la función inicial dada. 𝑓(𝑥) = 152𝑥 𝑓′(𝑥) = 2 ∗ 152𝑥 ln(15) 𝑓´´(𝑥) = 152𝑥 (4 ln(5)2 + 8 ln(3) ln(5) + 4 ln(3)2 )

𝑓´´´(𝑥) = 152𝑥 (8 ln(5)3 + 24 ln(3)ln(5)2 + 24 ln(5) ln(3)2 + 8 ln(3)3 )) 𝑓 (4) (𝑥) = 152𝑥 (16 ln(5)4 + 64 ln(3) ln(5)3 + 96 ln(3)2 ln(5)2 + 64 ln(5) ln(3)3 + 16 ln(3)4 )) 𝑏

𝑓

(4)

∫ 𝑓 (4) (𝑥) 𝜉= 𝑎 (𝑏 − 𝑎) 1

∫0 152𝑥 (16 ln(5)4 + 64 ln(3) ln(5)3 + 96 ln(3)2 ln(5)2 + 64 ln(5) ln(3)3 + 16 ln(3)4 ))(𝑥) 𝑑𝑥 = (1 − 0) 1 152𝑥 (8 ln(5)3 + 24 ln(3)ln(5)2 + 24 ln(5) ln(3)2 + 8 ln(3)3 )) | 0 = 1 = 𝟑. 𝟓𝟕𝟒𝟕𝟐𝟓𝟎𝟎𝟐𝒙𝟏𝟎𝟒 Con estos datos ahora si podemos calcular el error relativo porcentual. 𝜀𝑎 = − 𝜀𝑎 = −

(𝑏 − 𝑎)5 (4) 𝑓 𝜉 6480

(1)5 1 (3.574725002𝑥104 ) = − (3.574725002𝑥104 ) 6480 6480 = −𝟓. 𝟓𝟏𝟔𝟓𝟓𝟎𝟗𝟐𝟗

21.8.- Integre la función que sigue tanto en forma analítica como numérica. Para las evaluaciones numéricas utilice a) una sola aplicación de la regla del trapecio, b)la regla de Simpson 1/3, c)la regla de Simpson 3/8, d)aplicación multiple de reglas de Simpson, con n=5, e)la regla de Boole, f) el método del punto medio, g) la formula de integración abierta de 3 segmentos y 2 puntos, y h) la formula de integración abierta de 4 segmentos y 3 puntos. 3

∫ ( 5 + 3 cos 𝑥) 𝑑𝑥 0

Calcule los errores relativos porcentuales de los resultados numéricos. Primero calculamos de manera analítica;

3

3 ∫ ( 5 + 3 cos 𝑥) 𝑑𝑥 = 3 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 5𝑥 | = 3 𝑠𝑒𝑛 (3) + 5(3) = 𝟏𝟓. 𝟒𝟐𝟑𝟑𝟔𝟎𝟎𝟐 0 0 a) una sola aplicación de la regla del trapecio Se emplearan las siguientes formulas: ℎ=

𝑏−𝑎 (tamaño de paso) 𝑛

𝐼 = (𝑏 − 𝑎) 𝜀𝑎 = −

𝑓(𝑥0 ) + 2 ∑𝑛𝑖=1 𝑓(𝑥𝑖 ) + 𝑓(𝑥𝑛 ) 2𝑛

(𝑏−𝑎)3 12𝑛2

𝑓 ′′ 𝜉 (error relativo porcentual)

Donde; 𝑏 = 3 (𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙) 𝑎 = 0 (𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙) 𝑛 = 2 (número de segmentos que tiene el intervalo de integración)  Como primer paso calculamos ℎ ℎ=

𝑏−𝑎 3−0 3 = = = 𝟏. 𝟓 𝑛 2 2

 Ahora vamos a calcular 𝐼 Primeramente se tendrá que evaluar el valor de cada segmento en la función. 𝑥0 = 0 ⇒ 𝑓(𝑥0 ) = 5 + 3 cos(0) = 8 𝑥1 = 1.5 ⇒ 𝑓(𝑥1 ) = 5 + 3 cos(1.5) = 5.212211605 𝑥𝑛 = 3 ⇒ 𝑓(𝑥𝑛 ) = 5 + 3 cos(3) = 2.03002251

