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SECUNDARIA

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MATEMÁTICAS 1

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COMPONENTE CURRICULAR: FORMACIÓN ACADÉMICA

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Este libro le acompañará en el proceso de enseñanza-aprendizaje durante todo el ciclo escolar. Le recomendamos tenerlo cerca como material de consulta.

S ro A hi NT bi IL da L A su N A di st ri

En Matemáticas 1. Edición para el docente de la serie Espiral del Saber encontrará diversas herramientas de gran utilidad para desarrollar su trabajo en el aula, como la descripción del Modelo Educativo para la educación obligatoria y del mapa curricular, propuestas de dosificación de los aprendizajes esperados de la asignatura para los calendarios de 200 y 185 días, evaluaciones trimestrales y solucionario, y la reproducción del libro del alumno con las respuestas de todas las actividades.

MATEMÁTICAS 1

MATEMÁTICAS 1

Matemáticas 1 PROF 2018.indd 1

03/05/18 1:34 p.m.

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MATEMÁTICAS 1

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

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COMPONENTE CURRICULAR: FORMACIÓN ACADÉMICA

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Edición para el Docente

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S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

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stración Ismael Se g ch Ilu u r a alte Fo to L/C g ra fía

El libro Matemáticas 1. Edición para el docente de la serie Espiral del Saber® fue elaborado en Editorial Santillana por el equipo de la Dirección General de Contenidos

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D. R. © 2018 por EDITORIAL SANTILLANA, S. A. de C. V. Avenida Río Mixcoac 274 piso 4, colonia Acacias, C. P. 03240, delegación Benito Juárez, Ciudad de México.

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La presentación y disposición en conjunto y de cada página de Matemáticas 1. Edición para el docente de la serie Espiral del Saber® son propiedad del editor. Queda estrictamente prohibida la reproducción parcial o total de esta obra por cualquier sistema o método electrónico, incluso el fotocopiado, sin autorización escrita del editor.

Autores del libro del alumno: Pilar Martínez Téllez, Guadalupe Carrasco Licea Autora de la edición para el docente: Paulina Martínez Colín ISBN: 978-607-01-3892-8 Primera edición: mayo de 2018

Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. Núm. 802 Impreso en México / Printed in Mexico

Presentación Estimado profesor:

Este material cuenta con los siguientes apartados:

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Con el propósito de apoyar su trabajo cotidiano en el aula, Editorial Santillana le ofrece esta versión del libro Matemáticas 1. Edición para el docente, que contiene un conjunto de recursos para organizar y dirigir exitosamente el trabajo con los estudiantes.

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•• Mapa curricular. Se muestran los espacios curriculares de los tres componentes del Modelo Educativo 2017 para la educación secundaria.

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

•• La evaluación. Se explica la importancia de la evaluación formativa para coadyuvar el desempeño de los alumnos a lo largo del curso. •• Dosificación trimestral. Se incluyen propuestas de dosificación trimestral de los aprendizajes esperados de la asignatura para los calendarios escolares de 200 y de 185 días. •• Evaluaciones trimestrales. Se proponen reactivos adicionales a los del libro del alumno que se pueden emplear en la evaluación del trimestre. •• Solucionario de evaluaciones. Contiene las respuestas a los reactivos de la evaluación diagnóstica y de las evaluaciones trimestrales. •• Solucionario del libro. Contiene las respuestas extensas de algunas de las actividades del libro del alumno.

fotostorm/www.gettyimages.es

•• Reproducción del libro del alumno. Se muestra un reproducción fiel de cada página del libro del alumno con las respuestas de todas las actividades.

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Esperamos que el libro Matemáticas 1. Edición para el docente contribuya a su labor en la enseñanza de las matemáticas y a que sus alumnos logren plenamente los aprendizajes esperados de los nuevos programas.

El papel del docente es fundamental para que los alumnos aprendan, reconozcan sus potencialidades y las desarrollen. III

Mapa curricular Aprendizajes clave para el desarrollo integral

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Los aprendizajes clave planteados en este Modelo Educativo son los pilares para el desarrollo integral de los estudiantes pues, en conjunto, serán las herramientas para un pleno desarrollo de vida.

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En el plan de estudios se sugiere la organización de los contenidos programáticos en tres componentes curriculares de la educación básica: campos de Formación académica, áreas de Desarrollo personal y social, y ámbitos de la Autonomía curricular. Los tres componentes tienen la misma importancia en el plan de estudios.

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

1. Campos de Formación académica. Lenguaje y Comunicación, Pensamiento Matemático y Exploración y Comprensión del Mundo Natural y Social. 2. Áreas de Desarrollo personal y social. Que incluyen específicamente Artes, Educación Socioemocional y Educación Física. 3. Ámbitos de Autonomía curricular. Estos ámbitos buscan ampliar la formación académica, potenciar el desarrollo personal y social, desarrollar nuevos contenidos relevantes y conocimientos regionales, y generar proyectos de impacto social.

educación básica

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“Componentes curriculares de la educación básica”, tomado del documento Modelo educativo para la educación obligatoria, Secretaría de Educación Pública, México, 2017.

IV

Lo anterior propiciará que los alumnos conozcan, valoren y respeten su identidad y que sean aptos para identificar sus debilidades y fortalezas, confíen en sus capacidades, sean determinados y perseverantes, y reconozcan como iguales en dignidad y en derechos a todos los seres humanos.

A continuación se muestra la organización curricular para la educación secundaria.

Secundaria

Componente curricular

Grado escolar 1º





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Lengua Materna (Español)

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Nivel educativo

Lengua Extranjera (Inglés)

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

Matemáticas

Formación académica

Campos y asignaturas

Ciencias y Tecnología:

Biología

Física

Química

Historia

Geografía

Formación Cívica y Ética

Desarrollo personal y social

Artes

Áreas

Tutoría y Educación Socioemocional Educación Física

Ampliar la formación académica

Potenciar el desarrollo personal y social

Ámbitos

Nuevos contenidos relevantes Conocimientos regionales

Proyectos de impacto social

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Autonomía curricular

La asignatura de Matemáticas se encuentra en el campo de formación Pensamiento Matemático y pertenece al componente Formación académica.

V

La evaluación La evaluación, aunque siempre se ubica como un satélite dependiente del aprendizaje, debe verse como parte importante del proceso; es decir, debe considerarse como un factor indispensable en la construcción de conocimientos.

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De acuerdo con lo anterior, la propuesta que se proyecta en el Modelo Educativo deja muy marcada la idea de que la evaluación es una herramienta que ayuda en la planeación de la enseñanza, ya que con los resultados de esta se obtiene la base para hallar la zona de desarrollo próximo de los alumnos y, con ello, plantear opciones que permiten a cada estudiante aprender y progresar desde donde está.

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La evaluación también puede ayudar a medir si las condiciones pedagógicas son óptimas o deben adaptarse para conseguir mejores resultados. Además, por supuesto, la evaluación ayuda a identificar si se lograron los aprendizajes esperados.

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

En este sentido, la evaluación del aprendizaje tiene en cuenta tres variables: las situaciones didácticas, las actividades del alumno y los contenidos. Por tanto, debe considerarse como un paso elemental del proceso pedagógico, por lo que no tiene un carácter exclusivamente conclusivo o sumativo. Por el contrario, busca conocer cómo los estudiantes organizan su pensamiento y usan sus aprendizajes en contextos determinados. Además, contribuye a la autorregulación cognitiva, pues realimenta al educando con argumentos claros y constructivos sobre su desempeño. Para diseñar y aplicar una evaluación se sugiere considerar lo siguiente:

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•• Delimitar el aprendizaje que se evaluará, incluyendo las actitudes y las habilidades de los estudiantes. •• Establecer los criterios para la evaluación (aprendizajes esperados). •• Recabar varios instrumentos durante el proceso de aprendizaje, como pruebas escritas, exposiciones orales, listas de cotejo, rúbricas, etcétera. •• Registrar lo evaluado con base en la información recopilada de los diferentes instrumentos. •• Analizar, realimentar, ajustar currículo o enfoque y mejorar el proceso de enseñanza para mejorar los resultados obtenidos en el aprendizaje de los escolares.

VI

La evaluación de los aprendizajes es determinante para la buena gestión del currículo, especialmente porque permite saber en qué medida los alumnos logran el dominio de los aprendizajes establecidos para cada grado y nivel educativo. Para que la evaluación cumpla su papel como parte del proceso de aprendizaje, se debe realizar en tres momentos específicos: Evaluación diagnóstica. Se aplica en el comienzo del ciclo escolar y de cada secuencia didáctica para hacer un balance de las habilidades, las actitudes y los saberes de los educandos. Este es el punto de partida en el proceso de aprendizaje y es recomendable aprovecharlo para identificar las necesidades de los estudiantes.

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Evaluación formativa. Se realiza durante el desarrollo de la secuencia didáctica con el propósito de observar los avances de los aprendizajes esperados e identificar dificultades y aspectos que cada estudiante requiere fortalecer. La evaluación formativa fortalece la responsabilidad de los educandos en sus procesos de aprendizaje, ya que la reflexión les ayuda a comprender si están aprendiendo y cómo lo están logrando.

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Esta evaluación también favorece la toma de conciencia de las estrategias de aprendizaje y ayuda al maestro a encontrar pistas para construir modelos de acción personal y técnicas para la resolución de problemas (argumentar de manera informada, analizar situaciones); así como generar instrumentos para enmendar el rezago académico.

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

Evaluación sumativa. Se realiza en el cierre de cada secuencia didáctica y al final del trimestre con el propósito de observar el desempeño de cada alumno. Sirve para tomar decisiones sobre la manera de apoyar a los escolares en la siguiente etapa y aporta elementos para asignar una calificación. Una vez planteados los tres momentos de evaluación, se debe buscar con qué instrumento evaluar. Entre las herramientas más comunes podemos encontrar las siguientes:

kali9/www.gettyimages.es

•• Autoevaluación. Es un proceso metacognitivo en el que el alumno evalúa su desempeño para descubrir el acierto con la finalidad de repetirlo, y el error con el fin de evitarlo y aprender de él.

•• Coevaluación. Es el proceso en el que los estudiantes se evalúan entre ellos. Se centra en los aspectos favorables, con el objetivo de desarrollar el pensamiento crítico de los escolares y una actitud abierta y de escucha hacia las observaciones de los demás.

•• Rúbricas. Es una matriz de valoración, es decir, una lista de criterios e indicadores que permite valorar el logro de los aprendizajes esperados y de temas particulares. Son un apoyo para que el docente dé seguimiento y registre el progreso de cada alumno o de todo el grupo en relación con los niveles de desempeño esperados.

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•• Exámenes. Estos deben puntualizar los aspectos que se van a evaluar. Por ejemplo, una prueba de opción múltiple explora los aprendizajes de carácter conceptual, así como algunas habilidades cognitivas y la toma de postura ante dilemas morales.

El propósito de la evaluación debe centrarse en el análisis de lo que se aprende y cómo se aprende.

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En conclusión, aunque con frecuencia hemos centrado la evaluación en otorgar una calificación al alumno, el nuevo enfoque brinda un panorama en el que todos los participantes, instrumentos y momentos de la evaluación son igual de importantes, pues ayudan a la construcción de aprendizajes.

VII

200 días de clase Trimestre 1 Aprendizajes esperados

Evaluación diagnóstica

1

Compara y ordena fracciones y números decimales, y lo caliza ese tipo de números en la recta numérica.

1. ¿Qué número es mayor?

5

24 a 29

Aproxima fracciones no decimales usando notación decimal.

3. ¿Nunca termina?

30 a 33

Identifica una fracción o un decimal entre dos fracciones o decimales dados. Inicia un acercamiento a la propiedad de densidad de las fracciones y de los números decimales.

4. Entre dos, ¡siempre hay otro!

34 a 39

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Un alto en la espiral

P

6y7

Realiza experimentos aleatorios y registra los resultados para un acercamiento a la probabilidad frecuencial.

Taller de tecnología

VIII

16 a 23

2. Un número, dos formas

Convierte fracciones decimales a notación decimal y viceversa.

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri 4

Convierte fracciones decimales a notación decimal y viceversa. Aproxima algunas fracciones no decimales usando la notación decimal. Ordena fracciones y números decimales.

Páginas del libro del alumno

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2

3

Secuencias didácticas

Contenidos

ci ón

Semana

40 y 41

Registra resultados de observaciones, encuestas y experimentos.

5. Ver, preguntar y experimentar

42 a 47

Realiza experimentos aleatorios y registra los resultados para lograr un acercamiento a la probabilidad frecuencial.

6. Probablemente

48 a 53

54 a 57

Trimestre 1

Analiza la existencia y unicidad en la construcción de triángulos y cuadriláteros, y determina y usa criterios de congruencia de triángulos.

Identifica la relación entre los ángulos que se forman entre dos rectas paralelas cortadas por una transversal.

Determina la suma de los ángulos interiores de triángulos y cuadriláteros.

58 a 65

66 a 73

8. Midiendo interiores

Un alto en la espiral

Analiza la existencia y unicidad en la construcción de triángulos y determina los criterios de congruencia de triángulos.

11

12

13

Páginas del libro del alumno

7. Dos paralelas y una transversal

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

9 y 10

Secuencias didácticas

Contenidos

ci ón

8

Aprendizajes esperados

bu

Semana

Analiza la existencia y unicidad en la construcción de triángulos y cuadriláteros, y determina y usa criterios de congruencia de triángulos. Analiza la existencia y unicidad en la construcción de cuadriláteros y usa los criterios de congruencia de triángulos.

74 y 75

9. Para ser congruente

76 a 83

10. Lados, ángulos y diagonales

84 a 89

Taller de tecnología

90 a 93

Giro ascendente

94 a 97

P

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Evaluación del trimestre 1

IX

200 días de clase Trimestre 2

14

11. ¿Menor que cero?

100 a 105

Resuelve problemas de suma con números enteros, fracciones y decimales positivos y negativos.

12. ¿Más o menos?

106 a 113

13. Sumas que restan

114 a 121

Resuelve problemas de resta con números enteros, fracciones y decimales positivos y negativos.

16

Un alto en la espiral

122 y 123

Resuelve problemas de multiplicación con fracciones.

14. Partes de partes

124 a 129

Resuelve problemas de multiplicación y división con decimales.

15. Multiplicación y división con decimales

130 a 135

18

Calcula valores faltantes en problemas de proporcionalidad directa, con constante natural, fracción o decimal.

Calcula valores faltantes en problemas de proporcionalidad directa, con constante natural, fracción o decimal.

16. Valores faltantes

136 a 141

19

Determina y usa la jerarquía de las operaciones y los paréntesis en operaciones con números naturales, enteros y decimales (para multiplicación y división solo números positivos).

Determina y usa la jerarquía de operaciones y los paréntesis en operaciones con números naturales, enteros y decimales.

17. ¿El orden es importante?

142 a 145

Resuelve problemas de multiplicación con fracciones y decimales, y de división con decimales.

P

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17

X

Páginas del libro del alumno

Identifica y localiza números con signo en la recta numérica. Utiliza los números simétricos y el valor absoluto.

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

15

Resuelve problemas de suma y resta con números enteros, fracciones y decimales positivos y negativos.

Secuencias didácticas

Contenidos

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Aprendizajes esperados

bu

Semana

Trimestre 2 Secuencias didácticas

Contenidos

Formula expresiones algebraicas de primer grado Formula expresiones algebraicas de primer a partir de sucesiones y grado a partir de sucesiones y las utiliza para las utiliza para analizar analizar propiedades de la sucesión. propiedades de la sucesión que representan.

18. Números y letras

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20 y 21

Aprendizajes esperados

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

Un alto en la espiral

22

23 y 24

154 y 155

19. Recorriendo contornos

156 a 161

Calcula el perímetro de polígonos y del círculo, Calcula áreas de triángulos y cuadriláteros y áreas de triángulos y desarrollando y aplicando las fórmulas. cuadriláteros, desarrollando y aplicando fórmulas.

20. Explorando áreas

162 a 169

Resuelve problemas de cálculo de porcentajes, de tanto por ciento y de la cantidad base.

Resuelve problemas de cálculo de porcentajes, del tanto por ciento y de la cantidad base.

170 a 173

21. Tanto por ciento

174 a 177

22. Más sobre porcentajes

178 a 181

Taller de tecnología

182 y 183

Giro ascendente

184 a 187

P

©

26

146 a 153

Calcula el perímetro de polígonos y del círculo, Calcula el perímetro de polígonos y del círculo y áreas de triángulos y desarrollando y aplicando fórmulas. cuadriláteros, desarrollando y aplicando fórmulas.

Taller de tecnología

25

Páginas del libro del alumno

ci ón

Semana

Evaluación del trimestre 2

XI

200 días de clase Trimestre 3

Resuelve problemas mediante la formulación y solución algebraica de ecuaciones lineales.

Secuencias didácticas

Contenidos

Formula ecuaciones lineales que representan diversas situaciones e indentifica la incógnita.

Resuelve problemas mediante la formulación y solución algebraica de ecuaciones lineales.

190 a 193

24. Hay que mantener el equilibrio

194 a 197

25. Agrupar y distribuir

198 a 205

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

29

Un alto en la espiral

30

Recolecta, registra y lee Recolecta, registra y lee datos 0en gráficas datos en gráficas circulares. circulares.

26. Círculos que informan

Taller de tecnología

Analiza y compara situaciones de variación lineal 27. Puntos que a partir de su representación tabular y gráfica. hablan

31

©

32

Analiza y compara situaciones de variación lineal a partir de sus representaciones tabular, gráfica y algebraica. Interpreta y resuelve problemas que se modelan con estos tipos de variación.

Páginas del libro del alumno

23. La incógnita

bu

27 y 28

Aprendizajes esperados

ci ón

Semana

206 y 207

208 a 213

214 y 215

216 a 223

28. ¿Pendiente suave o pronunciada?

224 a 231

Analiza y compara situaciones de variación lineal 29. Tres formas a partir de sus representaciones tabular, gráfica y de describir lo algebraica. Interpreta y resuelve problemas que mismo se modelan con este tipo de variación.

232 a 239

Determina la pendiente de una recta y la usa para comparar situaciones de variación lineal.

P

33 y 34

XII

Taller de tecnología

240 a 243

Un alto en la espiral

244 y 245

Trimestre 3 Aprendizajes esperados

Contenidos

Secuencias didácticas

35

Calcula el volumen de prismas rectos cuya base sea un triángulo o un cuadrilátero, desarrollando y aplicando fórmulas.

Calcula el volumen de prismas rectos cuya base sea un triángulo o un cuadrilátero desarrollando y aplicando fórmulas.

30. ¿Cuánto espacio ocupa?

bu

Usa e interpreta las medidas de tendencia central (moda, media aritmética y mediana) y el rango de un conjunto de datos, y decide cuál de ellas conviene más en el análisis de los datos en cuestión.

246 a 251

Explora la relación entre el decímetro cúbico y el litro y relaciona capacidad y volumen para resolver problemas que implican esta relación.

31. ¿Cuánto le cabe?

252 a 257

Usa e interpreta las medidas de tendencia central y el rango en un conjunto de datos, y decide cuál de ellas conviene más.

32. Entre medias, modas y medianas

258 a 263

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

36

Páginas del libro del alumno

ci ón

Semana

37

Giro ascendente

264 a 267

Evaluación del trimestre 3 Evaluación final

P

©

38

XIII

185 días de clase Trimestre 1 Aprendizajes esperados

Secuencias didácticas

Contenidos Evaluación diagnóstica

1

1. ¿Qué número es mayor?

2. Un número, dos formas

24 a 29

Aproxima fracciones no decimales usando notación decimal.

3. ¿Nunca termina?

30 a 33

Identifica una fracción o un decimal entre dos fracciones o decimales dados. Inicia un acercamiento a la propiedad de densidad de las fracciones y de los números decimales.

4. Entre dos, ¡siempre hay otro!

34 a 39

Convierte fracciones decimales a notación decimal y viceversa.

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri 3

Convierte fracciones decimales a notación decimal y viceversa. Aproxima algunas fracciones no decimales usando la notación decimal. Ordena fracciones y números decimales.

4

©

Un alto en la espiral

P

5y6

Realiza experimentos aleatorios y registra los resultados para un acercamiento a la probabilidad frecuencial.

Taller de tecnología

XIV

16 a 23

bu

Compara y ordena fracciones y números decimales, y lo caliza ese tipo de números en la recta numérica.

2

Páginas del libro del alumno

ci ón

Semana

40 y 41

Registra resultados de observaciones, encuestas y experimentos.

5. Ver, preguntar y experimentar

42 a 47

Realiza experimentos aleatorios y registra los resultados para lograr un acercamiento a la probabilidad frecuencial.

6. Probablemente

48 a 53

54 a 57

Trimestre 1

Analiza la existencia y unicidad en la construcción de triángulos y cuadriláteros, y determina y usa criterios de congruencia de triángulos.

Identifica la relación entre los ángulos que se forman entre dos rectas paralelas cortadas por una transversal.

58 a 65

66 a 73

Determina la suma de los ángulos interiores de triángulos y cuadriláteros.

8. Midiendo interiores

Un alto en la espiral

Analiza la existencia y unicidad en la construcción de triángulos y determina los criterios de congruencia de triángulos.

10

11

12

Páginas del libro del alumno

7. Dos paralelas y una transversal

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

8y9

Secuencias didácticas

Contenidos

ci ón

7

Aprendizajes esperados

bu

Semana

Analiza la existencia y unicidad en la construcción de triángulos y cuadriláteros, y determina y usa criterios de congruencia de triángulos. Analiza la existencia y unicidad en la construcción de cuadriláteros y usa los criterios de congruencia de triángulos.

74 y 75

9. Para ser congruente

76 a 83

10. Lados, ángulos y diagonales

84 a 89

Taller de tecnología

90 a 93

Giro ascendente

94 a 97

P

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Evaluación del trimestre 1

XV

185 días de clase Trimestre 2

13

11. ¿Menor que cero?

100 a 105

Resuelve problemas de suma con números enteros, fracciones y decimales positivos y negativos.

12. ¿Más o menos?

106 a 113

13. Sumas que restan

114 a 121

Resuelve problemas de resta con números enteros, fracciones y decimales positivos y negativos.

15

Un alto en la espiral

122 y 123

Resuelve problemas de multiplicación con fracciones.

14. Partes de partes

124 a 129

Resuelve problemas de multiplicación y división con decimales.

15. Multiplicación y división con decimales

130 a 135

17

Calcula valores faltantes en problemas de proporcionalidad directa, con constante natural, fracción o decimal.

Calcula valores faltantes en problemas de proporcionalidad directa, con constante natural, fracción o decimal.

16. Valores faltantes

136 a 141

18

Determina y usa la jerarquía de las operaciones y los paréntesis en operaciones con números naturales, enteros y decimales (para multiplicación y división solo números positivos).

Determina y usa la jerarquía de operaciones y los paréntesis en operaciones con números naturales, enteros y decimales.

17. ¿El orden es importante?

142 a 145

Resuelve problemas de multiplicación con fracciones y decimales, y de división con decimales.

P

©

16

XVI

Páginas del libro del alumno

Identifica y localiza números con signo en la recta numérica. Utiliza los números simétricos y el valor absoluto.

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

14

Resuelve problemas de suma y resta con números enteros, fracciones y decimales positivos y negativos.

Secuencias didácticas

Contenidos

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Aprendizajes esperados

bu

Semana

Trimestre 2 Secuencias didácticas

Contenidos

Formula expresiones algebraicas de primer grado Formula expresiones algebraicas de primer a partir de sucesiones y grado a partir de sucesiones y las utiliza para las utiliza para analizar analizar propiedades de la sucesión. propiedades de la sucesión que representan.

18. Números y letras

bu

19

Aprendizajes esperados

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

Un alto en la espiral

20

21 y 22

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154 y 155

19. Recorriendo contornos

156 a 161

Calcula el perímetro de polígonos y del círculo, Calcula áreas de triángulos y cuadriláteros y áreas de triángulos y desarrollando y aplicando las fórmulas. cuadriláteros, desarrollando y aplicando fórmulas.

20. Explorando áreas

162 a 169

Resuelve problemas de cálculo de porcentajes, de tanto por ciento y de la cantidad base.

Resuelve problemas de cálculo de porcentajes, del tanto por ciento y de la cantidad base.

P

Taller de tecnología

24

146 a 153

Calcula el perímetro de Calcula el perímetro de polígonos y del círculo polígonos y del círculo, desarrollando y aplicando fórmulas. y áreas de triángulos y cuadriláteros, desarrollando y aplicando fórmulas.

Taller de tecnología

23

Páginas del libro del alumno

ci ón

Semana

Giro ascendente

170 a 173

21. Tanto por ciento

174 a 177

22. Más sobre porcentajes

178 a 181 182 y 183 184 a 187

Evaluación del trimestre 2

XVII

185 días de clase Trimestre 3

Resuelve problemas mediante la formulación y solución algebraica de ecuaciones lineales.

Secuencias didácticas

Contenidos

Formula ecuaciones lineales que representan diversas situaciones e indentifica la incógnita.

Resuelve problemas mediante la formulación y solución algebraica de ecuaciones lineales.

190 a 193

24. Hay que mantener el equilibrio

194 a 197

25. Agrupar y distribuir

198 a 205

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

26

Un alto en la espiral

27

Recolecta, registra y lee Recolecta, registra y lee datos 0en gráficas datos en gráficas circulares. circulares.

26. Círculos que informan

Taller de tecnología

Analiza y compara situaciones de variación lineal 27. Puntos que hablan a partir de su representación tabular y gráfica.

28

206 y 207

208 a 213

214 y 215

216 a 223

28. ¿Pendiente suave o pronunciada?

224 a 231

Analiza y compara situaciones de variación lineal 29. Tres formas a partir de sus representaciones tabular, gráfica y de describir lo algebraica. Interpreta y resuelve problemas que mismo se modelan con este tipo de variación.

232 a 239

Determina la pendiente de una recta y la usa para comparar situaciones de variación lineal.

P

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29

Analiza y compara situaciones de variación lineal a partir de sus representaciones tabular, gráfica y algebraica. Interpreta y resuelve problemas que se modelan con estos tipos de variación.

Páginas del libro del alumno

23. La incógnita

bu

25

Aprendizajes esperados

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Semana

30 y 31

XVIII

Taller de tecnología

240 a 243

Un alto en la espiral

244 y 245

Trimestre 3

32 Calcula el volumen de prismas rectos cuya base sea un triángulo o un cuadrilátero, desarrollando y aplicando fórmulas.

Secuencias didácticas

Calcula el volumen de prismas rectos cuya base sea un triángulo o un cuadrilátero desarrollando y aplicando fórmulas.

30. ¿Cuánto espacio ocupa?

Explora la relación entre el decímetro cúbico y el litro y relaciona capacidad y volumen para resolver problemas que implican esta relación.

31. ¿Cuánto le cabe?

Usa e interpreta las medidas de tendencia central y el rango en un conjunto de datos, y decide cuál de ellas conviene más.

32. Entre medias, modas y medianas

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

33

Contenidos

34

Usa e interpreta las medidas de tendencia central (moda, media aritmética y mediana) y el rango de un conjunto de datos, y decide cuál de ellas conviene más en el análisis de los datos en cuestión.

Giro ascendente

Páginas del libro del alumno

ci ón

Aprendizajes esperados

bu

Semana

246 a 251

252 a 257

258 a 263

264 a 267

Evaluación del trimestre 3 Evaluación final

P

©

35

XIX

Nombre: 

Trimestre 1

Grupo:        Número de lista: 

Subraya la opción correcta. Con base en tus resultados, identifica los contenidos que necesitas repasar para mejorar tu desempeño. 1. La maestra de Química de Andrés encargó por equipos los siguientes materiales: Equipo B: 0.9 gramos de calcio

Equipo C: 0.75 gramos de fierro

Equipo D: 0.35 gramos de carbono

ci ón

Equipo A: 0.10 gramos de sodio

0

A

D

C

B

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

A)

bu

¿Qué opción muestra la cantidad de material que llevará cada equipo?

B)

C)

0

0

B

C

C

D

A

B

1g

A 1g

D

1g

D)

0

D

B

A

C

1g

2. Son números que tienen expansión decimal finita:

18 19 y 15 8 7 4 3. ¿Cuál de las siguientes fracciones se ubica entre y ? 8 5 1 23 33 B) C) A) 5 26 20

P

©

A)

XX

6 18 y 17 21

B)

19 50 y 17 30

C)

D)

18 10 y 21 23

D)

17 20

4. Una caja contiene 7 fichas marcadas del 1 al 7. Luis, Ana y Juan juegan con la siguiente regla: Si sacan una ficha con número par, gana Luis; si sale número impar, gana Juan y si es un múltiplo de 3, gana Ana. ¿Quién tiene mayor probabilidad de ganar el juego? A) Luis

B) Ana

C) Juan

D) Todos tienen la misma posibilidad

5. Observa la figura. ¿Cuáles ángulos son suplementarios? 1 2 3 4



A) 1, 4 y 2, 3 B) 1, 6 y 3, 5 C) 7, 2 y 1, 6 D) 6, 3 y 2, 7

6. La suma de los ángulos a, b y c es:

h e

c

30º

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

130º b d

bu

f g 80º a

ci ón

5 6 7 8

A) 80º

B) 130º C) 180º D) 280º

7. Si las rectas horizontales son paralelas, entonces el ángulo a mide: A) 110º



40º

B) 90º C) 85º 110º

a

D) 70º

8. ¿Con cuáles de los siguientes grupos de medidas se puede trazar un triángulo? 1: 7 cm, 6 cm y 8 cm

A) 1, 2 y 3

2: 9 cm, 4 cm y 4 cm

B) 1 y 2

C) 2 y 3

3: 8 cm, 5 cm y 5 cm D) 1 y 3

©

9. En el paralelogramo ABCD, la medida del ángulo a es:

P

A

A) 75°

B

a

75º D

B) 105°

C

C) 150°

D) 210°

XXI

Trimestre 1 10. Observa la imagen y responde las preguntas.

C) Amarillo

D) Azul

bu

B) Rojo

A) Verde

ci ón

a) Al girar la ruleta 50 veces, se espera que el color que seleccionará la flecha con mayor frecuencia sea el:

b) Los colores que tienen la misma posibilidad de selección son: B) Rojo y azul

C) Azul y verde

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

A) Verde y amarillo

D) Amarillo y rojo

Resuelve los problemas.

11. Andrés dice que para saber si dos triángulos son congruentes, debemos conocer la medida de sus tres lados y de sus tres ángulos. Paula dice que es suficiente saber cuál es la medida de dos lados y el ángulo que se forma entre estos. ¿Quién tiene razón? Explica por qué.   

12. Construye el diagrama de árbol que representa el evento de lanzar al mismo tiempo 4 monedas al aire. Escribe los resultados que se necesitan para obtener: a) Dos soles y dos águilas:  b) Un águila y tres soles: 

c) Tres soles y dos águilas: 

©

13. Escribe el número que se encuentra justo a la mitad de los siguientes números. a) 2.5 y 2.6:

b) 3.45 y 3.46:

P

14. Escribe como fracciones los siguientes números. a) 7.254 = b) 10.32 = c) 9.3 = d) 24.12 =

XXII

c) 6.787 y 6.788:

15. Ordena de mayor a menor los números


– 8

Leche:

1 1 2

2



b) B) x (15 – x)

4. B) 400x + 300

1 8

5 >– 2

1 2 2

13 4

5. C)

m

4. B) 1.8 + (– 2.7) 5. D) –

11 14

6. a) B) 2

©



b) D) 4

y

7

6

c) C) 72

P

7. a) A) 1 y 3

6. B)

s

b) C) 5 y 6

8. C) –0.75 9. A)

1 1 1 de fresa, de limón y de piña 6 2 10

5 4

3 2 1 0

1

2

3

4

5

6

x

XXXIII

Solucionario de evaluaciones 3

7. a) x + 2x + 2x = 100

12. A) 1

100 ; x = 20 5



c) Sencillo: $20 Triple: $40

8. a) y = 6

13. Masa (kg)

Estiramiento del resorte (cm)

0

0

b) t =16

9. a) x + x + 1 + x+ 2 + x + 3 = 4x + 6; 4x + 6= 38

b) 4x = 38 – 6; 4x = 32; x =



c) 8, 9, 10 y 11

1 2

32 ;x=8 4

10.

Escuchar música

68.4º

Navegar en internet

100.8º

5

1 2

7.5

2

10

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

Pasatiempo

2.5

1 1

Ángulo interior del sector circular

ci ón

b) 5x = 100; x =

bu



Estiramiento del resorte (cm) 10

Jugar videojuegos

46.8º

Chatear

115.2º

Practicar algún deporte

28.8º

8

6

4

©

2

Chatear

P



0

11. a) B) 2 y 3 b) Sí, porque el punto al bajar 3 unidades y moverse a la derecha 4 unidades a partir del punto F se llega al punto (7, 1).

XXXIV

1

2

Masa (kg) 3

Solucionario del libro Trimestre 1

Secuencia didáctica 7 Página 63

Secuencia didáctica 1 Página 20 ¿Vamos bien?

¿Vamos bien?

III. 3 10

0

3 5

3 4

1

8. a)

Página 65



3/10 < 3/5 < 3/4

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

Conversiones: Naranjas: 2 kg y 500 g; limones: 750 g; papaya: 2 kg y 250 g; tomates: 1 kg y 500 g; chiles: 250 g

bu

Secuencia didáctica 2 Página 28

Ángulo A  ángulo G  50° Ángulo B  130° Ángulo C  95° Ángulo D  ángulo H  85° Ángulo E  150° Ángulo F  30°

ci ón

6. R. M. Los ángulos alternos internos y los ángulos alternos externos son iguales solamente si las rectas que corta la transversal son paralelas.

¿Qué aprendí?

2.

Operaciones: 2 kg  2 kg  1 kg  500 g  750 g  250 g  500g  250 g  7 kg y 250 g

Secuencia didáctica 3 Página 31







2. b)

3 13 3 y 7 15 11

,



Página 32

©

4. a) 2/5, 3/25 y 7/12 2/5  0.4, 3/25  0.12 y 7/12  0.583 b)

5 625 5  125   8 1000 8  125

P

c) 0.625 d) No

e) 0.166666…

3.

b  120°, porque es suplementario con el ángulo de 60°. c  60°, porque es opuesto por el vértice al ángulo de 60°. d  120°, porque es opuesto por el vértice con el ángulo b. Los ángulos e, f, g y h son correspondientes a los ángulos de 60° b, c y d respectivamente, por lo que son iguales que ellos. Los ángulos m, n, o y p son iguales respectivamente a los ángulos e, f, g y h porque son correspondientes a ellos. Los ángulos i, j, k y l son iguales respectivamente a los ángulos e, f, g y h porque son correspondientes a ellos. a) Las rectas L1 y L2 no son paralelas puesto que los ángulos que miden 129° y 50°, al ser colaterales internos, deben sumar 180°, pero 129 + 50 ≠ 180.

b) Las rectas L1 y L2 son paralelas porque los ángulos que miden 125° y 55° suman 180°, pues son colaterales externos.

XXXV

Solucionario del libro Secuencia didáctica 9 Página 78

Página 81

¿Vamos bien?

8. 4 cm

I. a)

6 cm B

ci ón

A 60º

60º 7 cm

b)

bu

Página 83 ¿Qué aprendí? 90º

2. c) R. M. Las medidas pueden ser 2.85 m y 1.5 m para formar triángulos. Para no crear triángulos, podemos considerar 6 m y 7 m, con lo cual no se cumple la desigualdad del triángulo.

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

45º 8 cm

Página 79

Secuencia didáctica 10 Página 84

¿Vamos bien?

1. h) En el cuadrado y el rectángulo está a la mitad de la distancia, mientras que en el rombo y el romboide está más cerca de dos de los vértices.

4 cm

90º

Página 88

3 cm

5. b)

4 cm

Página 80

5 cm

¿Vamos bien? I.

6 cm

3 cm

4 cm

©

8 cm

c)

8 cm

P

II.

10 cm

5 cm

6 cm 60º 4 cm XXXVI

5 cm

Secuencia didáctica 12 Página 106 1. d) y e)

6. R. M.

6 5 4 3 2 1

= = = = = =

–5 –4 –3 –2 –1 0

6 5 4 3 2 1

= = = = = =

–4 –3 –2 –1 0 1

3

6 5 4 3 2 1

= = = = = =

–3 –2 –1 0 1 2

4

6 5 4 3 2 1

= = = = = =

–2 –1 0 1 2 3

5

6 5 4 3 2 1

= = = = = =

–1 0 1 2 3 4

6

6 5 4 3 2 1

= = = = = =

0 1 2 3 4 5

5 cm

d) - Conocer la medida de dos de sus lados. - Conocer el ángulo comprendido entre los lados conocidos.

2

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

Giro ascendente

bu

5 cm

ci ón

1

Página 97

6. El ángulo b es suplemento del ángulo que mide 135°, por tanto, b = 45°.

Llamamos c al tercer ángulo interior del triángulo, entonces este es suplementario al que mide 124°, por lo que mide 56°.

Finalmente, sabemos que la suma de los ángulos internos de cualquier triángulo es igual a 180°.



Despejando la medida del ángulo a tenemos que a = 79°.

Trimestre 2

©

Secuencia didáctica 11 Página 104 5.

P

0.5

0

1 4

1.5

2

3

XXXVII

Solucionario del libro Página 112

Página 148

10. a) No tiene suficiente mercancía.

3. a)

Figura 5

Secuencia didáctica 14 Página 129

ci ón

Figura 4

3 1 de kg de jitomate, 5 de kg 4 2 1 1 de aguacate, 2 de kg de cebolla, 4 de kg de 4 4 1 manzana y kg de melón. 2

b) Debe solicitar 4

Página 150 4. a)

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

4. b) No, ya que el amigo no consideró que la fracción que se pedía en cada situación era con base en lo que le había quedado antes.

bu

Figura 6

¿Qué aprendí?

Secuencia didáctica 18 Página 146

1. a)

16 lados

Secuencia didáctica 19 Página 156

1. c)

Figura 4

Figura 5

Perímetro: 36 cm

Página 147

©

2. a)

P

Perímetro: 36 cm

Figura 5 XXXVIII

Perímetro: 36 cm

Secuencia didáctica 22 Página 181

f) Sí es correcto. Secuencia didáctica 26 Página 211

3. c) R. M. Porque el porcentaje es calculado a diferentes cantidades.

4. a) Nunca: 66.2°; A veces: 153.7°; A menudo: 140.04° b)

Trimestre 3

ci ón

¿Qué aprendí?

¿Has sido testigo de violencia en la escuela? Nunca

Secuencia didáctica 24 Página 195

bu

A veces

4. b) Primero se suma 3 y luego se divide por 9 a ambos lados de la igualdad.

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

Página 197

A menudo

Secuencia didáctica 27 Página 223

6. a) No es correcto. 8x 2 1 = 1

¿Qué aprendí?

8x 2 1 + 1 = 1 + 1

2. a)

8x = 2

8x 2 = 8 8 2 x = 8



Productos vendidos 0 2 4 5

b) Sí es correcto.

c) No es correcto.



c)

Sueldo

2x 2 10 = 0

2x 2 10 + 10 = 0 + 10

©

2x = 10

10 2



x=



x=5

$6 000

$5 000

$4 000

d) Sí es correcto.

$3 000



e) No es correcto.

$2 000

P





x 23=1 4

x 23+3=1+3 4 x =4 4 x 4( ) = 4  4 4



x = 16

Sueldo ($) 3 000 4 000 5 000 5 500

$1 000 0

1

2

3

4

5

6

Productos vendidos XXXIX

Solucionario del libro Secuencia didáctica 29 Página 235

Página 250 6. b) Escribí las medidas de la caja en metros para calcular el volumen en metros cúbicos 60 cm = 0.6 m, 35 cm = 0.35 m y 30 cm = 0.3 m.

¿Vamos bien? y 5

Así el volumen de la caja es: 0.6  0.35  0.3 = 0.063 m3

4 3 2 1

x

-5 -4 -3 -2 -1 0 -1

1 2 3 4 5

-2 -3

bu

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

b)

Después calculé el volumen de la bodega: 10 m  4 m  2.70 m = 108 m3

Como se va a dejar un espacio vacío en medio de la bodega de 1.5 m de ancho, al volumen de la bodega se le debe restar 6.075 m3, que es el volumen de este espacio. Con esto tenemos: 108 2 6.075 = 101.925

-4 -5



ci ón

II. a)

y

5

Finalmente, para saber cuántas cajas caben en la bodega, dividí el volumen de esta última entre el volumen de las cajas:

4 3 2 1

x

-5 -4 -3 -2 -1 0 -1

1 2 3 4 5

-2 -3

Secuencia didáctica 31 Página 256

-4 -5



c)

¿Qué aprendí?

y

5

3. b)

4 3 2 1

-5 -4 -3 -2 -1 0 -1

101.925 m3 = 1617 0.063 m3



x

1 2 3 4 5

©

-2 -3

-4 -5

0.1 m

P

Secuencia didáctica 30 Página 249

4. d) Área de la base por la altura. En este caso, el área de la base es un triángulo, por lo que es: Altura del prisma  [(base por altura) ÷ 2] XL

0.125 m

0.08 m

ci ón

MATEMÁTICAS 1

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

bu

COMPONENTE CURRICULAR: FORMACIÓN ACADÉMICA

P

©

Pilar Martínez Téllez Guadalupe Carrasco Licea

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ci ón

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P

©

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Avenida Río Mixcoac 274 piso 4, colonia Acacias, C. P. 03240, delegación Benito Juárez, Ciudad de México

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D. R. © 2018 por

EDITORIAL SANTILLANA, S. A. de C. V.

La

La presentación y disposición en conjunto y de cada página de Matemáticas 1 de la serie Espiral del Saber® son propiedad del editor. Queda estrictamente prohibida la reproducción parcial o total de esta obra por cualquier sistema o método electrónico, incluso el fotocopiado, sin autorización escrita del editor.

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S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

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bu

El libro Matemáticas 1 de la serie Espiral del Saber® fue elaborado en Editorial Santillana por el equipo de la Dirección General de Contenidos.

ISBN: 978-607-01-3871-3 Primera edición: abril de 2018

Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. Núm. 802 Impreso en México / Printed in Mexico

La matemática te ofrece conocimientos que te ayudan a comprender el mundo en que vives, te proporciona herramientas para enfrentar diversos problemas y te invita a plantearte nuevas preguntas acerca de tu realidad.

E

ci ón

Presentación

bu

ste libro no es cualquier libro de matemáticas: es tu libro de matemáticas. Fue escrito pensando en ti, para que te des cuenta de que tienes muchas habilidades intelectuales que quizá aún no has descubierto y para que disfrutes al descubrirlas.

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

Muchos estudiantes creen, equivocadamente, que su desempeño en matemáticas no es muy bueno, y que aprender matemáticas es difícil y aburrido. Y este desacierto se debe, entre otras cosas, a la suposición errónea de que ser bueno en matemáticas significa poder efectuar grandes cálculos sin equivocarse, aplicando de manera correcta fórmulas, procedimientos y técnicas aprendidas. Pero no es así: ser bueno en matemáticas significa tener siempre una actitud de exploración y búsqueda, perder el miedo a equivocarte y no rendirte hasta encontrar una posible estrategia para resolver los problemas que se te presentan. Por eso, y porque sabemos que eres capaz de buscar caminos y soluciones hasta encontrarlos y descubrir un mundo de posibilidades, este libro fue escrito para propiciar que explores, que pierdas el miedo a equivocarte, que te acostumbres a verificar tus conocimientos, que aprendas de tus errores y continúes buscando hasta encontrar y descubrir. Al hacerlo, aprenderás no solamente matemáticas, sino también a confiar en ti mismo, a disfrutar los retos y a percatarte de que tus aptitudes intelectuales son muchas y cada día pueden ser más y mejores. También esta obra fue escrita para fomentar la colaboración entre compañeros, para propiciar que expreses tus ideas, que escuches las de otros, que aprendas a argumentar y que adquieras la capacidad y la costumbre de respetar opiniones distintas de la tuya.

©

En síntesis, este libro fue escrito para ayudarte a descubrir nuevos campos en el maravilloso mundo de las matemáticas, para contribuir a que desarrolles tu habilidad de razonar, para que te acostumbres a plantearte preguntas y escarbar en las ideas. Pero no solo fue pensado para apoyar tu formación matemática, sino también para favorecer tu formación para la vida.

P

Esperamos que lo disfrutes y te damos la bienvenida a este nuevo ciclo escolar que hoy empieza. Con cariño,

Las autoras

3

14

ci ón

Presentación 3 Panorama de la espiral 8 A través de la espiral 12 Secuencia didáctica 4. Entre dos, ¡siempre hay otro!

34

bu

yy Identificas una fracción o un decimal entre dos fracciones o decimales dados. Inicias un acercamiento a la propiedad de densidad de las fracciones y de los números decimales.