𝑓(𝑥0 ) + 2 ∑𝑛𝑖=1 𝑓(𝑥𝑖 ) + 𝑓(𝑥𝑛 ) 𝐼 = (𝑏 − 𝑎) 2𝑛

𝐼 = (3 − 0)

𝐼 = (3)

8 + 2(5.212211605) + 2.03002251 2(2)

8 + 10.42442321 + 2.03002251 20.45444572 = (3) = 𝟏𝟓. 𝟑𝟒𝟎𝟖𝟑𝟒𝟐𝟗 4 4

 Para terminar calcularemos el error relativo porcentual Para realizar este cálculo primero se debe tener el valor de 𝑓 ′′ 𝜉 para ello haremos uso de la siguiente fórmula: 𝑏

∫𝑎 𝑓 ′′ (𝑥) 𝑓 𝜉= (𝑏 − 𝑎) ′′

De acuerdo a la formula tenemos que derivar dos veces la función inicial dada. 𝑓(𝑥) = 5 + 3 cos 𝑥 𝑓 ′(𝑥) = −3 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑓´´(𝑥) = −3 cos 𝑥 3 3 ∫0 −3 cos 𝑥 𝑑𝑥 −3 𝑠𝑒𝑛 𝑥 |0 −3 𝑠𝑒𝑛 (3) −.4233600242 𝑓 𝜉= = = = (3 − 0) 3 3 3 ′′

= −. 𝟏𝟒𝟏𝟏𝟐𝟎𝟎𝟎𝟖𝟏 Con estos datos ahora si podemos calcular el error relativo porcentual. (𝑏 − 𝑎)3 ′′ 𝜀𝑎 = − 𝑓 𝜉 12𝑛2 (3 − 0)3 (3)3 (−.1411200081) (−.1411200081) 𝜀𝑎 = − =− 12(2)2 12(4) =−

9 (−.1411200081) =. 𝟎𝟐𝟔𝟒𝟔𝟎𝟎𝟎𝟏𝟓𝟏 48

b) la regla de Simpson 1/3 Se emplearan las siguientes formulas:

ℎ=

𝑏−𝑎 (tamaño de paso) 𝑛 ⇐ 𝑑𝑒𝑏𝑒 𝑠𝑒𝑟 𝑝𝑎𝑟

𝑛=2 𝑓(𝑥0 ) + 4 ∑𝑛=1 𝑖=1,3,5 𝑓(𝑥𝑖 ) + 2 ∑𝑖=2,4,6 𝑓(𝑥𝑗 ) + 𝑓(𝑥𝑛 ) 𝐼 ≅ (𝑏 − 𝑎) 3𝑛

𝜀𝑎 = −

(𝑏−𝑎)5 180𝑛4

𝑓 (4) 𝜉 (error relativo porcentual)

Donde; 𝑏 = 3(𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙) 𝑎 = 0 (𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙) 𝑛 = 4 (número de segmentos que tiene el intervalo de integración)  Como primer paso calculamos ℎ ℎ=

𝑏−𝑎 3−0 3 = = =. 𝟕𝟓 𝑛 4 4

 Ahora vamos a calcular 𝐼 Primeramente se tendrá que calcular los intervalos. 𝑥0 = 0 ⇒ 𝑓(𝑥0 ) = 5 + 3 cos(0) = 8 𝑥1 = .75 ⇒ 𝑓(𝑥1 ) = 5 + 3 cos(.75) = 7.195066607 𝑥2 = 1.5 ⇒ 𝑓(𝑥2 ) = 5 + 3 cos(1.5) = 5.212211605 𝑥3 = 2.25 ⇒ 𝑓(𝑥3 ) = 5 + 3 cos(2.25) = 3.115479132 𝑥𝑛 = 3 ⇒ 𝑓(𝑥𝑛 ) = 5 + 3 cos(3) = 2.03002251

𝐼 ≅ (𝑏 − 𝑎)

𝑛=2 𝑓(𝑥0 ) + 4 ∑𝑛=1 𝑖=1,3,5 𝑓(𝑥𝑖 ) + 2 ∑𝑖=2,4,6 𝑓(𝑥𝑗 ) + 𝑓(𝑥𝑛 ) 3𝑛

𝐼 ≅ (3 − 0)

8 + 4(7.195066607 + 3.115479132) + 2(5.212211605) + 2.03002251 3(4)

𝐼 ≅ (3)

8 + 41.24218296 + 10.42442321 + 2.03002251 61.69662868 ≅ (3) 12 12 ≅ 𝟏𝟓. 𝟒𝟐𝟒𝟏𝟓𝟕𝟏𝟕

 Para terminar calcularemos el error relativo porcentual Para realizar este cálculo primero se debe tener el valor de 𝑓 (4) 𝜉 para ello haremos uso de la siguiente fórmula: 𝑏

∫𝑎 𝑓 (4) (𝑥) (4) 𝑓 𝜉= (𝑏 − 𝑎) De acuerdo a la formula tenemos que derivar cuatro veces la función inicial dada. 𝑓(𝑥) = 5 + 3 cos 𝑥 𝑓 ′(𝑥) = −3 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑓´´(𝑥) = −3 cos 𝑥 𝑓´´´(𝑥) = 3 sen 𝑥 𝑓 (4) (𝑥) = 3 cos 𝑥 3 3 ∫0 3 cos 𝑥 𝑑𝑥 3 𝑠𝑒𝑛 𝑥 |0 3 𝑠𝑒𝑛 (3) . 4233600242 𝑓 𝜉= = = = =. 𝟏𝟒𝟏𝟏𝟐𝟎𝟎𝟎𝟖𝟏 (3 − 0) 3 3 3 ′′

Con estos datos ahora si podemos calcular el error relativo porcentual. 𝜀𝑎 = − 𝜀𝑎 = −

(𝑏 − 𝑎)5 (4) 𝑓 𝜉 180𝑛4

(3)5 243 (. 1411200081) = − (. 1411200081) 4 180(4) 46080 = −𝟕. 𝟒𝟒𝟏𝟖𝟕𝟓𝟒𝟐𝟓𝒙𝟏𝟎−𝟒

c) la regla de Simpson 3/8 Se emplearan las siguientes formulas:

ℎ=

𝑏−𝑎 (tamaño de paso) 3

𝐼 = (𝑏 − 𝑎) 𝜀𝑎 = −

𝑓(𝑥0 ) + 3𝑓(𝑥1 ) + 3𝑓(𝑥2 ) + 𝑓(𝑥3 ) 8

(𝑏−𝑎)5 6480

𝑓 (4) 𝜉 (error relativo porcentual)

Donde; 𝑏 = 3 (𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙) 𝑎 = 0 (𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙)  Como primer paso calculamos ℎ ℎ=

𝑏−𝑎 3−0 3 = = =1 3 3 3

 Ahora vamos a calcular 𝐼 Primeramente se tendrá que calcular los intervalos. 𝑥0 = 0 ⇒ 𝑓(𝑥0 ) = 5 + 3 cos(0) = 8 𝑥1 = 1 ⇒ 𝑓(𝑥1 ) = 5 + 3 cos(1) = 6.620906918 𝑥2 = 2 ⇒ 𝑓(𝑥2 ) = 5 + 3 cos(2) = 3.75155949 𝑥3 = 3 ⇒ 𝑓(𝑥3 ) = 5 + 3 cos(3) = 2.03002251

𝐼 = (𝑏 − 𝑎)

𝑓(𝑥0 ) + 3𝑓(𝑥1 ) + 3𝑓(𝑥2 ) + 𝑓(𝑥3 ) 8

𝐼 = (3 − 0)