40

Secuencia didáctica 5. Ver, preguntar y experimentar

42

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

Un alto en la espiral

yy Registras resultados de observaciones, encuestas y experimentos.

Entremos a la espiral

15

Secuencia didáctica 1. ¿Qué número es mayor?

16

Secuencia didáctica 6. Probablemente

48

yy Realizas experimentos aleatorios y registras los resultados para lograr un acercamiento a la probabilidad frecuencial.

yy Comparas y ordenas fracciones y números decimales, y localizas este tipo de números en la recta numérica.

Taller de tecnología: Expansión decimal finita o infinita y periódica; Números entre otros dos; ¡Simulemos volados! 54

Secuencia didáctica 2. Un número, dos formas

Secuencia didáctica 7. Dos paralelas y una transversal

24

yy Identificas la relación entre los ángulos que se forman entre dos rectas paralelas cortadas por una transversal.

©

yy Conviertes fracciones decimales a notación decimal y viceversa.

P

Secuencia didáctica 3. ¿Nunca termina? yy Aproximas fracciones no decimales usando notación decimal.

4

58

30

Secuencia didáctica 8. Midiendo interiores yy Determinas la suma de los ángulos interiores de triángulos y cuadriláteros.

66

74

Secuencia didáctica 9. Para ser congruente 76 yy Analizas la existencia y unicidad en la construcción de triángulos y determinas los criterios de congruencia de triángulos. Secuencia didáctica 10. Lados, ángulos y diagonales

Secuencia didáctica 12. ¿Más o menos? yy Resuelves problemas de suma con números enteros, fracciones y decimales positivos y negativos. Secuencia didáctica 13. Sumas que restan

Un alto en la espiral

122

Secuencia didáctica 14. Partes de partes

124

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

yy Analizas la existencia y unicidad en la construcción de cuadriláteros y usas los criterios de congruencia de triángulos. Taller de tecnología: Paralelogramos 90 Giro ascendente

94

98

114

yy Resuelves problemas de resta con números enteros, fracciones y decimales positivos y negativos.

bu

84

106

ci ón

Un alto en la espiral

yy Resuelves problemas de multiplicación con fracciones. Secuencia didáctica 15. Multiplicación y división con decimales

130

yy Resuelves problemas de multiplicación y división con decimales. Secuencia didáctica 16. Valores faltantes

136

yy Calculas valores faltantes en problemas de proporcionalidad directa, con constante natural, fracción o decimal. Secuencia didáctica 17. ¿El orden es importante?

©

Entremos a la espiral

99

P

Secuencia didáctica 11. ¿Menor que cero?

142

yy Determinas y usas la jerarquía de operaciones y los paréntesis en operaciones con números naturales, enteros y decimales.

100

yy Identificas y localizas números con signo en la recta numérica. Utilizas los números simétricos y el valor absoluto.

5

146

188

ci ón

Secuencia didáctica 18. Números y letras

154

Secuencia didáctica 19. Recorriendo contornos

156

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

Un alto en la espiral

bu

yy Formulas expresiones algebraicas de primer grado a partir de sucesiones y las utilizas para analizar propiedades de la sucesión.

yy Calculas el perímetro de polígonos y del círculo desarrollando y aplicando fórmulas. Secuencia didáctica 20. Explorando áreas

162

yy Calculas áreas de triángulos y cuadriláteros desarrollando y aplicando las fórmulas.

Entremos a la espiral

Taller de tecnología: Áreas de triángulos 170 Secuencia didáctica 21. Tanto por ciento

174

yy Resuelves problemas de cálculo de porcentajes, del tanto por ciento y de la cantidad base. Secuencia didáctica 22. Más sobre porcentajes

178

yy Formulas ecuaciones lineales que representan diversas situaciones e identificas la incógnita.

©

yy Resuelves problemas mediante la formulación y solución algebraica de ecuaciones lineales. Secuencia didáctica 25. Agrupar y distribuir

P

Taller de tecnología: Fracciones, decimales y porcentajes; Precios con y sin IVA; Monto de un descuento o incremento 182

6

190

Secuencia didáctica 24. Hay que mantener el equilibrio 194

yy Resuelves problemas de cálculo de porcentajes, del tanto por ciento y de la cantidad base.

Giro ascendente

Secuencia didáctica 23. La incógnita

189

184

198

yy Resuelves problemas mediante la formulación y solución algebraica de ecuaciones lineales. Un alto en la espiral

206

yy Recolectas, registras y lees datos en gráficas circulares. Taller de tecnología: Gráficas circulares 214 Secuencia didáctica 27. Puntos que hablan

216

Secuencia didáctica 30. ¿Cuánto espacio ocupa? yy Calculas el volumen de prismas rectos cuya base sea un triángulo o un cuadrilátero desarrollando y aplicando fórmulas.

Secuencia didáctica 31. ¿Cuánto le cabe?

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri 224

yy Determinas la pendiente de una recta y la usas para comparar situaciones de variación lineal. Secuencia didáctica 29. Tres formas de describir lo mismo

252

yy Exploras la relación entre el decímetro cúbico y el litro y relacionas capacidad y volumen para resolver problemas que implican esta relación.

yy Analizas y comparas situaciones de variación lineal a partir de su representación tabular y gráfica.

Secuencia didáctica 28. ¿Pendiente suave o pronunciada?

246

ci ón

208

bu

Secuencia didáctica 26. Círculos que informan

Secuencia didáctica 32. Entre medias, modas y medianas

258

yy Usas e interpretas las medidas de tendencia central y el rango en un conjunto de datos, y decides cuál de ellas conviene más.

232

yy Analizas y comparas situaciones de variación lineal a partir de sus representaciones tabular, gráfica y algebraica. Interpretas y resuelves problemas que se modelan con este tipo de variación.

Giro ascendente

264

Glosario 268 Fuentes de información

272

©

Taller de tecnología: Pendiente y ordenada al origen de una recta 240 244

P

Un alto en la espiral

7

A través de la espiral

ci ón

En esta sección te explicamos cómo trabajarás en el libro, conocerás las ventajas de realizar actividades en pareja, en equipo o de manera grupal durante el curso. También encontrarás un explicación de cómo puedes revisar tus avances y tomar decisiones para poder continuar o regresar y repasar algunos temas con la ayuda de tu profesor y, así, mejorar tu desempeño.

Espiral del conocimiento

El desarrollo de la matemática, como el de cualquier otra ciencia, no es una mera acumulación de conocimientos y procedimientos que surgen de modo ordenado, como en línea recta. Este desarrollo tiene más bien la forma de una espiral: de la aplicación o reestructuración de conocimientos anteriores surgen nuevos y más profundos problemas que dan lugar a conocimientos más avanzados. Así, la ciencia está constantemente regresando a temas ya tratados, pero en un nivel cada vez más superior. Y en este ir y venir, se construyen las teorías y las leyes, es decir, el contenido de la ciencia.

En este libro queremos ayudarte a dar una vuelta más en la espiral de tu conocimiento matemático. Con ese objetivo, te presentamos una colección de secuencias con situaciones problemáticas cuidadosamente seleccionadas para contribuir a que lo logres. Cada secuencia incluye problemas que representan un reto para invitarte a poner en juego tus conocimientos previos y a reestructurar dicho saber en el proceso de solución, ya sea para modificarlo o ampliarlo, o para volverlo a aplicar en una situación nueva.

bu

En la espiral

Buscamos que mediante el estudio y el uso de las matemáticas aprendas a razonar, a comprender, a formular hipótesis, a establecer conjeturas y a someter estas últimas al análisis para así obtener nuevas conclusiones. Por ello, te invitamos a recorrer las páginas de este libro con la actitud de aceptar retos y resolver todo tipo de problemas. Tienes completa libertad para construir tu propio procedimiento, incluso puedes actuar con tus compañeros la situación descrita o representarla usando los objetos que tengas a la mano. Lo importante es que estés decidido a poner “manos a la obra” cada vez que las páginas de este libro te propongan un problema.

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

Es importante que trabajes en equipo, que expliques a tus compañeros cómo obtuviste la solución, que escuches lo que ellos pensaron, que compares tu procedimiento con los suyos, que argumentes tus razones. En resumen: que aprendas a explicar tus razonamientos y a escribir tus ideas de manera ordenada. Ello te permitirá desarrollar la comprensión y la comunicación de nociones matemáticas y ayudará a que adquieras confianza para expresar y justificar tu trabajo matemático. En este libro encontrarás ejercicios en los que se pretende adquieras la habilidad para realizar de manera eficiente procedimientos técnicos que ya has razonado y comprendido, es decir, ejercicios para practicar. Asimismo, se incluyen sugerencias de cómo usar herramientas tecnológicas para mejorar tu comprensión de los conceptos matemáticos que verás en este curso. Habrá invitaciones a visitar sitios web en los que se presentan actividades interactivas relacionadas con el tema que se está estudiando. También encontrarás talleres en los que te proponemos actividades que se pueden realizar en hojas de cálculo o en un software libre de geometría interactiva. En ambos casos, es muy importante que hagas tu propia exploración de los recursos con los que cuentas y descubras cómo usarlos de manera eficiente.

12

¡Llegaste a la recta final del ciclo escolar! En este trimestre abordarás el planteamiento y resolución de ecuaciones, trabajando con ecuaciones lineales. Advertirás que hay muchos problemas en los que las relaciones entre las cantidades involucradas se pueden expresar por medio de una ecuación.

Al iniciar cada trimestre ingresas en la espiral del aprendizaje. En este apartado tendrás una idea general de los temas que estudiarás los tres meses siguientes.

Entremos a la espiral

Estudiarás también una forma de variación conocida como variación lineal, que se puede representar mediante una tabla de valores, una gráfica o una expresión algebraica. Conocerás la pendiente de una recta, que es una forma de medir su inclinación y verás que esta te permite diferenciar distintos tipos de variación lineal.

Además, en este trimestre aprenderás a construir e interpretar gráficas circulares. Revisarás los conceptos de promedio, mediana y moda de una colección de datos para aprender cuál de esas medidas es más útil en distintas situaciones, además del rango de una colección de datos y su interpretación.

©

Finalmente, estudiarás las fórmulas para calcular el volumen de prismas rectos que tienen bases con distintas formas (cuadrada, rectangular o triangular) e identificarás la relación entre medidas de volumen y medidas de capacidad.

Recuerda revisar de nuevo esta sección al final del trimestre para que compruebes que hayas alcanzado los conocimientos que aquí se describen.

ProtoplasmaKid / Wikimedia Commons / CC-BY-SA 4.0

El álgebra

P

La aparición de las matemáticas como ciencia teórica comenzó en tiempos muy remotos (alrededor del siglo VII a. n. e.) y en ella jugaron un papel muy importante los científicos griegos, ya que fueron los primeros en usar razonamientos lógicos para demostrar resultados generales, llamados teoremas.

Los griegos fueron grandes geómetras y también hicieron progresos considerables en aritmética y álgebra, pero carecían de algunos elementos esenciales; por ejemplo, no conocían los números negativos ni el cero, y no tenían un sistema bien desarrollado de símbolos para representar relaciones generales usando operaciones y literales. Para describir una relación que ahora podemos representar por la igualdad y 5 x2, los griegos decían cosas como “un segmento que tiene una longitud igual al área de un cuadrado”.

Las torres de Satélite son un conjunto escultórico de cinco prismas triangulares de distintos tamaños que se encuentran en una explanada al norte de la Ciudad de México.

188

8

La palabra álgebra proviene del nombre de un tratado del matemático y astrónomo árabe Mahommed ibn Musa al-Khwarizmi. Su tratado llevaba por título Al-jebr w´al-muqabala, que significa “Trasposición y eliminación”. Por trasposición (al-jebr) se entiende la transferencia de términos de uno a otro miembro de una ecuación. La palabra al-jebr se convirtió en álgebra al transcribirla al latín, mientras que al-muqabala fue desechada. El origen de este término responde muy bien al contenido real del álgebra, que es la doctrina de las operaciones matemáticas entre cantidades, sin considerar números concretos. Más tarde, Omar Khayyam definió el álgebra como la ciencia de resolver ecuaciones, definición que mantuvo su significado hasta finales del siglo XIX.

age fotostock / www.photostock.com.mx

Desde los primeros siglos de nuestra era, el centro del desarrollo matemático se fue desplazando a la India, Asia Central y los países árabes.

Mahommed ibn Musa al-Khwarizmi 189

Cada trimestre encontrarás información para que reflexiones acerca de la importancia de las matemáticas en la historia, para crear soluciones a problemáticas de distintos campos del conocimiento.

ci ón

Para lograr los aprendizajes, te proponemos trabajar mediante secuencias didácticas, una serie de actividades que te permitirán lograr conocimientos y desarrollar habilidades y actitudes. Las secuencias didácticas constan de tres fases: Exploro, Construyo y Aplico.

•• Exploro. En esta fase te introducirás en el tema. Además identificarás los conocimientos que ya tienes y los que necesitas para continuar aprendiendo.

•• Construyo. Mediante actividades individuales, en parejas, en equipo, y con la

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

bu

explicación de contenidos por parte de tu maestro, lograrás conocimientos matemáticos y desarrollarás habilidades y actitudes que te permitirán aprender permanentemente. Para valorar tu avance, encontrarás la sección ¿Vamos bien? con problemas y ejercicios para que apliques lo que has aprendido hasta el momento.

•• Aplico. La fase final de la secuencia consta de actividades que integran los aprendizajes. Esto permitirá valorar tus logros.

Durante las secuencias didácticas encontrarás estos apartados:

1

4. Reúnete con otro compañero, lean y realicen lo que se pide.

¿Qué número es mayor?

Maru

de la meta y el auto B está a

dos fracciones que indiquen distancias a las que pueden estar estos autos respecto a la meta.

Para encontrar fracciones entre

Cuando analices el trabajo de otro compañero, hazlo de manera respetuosa. Si no estás de acuerdo con su procedimiento, no lo descalifiques y escucha sus argumentos. Recuerda que hay diferentes maneras de resolver problemas.

Como las amigas no resolvieron su duda, a la salida de la escuela acordaron que cada quien lanzaría en su casa dos monedas un gran número de veces y anotaría cuántas veces ocurre uno de los resultados.

Glosario. Te proporciona la definición de términos matemáticos y de algunas palabras con el fin de facilitarte el estudio de los temas.

18 336  4 3 6 24

Maru lanzó 100 veces las dos monedas y obtuvo 26 veces dos águilas. Pati lanzó 200 veces las dos monedas y obtuvo 54 veces dos soles. Leo lanzó 150 veces las dos monedas y obtuvo 74 veces un águila y un sol. a) ¿Qué fracción de los lanzamientos de Maru cayeron en dos águilas? b) ¿Qué fracción de los lanzamientos de Pati cayeron en dos soles?

c) ¿Qué fracción de los lanzamientos de Leo cayeron en un águila y un sol?

7 5 8

¿Vamos bien?

Aplicando lo que has aprendido, encuentra las fracciones que se solicitan. Al terminar, compara tus procedimientos y tus resultados con los de tus compañeros. I. Escribe una fracción que esté entre

5 6 y . 10 10

II. Determina dos fracciones que se encuentren entre

III. Anota dos fracciones que estén entre

7 8 y . 6 6

9 15 y . 4 6

a) Escriban todos los números decimales, hasta centésimos, que estén entre 3.5 y 3.6.

que eligieron.

3

e) Escriban las tres fracciones en orden, de menor a mayor. ,

f)

5 5 6

• Comparen sus respuestas con las de sus compañeros y verifiquen que todas sean correctas.

5. Reúnete con un compañero y resuelvan.

d) Discutan cómo comparar las tres fracciones anteriores. Escriban el procedimiento

3.5

Comparen sus respuestas con las de sus compañeros y lleguen a un acuerdo sobre los procedimientos correctos y el orden de las fracciones.

g) Para analizar si las fracciones anteriores son aproximadamente iguales o no, primero escriban tres fracciones equivalentes a las que obtuvieron las amigas, todas con denominador 600. Puedes apoyarte en la información del glosario. ,

4

,

,

16

3.6

b) Anoten todos los números decimales, hasta milésimos, que estén entre 3.56 y 3.57. Pueden auxiliarse en la siguiente recta númerica.

Trimestre 1

Trimestre 1

©

fracciones equivalentes. Son fracciones que representan la misma cantidad. Cuando se multiplica o divide el numerador y el denominador de una fracción por un mismo número (distinto de cero), se obtiene una fracción equivalente. Por ejemplo, para obtener una fracción equivalente a 3 se puede 4 multiplicar por 6 el numerador y el denominador:

5 7 y , primero encuentren fracciones equivalen6 8

tes a ellas que tengan el mismo denominador.

Pati

Convivo en armonía

Glosario

5 de km 6 7 de km. Si entre A y B hay otros dos autos, escribe 8

En cierto momento de una carrera automovilística, el auto A se encuentra a

1. Lean la información y respondan en parejas.

Leo, Pati y Maru juegan a lanzar dos monedas al aire. Antes de lanzarlas, Maru propone: “Si salen dos águilas gano yo, si salen dos soles gana Pati y si sale un águila y un sol, gana Leo”. Después de lanzar las monedas varias veces, Pati piensa que no todos tienen la misma posibilidad de ganar, pero Leo afirma que sí.

Para saber más. Encontrarás recomendaciones de páginas web y Libros del Rincón que te servirán para ampliar tus conocimientos y habilidades sobre el tema de la secuencia.

P

Eje: Número, álgebra y variación Tema: Número Contenido: Comparas y ordenas fracciones y números decimales, y localizas este tipo de números en la recta numérica.

3.56

3.57

3.58

36

¿Vamos bien? En esta sección realizarás ejercicios de práctica sobre los métodos o conceptos que has aprendido hasta el momento.

Convivo en armonía. En este apartado se presentan recomendaciones para una convivencia en armonía dentro y fuera del salón de clases.

9

Realiza lo que se indica. Con base en tus resultados, y con ayuda de tu profesor, identifica las secuencias correspondientes a los contenidos que debes repasar. 1. Calcula la medida del ángulo central de cada sector de la gráfica circular. Gastos mensuales

Cada mes tendrás la oportunidad de detenerte y revisar los aprendizajes que adquiriste mediante la resolución de ejercicios y problemas para que apliques lo que has aprendido.

Alimentación:

Alimentación

20%

10%

Gas y luz

Gas y luz:

Vivienda

Vivienda:

ci ón

40% 30%

Otros

Otros:

2. Para pintar las paredes de una casa, se contrata a un pintor que cobra una cantidad inicial, más cierta cantidad por cada hora de trabajo. La siguiente gráfica muestra la relación entre el tiempo trabajado y la cantidad cobrada por el pintor. Relación del tiempo trabajado con la cantidad cobrada Cobro ($) 650 600

a) ¿Cuál es la cantidad inicial que cobra

550

el pintor?

500

b) ¿Cuánto cobra por hora?

450 400

c) ¿Después de cuántas horas se le

350

deben pagar $450?

300

d) ¿Cuánto se le debe pagar después de

bu

250

cinco horas de trabajo?

200 150

100

50

0

1

2 3

Tiempo (h)

4 5 6

3. ¿Cuál de las siguientes tablas presenta una variación lineal? Tabla 1

Tabla 2

y

x

y

x

y

18

0

1

0

0

1

23

1

3

1

4

38

2

9

2

4

5

43

3

27

3

9

Trimestre 3

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri Gráficas circulares

Tabla 3

x

0

1

244

Haz lo que se indica para construir una gráfica circular con la información de una tabla de porcentajes.

a) Abre una hoja de cálculo y copia la siguiente información, tomada de la encuesta nacional de lectura y escritura que realizó el Consejo Nacional para la Cultura y las Artes (Conaculta) en 2015 (imagen 1). b) Selecciona las celdas que contienen la información debajo de los títulos de la tabla, sin incluir el total, es decir, de A4 a B8. En la pestaña superior, titulada “Insertar”, selecciona el icono que corresponde a una gráfica circular y elige “Gráfico 2D”. Tras oprimir la tecla Enter, aparece una primera gráfica sobre la que vamos a trabajar.

c) En cuanto aparece la gráfica, en la parte superior cambia el menú de pestañas para ofrecerte opciones útiles para la construcción de tu gráfica. Puedes escoger un diseño de los que vienen predeterminados o ir modificando la gráfica a tu gusto. Aquí vamos a seleccionar el “Estilo 1” del menú “Diseño de gráfico” (imagen 2).

Imagen 1

Practicarás algunos contenidos de las secuencias didácticas con apoyo de la tecnología para que desarrolles tus habilidades digitales.

Imagen 2

Trimestre 3

d) Selecciona el letrero “Título del gráfico” y escribe: “¿Cuánto tiempo dedicas a leer por gusto?”. El título aparecerá en ese lugar en cuanto presiones Enter. Puedes modificar el tipo y el tamaño de letra del título presionando el botón auxiliar (derecho) sobre él y seleccionando “Formato del título del gráfico...”.

Elige la opción correcta. Con base en tus resultados, identifica los contenidos que necesitas repasar para mejorar tu desempeño.

214

1. ¿Cuál es el número indicado por el punto rojo? 1

A) 0.95

2

B) 2.95

C) 1.95

D) 1.095

2. Al salir de la escuela, Memo viajó en bicicleta 1.8 km para llegar a casa de Luisa. De ahí, recorrió

33 de km más hasta llegar a su casa. ¿Cuál de las siguientes parejas re18

presenta correctamente la longitud de los recorridos que hizo Memo?

©

A) 1.8 y 1.83 km

B)

33 10 5 y 18 de km

C) 1.8 y 1.83 km

3. El número decimal que corresponde a la fracción A) 1.54.

B) 15.4.

4. Dos números que están entre A) 0.8 y 0.81.

B)

C) 1.54.

5 y 1 son… 6 7 8 . y 12 12

C)

8

33

D) 5 y 18 de km

17 es… 11

16 17 . y 18 18

D) 1.54.

D)

10 11 . y 12 12

5. Se arma el cubo y luego se lanza 240 veces como si fuera un dado. El número aproximado de veces que se obtiene el 5 es…

P

Se trata de actividades diversas que integran lo estudiado durante el trimestre. Será una oportunidad para aplicar los conocimientos, las habilidades y las actitudes que desarrollaste. Con esto demostrarás que has ascendido un nivel en la espiral de tu aprendizaje.

1 5

5

2

6 1 A) 40.

B) 80.

C) 20.

D) 60.

6. En la siguiente construcción, las rectas rojas son paralelas. ¿Cuál es la medida del ángulo a? 135º

a

A) 35°

10

94

B) 65°

C) 45°

D) 135°

agrupación de términos semejantes. Procedimiento para simplificar expresiones algebraicas en las que aparecen sumandos con la misma literal. altura de un triángulo. Es el segmento de recta perpendicular a cualquiera de los lados del triángulo que pasa por el vértice opuesto a dicho lado. También se llama altura del triángulo a la longitud de este segmento.

ángulos adyacentes. Pareja de ángulos de un polígono que comparten un lado de este. ángulos alternos externos. Cuando dos rectas son cortadas por una recta transversal se forman ocho ángulos. A los que quedan en lados opuestos de la transversal y en la región exterior de las dos rectas cortadas por la transversal, se les llama ángulos alternos externos.

ángulos colaterales externos. Cuando dos rectas son cortadas por una recta transversal se forman ocho ángulos. A los que quedan del mismo lado de la transversal y en la región exterior de las dos rectas cortadas por la transversal, se les llama ángulos colaterales externos.

ángulos correspondientes. Cuando dos rectas son cortadas por una recta transversal se forman ocho ángulos. A los que quedan del mismo lado de la transversal y del mismo lado de las dos rectas cortadas por la transversal, se les llama ángulos correspondientes.

A

B

arista. Segmento de recta que limita las caras de un cuerpo geométrico. coordenadas de un punto. A cada punto del plano cartesiano le corresponde un número x en el eje horizontal y un número y en el eje vertical. Estos números se escriben como pareja ordenada (x, y) y se les llama coordenadas del punto. cuadrilátero. Polígono de cuatro lados. Ejemplos:

A E

ángulos alternos internos. Cuando dos rectas son cortadas por una recta transversal se forman ocho ángulos. A los que quedan en lados opuestos de la transversal y en la región contenida entre las dos rectas cortadas por la transversal, se les llama ángulos alternos internos.

ángulos colaterales internos. Cuando dos rectas son cortadas por una recta transversal se forman ocho ángulos. A los que quedan del mismo lado de la transversal y en la región contenida entre las dos rectas cortadas por la transversal, se les llama ángulos colaterales internos.

ángulos opuestos por el vértice. Ángulos que tienen el mismo vértice y cuyos lados son la prolongación de los lados del otro.

B

A

D

ángulos suplementarios. Pareja de ángulos cuya suma es igual a 180°.

D

E

cubo. Cuerpo geométrico cuyas seis caras son cuadrados. decímetro. Es la décima parte de un metro. diagonal. Segmento de recta que une cualquier par de vértices no consecutivos de un polígono.

expansión decimal infinita y periódica. Si la expansión decimal de un número no termina, y hay una cifra o un grupo de cifras que se repiten una y otra vez, se dice que su expansión decimal es infinita y periódica. A la cifra o grupo de cifras que se repiten se le llama periodo. experimento aleatorio. Un experimento aleatorio tiene la característica de que todas las veces que se repite, en las mismas condiciones, es imposible saber qué resultado se obtendrá. expresiones algebraicas equivalentes. Dos o más expresiones algebraicas son equivalentes si representan la misma cantidad.

diagrama de árbol. Esquema que muestra los resultados posibles de un experimento que tiene varias etapas. Se forma con segmentos (ramas) que terminan en los resultados de cada etapa.

dígitos. Son los números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. En un número decimal, el dígito que indica los décimos es la primera cifra que está después del punto decimal; el que indica los centésimos es la segunda cifra y el que indica los milésimos es la tercera cifra.

flujo. Movimiento de un fluido

fracción decimal. Fracción cuyo denominador es 10, 102 5 100, 103 5 1 000 o cualquier otra potencia de 10.

fracciones equivalentes. Son fracciones que representan la misma cantidad. Cuando se multiplica o divide el numerador y el denominador de una fracción por un mismo número (distinto de cero), se obtiene una fracción equivalente.

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

ángulo. Abertura o región del plano comprendida entre dos segmentos de recta que tienen un punto en común, llamado vértice. El símbolo denota la medida de un ángulo.

ángulo interior (o ángulo interno). Ángulo formado por dos lados de adyacentes de un polígono y que está contenido en el interior del polígono.

expansión decimal. Son todos los números que aparecen después del punto decimal en un número decimal.

bu

G

altura

altura

altura

G

ecuación. Igualdad entre dos expresiones en la que al menos en una de ellas hay una cantidad desconocida.

ci ón

abscisa. Primera coordenada de un punto en el plano, correspondiente a la distancia horizontal del punto al eje vertical.

F

268

269

Muestra las definiciones ampliadas de las palabras del glosario del interior del libro y las que aprendiste durante el trabajo con las secuencias, para que vuelvas a consultarlas cuando las necesites.

P

©

Impresas

• Bosh, C. El billar no es de vagos: ciencia, juego y diversión, Fondo de Cultura Económica, México, 2009. • Capó, M. El país de las mates. 100 problemas de ingenio 4, Rompecabezas, Madrid, 2006. • Cerasoli, A. La sorpresa de los números, Ediciones Maeva, Madrid, 2006 (colección Biblioteca de Aula, serie Astrolabio). • Elwes, R. Cómo contar hasta el infinito y otros 34 usos prácticos de las matemáticas, Ariel, Barcelona, 2011. • Enzensberger, H. M. El diablo de los números. Un libro para todos aquellos que temen a las matemáticas, Siruela, Madrid, 1997. • Jiménez, D. Matemáticos que cambiaron al mundo: vidas de genios del número y la forma que fueron famosos y dejaron huella en la historia, Tajamar Editores, Santiago de Chile, 2010. • Marván, L. M. Representaciones numéricas, SEP-Santillana, México, 2000 (Libros del Rincón). • Marván L. M. y A. P. Huesca. Explorando en matemáticas 1, Nuevo México, México, 2000. • Paenza, A. Matemática… ¿Estás ahí? Sobre números, personajes, problemas y curiosidades, Siglo XXI, Buenos Aires, 2005 (colección Ciencia que Ladra). • Ruiz Ruiz-Funes, C. y S. Regules. El piropo matemático. De los números a las estrellas, Lectorum, Barcelona, 2000. • Tahan, M. El hombre que calculaba, Noriega, México, 1998. • — Matemática, divertida y curiosa, Océano, México, 2013.

Incluye referencias impresas y electrónicas para que consultes información adicional y reafirmes tus conocimientos.

Electrónicas

• www.aprende.edu.mx/Repository/recursos/index.html?level%5B%5D=5&grade%5B %5D=14&subject%5B%5D=matematicas-i (consulta: 13 de noviembre de 2017, 20:35 h) En esta dirección electrónica encontrarás videos, documentos y actividades de la SEP sobre temas relacionados con el programa de primero de secundaria, incluyendo ejemplos y situaciones de la vida cotidiana. • ntic.educacion.es//w3/eos/MaterialesEducativos/mem2005/geometria/geoweb/1eso. htm (consulta: 13 de noviembre de 2017, 20:42 h) En esta página podrás acceder a actividades para practicar diversos temas de geometría que te permitirán verificar propiedades y hacer construcciones de triángulos, cuadriláteros, círculos, etcétera. • recursostic.educacion.es/descartes/web/ (consulta: 13 de noviembre de 2017, 21:16 h) Encontrarás en esta página multitud de actividades interactivas para reforzar tus conocimientos de matemáticas, por ejemplo, experimentos aleatorios y otras actividades de geometría, álgebra y probabilidad.

272

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Espiral del conocimiento

ci ón

El desarrollo de la matemática, como el de cualquier otra ciencia, no es una mera acumulación de conocimientos y procedimientos que surgen de modo ordenado, como en línea recta. Este desarrollo tiene más bien la forma de una espiral: de la aplicación o reestructuración de conocimientos anteriores surgen nuevos y más profundos problemas que dan lugar a conocimientos más avanzados. Así, la ciencia está constantemente regresando a temas ya tratados, pero en un nivel cada vez más superior. Y en este ir y venir, se construyen las teorías y las leyes, es decir, el contenido de la ciencia.

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En este libro queremos ayudarte a dar una vuelta más en la espiral de tu conocimiento matemático. Con ese objetivo, te presentamos una colección de secuencias con situaciones problemáticas cuidadosamente seleccionadas para contribuir a que lo logres. Cada secuencia incluye problemas que representan un reto para invitarte a poner en juego tus conocimientos previos y a reestructurar dicho saber en el proceso de solución, ya sea para modificarlo o ampliarlo, o para volverlo a aplicar en una situación nueva.

En la espiral

Buscamos que mediante el estudio y el uso de las matemáticas aprendas a razonar, a comprender, a formular hipótesis, a establecer conjeturas y a someter estas últimas al análisis para así obtener nuevas conclusiones. Por ello, te invitamos a recorrer las páginas de este libro con la actitud de aceptar retos y resolver todo tipo de problemas. Tienes completa libertad para construir tu propio procedimiento, incluso puedes actuar con tus compañeros la situación descrita o representarla usando los objetos que tengas a la mano. Lo importante es que estés decidido a poner “manos a la obra” cada vez que las páginas de este libro te propongan un problema.

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Es importante que trabajes en equipo, que expliques a tus compañeros cómo obtuviste la solución, que escuches lo que ellos pensaron, que compares tu procedimiento con los suyos, que argumentes tus razones. En resumen: que aprendas a explicar tus razonamientos y a escribir tus ideas de manera ordenada. Ello te permitirá desarrollar la comprensión y la comunicación de nociones matemáticas y ayudará a que adquieras confianza para expresar y justificar tu trabajo matemático.

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En este libro encontrarás ejercicios en los que se pretende adquieras la habilidad para realizar de manera eficiente procedimientos técnicos que ya has razonado y comprendido, es decir, ejercicios para practicar. Asimismo, se incluyen sugerencias de cómo usar herramientas tecnológicas para mejorar tu comprensión de los conceptos matemáticos que verás en este curso. Habrá invitaciones a visitar sitios web en los que se presentan actividades interactivas relacionadas con el tema que se está estudiando. También encontrarás talleres en los que te proponemos actividades que se pueden realizar en hojas de cálculo o en un software libre de geometría interactiva. En ambos casos, es muy importante que hagas tu propia exploración de los recursos con los que cuentas y descubras cómo usarlos de manera eficiente.

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El trabajo colaborativo enriquece el aprendizaje.

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

bu

Por otro lado, hablar de matemáticas es hablar de un sistema muy grande de campos muy variados, cada uno con su propia complejidad. Sin embargo, es importante considerar que así como un árbol tiene ramas, pero un montón de ramas no forman un árbol, tampoco la matemática es un conglomerado de conocimientos aislados de distintos tipos. Por eso, no hemos tratado el contenido del curso basándonos en la división en temas como aritmética, geometría, álgebra, estadística y probabilidad, sino que lo hemos tratado como una unidad. Por ejemplo, encontrarás figuras geométricas para visualizar relaciones entre números y operaciones algebraicas. La matemática es una disciplina muy dinámica y con una gran cantidad de aplicaciones. Desde sus orígenes, ha sido un producto social, no el producto exclusivo de la genialidad de alguien, sino el resultado del trabajo y el razonamiento de multitud de personas. Como una forma de invitarte a que investigues y descubras la historia de las matemáticas, al comienzo de cada trimestre te presentamos un texto histórico sobre alguno de los temas que abordarás en ese periodo.

Altos y giros en la espiral

Si el aprender matemáticas es tan dinámico y toma tantas formas, la evaluación de lo que has estudiado no puede ser diferente. En realidad, se requiere una evaluación continua, que realices constantemente con tus propios elementos, con la ayuda de tus compañeros y con el auxilio de tu profesor. Por ello, a lo largo de las secuencias encontrarás muchos momentos en los que se te invita a hacer esta evaluación, la cual te ayudará a mejorar tu aprendizaje.

P

©

También hallarás espacios llamados “Un alto en la espiral”, en los que te planteamos ejercicios y problemas para que evalúes si has comprendido los contenidos abordados hasta ese momento en el trimestre; y otros llamados “Giro ascendente”, para evaluar tus conocimientos obtenidos durante todo un trimestre. Te invitamos a asumir la responsabilidad de estar evaluando continuamente si requieres revisar algún contenido. Para auxiliarte en esta tarea, al inicio de cada trimestre encontrarás un resumen de los conceptos y los procedimientos que abordarás. Revisa de nuevo ese texto al terminar el periodo para verificar si los adquiriste todos

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ci ón bu S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri P

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DEA PICTURE LIBRARY / De Agostini Editore / www.photostock.com.mx

Una de las pocas obras matemáticas de la Antigüedad conservadas hasta nuestros días es el papiro de Rhind. Este manuscrito egipcio contiene 87 problemas resueltos, algunos son sobre fracciones. Fue escrito por Ahmes aproximadamente en el año 1650 a. n. e.

14

¡Estás a punto de iniciar tu trabajo matemático de este ciclo escolar!

bu

En el terreno de la geometría, identificarás los ángulos que forman dos rectas paralelas cortadas por una transversal y conocerás las relaciones que guardan sus medidas. Además, determinarás la suma de los ángulos interiores de triángulos y cuadriláteros. También aprenderás criterios para identificar y construir triángulos congruentes. Sabrás qué necesita saber un amigo que esté en otro lugar, para construir un cuadrilátero idéntico a uno que tú estés viendo.

ci ón

En este trimestre resolverás problemas que requieren comparar fracciones y números decimales, y localizarás este tipo de números en una recta numérica. Verás que una misma cantidad se puede representar como fracción y como número decimal, y en el proceso de pasar de una forma a otra, encontrarás expresiones decimales que ¡nunca terminan! También comprenderás que entre dos números distintos siempre es posible encontrar otro, sin importar qué tan cerca estén.

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

Cuando se lanza un dado o una moneda al aire, no es posible saber qué resultado se obtendrá. La rama de las matemáticas que estudia este tipo de experimentos se llama probabilidad y en este trimestre tendrás un primer acercamiento a ella. Te invitamos a que, al final del trimestre, revises nuevamente esta sección y verifiques que hayas alcanzado los conocimientos que aquí se describen.

El surgimiento de las fracciones

El concepto de número, que hoy es tan familiar, fue elaborado muy lentamente por la humanidad. Al principio, los pueblos no tenían la noción de número, solo juzgaban el tamaño de una colección. Después identificaban cantidades con partes del cuerpo, como los dedos de las manos. En el proceso de contar, los seres humanos no solo descubrieron y asimilaron las relaciones entre los números —por ejemplo, que dos y tres son cinco— sino que fueron estableciendo leyes generales —como que el orden de los sumandos no altera la suma—. Así, el concepto de número surge como resultado del análisis y la generalización de una inmensa cantidad de experiencias prácticas.

P

©

El origen de la geometría es similar. Los hombres primitivos llegaron a las formas geométricas por medio de la Naturaleza: la luna llena, la rectitud de un rayo de luz, etcétera. La reproducción de este tipo de figuras estaba ligada a cuestiones prácticas para satisfacer necesidades. El ser humano primero creó sus materiales y más tarde reconoció la forma como algo separado; tuvo que manufacturar miles de objetos y tensar miles de cuerdas antes de concebir las primeras formas geométricas. La aritmética y la geometría son las dos raíces sobre las cuales se ha desarrollado la matemática. La simple medición de una línea representa una fusión de la geometría y la aritmética. Pero en el proceso de medir, por lo general ocurre que la unidad de medida no está contenida un número entero de veces en lo que se mide. Surge entonces la necesidad de fraccionar la unidad de medida para poder expresar la magnitud con precisión. Así surgieron las fracciones.

15

1

Eje: Número, álgebra y variación Tema: Número Contenido: Comparas y ordenas fracciones y números decimales, y localizas este tipo de números en la recta numérica.

¿Qué número es mayor? 1. Lean la información y respondan en parejas.

Pati

bu

Maru

ci ón

Leo, Pati y Maru juegan a lanzar dos monedas al aire. Antes de lanzarlas, Maru propone: “Si salen dos águilas gano yo, si salen dos soles gana Pati y si sale un águila y un sol, gana Leo”. Después de lanzar las monedas varias veces, Pati piensa que no todos tienen la misma posibilidad de ganar, pero Leo afirma que sí.

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

Como las amigas no resolvieron su duda, a la salida de la escuela acordaron que cada quien lanzaría en su casa dos monedas un gran número de veces y anotaría cuántas veces ocurre uno de los resultados. Maru lanzó 100 veces las dos monedas y obtuvo 26 veces dos águilas. Pati lanzó 200 veces las dos monedas y obtuvo 54 veces dos soles. Leo lanzó 150 veces las dos monedas y obtuvo 74 veces un águila y un sol.

Glosario



a) ¿Qué fracción de los lanzamientos de Maru cayeron en dos águilas? 13/50



b) ¿Qué fracción de los lanzamientos de Pati cayeron en dos soles? 27/100



c) ¿Qué fracción de los lanzamientos de Leo cayeron en un águila y un sol? 37/75 d) Discutan cómo comparar las tres fracciones anteriores. Escriban el procedimiento que eligieron. Respuesta modelo (R. M.) Se escriben las tres fracciones con un





Trimestre 1

78 81 148 , , 300 300 300

g) Para analizar si las fracciones anteriores son aproximadamente iguales o no, primero escriban tres fracciones equivalentes a las que obtuvieron las amigas, todas con denominador 600. Puedes apoyarte en la información del glosario.

18 336  4 3 6 24

16

mismo denominador, calcula el denominador común más pequeño, en este caso es 300. Así, obtenemos: 78/300, 81/300 y 148/300. e) Escriban las tres fracciones en orden, de menor a mayor.

f) Comparen sus respuestas con las de sus compañeros y lleguen a un acuerdo sobre los procedimientos correctos y el orden de las fracciones.

P

©

fracciones equivalentes. Son fracciones que representan la misma cantidad. Cuando se multiplica o divide el numerador y el denominador de una fracción por un mismo número (distinto de cero), se obtiene una fracción equivalente. Por ejemplo, para obtener una fracción equivalente a 3 se puede 4 multiplicar por 6 el numerador y el denominador:

156 162 296 , , 600 600 600

h) Contesten. ¿Cuál es la diferencia entre las dos fracciones menores? R. M. La diferencia es de 6/600, aproximadamente es 0.01. ¿Son o no son aproximandamente iguales estas fracciones? R. M. Son muy próximas.



¿Quién tenía razón respecto a las posibilidades de ganar de cada amiga al lanzar dos monedas: Pati o Leo? Expliquen por qué. R. M. Es lejana a las otras dos, comparado con la diferencia que hay entre las fracciones más pequeñas.

ci ón



¿Cuál es la diferencia entre la fracción mayor y la mediana? R. M. La diferencia ¿La fracción mayor es muy lejana de las otras o es muy próxima a estas? es 67/300, aproximadamente 0.2233.

bu

•• Discutan sus respuestas con sus compañeros. Argumenten sus ideas y escuchen las de los demás. 2. Responde y realiza lo que se indica.

3 5

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

a) Susana y Sofía compraron lienzos de tela del mismo tamaño. Susana utilizó partes de su tela y Sofía  Susana

7 partes de la suya. ¿Quién de las dos ocupó más tela? 12

¿Es sencillo comparar las fracciones así como se muestran? R. M. Sí Escribe dos fracciones con denominador 60, una equivalente a valente a

7 . 3/5 = 36/60 y 7/12 = 35/60 12

3 y la otra equi5

Compara las fracciones que obtuviste y verifica tu respuesta.

b) Juan camina recorre

36 de km de su casa a la tienda más cercana, mientras que Jorge 48

25 de km a la tienda que le queda más cerca. ¿Quién recorre menos dis40

tancia para ir a la tienda más cercana?  Juan

Escribe dos fracciones con denominador 8, una equivalente a

valente a

25 36/48 = 6/8 y 25/40 = 5/8 . 40

36 y la otra equi48

Compara las fracciones que obtuviste y verifica tu respuesta.

©

Secuencia didáctica 1. ¿Qué número es mayor?

c) Revisa los pasos que has dado para comparar dos fracciones y escribe en tu cuaderno una regla para hacer la comparación.

•• Compara la regla que escribiste con las de tus compañeros, discutan las diferencias y lleguen a un acuerdo sobre cuáles son correctas y cuáles no.

P

3. Analiza lo siguiente y responde con un compañero.

Luisa compró ocho pedazos de listón de distintos colores para hacer una tarea de arte. Los cortes que necesita de cada listón, tienen las siguientes medidas. 1 5 4 7 9 5 3 1 de m, de m, de m, de m, de m, de m, de m y de m 4 7 9 12 8 6 4 7 17

1

a) ¿Cuáles longitudes de listón son menores que m?  1/4, 4/9, 1/7 2 De estas longitudes, ¿cuál es la menor?  1/7 1 m?  4/9 2 1 b) ¿Cuáles longitudes de listón están entre m y 1 m?  5/7, 7/12, 5/6, 3/4 2

¿Cuál longitud es más cercana a

De estas longitudes ¿cuál es la menor?  7/12 ¿Cuál es más cercana a 1 m?  5/6

ci ón

c) ¿Cuáles longitudes de listón son mayores que 1 m?  9/8

d) Con base en el análisis anterior, ordenen todas las longitudes de menor a mayor. Cuando tengan dudas, usen fracciones equivalentes que tengan el mismo denominador para compararlas. ,

1 4

,

4 9

,

7 12

,

5 7

,

3 4

,

5 6

,

bu

1 7



9 8

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

•• Comparen la lista de fracciones ordenadas con las del resto del grupo y verifiquen que sean iguales.

Comparación de fracciones

Una forma de comparar dos fracciones con distinto denominador es construir fracciones equivalentes a estas, de manera que las nuevas fracciones tengan el mismo denominador. Entre dos fracciones con el mismo denominador, es mayor la que tiene el numerador más grande. Ejemplo:

21 3 21 21 4 3 7 3 332 6 es mayor que porque 5 5 y 5 5 . 12 2 12 12 4 3 4 2 232 4

4. Ubica el 0 y el 1 en las rectas numéricas y responde. a)

0

1 2

1



fracción 1/2, entonces el cero se ubica a la izquierda de ese punto y si avanzo

b) 1/2 hacia la derecha una distancia igual a 1/2 ,se llega a 1. Justo a la mitad de entre el 0 y 1 se encuentra 1/2.

P

©

¿Es la única ubicación posible para el 0 y el 1? Sí Explica qué hiciste para localizarlos. R.  M. Como la recta tiene señalada la

0

1 3

2 3

1

Trimestre 1

¿Es la única posición en la que pueden estar el 0 y el 1? Sí. Escribe qué hiciste para ubicarlos. Me  situé en 1/3, entonces el cero se ubica a  18

la izquierda del punto a una distancia igual a la longitud del segmento de línea que hay entre 1/3 y 2/3. Posteriormente me situé en 2/3 y avancé 1/3 hacia la derecha del punto avanzando una distancia igual a la anterior.

5. Reúnete con un compañero y realicen la actividad.

Para saber más

15 a) ¿Qué fracción indica la longitud del segmento azul en la recta?  7

0

1

¿Y el numerador? Contando cuantos segmentos abarca el pedazo de recta de es decir, hay 15 partes iguales. 15

1

9 c) ¿Cuál es la longitud del segmento verde en la siguiente recta?  5

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

0

bu

b) ¿Qué fracción indica la longitud del segmento rojo?  4

ci ón

¿Cómo determinaron el denominador de esta fracción? Contando cada  segmento de línea que hay entre 0 y 1, es decir, está dividio en 7 partes iguales.

0

1

d) En la siguiente recta numérica, coloca el 1 donde sea necesario para que el segmento color café mida

3 . 8

3 8

0

Busca el sitio www.esant.mx/ essema1-001. Lee los textos y explora. Compara distintas fracciones. Escribe 3 la fracción y 4 observa qué pasa con el punto al ir aumentando el denominador.

1

Glosario

segmento. Fragmento de recta comprendido entre dos puntos, llamados extremos del segmento. Si los extremos del segmento son los puntos A y B, al segmento se le denota como AB.

•• Comparen sus respuestas con sus compañeros y discutan los procedimientos que emplearon. 6. Realiza lo que se indica.

5

Diana corre diariamente 5 km. Ayer, cuando había recorrido de km, recibió una 4 llamada y tuvo que detenerse. a) Ubica en la recta numérica el punto en que iba Diana cuando recibió la llamada. 1

5 km

Explica el procedimiento que usaste y compáralo con el de tus compañeros. R. M. Dividí la recta en 5 partes iguales para saber dónde se encuentra el 1, posteriormente dividí el segmento que comprende el 1 y el 2, en 4 partes iguales: Finalmente, escribí 5/4 que es 1 entero y un 1/4. Divide en cuatro partes iguales el segmento que va de los 0 km a los 5 km y mar-

P



0 km

Secuencia didáctica 1. ¿Qué número es mayor?

©

5 4



ca cada parte. ¿Qué fracción de kilómetros representa la primera marca que dibujaste?  5/4 19

b) En la siguiente recta numérica, localiza las fracciones

0

1 5 3 2 8 4

11 3 8 2

1

11 5 , 3 , 1 , 3 y . 8 4 8 2 2

2



¿Cuál es la fracción menor? 1/2



Escribe las cinco fracciones en orden de menor a mayor.

c) Localiza las fracciones

0

1 2

5 8

,

3 4

11 8

,

3 2

ci ón

,

,

4, 3 , 1 5 en la siguiente recta numérica. y 3 4 2 6

3 5 4 6

4 3

1

bu

1 2

¿Cuál es la mayor? 3/2

2

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

Escribe las fracciones en orden de menor a mayor.

Convivo en armonía

Escucha respetuosamente a tu compañero. Si su resultado es erróneo, ayúdalo a identificar dónde se equivocó para que pueda corregirlo. Los errores también son una fuente de aprendizaje.

1 2

,

3 4

,

5 6

4 3

,

•• Compara tus respuestas con las de un compañero y discutan el criterio que usaron para ordenar las fracciones localizadas en las rectas numéricas.

¿Vamos bien?

Resuelve lo siguiente aplicando lo que has aprendido. Al terminar, compara con tus compañeros tus procedimientos y los resultados que obtuviste. I. Ordena de menor a mayor las fracciones de cada inciso. 40 , 2 , 5 , 9 21   3   3   7 5 , 4 , 1 , 13 b) 12   5   2   15

a)

2 9 5 40 , , , 3 7 3 21 1 4 13 5 , , , 2 5 15 12

P

©

II. Observa la recta numérica y responde.

0

A

B

C

a) ¿A qué fracción corresponde la longitud del segmento rojo si A es 1? 7/10 b) ¿Qué fracción representa el segmento rojo si B es el 1?  1/2 c) ¿Y si el 1 está ubicado en C?  7/18

Trimestre 1

3 , 3 3 III. Traza una recta numérica en tu cuaderno y ubica las fracciones y . 10 4 5 Luego escribelas en orden de menor a mayor. Ver solucionario

20

7. Haz con un compañero lo que se indica a continuación. En una competencia de salto con garrocha, en la rama varonil, se registraron las siguientes alturas en metros: 5.89, 5.8, 5.899 y 5.9. a) Indica cuál es la longitud mayor en cada caso. 5.9 m o 5.8 m 5.9

5.9 m o 5.89 m 5.9

5.9 m o 5.899 m 5.9

ci ón

b) Si 204 es mayor que 24, ¿se puede concluir que 0.204 es mayor que 0.24? No

Glosario

c) Escriban el desarrollo de cada número y comparen cifra por cifra. 0.204: décimas 2 0.24: décimas 2

, centésimas 0 , centésimas 4

, milésimas 4 , milésimas 0

bu

Entonces, ¿qué número es mayor: 0.204 o 0.24? 0.24

dígitos. Son los números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. En un número decimal, el dígito que indica los décimos es la primera cifra que está después del punto decimal; el que indica los centésimos es la segunda cifra y el que indica los milésimos es la tercera cifra.

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

•• Discutan en el grupo las respuestas anteriores y expliquen en qué se basaron para contestar. Lean el siguiente procedimiento y compárenlo con el que usaron.

Comparación de decimales

Una forma de comparar dos números decimales es fijarse primero en la parte entera. Si esta parte es igual, se compara el dígito que indica los décimos. Si los décimos son iguales, se compara el dígito que indica los centésimos, y así sucesivamente. Ejemplo: 23.5003 23.503

Ambos números tienen igual la parte entera, los décimos y los centésimos, pero en los milésimos es mayor el número de abajo. Por tanto 23.5003 , 23.503

8. Localiza en la recta numérica los números que se indican. a) El 0 y el 1

0.8

1

Secuencia didáctica 1. ¿Qué número es mayor?

0.6

b) El 0.41 y el 0.49 0.4 0.41

0.49 0.5

P

©

0

c) El 0 y el 0.2 0.1

0.15 21

9. Responde de acuerdo con los segmentos de color en las rectas. a) ¿Qué número decimal corresponde a la longitud del segmento azul?  1.3 0

1 b) ¿Qué número decimal corresponde a la longitud del segmento verde? 0.18 0.1

ci ón

0

c) En la siguiente recta numérica, escribe el número 0.1 donde sea necesario para que la longitud del segmento rojo corresponda a 0.05.

0.1 d) Ahora localiza el número 0.1 donde sea necesario para que la longitud del segmento rojo corresponda a 0.005.

bu

0

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

0

0.1

•• Discute tus respuestas con el resto del grupo.

¿Vamos bien?

Resuelve lo siguiente aplicando lo que has aprendido. Al terminar, compara con tus compañeros tus procedimientos y los resultados que obtuviste. I. Escribe el número indicado por la flecha en cada caso. a)

5.9

Trimestre 1

P

©

b) 13.26

22

c) 4.521 4.5211

13.267

5.99

6

13.27

4.522

II. Escribe en orden, de menor a mayor, los números decimales de cada inciso. 1.002 , 1.015 , 1.02 , 1.11 6.509 , 6.599 , 6.606 , 6.66 b) 6.606, 6.66, 6.599, 6.509 c) 0.0078, 0.0708, 0.078, 0.0087 0.0078 , 0.0087 , 0.0708 , 0.078 a) 1.02, 1.002, 1.015, 1.11

¿Qué aprendí? Resuelve los siguientes ejercicios y problemas. Al terminar, revisa tus procedimientos y resultados con ayuda de tu profesor. Corrige si es necesario. 1. Observa los puntos de color en las rectas y responde.

1

2

3

10

11

12

13

16  , 11  , 29 23 o ? 3 2 5 4

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

c) ¿Qué número es mejor estimación para el punto morado:

5

6

A

Requiero ayuda para realizarlo.

B

Lo hago, pero en ocasiones necesito ayuda.

C

Lo hago de manera autónoma.

bu

b) ¿Qué número es mejor estimación para el punto verde: 11.15, 11.55, 11.35 o 11.85? 11.85

Nivel de logro

0

Contenido Comparo y ordeno fracciones y números decimales, y localizo este tipo de números en la recta numérica.

ci ón

a) ¿Qué número es mejor estimación para el punto rojo en la recta: 0.9, 1.19, 1.9 o 1.009? 1.19

Marca con una ✔ la casilla que describe tu desempeño.

7

8

2. Las compañías de seguros utilizan dispositivos para ubicar la posición de un vehículo desde un lugar lejano. Una compañía recibió el reporte de tres vehículos con problemas en los puntos B, D y E que se encuentran en el trayecto AC representado en la recta. La distancia de A a B es es

3 partes de la distancia de A a C, la distancia de A a D 4 3

4 de la distancia de A a C, y la distancia de A a E es partes del mismo trayec5 10

to. Ubica en la recta los puntos donde se localizan los autos que requieren apoyo.

E

B

D

A

C

A

C

0

P

0

B

4 de km 5 3 7 de km 5 4

1 km1

C D



D

1.2

13 de km 5 6 7 de km 5 10

Secuencia didáctica 1. ¿Qué número es mayor?

©

3. En la siguiente recta numérica se ha representado la distancia de la escuela a la casa de cinco amigos identificados con las letras A, B, C, D y E. El 0 representa el punto donde se encuentra la escuela. Escribe la letra que corresponde a cada fracción de kilómetro de acuerdo a las distancias que se observan en la recta. E

2 km 2.1

E



2 de km 5 5

A

B

23

2

Eje: Número, álgebra y variación Tema: Número Contenido: Conviertes fracciones decimales a notación decimal y viceversa.

Un número, dos formas 1. Realiza las actividades.

40 100

68 100





S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri



bu

ci ón

a) Escribe la fracción que representa la región sombreada en cada caso.

32 100

b) Colorea en el cubo la fracción indicada. 112 1000

84 1000

c) Completa las igualdades como se muestra en el ejemplo.

©

Un décimo:

Un centésimo:

P

Un milésimo:

0.1 5

0.01

5

1 10

Seis décimos:

1 100

Trece diezmilésimos: 0.0013 5

1 0.001 5 1000

Un diezmilésimo: 0.0001 5

1

Quince centésimos:

0.6

0.15

Treinta y un décimos:

5

 5 3.1 5

6 10

13 10000 15 100 31

Trimestre 1

10 10000 •• ¿Tus respuestas son iguales a las de tus compañeros de grupo? Discutan cualquier diferencia y lleguen a un acuerdo. 24

2. Haz lo que se pide. Resuelve las operaciones en tu cuaderno. 0.3 a) ¿Cómo se escribe 3 décimos en forma decimal? ¿Cómo se escribe 3 décimos en forma de fracción? 3/10 Realiza la división 0.3 10 3.0 00 ¿Qué relación hay entre el cociente y la forma decimal del número 3 décimos?  Es la misma

ci ón

indicada por esta fracción.

b) Realiza las divisiones que corresponden a cada fracción y completa la igualdad. 4 5 0.04 100 959 5 9.59 100

100 959.00

57 5 5.7 10

10 57.0

76 5 0.076 1000

1000 76.000

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

•• Compara tus respuestas con un compañero. Después revisen la siguiente información.

Fracción decimal

Las fracciones cuyo denominador es 10, 102 5 100, 103 5 1 000 o cualquier otra potencia de 10, se llaman fracciones decimales. Para convertir una fracción decimal en número decimal, se hace la división indicada por la fracción, esto implica que en el numerador se recorre el punto decimal hacia la izquierda tantos lugares como ceros tenga el denominador. Ejemplo:

Glosario

bu

100 4.00

1347 5 1.347 1000

potencia. Forma resumida de escribir una multiplicación repetida del mismo factor. Ejemplos: 23232325 24 5 16 3 3 3 5 32 5 9 10 3 10 3 10 3 10 5 104 5 10 000 Todo número natural formado por un 1 seguido de ceros es una potencia de 10.

3. Reúnete con un compañero y escriban el número decimal correspondiente a cada fracción decimal.

©

25.7



c)

0.0004



d)

9681 5 1000 3003 5 100

9.681

Secuencia didáctica 2. Un número, dos formas

257 5 10 4 b) 5 10000

a)

30.03

•• Comparen sus respuestas con las del resto del grupo y lleguen a un acuerdo.

P

4. Responde las preguntas y haz lo que se indica.

a) ¿Por qué número natural multiplicarías el 4 para obtener una potencia de 10? Por el número 25 b) ¿Qué número natural multiplicado por 8 da una potencia de 10? 125 25

Fracción

Fracción decimal equivalente

1 2

5 10 2 10 25 100 4 100 125 1000 8 1000

1 5 1 4 1 25 1 8 1 125

Número decimal 0.5 0.2 0.25

ci ón

Entra en la página www.esant.mx/ essema1-002 y, en la primera región de actividades interactivas, da clic sucesivamente al botón “Otra expresión decimal”. Escribe una regla que indique cómo expresar un número decimal como fracción decimal.

c) Completa la tabla.

0.04

0.125

0.008

bu

Para saber más

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

•• Pide a un compañero que te muestre sus respuestas y compáralas con las tuyas. Verifiquen que sean correctas. 5. Lee y responde con un compañero.

En el departamento de salchichonería de una tienda departamental, Rubén pidió medio kilogramo de jamón y en la pantalla de la báscula electrónica apareció la expresión 0.500 kg.

a) ¿La báscula marcó la cantidad de jamón que pidió Rubén? Sí 3

b) ¿Qué número mostraría la pantalla si Rubén pidiera de kg de salchichas? 4 0.750

Trimestre 1

P

©

c) ¿Qué fracción de kilogramo de carne pidió si en la pantalla se lee 1.250 kg? 5/4 de kg

26

•• Comparen sus respuestas con las de sus compañeros y analicen los procedimientos que usaron. 6. Realiza lo que se pide.

1

a) Haz la división indicada en la fracción y completa la igualdad. 2 0.5 1 2 1 0 5 0.5 2 0

b) Aplica el procedimiento anterior para determinar los números decimales correspondientes a las fracciones. Agrega los ceros que sean necesarios en cada división. 1 5 0.25 4



0.25 0 4 1 20 0



1 5 0.20 5



0.2 5 1 0 0

1 5 0.125 8

0.125 8 10 20 40 0

ci ón



Conversión de fracción a número decimal

bu

•• Compara los números decimales que obtuviste con los que escribiste en la tabla de la página anterior.

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

Para convertir cualquier fracción a número decimal, se hace la división indicada por la fracción, es decir, se divide el numerador entre el denominador. Ejemplo: Convertir

56 a número decimal. 25

2.24 25 56.00  06  0  1   00  0

Por tanto

56 5 2.24 25

¿Vamos bien?

Completa la tabla aplicando lo que has aprendido. Al terminar, verifica tus resultados con tus compañeros y asegúrate de haber comprendido lo que has estudiado hasta aquí. Fracción (kg)

Tres kilogramos y cuarto

©

Un kilogramo y medio

P

Cien gramos

Tres cuartos de kilogramo Dos kilogramos y doscientos gramos

3

1

1 13 5 4 4

1 3 5 de kg 2 2 1 de kg 10 3 de kg 4

2 22 de kg 5 210 10

Número decimal (kg) 3.250

Secuencia didáctica 2. Un número, dos formas

Masa

1.5 kg 0.1 kg

0.750 kg 2.2 kg

27

7. Lee y responde. María Luisa quiere hacer moños con listón de dos colores. Tiene un metro de listón verde, que corta a la mitad, y un metro de listón azul, que corta en cuatro partes iguales.

Conversión de número decimal a fracción

Si un número decimal llega hasta décimos, para convertirlo en fracción decimal se escribe en el numerador el número sin punto decimal y en el denominador 10. Si llega hasta centésimos, se escribe el número sin punto decimal dividido entre 100. Si llega hasta milésimos, se divide entre 1 000 y así sucesivamente. Después, si es posible, se simplifica la fracción.

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

Cuando expongas tus resultados, argumenta tus procedimientos apoyándote en los conceptos que has aprendido. Además de ser una evidencia de tu avance, ayudarás a tus compañeros a resolver sus dudas.

•• Compara tus respuestas con las de tus compañeros y expliquen qué procedimiento usaron para responder.

bu

Convivo en armonía

ci ón

a) ¿Cuántos centímetros tiene cada parte del listón verde? 50 cm b) ¿Y cada parte del listón azul? 25 cm

Ejemplo:

2.0275 5

811 20275 4055 5 5 400 10000 2000

8. Resuelvan en parejas.

Trimestre 1

P

©

Jaime cargó la bolsa del mandado la última vez que su mamá fue al mercado. Su mamá compró 2 kilogramos y medio de naranjas, tres cuartos de kilogramo de limones, una papaya de 2 kilogramos y 250 gramos, un kilogramo y medio de tomates y 250 gramos de chiles. ¿Cuánto cargó Jaime en total? 7 kg y 250 gramos

28

a) Escriban en su cuaderno las conversiones y las operaciones que consideren necesarias. Ver solucionario b) En discusión grupal, comparen sus resultados y sus procedimientos con sus compañeros. c) ¿Cuántos procedimientos distintos surgieron en su grupo? Respuesta libre (R. L.) d) Expliquen cada uno de estos procedimientos. R. L.

¿Vamos bien? Resuelve lo siguiente aplicando lo que has aprendido. Al terminar, compara con tus compañeros tus procedimientos y los resultados que obtuviste.

a) 0.95 5 19/20

 b) 1.28 5 32/25



c) 4.4375 5 71/16

II. Los siguientes números decimales corresponden a fracciones sencillas que se usan frecuentemente. Convierte cada número decimal en fracción y completa la tabla. 0.25 5 1

4 3 0.75 5 4

0.2 5 1

1 8 0.375 5 3 8 0.625 5 5 8

0.125 5

5 0.4 5 2 5 0.6 5 3 5 0.8 5 4 5

0.05 5 1

20 0.15 5 3 20 0.35 5 7 20 0.45 5 9 20

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

2

bu

0.5 5 1

ci ón

I. Escribe la fracción correspondiente a cada número decimal. Simplifica lo más que se pueda.

¿Qué aprendí?

Resuelve los siguientes ejercicios y problemas. Al terminar revisa tus procedimientos y resultados con tu profesor. Si encuentras errores, corrígelos.

1. ¿Qué fracción de una hora son 12 minutos? ¿Cuál es el número decimal correspondiente? 1/5 de minutos, es decir, 0.2 minutos 2. Óscar tiene dos amigas estadounidenses. Mari gastó

4 de dólar en comprar un 5

chocolate y Jenny gastó 75 centavos de dólar en comprar otro. ¿A quién le costó más el chocolate? A Mari le costó más el chocolate.

7

©



0

P



1 5

  

,

0.9

 1          2

,

11 10

,

7 5

,

1.5

1 de kilómetro durante los primeros 10 minutos; 400 metros 4 4 durante los siguientes 10 minutos y de kilómetro durante los terceros 10 minutos. 5

4. Ayer, Martín caminó

¿Cuántos kilómetros caminó durante esa media hora? 1.45 km

Marca con una ✔ la casilla que describe tu desempeño. Contenido Convierto fracciones decimales a notación decimal y viceversa. A

Requiero ayuda para realizarlo.

B

Lo hago, pero en ocasiones necesito ayuda.

C

Lo hago de manera autónoma.

29

Secuencia didáctica 2. Un número, dos formas

11

Nivel de logro

1

3. En la siguiente recta numérica, localiza los puntos , , 0.9, 1.5 y . Luego escri5 10 5 be estos números en orden de menor a mayor.

3

Eje: Número, álgebra y variación Tema: Número Contenido: Aproximas fracciones no decimales usando notación decimal.

¿Nunca termina? 1. Lee la información y responde.

ci ón

La mamá de Miguel distribuyó un litro de agua de jamaica en cuatro vasos, cada uno con la misma cantidad. La mamá de Rosi distribuyó un litro de agua de limón en tres vasos, cada uno con la misma cantidad. a) ¿Cuáles vasos contienen más agua: los de jamaica o los de limón? Los de limón b) ¿Qué fracción de litro contiene cada vaso de agua de jamaica? 1/4 de litro c) ¿Y cada vaso de agua de limón? 1/3 de litro

bu

d) En tu cuaderno, realiza las divisiones para determinar el número decimal correspondiente a cada fracción que escribiste. No uses calculadora. 1 0.25 4 5

1 0.333… 3 5

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri



e) ¿Qué diferencia notaste al realizar las divisiones anteriores? R.  M. Los números después del punto decimal en el primer caso se terminan y en el segundo no terminan. •• En discusión grupal, analicen las diferencias en las divisiones que hicieron y expliquen por qué en una de ellas el cociente puede tener más y más cifras decimales. 2. Realiza lo que se indica y responde.

a) Haz las divisiones necesarias para obtener los números decimales correspondientes a las fracciones

49 245 y . Escribe al menos seis cifras después del 200 999

punto decimal del número correspondiente a la segunda fracción. 0.245 200 49.000000 900 1000 0

0.245245 999 245.000000 4520 5240 2450 4520 5240 2450

P

©





49 5 0.245 200



245 5 0.245245… 999

Trimestre 1

¿Cuál es la diferencia en los residuos de las divisiones anteriores? R.  M. En la primera división el residuo es cero y en la segunda división el residuo vuelve a repetirse infinitamente. 30

b) Haz la división para determinar el número decimal que corresponde a 1 . 7 Escribe al menos doce cifras después del punto decimal. 0.142857 7 1.000000000000 30 20 60 40 50 1

ci ón

1 5 0.142857142857... 7

Escribe una sola vez las cifras que se repiten en el número decimal que obtuviste. 142857



Glosario

expansión decimal. Son todos los números que aparecen después del punto decimal en un número decimal.

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

bu

Compara tus respuestas con las de un compañero y escriban en su cuaderno otras tres fracciones que tengan una expansión decimal que no acaba. Ver solucionario •• Compara tus respuestas con las del resto del grupo. Después lean la siguiente información.

De fracción a decimal periódico

Al dividir el numerador de una fracción entre su denominador, puede ser que el residuo nunca sea cero, sino que, en algún momento, sea igual a otro obtenido anteriormente y, a partir de ahí, los pasos de la división son exactamente iguales. En estos casos, las cifras del cociente que están después del punto decimal no terminan y una cifra, o un grupo de cifras, se repite una y otra vez.

A las cifras que se repiten en la expansión decimal se les llama periodo. Al escribir el número decimal se coloca una línea sobre el periodo para indicar que se repite indefinidamente. Ejemplo:

1 5 0.16 6

1 5 0.0714285 14

1 5 0.09 11

Se dice que estos números decimales tienen expansión decimal infinita y periódica.

3. Reúnete con un compañero y respondan.

1 o 0.11? 1/9 9

Secuencia didáctica 3. ¿Nunca termina?

b) ¿Qué número es mayor: 0.1 o 0.12? 0.12 

c) Escriban los números 0.12, 0.11 y 0.1 en orden de menor a mayor.

P

©

a) ¿Qué número es mayor:



0.11

,

0.1

,

0.12

d) Comparen los números 0.1, 0.111 y 0.112. Escríbanlos en orden de menor a mayor.

0.111

,

0.1

,

0.112

31

9

•• ¿Las respuestas de tus compañeros coinciden con las tuyas? Discutan las diferencias.

¿Vamos bien? Resuelve lo siguiente aplicando lo que has aprendido. Al terminar, compara tus procedimientos y resultados con los de tus compañeros.

ci ón

Entra en el sitio www.esant.mx/ essema1-003 y mueve los botones. Deja 1 en el numerador y varía los denominadores del 1 al 25. ¿Qué fracciones que corresponden a decimales infinitos encontraste?

e) Realiza en tu cuaderno la división 1 entre 9 y completa la igualdad 1 5 0.11 . 9 1 f) ¿ es mayor, menor o igual que 0.11111? Mayor ¿Y que 0.1111111111? Mayor

I. Determina el número decimal que corresponde a cada fracción. a)

31 5 2.583 12

b)

63 5 3.5 18

c)

19 5 0.76 25

bu

Para saber más

II. El símbolo ≈ significa aproximadamente igual. Escribe el símbolo igual 5 o aproximadamente igual ≈ de manera que las expresiones sean correctas.

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

1 ≈ 0.333. Por ejemplo, 1 5 0.3 pero 3

3

a)

8 15

≈ 0.5333 b) 1

22

5 0.045 c) 1

8.33 d) 13 5 1.625

12

8

4. En parejas, realicen lo que se indica y respondan en su cuaderno. Ver solucionario a) Escriban tres fracciones decimales. Ahora escriban los tres números decimales correspondientes a esas fracciones decimales. b) Escriban los números que faltan en la siguiente expresión. 5 5 8

53 83

c) ¿Cuál número decimal corresponde a d) ¿Alguna fracción decimal equivale a

5

1000

5 ? 8

1 ? 6

e) Escriban el número decimal que corresponde a

1 . 6

f) Completa la tabla como se muestra en el ejemplo.

Trimestre 1

P

©

Fracción

¿Equivale a una fracción decimal?

Número decimal correspondiente

Tipo de expansión decimal

1 5



0.2

Finita

1 22

No

0.04545...

Infinita

3 16

Si

0.1875

Finita

•• Discutan la relación que se observa entre fracciones equivalentes a una fracción decimal y la forma que tiene el número decimal correspondiente y comparen sus conclusiones con la información de la siguiente página. 32

Fracciones decimales y no decimales Las fracciones equivalentes a una fracción decimal pueden escribirse como números decimales con una expansión decimal que termina, es decir, con una expansión decimal finita.

ci ón

Las fracciones que no son equivalentes a una fracción decimal corresponden a números decimales con expansión decimal infinita y periódica.

¿Qué aprendí?

bu

Resuelve los siguientes ejercicios y problemas. Al terminar, revisa tus procedimientos y resultados con ayuda de tu profesor.

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

1. Para hacer moños para regalos, varios niños cortaron un metro de listón. Lucía lo cortó en seis partes iguales; Manuel, en ocho partes iguales; Miguel, en siete partes iguales, y Valeria, en cinco partes iguales.

Escribe en centímetros la medida de las partes cortadas por cada uno. Cada parte del listón de…



c) Miguel mide: 14.285714 cm d) Valeria mide: 20 cm

2. Sin realizar las divisiones, rodea las fracciones que corresponden a números con expansión decimal infinita y periódica. 7 50

2 15

31 32

28 25

19 99

3. Haz lo que se pide.

   7 5 0.7

9 23    99 5 0.23



5 5 0.5 9 58 0.58 99 5



158 0.158 999 5



364 0.364 999 5

b) Sin hacer la división, escribe el número decimal que corresponde a la fracción. 271   5 0.271

P

©

a) Escribe el número decimal correspondiente a las siguientes fracciones y analiza el patrón que se presenta.

999

c) Explica lo que observaste en los incisos a y b.  

patrón matemático. Regla o regularidad que se repite constantemente.

Marca con una ✔ la casilla que describe tu desempeño. Contenido Aproximo fracciones no decimales usando notación decimal.

Nivel de logro



Glosario

A

Requiero ayuda para realizarlo.

B

Lo hago, pero en ocasiones necesito ayuda.

C

Lo hago de manera autónoma.

33

Secuencia didáctica 3. ¿Nunca termina?

a) Lucía mide: 16.6 cm b) Manuel mide: 12.5 cm

4

Eje: Número, álgebra y variación Tema: Número Contenido: Identificas una fracción o un decimal entre dos fracciones o decimales dados. Inicias un acercamiento a la propiedad de densidad de las fracciones y de los números decimales.

Entre dos, ¡siempre hay otro! 1. Lee la información y responde.

Laura va en tercero de primaria y dice que el número más cercano a 0 es el 1.

0

2

3

1 10

1

bu

0

1

1 . 10

ci ón

Berta va en sexto y dice que no, porque el número más cercano a 0 es

Mario, que es hermano de Laura y de Berta, dice que un número más cercano a 0 es 1 . 100

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

la fracción

2 10

0

0

1 10

3 10

1 100

a) ¿Puedes encontrar otra fracción que esté entre 0 y ¿Cuál? R.  M. 1/1000

1 10

1 ? Sí 100

b) Encuentra otra fracción que esté entre 0 y la fracción que escribiste en el inciso anterior. R.M. 1/10000

c) ¿Puedes encontrar otra fracción que esté entre 0 y la fracción que acabas de esSí cribir?       ¿Cuál? 1/100000 nes o en algún momento termina? 

e) Entonces, explica si se puede o no determinar la fracción más cercana al 0.

Trimestre 1

P

©

d) ¿Puede seguir indefinidamente el proceso de acercase a 0 por medio de fraccio-

•• En discusión grupal, comparen sus respuestas y comenten sus conclusiones.

34

2. Lee y contesta. a) Juan tiene 6 gallinas y María tiene 2. Martín tiene más gallinas que María, pero menos que Juan. Escribe todas las cantidades de gallinas que puede tener Martín.  3, 4 y 5 b) Perla tiene 4 gallinas. ¿Cuántas gallinas tiene Pedro si tiene más que Perla, pero

ci ón

menos que Juan?  5 gallinas c) Luisa afirma que tiene más gallinas que Pedro, pero menos que Juan. ¿Es eso posible? No.

Explica por qué. R. M. Porque no hay un número entero entre 5 y 6.

•• Compara tus respuestas con las de un compañero.

1 3 a) ¿Qué fracción con denominador 8 está entre 2 y 4 ? 5/8 b) ¿Cuáles fracciones con denominador 16 están entre 3 y 1?  13/16

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

4

bu

3. En parejas, respondan y realicen lo que se indica.

c) Localicen en la recta numérica las fracciones que escribieron en las respuestas anteriores. 5 13 8 16

0

15 16

14 1   1 3 16 2 4

1 4

d) Escriban una fracción que esté entre

15 y 1. 31/32 16

e) ¿Cuáles fracciones con denominador 9 están entre

1 2 4/9 y 5/9 y ? 3 3

13/27 y 14/27

4 5 f) ¿Cuáles con denominador 27 están entre y ? 9 9

g) Localicen en la recta numérica todas las fracciones de los incisos d, e y f. 4/9 14/27

5 9

2 3

 1

Secuencia didáctica 4. Entre dos, ¡siempre hay otro!

13 1 27 3

2 7 19/27 y 20/27 y . 3 9 14 15 i) ¿Qué harían para encontrar dos fracciones que estén entre y ? 27 27

h) Anoten dos fracciones que estén entre

P

©

0

R. M. Encontrar fracciones equivalentes con denominador 81  Encuéntrenlas y escríbanlas. 43/81 y 44/81

•• Comenten sus respuestas con sus compañeros y verifiquen si son correctas o no. Corrijan si es necesario. 35

4. Reúnete con otro compañero, lean y realicen lo que se pide. En cierto momento de una carrera automovilística, el auto A se encuentra a de la meta y el auto B está a

5 de km 6

7 de km. Si entre A y B hay otros dos autos, escribe 8

dos fracciones que indiquen distancias a las que pueden estar estos autos respecto a la meta. 

5 7 y , primero encuentren fracciones equivalen6 8

tes a ellas que tengan el mismo denominador.

¿Vamos bien?

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

Cuando analices el trabajo de otro compañero, hazlo de manera respetuosa. Si no estás de acuerdo con su procedimiento, no lo descalifiques y escucha sus argumentos. Recuerda que hay diferentes maneras de resolver problemas.

•• Comparen sus respuestas con las de sus compañeros y verifiquen que todas sean correctas.

bu

Convivo en armonía

5 7 5 60     5 63 6 8 72 72



ci ón

Para encontrar fracciones entre

Aplicando lo que has aprendido, encuentra las fracciones que se solicitan. Al terminar, compara tus procedimientos y tus resultados con los de tus compañeros. 11 5 6 20 I. Escribe una fracción que esté entre y . 10 10

22 23 y 7 8 18 y .  18 6 6 28 29 9 15 III. Anota dos fracciones que estén entre y .  12 y 12 4 6

II. Determina dos fracciones que se encuentren entre

5. Reúnete con un compañero y resuelvan.

a) Escriban todos los números decimales, hasta centésimos, que estén entre 3.5 y 3.6. 3.51, 3.52, 3.53, 3.54, 3.55, 3.56, 3.57, 3.58 y 3.59

©

3

3.5

4

3.6

Trimestre 1

P

b) Anoten todos los números decimales, hasta milésimos, que estén entre 3.56 y 3.57. Pueden auxiliarse en la siguiente recta númerica.  3.561, 3.562, 3.563, 3.564, 3.565, 3.566, 3.567, 3.568 y 3.569

3.56 36

3.57

3.58

c) Escriban un número decimal que esté entre 3.56 y 3.562.  3.561 d) Anoten un número decimal que esté entre 3.561 y 3.562.  3.5611 ¿Hay una sola respuesta correcta?  No Expliquen por qué.  Porque hay por lo menos más de diez números. 6. Analiza y responde. Después realiza lo que se indica.

ci ón

a) Erick está dibujando un mapa del tesoro a escala para un concurso. Quiere ubicar el tesoro exactamente a la misma distancia de la palmera que de las rocas en el

0m

1.2 cm

1.3 cm

bu

Río

siguiente esquema. ¿A qué distancia del río estará el tesoro? 

b) Localiza el punto que está a la misma distancia de 1.22 que de 1.23. ¿Cuál es ese

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

número? 

1.22  

1.23

c) Calcula 1.22 + 1.23 y divide el resultado entre 2. 

Compara el resultado con el punto que localizaste en el esquema anterior.

d) Calcula 0.846 + 0.847 y divide el resultado entre 2. 

En el siguiente esquema, localiza el número que obtuviste y observa su distancia a los puntos 0.846 y 0.847.

0.846

0.847

f) ¿Qué operaciones harías para determinar el número decimal que está a la mitad de la distancia entre 3.675 y 3.676? 



Localiza el punto que obtuviste.

P

©

mitad de la distancia entre 3.67 y 3.68? 

3.675

3.676

Glosario punto medio entre dos puntos. Es el punto que se encuentra a la misma distancia de dos puntos dados.

•• ¿Siempre se puede encontrar el punto medio entre dos números decimales? Discutan la respuesta con sus compañeros y juntos formulen una regla para determinar ese punto. 37

Secuencia didáctica 4. Entre dos, ¡siempre hay otro!

e) ¿Qué operaciones debes hacer para determinar el número decimal que está a la

¿Vamos bien? Responde con base en lo que has aprendido. Al terminar, compara tus procedimientos y resultados con los de tus compañeros.

7. En parejas, trabajen en lo siguiente.

bu

Para saber más

ci ón

I. Encuentra tres números que estén entre 0.238 y 0.239. R. M. 0.2383, 0.2385 y 0.2338 II. Anota dos números que se encuentren entre 2.05 y 2.055. R. M. 2.052 y 2.053 III. Escribe el número que está justo a la mitad de la distancia entre 3.52 y 3.53. 3.525

5 y 0.84.  251/300 6

Ingresa a la página www.esant.mx/ essema1-004. Para n 5 3, ¿a qué fracción corresponde el punto rojo?

a) Encuentren un número que esté entre

¿Qué fracción está a la mitad de la distancia entre 0 y  1 ? 128

d) Determinen tres números que estén entre 0.83 y

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

b) ¿Qué estrategia usaron para encontrar el número anterior?  R. M. Multiplicamos por 50 el numerador y el denominador de las fracciones. c) ¿Hay alguna otra estrategia para determinar ese número? R. M. Sí ¿Cual? Multiplicando por un múltiplo de 250 tanto el numerador como el denominador. 5 499/600, 997/1200, 998/1200 . 6

e) Escriban una fracción que esté entre 0.33 y 0.34.  67/200

f) ¿Qué estrategia usaron para encontrar el número anterior?  Multiplicamos por 2 la fracción decimal que representa cada número. 6

5

g) Determinen tres números que estén entre 5 y 4 R. M. 97/80, 98/80, 99/80 h) Determinen tres números que estén entre 12 y 0.12  R. M. 1190/9900, 1192/9900, 1193/9900 100

i) ¿Qué estrategia usaron para encontrar el número anterior?  R. M. Multiplicamos por 99 la primera fracción y por 100 la fracción decimal que representa el segundo número. •• Discutan con sus compañeros los procedimientos que usaron y verifiquen que todas las respuestas sean correctas. ¿Cuántos procedimientos distintos encontraron en su grupo?

P

©

La propiedad de densidad

De acuerdo con la propiedad de densidad de los números decimales y fraccionarios, entre dos fracciones distintas y entre dos números decimales diferentes siempre es posible encontrar otra fracción y otro número decimal. Además, entre una fracción y un número decimal distintos siempre es posible encontrar una fracción y un número decimal.

Trimestre 1

Una forma de obtener un número que está entre dos números dados es sumar los números dados y dividir el resultado entre 2. El número obtenido de esta forma está justo a la mitad de la distancia entre los extremos. 38

¿Qué aprendí? Resuelve los ejercicios y problemas. Al terminar, revisa tus procedimientos y resultados con ayuda de tu profesor.

ci ón

1. En un evento de atletismo, el ganador en la prueba de salto de altura (rama varonil) fue Oscar con un salto de 2.1 m, y el segundo lugar lo obtuvo Rubén con una altura de 2 m. Miguel, que inicialmente iba en segundo lugar, tuvo que retirarse por una lesión, y él cree que si no se hubiera lesionado habría alcanzado una altura mayor que la de Rubén, pero menor que la de Oscar. Escribe dos alturas que estén en el rango que describe Miguel. 

1 1 de km y km 4 2 3 1 b) Entre de km y km 8 2 7 1 c) Entre de km y km 16 2

3 8 7 16 15 32

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

a) Entre

bu

2. La recta numérica representa un tramo de una avenida de una zona escolar en donde se colocarán topes. Estos topes se colocarán justo a la mitad entre los siguientes pares de fracciones de kilómetro que se indican. Ubica en la recta estas fracciones, así como los puntos donde irán los topes.

1 4

0 km

7 16

3 8

15 32

1 km 2

3. Determina el número que está exactamente a la mitad de la distancia entre los números que se indican.

c) 0.211 y 0.212  0.2115

10

7 b) 100 y 0.071 

P

©

4. Escribe una fracción y un número decimal que estén entre los siguientes números. 100/999 1 a) y 0.101  y 0.0101 71/1000 y 0.07106

915/10000 91 c) 1000 y 0.091  y 0.0918

Contenido Identifico una fracción o un decimal entre dos fracciones o decimales dados. Inicio un acercamiento a la propiedad de densidad de las fracciones y de los números decimales. A

Requiero ayuda para realizarlo.

B

Lo hago, pero en ocasiones necesito ayuda.

C

Lo hago de manera autónoma.

39

Secuencia didáctica 4. Entre dos, ¡siempre hay otro!

b) 0.21 y 0.212  0.211

Marca con una ✔ la casilla que describe tu desempeño.

Nivel de logro

a) 0.2 y 0.23  0.215

Resuelve los problemas. Con base en tus resultados, y con ayuda de tu profesor, identifica las secuencias correspondientes a los contenidos que debes repasar. 1. En una escuela se organizaron competencias de atletismo. La final es entre Ana, mismo tiempo y Perla

3 2 de la pista en un minuto, Carmen de la pista en el 10 5

ci ón

Carmen y Perla. Si Ana corre

1 de la pista también en un minuto, ¿en qué orden llegarán a 3

la meta? Escribe el procedimiento y argumenta tu respuesta.

Ana corre 9/30, Carmen 12/30 y Perla 10/30 de la pista, todas en el mismo

bu

tiempo. Carmen corre más rápido y llega en primer lugar, Perla en segundo y Ana es la última en arribar.

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

2. Para la piñata de Lalo, su mamá compró 5 de kg de naranjas, 0.75 kg de manda4 rinas, 3 kg de tejocotes y 0.6 kg de caña. ¿De cuál fruta tendrá más la piñata? ¿De 2

cuál tendrá menos? Escribe todas las cantidades como fracciones o como números decimales y ordénalas de menor a mayor.

3. Traza una recta numérica en la cuadrícula y localiza las fracciones

2 3

Trimestre 1

P

©

0

40

1

2 5 11 , y . 3 4 6

5 4

11 6

2

4. Observa los puntos en la recta numérica y escribe la letra que le corresponde a cada número decimal. C

F

A

0

D

E

B 1

a) 0.909 5 E       

A d) 0.49 5       

B b) 0.99 5       

F e) 0.29 5       

c) 0.09 5 C       

D f)   0.59 5       

5. Mario asegura que dos de las fracciones de la tabla tienen una expansión decimal infinita. a) ¿Qué procedimiento debes hacer para comprobar su argumento?  Completa la tabla.

Fracción

¿Tiene expansión decimal finita?

25 160



40 35

No

600 625



0.15625

0.96 ¿Por qué? 

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

b) ¿Tenía razón Mario?

Fracción decimal equivalente (en caso de tener expansión decimal finita)

ci ón



bu



6. Encuentra los números que se indican. Escribe el procedimiento y argumenta tus respuestas. 4

5

a) Dos fracciones que se encuentren entre y . 7 7 Multipliqué por 3 el denominador de ambas fracciones para encontrar al menos dos números que estén entre 4/7 y 5/7. Así, 13/21 y 14/21 = 2/3 se encuentran entre 12/21 y 15/21. b) Dos números decimales que estén entre 6.59 y 6.6. Basta colocar un dígito más en la parte decimal, al número más pequeño. Por ejemplo, 6.593 y 6.598 son números con un dígito más que 6.59, con lo cual se garantiza que son mayores que 6.59 pero menores que 6.6. 7

c) Un número que esté entre y 0.9. 8 El número 7/8 5 0.875, por lo que basta dar un número decimal cuyas décimas sean igual que 8 y las centésimas sean más grandes que 7. Por ejemplo, 0.89.

P

©

7. La casa de Fernando se encuentra a 3.72 km de la escuela. Sobre la misma avenida, se encuentra la casa de María, a 3.835 km de la escuela. Hay una papelería exactamente a la mitad de la distancia entre ambas casas. ¿A cuántos kilómetros de la escuela está la papelería? Escribe el procedimiento y argumenta tu respuesta. Para encontrar el punto medio entre dos valores dados, se calcula el promedio de los datos de la papelería. (3.72 1 3.835) 4 2 5 7.555 4 2 5 3.7775. Así, la escuela está a 3.7775 km 8. Haz lo que se pide. a) Escribe como fracción el número decimal 7.0803. 70803/10000 b) Escribe como número decimal la fracción

15 . 1.0714285 14

•• Reflexiona sobre tus resultados y, con tu profesor, busca estrategias para fortalecer tus áreas de oportunidad.

En la columna “Nota”, marca una ✔ en los reactivos que resolviste correctamente. Reactivo Nota Secuencia Páginas 1

1

16-23

2

1y2

16-29

3

1y2

16-29

4

1y2

16-29

5

3

30-33

6

4

34-39

7

4

34-39

8

3

30-33

41

5

Eje: Análisis de datos Tema: Probabilidad Contenido: Registras resultados de observaciones, encuestas y experimentos.

Ver, preguntar y experimentar 1. Lee y contesta.

ci ón

a) Los maestros de una secundaria piensan que los estudiantes de su escuela no acostumbran leer y quieren comprobarlo. ¿Qué datos necesitan recabar? R. M. La cantidad de libros que leen o que han leído.

¿Qué método pueden usar para recolectar esa información?  R. M. Una encuesta b) Lucero y Jesús discuten si al lanzar dos dados es igualmente probable que salgan un 5 y un 6 o que salgan dos números 6.

bu

¿Qué información les sugerirías que reunieran para aclarar su duda? R. M. Escribir todos los posibles resultados

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

¿Cómo piensas que deben recolectarla?  R. M. Mediante un diagrama c) En la escuela de Mirna se va a hacer un inventario, es decir, una lista ordenada de todos los objetos que hay. ¿Qué método deben seguir los alumnos para recabar la información de lo que hay en sus salones de clases?  R. M. Mediante una lista o una tabla •• En discusión grupal, reúnan las opiniones sobre las preguntas anteriores. Comenten todas las formas de recabar información que mencionaron. 2. Realiza lo que se pide.

a) Observa con cuidado todo lo que hay en tu salón de clases y contesta. R. L. ¿Cuántos pupitres o sillas y mesas hay? ¿Cuántos pizarrones R. L. hay?

R. L. ¿Hay libros? ¿Son libros de texto, de historia, literatura o de qué tipo?  R. L.



¿Hay algún estante o armario? R. L.

¿Hay material didáctico? R. L.

R. L. ¿De qué tipo?

R. L. ne una mesa o un escritorio?



¿El maestro tie-

¿Hay botes de basura? R. L.

¿Qué otros objetos hay en tu salón?  R. L.