8 + 3(6.620906918) + 3(3.75155949) + 2.03002251 8

𝐼 = (3)

8 + 19.86272075 + 11.25467847 + 2.03002251 41.14742173 = (3) 8 8 = 𝟏𝟓. 𝟒𝟑𝟎𝟐𝟖𝟑𝟏𝟓

 Para terminar calcularemos el error relativo porcentual Para realizar este cálculo primero se debe tener el valor de 𝑓 (4) 𝜉 para ello haremos uso de la siguiente fórmula: 𝑏

∫𝑎 𝑓 (4) (𝑥) (4) 𝑓 𝜉= (𝑏 − 𝑎) De acuerdo a la formula tenemos que derivar cuatro veces la función inicial dada. 𝑓(𝑥) = 5 + 3 cos 𝑥 𝑓 ′(𝑥) = −3 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑓´´(𝑥) = −3 cos 𝑥 𝑓´´´(𝑥) = 3 sen 𝑥 𝑓 (4) (𝑥) = 3 cos 𝑥 3 3 3 𝑠𝑒𝑛 𝑥 | 3 cos 𝑥 𝑑𝑥 ∫ 0 0 = 3 𝑠𝑒𝑛 (3) = . 4233600242 =. 𝟏𝟒𝟏𝟏𝟐𝟎𝟎𝟎𝟖𝟏 𝑓 ′′ 𝜉 = = (3 − 0) 3 3 3 Con estos datos ahora si podemos calcular el error relativo porcentual. 𝜀𝑎 = − 𝜀𝑎 = −

(𝑏 − 𝑎)5 (4) 𝑓 𝜉 6480

(3)5 243 (. 1411200081) = − (. 1411200081) 6480 6480 = −𝟓. 𝟐𝟗𝟐𝟎𝟎𝟎𝟑𝟎𝟒𝒙𝟏𝟎−𝟑

d) aplicación múltiple de reglas de Simpson, con n=5 No se puede resolver debido a que n debe ser par cuando se aplica la regla de aplicación múltiple de Simpson.

21.9 Suponga que la fuerza hacia arriba de la resistencia del aire sobre un objeto que cae es proporcional al cuadrado de la velocidad. Para este caso, la velocidad se calcula con 𝒈𝒎 𝒈𝒄𝒅 𝒗(𝒕) = √ 𝐭𝐚𝐧𝐡 (√ 𝒕) 𝒄𝒅 𝒎 Donde cd = coeficiente de arrastre de segundo orden. a) Si g = 9.8 m/s2, m = 68.1 kg y cd = 0.25 kg/m, use integración analítica para determinar qué tan lejos cae el objeto en 10 segundos. b) Haga lo mismo, pero evalúe la integral con la regla del trapecio de segmento múltiple. Use una n suficientemente grande para obtener tres dígitos significativos de exactitud.

Iniciamos a resolver el problema de la siguiente manera: Reemplazar los datos conocidos en la fórmula prestablecida anteriormente. 𝒗(𝒕) = √

(9.8)(68.1) (9.8)(0.25) tanh (√ (𝑡)) 0.25 (68.1)

667.38 2.45 𝑣(𝑡) = √ tanh (√ (𝑡)) 0.25 68.1

𝑣(𝑡) = 51.667397tan h(√0.035976505) (𝑡)

𝑣(𝑡) = (51.667397)(0.187432387)(𝑡) 𝒗(𝒕) = (𝟗. 𝟔𝟖𝟒𝟏𝟒𝟑𝟓𝟒𝟖)(𝒕) Después de haber simplificado los términos encontramos la función a integrar de forma analítica y posteriormente con la regla del trapecio.

a) Integrar de forma analítica 10

𝑣(𝑡) = ∫ (9.684143548)(𝑡) 0

10

𝑣(𝑡) = (9.684143548) ∫ (𝑡) 0

𝑣(𝑡) = (9.684143548)