Trimestre 1

P

©

b) Reúne la información que recabaste en una tabla como la siguiente. Mobiliario (pupitres, mesas, etcétera)

R. L.

Libros (cantidad y tipo)

R. L.

Material didáctico

R. L.

Otros objetos

R. L.

•• Compara tu tabla con la de un compañero y revisen que nos les falte información. Después comenten en grupo en qué otras situaciones se puede recabar información usando la observación. 42

3. Haz lo que se indica y responde. Saca 10 copias del siguiente cuestionario sobre hábitos de lectura. Contesta uno y pide a otros nueve estudiantes de tu secundaria que respondan los demás.

Grado: Primero

Género: Hombre Segundo

Mujer

Tercero

ci ón

Edad:        

Nunca



Casi nunca

Algunas veces al mes



Algunas veces cada semana

Casi todos los días



Todos los días

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

2. ¿Cuántas horas dedicas a leer durante la semana?

bu

1. ¿Con qué frecuencia lees en tu tiempo libre?

Una o menos



De 1 a 2

De 2 a 3



De 3 a 4

De 4 a 5



Más de 5

3. ¿Qué has leído durante la última semana? (Puedes seleccionar más de una opción). Periódicos y revistas



Libros de texto o escolares

Obras de literatura

Otros

En tu casa



Al aire libre (parque, jardín, campo)

En una biblioteca



En transportes públicos

En la escuela

Otros

Secuencia didáctica 5. Ver, preguntar y experimentar

4. ¿En qué lugares acostumbras leer? (Puedes seleccionar más de una opción).

©

5. En vacaciones, ¿lees más, lo mismo o menos que en el resto del año? Menos



Lo mismo

Más

P

6. ¿Cuántos libros completos leíste el año pasado? Ninguno

Uno

Dos

Tres

De cuatro a seis



Más de seis

43

4. Llena la tabla con la información de tu encuesta. Usa las siguientes categorías.

Lectura en tiempo libre

h: hombre

m: mujer

0: nunca 1: casi nunca 2: algunas veces al mes

3: algunas veces cada semana 4: casi todos los días 5: diario

1: 1 h o menos 2: de 1 a 2 h 3: de 2 a 3 h

  4: de 3 a 4 h 5: de 4 a 5 h 6: más de 5 h

Tipo de lectura durante la última semana

per: periódicos y revistas tex: libros de texto o escolares lit: obras de literatura ot: otros

bu

Horas de lectura semanales

ci ón

Género

  tr: transporte público bi: biblioteca ot: otro

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

ca: casa Lugares de lectura al: aire libre es: escuela Lectura en vacaciones

Cantidad de libros

2 : menos

5 : lo mismo

1 : más

0, 1, 2, 3, 4-6, .6

Información de la encuesta R. M.

Trimestre 1

P

©

Lectura Horas de Tipo de Lugares Lectura en lectura lectura Cantidad Núm. Género Edad de en tiempo por última de libros lectura vacaciones libre semana semana

44

1

H

12

0

0

Tex

Tr, ca

5

0

2

H

12

1

1

Tex

Ca

5

1

3

M

13

2

3

Per,tex,lit

Ca

1

4

4

M

12

1

1

Lit, tex

Ca

5

2

5

H

12

1

1

Tex

Ca

2

2

6

M

11

1

1

Tex

Ca

2

2

7

H

12

1

1

Tex

Ca

2

1

8

M

12

1

2

Lit, tex

Al, ca

1

3

9

M

12

1

0

Tex

Ca

2

1

10

H

12

1

1

Tex

Ca

2

1

5. Revisa la información de la tabla de la actividad anterior y contesta. a) ¿Cuál es la edad promedio de los encuestados? R. M. 12 años b) ¿Cuál es la respuesta más frecuente en la pregunta sobre el hábito de leer en el tiempo libre? R. M. 1 c) ¿Cuál es el número más frecuente de horas de lectura a la semana? R. M. 1

ci ón

d) ¿Cuál es el tipo de lectura que más estudiantes encuestados leyeron en la última semana? R. M. Libros de texto

e) ¿Qué ocurre con más frecuencia en vacaciones: que los encuestados leen más, igual o menos? R.  M. Leen menos

bu

f) ¿Cuál es el número más frecuente de libros leídos durante el año pasado entre los encuestados? R. M. 1

g) ¿Crees que la encuesta realizada en tu grupo da una idea de los hábitos de lectura de todos los estudiantes de la secundaria? R. M. No

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

•• Compara tus respuestas con las de tus compañeros y discutan qué tan buenos son los hábitos de lectura de los estudiantes encuestados. Después comenten en qué otras situaciones se utiliza la encuesta para recabar información.

¿Vamos bien?

Realiza lo siguiente con base en lo que has aprendido. Al terminar, compara tus procedimientos y tus resultados con los de tus compañeros. I. Aplica la siguiente encuesta a cinco personas de tu familia. R. L. Edad:

¿Cómo te enteras de las noticias? (Elige todas las opciones que requieras). Periódicos y revistas (impresos o en línea) Radio Noticieros en línea Televisión Pláticas con amigos Redes sociales

Secuencia didáctica 5. Ver, preguntar y experimentar

©

a)

Género: 

b) ¿Qué tipo de noticias son las que más te interesan? Políticas Económicas y financieras Deportivas Culturales Sociales De espectáculos

P

II. Analiza la información que obtuviste en la encuesta y responde. R.M.

a) ¿Hay alguna relación entre la edad y la forma de enterarse de las noticias? Sí ¿Cuál? Las personas de mayor edad no utilizan internet b) ¿Hay alguna relación entre el género de los encuestados y el tipo de noticias que leen? R.L

¿Cuál?  45

6. Resuelvan en parejas el la situación planteada en el inciso b de la actividad 1. Lucero le dice a Jesús: “Vamos a lanzar dos dados, uno tú y otro yo. Si los dos dados caen en 6, tú ganas. Si sale un 5 y un 6, yo gano. Si sale cualquier otro par de números, volvemos a lanzar los dados hasta que salga alguna de las parejas anteriores”.

6 y 6

5y6

bu

Lanzamientos

ci ón

a) ¿Creen que Lucero y Jesús tienen la misma oportunidad de ganar? b) Para verificar su respuesta anterior, lancen 60 veces dos dados y registren cuántas veces salen dos números 6 y cuántas veces sale un 5 y un 6. No registren los demás resultados. c) Pueden anotar en su cuaderno un palito por cada lanzamiento y otro cada vez que salga uno de los resultados que les interesan. Agrupen los palitos de 5 en 5, como se ejemplifica a continuación.

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

•• Reúnan las respuestas de todo el grupo y coméntenlas para completar la tabla de la siguiente actividad. 7. Completen la tabla con las respuestas a la actividad anterior de todo el grupo y después respondan las preguntas. Número de lanzamientos

Número de veces que salió 6 y 6

Número de veces que salió 5 y 6

Pareja 1

60

R. L.

R. L.

Pareja 2

60

R. L.

R. L.

Pareja 3

60

R. L.

R. L.

.. .

R. L.

R. L.

R. L.

Total

R. L.

R. L.

R. L.

a) ¿Cuántos lanzamientos se hicieron en total en el grupo? R. L.

P

©

b) ¿En cuántos lanzamientos salió 6 y 6? 

¿En cuántos salió 5 y 6?  c) ¿Qué fracción del total de lanzamientos cayó en 6 y 6? 

d) ¿Qué fracción del total de lanzamientos cayó en 5 y 6? 

e) Tras revisar los resultados de este experimento, ¿qué les parece más probable al

Trimestre 1

lanzar dos dados: que salga 6 y 6, o que salga 5 y 6?  •• Comenten en grupo si las respuestas y las conclusiones de las actividades anteriores coinciden con lo que respondieron en la actividad 1. Después discutan sobre la utilidad de realizar experimentos para recabar información. 46

Para saber más

Formas de recolectar datos

•• La observación permite recabar datos en el lugar donde naturalmente surgen. Se puede observar un objeto o lugar (como el salón de clases), una acción (como la forma en que un profesor imparte clases) o una colección de individuos (que pueden ser personas, animales o plantas) y anotar los datos. •• Las encuestas se hacen pidiendo a un grupo de personas que contesten un cuestionario donde anotan los datos que nos interesa estudiar.

bu

•• La experimentación consiste en controlar un aspecto de la situación que se quiere estudiar y observar qué datos se producen cada vez que se modifica la parte controlada (como lanzar dados y observar si ocurre un resultado particular).

ci ón

Para realizar estudios y análisis en muy diversos campos de conocimiento, se requiere recolectar información. Se pueden usar tres métodos para reunir datos: la observación, la encuesta y la experimentación.

Lee las instrucciones del experimento 5, “Más rápido”, de la sección 1 del libro Astronomía para niños y jóvenes. 101 divertidos experimentos, de Janice VanCleave, de la serie Astrolabio de la colección Libros del Rincón. Realiza el experimento y observa el resultado. Revisa los demás experimentos propuestos en el libro y haz los que te interesen.

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

En todos los casos, los datos recabados deben organizarse en forma resumida para después analizarlos.

¿Qué aprendí?

Realiza con otros cuatro compañeros la siguiente investigación acerca del ambiente escolar. Al terminar, discutan en grupo sus conclusiones con ayuda de su profesor.

Cada integrante del equipo observe durante tres días cómo se desarrolla la convivencia escolar en el salón de clase, en los descansos y a la salida de la escuela. Luego realicen lo que se indica.

¿Qué tipo de situaciones ocurrieron más: de buena o de mala convivencia?

Contenido Registro resultados de observaciones, encuestas y experimentos.



P

¿Les parece que se requieren medidas para mejorar el ambiente escolar? ¿Qué medidas proponen? 

Finalmente, discutan en qué casos es más viable utilizar cada uno de los tres métodos de recolección de datos y la forma en que deben llevarse a cabo.

Nivel de logro

©

b) Revisen la información escrita por los cinco integrantes y ordénenla todos juntos. Después respondan.

Marca con una ✔ la casilla que describe tu desempeño.

A

Requiero ayuda para realizarlo.

B

Lo hago, pero en ocasiones necesito ayuda.

C

Lo hago de manera autónoma.

47

Secuencia didáctica 5. Ver, preguntar y experimentar

a) Cada día registren en su cuaderno lo que observen sobre buena convivencia (juegos colectivos, ayuda solidaria, bromas y risas sanas, etcétera) y sobre mala convivencia (estudiantes aislados, burlas o agresiones contra un compañero, golpes o pleitos, etcétera). No anoten nombres de personas, solamente las acciones que observen y el número de estudiantes involucrados. R. L.

6

Eje: Análisis de datos Tema: Probabilidad Contenido: Realizas experimentos aleatorios y registras los resultados para lograr un acercamiento a la probabilidad frecuencial.

Probablemente 1. Lee el texto y responde.

bu

ci ón

En un experimento se hace girar la flecha de la siguiente ruleta y se observa el color del sector en el que se detiene.

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

a) ¿En cuántos sectores está dividido el círculo de la ruleta? En 8 sectores b) ¿Todos los sectores representan la misma fracción del área del círculo? Sí ¿Qué fracción?1/8 c) ¿En qué color crees que es más probable que se detenga la flecha? En el sector verde d) ¿En qué color crees que es menos probable que se detenga? En  el sector amarillo e) Si se repite el experimento de la ruleta 80 veces, ¿aproximadamente cuántas veces crees que saldrá cada color? R. M. Amarillo 10 Rojo 20 Verde 30 Azul 20 f) Si se repite el experimento 800 veces, ¿aproximadamente cuántas veces crees que saldrá cada color? R. M. Amarillo 100

Rojo 200

Verde 300



Azul 200

g) En 800 repeticiones, ¿qué fracción de los resultados obtenidos crees que sería de cada color? Amarillo

Rojo

Verde



Azul

P

©

•• Compara los números que escribiste con los de tus compañeros y explica en qué te basaste para calcularlos. 2. Lleven a cabo la siguiente actividad en parejas.

Para diseñar un experimento equivalente al anterior, corten una hoja de papel en ocho partes iguales. En tres de ellas escriban la palabra verde; en dos, azul; en dos, rojo y en una, amarillo. Doblen los papeles y colóquenlos en una bolsa oscura.

Trimestre 1

Después de revolverlos bien, saquen un papel al azar y anoten el color que indica. Vuelvan a doblarlo y métanlo en la bolsa. Repitan este procedimiento hasta registrar 80 resultados. No olviden revolver los papeles en la bolsa antes de cada extracción. 48

a) ¿Cuántas veces obtuvieron cada color? R. M. Amarillo 10

Rojo 20

Verde 30



Azul 20

b) ¿Los números que obtuvieron se parecen a los que pensaron que se obtendrían? R. M. Sí, son muy parecidos. 3. Trabaja con todos los compañeros de tu grupo.

Extracciones

Amarillo

Azul

Rojo

Verde

1

80

R. L.

R. L.

R. L.

R. L.

2

80

R. L.

R. L.

R. L.

.. .

R. L.

R. L.

R. L.

R. L.

Total

R. L.

R. L.

R. L.

R. L.

bu

Pareja

ci ón

Reúnan en una tabla como la siguiente las respuestas obtenidas por cada pareja. Agreguen los renglones que se requieran y luego sumen las cantidades de cada columna. R. L.

R. L.

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

R. L.

R. L.

a) ¿Cuántas veces se repitió el experimento en todo el grupo?  b) Escriban el número de veces que se obtuvo cada color.

Amarillo Rojo Verde Azul c) Anoten qué fracción del total de resultados corresponde a cada color. Amarillo

Rojo

Verde



Azul

d) ¿Se parecen estas fracciones a las que escribiste antes de realizar el experimento?

•• Comenten en grupo los resultados obtenidos.

Probabilidad frecuencial

frecuencia. Cantidad de veces que aparece un dato en una colección.

Número de veces que ocurre el resultado R Número de repeticiones del experimento

frecuencia relativa. La frecuencia entre el total de datos.

Glosario

A este cociente se le conoce como probabilidad frecuencial del resultado R. 49

Secuencia didáctica 6. Probablemente

P

©

Un experimento es aleatorio si tiene la característica de que cada vez que se repite en las mismas condiciones, es imposible saber qué resultado se obtendrá antes de realizarlo. Por ejemplo, lanzar dados o monedas al aire, hacer girar ruletas o seleccionar un estudiante de la secundaria al azar y preguntarle cuál es su primer apellido. Cuando se repite un gran número de veces un experimento aleatorio, la probabilidad de obtener un resultado se puede aproximar por la frecuencia relativa, es decir, la probabilidad de obtener el resultado R es aproximadamente:

¿Vamos bien? Resuelve lo siguiente con base en lo que has aprendido. Imagina que vas a colocar 8 canicas en una caja para después seleccionar una de ellas al azar.

ci ón

a) ¿Cuántas canicas azules y cuántas rojas colocarías si quisieras que los dos colores tuvieran la misma probabilidad de obtenerse?  4 canicas de cada color b) ¿Cuántas canicas de cada color necesitas poner si quieres que sea más probable que salga una roja?  5 o más canicas rojas

c) ¿Cuántas, si quieres que sea más probable que salga azul? 5 o más canicas azules

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

bu

d) ¿Cuántas canicas de cada color debes colocar si quieres que sea seguro que la canica seleccionada sea roja?  8 canicas rojas y ninguna azul

Glosario

diagrama de árbol. Esquema que muestra los resultados posibles de un experimento que tiene varias etapas. Se forma con segmentos (ramas) que terminan en los resultados de cada etapa.

4. Lee y contesta.

Leo, Pati y Maru, las tres amigas de la secuencia 1, lanzaron dos monedas al aire y acordaron que, si salían dos águilas, ganaba Maru; si salían dos soles ganaba Pati; y si salían un águila y un sol, ganaba Leo. Después de lanzar muchas veces las dos monedas, llegaron a la conclusión de que Leo tenía mayor probabilidad de ganar. Para determinar los resultados que se pueden obtener al lanzar dos monedas, completa el siguiente diagrama de árbol. 1.ª moneda

2.ª moneda águila

a-a

Trimestre 1

P

©

águila

sol

a-s

aguila

s-a

sol sol

50

s-s

a) De los cuatro resultados posibles, ¿en cuántos gana Leo?  En dos ¿En cuántos gana Pati? En 1 ¿Y en cuántos gana Maru? En 1 b) ¿Qué te dice lo anterior sobre la probabilidad de que gane cada amiga? R. M. Que la que tiene mayor probabilidad de ganar es Leo. •• Compara tus respuestas con un compañero. ¿Coinciden en sus opiniones?

ci ón

5. Trabaja en lo siguiente para analizar lo que pasa al lanzar tres monedas. a) Para escribir de manera ordenada los resultados que pueden salir cuando se lanzan tres monedas, completa el diagrama de árbol. Moneda 2

Moneda 3 águila

águila

a-a-s

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

sol

a-a-a

bu

Moneda 1

águila

aguila

a-s-a

sol

a-s-s

aguila

s-a-a

sol

s-a-s

aguila

s-s-a

sol

s-s-s

sol

aguila

sol

b) Escribe los resultados del diagrama de árbol que corresponden a cada cantidad de águilas.

Secuencia didáctica 6. Probablemente

©

sol

0 águilas Ninguno

P

1 águilas  a-s-s; s-a-s; s-s-a 2 águilas  a-a-s; a-s-a; s-a-a 3 águilas  a-a-a

•• ¿Tus resultados coinciden con los de tus compañeros? Si hay diferencias, vean cuáles son correctos y cuáles no. 51

6. Realicen lo siguiente en parejas. a) Lancen 8 veces al aire tres monedas juntas. Observen cuántas águilas salen en cada lanzamiento triple. R. M. 1.er lanzamiento: 2 5.° lanzamiento: 2.° lanzamiento: 2

6.° lanzamiento:

3. lanzamiento: 2

7.° lanzamiento:

4.° lanzamiento: 0

8.° lanzamiento:

ci ón

er

b) ¿Qué creen que es más probable: que no salgan águilas o que salga solamente un águila? Los dos eventos son igual de probables. c) ¿Qué les parece que ocurre más frecuentemente: que salgan tres águilas o que

bu

salgan exactamente dos águilas? Que salgan solamente dos águilas.

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

d) Repitan 80 veces el experimento de lanzar tres monedas y registren el número de águilas en cada lanzamiento triple. ¿Cuántas veces se obtuvo cada número posible de águilas? 0 águilas: R. L.

1 águila: R. L.

2 águilas: R. L. 3 águilas: R. L.

e) ¿Cuál parece ser el número más probable de águilas al lanzar tres monedas? R. L.



Para saber más

Trimestre 1

P

©

Ingresa al sitio www.esant.mx/ essema1-005. En “Inicio”, elige extraer 200 en el caso 2. Presiona 10 veces “Extraer” y, cada vez, escribe las probabilidades frecuenciales. ¿Hay alguna tendencia? ¿Cuál?

R. L.

¿Y el número de águilas menos probable? 

7. Completen una tabla como la siguiente con los resultados de todo el grupo; agreguen los renglones que requieran y luego sumen las cantidades. Después responde individualmente. R. L. Pareja

Lanzamientos triples

1

80

2

80

0 águilas

1 águila

2 águilas

3 águilas

..

Total

a) ¿Cuántas veces se repitió el experimento en todo el grupo?  b) Calcula la probabilidad frecuencial de cada uno de los siguientes resultados: 0 águilas:

1 águila:



2 águilas:



3 águilas:

c) ¿Cuáles de estos resultados son más probables?  d) ¿Cuáles son menos probables? •• Verifiquen si sus respuestas coinciden con las de sus compañeros. Si no es así, pónganse de acuerdo.

52

8. Forma un equipo con un compañero y hagan lo que se indica.

Si ambos jugadores eligen el mismo objeto, nadie gana. Si son distintos, el papel le gana a la piedra (la envuelve), la piedra le gana a las tijeras (las desafila) y las tijeras le ganan al papel (lo cortan). Es necesario que los jugadores muestren el objeto elegido al mismo tiempo. De lo contrario, el juego no vale. a) Decidan quién va a ser el jugador A y quién el B y repitan el juego 24 veces. Registren cada resultado. A

B

Empate

Juegos

Las tijeras El papel cubre cortan el papel la piedra

Reglas

Ganó A

Ganó B

Empates

c) ¿Cuántos juego realizaron en total en el grupo?  d) Calcula la probabilidad frecuencial de cada uno de los siguientes resultados: Gana A:

Gana B:

Empates:

•• Discutan en el grupo si en este juego tienen más o menos la misma probabilidad de ganar los dos jugadores.

Marca con una ✔ la casilla que describe tu desempeño. Contenido Realizo experimentos aleatorios y registro los resultados para lograr un acercamiento a la probabilidad frecuencial.

Nivel de logro

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri Número de juegos 24

.. Total



Piedra

La piedra desafila las tijeras

b) Reúnan la información de todo el grupo. Equipo 1

Papel

bu

¿Quién gana?

Tijeras

ci ón

¿Alguna vez han jugado “Piedra, papel y tijeras”? El juego consiste en que, mientras mueve la mano derecha de lado a lado, cada jugador elige mentalmente uno de los objetos y muestra la mano de forma que simule ese objeto.

A

Requiero ayuda para realizarlo.

B

Lo hago, pero en ocasiones necesito ayuda.

C

Lo hago de manera autónoma.

¿Qué aprendí?

En un pliego de papel cuadriculado, traza un diagrama de árbol para determinar todas las parejas de resultados que se pueden obtener al lanzar dos dados comunes.

Secuencia didáctica 6. Probablemente

©

a) ¿Cuántas parejas de números obtuviste?  36 parejas b) ¿En cuántas de ellas hay un 5 y un 6?  En dos c) ¿Cuántas están formadas por dos números 6?  Una

P

d) ¿Crees que esto confirma lo que observaron en tu grupo al repetir el experimento de lanzar dos dados en la actividad 6 de la secuencia anterior? R. L.

Explica por qué  R. L. 

53

Expansión decimal finita o infinita y periódica

ci ón

Para determinar si una fracción corresponde a un número decimal con expansión decimal finita o infinita y periódica, realiza lo siguiente. a) Abre una hoja de cálculo y, en la primera fila de las tres primeras columnas, escribe los títulos “Denominador”, “Fracción” y “Número decimal”. Abre el ancho de las columnas para que quepan los títulos.

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

bu

b) Bajo el título “Denominador”, escribe la lista de números enteros que van del 1 al 99. En las tres primeras celdas de la columna puedes escribir 1, 2 y 3. Después selecciona las tres celdas y busca el símbolo de suma (1) en la parte inferior derecha de la parte seleccionada. Cuando aparezca este símbolo, haz clic con el botón principal del ratón y, sin soltarlo, jala hacia abajo hasta la celda en que aparezca el número 99. Esta es una forma rápida de copiar cualquier instrucción en celdas contiguas. c) Antes de escribir en la segunda columna, selecciona todas las celdas de esa columna que quedan frente a los denominadores. Mantén el cursor sobre la parte seleccionada, haz clic derecho y selecciona “Formato de celdas”. En la pestaña “Número”, elige la opción “Fracción” y el tipo “Hasta dos dígitos”. Presiona “Aceptar”.

Imagen 1

d) En la celda B2, escribe 51/A2 y da Enter. Para copiar esta instrucción a todas las celdas inferiores, selecciona la celda B2 y de nuevo busca el símbolo 1. Después arrástralo hacia abajo presionando el botón principal.

P

©

e) Selecciona la tercera columna desde C2 hasta C100. De nuevo abre “Formato de celdas” y elige la categoría “Número” y en “Posiciones decimales”, escribe el número 15. f) En C2 escribe 5B2 y abre el ancho de la columna hasta que se vea completo el número decimal. Copia la instrucción hacia abajo. Observa cuáles números decimales tienen una expansión decimal finita y sombrea esos renglones con algún color. Toma en cuenta que para completar las 15 cifras decimales, en estos números aparecen al final colecciones de ceros.

Trimestre 1

•• ¿Qué hay más en tu lista: fracciones que corresponden a decimales con expansión finita o que corresponden a decimales con expansión infinita y periódica? Imagen 2 •• ¿Cuántas de las fracciones de tu lista tienen expansión decimal finita? 54

Números entre otros dos Para encontrar varios números entre cualquier par dado, realiza este ejercicio. a) Abre una nueva hoja de cálculo y en el primer renglón de las cinco primeras columnas escribe los títulos “Entre”, “y”, “Primer número”, “Segundo número” y “Tercer número”.

ci ón

b) Selecciona los renglones 2, 3 y 4 de esas columnas y elige el formato “Fracción” y luego “Hasta tres dígitos”. c) En el renglón 2, escribe el 0 en la primera columna y la fracción 1/18 en la segunda. En la tercera columna, escribe la instrucción 5(A21B2)/2. En la cuarta escribe 5(2*A21B2)/3, y en la quinta, 5(A2+2*B2)/3. Así obtienes tres fracciones que están

bu

1 . 18

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

entre 0 y

•• ¿Cuál de las fracciones está más cerca de 0 que de •• ¿Cuál está más cerca de

Imagen 3

1 1/54 ? 18

1 que de 0? 1/27  18

•• ¿Cuál está a la misma distancia de 0 que de

1 1/36 ? 18

•• Explica qué hiciste para responder las preguntas anteriores. R. M. Escribir dichas fracciones en forma decimal y compararlas.

d) En las primeras dos celdas del tercer renglón, escribe las fracciones 58/7 y 78/9. ¿Qué números aparecen en tu hoja de cálculo al escribir estas fracciones? 8  2/7 y 8 2/3

P

©

e) Copia en el tercer renglón las instrucciones que escribiste en el segundo renglón de las tres columnas. En el cuarto renglón, escribe en las primeras dos celdas, las fracciones que quieras (que la primera sea menor que la segunda) y vuelve a copiar las instrucciones. Por último, vuelve a seleccionar los tres renglones que están debajo de los títulos y cambia el formato a “Número” con 5 “Posiciones decimales”.

¿Los números que aparecen en las tres últimas columnas realmente están entre los dos primeros números de cada renglón? Sí

Compara tus respuestas con las de tus compañeros. 55

¡Simulemos volados! La función 5ALEATORIO() de una hoja de cálculo genera un número al azar entre 0 y 1. Estos números, conocidos como números aleatorios, sirven para hacer simulaciones, es decir, para encontrar en la hoja de cálculo un conjunto de cantidades que representan los resultados que se obtendrían al hacer un experimento, como lanzar una moneda, un dado o experimentos más complejos.

ci ón

En las hojas de cálculo hay otra función muy útil para las simulaciones: la función 5ALEATORIO.ENTRE(), que genera números aleatorios enteros ubicados entre dos cantidades que tú puedes elegir.

bu

En principio, los números aleatorios generados por las dos funciones mencionadas cambian cada vez que se modifica cualquier celda de la hoja de cálculo. Si quieres que dejen de cambiar, una vez generados los números aleatorios, selecciona todas las celdas que los contienen y, en la pestaña “Fórmulas” del menú superior, busca “Opciones para el cálculo”. Ahí debes cambiar de “Automático” a “Manual”.

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

En esta actividad se usarán las funciones anteriores para simular 100 veces el lanzamiento de 5 monedas. a) En la celda A1, escribe el título “Núm” y, a partir de la celda A2, escribe los números del 1 al 100.

Trimestre 1

P

©

b) Escribe el título “Números aleatorios” en la celda B1 y ubícate en la celda B2. Busca la función 5ALEATORIO.ENTRE() dando clic sobre el símbolo fx en la barra auxiliar. Asegúrate de buscar en todas las funciones y no solo en las usadas recientemente. Al seleccionar esa función se abre una ventana. Elige los números 0 y 1 para los resultados de la simulación. Haz clic en “Aceptar” para obtener el primer número aleatorio.

Imagen 4 56

c) Selecciona la celda B2 donde se encuentra el número aleatorio que acabas de generar, y copia la instrucción a lo largo del renglón hasta la columna F para tener la primera serie de 5 números aleatorios. Selecciona los 5 números aleatorios y vuelve a copiar hacia abajo hasta tener 100 series de 5 números. Puedes reducir el ancho de las columnas con el fin de ocupar menos espacio y combinar las celdas para que el título abarque las 5 columnas.

ci ón

d) Identificaremos el 0 con águila y el 1 con sol. Como estos dos resultados tienen la misma probabilidad, la identificación puede hacerse al revés sin que eso altere el resultado de la simulación. En las siguientes 5 columnas, convertiremos los números aleatorios en resultados de volados.

bu

Escribe el encabezado “Volados” en la celda G1 y usa la función condicional “SI” para indicar si se debe escribir A de águila o S de sol. Ubícate en la celda G2 y busca la función presionando el símbolo fx en la barra auxiliar, o escribe la instrucción 5SI(B250,”A”,”S”).

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

El resultado es que si en la celda B2 aparece el número 0, se escribirá la letra A. De lo contrario, se escribirá la letra S.

e) Selecciona la celda G2 donde tienes el primer resultado de un volado y copia la instrucción hasta la columna K. Luego selecciona las celdas G2 a K2 y copia la instrucción hacia abajo hasta obtener los resultados de 100 repeticiones de 5 volados. f) Ahora contaremos el número de águilas y de soles que hay en cada serie de 5 volados. En la celda L1 escribe el título “Águilas” y en la celda M1, el título “Soles”. Ubícate en la celda L2 y busca la función 5CONTAR.SI o escribe la instrucción 5CONTAR.SI(G2:K2,”A”).

Imagen 5

g) Usa esta simulación para analizar qué es más probable en el lanzamiento de 5 monedas: que salgan 5 resultados iguales o que salgan más águilas que soles. Para contar en cuántas de las 100 simulaciones se obtuvieron 5 resultados iguales, puedes usar la instrucción: 5CONTAR.SI(L2:L101,5)1CONTAR.SI(M2:M101,5)

P

©

Así obtendrás el número águilas que hay en el renglón 2. Haz lo equivalente para contar el número de soles en la celda M2. Copia ambas instrucciones en las 100 series de 5 volados.

•• ¿Qué instrucciones usarías para contar las veces que salen más águilas que soles?   57

7

Eje: Forma, espacio y medida Tema: Figuras y cuerpos geométricos Contenido: Identificas la relación entre los ángulos que se forman entre dos rectas paralelas cortadas por una transversal.

Dos paralelas y una transversal 1. Realiza lo que se indica y responde.

ci ón

En una hoja blanca, traza dos rectas que se corten; llama A, B, C y D a los cuatro ángulos que se forman.

B C

Glosario

Recorta la hoja de papel siguiendo las rectas.

bu

D

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

ángulo. Abertura o región del plano comprendida entre dos segmentos de recta que tienen un punto en común, llamado vértice. El símbolo denota la medida de un ángulo.

A

B

rectas perpendiculares. Rectas que se cortan formando un ángulo recto.

Convivo en armonía

Trimestre 1

P

©

Cuando utilices material concreto, sigue las indicaciones de tu profesor para evitar accidentes. Al tomar las medidas necesarias contribuyes a hacer de tu salón de clases un espacio seguro.

C

A

D

a) Coloca las piezas que contienen los ángulos A y C, una sobre la otra, haciendo coincidir los vértices. ¿Qué puedes decir de estos ángulos? R.  M. Son iguales. b) Haz lo mismo con las piezas que contienen los ángulos B y D. ¿Cómo son estos ángulos? R. M. Son iguales.

c) ¿Sucede lo mismo cuando superpones las piezas que contienen los ángulos A y B? No R. M. Tampoco

¿Y con las piezas que contienen los ángulos C y D?

d) ¿Los resultados que obtuviste dependen de cómo se cortan las rectas? No ¿Qué sucedería si las rectas fueran perpendiculares? Todos los ángulos medirían lo mismo, es decir, 90º.

•• Compara tus respuestas con las de tus compañeros. 58

2. Resuelve de manera individual.

ci ón

a) Anota cuánto mide el siguiente ángulo. 180º

bu

b) Utilizando las piezas de la actividad anterior, junta las que contienen los ángulos A y B, de modo que compartan un lado y un vértice, como se muestra a continuación. Después responde. B C

A

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

D

Si el ángulo A midiera 30°:

¿Cuál sería la medida del ángulo B? 150º ¿Y la del ángulo C? 30º ¿Cuánto mediría el ángulo D? 150º

•• Compara tus respuestas y procedimientos con los de tus compañeros.

Ángulos suplementarios y ángulos opuestos por el vértice

Si la suma de las medidas de un par de ángulos A y B es 180º, se dice que los ángulos son suplementarios. Dos rectas que se cortan, denominadas rectas secantes, definen cuatro ángulos:

Secuencia didáctica 7. Dos paralelas y una transversal

©

B

A

C

D

P

Las parejas de ángulos A y B, B y C, C y D, y D y A son ángulos suplementarios, mientras que las parejas formadas por los ángulos A y C, o B y D se llaman ángulos opuestos por el vértice. Los ángulos opuestos por el vértice miden lo mismo.

59

¿Vamos bien? Resuelve lo siguiente con base en lo que has aprendido. Al terminar, compara tus procedimientos y los resultados que obtuviste con los de tus compañeros. I. Analiza la figura y responde. 180º 2 45º c d

45º

ci ón

1

b

a

bu

a) ¿Por qué se puede afirmar que  c 5 180º 2 45º? R. M. Porque los ángulos d y c son suplementarios.

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

b) ¿Cuánto mide el ángulo a? ¿Y el b? ¿Por qué? El ángulo a mide 135º porque los ángulos a y c son opuestos por el vértice, por lo que miden lo mismo. El ángulo b mide 45º pues los ángulos d y b son opuestos por el vértice. II. Escribe la medida de los ángulos marcados con letras. Justifica tus respuestas. a 65º b c

135º

90º

d e

m

f

h

a 5 115º  b 5 65º  c 5 115º 

P

©

d 5 90º  e 5 90º f 5 90º 

g 5 110º  h 5 70º  i 5 110º 

j 5 135º 

Trimestre 1

k 5 45º  m 5 45º 

60

g

i

70º

j

k

Ángulos que se forman entre dos rectas y una transversal

Glosario

A

B C F

B

D

A

C

D F

E

E

G

G H

H

3. Reúnanse en equipo y escriban las parejas de ángulos que se piden.

A B E F

D C H G

L1

L J K M P N O I

L2

T

Q

S

R

X

U

V

W

L3

a) Parejas de ángulos correspondientes formados con la transversal L1. A y E, B y F, D y H, por último C y G

Busca el sitio www.esant.mx/ essema1-006. Responde las preguntas y después activa todas las casillas. Si no se muestran todas las parejas de ángulos, escribe las que faltan.

c) Parejas de ángulos colaterales externos formados con la transversal L2. I y N, además L y O d) Parejas de ángulos alternos internos formados con la transversal L3. R y X, además S y U

P

©

b) Parejas de ángulos colaterales internos formados con la transversal L2. J y M, además K y P

Para saber más

e) Parejas de ángulos alternos externos formados con la transversal L3. Q y W, además T y V

•• Comparen sus respuestas con las de otros equipos y, si hay diferencias, lleguen a un acuerdo. 61

Secuencia didáctica 7. Dos paralelas y una transversal

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

bu

Los ángulos D y F (o C y E) se llaman alternos internos, pues están en la región comprendida entre las rectas (región interior) y en lados opuestos de la transversal. Los ángulos A y G (o B y H) se llaman alternos externos, pues están en la región exterior a las rectas y en lados opuestos de la transversal. Los ángulos D y E (o C y F) se llaman colaterales internos, pues están del mismo lado de la transversal y en la región interior, y los ángulos A y H (o B y G) se llaman colaterales externos, pues están del mismo lado de la transversal y en la región exterior a las rectas. Se llama ángulos correspondientes a los que están del mismo lado de la transversal, pero uno de ellos es interno y el otro es externo, como D y H (o A y E, B y F, C y G).

rectas transversales. Se dice que dos rectas son transversales si se cortan en algún punto.

ci ón

A los ángulos que se forman entre dos rectas y una transversal se les denomina en términos de las relaciones que guardan entre sí, ya sea que las rectas sean paralelas o no.

4. Realiza la actividad. En una hoja cuadriculada, traza una figura como la siguiente. Las rectas rojas son paralelas.

rectas paralelas. Dos rectas son paralelas si, por más que se les prolongue, nunca se cortan. Las rectas paralelas tienen una perpendicular común.

a d c

ci ón

b

e h f

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

g

bu

Glosario

a) Recorta la figura en dos partes, de manera que cada recta roja quede en una de ellas. b) Coloca las rectas rojas, una encima de la otra, de manera que la recta negra también se encime. Observa a contraluz los ángulos que forman las rectas rojas con la recta negra. c) Marca con el mismo color los ángulos iguales que se encuentran en las distintas partes de la figura cortada. d) Escribe qué relación hay entre los ángulos correspondientes. R. M. Todos los ángulos son iguales.

•• Compara tus conclusiones con las de un compañero. Si encuentran diferencias en las relaciones que indicaron, midan los ángulos con un transportador para verificarlas.

Trimestre 1

P

©

5. En parejas, completen las siguientes afirmaciones, relacionadas con los ángulos de la actividad anterior. a)

a5

c porque son ángulos: Son opuestos por el vértice.

b)

a5

e porque son ángulos: Son correspondientes.

iguales. c) Entonces las medidas de los ángulos alternos internos c y e son: Son  d)

f5

h porque son ángulos: Son opuestos por el vértice.

e)

h5

d porque son ángulos: Son correspondientes.

f) Entonces las medidas de los ángulos alternos externos f y d son: Son iguales. •• Comparen sus respuestas con las de sus compañeros y lleguen a un acuerdo acerca de la relación entre los ángulos alternos internos y los ángulos alternos externos.

62

6. Discutan en equipo si las relaciones que observaron en las actividades de la página anterior dependen de la posición de las rectas paralelas o de la posición de la transversal. Escriban sus conclusiones y compárenlas con la siguiente información. Ver solucionario

Ángulos alternos y correspondientes En una figura formada por dos rectas paralelas cortadas por una transversal:

ci ón

•• Los ángulos correspondientes miden lo mismo. •• Los ángulos alternos internos miden lo mismo. •• Los ángulos alternos externos miden lo mismo.

bu

¿Vamos bien?

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

Resuelve lo siguiente con base en lo que has aprendido. Al terminar, compara tus procedimientos y tus resultados con los de tus compañeros.

En las siguientes figuras, las rectas rojas son paralelas. Con base en la información de las construcciones geométricas, determina la medida de los ángulos marcados con letras. 130º

C

G

A

D

150º

H

E

B

F

85º

Escribe en tu cuaderno los argumentos que te llevaron a determinar cada medida. Ver solucionario

7. En equipo, lleven a cabo lo siguiente.

B

P E

C

P

A

F

Secuencia didáctica 7. Dos paralelas y una transversal

©

a) En una hoja blanca, tracen dos rectas secantes que se corten en un punto O. b) Sobre una de las rectas, localicen un punto P, distinto de O. Coloquen una regla sobre este punto y gírenla sin que deje de tocar el punto, como se muestra en la figura.

D G

O H

63

c) Observen el comportamiento de los ángulos correspondientes A y E conforme gira la regla. ¿Hay alguna posición de la regla en que el ángulo A mida menos que el ángulo E? Sí



e) ¿Hay alguna posición en que A y E midan lo mismo? ¿Cuál es esa posición? Sí, cuando la regla está de forma paralela a una de las rectas.

ci ón



d) ¿En alguna posición el ángulo A mide más que el ángulo E? Sí

f) Comparen ahora una pareja de ángulos alternos internos y contesten las preguntas anteriores. g) Hagan lo mismo para una pareja de ángulos alternos externos.

bu

•• Contrasten sus respuestas con la siguiente información.

Una condición para que dos rectas sean paralelas

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

Si en una figura formada por dos rectas cortadas por una transversal ocurre que los ángulos correspondientes son iguales, entonces las rectas son paralelas. Si los ángulos alternos internos son iguales o los ángulos alternos externos miden lo mismo, entonces las rectas deben ser paralelas.

8. Resuelve el problema.

Marco va a construir un estante triangular con tres repisas de acuerdo con el siguiente esquema.

25º

f

©

d g

b

c

a

95º

P

a) Si Marco quiere que las tres repisas sean paralelas, ¿cuánto deben medir los ángulos c y e? 85º



Trimestre 1

e

b) ¿Cuál debe ser la medida de los ángulos g y d? ángulo d 70º y ángulo g 110º

•• Discute tus respuestas y procedimientos con tus compañeros. 64

¿Qué aprendí? Trabaja los siguientes ejercicios y problemas. Al terminar, revisa tus procedimientos y tus resultados con ayuda de tus compañeros y tu profesor. 1. Observa la construcción y responde; argumenta tus respuestas. Considera que las rectas rojas son paralelas.

ci ón

c

d

f e

h g

bu

b

a

a) Escribe todos los ángulos que miden lo mismo que el ángulo a. h, e y c

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

b) Escribe todos los que miden lo mismo que el ángulo b. g,  fyd

c) Si a 5 104°, ¿cuánto miden los otros siete ángulos? Los ángulos h, e y c  miden 104º; los ángulos g, f, d y b miden 76º.

2. En la siguiente figura, las parejas de rectas L1 y L2, L3 y L4 son paralelas. Encuentra las medidas de todos los ángulos y justifica tu respuesta. Ver solucionario L4

L3

L2

b

c

n

l

o

f

60º

d

g

m

p

e

h

a) b)

P

©

3. En cada uno de los siguientes casos determina si las rectas L1 y L2 son paralelas. Argumenta tus respuestas. Ver solucionario

L1

L2

L2

129º 50º

L1 55º

Marca con una ✔ la casilla que describe tu desempeño. Contenido Identifico la relación entre los ángulos que se forman entre dos rectas paralelas cortadas por una transversal.

125º

A

Requiero ayuda para realizarlo.

B

Lo hago, pero en ocasiones necesito ayuda.

C

Lo hago de manera autónoma.

65

Secuencia didáctica 7. Dos paralelas y una transversal

k

i

Nivel de logro

j

L1

Midiendo interiores 1. Analicen los polígonos y contesten en parejas. E e

A a d

J

D F f

Glosario

h H

b c

K

g

C

k

M

l

L

bu

G

m

a) ¿Qué tienen en común estos polígonos? R. M. Los tres tienen 4 lados. 

b) ¿Cuáles son sus diferencias? R.  M. Sus lados tienen diferentes longitudes y sus ángulos no miden lo mismo.

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

polígono. Figura geométrica plana, limitada por tres o más segmentos de recta. Los segmentos de recta se llaman lados y los puntos donde se cortan se llaman vértices.

B

j

ci ón

8

Eje: Forma, espacio y medida Tema: Figuras y cuerpos geométricos Contenido: Determinas la suma de los ángulos interiores de triángulos y cuadriláteros.



c) ¿Cuánto miden los ángulos a, b, c y d? 90º

d) ¿Cuánto suman las medidas de los ángulos a, b, c y d? 

Trimestre 1

P

©

e) Utilicen su transportador para medir los ángulos de las otras dos figuras y escriban los datos en la tabla. Ángulo

Medida del ángulo (º)

e

60º

f

120º

g

60º

h

120º

j

115º

k

75º

l

125º

m

45º



f) ¿Cuánto suman las medidas de los ángulos e, f, g y h? 360º



g) ¿Y cuánto, las medidas de los ángulos  j, k, l y m? 360º

•• Comparen sus respuestas con las de sus demás compañeros. 66

2. Realicen en equipos lo que se indica. Al paralelogramo de la siguiente figura se le han prolongado los lados. Recuerden que un paralelogramo es un cuadrilátero que tiene pares de lados opuestos paralelos.

ci ón

cuadrilátero. Polígono de cuatro lados.

D 180º 2 d

d

A a

C

e

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

B

bu

c b

Glosario

Argumenten por qué son ciertas las siguientes igualdades.

a 1 d 5 180° y b 1 c 5 180° R.  M. Porque el ángulo d es congruente con el suplemento del ángulo a, análogamente, el ángulo c es congruente con el suplemento del ángulo b. b) a 5 e R.  M. Porque el ángulo e es alterno externo con el complemento de b, por lo que este último es alterno interno con el ángulo a. a)

 

c)

a 5 c R.  M. Porque el ángulo c es opuesto por el vértice con el ángulo e y se sabe que el ángulo a mide lo mismo que el ángulo e.

d)

b 5 d R. M. Porque el ángulo b es correspondiente con el suplemento del ángulo c y este a su vez es alterno interno con el ángulo d.

 

•• Comparen sus argumentos con el resto del grupo.

Ángulo interior

©

Secuencia didáctica 8. Midiendo interiores

Un ángulo interior —o ángulo interno— de un polígono es un ángulo formado por dos lados del polígono que comparten un vértice y que está contenido en el interior del polígono.

P

Un polígono tiene tantos ángulos interiores como vértices o lados.