𝑡 2 10 | 2 0

(10)2 02 𝑣(𝑡) = (9.684143548) − (9.684143548) = 𝟒𝟖𝟒. 𝟐𝟎𝟕𝟏𝟕𝟕𝟒 2 2 b) Evalúe la integral con la regla del trapecio de segmento múltiple 𝒗(𝒕) = (𝟗. 𝟔𝟖𝟒𝟏𝟒𝟑𝟓𝟒𝟖)(𝒕)

Fórmula para la regla del trapecio de aplicación múltiple 𝑓𝑥0 + 2 ∑𝑛𝑖 𝑓(𝑥𝑖 ) + 𝑓(𝑥𝑛 ) 𝐼 ≅ (𝑏 − 𝑎) ( ) 2𝑛

Calcular el tamaño de paso.

ℎ=

10 − 0 = 1.25 8

Calcular los intervalos 𝑥0 = 0 → 𝑓(𝑥0 ) = 0 𝑥1 = 1.25 → 𝑓(𝑥1 ) = 𝑓(1.25) = 12.10517944 𝑥2 = 2.5 → 𝑓(𝑥1 ) = 𝑓(2.5) = 24.21035887 𝑥3 = 3.75 → 𝑓(𝑥1 ) = 𝑓(3.75) = 36.31553831

𝑥4 = 5 → 𝑓(𝑥1 ) = 𝑓(5) = 48.42071774 𝑥5 = 6.25 → 𝑓(𝑥1 ) = 𝑓(6.25) = 60.52589718 𝑥6 = 7.5 → 𝑓(𝑥1 ) = 𝑓(7.5) = 72.63107661 𝑥7 = 8.75 → 𝑓(𝑥1 ) = 𝑓(8.75) = 84.73625605 𝑥𝑛 = 10 → 𝑓(𝑥1 ) = 𝑓(10) = 96.84143548

𝐼≅ 0+2(12.10517944+24.21035887+36.31553831+48.42071774+)+96.84143548 60.52589718+72.63107661+84.73625605 (10) ( ) 2(8)

𝐼 ≅ (10)

=

0 + 2(338.9450242) + 96.84143548 = 16

𝐼 ≅ (10)

0 + 677.8900484 + 96.84143548 = 16

𝐼 ≅ (10)

774.7314838 = 𝟒𝟖𝟒. 𝟐𝟎𝟕𝟏𝟕𝟕𝟒 16

Conclusión:

Como pudimos observar, en las 2 formas utilizadas obtuvimos el mismo valor, el cual significa que nuestro procedimiento es correcto.

21.10 Evalúe la integral de los datos tabulados a continuación, con a) la regla del trapecio, y b) las reglas de Simpson: X

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

f(x)

1

8

4

3.5

5

1

En la presente grafica se muestra el comportamiento de los datos tabulados.

f(x) 10

8 6 4 2 0 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

a) La fórmula a utilizar para la regla del trapecio de aplicación múltiple es la siguiente: 𝑓𝑥0 + 2 ∑𝑛𝑖 𝑓(𝑥𝑖 ) + 𝑓(𝑥𝑛 ) 𝐼 ≅ (𝑏 − 𝑎) ( ) 2𝑛 Iniciamos obteniendo el valor de h, aplicando la siguiente fórmula ℎ=

𝑏−𝑎 𝑛

Sustituyendo los valores obtenemos lo siguiente

ℎ=

0.5 − 0 0.5 = = 0.1 5 5

Enseguida hay que sustituir los datos de la tabla en la fórmula de la regla del trapecio de aplicación múltiple.

1 + 2(8 + 4 + 3.5 + 5) + 1 𝐼 ≅ (0.5) ( )= 2(5)

1 + 2(20.5) + 1 43 𝐼 ≅ (0.5) ( ) = (0.5) ( ) = 2.15 𝑢2 10 10

No es posible resolver el problema mediante la regla de Simpson, ya que los segmentos no son pares.