67

3. Reúnete con un compañero, resuelvan y contesten. a) Calculen la suma de los ángulos interiores del paralelogramo de la actividad 2. La suma es igual a 360º.



b) ¿La suma que obtuvieron depende de las medidas de los lados de ese paralelogramo?  No, no depende de las medidas de la figura.

ci ón

•• Discutan sus respuestas y argumentos con el resto del grupo.

¿Vamos bien?

bu

Resuelve lo siguiente con base en lo que has aprendido. Al terminar, compara tus procedimientos y tus resultados con los de tus compañeros. En la siguiente imagen se trazó dos veces el paralelogramo ABCD. Calcula la medida de los ángulos.

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

A

40º

g

e





85º

f

55º

B

C

f 5 40º

e 5 85º

g 5 55º

A

k

h

j

20º

P

©

B

h 5 35º

C

j 5 125º

4. Realiza lo que se indica y contesta.

Trimestre 1

a) En una hoja blanca traza un triángulo cualquiera.

68

k 5 125º

D

D

b) Pinta de distinto color los ángulos interiores del triángulo y recórtalos como se muestra en la figura. b

c

ci ón

a

b

bu

c) Une las tres piezas por el vértice haciendo coincidir los lados y siguiendo el esquema que se muestra abajo.

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

a

d) ¿Cuánto suman las medidas de los tres ángulos? 180º 

•• ¿El resultado que obtuvieron depende de las longitudes de los lados del triángulo? Discute tus observaciones con el resto del grupo y lleguen a un acuerdo. 5. Realicen en equipo la siguiente actividad.

a) En una hoja blanca tracen un triángulo escaleno con dos lados rojos y uno azul. b) Prolonguen el lado azul y, por el vértice opuesto, tracen una línea paralela a él. c) Etiqueten los vértices del triángulo con letras mayúsculas y los ángulos interiores con letras minúsculas, como en la siguiente figura. A

e

a

Glosario triángulo escaleno. Triángulo con sus tres lados de distinta longitud.

d

b

B

c

c 5 d y b 5 e  EL segmento AB es una recta transversal que interseca a las rectas paralelas azules. Por lo que, b y e son alternos internos. El segmento AC cumple lo mismo que AB , por lo que d y c son alternos internos. e) Escriban el resultado de la suma d 1 a 1 e. 180º

P



d) ¿Por qué en el triángulo anterior se cumplen las siguientes igualdades?

 

f) ¿Cuánto suman las medidas de los ángulos interiores del triángulo ABC? 180º

69

Secuencia didáctica 8. Midiendo interiores

©

C



g) ¿Sucederá lo mismo con cualquier triángulo? Sí Argumenten su respuesta. Siempre que consideremos una recta con las condiciones del segmento AB, se formará un ángulo llano. h) Redacten una conclusión sobre la suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo. Para cualquier triángulo, la suma de sus ángulos interiores es 180º.

ci ón

•• Discutan sus respuestas y argumentos con el resto del grupo, y cuando lleguen a un acuerdo, compárenlo con la siguiente información.

Suma de ángulos interiores de triángulos y paralelogramos

bu

La suma de los ángulos interiores de cualquier paralelogramo es 360°. La suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es 180°.

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

¿Vamos bien?

Resuelve lo siguiente con base en lo que has aprendido. Al terminar, compara tus procedimientos y tus resultados con los de tus compañeros. Calcula la medida de los ángulos a, b, c, d y e en los siguientes triángulos. a

40º

b c

120º

35º

a 5 20º

b 5 125º

90º

c 5 55º

d

Trimestre 1

P

©

33º

70

d 5 75º

e

108º

e 5 72º

Para saber más Entra al sitio www.esant.mx/essema1-007. Activa la casilla “Animar”. ¿Cuánto suman los ángulos exteriores verdes del cuadrilátero? Comprueba tu respuesta en la casilla “Mostrar medidas”.

6. Analicen en equipo los siguientes cuadriláteros y contesten. E

D

F

H J

B

L

C G

K

a) ¿Alguno de ellos es un paralelogramo? Sí ¿cuál de ellos lo es? El cuadrilátero de color café

ci ón

A

I

bu

En caso afirmativo,

b) Tracen la recta AC en el polígono rojo. ¿En cuántos triángulos quedó dividido el

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

cuadrilátero ABCD? En dos triángulos

c) ¿Cuánto suman los ángulos interiores del triángulo ABC? 180º

¿Y los ángulos interiores del triángulo CDA?180º

d) ¿Cuánto suman los ángulos interiores del cuadrilátero ABCD? 360º



¿Por qué? Porque la suma de los ángulos interiores del cuadrilátero es igual a sumar los ángulos interiores de los dos triángulos formados al trazar AC

e) Tracen una diagonal en cualquiera de los otros dos cuadriláteros y calculen la suma de sus ángulos interiores. 360º 

f) Redacten una conclusión sobre la suma de los ángulos interiores de cualquier cuadrilátero. La  suma de los ángulos internos de cualquier cuadrilátero es igual a 360º.



•• Discutan sus respuestas y argumentos con el resto del grupo, y cuando lleguen a un acuerdo, compárenlo con la siguiente información.

Glosario diagonal. Segmento de recta que une cualquier par de vértices no consecutivos de un polígono.

Suma de ángulos interiores de cuadriláteros

Secuencia didáctica 8. Midiendo interiores

©

La suma de los ángulos interiores de cualquier cuadrilátero es 360º. D

P

d

A

c

a b

C

a 1 b 1 c 1 d 5 360º B

71

¿Vamos bien? Resuelve lo siguiente con base en lo que has aprendido. Al terminar, compara tus procedimientos y tus resultados con los de tus compañeros. Calcula la medida de los ángulos a y b del cuadrilátero.

33º

a

C

bu

121º

b

26º

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

26º

ci ón

A

B

D

a 5 33º

b 5 121º

¿Qué aprendí?

Resuelve los siguientes ejercicios y problemas. Al terminar, revisa tus procedimientos y resultados con ayuda de tus compañeros y tu profesor. Si encuentras errores, corrígelos. 1. ¿Cuánto miden los ángulos a y c en la siguiente figura?

c

Trimestre 1

P

©

a 5 58º

72

a

90º

32º

90º

c 5 148º

2. En la siguiente figura, las rectas rojas son paralelas. ¿Cuánto mide el ángulo a? 25º 

a 60º

33º

a 5 50º



b 5 20º

110º a

b

160º

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri



bu

3. Encuentra la medida de los ángulos a y b en cada uno de los siguientes triángulos.

ci ón

95º

25º

a 5 95º

b 5 60º 120º

b

360º

a

©

89º

b

75º

P

120º

d

e

c



a5



c5



b5



d5



e5

Marca con una ✔ la casilla que describe tu desempeño. Contenido Determino la suma de los ángulos interiores de triángulos y cuadriláteros. A

Requiero ayuda para realizarlo.

B

Lo hago, pero en ocasiones necesito ayuda.

C

Lo hago de manera autónoma.

73

Secuencia didáctica 8. Midiendo interiores

4. Encuentra las medidas de los ángulos a, b, c, d y e.

Nivel de logro

a

Resuelve los problemas. Con base en tus resultados, y con ayuda de tu profesor, identifica las secuencias correspondientes a los contenidos que debes repasar. 1. Analiza la situación y responde.

ci ón

Se lanzan tres dados y se calcula la suma de los puntos de las caras obtenidas. Por ejemplo, si se consiguen las caras: la suma es 5 1 1 1 3 5 9.

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

Probabilidad frecuencial 0.004 0.015 0.022 0.041 0.074 0.107 0.133 0.144

bu

Este experimento se repitió 270 veces y los resultados fueron los siguientes. Los valores de la probabilidad frecuencial están redondeados para facilitar su manipulación, pues algunos son decimales periódicos. Suma

Frecuencia

3 4 5 6 7 8 9 10

1 4 6 11 20 29 36 39

Suma

Frecuencia

11 12 13 14 15 16 17 18

39 26 24 18 9 6 1 1

Probabilidad frecuencial 0.144 0.096 0.089 0.067 0.033 0.022 0.004 0.004

a) ¿Qué división tuvo que hacerse para calcular la probabilidad frecuencial de que la suma sea 10? 39/270  b) ¿Cuáles son los tres resultados más probables de la suma? 9,  10 y 11 c) ¿Cuáles son los seis resultados menos probables de la suma? 3, 4, 5, 16, 17 y 18



2. Las siguientes figuras están formadas por rectas paralelas cortadas por una transversal. Encuentra las medidas de los ángulos. b

P

©

d) ¿Qué es más probable: que la suma sea menor que 8, o que sea mayor que 12? Es más probable que la suma sea más que 12.

a

Trimestre 1

c

a 5 104º 74

b 5 76º

58º 104º

e

c 5 76º

d

d 5 58º

e 5 122º

3. En la siguiente figura, las rectas m1 y m2 son paralelas, igual que las rectas r1 y r2. Numera del 1 al 7 los ángulos que son iguales al ángulo a y explica qué garantiza la igualdad en cada caso. Por ejemplo, 1 es igual que a porque son ángulos correspondientes. R. M.

c) d) e)

m2

3

2

1

4

7 5

a

r2

r1

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

f)

m1

ci ón

b)

internos 2 Alternos   3 Opuestos por el vértice  4 Correspondientes   por el vértice 5 Opuestos   6 Correspondientes  7 Correspondientes 

bu

a)

4. Determina la medida de los ángulos.

b

a

90º

27º

55º

a 5 63º 

60º

b 5 65º 

30º

40º

20º

d

c

15º

d 5 145º 

c 5 110º

5. En el siguiente cuadrilátero, los lados AB y DC son paralelos y también lo son los lados AD y BC. Encuentra la medida de los ángulos. Justifica tus respuestas. A

e

b 5 70º 

f

a

D

70º

e 5 70º

P

©

a 5 110º

f 5 110º

B

b

En la columna “Nota”, marca una ✔ en los reactivos que resolviste correctamente. Reactivo Nota Secuencia Páginas

110º C

•• Reflexiona sobre tus resultados y, con tu profesor, busca estrategias para fortalecer tus áreas de oportunidad.

1

6

48-53

2

7

58-65

3

7

58-65

4

8

66-73

5

8

66-73

75

9

Eje: Forma, espacio y medida Tema: Figuras y cuerpos geométricos Contenido: Analizas la existencia y unicidad en la construcción de triángulos y determinas los criterios de congruencia de triángulos.

Para ser congruente 1. Haz lo que se pide y contesta.

Construye, en tu cuaderno, un triángulo igual que el siguiente.

ci ón

C

B

A



que todos sus lados b) ¿Qué elementos consideraste para construirlo? Consideré  fueran iguales.

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

bu



a) ¿Cómo sabes que tu triángulo es idéntico al de la imagen? Porque calqué el triángulo.

dibujé la base, después c) Escribe el procedimiento que usaste para trazarlo. Primero  tomé un ángulo y a partir de este tracé otro lado. Finalmente, uní los dos extremos de  los segmentos para formar el triángulo, verificando que sus elementos fueran iguales. •• Compara tu procedimiento con los de otros compañeros de tu grupo. Si hubo procedimientos distintos del tuyo, explica las diferencias. 2. Lee el texto y contesta las preguntas de la siguiente página.

Lados y ángulos adyacentes

Si A, B y C son los vértices de un triángulo, a los lados se les denota con las dos letras de los vértices que los determinan. Por ejemplo, en el siguiente triángulo al lado en rojo se le denota como lado AB. C

c

A

a

©

b

B

P

A la pareja de lados que comparten un vértice se les llama lados adyacentes. En la figura anterior, AB y BC son lados adyacentes. A los ángulos interiores que forma un lado del triángulo con los lados adyacentes se les llama ángulos adyacentes. En el triángulo ABC, a y b son ángulos adyacentes al lado AB.

Trimestre 1

a) ¿Cómo se denota al lado verde del triángulo? Lado BC  76

b) Escribe una pareja de lados adyacentes distinta de la del ejemplo. Los lados AC y AB son lados adyacentes.

c) ¿Cuáles son los ángulos adyacentes al lado BC? Los ángulos b y c •• Compara tus resultados con los del resto del grupo. 3. Sigue las instrucciones y responde.

ci ón

En tu cuaderno traza un segmento AB de 8 cm de longitud. Con ayuda de tu transportador, en el extremo A traza una recta que forme un ángulo de 40° con el segmento y en el extremo B, traza otra recta que forme un ángulo de 100° con el segmento AB. Llama C al punto donde se cortan las líneas.

b  100º

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

a  40º 8 cm

bu

C

A

B

a) Compara tu triángulo con el de dos de tus compañeros. ¿Son diferentes?  No b) ¿Cuánto mide el ángulo interior en el vértice C?  40º c) ¿Cuánto miden los otros dos lados del triángulo? El lado AC mide 12.5 cm y el lado BC mide 8 cm. d) ¿Cuántos triángulos diferentes se pueden construir con estos datos?  R. M. Solo se puede formar un solo triángulo con las especificaciones dadas. •• Compara tus respuestas con las de tus demás compañeros. Si hay diferencias, discutan a qué se deben.

Triángulos congruentes

Dos triángulos ABC y A’B’C’ son congruentes si:

Secuencia didáctica 9. Para ser congruente

©

•• La longitud del lado AB es igual a la del lado A’B’, la del lado BC es igual a la del lado B’C’ y la del lado CA es igual a la del lado C’A’. •• El ángulo en el vértice A mide lo mismo que el ángulo en el vértice A’, el ángulo en el vértice B mide lo mismo que el ángulo en el vértice B’ y el ángulo en el vértice C mide lo mismo que el ángulo en el vértice C’. C c

C’

P

c’

b a A

B

A’

a’

b’ B’

A los lados AB y A’B’ (o BC y B’C’, CA y C’A’) se les llama lados correspondientes y a los ángulos a y a’ (o b y b’, c y c’) se les llama ángulos correspondientes. 77

De acuerdo con la medida de sus lados, el triángulo se clasifica en equilátero, con sus tres lados de la misma longitud; isósceles, con dos lados de igual longitud; y escaleno, con sus tres lados de distinta longitud.

Realiza lo siguiente con base en lo que has aprendido. Al terminar, compara tus procedimientos y tus resultados con los de tus compañeros. I. Traza en tu cuaderno un triángulo con las siguientes características escribe los datos que se piden en las tablas. Ver solucionario a) Uno de sus lados mide 7 cm y los ángulos adyacentes a ese lado miden 60°. Medida del tercer ángulo

Medida de los otros dos lados

Tipo de triángulo (de acuerdo a sus lados) obtenido

¿Tu triángulo es congruente con el de tus demás compañeros?

60°

7 cm

Equilátero



b) Uno de sus lados mide 8 cm y los ángulos adyacentes a ese lado miden 45° y 90°, respectivamente.

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

De acuerdo con la medida de sus ángulos, el triángulo se clasifica en rectángulo, con un ángulo de 90°; acutángulo, con sus tres ángulos internos menores que 90°; y obtusángulo, con un ángulo mayor de 90°.

¿Vamos bien?

ci ón

triángulo. Polígono de tres lados.

bu

Glosario

Medida del tercer ángulo

Medida de los otros dos lados

45º

8 y 11.31 cm

Tipo de triángulo ¿Tu triángulo es (de acuerdo a sus congruente con el de tus ángulos) obtenido demás compañeros? Isósceles



II. Responde y haz lo que se indica.

a) ¿Es posible construir un triángulo con un lado de 12 cm de longitud y ángulos adyacentes de 90° y 100° respectivamente? Traza en tu cuaderno el triángulo y explica lo que observaste. No 

b) ¿Es posible que la suma de dos de los ángulos interiores de un triángulo sea

En su cuaderno tracen un segmento AB de 10 cm de longitud; en el extremo izquierdo del segmento, tracen una recta que forme un ángulo de 55° con el segmento.

P

©

mayor que 180°? R. M. Cualquier triángulo que se construya cumple que la suma de los ángulos internos debe ser igual a 180º, por tanto, no se puede construir un triángulo con ángulos internos de 90º y 100º. 4. Haz lo siguiente con un compañero y respondan.

Trimestre 1

55º A

78

10 cm

B

a) ¿Pueden construir más de un triángulo con estos datos? Sí

En caso afir-

mativo, construyan dos y compárenlos con los de sus demás compañeros. b) Sobre la recta que pasa por el extremo izquierdo construyan un segmento AC de 8 cm de longitud. Unan los puntos B y C. c) Comparen el triángulo que obtuvieron con los de sus demás compañeros. d) ¿Cuánto mide el lado BC? 8.5 cm

ci ón

y 50º e) ¿Cuánto miden los otros dos ángulos del triángulo? 75º  f) ¿Cuántos triángulos diferentes se pueden construir con estos datos? R. M. Solo se puede construir uno. •• Discutan sus conclusiones con el resto del grupo.

bu

¿Vamos bien?

Realiza lo siguiente con base en lo que has aprendido. Al terminar, compara tus procedimientos y tus resultados con los de tus compañeros.

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

Construye en tu cuaderno un triángulo que tenga lados adyacentes de 3 cm y 4 cm de longitud y que formen entre sí un ángulo de 90°. Ver solucionario a) ¿Cuánto miden los otros ángulos del triángulo?  60º y 30º b) ¿Cuánto mide el tercer lado del triángulo?  5 cm

c) ¿Habrá otro triángulo con estas características que no sea congruente con el que construiste? No



Explica tu respuesta.  R. L.



5. Sigue las instrucciones y responde.

A

Secuencia didáctica 9. Para ser congruente

©

Traza en tu cuaderno un segmento AB de 6 cm de longitud. Utilizando tu compás, traza una circunferencia de 3 cm de radio con centro en el extremo A del segmento. Con centro en el extremo B, traza una circunferencia de 4 cm de radio.

B

P

AB  6 cm

a) ¿En cuántos puntos se cortan las circunferencias que trazaste? En  dos puntos b) Elige uno de los puntos donde se cortan las circunferencias y llámalo C. Une C con los extremos A y B del segmento. 79

c) ¿Cuánto mide el lado AC? 3 cm

¿Y el lado BC? 4  cm

y 26.38º d) ¿Cuánto miden los ángulos adyacentes al lado AB? 36.34º  e) ¿Cuánto mide el ángulo opuesto al lado AB? 

117.28º

f) Compara el triángulo que obtuviste con los de tus demás compañeros. ¿Obtuvieron triángulos congruentes? Sí

•• Discute tus conclusiones con el resto del grupo.

¿Vamos bien?

ci ón

g) ¿Cuántos triángulos diferentes se pueden construir con estos datos? Ninguno

bu

Realiza lo siguiente con base en lo que has aprendido. Al terminar, compara tus procedimientos y tus resultados con los de tus compañeros.

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

I. Construye en tu cuaderno un triángulo con lados de 8, 3 y 6 cm de longitud. Ver solucionario a) ¿Cuánto mide cada uno de los ángulos interiores del triángulo? 18.58º, 39.56º y 121.86º

b) ¿Con esos datos se podrá construir un triángulo que no sea congruente con el tuyo? Antes de responder, revisa la definición de triángulos congruentes. 

II. Construye en tu cuaderno un triángulo con lados de 6, 8 y 10 cm de longitud. Ver solucionario a) ¿Cuánto mide cada uno de los ángulos interiores del triángulo? 36.87º, 90º y 53.13º

b) ¿Con esos datos se podrá construir un triángulo que no sea congruente con el tuyo?



¿Por qué? 



P

©

6. Resuelve con un compañero la siguiente actividad y respondan. Cada uno trace en su cuaderno un triángulo. Sin mostrárselo a su compañero, le dará indicaciones para que construya un triángulo congruente al que trazó. a) ¿Qué datos requerirá su compañero para trazar el triángulo congruente? R. M. La longitud de todos los lados, o bien, la longitud de uno de los lados y el tamaño de los ángulos adyacentes a dicho segmento. b) ¿Tu compañero logró construir un triángulo congruente al tuyo?  Sí

Trimestre 1

Si hubo algún error, discutan en qué consistió y corríjanlo. c) Repitan el ejercicio cambiando los datos necesarios para construir un triángulo congruente. •• Discutan sus resultados y procedimientos con el resto del grupo. 80

Convivo en armonía

7. Reúnanse en equipos y hagan lo que se solicita. Analicen las construcciones realizadas en las actividades anteriores y, en sus cuadernos, describan tres procedimientos diferentes para construir un triángulo congruente a un triángulo dado.

los ángulos adyacentes a este segmento. Procedimiento 3, la medida de todos los ángulos interiores.

ci ón

¿Cuántos y cuáles datos se requieren en cada caso? R. M. Procedimiento 1, la longitud de todos los lados. Procedimiento 2, la longitud de un lado y la medida de

Valorar la diversidad de ideas de tus compañeros y aprender a llegar a acuerdos es muy importante para trabajar en equipo.

Criterios de congruencia de triángulos

bu

•• Discutan sus formulaciones con el resto del grupo y lleguen a un acuerdo sobre los tres distintos procedimientos. Después comparen sus respuestas con la siguiente información.

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

Para construir un triángulo de manera única se necesita conocer las longitudes de los tres lados o las longitudes de dos lados y la medida del ángulo comprendido entre ellos, o la longitud de un lado y la medida de los ángulos adyacentes a ese lado. Estos resultados permiten determinar si dos triángulos son congruentes, por esa razón se les llama criterios de congruencia de triángulos. Dos triángulos son congruentes entre sí si cumplen cualquiera de las siguientes condiciones:

•• Criterio lado-lado-lado (LLL). Cada uno de los lados de un triángulo mide lo mismo que el lado correspondiente en el otro triángulo.

•• Criterio lado-ángulo-lado (LAL). En uno de los triángulos, dos lados y el ángulo comprendido entre ellos miden lo mismo que los elementos correspondientes del segundo triángulo. •• Criterio ángulo-lado-ángulo (ALA). En uno de los triángulos, un lado y los ángulos adyacentes a él miden lo mismo que los elementos correspondientes del otro triángulo.

Secuencia didáctica 9. Para ser congruente

Tracen en su cuaderno un segmento AB de 12 cm de longitud. En el extremo A tracen una circunferencia de 4 cm de radio y en el extremo B, una circunferencia de 6 cm de radio. Una vez terminada la construcción, respondan argumentando sus respuestas. Ver solucionario a) ¿Las circunferencias que trazaron se cortan en algún punto? No 

P

©

8. Realicen en parejas lo que se pide.

b) ¿Por qué sucede eso? R. M. La suma de los radios de las circunferencias es menor que la longitud del segmento AB 81

c) ¿Es posible construir un triángulo con lados de 12, 4 y 6 cm? No 

Para saber más

d) ¿Es posible construir un triángulo con lados de 7, 5 y 14 cm? No e) Sumen las longitudes de dos de los lados y compárenla con la longitud del tercer lado. ¿Esta suma es mayor, menor o igual que la longitud del tercer lado? R. M. 7 + 5 = 12 y 12 es menor que 14.

ci ón

f) ¿Sucede lo mismo si suman las longitudes de otros dos lados y la comparan con la del otro? No, no sucede los mismo porque 7 + 14 = 28 y 28 es mayor que 5. •• Discutan sus respuestas con el resto del grupo y, una vez que hayan llegado a un acuerdo, comparen sus conclusiones con el siguiente texto.

La desigualdad del triángulo

bu

Entra en el sitio www.esant.mx/ essema1-008. ¿Son congruentes los triángulos? ¿Qué criterio de congruencia usaste? Mueve el punto d sobre el segmento y escribe lo que observes.

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

Para construir un triángulo es necesario que la suma de las longitudes de cualesquiera dos de sus lados sea mayor que la longitud del tercero. Es decir, si las longitudes de los lados se representan como a, b y c, entonces es necesario que: a 1 b . c,

a 1 c . b y b 1 c . a

A esta propiedad se le conoce como desigualdad del triángulo.

¿Qué aprendí?

Resuelve los siguientes ejercicios y problemas. Al terminar, revisa tus procedimientos y resultados con ayuda de tu profesor. Si encuentras errores, corrígelos. 1. Determina cuáles de los triángulos son congruentes y explica tus argumentos. a)

3

3

Trimestre 1

P

©

4

82

I

III

II

3

4

el criterio de  Los triángulos I, II y III son congruentes porque cumplen congruencia lado-ángulo-lado (LAL).

4

b) 10 10 IV

52º

52º

30º VI

30º V 52º

30º

el criterio de Los triángulos IV, V y VI son congruentes porque cumplen  congruencia lado-ángulo-lado (LAL).

ci ón

10

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

bu

2. Una empresa familiar manda a hacer estructuras tubulares de distintas medidas para montar sobre ellas carpas de lona o de plástico. Todas las carpas van a tener una altura fija, pero el triángulo superior variará para adecuarse lo mejor posible al lugar donde se instalarán.

La empresa solicitó los siguientes pedidos:

Pedido 1. Dos estructuras en las que el triángulo superior sea isósceles, con lados iguales de 2.5 m. Pedido 2. Dos estructuras en las que el triángulo sea escaleno y dos de sus lados midan 3 y 2.5 m.

Si no, construye en

c) Con los datos del pedido 2, proporciona dos longitudes para el tercer lado que sí formen un triángulo y dos que no formen un triángulo. Ver solucionario

P

©

tu cuaderno tres triángulos que cumplan esas condiciones.

d) ¿Qué otros datos necesitas para que quede definido un solo triángulo? Escribe todas las opciones que encuentres. La  medida del tercer lado

Contenido Analizo la existencia y unicidad en la construcción de triángulos y determino los criterios de congruencia de triángulos. A

Requiero ayuda para realizarlo.

B

Lo hago, pero en ocasiones necesito ayuda.

C

Lo hago de manera autónoma.

83

Secuencia didáctica 9. Para ser congruente

b) Si es así, ¿cuál debe ser la longitud del otro lado?

Marca con una ✔ la casilla que describe tu desempeño.

Nivel de logro

a) ¿Se puede formar solo un triángulo con los datos del pedido 1? No 

10

Eje: Forma, espacio y medida Tema: Figuras y cuerpos geométricos Contenido: Analizas la existencia y unicidad en la construcción de cuadriláteros y usas los criterios de congruencia de triángulos.

Lados, ángulos y diagonales 1. Reúnete con un compañero y hagan lo siguiente.

bu

ci ón

En una hoja blanca, construyan un cuadrado, un rectángulo, un rombo y un romboide de las dimensiones que quieran; después, coloreen los cuadriláteros con distintos colores y recórtenlos. Usen su juego de geometría para que los trazos sean precisos. Luego respondan.

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

sus lados miden lo mismo a) ¿Qué datos usaron para construir el cuadrado? Todos  y tienen 4 ángulos rectos. b) ¿Y para el rectángulo? Tiene dos lados iguales y paralelos, unos más grandes que sus otros dos lados, los pares de lados miden lo mismo y son paralelos entre sí. Tiene 4 ángulos rectos. los lados miden lo mismo, tiene c) ¿Qué datos usaron para trazar el rombo? Todos  dos pares de lados paralelos. Tiene dos ángulos agudos y dos obtusos.

h) En el cuadrado y el rectángulo está a la mitad de la distancia, mientras que en el rombo y el romboide está más cerca de dos de los vértices.

Glosario

P

©

paralelogramo. Cuadrilátero en el que lados opuestos son paralelos.

d) ¿Y el romboide? Sus dos lados más grandes son de la misma longitud y son paralelos entre sí, mientras que los otros son de menor tamaño, son paralelos entre sí y miden lo mismo. Tiene dos ángulos agudos y dos obtusos. e) ¿Cuáles ángulos del cuadrado miden lo mismo? Todos miden lo mismo. ¿Cuánto miden? 90º 

f) ¿Cuáles ángulos del rectángulo miden lo mismo? Todos miden lo mismo 90º ¿Cuánto miden? 

g) Marquen sobre el rombo y el romboide los ángulos que miden lo mismo. h) Tracen las diagonales en cada paralelogramo y observen el punto donde estas se intersecan. ¿Este punto está más cerca de alguno de los vértices o a la mitad de la distancia entre ellos?  Ver solucionario

¿En todas las figuras es igual? No

i) Corten con tijeras los paralelogramos por una de sus diagonales y comparen los lados y los ángulos de los triángulos que se forman. ¿Qué pueden decir de esos triángulos?  Para cada cuadrilátero, los triángulos que se forman son

Trimestre 1

congruentes entre sí. •• Comparen sus respuestas con las de sus compañeros y discutan las diferencias que encuentren. 84

2. Con base en la actividad anterior, completa las afirmaciones. a) Los lados opuestos de un paralelogramo miden lo  mismo

.

b) Los ángulos opuestos de un paralelogramo miden lo mismo c) Las dos diagonales de un paralelogramo se intersecan en la mitad

. .

ci ón

d) Los dos triángulos que se forman al cortar un paralelogramo por una diagonal son congruentes . •• Compara tus respuestas con las de un compañero y analicen si son equivalentes a la información de los siguientes enunciados.

Glosario

punto medio. El punto medio M de un segmento AB es el punto que se encuentra a la misma distancia de los extremos del segmento; es decir, la longitud del AM es igual que la longitud del MB.

bu

Propiedades de los paralelogramos En todo paralelogramo se cumple que:

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

•• Cada diagonal lo divide en dos triángulos congruentes. •• Las parejas de lados opuestos miden lo mismo. •• Las parejas de ángulos opuestos miden lo mismo. •• Las dos diagonales se intersecan en sus puntos medios.

3. En parejas, realicen las actividades y respondan.

Para afirmar que una propiedad se cumple en todo paralelogramo, no basta con observar que se cumple en un cierto número de figuras (aunque sean muchas). Las propiedades deben demostrarse, es decir, deducirse de razonamientos generales.

A

M

B

a) Tracen cualquier paralelogramo ACDB con diagonal AD. Llamen x, y, z y w a los ángulos alrededor de la diagonal, como se muestra en la figura. Observen que la diagonal es una transversal a las rectas que contienen a los lados paralelos AC y BD y que divide al paralelogramo en dos triángulos ADB y DAC. D

x

Secuencia didáctica 10. Lados, ángulos y diagonales

w

P

©

B

y z

C

A

85

b) Contesten lo que se pide para demostrar que los triángulos que se forman al dividir un paralelogramo por una diagonal son congruentes. dichos  ¿Por qué se puede afirmar que  x 5  z y que  y 5  w? Porque ángulos son alternos internos y la diagonal AD puede verse como una recta transversal para los lados BD y AC. ¿Cuáles son los ángulos adyacentes al lado AD en el triángulo ADB? x, y

ci ón

¿Cuáles son los ángulos adyacentes al lado AD en el triángulo DAC? w, z

Como el AD es un lado del triángulo ADB y también del triángulo DAC, ¿qué criterio de congruencia de triángulos se puede aplicar?  (ángulo-lado-ángulo)

ALA

bu

¿Cuál es la conclusión? Los triángulos ADB y DAC son congruentes.

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

c) Para argumentar que en todo paralelogramo los lados opuestos miden lo mismo, respondan lo siguiente. ¿Cómo son los lados correspondientes de dos triángulos congruentes? Son iguales, es decir, tienen la misma longitud. ¿Cuál es el lado correspondiente a AB? CD ¿Cuál es el lado correspondiente a BD? AC

¿Qué se concluye acerca de los lados opuestos de cualquier paralelogramo? Son paralelos a pares.

d) Para argumentar que en todo paralelogramo los ángulos opuestos miden lo mismo, respondan. En el inciso a se estableció que  x 5  z y que  y 5  w. ¿Qué se puede decir acerca de la relación entre  x 1  w y  y 1  z? Las sumas son iguales 2 2 4. Entonces, ¿cómo son los ángulos interiores en los vértices  A y D del parale-

iguales. logramo? Son 

Trimestre 1

P

©

Como los ángulos interiores de cualquier triángulo suman 180°, el ángulo interior

en el vértice B mide 180º 2  x 2  y. ¿Cómo se puede escribir la medida correspondiente al vértice C? 180º 2 z 2 w Se sabe que  x 5  z y  y 5  w, ¿qué se puede decir sobre los ángulos interiores en los vértices B y C? Miden lo mismo.

e) ¿Qué se concluye acerca de la medida de los ángulos opuestos en un paralelola misma medida. gramo? Tienen  •• Comparen sus respuestas con las del grupo y lleguen a un acuerdo. Asegúrense de entender cada argumento que se ha utilizado en la actividad.

86

¿Vamos bien? Realiza lo siguiente con base en lo que has aprendido. Al terminar, compara tus respuestas con las de tus compañeros. Encuentra las medidas de las longitudes de los lados y los ángulos señalados en el paralelogramo. n

w



 z 5 60º  w 5 120º

120º

ci ón

n 5 5 cm

z

bu

5 cm

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

4. Trabajen en parejas. Para demostrar que las diagonales de un rectángulo se cortan en sus puntos medios, hagan lo que se pide. Analicen el siguiente rectángulo al que se le han trazado sus dos diagonales AC y BD; O es el punto donde se cortan las diagonales. Observen que las diagonales son transversales a las rectas paralelas que contienen a los lados AD y BC del rectángulo. Luego respondan. A

e

D

h

O

B

f

g

C

a) ¿Cuáles son los ángulos adyacentes al lado BC en el triángulo BCO? fy g

Secuencia didáctica 10. Lados, ángulos y diagonales

b) ¿Cuáles son los ángulos adyacentes al lado AD en el triángulo DAO? ey h

alternos internos. d) ¿Y por qué son iguales los ángulos e y g? Son 

e) ¿Qué propiedad sobre paralelogramos recientemente mostradas garantiza que el

P

©

c) ¿Por qué son iguales los ángulos f y h? Son alternos internos.

lado BC del triángulo BCO mide lo mismo que el lado AD del triángulo DAO? Las parejas de lados opuestos miden lo mismo.

f) ¿Cuál criterio de congruencia garantiza que los triángulos BCO y DAO son congruentes? El  criterio ALA (ángulo-lado-ángulo) 87

g) ¿Cómo son las longitudes de los lados correspondientes de dos triángulos congruentes? Iguales h) Si los lados AO y OC miden lo mismo y los lados BO y OD también, ¿qué se puede afirmar de la ubicación del punto O? Es  el punto medio para las diagonales AC y BD. i) ¿Qué pueden concluir respecto al punto donde se cortan las diagonales? Es el punto donde las diagonales se cruzan.

ci ón

j) ¿Los argumentos que se utilizaron en este caso son exclusivos de un rectángulo o se pueden aplicar para cualquier paralelogramo? Expliquen su respuesta. No son exclusivos, se pueden aplicar a cualquier paralelogramo, pues la diagonal siempre va a dividir al paralelogramo en dos triángulos congruentes.

5. Reúnete con un compañero y hagan lo que se pide.

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

Para saber más

bu

•• Discutan sus respuestas con el resto del grupo y comparen sus resultados con el texto inicial de la siguiente página.

Entra en www. esant.mx/ essema1-009. Mueve los vértices del paralelogramo y escribe las medidas de las diagonales. ¿En alguna posición las diagonales miden lo mismo? ¿Qué paralelogramo es ese?

a) Si solo saben que los lados adyacentes de un paralelogramo miden 5 cm y 4 cm paralelogramos distintos de longitud, ¿cuántos pueden construir? Dos 

b) Tracen en su cuaderno dos paralelogramos distintos con lados que tengan esas longitudes. Ver solucionario c) Ahora cada uno de ustedes construya en su cuaderno un paralelogramo con lados adyacentes de 5 cm y 4 cm de longitud, pero de modo que el ángulo que formen esos lados mida 60°. ¿Los paralelogramos que construyeron son con-

gruentes? Sí ¿Cómo lo saben? Sus lados y ángulos correspondientes son iguales.

•• Discutan sus respuestas con el resto del grupo.

6. Trabaja la siguiente actividad con tres compañeros.

Trimestre 1

P

©

Cada uno trace dos paralelogramos cuyos lados midan 5 cm de longitud. Ver solucionario a) ¿Los paralelogramos que construyeron son congruentes? No tiene cuatro ángulos rectos b) ¿Cuáles son sus diferencias y sus semejanzas? Uno  y el otro paralelogramo no tiene ningún ángulo recto. Todos sus lados miden 5 cm. c) ¿Cómo saben si son o no congruentes? Por  la forma que tienen. d) Escriban en su cuaderno una lista de datos que se deben conocer para construir un paralelogramo único.

•• Discutan sus respuestas con el resto del grupo. Si hay diferencias, lleguen a un acuerdo.

88

Paralelogramos congruentes Dos paralelogramos son congruentes si las longitudes de dos lados adyacentes correspondientes miden lo mismo y los ángulos comprendidos entre esos lados adyacentes correspondientes miden lo mismo.

ci ón

¿Qué aprendí? Resuelve los ejercicios. Al terminar, revisa tus procedimientos y resultados con ayuda de tus compañeros y tu profesor.

bu

1. Construye un paralelogramo que tenga uno de sus lados de 5 cm de longitud y que forme con el lado adyacente un ángulo de 50°. j M

m g

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

f

l

n

p

¿Hay más de un paralelogramo con estas características? Explica tu respuesta. R. M. Sí, podemos construir un rombo, donde todos sus lados tengan la misma

longitud, o bien, construir un romboide teniendo la libertad de elegir la longitud de los dos lados que no miden 5 cm y que son opuestos.

2. Traza un segmento AC de la longitud que quieras. Localiza su punto medio y llámalo M. Traza un segmento BD transversal a AC, de la longitud que quieras, pero que también tenga a M como su punto medio. Une los puntos A, B, C y D.

C

©

A

M

Marca con una ✔ la casilla que describe tu desempeño. Contenido Analizo la existencia y unicidad en la construcción de cuadriláteros y uso los criterios de congruencia de triángulos.

¿Qué clase de cuadrilátero es el que tiene como vértices a los puntos A, B, C y D? Justifica tu respuesta. Puede ser un cuadrado, un rectángulo, un rombo o bien un

romboide. Todos los cuadriláteros anteriores tienen una característica en común: sus diagonales se intersecan en sus puntos medios.

Nivel de logro

P

B

A

Requiero ayuda para realizarlo.

B

Lo hago, pero en ocasiones necesito ayuda.

C

Lo hago de manera autónoma.

89

Secuencia didáctica 10. Lados, ángulos y diagonales

D

Paralelogramos

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

bu

ci ón

Abre una hoja de GeoGebra. Coloca el cursor en “Vista Gráfica”. Para ocultar los ejes, colócate sobre ellos y da clic derecho en la opción “Ejes” (imagen 1). Es recomendable que antes de iniciar esta actividad, te familiarices con las funciones del programa. Practica trazando rectas, segmentos, triángulos, polígonos, paralelas, perpendiculares, puntos de intersección, etcétera.

Imagen 1

1. Construye un paralelogramo siguiendo estos pasos.

a) Traza un segmento AB. Localiza un punto C que no pertenezca la recta que pasa por AB. Traza el segmento AC. b) Traza una paralela al segmento AB que pase por el punto C. Para ello, elige la opción “Paralela” en el cuarto icono (imagen 2) y da clic en el segmento AB y enseguida en el punto C. De la misma manera, traza una paralela al segmento AC que pase por B.

Trimestre 1

P

©

c) Para definir el cuarto vértice del paralelogramo, elige la opción “Intersección” del segundo icono (imagen 3) y selecciona cada una de las paralelas para definir el punto de intersección.

Imagen 2 90

Imagen 3

d) Elige la opción “Polígono” en el quinto icono y selecciona los puntos A, B, D y C. Para cerrar el polígono, selecciona nuevamente el punto A. Puedes ocultar las rectas auxiliares y las etiquetas dando clic derecho sobre lo que quieras ocultar y eligiendo las opciones “Objeto visible” y “Etiqueta visible”.

ci ón

e) Para marcar uno de los ángulos internos del paralelogramo, elige la opción “Ángulo” (del octavo icono) y enseguida selecciona los lados adyacentes al vértice correspondiente en el sentido contrario a las manecillas del reloj.

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

bu

f) Ahora elige la opción “Distancia o Longitud” en el octavo icono y elige los segmentos adyacentes al ángulo, señalando con el ratón sus extremos.

Imagen 4

• Anota el valor del ángulo que señalaste y el vértice al cual corresponde. R. M. 113°.

¿Cuánto mide el ángulo opuesto a ese vértice? R.  M. Mide lo mismo, 113°.

• ¿Cuánto mide cada uno de los otros dos ángulos interiores del paralelogramo?

R.  M. Cada uno mide 67°.

• ¿Cuánto miden los lados opuestos a los que señalaste? R. M. Uno mide 2.7 y otro, 3.9 unidades. • ¿Cuántos cuadriláteros se pueden construir dando las longitudes de dos lados adyacentes y el ángulo comprendido entre ellos? R. M. Solo uno.

©

Ahora, siguiendo estos pasos, construye un paralelogramo con dos lados adyacentes de la misma longitud que los del primer cuadrilátero que construiste y con el ángulo comprendido entre ellos de la misma medida que el de tu cuadrilátero original.

P

g) Selecciona “Punto” en el segundo icono y señala un punto E fuera del cuadrilátero ABDC. Con la herramienta “Semirrecta” del tercer icono, traza una semirrecta que parta de E (imagen 5).

Imagen 5 91

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

Imagen 6

bu

ci ón

h) Elige la opción en el noveno icono y selecciona la semirrecta y el punto E. Aparecerá un recuadro (imagen 6), borra el número que aparece y en el pequeño recuadro de la derecha elige el ángulo a (ángulo comprendido entre los lados AB y AC del paralelogramo ABDC). Presiona “OK”.

i) Para copiar las longitudes de los lados AB y AC del cuadrilátero ABDC, utiliza la herramienta “Compás” del sexto icono (imagen 7). Señala cada segmento (primero uno y luego el otro) y arrastra la circunferencia que aparece hacia el punto E. j) Con la herramienta “Intersección” señala el punto donde cada circunferencia corta a la semirrecta (una para la distancia AB y otra para la distancia AC). Si quieres, oculta las circunferencias. k) Traza paralelas a las semirrectas que pasen por los puntos G y H, encuentra su punto de intersección J y traza el polígono con vértices E, G, J y H (imagen 8).

P

©

Imagen 7

Imagen 8

Trimestre 1

l) Mueve los vértices del paralelogramo ABDC y observa qué sucede con los lados y ángulos de los dos paralelogramos. ¿Qué puedes afirmar respecto a los paralelogramos ABDC y EGJH ? 92

2. Construye dos cuadriláteros siguiendo estos pasos: a) Abre una nueva ventana de GeoGebra y oculta los ejes. Construye un cuadrilátero usando la opción “Polígono” del quinto icono.

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

bu

ci ón

b) En el segundo icono, selecciona la opción “Medio o Centro” y señala un lado del cuadrilátero para encontrar su punto medio. Repite lo anterior para cada uno de los lados.

Imagen 9

c) Traza un nuevo cuadrilátero cuyos vértices sean los puntos medios del cuadrilátero original ABCD.

Imagen 10

• ¿Cómo son los pares de lados opuestos del cuadrilátero EFGH? R. M. Paralelos e iguales 

• ¿Cómo son las parejas de ángulos opuestos del cuadrilátero EFGH?R. M. Iguales  • ¿Qué clase de cuadrilátero es EFGH? R. M. Es un paralelogramo.

P

©



• Mueve los vértices del cuadrilátero ABCD. ¿Se siguen cumpliendo las características que observaste en el cuadrilátero EFGH? Sí 

Verifica tus respuestas midiendo los lados y los ángulos del cuadrilátero EFGH con las funciones correspondientes de GeoGebra. 93

Elige la opción correcta. Con base en tus resultados, identifica los contenidos que necesitas repasar para mejorar tu desempeño. 1. ¿Cuál es el número indicado por el punto rojo? 1

2 B) 2.95

C) 1.95

D) 1.095

ci ón

A) 0.95

2. Al salir de la escuela, Memo viajó en bicicleta 1.8 km para llegar a casa de Luisa. De ahí, recorrió

33 de km más hasta llegar a su casa. ¿Cuál de las siguientes parejas re18

presenta correctamente la longitud de los recorridos que hizo Memo? 10

33

B)  5 y 18 de km

C)  1.8 y 1.83 km

3. El número decimal que corresponde a la fracción B) 15.4.

4. Dos números que están entre A) 0.8 y 0.81.

B)

33

17 es… 11

C) 1.54.

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

A) 1.54.

8

D)  5 y 18 de km

bu

A) 1.8 y 1.83 km

5 y 1 son… 6 7 8 . y 12 12

C)

16 17 . y 18 18

D) 1.54.

D)

10 11 . y 12 12

5. Se arma el cubo y luego se lanza 240 veces como si fuera un dado. El número aproximado de veces que se obtiene el 5 es… 1

5

5

2

6 1

A) 40.

B) 80.

C) 20.

D) 60.