21.11 Evalúe la integral de los datos que se tabula en seguida, con a) la regla del trapecio, y b) las reglas de Simpson:

X

-2

0

2

4

6

8

10

f(x)

35

5

-10

2

5

3

20

En la presente grafica se muestra el comportamiento de los datos tabulados.

f(x) 40 35 30 25 20 15 10 5 0 -4

-2

-5 0

2

4

6

8

10

12

-10 -15

a) La fórmula a utilizar para la regla del trapecio de aplicación múltiple es la siguiente:

𝐼 ≅ (𝑏 − 𝑎) (

𝑓𝑥0 + 2 ∑𝑛𝑖 𝑓(𝑥𝑖 ) + 𝑓(𝑥𝑛 ) ) 2𝑛

Iniciamos obteniendo el valor de h, aplicando la siguiente fórmula ℎ=

𝑏−𝑎 𝑛

Sustituyendo los valores obtenemos lo siguiente

ℎ=

10 − (−2) 12 = =2 6 6

Enseguida hay que sustituir los datos de la tabla en la fórmula de la regla del trapecio de aplicación múltiple.

𝐼 ≅ (12) (

35 + 2(5 − 10 + 2 + 5 + 3) + 20 ) 2(6)

35 + 2(5) + 20 65 𝐼 ≅ (12) ( ) = (0.5) ( ) = 2.708333333 𝑢2 12 12 𝐼 ≅ 2.708333333 𝑢2

b) Regla de Simpson 1/3 de aplicación múltiple 𝑛+1 𝑓𝑥0 + 4 ∑𝑛+1 𝑖=1,3,5 𝑓(𝑥𝑖 ) + 2 ∑𝑖=2,4,6 𝑓(𝑥𝑗 ) + 𝑓(𝑥𝑛 ) 𝐼 ≅ (𝑏 − 𝑎) ( ) 3𝑛

Calcular el tamaño de paso ℎ=

𝑏−𝑎 𝑛

Sustituimos valore en la formula anterior. 10 − (−2) 12 ℎ= = =2 6 6 Posteriormente hay que sustituir los datos de la tabla en la fórmula de Simpson 1/3 de aplicación múltiple.

𝐼 ≅ (12) (

35 + 4(5 + 2 + 3) + 2(−10 + 5) + 20 )= 3(6)

𝐼 ≅ (12) (

35 + 4(10) + 2(−5) + 20 )= 18

𝐼 ≅ (12) (

35 + 40 − 10 + 20 )= 18

85 𝐼 ≅ (12) ( ) = 56.666666 𝑢2 18

𝐼 ≅ 56.666666 𝑢2

1. Determine el valor promedio para los datos de la figura siguiente. Realice los cálculos con la fórmula de integración que se ajuste al número de segmentos que presenta la figura a fin de obtener el promedio de los datos en ella implícitos.

1.- Sabemos que: 𝑏

𝑓̅ =

𝑏

∫𝑐 [∫𝑎 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥] 𝑑𝑦 (𝑑 − 𝑐)(𝑏 − 𝑎)

Para resolver este problema utilizaremos la regla del Trapecio de aplicación múltiple, ya que tenemos tres partes que dividen la figura, para ello necesitaremos la siguiente formula. 𝑓(𝑥0 ) + 2 ∑𝑛𝑖=1 𝑓(𝑥𝑖 ) + 𝑓(𝑥𝑛 ) 𝐼 = (𝑏 − 𝑎) [ ] 2𝑛 2.- Considerando nuevamente la figura. 𝑓(𝑥0 )

𝑓(𝑥𝑖 )

𝑓(𝑥𝑖 )

𝑓(𝑥𝑛 )

3.- Proseguimos a calcular para la primera línea el valor de I. (8) + 2(−14) + 4 𝐼 = (12 − 0) [ ] = 64 2(3)

4.- Para la segunda línea 𝐼 = (12 − 0) [

(−4) + 2(−2) + 7 ] = −2 2(3)