©

6. En la siguiente construcción, las rectas rojas son paralelas. ¿Cuál es la medida del ángulo a?

P

135º

a

A) 35° 94

B) 65°

C) 45°

D) 135°

1

7. ¿Con cuál de las siguientes ternas de longitudes no es posible construir un triángulo? A) 1, 3 y 6

B) 3, 4 y 5

C) 6, 7 y 9

D) 10, 9 y 9

8. ¿Cuál es la medida del ángulo x en el paralelogramo?

ci ón

128º

x

B) 52°

C) 28°

D) 128°

bu

A) 60°

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

9. ¿Cuáles de estos triángulos son congruentes?

63.4º

6 cm

6 cm

4 cm

II

6 cm

III

I

4 cm

A) II y III

B) I y II

63.4º

41.4º

C) I y III

4 cm

D) I, II y III

10. Los segmentos AB y CD miden lo mismo. ¿Qué paralelogramo puede tener como diagonales a estos segmentos? D

©

B

P

90º

M

A C

A) Rectángulo

B) Rombo

C) Romboide

D) Cuadrado 95

Resuelve los problemas. Con base en tus resultados, identifica los contenidos que necesitas repasar para mejorar tu desempeño. 1. Ubica el 1 en la recta de manera que la longitud del segmento rojo represente el 0.05.

1

ci ón

0

2. En A hay una papelería y en C, una farmacia. Marca con un punto B la posición de la

tienda de abarrotes, si se sabe que la distancia de la papelería a la tienda de abarrotes 2 de la distancia entre la papelería y la farmacia. 5

A

bu

es

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

B

3. Ordena de menor a mayor las fracciones 3 4 5 3  1  10 5 4 2

C

4 5 3 3 , , , y 1. 5 4 2 10

4. Un lado de un jardín en forma de triángulo isósceles mide 6.3 m y los lados iguales 23 todos los miden de m cada uno. Calcula el perímetro del jardín. Sumamos  4

lados del triángulo, entonces 5.75  5.75  6.3  17.8. El jardín tiene un perímetro

de 17.8 metros.

P

©

5. Se hace girar 400 veces la flecha de la ruleta, ¿aproximadamente cuántas veces se obtendrá cada color?

a) Azul: 150 96



b) Verde: 150



c) Rojo: 100

1

6. Encuentra las medidas de los ángulos a y b. Ver solucionario

a

b

ci ón

124º

135º

Justifica tu respuesta. 

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

bu

7. Para medir la distancia entre dos árboles, indicados por A y B, que se encuentran separados por una laguna, los habitantes de un poblado colocaron una estaca en un punto C. Localizaron dos puntos  A’ y B’ de tal manera que los segmentos de recta AA’ y BB’ tienen a C como su punto medio.

A

B

C

B’

A’

Los pobladores afirman que la distancia entre los árboles es la misma que la distancia entre los puntos A’ y B’. Explica por qué tienen razón. . La razón es que los triángulos que se forman serán congruentes , por el criterio LAL, ya que dos lados dos lados correspondientes son iguales y el ángulo comprendido entre ellos también es igual.

©

8. En la herrería de Héctor están construyendo una reja con el siguiente diseño.

108º

P

a

¿Cuánto debe medir el ángulo a? 72º  97

ci ón bu S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri P

©

Edificio de la Bolsa Mexicana de Valores. En el área de la economía, los números negativos se utilizan para representar pérdidas o deudas.

98

Entremos a la espiral

Resolverás problemas que involucren partes de partes. Para ello, usarás multiplicaciones de fracciones. También ampliarás el manejo de las operaciones aritméticas haciendo multiplicaciones y divisiones con números decimales. Conocerás la jerarquía de las operaciones y aprenderás a modificarla usando paréntesis. Volverás a calcular porcentajes y valores faltantes en relaciones de proporcionalidad directa, pero con problemas más complicados que los que viste en primaria.

bu

¿Te acuerdas del área y el perímetro de una figura plana? Aquí volverás a trabajarlos, pero ampliando tu conocimiento acerca de cómo calcularlos en muy diversas figuras, incluyendo el perímetro de un círculo.

ci ón

¡Bienvenido a tu segundo trimestre! Aquí conocerás los números negativos y aprenderás a localizarlos en la recta numérica. Calcularás sumas y restas que involucren tanto números positivos como negativos.

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

En este trimestre darás un paso importante al construir expresiones algebraicas para describir sucesiones. En estas expresiones, la clave está en usar letras para representar números, por ejemplo, usar n para indicar cualquier número natural.

No olvides revisar nuevamente esta sección al final del trimestre para que verifiques que hayas alcanzado los conocimientos que aquí se describen.

Los números negativos

Los números negativos turbaron a muchos matemáticos, quizá porque en su tiempo no tuvieron a su disposición una interpretación geométrica y, además, las reglas para operar con ellos eran más extrañas. Los números negativos se representan con puntos, en una línea recta, situados a la izquierda del 0 (o abajo del 0 si la línea es vertical). Su utilidad era incuestionable y fueron usados con bastante libertad a partir de 1650. Pero como su fundamentación lógica no estaba clara, algunos matemáticos propusieron justificaciones para no utilizarlos y otros protestaron por su uso. Entre los estudiosos que aceptaron los números negativos está Leonhard Euler, el matemático más prominente del siglo XVIII, que escribió uno de los principales textos de álgebra de todos los tiempos. Euler justificaba la operación de restar −b como equivalente a la de sumar b porque “cancelar una deuda es lo mismo que dar un obsequio”.

P

Colport / Alamy / Latinstock.com.mx

©

Jean Le Rond D’Alembert, uno de los grandes intelectuales de la Ilustración, criticó severamente el uso de los números negativos. En un trabajo sobre estos, manifestó: “Si un problema conduce a una solución negativa, quiere decir que una parte de la hipótesis era falsa, pero se tomó como verdadera”. Otra tendencia fue tratar de evitarlos. Un matemático inglés, el barón Francis Masères, que desarrolló un tratado importante sobre la teoría de los seguros de vida, publicó el trabajo Sobre el uso del signo negativo en álgebra. En esa obra, trataba de mostrar que no es necesario usar los números negativos, excepto para indicar la sustracción de una cantidad mayor de otra menor, sin desarrollar la operación.

Leonhard Euler 99

La economía de los países depende, en parte, de sus exportaciones (lo que se vende al extranjero) y sus importaciones (lo que se compra al extranjero). La diferencia entre las exportaciones y las importaciones mide, en cierta manera, el estado de la economía del país. Si las exportaciones son mayores que las importaciones, se tiene un excedente o superávit comercial, mientras que si las importaciones son mayores que las exportaciones, se tiene una perdida o déficit comercial. En la siguiente tabla se muestra el monto de las exportaciones e importaciones de tres países durante 2016. Exportaciones (en millones de dólares)

País

México

373 929.6

Importaciones (en millones de dólares)



S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

Date tiempo para conocer la diversidad de características e intereses de tus compañeros. Respetar y valorar esta diversidad te permitirá mantener una convivencia armónica, al tiempo que enriquecerá tus opiniones y tu conocimiento.

1. Reúnete con un compañero y respondan después de leer la información.

ci ón

Convivo en armonía

¿Menor que cero?

bu

11

Eje: Número, álgebra y variación Tema: Adición y sustracción Contenido: Identificas y localizas números con signo en la recta numérica. Utilizas los números simétricos y el valor absoluto.

387 064.5

Argentina



61 027.9



58 779.1

Alemania



1 415 259.8



1 115 123.9

Fuente: SAT, SE, Banxico, Inegi. Balanza Comercial de Mercancías de México (1993-2016). SNIEG. Información de Interés Nacional. Revista Expansión. www.datosmacro.com (consulta: 25 de julio de 2017).

a) ¿Entre qué valores de la recta numérica ubicarías el monto de las exportaciones de Argentina? Entre 60 000 y ¿Y el de las importaciones? Entre 40 000 y 50 000 70 000 0

10 000 20 000 30 000 40 000 50 000 60 000 70 000 Millones de pesos

b) ¿Cuáles de los países de la tabla tuvieron déficit comercial y cuáles tuvieron superávit? México tuvo déficit, mientras que Argentina y Alemania tuvieron superávit.

©

c) Si un país tiene un déficit de 1 000 000 000 de dólares y otro tiene un superávit de 1 000 000 000 de dólares, ¿cómo representarían los datos para que quede clara la diferencia entre estas dos situaciones? R. L.

P

•• Discutan su propuesta con el resto del grupo y lleguen a un acuerdo. 2. Reúnete con un compañero y respondan después de leer la información.

Trimestre 2

En las tablas de la siguiente página se encuentran representadas (en grados Celsius) las temperaturas máximas y mínimas de algunas ciudades del mundo en algunos meses. 100

Máxima (ºC) Mínima (ºC)

Enero

Febrero

27 3

Marzo

28 4

Diciembre

27 7

27 7

Nueva York

Enero

Febrero

Marzo

Diciembre

Máxima (ºC) Mínima (ºC)

4 3

6 2

Montreal

Enero

Febrero

Marzo

Diciembre

Máxima (ºC) Mínima (ºC)

4 12

3 10

3 5

1 7

7 0

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

bu

10 2

ci ón

Ciudad de México

EdnaM / iStock / Getty Images Plus / www.gettyimages.es

La unidad internacional de medida de la temperatura es el grado Celsius, cuyo símbolo es °C. Cero grados Celsius (0 °C) es la temperatura a la que se congela el agua a nivel del mar. Si las temperaturas son mayores que 0 °C, se dice que son temperaturas sobre cero y si son menores que 0 °C, se dice que son temperaturas bajo cero. Así, por ejemplo, 15 °C es una temperatura de 15 grados sobre cero y −5 °C es una temperatura de 5 grados bajo cero.

a) ¿En qué mes la temperatura mínima es más baja en cada ciudad? Localiza estas temperaturas en el termómetro. 

b) ¿Cuál es la más baja de todas las temperaturas de las tablas? –12 °C ¿En qué ciudad se registró? En Montreal c) ¿Hace más frío cuando la temperatura es 3 °C o cuando es 3 °C? Cuando es 23 °C.

d) ¿Hace más frío cuando la temperatura es 7 °C o cuando es 10 °C? Cuando es 210 °C.

e) Si localizamos en la recta numérica dos números distintos, ¿cómo sabemos cuál de ellos es el menor? Es menor el que se localiza más a la izquierda. f) En la siguiente recta numérica, marquen con un punto rojo la temperatura máxima de Nueva York en el mes de enero. 2

3

4

5

6

7

8

Secuencia didáctica 11. ¿Menor que cero?

1

g) ¿Hay alguna diferencia entre esta última temperatura y la máxima de Montreal ese mismo mes? Hay 8 grados de diferencia. Aunque ambas se ubiquen a la en  misma distancia de cero, una es positiva y la otra es negativa. ¿Dónde localizarían en la recta numérica la temperatura máxima de Montreal en

P

©

0

el mes de enero? A 4 unidades a la izquierda del cero

•• Discutan sus respuestas y procedimientos con el resto del grupo y lleguen a un acuerdo sobre cómo representar los números negativos en la recta numérica. Comparen su acuerdo con el texto de la siguiente página. 101

Números con signo Para representar cantidades menores que cero se usan los números negativos. Estos números se escriben anteponiendo un signo menos, por ejemplo 3, 4.7 o 

1 . 3

ci ón

Los números mayores que cero se llaman números positivos y no es necesario escribir el signo 1 antes de ellos. En la recta numérica, los números negativos se ubican a la izquierda del cero (o abajo del cero si la recta está en posición vertical) y los positivos a la derecha del cero (o arriba del cero).

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

bu

Por ejemplo, en la siguiente recta numérica, el número negativo 22 se ubica dos unidades a la izquierda del cero, mientras que el número positivo 2 se ubica dos unidades a la derecha del cero.

0

2

2

1 0 21

En la recta numérica vertical, el número negativo 1 se localiza una unidad abajo del cero y el número positivo 1 está una unidad arriba del cero. A los números negativos y positivos se les llama números con signo.

3. Reúnete con un compañero y hagan lo que se pide.

En la recta numérica están localizados los números 2, 5, 4, 2, 5 y 6. F

E

D

C

B

A

0

a) Escriban el número que corresponda a cada letra.

P

©

A5

B5

C5

D5

Trimestre 2

F5

b) ¿Cuál de los números está más lejos del cero?  c) ¿Cuál está más cerca del cero? 

d) ¿Alguna pareja de números está a la misma distancia del cero (independientemente de si está a la derecha o a la izquierda)?     En caso afirmativo, ¿cuáles son esos números? 

•• Comparen sus respuestas con las de sus compañeros. 102

E5

4. Haz lo que se pide. En la siguiente recta numérica están ubicados los puntos A, B, C, O, P, Q y R. Mide la distancia de O a cada uno de los puntos y responde. P

Q

R

O

A

B

C

ci ón

a) ¿Qué parejas de puntos tienen la misma distancia al punto O? Los  puntos R y A están a la misma distancia de O. También los puntos P y C están a la misma distancia de O. b) ¿Cuáles segmentos tienen al punto O como punto medio? RA y PC

c) Si al punto O le asociaras el cero, ¿qué número le asignarías a cada uno de los puntos P, Q, R, A, B y C? P  5 26, Q 5 23.5, R 5 22, A 5 2, B 5 3 y C 5 6

V T

O

U X

W

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

Y

bu

d) En la siguiente recta numérica señala puntos U, V y W que tengan la misma distancia a O que los puntos T, X y Y.

e) Si al punto O le asociaras el cero, ¿qué número le asignarías a cada uno de los puntos Y, T, X, U, V y W? Y  5 25, T 5 22, X 5 2.5, U 5 2, V 522.5 y W 5 5

•• Discute tus respuestas y procedimientos con tus compañeros.

Valor absoluto

El valor absoluto de un número x se define como la distancia del número al cero, sin importar si el número está a la derecha o a la izquierda del cero, y se representa así: | x |. Por ejemplo: | 25 | 5 | 5 | 5 5, | 2

3 3 3  | 5 |   | 5 , | 22.47 | 5 | 2.47 | 5 2.47 2 2 2

Decimos que dos números que tienen el mismo valor absoluto son simétricos. Por ejemplo, 3.14 y 23.14 son simétricos, pues están a la misma distancia del 0.

Secuencia didáctica 11. ¿Menor que cero?

©

¿Vamos bien?

Resuelve con base en lo que has aprendido. Al terminar, compara tus procedimientos y tus resultados con los de tus compañeros. 1

P

Localiza en una recta numérica los números 4, 1.5, 2 y . 2 4 ¿Cuál está más cerca del cero?     1/2 a) ¿Cuál de ellos está más lejos del cero?   

b) Localiza en la misma recta el simétrico de cada punto. ¿Cuál de ellos está más lejos 24 21/2       del cero?          ¿Cuál está más cerca del cero?   

103

5. Reúnete con un compañero y hagan lo que se pide. 1

En sus cuadernos, dibujen una recta numérica y localicen los números 2, , 3, 1.5, 0.5. 4 Ver solucionario a) ¿Cuál es el menor de estos números positivos?  1/4   ¿Cuál es el mayor?  3   

3 ¿Cuál de ellos tiene mayor valor absoluto?       ¿Cuál tiene menor valor absoluto? 1/4

ci ón

b) ¿Qué relación observan entre el valor absoluto de dos números positivos y el orden entre ellos? R.  M. El valor absoluto respeta el orden, es decir, si 0 , a , b entonces |a| , |b|. En la misma recta numérica, localicen los números negativos 2, 

1 , 3, 1.5, 0.5. 4

23 c) ¿Cuál es el menor de estos números?      ¿Cuál es el mayor? 21/4

bu

23 ¿Cuál de ellos tiene mayor valor absoluto?      ¿Cuál tiene menor valor absoluto? 21/4 

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

d) ¿Qué relación observan entre el valor absoluto de dos números negativos y el orden entre ellos? R.  M. El valor absoluto invierte el orden cuando los números son negativos, es decir, si a , b , 0 entonces |a| . |b|. e) Comparen en su recta numérica los números 2 y 0.5. ¿Cuál de ellos es mayor? 0.5

•• Discutan sus conclusiones con las del resto del grupo.

Para saber más

Ingresa al sitio www.esant.mx/ essema1-010 y haz lo que se pide para localizar y ordenar números con signo en la recta numérica.

Orden entre números con signo

Recuerden que el número a es menor que el número b si al localizarlos una recta numérica horizontal a queda a la izquierda de b. En tal caso, escribimos a  b. Si por el contrario, a queda a la derecha de b, entonces a es mayor que b, situación que representamos como a  b. Si a y b son dos números positivos, el mayor de ellos es el que tiene mayor valor absoluto, es decir, el que está más lejos del cero.

ab

Trimestre 2

P

©

0

b

a

Si a y b son dos números negativos, el menor de ellos es el que tiene mayor valor absoluto, es decir, el que está más lejos del cero.

a,b

a

b

0

Entre dos números con distinto signo, el menor es siempre el negativo.

104

¿Qué aprendí? Resuelve los ejercicios y problemas. Al terminar, revisa tus procedimientos y resultados con ayuda de tus compañeros y tu profesor.

Monto en pesos

A

12 500

B

8 700

C

5 450

D

10 200

E

5 500

bu

Distribuidora

ci ón

1. Una empresa vende autopartes a varias distribuidoras y registra semanalmente cuánto le pagó cada una por los artículos que le envió.

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

a) ¿Cuáles distribuidoras le deben dinero a la empresa? Las distribuidoras B, D y E b) ¿Cuál de ellas le debe más dinero? La D c) ¿Cuál le debe menos? La  E

d) ¿Cuáles distribuidoras le pagaron a la empresa? Las  distribuidoras A y C

e) ¿Cuál de las distribuidoras le pagó menos? La  C

2. En la siguiente recta, ubica un punto O cuya distancia a A sea la misma que a B. A

B

a) Si le asignaras el número cero al punto O, ¿qué número le asignarías a los puntos A y B? A 5 22 y B 5 2

3. Escribe el simétrico de cada número.

d) 0.5:  20.5  

1 21/5 e) :    5

4. Encuentra el valor absoluto de los números.

P

a) |  3.8 | 5 3.8   b) | 4.5 | 5 4.5   c) |  2

1  | 5 1/4   d) | 0 | 5 0   4

2 3

Identifico y localizo números con signo en la recta numérica. Utilizo los números simétricos y el valor absoluto.

e) |   | 5 2/3  

5. Ordena los números de menor a mayor. 5.3, 1.7, 0.51, 

Contenido

1 , 4.3 2

25.3 ,      21/2 ,      1.7 4.3 20.51 ,           ,     

Nivel de logro

b) 2.4:  2.4 

©

a) 3.7:  23.7  

1 c)  :  1/4  4

Marca con una ✔ la casilla que describe tu desempeño.

A

Requiero ayuda para realizarlo.

B

Lo hago, pero en ocasiones necesito ayuda.

C

Lo hago de manera autónoma.

105

Secuencia didáctica 11. ¿Menor que cero?

b) Localiza en esa misma recta numérica los dos puntos cuyo valor absoluto es 3.

12

Eje: Número, álgebra y variación Tema: Adición y sustracción Contenido: Resuelves problemas de suma con números enteros, fracciones y decimales positivos y negativos.

¿Más o menos? 1. Reúnete con tres compañeros y hagan lo que se pide.

5

−2

−1

0

1

3

2

bu

−3

ci ón

Por turnos, cada integrante del equipo lanza dos dados, uno azul y uno rojo. En un tablero como el siguiente, partiendo de la casilla de salida 0, mueve a la derecha una ficha (o un papelito con su nombre) tantos lugares como puntos indique el dado azul y hacia la izquierda tantos puntos como indique el dado rojo. Por ejemplo, si el dado azul indicó 5 puntos y el dado rojo indicó 3 puntos, se mueve la ficha cinco lugares a la derecha de la casilla de salida y, partiendo de ahí, tres lugares a la izquierda.

3

4

5

6

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

Si no tienen dados, pueden meter en una bolsa seis papelitos azules numerados del 1 al 6 y en otra bolsa seis papelitos rojos numerados del 1 al 6. Sin ver, sacan un papelito de cada bolsa. a) Después de lanzar una vez cada dado, registren los resultados que obtuvieron en una tabla como la siguiente: Nombre

Puntos en el dado azul

Puntos en el dado rojo

Posición final

Alumno 1

5

3

2

Alumno 2

1

4

3

Alumno 3

b) ¿Quién quedó más lejos de la casilla de salida? R.  L.

¿Qué resultados obtuvo en los dados?        ¿Quedó a la derecha o a la izquierda de la casilla de salida? 

R. L. c) ¿Alguno terminó en la casilla de salida?           ¿Cómo deben ser

Trimestre 2

P

©

los números que aparecen en cada dado para terminar en la casilla de salida? Escriban todos. Para regresar a la casilla de salida debe resultar ser iguales: 1 y 1, 2 y 2, 3 y 3, 4 y 4, 5 y 5, 6 y 6.

d) Escriban todos los resultados que pueden aparecer en los dados para terminar en

la casilla 3. Para ayudarse, construyan en su cuaderno un diagrama de árbol.  1 y 4, 2 y 5, 3 y 6.

e) ¿Cuáles son todos los resultados que llevarían a quedar en la casilla 2? Para ayu darse, construyan en su cuaderno un diagrama de árbol.  6 y 4, 5 y 3, 4 y 2, 3 y 1. Ver solucionario •• Discutan sus respuestas con el resto del grupo.

106

2. Reúnete con un compañero y hagan lo que se pide. Por turnos vuelvan a lanzar los dados que usaron en la actividad 1, pero ahora registren los resultados del dado rojo como números negativos y los del dado azul como números positivos, como en el siguiente ejemplo. Puntos en el dado azul 3

Puntos en el dado rojo 2

Posición final

Realicen 10 lanzamientos iniciando cada vez en el punto de partida. a) ¿En cuántos lanzamientos la posición final fue una casilla positiva? R. L.

ci ón

Nombre

bu

¿En esos casos era mayor el valor absoluto del resultado del dado azul (positivos) o del dado rojo (negativos)? El valor absoluto del resultado del dado azul b) ¿En cuántos lanzamientos la posición final fue una casilla negativa? R.  L.

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

¿En esos casos era mayor el valor absoluto del resultado del dado azul (positivos) o del dado rojo (negativos)? El valor absoluto del resultado del dado rojo

•• Comparen sus respuestas con las del resto del grupo y, si hay diferencias, lleguen a un acuerdo. 3. Lee el texto y realiza lo que se pide.

La suma de números con signo se puede representar en la recta numérica mediante desplazamientos. Si el sumando es positivo, el desplazamiento se hace hacia la derecha y si el sumando es negativo, el desplazamiento se hace hacia la izquierda. El desplazamiento del segundo sumando se inicia en el punto donde terminó el primero. En las operaciones de números con signo, se acostumbra escribir los negativos entre paréntesis, para distinguirlos del signo de la operación.

Sobre las rectas numéricas, representa las siguientes sumas de números con signo y escribe el resultado:

Secuencia didáctica 12. ¿Más o menos?

©

a) 3 1 4 5 7

0

P

b) 7 1 (1) 5 6

0

c) (4) 1 8 5 4 0 107

25   d) (22) 1 (3) 5    0 e) 3 1 (25) 5 22

4. Responde lo siguiente.

ci ón

0 •• Compara tus respuestas con las de tus demás compañeros y, si hay errores, corrígelos.

12 a) 7 1 5 5      El signo del resultado de la suma es: Positivo

bu

214 b) (3) 1 (11) 5     El signo del resultado de la suma es: Negativo 3 c) Encuentra el resultado de la suma (4) 1 7 5       ¿Qué signo tiene el resultado? Positivo         ¿Cuál de los sumandos tiene mayor valor absoluto: el positivo o el negativo? El  positivo

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

29 d) Encuentra el resultado de la suma 5 1 (14) 5       ¿Qué signo tiene el resultado? Negativo         ¿Cuál de los sumandos tiene mayor valor absoluto: negativo el positivo o el negativo? El 

7 e) Encuentra el resultado de la suma (13) 1 20 5       ¿Qué signo tiene Positivo el resultado?       ¿Cuál de los sumandos tiene mayor valor absoluto: el positivo o el negativo? El  positivo

220 f) Encuentra el resultado de la suma 53 1 (73) 5       ¿Qué signo tieNegativo ne el resultado?          ¿Cuál de los sumandos tiene mayor valor

Convivo en armonía

Trimestre 2

P

©

Cuando tus compañeros y tú tengan ideas o argumentos distintos, analiza y comprende lo que quieren comunicar. Esto facilitará la discusión de sus ideas para llegar a un acuerdo.

absoluto: el positivo o el negativo? Negativo 

•• Compara tus respuestas con las de tus demás compañeros y, si hay diferencias, encuentra el error y corrígelo. 5. Trabajen en equipo.

a) ¿Qué signo tiene la suma de dos números positivos? Positivo b) ¿Qué signo tiene la suma de dos números negativos? Negativo c) Considerando el valor absoluto de los sumandos, describan en qué casos la suma de un número positivo y uno negativo da como resultado: Cuando el valor absoluto del número positivo es mayor •• un número positivo que el valor absoluto del número negativo. •• cero Cuando el valor absoluto del número positivo es igual que el valor absoluto del número negativo. •• un número negativo Cuando el valor absoluto del número negativo es mayor que el valor absoluto del número positivo.

•• Discutan sus respuestas con el resto del grupo y, si hay diferencias, lleguen a un consenso. Después comparen su acuerdo con el texto de la siguiente página. 108

Suma de números positivos y negativos Para sumar dos números del mismo signo (ambos positivos o ambos negativos), se suman sus valores absolutos; el resultado tiene el mismo signo que los sumandos.

Por ejemplo, para efectuar la suma (11) 1 7, restamos el valor absoluto de 7 al valor absoluto de 11: | 11 |  | 7 | 5 11  7 5 4.  Como el sumando con mayor valor absoluto es 211, el signo que le corresponde al resultado es negativo. Es decir:

bu

(11) 1 7 5 4.

ci ón

Para sumar dos números de signos contrarios, se resta el de menor valor absoluto al de mayor valor absoluto; el signo de la suma es el del sumando con mayor valor absoluto.

¿Vamos bien?

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

Resuelve los siguientes ejercicios con base en lo que has aprendido. Al terminar, compara tus procedimientos y tus resultados con los de tus compañeros. Localiza en la recta numérica los resultados de las parejas de sumas y escríbelos. a) 7 1 5 5 12



y 5 1 7 5 12

b) (8) 1 (3) 5 211



y (3) 1 (8) 5 211

c) (4) 1 9 5 5



y 9 1 (4) 5 5

d) 2 1 (2) 5 0



y (2) 1 2 5 0

¿El orden de los sumandos afecta al resultado?  No

6. Sobre las rectas numéricas, representa las siguientes sumas de números con signo y escribe el resultado:

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

0

0.5

1

1.5

2

Secuencia didáctica 12. ¿Más o menos?

−1

b) (0.4)  (−0.5)  20.9

P

©

a) 2.1  (3.2)  21.1

−1

−0.5

109

c) 1.6  (1.8)  20.2

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

•• Compara tus respuestas con las de tus compañeros y, si hay errores, corrígelos.

ci ón

7. Responde lo siguiente. a) ¿Qué signo tiene el resultado de la suma 1.5  (6.8)?  Negativo

¿Cuál de los sumandos tiene mayor valor absoluto: el positivo o el negativo?  Negativo



bu

b) Encuentra el resultado de la suma 5.01  (10.82)   25.81

Negativo ¿Qué signo tiene el resultado?        ¿Cuál de los sumandos tiene mayor valor absoluto: el positivo o el negativo?  Negativo 3.8)  (

9.2) sea un número nega-

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

c) Si se quiere que el resultado de la suma (

tivo, ¿a cuál de los sumandos le debes colocar el signo menos? En el de mayor valor absoluto •• Compara tus respuestas con las de tus compañeros y, si hay diferencias, discutan a qué se deben y lleguen a un acuerdo. 8. Reúnete con un compañero y resuelvan los problemas.

a) La señora Rodríguez debía $1 280.50 a la tienda de artículos electrodomésticos. Hizo un pago de $348.80 y luego otro de $410.60. Representa la deuda como un número negativo y los pagos como números positivos y responde. ¿Cuál era el monto de la deuda después del primer pago?  $931.70 ¿Cuál es el monto de la deuda después del segundo pago?  $521.10

b) Un buzo se encuentra a 15.8 m bajo el nivel del mar. Para subir a la plataforma de su barco, debe ascender 17.6 m.

Si se representa la profundidad a la que se encuentra el buzo con un número ne-

Trimestre 2

P

©

gativo, ¿a qué altura sobre el nivel del mar se encuentra la plataforma del barco?  A 1.8 m

c) Como parte de la búsqueda de yacimientos petroleros, un taladro mecánico perfora la corteza terrestre a razón de 8.5 m cada hora. Si se representa la profundidad a la que se encuentra la punta del taladro mediante un número negativo, ¿a qué profundidad se halla después de dos horas de trabajo? A –19 m ¿Y después de tres horas?  A –25.5 m

•• Discutan sus respuestas con el resto del grupo y, si encuentran errores, corríjanlos. 110

9. Reúnete con un compañero y hagan lo que se pide. a) Escriban el resultado de la suma

4 2 1  3 3

2/3 5       ¿Cuál de los su-

mandos tiene mayor valor absoluto? El positivo ¿Cuál es el signo del resultado? Positivo

b) ¿Cuál es el signo de la suma

1 3 Negativo 1  ?       ¿Por qué?  2 4

 Porque el sumando de mayor valor absoluto tiene signo negativo.

c) ¿Cuál es el signo de la suma 

3 5 Negativo ¿Por qué?  1  ?       8 4

 Porque ambos sumandos son negativos.

d) Si se quiere que el resultado de la suma

1

1 sea negativo, ¿a cuál 8

A 1/7 de los sumandos se le debe colocar el signo menos?      ¿Por qué?  Porque es el de mayor valor absoluto.

bu



1 7

ci ón



S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

•• Discutan sus respuestas con las de otro equipo y si detectan errores corríjanlos.

¿Vamos bien?

Resuelve los siguientes ejercicios con base en lo que has aprendido. Al terminar, compara tus procedimientos y tus resultados con los de tus compañeros. 1. Escribe el resultado de las sumas.

3  5 4 b) (9.72)  (3.47) 5 – 13.19 f)  9 1 c) (8.22)  7.14 + (1.7) 5 – 2.78 g)  6 2 d) 11.492  (21.49) + (5.9) 5 –15.898 h)  7

a) (4.5)  3.7 5 – 0.8



e)

3 10 5  6 2  6 3  7



5 3/10

5 –7/18

3 5 7/12 4 5   5 –9/14 10



2. Sin efectuar las sumas escribe cuál es el signo del resultado.

3 1 a) 12.9  (10.7): Positivo c)    : Negativo

Secuencia didáctica 12. ¿Más o menos?

©

4 2 1 1 b) (1.45)  (3.5): Negativo d)   : Negativo 4 8

10. Reúnete con un compañero, analicen la información y respondan en su cuaderno.

P

La abuelita de Guillermo tiene una tienda de frutas y verduras; para tener actualizado su inventario, decidió anotar los pedidos que debe entregar en la semana, pero una vez anotados ya no supo calcular si tiene suficiente mercancía o si debe comprar más a sus proveedores. Le pidió ayuda a Guillermo, quien encontró la información de la siguiente página.

111

Producto

Existencias (kg)

Pedidos (kg)

23

3 4

28

1 2

Aguacate

12

1 4

17

3 4

Cebolla

21

1 2

23

3 4

Manzana

15

1 4

19

1 2

Melón

24

3 4

25

1 4

ci ón

Jitomate

Ver solucionario a) ¿Tiene suficiente mercancía o debe comprar más a sus proveedores?

bu

b) ¿Qué cantidad de cada producto debe solicitar la abuelita de Guillermo?

¿Qué aprendí?

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

Resuelve los siguientes ejercicios y problemas. Al terminar revisa tus procedimientos y tus resultados con ayuda de tu profesor. Si encuentras errores, corrígelos. 1. Haz las sumas de números con signo.

5 3 1 1  1 5 27/8 8 4 2 2 4 1 b) 3 1 (2) 5 1 i)  1  1 5 29/5 3 3 5 3 7 c) (3) 1 2 5 21 j)  1 0.4 1  5 26/10 10 10 2 3 d) 3.51 1 (3.45) 5 0.06 k) 1  1  3 5 210/7 7 2 14 15 e) (11.6) 1 (9.18) 5 220.78 l) (0.6) 1  1 0.34 5 20.41 100 3 7 1 1 f)  1  5 244/15 m) 1  1 (0.25) 5 20.2 5 3 4 5 22 1 g) (18.4) 1 (20.6) 1 (6.9) 5 245.9 n) (0.35) 1  1 5 20.01 50 10

a) 9 1 (5) 5 4

h) 

Trimestre 2

P

©

2. En una calculadora estándar, oprime las teclas indicadas y escribe los resultados que obtengas: a)

9

1

5

 5 4

b

3

1

2

 5 1

c)

3

 1

2

5 21

Compara los resultados con los de los incisos a, b y c del ejercicio anterior. Usa la calculadora para obtener las sumas de los incisos d y e. 112

Ingresos

Gastos

Saldo

Angélica

$5 508.20

$3 256.80

$2 251.40

Lucía

$4 324.60

$2 075.50

2$2 249.10

Rodolfo

$6 152.90

$8 146.40

2$1 993.50

David

$7 401.90

$5 347.50

$2 054.40

Mariana

$3 000.00

$4 250.50

2$1 250.50

bu

Nombre

ci ón

3. En la siguiente tabla están registrados los ingresos y los gastos de cinco personas durante un mes. Determina si cada persona tuvo pérdidas o ganancias durante ese mes y escribe el resultado en la columna “Saldo”.

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

a) ¿Qué significan los saldos positivos? Que no hay deudas b) ¿Y los negativos?  Que hay deudas o no hubo ganancia

4. Un paciente ingresó a un hospital a las 8:30 con una temperatura de 39.1 °C. ¿Qué temperatura tenía a las 10:00 y a las 11:00 de acuerdo con los datos de la tabla? Hora

9:00

9:30

10:00

10:30

11:00

Cambio de temperatura (°C)

10.5

10.25

20.75

21.05

20.6

  Temperatura a las 11:00: 37.45 °C

Temperatura a las 10:00: 39.1 °C

5. Coloca los números enteros faltantes en el siguiente esquema. Los números de cada círculo se encuentran sumando los números de los dos círculos adyacentes del renglón debajo de él. Por ejemplo, el 27 del segundo nivel es la suma del 24 y el 23 de los dos círculos adyacentes del tercer nivel.

216

P

4

4

28

22

26

213

3

27

10

6

217

Contenido Resuelvo problemas de suma con números enteros, fracciones y decimales positivos y negativos.

Nivel de logro

©

7

Marca con una ✔ la casilla que describe tu desempeño.

11

A

Requiero ayuda para realizarlo.

B

Lo hago, pero en ocasiones necesito ayuda.

C

Lo hago de manera autónoma.

113

Secuencia didáctica 12. ¿Más o menos?

223

13

Eje: Número, álgebra y variación Tema: Adición y sustracción Contenido: Resuelves problemas de resta con números enteros, fracciones y decimales positivos y negativos.

Sumas que restan 1. Analiza los datos y haz lo que se indica. La siguiente tabla contiene las temperaturas máxima y mínima por mes en la ciudad de Moscú, Rusia. Ene. Feb. Mar. Abr. May. Jun. Jul. Ago. Sep. Oct. Nov. Dic.

Máx. (°C)

−6

−4

1

9

17

21

22

20

Mín. (°C)

−12

−11

−6

1

7

11

13

11

ci ón

Mes

14

7

0

−4

6

1

−4

−9

m

0

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

M

bu

a) Localiza en la siguiente recta numérica las temperaturas máxima y mínima del mes de diciembre. Marca con M la temperatura máxima y con m la mínima.

¿Cuántas unidades hay entre los puntos que marcaste? 5 unidades

b) Haz lo mismo con las temperaturas máxima y mínima del mes de marzo. m

0

M

¿Cuántas unidades hay entre los puntos que marcaste? 7 unidades

c) ¿En cuál de los dos meses anteriores la diferencia entre la temperatura máxima y la mínima fue mayor? En marzo

•• Compara tus respuestas con el resto del grupo. Si hay diferencias, discutan a qué se deben y, en caso necesario, corrige tus errores. 2. Reúnete con un compañero y realicen lo que se indica.

a) Usen flechas para representar en la siguiente recta numérica la suma 8 1 (22).

P

©

0

¿Cuál es el resultado de la resta 8 2 2? 6

¿Hay alguna diferencia con

el resultado de la suma 8 1 (22)? No, son iguales.

b) Ahora representen la suma 10 1 (27).

Trimestre 2

0 ¿Hay alguna diferencia entre el resultado de la suma 10 1 (27) y el de la resta 10 2 7? No 114

c) Para determinar el resultado de la resta 2 2 5, representen en la recta numérica los desplazamientos correspondientes a la suma 2 1 (25). 0 ¿Cuál es el resultado de la resta 2 2 5? 23

ci ón

d) Determinen el resultado de la resta 23 2 1 representando la suma 23 1 (21) en la siguiente recta numérica. ¿Cuál es el resultado? 24 0

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

Resta de números positivos y negativos

bu

•• Comparen sus resultados con las demás parejas. Después lean el siguiente texto y coméntenlo con su profesor.

Dos números que tienen el mismo valor absoluto, pero tienen signos distintos, se llaman simétricos. Si a y b son números con signo, la resta a 2 b equivale a la suma a 1 (2b), donde 2b es el simétrico de b. Ejemplos: •• La resta 23.4 2 7.2 es igual a la suma 23.4 1 (27.2), pues 27.2 es el simétrico de 7.2: 23.4 2 7.2 5 23.4 1 (27.2) 5 16.2 •• La resta 18 2 (24) es igual a la suma 18 1 4 ya que 4 es el simétrico de 24: 18 2 (24) 5 18 1 4 5 22 •• La resta 25 2 6 es igual a la suma 25 1 (26) porque 26 es el simétrico de 6: 25 2 6 5 25 1 (26) 5 211

3. Lee el texto y responde.

La maestra de Matemáticas de Agustín les dictó a sus alumnos las siguientes operaciones para que las realizaran en el cuaderno: “Once menos menos cinco” y “Veintiuno menos menos uno”. Agustín escribió lo siguiente: 21 2 21 5

Secuencia didáctica 13. Sumas que restan

©

11 2 25 5

a) ¿Cuál fue el error de Agustín al escribir las operaciones? No utilizó paréntesis.

b) ¿Cuál crees que es la mejor forma de distinguir el signo del número del signo de

P

la operación de resta? R. M. Utilizando paréntesis para diferenciar entre el signo de la resta y el signo del número. c) Escribe las restas usando el criterio que decidiste en el inciso anterior y anota su resultado. 11 – (– 5) = 16 21 – (–1) = 22

•• Discute con el resto del grupo tu propuesta y lleguen a un acuerdo sobre la forma de distinguir el signo del número y el signo de la operación resta. 115

4. Haz lo siguiente. a) Escribe los números que se indican. Simétrico de 8: 28

Simétrico de 21: 1

Simétrico de 2.5: 22.5

Simétrico de 2

Simétrico de 20.9: 0.9 5 5/4 : 4

Simétrico de 7 : 27/3 3

ci ón

b) Escribe las restas como sumas y encuentra el resultado. 3 2 8 5 3 1 (28)

5 25



26 2 (22) 5 26 1 2

5 24

1 2 (20.9) 5 1 1 9

5 10



24 2 2.5 5 241 (22.5)

5 26.5



16 7 2 5 16/3 1 (27/2) 5 11/6 3 2

bu

5 3 2 2 5 3/2 1 5/4 5 11/4 4 2

•• Discute tus respuestas con el resto del grupo. Lleguen a un acuerdo y corrijan errores.

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

5. Reúnete con un compañero y hagan lo que se pide.

José tiene una papelería y cada semana registra sus ingresos y sus gastos (o egresos) en pesos; estos los escribe como números negativos. En la tabla aparece una parte de los datos de cinco semanas. Semana

Ingresos

Gastos (egresos)

1

1 356.00

2841.50

2

1 472.60

21 649.20

3 4

5

2746.80

1 265.00

21 049.70

Saldo

127.30 2349.20 223.80

a) ¿Qué operación necesitan realizar para obtener el saldo de cada semana? Una suma; los ingresos más los gastos representados como números negativos

Trimestre 2

P

©

pesos b) ¿Cuál fue el saldo de la primera semana? 514.5  ¿Tuvo pérdidas o ganancias? Tuvo ganancias.

pesos c) ¿Cuál fue el saldo de la segunda semana? 2177.2  ¿Tuvo pérdidas o ganancias? Tuvo pérdidas.

d) ¿Cuáles fueron sus ingresos durante la tercera semana? 874.1 pesos e) ¿Cuáles fueron sus egresos durante la cuarta semana? 21  614.2 pesos f) ¿Cuáles fueron sus ingresos durante la quinta semana? 1 025.9 pesos

•• Comparen sus respuestas y procedimientos con los del resto del grupo y, si hay diferencias, encuentren el error y corríjanlo. 116

¿Vamos bien? Resuelve lo siguiente con base en lo que has aprendido. Compara tus respuestas con las de tus compañeros.

a) En una escuela de Chihuahua, un día de invierno la temperatura en el patio era de 23 °C, y en el interior del salón de clase era de 16 °C. ¿Cuál era la diferencia de temperaturas entre el interior y el exterior?

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

bu

b) El mes pasado, el café El Puerto tuvo ingresos de $6 000 y gastos de $4 500, mientras que el café La Placita tuvo, durante el mismo periodo, ingresos de $5 600 y gastos de $5 850. La ganancia es la diferencia de ingresos menos gastos. ¿Cuál de los negocios tuvo mayor ganancia?

ci ón

Resuelve los problemas.

6. Reúnete con dos compañeros y hagan lo que se pide. a) Representen en la recta numérica la resta 5 2 3.

0

b) Discutan cómo representarían la resta 5 2 (23). ¿Puede tener la misma representación que la resta 5 2 3? ¿Cuál creen que sea la diferencia?  No. R. M. La

dirección de la flecha que representa el minuendo (la roja) debe ser distinta, pues

en 5 2 (23) se resta un numero negativo y en 5 2 3 se resta un número positivo.

c) Representen en la recta numérica las restas 26 2 3 y 26 2 (23).

Convivo en armonía Al trabajar en equipos puedes proponer tantas ideas como se te ocurran, pero también escucha las sugerencias de tus compañeros. Puede ser que estas se complementen y, juntos, logren una mejor estrategia de solución.

0

Secuencia didáctica 13. Sumas que restan

26 23

d) Comparen la representación de la resta (26) 2 (23) con la de la suma (26) 1 3 y escriban sus observaciones. R. M. En ambas representaciones la punta final

P

©

26 2 (23)

de la segunda flecha llega al mismo punto, 3, que es el resultado de ambas operaciones.

•• Comparen sus resultados con los de los demás equipos. Después lean el siguiente texto y coméntenlo con su profesor. 117

minuendo y sustraendo. En la resta a 2 b, el término a se llama minuendo y el término b se llama sustraendo. Por ejemplo, en la resta 10 2 6, 10 es el minuendo y 6 el sustraendo.

Representación de la resta en la recta numérica Como observaron en la actividad anterior, la resta de números con signo también se puede representar en la recta numérica mediante desplazamientos. Primero se señala el desplazamiento correspondiente al minuendo y luego se marca el del sustraendo avanzando en sentido contrario al signo del sustraendo. Por ejemplo, la resta 8 2 5  3 se puede representar como sigue: 8 2(5)

3

8

bu

0

ci ón

Glosario

Observa que para representar la resta es necesario invertir el sentido del movimiento del sustraendo.

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

Por ejemplo, como ya habíamos visto antes, un desplazamiento de 23 unidades (que puede pensarse como la resta 0 − 3 = − 3) se representa de la siguiente manera: 23

0

23

Pero un desplazamiento de 2 (23) unidades se representa como sigue, pues − (−3) es el simétrico de −3 y los números simétricos se encuentran en lados opuestos del 0. 2(23)

0

Para saber más

7. Representa las restas en la recta numérica y escribe el resultado. a) 9 2 5 5 4

Trimestre 2

P

©

Ingresa al sitio www.esant.mx/ essema1-011 y practica la suma y resta de números con signo resolviendo las operaciones que aparecen.

0

b) 10 2 4 5 6

0

118

3

c) (23) 2 7 5 210 0 d) 2 − (− 0.5) 5 2.5 1

2

ci ón

0 e) (− 1.5) − 3.5 5 25 -4

-3

-2

-1

0

•• Discute tus respuestas y observaciones con el resto del grupo. 8. Reúnete con un compañero y resuelvan los problemas.

bu

-5

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

a) Un helicóptero sobrevuela una bahía a 304.6 m de altura mientras un submarino se encuentra a 451.5 m bajo el nivel del mar (−451 .5 m). ¿Cuál es la distancia entre ambos artefactos cuando el helicótero pasa por encima del submarino? 756.1 metros

b) En una nave industrial, un congelador se encuentra a −6.2 °C. Si la temperatura ambiente en la nave industrial es de 23.4 °C, ¿cuál es la diferencia de temperaturas?  29.6º C

c) Cierta ciudad amaneció un día de enero con una temperatura de −13.3 °C y dos horas después la temperatura era de −10.8 °C. ¿De cuánto fue el incremento de temperatura? De 2.5º C

d) Los ingresos y los gastos (de lunes a viernes) de una tienda de abarrotes están descritos en la tabla. Calcula el saldo diario de la tienda y completa la tabla.

4 109.60

Pago a proveedores ($) –2 349.00

Pago a empleados ($) –440.00

1 320.60

Martes

3 846.20

–6 350.50

–440.00

22 944.30

Miércoles

2 345.50

–1 200.80

–440.00

2 184.70

Jueves

4 202.70

–3 749.90

–440.00

12.80

Viernes

5 060.90

–6 349.00

–440.00

21 728.10

Lunes

P

Saldo($)

Secuencia didáctica 13. Sumas que restan

Ventas ($)

©

Día

¿Cuál es el saldo al final de esos cinco días? 2$1 154.30

•• Comparen sus respuestas con las de otro equipo y, si detectan errores, discutan a qué se deben y corríjanlos. 119

¿Qué aprendí? Trabaja los ejercicios y problemas. Al terminar, revisa tus procedimientos y resultados con ayuda de tus compañeros y tu profesor. 1. Realiza las restas de números con signo. a) (226) 2 (253) 5 27

e) (2876.54) 2 (2933.19) 5 56.65

b) 54 2 (2262) 5 316

f)

c) (2329) 2 (2423) 5 94 d) 39 2 (287) 5 126

ci ón

2 3 2 2 5 21/12 3 4 3 2 g) 2 2 5 17/12 4 3 5 7 h) 2 2 5 222/27 9 27

2

bu

2. Encuentra el número faltante en cada caso.

14.2 5 117.6 c) 103.4 2   

264 5 212 a) 276 2   

27.5 215.4 52 22.9 e)   

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

1 4 1/2 2 2 1 b) 276    2 (213) 5 263 d) 2 2 21/3    5 2 f)    9

9

6

5

2 3

3. La distancia entre dos puntos en la recta numérica se define como el valor absoluto de la diferencia entre dichos números. Por ejemplo, la distancia entre los puntos 25 y 4 se encuentra haciendo la resta 4 2 (25) y obteniendo el valor absoluto del resultado. Calcula la distancia que hay entre las siguientes parejas de números: a) 5 y 8 3



b) 10.6 y 22.3 12.9

4 5 67/56 y 7 8 11 2 d) 2 y 2  1/12 36 9

c) 2



4. Utiliza los datos de la recta numérica para calcular las distancias solicitadas. 2.5 1.8

P

©

A

B

OC

a) De A a D: 5.2



c) De B a C: 2.1

b) De A a B: 0.7



d) De B a D: 4.5

Trimestre 2

2.7 D

e) De C a D: 2.4

5. Resuelve los problemas y escribe las operaciones que realizaste. a) Un buzo debe sumergirse en el mar a cierta profundidad. Primero se sumerge partes del trayecto y después

2 5

1 parte. Escribe como números negativos las frac6

ciones del descenso del buzo y encuentra la fracción del trayecto que ha hecho. –2/5, –1/6  Operaciones:  –2/5 – 1/6  2 17/30

120

0.3

5 1 partes del día a trabajar y transportarse al trabajo, del día a 12 8 1 hacer ejercicio y parte del día a dormir. Si escribes como números negativos 4

b) Mario dedica



las fracciones del día que tiene ocupadas, ¿qué fracción del día tiene ocupada? 25/12, 21/8 , 21/4 Tiene 19/24 de día ocupados.

Operaciones: 25/12 + (21/8) + (21/4) = 219/24.

ci ón

6. La siguiente tabla muestra el monto (en millones de dólares) de las exportaciones y las importaciones de nuestro país en algunos meses de 2016. Exportaciones

Importaciones

Déficit o superávit

Junio

31 949.4

32 466

−516.6

Julio

29 772.5

31 597.4

−1 824.9

Agosto

32 446.1

34 330

bu

Mes

−1 883.9

32 700.6

34 227.6

21 527

Octubre

32 595.9

33 493.4

−897.5

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

Septiembre Noviembre

34 337.6

Diciembre

33 193.4

     34 265

33 204.1

72.6

−10.7

Fuente: SAT, SE, Banxico, Inegi. Balanza Comercial de Mercancías de México

a) Encuentra los datos faltantes en la tabla.

b) ¿En qué mes fue mayor el déficit comercial?  En agosto

7. En la tabla se muestran los años de florecimiento de varias culturas a lo largo de la historia. Los números negativos representan fechas antes de nuestra era (a. n. e.).

a) ¿Cuántos años de diferencia hay entre el florecimiento de la cultura olmeca y la Grecia antigua? 100

Marca con una ✔ la casilla que describe tu desempeño. Contenido Resuelvo problemas de resta con números enteros, fracciones y decimales positivos y negativos.

c) ¿Cuántos años de diferencia hay entre el florecimiento de la cultura Roma antigua y la Grecia antigua? 200 d) ¿Cuántos años de diferencia hay entre el florecimiento de la cultura maya y la azteca? 50

Nivel de logro

b) ¿Y entre la cultura olmeca y la Roma antigua?  300

A

Requiero ayuda para realizarlo.

B

Lo hago, pero en ocasiones necesito ayuda.

C

Lo hago de manera autónoma.

121

Secuencia didáctica 13. Sumas que restan

Año de florecimiento −500 1 400 −400 −200 1 450

P

©

Cultura Olmeca Maya Grecia antigua Roma antigua Azteca

Realiza lo que se indica. Con base en tus resultados, y con ayuda de tu profesor, identifica las secuencias correspondientes a los contenidos que debes repasar.

23.5

0

22 23/2

2

2. Escribe el simétrico de los siguientes números con signo.

d) 108.49: 2108.49

b) 23: 3

11  : 11/15 15 f) 25  : 225/30 30

bu

a) 1.5: 1.5

e) 2

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

c) 211.74: 11.74 3. Llena los espacios.

a) | 6.9 | 5 | 26.9 | 5 6.9

| 5 43.5

b) | 243.5 | 5 | 43.5 c) | 5/8

| 5 | 25.8

5 8

|5

4. Ordena de menor a mayor los siguientes números con signo: 4.7, −2.4, 1.2, −

22.4

, 23/5

,

1.2

,

3, y 2.3 5

2.3

,

4.7

5. Subraya las afirmaciones verdaderas.

a) Todo número negativo es menor que cualquier número positivo. b) Un número siempre es mayor que su simétrico.

c) El menor de dos números negativos tiene mayor valor absoluto.

P

©

d) El 0 es el menor número posible.

6. Encuentra el resultado de las sumas de números con signo.

2 5 25/3 3

a) (2684) 1 832 5 148



b) (210.2) 1 (236.7) 5 246.7

d) 103 1 (2109) 5 26

c) (21) 1 2

Trimestre 2

7. Encuentra el resultado de las restas de números con signo. a) 7 2 (25) 5 12 122



3 y −2. 2

ci ón

1. Localiza en la recta numérica los siguientes números con signo: −3.5, 2, −

b) (24) 2 9 5 13

8. Encuentra los números faltantes en cada caso. a) 5 2 1

c) 1

5 4

b) (29) 2 (213)

2 (21) 5 2

d) (286.7) 2 (211.3)

5 4

5 (275.4)

9. Analiza la información y contesta.

bu

ci ón

En la parte inferior del siguiente planisferio se muestra una especie de recta numérica. Como lo estudiaste en tu clase de Geografía, el 0 corresponde al meridiano de Greenwich, llamado también meridiano 0. Este meridiano se toma como referencia para calcular la hora en los demás puntos de la Tierra. Para determinar la hora en cierto lugar del planeta nos fijamos en el número que le corresponde al lugar y calculamos la diferencia con el meridiano 0. Por ejemplo, si en el meridiano 0 son las 11 horas, en la franja del mundo ubicada a la altura del 110 son las 11 1 10 5 21 horas, como en Sídney, Australia.

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

Husos y horarios del mundo

80° 165° 150° 135° 120° 105° 90° 75° 60° 45°

30° 15°

–3

12

15°

Nueva York

–6

Ciudad de México O C É A N O P A C Í F I C O

+12

–9 ½

–5

O C É A N O A T L Á N T I C O 4½ –4

+2

0

+7

+4

Madrid

+9

+10

+11

+12

+10

+6

–10

–9

+4

+3 ½ +4 ½ +4

+1

+3

+5 ¾+6 +5 ½ +6 1/2

+5 ½ +6

–3

Río de Janeiro

12

90° 105° 120° 135° 150° 165° 180° 165°

+4 +5

+1

-3 ½

–5

–7

60° 75°

+3 Moscú

0

–8

30° 45°

O C É A N O 0 Á R T I C O

Alaska

–10

12



+2

Johanesburgo

+8

O C É A N O P A C Í F I C O

+5 ½

LEYENDA Línea internacional del cambio de fecha Zonas horarias regulares Zonas horarias con cuartos y medias horas

+6 ½

O C É A N O Í N D I C O

+8 +9 ½ +10

Ciudades

+11 ½ +10 ½

Sídney

+12 + 12 ¾

Escala 1 : 300 000 000 0

3000

6000 km

Proyección cilíndrica equidistante Fuente: Universal Time 00 24:00 1:00 2:00 3:00 4:00 5:00 6:00 7:00 8:00 9:00 10:00 11:00 12:00 13:00 14:00 15:00 16:00 17:00 18:00 19:00 20:00 21:00 22:00 23:00 24:00 Convention, 2015. –12 –11 –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9 +10 +11 +12 –11

©

Si en el meridiano 0 son las 8 horas:

R. M. Es la 1:00 en

a) ¿Qué hora es en la región central de la República Mexicana? Ciudad de México b) ¿Qué hora es en Alaska? R. M. Son las 22:00 horas del día anterior

P

10. El monte Éverest (en Nepal) tiene una altura de 8 848 metros sobre el nivel del mar y la fosa de las Marianas (en el océano Pacífico) tiene una profundidad de 11 034 metros bajo el nivel del mar. ¿Cuál es la distancia vertical entre la punta del monte Éverest y el punto más bajo de la fosa de las Marianas? 8 848 + 11 034 = 19 882 metros •• Reflexiona sobre tus resultados y, con tu profesor, busca estrategias para fortalecer tus áreas de oportunidad.

En la columna “Nota”, marca una ✔ en los reactivos que resolviste correctamente. Reactivo Nota Secuencia Páginas 1

11

100-105

2

11

100-105

3

11

100-105

4

11

100-105

5

11

100-105

6

12

106-113

7

13

114-121

8

13

114-121

9

12 y 13

106-121

10

13

114-121

123

14

Eje: Número, álgebra y variación Tema: Multiplicación y división Contenido: Resuelves problemas de multiplicación con fracciones.

Partes de partes 1. Lee y responde.

bu

ci ón

Miguel, José y Adrián practican ciclismo en un velódromo de 250 metros de longitud.

Miguel dio seis vueltas, José cinco vueltas y Adrián tuvo un fuerte calambre al empezar, así que solamente hizo  3  partes de una vuelta.

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

5

a) ¿Cuántos metros recorrió Miguel? Escribe la operación y el resultado. 1 500 m b) ¿Cuántos metros recorrió José? Escribe la operación y el resultado. 1 250 m c) ¿Cuántos metros son la quinta parte de 250 m? 50 m d) ¿Cuántos metros son 3 partes de 250 m? 150 m 5

e) Entonces, ¿cuántos metros recorrió Adrián? 150  m

•• Compara tus respuestas con un compañero y, si encuentran diferencias, analicen a qué se deben. 2. Realiza con un compañero lo que se indica.

Cada vez que una pelota cae al suelo, rebota hasta 3 de la altura desde la cual cayó. 4

P

©

Se deja caer esta pelota desde una altura de 160 cm.

160 cm

120 cm

Trimestre 2

90 cm

124

67.5 m

a) Para determinar la altura que alcanza la pelota después del primer rebote, calcula cuántos centímetros son 3 de 160 cm.  120 cm 4

b) ¿Hasta qué altura llegará después del segundo rebote? Escriban la operación y el resultado simplificado.  120 3 3/4 5 90 cm c) ¿Cuál es la altura que alcanzará después del tercer rebote? Escriban la operación y el resultado simplificado. 90 3 3/4 5 67.5 cm

ci ón

d) Escriban en la ilustración las cantidades que obtuvieron.

Multiplicación de un número natural por una fracción a

bu

•• Comparen sus respuestas con otra pareja de compañeros y verifiquen que sean iguales.

Para calcular la parte de un número natural n indicada por una fracción , se divide n b entre b y el resultado se multiplica por a.

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

Por ejemplo, las 5 partes de 60 se obtienen dividiendo 60 entre 12 y multiplicando el 12 resultado por 5. 60 3 5 5 60 3 5 5 5 3 5 5 25 12

12

Se obtiene el mismo resultado si primero se multiplica el número n por a y el resultado se divide entre b. En el ejemplo anterior, multiplicamos 60 por 5 y dividimos el resultado entre 12. 60 3 5 300 5 5 25 60 3 5 5 12

12

12

Estas dos operaciones, realizadas en cualquier orden, forman lo que se conoce como a multiplicación de un número natural n por una fracción . Es decir: b

a n 5 3 a 5 n 3 a 5 na b b b b

a) Carla quiere hacer un pastel de chocolate con una receta de su mamá. La receta dice que para 6 personas se requieren 4 huevos. •• ¿Cuántos huevos necesita Carla si su pastel será para 12 personas? 8 huevos

P

©

3. Resuelve los siguientes problemas con un compañero.

•• A última hora supo que llegarían tres personas más. Para determinar cuántos huevos requiere, calcula primero qué fracción de huevo se necesita por persona de acuerdo con la receta. 2/3 •• ¿Cuántos huevos requiere Carla si su pastel es ahora para 15 personas?10  huevos

Para saber más Entra al sitio www.esant.mx/ essema1-012 y explora. ¿Por qué fracción se debe multiplicar 12 para obtener 3? Construye tres productos con resultado 3 en los que se usen números diferentes.

Secuencia didáctica 14. Partes de partes

n3

125

b) En una actividad con sus alumnos, la maestra Estela va trazar piezas como las siguientes para formar cuadrados. 6 cm

5 cm 2 cm

6 cm

5cm 2 cm 4 cm

2 cm

5 cm

ci ón

7 cm

bu

Pero quiere que sus piezas sean más grandes y decide que la longitud de 4 cm marcada en la ilustración sea de 7 cm.

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

•• ¿Por qué fracción debes multiplicar cada cantidad de la ilustración para determinar qué número le corresponde en la ampliación? 7/4 •• Escribe las cantidades correspondientes: 4 cm cambia a 7 cm. 2 cm cambia a 3.5 cm

.

5 cm cambia a 8.75 cm 6 cm cambia a 10.5 cm

.

7 cm cambia a 12.25 cm

.

.

•• ¿Cuánto medirá cada lado del cuadrado de la figura ampliada? 19.25 cm

¿Vamos bien?

Resuelve lo siguiente con base en lo que has aprendido. Al terminar, compara tus respuestas con tus compañeros.

Trimestre 2

P

©

Ale tiene una fotografía rectangular de 10 3 15 cm. Como le gusta mucho, mandó hacer varias copias ampliándola y reduciéndola, como se indica: •• Una ampliación en la que el lado menor mida 20 cm •• Una reducción en la que el lado menor mida 5 cm •• Otra reducción en la que el lado menor mida 8 cm

a)   ¿Cuánto mide el lado más grande de la fotografía ampliada? 30 cm b)   ¿Cuánto mide el mayor de los lados de la primera reducción? 7.5 cm c)   ¿Cuánto mide el lado más largo de la segunda reducción? 12 cm

126

4. Contesta con un compañero. a) ¿Qué parte de un litro es la cuarta parte de medio litro? 1/8 de L 5 125 mL b) ¿Qué parte de una hora es la tercera parte de un cuarto de hora? 1/12 hora 5 5 minutos c) Si la mitad de un lienzo de tela se divide en tres partes iguales, ¿qué fracción del lienzo representa cada parte obtenida? 1/6  de parte

ci ón

•• Comparen su procedimiento y sus resultados con sus compañeros. Argumenten por qué piensan que su procedimiento es correcto. 5. Lee y contesta.

Laura y Jimena corren en una pista cuya longitud es de 3 de kilómetro. Laura alcan4

5

bu

za a dar 3 vueltas y media, pero Jimena solo corre 4 partes de la pista.

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

a) ¿Qué operación debes hacer para determinar cuántos kilómetros corrió Laura? 3/4 3 7/2 3 de kilómetro? 9/4  km 5 2.25 km 4 3 km 5 0.375 km c) ¿Cuánto es la mitad de de kilómetro? 3/8  4

b) ¿Cuánto es 3 veces

d) ¿Qué fracción de kilómetro corrió Laura? Escribe el resultado como un número mixto. 2 5/8 km e) ¿Qué operación debes hacer para determinar cuántos kilómetros corrió Jimena? 3/4 3 4/5 f) Realiza la división

3 4 5 y multiplica el resultado por 4. Luego simplifica. ¿Qué 4

fracción de kilómetro recorrió Jimena? 3/5 km

•• ¿Todos llegaron a los mismos resultados? Discutan las diferencias que encuentren. 6. Resuelve el problema con un compañero.

Ale tiene una fotografía de  21  de cm de ancho y  33  de cm de largo. Quiere hacer 2

2

una reducción de manera que en la nueva foto el largo y el ancho sean  3  partes de 4

Secuencia didáctica 14. Partes de partes

a) ¿Qué operaciones deben hacer para obtener las dimensiones de la reducción? R. M. Multiplicar las dimensiones de la foto por 3/4

P

©

las dimensiones actuales.

b) ¿Cuántos cm mide de ancho la copia reducida? 7.875 cm cm c) ¿Cuántos cm mide de la largo la reducción? 12.375 

•• Comparen sus respuestas y sus procedimientos con sus compañeros. Lleguen a un acuerdo acerca de cuáles son correctos y cuáles no. 127

7. Realiza las operaciones con un compañero. a) Para multiplicar

5 por 3 , pueden dividir 5 entre 5 y multiplicar el resultado 6 5 6

por 3. Escriban el resultado simplificado. 3 5 3 5 15/ 30 = 1/2 5 6

5 por 3 y dividir el resultado entre 5. Realicen 6

estas operaciones y escriban el resultado simplificado. 5 3 3 5 15/ 30 = 1/2 6 5

c) Realicen las multiplicaciones. 3 1 3 5 3/49 7 7



ci ón

b) También pueden multiplicar

4 4 3 5 16/ 45

2 3 2 5 4/45 9 5

9

5

bu

d) Observen los numeradores de las fracciones que multiplican en cada caso. ¿Qué operación deben hacer con ellos para obtener el numerador del resultado? Multiplicación o producto

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

e) Revisen los denominadores de las fracciones que multiplican en cada caso. ¿Qué operación entre ellos permite obtener el denominador del resultado? Multiplicación o producto

•• Comparen sus respuestas con la siguiente información.

Multiplicación de dos fracciones

El producto de dos fracciones es igual al producto de los numeradores entre el producto de los denominadores. Es decir: a3c c ac a 3 5 5 d bd b b3d

¿Vamos bien?

Trimestre 2

P

©

Resuelve lo siguiente con base en lo que has aprendido. Al terminar, compara tus resultados y tus procedimientos con tus compañeros y corrige los errores que encuentres.

128

I. Realiza las operaciones.

8 5 13 10 3 5 40/81 b) 3 2 5 20/35 c) 3 1 5 13/64 9 9 8 8 7 5 54/7 3 2 II. De una jarra con de litro de agua de limón, se han consumido partes. 4 5

a)

a) ¿Qué fracción de litro se consumió? 6/20 L 5 3/10 L L b) ¿Qué fracción de litro queda en la jarra? 7/10 

¿Qué aprendí? Resuelve los siguientes ejercicios y problemas. Al terminar, revisa tus procedimientos y tus resultados con ayuda de tu profesor. 1. Un tornillo penetra

2 de milímetro por cada vuelta que gira. Si haces que gire 4 5

2. Una finca se divide en tres parcelas. La primera abarca

ci ón

vueltas y media, ¿qué distancia penetra el tornillo? Escribe la respuesta como núme1 4/5 ro mixto.  4 de la superficie de la 7

finca. La segunda tiene una superficie igual a la mitad de la primera. La tercera es lo que sobra de la finca.

bu

a) ¿Qué fracción de la superficie de la finca abarca la segunda parcela? Escribe la (1/2) 5 2/7 operación y el resultado. (4/7) 

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

b) ¿Qué fracción de la finca es la superficie de la tercera parcela? Escribe la operación y el resultado. 1 2 6/7 5 1/7

c) Si la finca tiene 140 hectáreas, ¿cuánto mide cada una de las parcelas? La primera parcela mide 80 hectáreas; la segunda, 40 hectáreas y la tercera, 20 hectáreas. 3. Lucía tenía un listón. Le regaló a su hermanita la mitad del listón. A su mamá le regaló la mitad del listón que le quedaba. Luego le regaló a su amiga Maricela la mitad del listón que le quedaba. Al final, se quedó con un metro de listón. Imagina que el segmento AB representa el listón que Lucía tenía originalmente. a) ¿Qué parte del listón le quedó al final a Lucía? 1/8 b) ¿Cuántos metros de listón tenía Lucía al principio? 8 m

4. Un campesino dice: “Las heladas me estropearon

3 partes de lo que me quedaba. Y después de recoger la cosecha, una 10 4

inundación me hizo perder

de lo que tenía almacenado”. Un amigo comenta:

3 3 4 10 “Como más más suman 1, entonces ya no te quedó nada”. 10 10 10

Marca con una ✔ la casilla que describe tu desempeño.

Razón

Perdió:

Le quedó:

Heladas

3 de la cosecha 10

7/10

Plaga

21/100

49/100

Inundación

196/1000

294/100

b) ¿Tiene razón el amigo? R. M. No

Explica tu respuesta. Ver solucionario

Contenido Resuelvo problemas de multiplicación con fracciones.

Nivel de logro

P

©

a) Para averiguar si el amigo tiene razón, completa la tabla.

A

Requiero ayuda para realizarlo.

B

Lo hago, pero en ocasiones necesito ayuda.

C

Lo hago de manera autónoma.

129

Secuencia didáctica 14. Partes de partes

hizo perder

3 de la cosecha. Una plaga me 10

15

Eje: Número, álgebra y variación Tema: Multiplicación y división Contenido: Resuelves problemas de multiplicación y división con decimales.

Multiplicación y división con decimales 1. Resuelve. a) ¿Cuánto dinero representan 8 billetes de 50 pesos? $400  Escribe el resultado de la multiplicación 8 3 50. 400

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

bu

ci ón

b) ¿Cuántos pesos representan 8 monedas de 50 centavos?$4  Escribe el resultado de la multiplicación 8 3 0.50. 4

c) Supongamos que tienes $120 en billetes de 20 pesos. ¿Cuánto dinero tendrías si cada billete fuera reemplazado por una moneda de 20 centavos? $1.2 

d) ¿Cuál es la diferencia entre los resultados de las multiplicaciones 6 3 20 y 6 3 0.20? R.M. La ubicación del punto decimal

•• Compara tus resultados con tus compañeros y decidan entre todos cuáles respuestas son correctas y cuáles no. 2. Lee y contesta.

El siguiente cuadrado tiene lados iguales a una unidad y cada lado se dividió en 10 partes iguales, así que el cuadrito amarillo tiene lados de longitud

1 5 0.1 u. 10

Trimestre 2

P

©

1

130

1 5 0.1 10

a) Escribe el resultado de la multiplicación 1 3 1 . 1/100 10 10 b) Convierte a número decimal la fracción que obtuviste. 0.01

c) Entonces, ¿cuál es el área del cuadrito de lado 0.1 u? 0.1 3 0.1 5 0.01      unidades cuadradas •• Verifica tus respuestas comparándolas con las de tus compañeros y discutiendo las diferencias. 3. Realiza con un compañero lo que se indica.

ci ón

a) En el cuadrado anterior, coloreen un rectángulo que tenga lados 0.2 y 0.3. ¿Cuántos cuadrados pequeños colorearon? 6

b) Suma las áreas de los cuadrados pequeños coloreados. ¿Qué número decimal representa el área coloreada? 0.06 c) Escriban en número decimal el resultado de 0.2 3 0.3 5 0.06 

.

bu

d) Coloreen un rectángulo que tenga lados 0.5 y 0.4. ¿Cuántos cuadrados pequeños colorearon?20

e) Escriban en número decimal el resultado de la multiplicación 0.5 3 0.4 5

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

0.2

.

f) ¿Cuál es la diferencia entre el resultado anterior y el del producto 5 3 4?  R. M. La posición del punto decimal.

g) En la misma figura, coloreen un rectángulo cuya área sea 0.08. ¿Cuántos cuadritos debe abarcar este rectángulo? 8  h) Observen los lados que tiene ese rectángulo y escriban la multiplicación que determina su área. 0.2 3 0.4

•• Comparen sus respuestas con sus compañeros y discútanlas hasta llegar a un acuerdo sobre cuáles son correctas y cuáles no. 4. Completa la siguiente tabla y contesta.

3

0.1

P

©

0.01 3 0.001 5

0.01 0.001 0.0001 0.00001

1 1 1 3 5 5 0.00001 100 1000 100000

0.1

0.01

0.001

0.0001

0.00001

0.01

0.001

0.0001

0.00001

0.000001

0.001

0.0001

0.00001

0.0001

0.00001

0.00001

Secuencia didáctica 15. Multiplicación y división con decimales

a) Escribe en cada celda el producto correspondiente. Si es necesario, convierte los decimales a fracciones, por ejemplo:

0.000001 0.0000001

0.000001 0.0000001 0.00000001

0.000001 0.0000001 0.00000001 0.000000001

0.0000001 0.0000001 0.000000001 0.000000001 00.000000001 131

b) ¿Qué relación hay entre el número de cifras que están después del punto decimal en el producto y el número de cifras que están después del punto decimal en los factores? R. M. La cantidad de cifras después del punto decimal en el producto es igual a la suma de las cifras, después del punto decimal, de cada uno de los factores. c) Escribe una regla para determinar cuántas cifras después del punto decimal tiene el resultado de una multiplicación de números decimales. R. M. La cantidad de

Producto de dos números decimales

ci ón

cifras después del punto decimal en el producto es igual a la suma de las cifras a la derecha del punto de cada uno de los factores. •• Compara la siguiente información con la regla que escribiste.

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

bu

Para calcular el producto de dos números decimales, se multiplican los números sin tomar en cuenta el punto decimal, se suma el número de cifras que aparecen a la derecha del punto decimal en cada factor y, finalmente, en el resultado de la multiplicación se cuenta de derecha a izquierda tantos lugares como cifras decimales hayan sumado ambos factores. Ahí se coloca el punto decimal. Por ejemplo, para multiplicar 0.7 por 3.002, se calcula primero 7 3 3002 5 21014. Como en los factores hay cuatro cifras después del punto decimal, el resultado es 0.7 3 3.002 5 2.1014 De la misma forma se obtiene: 0.07 3 3.002 5 0.21014 0.007 3 3.002 5 0.021014

¿Vamos bien?

Resuelve lo siguiente aplicando lo que has aprendido. Al terminar, compara tus procedimientos y tus resultados con los de tus compañeros. Una compañía telefónica anuncia que su tarifa es de $1.79 por minuto de llamada en teléfono móvil. Supongamos que la compañía solo cobra el tiempo exacto que dura una llamada.

P

©

a) Completa la tabla. Tiempo (minutos)

2

1.5

1.2

0.8

0.7

0.6

Costo ($)

3.58

2.685

2.148

1.432

1.253

1.074

b) Si multiplicas 1.79 por un número mayor que 1, ¿se obtiene un número mayor, menor o igual que 1.79? Mayor 

Trimestre 2

c) Si multiplicas 1.79 por un número menor que 1, ¿se obtiene un número mayor, menor o igual que 1.79? Menor

132

5. Lee y responde. a) ¿Cuántas veces debes sumar 0.05 para obtener 0.45? 9 veces 9 b) Completa la multiplicación: 0.05 3      5 0.45. c) Escribe el resultado de la división 0.45 4 0.05. 9 d) ¿Cuántos recipientes de 0.25 litros se pueden llenar con 1.75 litros de leche con chocolate? Escribe la operación y el resultado. 1.75 4 0.25 5 7

ci ón

e) ¿Cuántos vasos de 0.3 litros se pueden llenar con 2.1 litros de agua de chía? Escribe la operación y el resultado. 2.1 4 0.3 5 7

Formas de escribir una división

bu

•• Compara tus resultados y tus procedimientos con tus compañeros.

Una división b   a  , en la que b Þ 0, también se puede escribir en la forma ejemplo: 2.34 7.328 5 7.328 .

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

2.34

a , por b

Es decir, la expresión

a se puede interpretar como la división de a entre b o como la b

razón a es a b aun cuando estos números no sean enteros. Cuando a y b son números enteros,

a es una fracción y, además de las interpreb

taciones anteriores, tiene otra basada en fraccionar unidades en partes iguales. Por ejemplo,

5 representa tomar 5 partes de las que se obtienen al dividir la unidad en 7

7 partes iguales.

6. Realiza las operaciones y escribe lo que se indica. 8 280 2240 0

8 2800 22400 0

8 28000 224000 0

Secuencia didáctica 15. Multiplicación y división con decimales

©

8 28 224 0

Escribe una regla acerca de lo que ocurre con el cociente de dos números cuando el

P

dividendo y el divisor se multiplican por 10, 100, 1 000 o cualquier otra potencia de 10. R. M. Si ambos números son múltiplos de 10, 100, 1000 o cualquier otra potencia de 10, entonces  primero hay que dividir dichos números entre 10, 100, 1000 o cualquier otra potencia de 10 según  sea el caso. Al final hacer la división con los números ya que el cociente es el mismo en todas las  divisiones. •• Compara con tus compañeros tus resultados y la regla que escribiste. Lleguen a un acuerdo con ayuda del profesor. 133

7. En parejas, lean y hagan lo que se indica. a) Si multiplican cualquier número a por 1, ¿cuál es el resultado? a b) Si dividen cualquier número b, distinto de 0, entre él mismo, ¿cuál es el resultado? 1 7.2 7.2 7.2 10 72 5 315 3 5 . 2.9 2.9 2.9 10 29

c) En las siguientes igualdades, escriban el 1 como

ci ón

Usando lo anterior, se cumplen las siguientes igualdades:

10 100 1000 , o como de ma10 100 1000

nera que al multiplicar, se obtengan números enteros tanto en el dividendo como en el divisor: 5

7 5

100 4.16 4.16 4.16 3  5 315 0.9 0.9 0.9 3  100

5

416 90

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

bu

0.7 0.7 0.7 3 10 5 315 0.5 0.5 0.5 3 10

28.03 28.03 28.03 3 1000 5 315 7.215 7.215 7.215  3 1000

5

28030 90

d) Ahora escriban divisiones equivalentes a las siguientes, en las que tanto el dividendo como el divisor sean enteros, como en el ejemplo. R. M. 7 5 2.9   7.2   es equivalente a 29    72.    0.5   0.7   es equivalente a     . 416/90 0.9   4.16   es equivalente a              . 7.215   28.03  es equivalente a 28030/7215             .

•• Comparen sus respuestas con sus compañeros.

División entre números decimales

Una división entre dos números decimales se convierte en una división entre números enteros multiplicando el dividendo y el divisor por una misma potencia de 10.

Trimestre 2

P

©

Para hacer una división entre dos números decimales es suficiente con multiplicar ambos números por una potencia de 10 que garantice que el divisor se convierte en un entero.

134

Por ejemplo, para realizar la división 0.012   0.8952, se multiplica por 103 5 1000 el dividendo y el divisor, para obtener:

74.6 12   895.2    55    72  0

¿Vamos bien? Aplica en los siguientes ejercicios lo que has aprendido. Al terminar, verifica tus respuestas comparándolas con las de tus compañeros.

a) 45.2 4 5 5 9.04 

c) 12.24 4 1.2 5 10.2

b) 0.874 4 20 5 0.0437 

d) 347.25 4 3.5 5 99.214 

8. Realiza las divisiones y responde. 35.49 4 100 5 0.3549

35.49 4 1000 5 0.03549

35.49 4 10000 5 0.003549

bu

35.49 4 10 5 3.549

ci ón

Realiza las divisiones en tu cuaderno y escribe la respuesta.

a) ¿Cómo cambió la posición del punto decimal en la división entre 10? R. M.

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

Se recorrió un lugar a la izquierda.

b) ¿Cuántos lugares se recorrió el punto decimal en la división entre 100?  ¿Hacia qué lado se recorrió? Se recorrió dos lugares a la izquierda.

c) Escribe una regla para dividir cualquier número decimal entre una potencia de 10. R. M. Siempre que se divida entre 10 un número decimal, el punto decimal se recorre una posición hacia la izquierda. •• Compara con tus compañeros tus respuestas y la regla que escribiste y lleguen a un acuerdo.

¿Qué aprendí?

Resuelve los siguientes ejercicios y problemas. Al terminar, revisa tus procedimientos y tus resultados con ayuda de tu profesor.

a) 69 3 .1043 5 7.1967          c) 48.55 4 2.5 5 1942 .

b) 0.0056 3 107.11 5 599816       d) 967.8 4 100 5 9678 . .

Marca con una ✔ la casilla que describe tu desempeño. Contenido

b) ¿Cuántos litros de gasolina consume cada uno en un recorrido de 5 540 kilómeA: 415.5 L tros? Coche 

Coche B: 454.28 L

3. Un terreno mide 8.5 metros de ancho por 18.8 metros de largo. Si el precio de cada 858.9 metro cuadrado es de $105.50, ¿cuánto vale el terreno? $16 

para realizarlo.

Nivel de logro

P

©

2. El coche A consume 7.5 litros de gasolina por cada 100 kilómetros y el coche B Resuelvo problemas de multiplicación y división consume 8.2 litros por cada 100 kilómetros recorridos. Coche A: 0.075 Lcon decimales. B: 0.082 L A Requiero ayuda a) ¿Cuántos litros de gasolina consume cada coche en un kilómetro? Coche  B

Lo hago, pero en ocasiones necesito ayuda.

C

Lo hago de manera autónoma.

135

Secuencia didáctica 15. Multiplicación y división con decimales

1. Coloca el punto decimal en los números subrayados para que la igualdad sea cierta.

16

Eje: Número, álgebra y variación Tema: Proporcionalidad Contenido: Calculas valores faltantes en problemas de proporcionalidad directa, con constante natural, fracción o decimal.

Valores faltantes 1. Trabaja con un compañero en lo siguiente.

a) Completen las tablas. 2

4

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

Perímetro (cm)

6

Lado (cm)

2

8

10

8

10

bu

Lado (cm)

ci ón

Al variar la longitud de los lados de un cuadrado, su perímetro y su área cambian también.

4

6

Área (cm2)

b) ¿Cómo se puede saber si dos magnitudes varían proporcionalmente? R.  M. Cuando el cociente entre las variaciones siempre es constante. c) ¿El perímetro y el lado son magnitudes directamente proporcionales? Sí d) ¿El área y el lado son magnitudes directamente proporcionales? No e) Expliquen en qué se basaron para responder la pregunta anterior. R.  M. Se divide el valor de un lado del cuadrado entre el área correspondiente, el valor que se obtiene no es constante.

•• Comparen sus respuestas con sus compañeros y lleguen a un acuerdo sobre ellas.

Trimestre 2

P

©

2. Reúnete con un compañero y hagan lo que se indica.

Contenedor 1

Contenedor 2

Contenedor 3

Tres contendores de agua en forma de prisma rectangular, con la misma altura, se van llenando poco a poco. Todos tienen una entrada de agua igual, pero, por sus dimensiones, la altura del agua es diferente en cada uno. En los tres casos, la altura del agua y el tiempo transcurrido varían proporcionalmente.

A los 5 minutos, la altura del agua en el contenedor 1 es de 20 cm, en el contenedor 2 es de 35 cm y en el contenedor 3 es de 12 cm. a) ¿Cuál contenedor se llenará más rápidamente?  El contenedor 2 b) ¿Cuál tardará más en llenarse?  El contenedor 3

136

c) Completen las siguientes tablas. Contenedor 1 Tiempo transcurrido (min)

5

10

15

18

20

Altura del agua (cm)

20

40

60

72

80

Tiempo transcurrido (min)

5

6

8

10

11

Altura del agua (cm)

35

42

56

70

77

Tiempo transcurrido (min)

5

10

20

22

Altura del agua (cm)

12

24

48

52.8

bu

Contenedor 3

ci ón

Contenedor 2

25

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

60

d) ¿Cuánto aumenta cada minuto la altura del agua en cada contendor? Contenedor 1: 20 cm Contenedor 2: 7 cm Contenedor 3. 12 cm

e) En el contenedor 1, ¿por qué número multiplicarían la cantidad de minutos transcurridos para obtener la altura del agua? por 4



¿Y en el contenedor 3?

 por 12/5

f) Calculen el cociente entre la altura del agua y el tiempo transcurrido con las cantidades de las tablas anteriores. Contenedor 1

20 40 60 72 80 5 5 5 5 54 5 10 15 18 20

Contenedor 2

Secuencia didáctica 16. Valores faltantes

Contenedor 3

60 24 12 48 52.8 5 5 5 5 5 2.4 5 10 20 22 25

P

©

35 42 56 70 5 5 5 5 77 5 7 5 6 8 10 11

g) ¿Cuál es el resultado de los cocientes anteriores en el contenedor que se llena más rápidamente? 7 ¿Y en el que se llena más despacio? 4

•• Comparen sus resultados y sus procedimientos con sus compañeros de grupo. ¿Encuentran alguna relación entre la rapidez con que se llenan los contenedores y el valor de los cocientes? Discutan sus opiniones. 137

Magnitudes directamente proporcionales Dos magnitudes son directamente proporcionales si varían de la misma forma, es decir, si por ejemplo, una de ellas se duplica, sucede lo mismo con la otra; o si una de ellas se divide entre 3, lo mismo ocurre con la otra.

Magnitud x

2

4

6

Magnitud y

5

10

15

8

10

20

25

5 10 15 20 25 5 5 5 5 2 4 6 8 10

bu

Como se cumplen las igualdades

ci ón

Esto se puede verificar calculando la división entre los valores que van tomando las magnitudes. Si el cociente obtenido es siempre el mismo número, las magnitudes son directamente proporcionales. Por ejemplo:

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

se sabe que las magnitudes x y y son directamente proporcionales. Al valor que toma el cociente se le llama constante de proporcionalidad. En el ejemplo, esta constante es: 5 5 2.5 2

Si llamamos k a la constante de proporcionalidad, lo anterior equivale a decir que y  kx, es decir, el valor de y puede obtenerse multiplicando x por la constante de proporcionalidad. En efecto, en la tabla del ejemplo, sucede que como la constante de 5 , proporcionalidad es 2

55

5 5 5 3 2      10 5 3 4      15 5 36 2 2 2

y así sucesivamente.

3. Haz lo que se pide.

a) En el contenedor 1 de la actividad 2, ¿cuál es la constante de proporcionalidad? 4 b) Usa esa constante para determinar la altura del agua a los 2 minutos de iniciado el llenado. 8 cm

Trimestre 2

P

©

c) Si la altura del agua del contenedor 2 es de 35 cm a los 5 minutos de llenado, ¿cuál es la altura del agua en el triple de tiempo? 105 cm

d) ¿Cuál es la altura del agua de este contenedor a los nado? 17.5 cm

5 minutos de iniciado el lle2

e) ¿Qué altura alcanza el agua del contendor 3 en un minuto de llenado? 2.4 cm f) Usa el valor anterior para determinar la altura del agua a los 7 minutos de llenado. 16.8 cm •• Compara tus respuestas con un compañero y verifiquen que sean correctas.

138

4. Observa las figuras con un compañero y hagan lo que se indica. B' B

 3 cm

 2.4 cm

A' C

 4.2 cm 4 cm

A 7 cm

D

D'

ci ón

5 cm

C'

bu

6 cm

3.6 cm

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

El cuadrilátero anaranjado es una reducción del cuadrilátero azul, así que las longitudes de los lados correspondientes son proporcionales.

a) Carlos piensa que el lado B' C' del cuadrilátero anaranjado se obtiene haciendo la resta 6 2 2 5 4 cm porque la longitud del lado A' B' es 3 5 5 2 2 cm. Expliquen por qué ese razonamiento es incorrecto y digan cómo debe encontrarse la longitud de B' C'. R. M. Como el cuadrilátero anaranjado es una reducción del azul, entonces el cociente entre la longitud de sus lados es constante. Si se quiere encontrar la longitud de los lados de la reducción, se debe multiplicar la longitud del lado correspondiente a la figura azul por la constante de proporcionalidad. En este caso la constante de proporcionalidad es 0.6. b) Encuentren las longitudes de los lados A'D’ y C’D’ del cuadrilátero anaranjado. R. M. El lado A’D’ mide 4.2 cm y el lado C’D’ mide 2.4 cm

5. Lean y contesten en parejas.

María tiene una foto que mide 16 cm de largo y 12 cm de ancho.

b) Si quiere una reducción en la que el ancho mida 6 cm, ¿cuánto deberá medir el largo de la foto reducida? 8  cm

Secuencia didáctica 16. Valores faltantes

©

a) Si María quiere una reducción de la foto en la que el ancho mida 9 cm, ¿cuánto medirá el largo de la foto reducida? 12 cm

c) ¿Cuánto medirán el largo y el ancho de la foto reducida si la razón de proporcio-

P

nalidad es

1 ? 2

8 cm de largo y 6 cm de ancho

d) Si en lugar de reducir la foto, María quiere amplificarla en una razón de proporcionalidad de

3 , ¿cuáles serán las dimensiones de la nueva foto? 24  cm de largo 2

y 6 cm de ancho •• Comparen sus respuestas con sus compañeros y comenten los procedimientos que usaron para contestar. ¿En su grupo usaron alguno de los métodos de la siguiente página? 139

Métodos para encontrar un valor faltante Cuando dos magnitudes son proporcionales, para encontrar un valor faltante se pueden usar distintos procedimientos. Por ejemplo, si 3 kg de guayaba cuestan $48, para saber cuánto cuestan 12 kg se puede hacer, entre otras cosas, lo siguiente:

Como la constante de proporcionalidad es 16, para obtener el precio de cualquier cantidad de kilogramos, se debe multiplicar esa cantidad por 16. Entonces, el precio de 12 kg es 12 3 16  192 pesos.

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

El precio por un 48 Dado que 12 kg es el  16 kilogramo es 3 cuádruple de 3 kg, el precio por pagar debe ser pesos. Entonces, por los 12 kg se deben pagar 48 3 4, es decir, $192. 16 3 12  192 pesos.

Tercera forma Constante de proporcionalidad:

ci ón

Segunda forma Valor unitario:

bu

Primera forma Conservación de razones internas:

Como se observa en el ejemplo, la constante de proporcionalidad es igual que el valor unitario.

¿Vamos bien?

Resuelve lo siguiente aplicando lo que has aprendido. Al terminar, compara tus procedimientos y tus resultados con tus compañeros y corrige los errores que encuentres. I. El peso de cualquier objeto en la Luna es aproximadamente la sexta parte de su peso en la Tierra. a) ¿Es proporcional la relación entre el peso en la Luna y el peso en la Tierra? Sí

b) ¿En qué basaste tu respuesta anterior? R. M. Considerando que el peso de cualquier objeto en la Luna es igual a la sexta parte de su peso en la Tierra.

P

©

c) ¿Cuánto pesa en la Luna una persona que pesa 68 kg en la Tierra?

11.333 cm

II. Rafael compró un lote de alegrías a un precio de 5 piezas por $14, y las puso en venta a un precio de 3 alegrías por $10. Las alegrías son dulces de amaranto y piloncillo. a) ¿Cuánto gana por la venta de 3 alegrías? $1.6

Trimestre 2

b) ¿Y por la venta de 6 alegrías? $3.2 c) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad entre la ganancia obtenida y el número de piezas vendidas? $0.5333 140

6. Resuelve los problemas con un compañero. a) Una tubería rota produce una pérdida de

5 de litro de agua en 3 segundos. Si no 2

se repara la tubería y el agua sigue saliendo con la misma rapidez, ¿cuántos litros de agua se perderán en medio minuto? 50/2 de litro = 25 litros ¿Cuánta agua se pierde en 18 segundos? 30/2 de litro = 15 litros b) En una fotografía aparecen Tina y su hermana con algunos amigos. Tina mide

ci ón

1.65 m y su imagen en la fotografía tiene 7 cm de altura. ¿Cuánto mide la hermana de Tina si en la foto su imagen mide 5.6 cm? 1.32 cm

bu

•• Revisen sus resultados y vean si todos sus compañeros llegaron a las mismas cantidades. ¿Qué altura tendrías tú en la foto de Tina y su hermana?