4.- Para la tercera línea (−2) + 2(3) + 10 𝐼 = (12 − 0) [ ] = 28 2(3)

𝐼 = (𝑑 − 𝑐) [

𝑓(𝑥0 ) + 2 ∑𝑛𝑖=1 𝑓(𝑥𝑖 ) + 𝑓(𝑥𝑛 ) ] 2𝑛

(64) + 2(−2) + 28 𝐼 = (4 − 0) [ ] = 58.66666667 2(3) Como: 𝑏

𝑓̅ =

𝑓(𝑥0 )

𝑏

∫𝑐 [∫𝑎 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥] 𝑑𝑦 (𝑑 − 𝑐)(𝑏 − 𝑎)

Entonces: 𝑓̅ =

58.66666667 11 = ≅ 1.22 (4 − 0)(12 − 0) 9

Conclusión: De acuerdo con las operaciones, el valor promedio de los datos en la figura es de

11 9

≅ 1.22.

2. Calcule las aproximaciones por diferencias hacia adelante, hacia atrás y hacia 𝜋

adelante para la primera derivada de 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥), en 𝑥 = 4 , con el uso de un valor de 𝜋

ℎ = 12.

1.- De manera analítica: 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑦′ = 𝑐𝑜𝑠(𝑥) Evaluamos: 𝜋 𝑦 ′ = 𝑐𝑜𝑠 ( ) = 0.7071067812 4 2.- ahora calculamos: 𝑥𝑖−2 , 𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖 , 𝑥𝑖+1 y 𝑥𝑖+2 𝑥𝑖−2 = 𝑥𝑖 − 2ℎ = 𝑥𝑖−1 = 𝑥𝑖 − ℎ = 𝑥𝑖 =

𝜋 𝜋 12𝜋 − 8𝜋 4𝜋 − 2( ) = = 4 12 48 48

𝜋 𝜋 12𝜋 − 4𝜋 8𝜋 − = = 4 12 48 48

𝜋 4

𝑥𝑖+1 = 𝑥𝑖 + ℎ =

𝜋 𝜋 12𝜋 + 4𝜋 16𝜋 + = = 4 12 48 48

𝑥𝑖+2 = 𝑥𝑖 + 2ℎ =

𝜋 𝜋 12𝜋 + 8𝜋 20𝜋 + 2( ) = = 4 12 48 48

3.- Proseguimos a evaluar todos los resultados en la función. 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥)

4𝜋 4𝜋 𝑦(𝑥𝑖−2 ) = 𝑦 ( ) = 𝑠𝑒𝑛 ( ) = 0.2588190451 48 48 8𝜋 8𝜋 𝑦(𝑥𝑖−1 ) = 𝑦 ( ) = 𝑠𝑒𝑛 ( ) = 0.5 48 48 𝜋 𝜋 𝑦(𝑥𝑖 ) = 𝑦 ( ) = 𝑠𝑒𝑛 ( ) = 0.7071067812 4 4 𝑦(𝑥𝑖+1 ) = 𝑦 (

16𝜋 16𝜋 ) = 𝑠𝑒𝑛 ( ) = 0.8660254038 48 48

𝑦(𝑥𝑖+2 ) = 𝑦 (

20𝜋 20𝜋 ) = 𝑠𝑒𝑛 ( ) = 0.9659258263 48 48

3.- Hacia adelante: 𝑓 ′ (𝑥) =

−𝑓(𝑥𝑖+2 ) + 4𝑓(𝑥𝑖+1 ) − 3𝑓(𝑥𝑖 ) 2ℎ

Entonces: 𝑓 ′ (𝑥) =

−(0.9659258263) + 4(0.8660254038) − 3(0.7071067812) = 0.7197408573 𝜋 2( ) 12

4.- Hacia atrás. 𝑓 ′ (𝑥) =

3𝑓(𝑥𝑖 ) − 4𝑓(𝑥𝑖−1 ) + 𝑓(𝑥𝑖−2 ) 2ℎ

Entonces: 𝑓 ′ (𝑥) =

3(0.7071067812) − 4(0.5) + (0.2588190451) = 0.7260129298 𝜋 2(12)

Centrado: 𝑓 ′ (𝑥) =

−𝑓(𝑥𝑖+2 ) + 8𝑓(𝑥𝑖+1 ) − 8𝑓(𝑥𝑖−1 ) + 𝑓(𝑥𝑖−2 ) 12ℎ

Entonces: 𝑓 ′ (𝑥) =

−(0.9659258263) + 8(0.8660254038) − 8(0.5) + (0.2588190451) 𝜋 12 ( ) 12 = 0.7069969579

Conclusión: de acurdo con el procedimiento y los resultados, la cantidad más aproximada es 0.7069969579 correspondiente al valor real 0.7071067812, con la fórmula de centrada.

3. Calcule las aproximaciones por diferencias hacia adelante, hacia atrás y hacia adelante para la primera derivada de 𝑦 = log(𝑥), en 𝑥 = 25 con el uso de un valor de ℎ = 2.

1.- Como primer paso calculamos analíticamente la derivada y sustituimos valores. 𝑦 = log(𝑥) 𝑦=

log 𝑒 log 𝑒 = = 0.01737177928 𝑥 25

2.- ahora calculamos: 𝑥𝑖−2 , 𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖 , 𝑥𝑖+1 y 𝑥𝑖+2

𝑥𝑖−2 = 25 − 2ℎ = 25 − 2(2) = 21 𝑥𝑖−1 = 25 − ℎ = 25 − 2 = 23 𝑥𝑖 = 25 𝑥𝑖+1 = 25 + ℎ = 25 + 2 = 27 𝑥𝑖+2 = 25 + 2ℎ = 25 + 2(2) = 29 3.- Proseguimos a evaluar en la función los valores encontrados en la parte anterior. Considerando la ecuación: 𝑦 = log(𝑥) Entonces: 𝑦(𝑥𝑖−2 ) = 𝑦(21) = log(21) = 1.322219295 𝑦(𝑥𝑖−1 ) = 𝑦(23) = log(23) = 1.361727836 𝑓(𝑥𝑖 ) = 𝑦(25) = log(25) = 1.397940009 𝑓(𝑥𝑖+1 ) = 𝑦(27) = log(27) = 1.431363764 𝑓(𝑥𝑖+2 ) = 𝑦(29) = log(29) = 1.462397998

4.- Una vez obtenido los datos proseguimos a hacer los cálculos correspondientes para encontrar la primera derivada. Primeramente hacia adelante: 𝑓 ′ (𝑥) =

−𝑓(𝑥𝑖+2 ) + 4𝑓(𝑥𝑖+1 ) − 3𝑓(𝑥𝑖 ) 2ℎ

Entonces: 𝑓 ′ (𝑥) =

−(1.462397998) + 4(1.431363764) − 3(1.397940009) = 0.01730925775 2(2)

4.-Hacia atrás 𝑓 ′ (𝑥) =

3𝑓(𝑥𝑖 ) − 4𝑓(𝑥𝑖−1 ) + 𝑓(𝑥𝑖−2 ) 2ℎ

Entonces:

𝑓 ′ (𝑥) =

3(1.397940009) − 4(1.361727836) + (1.322219295) = 0.172819945 2(2)

5.- Centrada, 𝑓 ′ (𝑥) =

−𝑓(𝑥𝑖+2 ) + 8𝑓(𝑥𝑖+1 ) − 8𝑓(𝑥𝑖−1 ) + 𝑓(𝑥𝑖−2 ) 12ℎ

Entonces: 𝑓 ′ (𝑥) =

−(1.462397998) + 8(1.431363764) − 8(1.361727836) + (1.322219295) 12(2) = 0.01737119671

Conclusión: De acuerdo con los resultados obtenidos el valor más aproximado a la primera derivada es de Centrada con un valor de 0.01737119671, comparándose con el resultado real de 0.01737177928.