¿Qué aprendí?

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

Resuelve los siguientes problemas. Al terminar, revisa tus procedimientos y tus resultados con ayuda de tu profesor. 1. Un litro de pintura para interiores alcanza para cubrir 6 metros cuadrados de pared.

litros a) ¿Cuántos litros de pintura se requieren para cubrir 20 m2 de pared? 3.3333  b) Si se tiene una pared de 12.3 metros de largo por 2.8 metros de alto, ¿cuántos lilitros tros de pintura se requieren para cubrirla? 5.74  3

2. Un tono de pintura verde se prepara mezclando de litro de pintura amarilla con 5 2 de litro de pintura azul. 5

a) ¿Cuántos litros de pintura amarilla se requieren para preparar 3.8 litros de pintura litros verde? 2.28  b) ¿Cuántos litros de pintura azul se necesitan para 5 litros de pintura verde?  2

x

1 2

2 3

3 4

5 6

1

y

3

1

9/8

5/4

3/2

b) Para x 5 1.5, y 5 5.4 x y

0.5 1.8

3 10.8

4.5 16.2

6 21.6

9 32.4

Contenido Calculo valores faltantes en problemas de proporcionalidad directa, con constante natural, fracción o decimal. A

Requiero ayuda para realizarlo.

B

Lo hago, pero en ocasiones necesito ayuda.

C

Lo hago de manera autónoma.

141

Secuencia didáctica 16. Valores faltantes

P

©

3 a) La constante de proporcionalidad es . 2

Marca con una ✔ la casilla que describe tu desempeño.

Nivel de logro

3. Completa las tablas de cantidades proporcionales, usando la información que se da en cada caso.

17

Eje: Número, álgebra y variación Tema: Multiplicación y división Contenido: Determinas y usas la jerarquía de operaciones y los paréntesis en operaciones con números naturales, enteros y decimales.

¿El orden es importante? 1. Haz lo que se pide.

a) Escribe el resultado de la operación 24 4 4 1 2 5 8

.

c) ¿Qué operación hiciste primero? La división. ¿Cuál hiciste después? La suma. d) ¿Todos hicieron las operaciones en el mismo orden? No 

ci ón

b) Compara tu resultado con los de tus compañeros, ¿alguien obtuvo un resultado diferente? Sí 

¿Fue diferente del que obtuviste primero? Sí

bu

e) Realiza las operaciones en otro orden y escribe el resultado. 24  (4  2)  3

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

f) Realiza la operación 8 1 3 3 5 de dos maneras distintas y escribe los resultados. 8  (3 × 5)  23 y 8 + (3  5)  23

•• Discute tus respuestas con el resto del grupo.

2. Realiza las operaciones indicadas en distinto orden y responde.

c) 7 2 4 3 3 5 1

 , 19 2 8 1 3 2 1 5 13  , 11 3 4 4 2 3 3 5 7.3  , 7 2 4 3 3 5 9

d) 8 + 10 4 2 1 5 5 18

 , 8 + 10 4 2 1 5 5 14

a) 19 2 8 1 3 − 1 5 13

b) 11 3 4 4 2 3 3 5 66

e) ¿En algunas de ellas obtuviste resultados diferentes? Sí  ¿En cuáles? Incisos b, c y d.

¿Qué tipo de operaciones

aparecen en ellas? Multiplicaciones o divisiones o ambas.

•• Compara tus respuestas con las de tus compañeros y si hay errores corrígelos.

Trimestre 2

P

©

3. Haz lo que se pide.

a) Con una calculadora estándar realiza las operaciones y escribe el resultado: 4 1 28 4 2 5 16

6 2 5 3 4 5 4

b) Resuelve las mismas operaciones con una calculadora científica y compara los resultados con los que obtuviste en el inciso anterior. ¿En qué orden realizó las hizo la división o multiplicaciones operaciones la calculadora científica? Primero  y luego las sumas.

•• Discute tus observaciones con el resto del grupo. 142

Jerarquía de las operaciones Para evitar confusiones al realizar operaciones, se ha establecido una jerarquía entre ellas:

Por ejemplo, para encontrar el resultado de 17 2 5 2 3 1 11, primero podemos realizar la resta 17 2 5 5 12, al resultado se le resta 3, 12 2 3 5 9 y al nuevo resultado se le suma 11, 9 1 11 5 20. O bien, primero hacemos las sumas 17 1 11 5 28, luego sumamos (25) 1 (23) 5 28 y, finalmente, sumamos 28 1 (28) 5 28 2 8 5 20.

bu

•• Si solo aparecen multiplicaciones y divisiones, se acostumbra realizar las operaciones en el orden en que aparecen.

ci ón

•• Si solo hay sumas y restas, las operaciones se pueden realizar en cualquier orden. Ya sea en el que aparecen, de izquierda a derecha, o bien, haciendo las sumas y luego las restas, o agrupándolas según convenga.

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

Por ejemplo, para encontrar el resultado de 4 3 10 4 8 3 3 ÷ 5, primero se realiza el producto 4 3 10 5 40; el resultado se divide entre 8, 40 4 8 5 5; este nuevo resultado se multiplica por 3, 5 3 3 5 15 y este resultado se divide entre 5, obteniendo 15 4 5 5 3. •• Si aparecen sumas, restas, multiplicaciones y divisiones, primero se realizan las multiplicaciones y divisiones y luego las sumas y restas.

Por ejemplo: para encontrar el resultado de 16 1 18 4 3 2 5 3 4 2 1, primero se realizan la división 18 4 3 y la multiplicación 5 3 4 y después las sumas y restas. Así, el resultado es: 16 1 18 4 3 2 5 3 4 2 1 5 16 1 6 2 20 2 1 5 1.

4. Reúnete con un compañero y hagan lo que se pide.

•• 26 2 3 3 4 1 5 3 6 5 44 •• 9 1 6 3 3 4 5 5 9

•• 11.3 2 2.7 3 4 5 0.5

©

•• 32 4 2 1 4 2 5 3 3 5 45

•• 8 1 10 4 2 1 5 3 3 1 4 5 46

Para saber más Ingresa al sitio www.esant.mx/ essema1-013. Después de leer el texto inicial, realiza las operaciones indicadas.

Secuencia didáctica 17. ¿El orden es importante?

a) Subrayen aquellas igualdades en las que se respetó la jerarquía de las operaciones.

P

b) Expliquen en qué orden se hicieron las operaciones en aquellas expresiones don-



de no se respetó la jerarquía. Se realizaron las operaciones de izquierda a derecha, de dos en dos números.

 •• Comparen sus respuestas con las de sus compañeros y si hay errores corríjanlos. 143

5. Reúnete con dos compañeros y escriban en qué orden deben realizarse las operaciones para obtener los resultados que se indican. a) 2 3 3 1 5 5 16 Primera operación: adición Segunda operación: multiplicación 

Convivo en armonía

c) 6 2 4 4 3 2 1 5 1 Primeras operaciones: restas  Segunda operación: división d) 8 1 4 4 2 2 5 5 5 Primera operación: división y resta Segundas operaciones: suma 

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

Cuando participes en discusiones en equipo, presta atención a las opiniones de tus compañeros para evitar usar los mismos argumentos. De esta manera la discusión se enriquece, es más fluida y se aprovecha mejor el tiempo para resolver las actividades.

Segunda operación: multiplicación 

bu

Primera operación: resta 

ci ón

b) 5 3 4 2 2 5 10

Discute con tus compañeros de equipo de qué manera se pueden agrupar los términos de las expresiones para que quede claro el orden deseado en las operaciones a realizar. Escriban su propuesta. Encerrar entre paréntesis las multiplicaciones y

divisiones 

•• Comparen su propuesta con las de los demás equipos y con la información proporcionada a continuación.

Uso de paréntesis

Para señalar el orden en que deben realizarse las operaciones o para modificar la jerarquía de estas, se acostumbra usar paréntesis.

Trimestre 2

P

©

Por ejemplo, al escribir 7 1 (3 3 5) 2 2, en lugar de 7 1 3 3 5 2 2, solo se enfatiza el hecho de que primero hay que realizar el producto 3 3 5. Pero si se escribe (7 1 3) 3 5 2 2 se modifica la jerarquía de las operaciones de la expresión anterior.

144

Los paréntesis indican que primero debe realizarse la operación encerrada entre ellos. Por ejemplo, la expresión 9 3 (5 1 6) 2 52 4 (4 1 9) indica que primero deben realizarse las sumas 5 1 6 y 4 1 9 y luego las demás operaciones, siguiendo la jerarquía. Así: 9 3 (5 1 6) 2 52 4 (4 1 9) 5 9 3 11 2 52 4 13 5 99 2 4 5 95. Si hay varios paréntesis, unos dentro de otros, se llevan a cabo las operaciones de adentro hacia afuera. Por ejemplo, en la expresión 7 3 (8 2 (9 2 4)) primero se realiza la resta 9 2 4 5 5, luego la operación 8 2 5 5 3 y, por último, el producto 7 3 3 5 21.

¿Vamos bien? Aplica lo que has aprendido para resolver lo siguiente. Al terminar, compara tus procedimientos y los resultados que obtuviste con los de tus compañeros.

( 1 2)3 5 1 6 5 36 a) 4

b) 4 1 2 3(5 1 6)5 26 c) (4 1 2)3(5 1 6) 5 66

d) 3 1 3 3(2 1 2)5 15

e) (3 1 3 )3(2 1 2)5 24

bu

6. Reúnete con un compañero y resuelvan el problema.

ci ón

Coloca paréntesis donde corresponda, para que los resultados de las operaciones sean los indicados.

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

Emiliano invirtió $1 000 con rendimientos mensuales variables. El primer mes le dio un rendimiento de 3%; reinvirtió el capital con sus intereses y el segundo mes obtuvo un rendimiento de 4%. ¿Cuál de las siguientes expresiones representa lo que obtuvo al final de los dos meses? Subráyenla. a) 1000 1 ((1000 3 0.03) 3 0.04)  b) (1000 1 (1000 3 0.03)) 3 0.04 c) 1000 1 (1000 1 (1000 3 0.03)) 3 0.04

•• Discutan su respuesta con el resto del grupo y si detectan errores corríjanlos.

¿Qué aprendí?

Trabaja los siguientes ejercicios y problemas. Al terminar, revisa tus procedimientos y resultados con ayuda de tus compañeros y tu profesor. 1. Efectúa las operaciones.

c) 6 1 4.8 4 2 5 8.4

d) (6 1 4.8) 4 2 5 5.4

©

2. Subraya las operaciones en las que el resultado es correcto sin necesidad de colocar paréntesis. En los que no son correctos coloca los paréntesis necesarios para que lo sean. a) 5 3(3 1 2)5 25

b) 5 3 3 1 2 5 17

c) 9 1 6 4 3 5 11

d) (9 1 6) 4 3 5 5

P

e) 3 1 3 3 2 1 2 5 11  f) (3 1 3)3 2 1 2 5 14

3. Realiza las operaciones. a) ((112 4 2) 2 (16 4 4)) 2 4 5 48 

   b)  ((96 4 3) 2 (29 3 2)) 2 24 5250

c) ((((((5 2 2) 1 1) 1 5) 3 2) 4 3) 1 6) 512

Marca con una ✔ la casilla que describe tu desempeño. Contenido Determino y uso la jerarquía de operaciones y los paréntesis en operaciones con números naturales, enteros y decimales. A

Requiero ayuda para realizarlo.

B

Lo hago, pero en ocasiones necesito ayuda.

C

Lo hago de manera autónoma.

145

Secuencia didáctica 17. ¿El orden es importante?

b) 7 3 8.6 1 4 5 64.2

Nivel de logro

a) 7 3 (8.6 1 4) 5 88.2

18

Eje: Número, álgebra y variación Tema: Patrones, figuras geométricas y expresiones equivalentes Contenido: Formulas expresiones algebraicas de primer grado a partir de sucesiones y las utilizas para analizar propiedades de la sucesión.

Números y letras 1. Lee y resuelve con un compañero.

Figura 1

Figura 2

bu

ci ón

Observen los dibujos de árboles navideños. En cada uno se han colocado círculos amarillos que representan luces.

Figura 3

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

a) Dibujen en su cuaderno las figuras 4 y 5. Ver solucionario b) En la siguiente tabla, escriban el número de luces de cada figura, siguiendo el patrón mostrado en la ilustración. Figura

1

2

3

4

5

6

10

Luces

3

7

11

15

19

23

39

c) ¿Cuántas luces agregaron a la figura 1 al pasar a la figura 2? 4  luces Al pasar de la figura 2 a la 3, ¿cuántas luces agregaron? 4 luces ¿Se añade el mismo número de luces al pasar de cualquier figura a la siguiente?  Sí

d) ¿Cómo obtuvieron el número de luces de la figura 10? R.  M. Multiplicando 4 × 10 y restando 1 al resultado.

e) Reúnanse con otra pareja de compañeros y, en equipo, discutan qué operaciones deben hacer para obtener el número de luces si conocen el número de figura sin tener que calcular la cantidad de luces de todas las figuras anteriores. Expliquen

P

©

cómo lo harían. R. M. Multiplicando el número de la figura por 4 y restando 1 al producto

f) Verifiquen que las operaciones que describieron dan como resultado la cantidad correcta de luces de las figuras 1, 2, 3, 4 y 5. g) Con las operaciones que describieron, encuentren el número de luces de la figura 25. ¿Cuántas luces tiene? R. M. 25 × 4 – 1 = 100 – 1 = 99 luces

Trimestre 2

•• Comparen sus respuestas con sus compañeros y analicen las distintas formas de obtener el número de luces que determinaron. Sigan las indicaciones para obtener el número de luces de otras figuras. 146

Figura 1

Figura 2

Figura 3

Figura 4

ci ón

2. Analiza las figuras y realiza lo que se indica.

a) Traza en tu cuaderno la figura 5 siguiendo el patrón que se muestra. Ver solucionario b) Escribe el número de círculos de cada figura.

Figura 2: 10 Figura 3: 15

      



Figura 4: 20





Figura 5: 25



Figura 6: 30



  

   



bu

Figura 1: 5

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

c) Escribe una regla para determinar el número de círculos si conoces el número de figura. R. M. Se multiplica el número de figura por 5.  

•• Comenta y compara las fórmulas que escribieron en tu grupo para la figura número n. ¿Te sirve esa fórmula para cualquier figura?

Expresiones algebraicas

En matemáticas se acostumbra usar letras para representar números cuando no nos referimos a un valor particular. Por ejemplo, se dice “el número natural n” para simbolizar cualquiera de los números naturales. Esas letras, que representan cantidades, reciben el nombre de literales. El número natural anterior a m se puede representar como m 2 1 y el que le sigue, como m 1 1.

Secuencia didáctica 18. Números y letras

©

También se hacen operaciones usando letras o literales. Por ejemplo, el doble de un número k se puede escribir como k 1 k, como 2 3 k o como 2k.

P

A las expresiones que se forman usando números, literales y operaciones se les suele llamar expresiones algebraicas. Por ejemplo: •• 8n representa 8 veces el número n. •• 2(k  1) simboliza el doble de la cantidad que se obtiene al restar 1 al número k. •• 5  6m indica que se le suma 5 al resultado de multiplicar 6 por el número m.

147

3. En parejas, observen las figuras formadas con palillos. Luego hagan lo que se indica.

Figura 1

Figura 2

Figura 3

5

6

7

9

Palillos

16

19

22

28

10

15

31

46

bu

Figura

ci ón

a) Usen palillos para formar las figuras 4, 5 y 6 siguiendo el mismo patrón, o dibújenlas en su cuaderno. Ver solucionario b) Completen la tabla.

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

c) De acuerdo con la manera en que se incrementa el número de palillos de una figura a la siguiente, escriban una regla para determinar el número de piezas que  M. Multiplicar el número de figura por 4 y a este tendrá cualquier figura. R. resultado se resta el número figura menos 1.

d) Verifiquen que la regla que escribieron permite obtener la cantidad de palillos de las figuras 1, 2, 3, 4 o 5. Dulce y Carolina escribieron de la siguiente manera el número de palillos de las primeras figuras. •• En la figura 1 hay 4 5 1 1 3 5 1 1 3 3 1 palillos. •• En la figura 2 hay 7 5 1 1 6 5 1 1 3 3 2 palillos.

e) Escriban de manera similar la cantidad de palillos que se usan en las siguientes figuras. R. M. Figura 3: 1 1 3 3 3 5 10

Figura 4: 1 1 3 3 4 51 13

Figura 5: 1 1 3 3 5 5 16

f) Si el número de figura es m, ¿qué expresión algebraica servirá para obtener la

Trimestre 2

P

©

cantidad de palillos que se necesitan? 1 1 3m

g) Verifiquen la expresión algebraica para los números de figura de la tabla anterior. Luego úsenla para obtener el número de palillos en las siguientes figuras. Figura 10: 31

Figura 25: 76

Figura 50: 151

Figura 100: 301

h) Martín y Manolo observaron que el primer término es 4 y luego el número de palillos va aumentando de 3 en 3, es decir: •• En la figura 1 hay 4 palillos. •• En la figura 2 hay 7 5 4 1 3 5 4 1 3 3 1 palillos. •• En la figura 3 hay 10 5 4 1 6 5 4 1 3 3 2 palillos.

148

i) Escriban de manera similar la cantidad de palillos que se usan en las siguientes figuras. Figura 4: 4 1 3 3 3 5 13 Figura 5: 4 1 3 3 4 5 16 Figura 6: 4 1 3 3 5 5 19 Figura 8: 4 1 3 3 7 5 25

cantidad de palillos que se necesitan? 4 1 3 3 (m 2 1)5

ci ón

j) Si el número de figura es m, ¿qué expresión algebraica usarían para obtener la k) Usen la nueva expresión algebraica para obtener el número de palillos de las siguientes figuras: Figura 25: 4 1 3 3 24 5 76

Figura 50: 4 1 3 3 49 5 151

Figura 100: 4 1 3 3 99 5 301

bu

Figura 10: 4 1 3 3 9 5 31

Convivo en armonía

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

l) Comparen estas cantidades de palillos con las que calcularon usando la idea de Dulce y Carolina. ¿Son iguales las cantidades obtenidas? Sí,  son iguales.

•• Comparen todas sus respuestas con sus compañeros. Discutan por qué las dos expresiones algebraicas obtenidas son correctas y úsenlas para calcular el número de palillos de otras figuras.

La mediación y el diálogo son las estrategias más eficaces para resolver conflictos. Cuando surja uno en tu salón de clases, platica con tus compañeros y busquen la mejor solución.

¿Vamos bien?

Resuelve lo siguiente con base en lo que has aprendido. Al terminar, compara tus respuestas con las de tus compañeros. Analiza las figuras y haz lo que se indica.

Figura 2

Figura 3

Secuencia didáctica 18. Números y letras

©

Figura 1

a) Escribe el número de cerillos que se requieren en las cinco primeras figuras forma-

P

das siguiendo el patrón que se muestra. Figura 1 requiere 3 palillos; figura 2, 5 palillos; figura 3, 7 palillos; figura 4, 9 palillos; figura 5, 11 palillos. En total se requieren 35 palillos. b) Escribe una expresión algebraica que indique el número de cerillos de la figura k.R. M. 1 1 2k

c) Usa la expresión algebraica anterior para encontrar el número de cerillos en la figura 25. 51 

149

4. Lee y resuelve con un compañero. Las abejas construyen sus panales con celdas hexagonales. Esta forma les permite aprovechar mejor el espacio y contar con cavidades que no tienen picos ni salientes que las puedan lastimar.

ci ón

Se pueden unir dos hexágonos compartiendo una arista, de manera que la figura resultante tiene 10 lados. El tercer hexágono que se construya, debe compartir dos aristas con los anteriores para formar una figura con 12 lados.

Figura 2

Figura 3

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

Figura 1

bu

Sigamos aumentando hexágonos de manera que cada nuevo hexágono que se dibuje comparta dos aristas con los que ya están en la figura.

12 lados

10 lados

14 lados

a) Dibujen en su cuaderno la figura 4. No importa cómo acomoden el hexágono nuevo, mientras garanticen que comparta dos aristas con los que ya están dibujados. Ver solucionario

Trimestre 2

P

©

b) Completen la tabla. Figura

4

5

6

7

11

12

Lados

16

18

22

22

30

32

c) A partir de cómo aumenta el número de lados entre una figura y la siguiente, obtengan una expresión algebraica para encontrar el número de lados de la figura número k. R. M. 6 1 2(k 1 1), que es igual a 2k 1 8. d) Verifiquen que su expresión algebraica da como resultado el número correcto de lados de las figuras 1, 2, 3 y 4. e) Usen la expresión algebraica para determinar cuántos lados hay en las siguientes figuras. Figura 20: 48

150



Figura 35: 78



Figura 60: 128

f) De acuerdo con los resultados que obtuvieron en el inciso e, argumenten por qué no corresponde al número de lados de una figura de esta sucesión.  R. M. 79 Se despeja la variable k de la siguiente expresión 78 5 6 1 2(k 1 1), es decir, k + 1 5 36, luego k 5 35.

Sucesiones Una sucesión es una colección ordenada de números que se obtienen a partir de una regla. Esta regla puede describirse mediante una expresión algebraica o fórmula.

bu

Los elementos de una sucesión se llaman términos y a la expresión algebraica mediante la cual se puede encontrar el término número n se le suele llamar término general.

ci ón

•• Discutan con sus compañeros las respuestas y revisen todas las expresiones algebraicas que hayan encontrado en su grupo. Verifiquen cuáles son equivalentes, es decir, con cuáles se obtienen los mismos resultados.

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

Por ejemplo, 6, 10, 14, 18, 22… es una sucesión cuyo término general es 2 1 4n. Para verificarlo, hay que sustituir n por los números 1, 2, 3, 4 y 5. Cada uno de estos números se multiplica por 4 y al resultado se le suma 2, para obtener los primeros términos de la sucesión. •• Si n 5 1, se obtiene el número 2 1 4 3 1 5 6. •• Si n 5 2, se obtiene el número 2 1 4 3 2 5 10. Y así sucesivamente.

5. En parejas, encuentren los seis primeros términos de las sucesiones cuyo término general se indica en cada caso. a) 2k 2 1, igualando k a cada uno de los números 1, 2, 3, 4, 5 y 6. 1, 3, 5, 7, 9, 11… 

b) 1 1 5m 6, 11, 16, 21, 26, 31…



c) 1 1 5(m 2 1) 1, 6, 11, 16, 21, 26…

d) 200 2 3n 197,  194, 191, 188, 185, 182…

Secuencia didáctica 18. Números y letras

©

 

P

e) 200 2 3(n 2 1) 200, 197, 194, 191, 188, 185…



•• Comparen sus respuestas con las de sus compañeros de grupo. Verifiquen que todos hayan realizado las operaciones en el mismo orden. ¿Obtienen los mismos resultados si primero suman y luego multiplican? 151

6. Realiza lo que se indica. a) Escribe los tres términos que siguen en la sucesión.  3, 6, 9, 12, 15



, 18

, 21

b) Escribe una expresión algebraica para el término general de la sucesión anterior. 3n d) Escribe los cuatro términos que siguen en la sucesión: 1, 4, 7, 10, 13

, 16

, 19

ci ón

c) ¿El número 32 es un término de la sucesión? No , 22

e) Escribe una expresión algebraica para el término general de la sucesión anterior. 3n 1 1

bu

f) Usa la expresión algebraica para determinar el término 28 de la sucesión. 3(28) 1 1 5 84 1 1 5 85

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

•• Compara con tus compañeros de grupo las expresiones algebraicas que encontraste y analicen cuáles son correctas. Discutan cómo saber si un número pertenece o no a una sucesión. Escriban sus conclusiones. 7. Resuelve con un compañero.

Para saber más

Analicen la sucesión que indica la altura de cada columna en la siguiente ilustración considerando que son alturas positivas las que quedan encima de la línea azul y alturas negativas las que quedan abajo:

+



Figura 1

Figura 2

Figura 3

Figura 4

Trimestre 2

P

©

Investiga cómo es la sucesión de Fibonacci y escribe los primeros doce términos. Luego lee el texto de la página www. esant.mx/ essema1-014. ¿Por qué la cantidad de parejas de conejos en cada paso es la suma de los dos números anteriores?

152

Figura 5

a) Completen la tabla. R. M. Figura

1

2

3

4

5

6

7

Altura

6

3

0

23

26

29

212

b) ¿Qué cantidad debes restar a un término para obtener el siguiente? 3 c) Escriban una expresión algebraica para el término general de la sucesión de alturas. R. M. 3 3 (n 2 3) o se puede expresar como 9 2 3n 221, 236 y 251 •• Revisen si son correctas todas las expresiones algebraicas que encontraron en su grupo. Construyan otra sucesión que tenga términos negativos.

ci ón

¿Qué aprendí?

Resuelve los siguientes ejercicios y problemas. Al terminar, revisa tus procedimientos y tus resultados con ayuda de tu profesor.

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

bu

1. Observa las figuras y realiza lo que se indica.

Figura 1

Figura 2

Figura 3

Figura 4

a) Escribe los primeros seis términos de la sucesión que indica el número de cuadrados en cada figura si se continúa con el patrón anterior. 5, 9, 13, 17, 21 y 25 

b) Construye una expresión algebraica que indique el término general. R. M. 4n 1 1 o 5 1 4(n 2 1)

d) ¿El número 52 es un elemento de la sucesión? No, porque 52 2 1 no es múltiplo de 4. e) ¿Y el número 205? Sí,  porque 205 2 1 es múltiplo de 4.

a) Escribe los términos 2, 5, 7 y 9 de la sucesión cuyo término general es 7k 2 5. 9,  30, 44 y 58

P

©

2. Haz lo que se indica.

b) Haz lo mismo con la sucesión dada por 7 2 5k. 23, 218, 228 y 238 

c) Escribe una expresión algebraica para el término general de la sucesión 200, 194, 188, 182, 176, 170… R. M. 206 – 6n o se puede expresar como 200 2 6(n 2 1).

Marca con una ✔ la casilla que describe tu desempeño. Contenido Formulo expresiones algebraicas de primer grado a partir de sucesiones y las utilizo para analizar propiedades de la sucesión. A

Requiero ayuda para realizarlo.

B

Lo hago, pero en ocasiones necesito ayuda.

C

Lo hago de manera autónoma.

153

Secuencia didáctica 18. Números y letras

¿Y en la figura 102? 409

Nivel de logro

c) ¿Cuántos cuadrados hay en la figura número 25? 101

Realiza lo que se indica. Con base en tus resultados, y con ayuda de tu profesor, identifica las secuencias correspondientes a los contenidos que debes repasar. 1. Efectúa las siguientes operaciones.

  



c) 3.25 3 0.16 5 0.52



d) 8.2 4 0.04 5 205

ci ón

3 5 3 5 15/14 7 2 5 b) 21 3 5 15 7

a)

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

bu

2. En los siguientes cuadrados de una unidad de lado, sombrea la parte que corresponde al resultado de la multiplicación que se indica.

1 2 3 2 3

2 3 3 3 4

3. En un poblado de 5 000 habitantes, y

5 3 3 9 5

23 de ellos tienen menos de 20 años de edad 40

3 tienen más de 50 años. Determina la cantidad de habitantes que están en los 20

siguientes rangos de edad.

a) Menores de 20 años: 2 875 habitantes c) Mayores de 50 años: 750 habitantes b) Entre 20 y 50 años: 1 375 habitantes  

17 de kilómetro en una hora. Si mantiene la misma velocidad, 4 3 ¿qué distancia caminará en de hora? 51/16 4

4. Una persona camina

5. La masa de un litro de aceite es 0.92 kg. Calcula la masa de 39.5 litros de aceite. 36.34 kg 6. Una liga puede alargarse hasta 2.4 veces su longitud original. Cuando está totalmen-

©

te alargada, alcanza una longitud de 26.4 centímetros. ¿Cuál es su longitud original?

11 centímetros

Trimestre 2

P

7. Completa la siguiente tabla de cantidades que varían proporcionalmente. Magnitud A

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Magnitud B

1/4

1 2

3/4

1

5/4

3/2

7/4

2

9/4

5/2

¿Cuál es la constante de proporcionalidad? La  constante de proporcionalidad es 1/4. 154

8. Luis dibujó un rectángulo como el siguiente. B

C 3 cm

A

D

ci ón

5 cm

Mariano quiere dibujar un rectángulo proporcional al de Luis en el que el lado CD mida cm  1.6 cm 1 cm. ¿Cuál debe ser la longitud del lado AD en el dibujo de Mariano? 5/3 

bu

9. La masa de cuatro cajas iguales de galletas es 1.6 kilogramos. ¿De cuánto es la masa de siete cajas iguales a las anteriores? 2.8 kg

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

10. Subraya las igualdades en las que se respetó la jerarquía de las operaciones. a) 28 2 8 3 2 1 10 4 2 5 25

b) 3.5 1 7 3 2.1 2 6.4 4 3.2 5 16.2

1 1 1 1 1 3 2 425 2 2 2 4 1 1 1 1 d) 1 3 2 425 2 2 2 4

c)

5 8 1 8

11. Coloca los paréntesis en los lugares adecuados para que se cumplan las igualdades. 5 6 5 b) 2 4 (3 3 4)1( 1 4 4 )5 12

3 3 1 2 3 9 c) ( 3 )− 1( 3 )5

a) 2 ( 4 3)3( 4 1 1 )4 4 5

4 4 2 3 4 16 3 3 1 2 3 123 d) [( 3( − ))1 ]3 5 4 4 2 3 4 192

12. Encuentra los seis primeros términos de la sucesión cuyo término general es 10n 2 3. 7, 17, 27, 37, 47 y 57

©

13. Analiza el número de cuadrados que hay en las siguientes figuras y responde.

Figura 1

Figura 2

Figura 3

P



Encuentra el término general de la sucesión que indica el número de cuadrados. 4(n21) 1 1

•• Reflexiona sobre tus resultados y, con tu profesor, busca estrategias para fortalecer tus áreas de oportunidad.

En la columna “Nota”, marca una ✔ en los reactivos que resolviste correctamente. Reactivo Nota Secuencia Páginas 1

14 y 15

124-135

2

14

124-129

3

14

124-129

4

14

124-129

5

15

130-135

6

15

130-135

7

16

136-141

8

16

136-141

9

16

136-141

10

17

142-145

11

17

142-145

12

18

146-153

13

18

146-153

155

19

Eje: Forma, espacio y medida Tema: Magnitudes y medidas Contenido: Calculas el perímetro de polígonos y del círculo desarrollando y aplicando fórmulas.

Recorriendo contornos 1. Lee y responde.

bu

ci ón

Los siguientes polígonos están formados por cinco cuadrados iguales unidos por sus lados. Los lados de cada cuadrado miden 3 cm.

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

a) ¿Las áreas de los 3 polígonos son iguales? Sí ¿Por qué?  R. M. Porque están formados por el mismo número de cuadrados de igual longitud.

   

b) ¿Cuál es el perímetro de cada polígono? De  izquierda a derecha, el primero: 36 cm, segundo: 30 cm y tercero: 36 cm Describe cómo los calculaste.R. M. Sumando las longitudes de cada uno de sus lados.

c) En tu cuaderno construye otros tres polígonos formados con 5 cuadrados del mismo tamaño y calcula sus perímetros. Ver solucionario

•• Compara tus polígonos y tus resultados con los del resto del grupo.

P

©

2. Analiza la sucesión de polígonos y responde.

Polígono 1

Polígono 2

Polígono 3

Polígono 4

a) ¿Qué polígono irá en el quinto lugar? Un  heptágono

Trimestre 2

b) ¿Cuántos lados tendrá el polígono que ocupa el noveno lugar? Once lados c) ¿Cuántos lados tendrá el polígono del decimotercer lugar? Quince lados 156

d) Escribe los datos que faltan en la tabla. Considera que los lados de los polígonos miden 2 unidades de longitud. Número de lados del polígono

Perímetro del polígono

1

3

21212o332

2

4

432

3

5

532

4

6

632

9

11

11 3 2

10

12

12 3 2

13

15

15 3 2

n

n12

(n 1 2) 3 2

bu

ci ón

Número de figura

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

e) Si cada lado de los polígonos midiera 5 unidades, ¿cuál sería el perímetro de los primeros tres polígonos de la sucesión? 15,  20 y 25 f) Escribe una expresión algebraica para el perímetro de un polígono regular de n lados en el cual cada lado mide 5 unidades. Perímetro 5 5n

g) Escribe una expresión algebraica para el perímetro de un polígono regular de n lados en el cual cada lado mide x unidades. Perímetro 5 nx

Glosario

polígono regular. Polígono con todos sus lados y todos sus ángulos de la misma medida.

•• Compara tus respuestas con las del resto del grupo. ¿Las expresiones algebraicas que escribieron son equivalentes?

Perímetro de polígonos

El perímetro de un polígono de n lados se obtiene sumando las longitudes de sus lados: a1 1 a2 1 a3 1 … 1 an. a1

a6

a5

y

a3

Secuencia didáctica 19. Recorriendo contornos

©

a2

a4

P

En el caso de un polígono regular de n lados cuyas longitudes miden y unidades, el perímetro se obtiene con la fórmula: y 1 y 1 y 1 … 1 y 5 ny n veces

157

3. Haz lo que se pide. Escribe dos expresiones algebraicas equivalentes para el perímetro de cada cuadrilátero. a)

b)

c)

m

m

w

y

ci ón

x

n

z

y P 5 2w 1 2z

    b) R. M. P 5 y 1 y 1 x 1 x

y P 5 2y 1 2x

    c) R. M. P 5 m 1 m 1 n 1 n

y P 5 2m 1 2n

bu

    a) R. M. P 5 w 1 w 1 z 1 z

n

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

•• Compara tus expresiones algebraicas con las de tus compañeros. Si hay errores, corrígelos.

¿Vamos bien?

Aplica lo que has aprendido para resolver lo siguiente. Al terminar, compara tus procedimientos y los resultados que obtuviste con los de tus compañeros. I. Encuentra el perímetro de los polígonos. a)

b)

c

3

a

2a

a

b

4a 1 b 1 c

y

x

x 1 2y 1 6

P

©

II. Responde.

a) ¿Cuánto mide el lado de un pentágono regular cuyo perímetro mide 30 cm? 6  cm b) ¿Cuánto mide cada lado de un rombo cuyo perímetro mide 60 cm? 15 cm c) El perímetro de un paralelogramo mide 48 cm y uno de sus lados mide 6 cm, ¿cuánto mide el otro lado? 18  cm

Trimestre 2

d) El perímetro de un cuadrado mide 16 cm, ¿cuánto mide su lado? 4 cm

158

Convivo en armonía

4. Reúnete con cuatro compañeros y hagan lo que se pide.

longitud de la circunferencia diámetro

7

22

3.1428

6

18.9

3.15

4

12.6

3.15

8

25.2

3.15

5

15.7

3.14

7.5

23.6

3.146

bu

Longitud de la circunferencia (cm)

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

Diámetro (cm)

Verifiquen que sus acuerdos sean producto de la reflexión y no de la decisión de una sola persona. Usualmente la idea tomada de común acuerdo genera buenos resultados, así como armonía durante el desarrollo de la actividad.

ci ón

Consigan algunos objetos cilíndricos (vasos, latas, tapas, etcétera). Luego midan el diámetro y la longitud de la circunferencia de la base o la tapa con un pedazo de cuerda o un estambre que no se estire. Registren sus resultados en la tabla.

¿Se parecen los números que registraron en la tercera columna? Sí se parecen.

•• Comparen los resultados que obtuvieron con los de otros equipos. ¿A qué piensan que se deben las diferencias?

El número p (pi) y el perímetro del círculo

Al número que resulta de dividir la longitud de la circunferencia (perímetro del círculo) entre la longitud del diámetro se le llama p (pi), que es una letra del alfabeto griego:

Secuencia didáctica 19. Recorriendo contornos

©

perímetro 5p diámetro

O bien:

perímetro 5 p 3 diámetro

P

El número p no tiene una expansión decimal finita ni periódica; su valor se encuentra entre 3.141592 y 3.141593. Las aproximaciones más empleadas para el valor de p son: p ≈ 3.14 y p ≈ 3.1416

159

5. En parejas, completen la tabla y después respondan. Usen como aproximación a p el valor 3.14. Diámetro de la circunferencia (u) 1

Perímetro de la circunferencia (u) 3.14 6.28

3

9.42

4

12.56

5

ci ón

2

15.7

a) ¿Cuánto aumenta el perímetro de la circunferencia si la longitud del diámetro se el doble duplica? Aumenta 

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

•• Discutan sus respuestas con el resto del grupo.

bu

b) ¿Y si se triplica? Aumenta el triple directa c) ¿Cuál es la razón de proporcionalidad en este caso? Proporcionalidad 

6. Responde.

a) Si el perímetro de una circunferencia mide 18.84 unidades, ¿cuánto mide su diámetro? 6 unidades ¿Y su radio? 3 unidades b) Si el perímetro de una circunferencia mide 6.28 unidades, ¿cuánto mide su diámetro? 2 unidades ¿Y su radio? 1 unidad c) Si el perímetro de una circunferencia mide 2 3 p, ¿cuánto mide su diámetro? 2 unidades ¿Y su radio? 1 unidad

•• Discute tus respuestas con el resto del grupo.

7. Reúnete con un compañero, analicen las figuras y respondan.

P

©

El diámetro de los círculos mide 2 unidades.

a) ¿Cuál es el perímetro del círculo verde? 2p b) ¿Cuál es el perímetro de la figura roja? p

¿Por qué? R. M. Porque es solo

la  mitad de la circunferencia.

c) ¿Cuál es el perímetro de la figura azul? p/2

¿Por qué? R.  M. Porque es un

Trimestre 2

cuarto de la circunferencia.  •• Comparen sus respuestas con las del resto del grupo. Si hay errores, corríjanlos. 160

¿Qué aprendí? Resuelve los problemas. Al terminar, revisa tus procedimientos y tus resultados con ayuda de tu profesor. 1. Responde.

b) El perímetro del triángulo isósceles mide 28 cm, ¿cuánto mide el lado c? 6 cm

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

bu

11 cm

ci ón

a) El perímetro de un paralelogramo mide 30 cm. Si uno de los lados del paralelogramo mide 5 cm, ¿cuánto mide el otro lado? 10 cm

c

c) El perímetro de un polígono regular con lados de 3 cm de longitud es de 18 cm. ¿Cuántos lados tiene el polígono? 6  lados

2. Para responder las preguntas usa 3.1416 como aproximación al valor de p.

 cm a) ¿Cuánto mide el diámetro de un círculo con perímetro 25.1328 cm? 8 cm b) ¿Cuánto mide el diámetro de un círculo con perímetro 12.5654 cm? 3.99  c) ¿Cuánto mide el diámetro de un círculo con perímetro 3.1416 cm? 1 cm

3. Calcula el perímetro de la siguiente figura. Usa 3.14 como aproximación al valor de p. Perímetro  38.84 cm 10 cm

6 cm

Calculo el perímetro de polígonos y del círculo desarrollando y aplicando fórmulas. A

Requiero ayuda para realizarlo.

B

Lo hago, pero en ocasiones necesito ayuda.

C

Lo hago de manera autónoma.

161

Secuencia didáctica 19. Recorriendo contornos

P

4. ¿Cuál es el perímetro de la figura verde? Perímetro  18.84 cm

Contenido

Nivel de logro

©

6 cm

Marca con una ✔ la casilla que describe tu desempeño.

20

Eje: Forma, espacio y medida Tema: Magnitudes y medidas Contenido: Calculas áreas de triángulos y cuadriláteros desarrollando y aplicando las fórmulas.

Explorando áreas 1. Reúnete con un compañero y hagan lo que se pide. Se quiere colocar pasto en un terreno con la siguiente forma.

55 m

54 m

bu

25 m

ci ón

30 m

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

a) Tracen rectas auxiliares para descomponer el terreno en figuras que conozcan. ¿Cuántas figuras construyeron? R. M. 3 ¿Cuáles son sus dimensiones? R.  M. Un rectángulo de 54 m de largo y 25 m de alto; un cuadrado de lado 30 m y un triángulo rectángulo cuyos lados miden 30 m y 24 m. b) ¿Cuál es el área de cada una de las partes en que dividieron el terreno?

R.  M. Rectángulo 5 1 350 m2, cuadrado 5 900 m2 y triángulo rectángulo 5 360 m2

c) Si el precio del metro cuadrado de pasto es de $35.00, ¿cuánto costará cubrir de 2 610 m2 por lo costará $91 350. pasto el terreno? Hay 

•• Comparen sus respuestas y procedimientos con el resto del grupo. Si hay errores, corríjanlos.

©

2. Analiza las figuras y haz lo que se pide.

Trimestre 2

P

a) El cuadrado rojo tiene un área de 1 cm2. ¿Cuál es el área de los otros dos cuadrados? Cuadrado azul: 4 cm2 de área 

b) Si continuaras esta sucesión de figuras, ¿cuál sería el área del cuarto cuadrado? 2 16 cm2 ¿Y la del quinto? 25 cm ¿Cuál sería el área del octavo cuadrado de la sucesión? 64  cm2

162

Cuadrado verde: 9 cm2 de área

c) Escribe una expresión algebraica para representar el área de un cuadrado con ladel cuadrado 5 n 3 n, que se escribe n2 cm2 dos de n cm de longitud. Área  •• Compara la expresión algebraica que escribiste con las del resto del grupo. Si hay diferencias, lleguen a un acuerdo.

3

4

4

4

bu

2

1

ci ón

3. Analiza la sucesión de figuras y responde.

a) ¿Cuál es el área de los primeros tres términos de la sucesión? 4 u2, 8 u2 y 12 u2 

¿Cuál es el

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

b) ¿Qué altura tiene el décimo rectángulo de la sucesión? 10 u área del décimo término de la sucesión? Área 5 40 u

2

c) Escribe una expresión algebraica para el área del término n de la sucesión.

Área = 4n u2

d) Si la base de los rectángulos de la sucesión midiera k unidades, ¿cuál expresión 5 kn u2 algebraica representaría el área del término n de la sucesión? Área 

e) ¿Cuál expresión algebraica representa el área de un rectángulo con base de a 5 ab u2 unidades y altura de b unidades? Área 

•• Compara las expresiones algebraicas que escribiste con las del resto del grupo. Si hay diferencias, argumenten su posición y lleguen a un acuerdo.

Fórmulas para el área de cuadrados y rectángulos

Secuencia didáctica 20. Explorando áreas

©

El área de una figura es el número de cuadrados unitarios (la unidad de medida para el área) que caben en ella. Si el cuadrado unitario es de 1 cm por 1 cm, el área quedará expresada en centímetros cuadrados (cm2); si el lado del cuadrado unitario es de 1 m, el área quedará expresada en metros cuadrados (m2), etcétera.

P

Si el lado de un cuadrado mide a unidades, su área se calcula con la fórmula: a 3 a 5 a2

La fórmula para calcular el área de un rectángulo es: a 3 b 5 ab donde a y b son las longitudes de sus lados, también llamados base y altura.

163

4. Reúnete con un compañero y respondan. a) ¿En cuáles expresiones algebraicas se representa el área del rectángulo? La primera, la tercera y la cuarta, contando de izquierda derecha.

x

4

2

ci ón



bu

4x 1 2x     4 1 2 1 x    6x    (4 1 2)x

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

b) Comprueben sus respuestas sustituyendo la literal x por algún valor numérico. R. M. Para x = 2 u, área = 12 u2 •• Comparen sus respuestas con las del resto del grupo y después lean la siguiente información.

Expresiones algebraicas equivalentes

Dos o más expresiones algebraicas son equivalentes si representan la misma cantidad. Por ejemplo: 4a 5 a 1 a 1 a 1 a 5xy 1 2xy 5 7xy xy y 5x 2 2

Una forma de comprobar que dos expresiones son equivalentes es sustituir las literales por un valor numérico y hacer las operaciones. Por ejemplo, las expresiones 3n 1 6 y 3(n 1 2) son equivalentes, pues al sustituir n por el valor 5 en la primera, se obtiene 3(5) 1 6 5 15 1 6 5 21 y en la segunda, 3(5 1 2) 5 3(7) 5 21.

©

¿Vamos bien?

Aplica lo que has aprendido para resolver lo siguiente. Al terminar, compara tus procedimientos y los resultados que obtuviste con los de tus compañeros.

Trimestre 2

P

Escribe dos expresiones algebraicas equivalentes para el área de la figura. R. M. 3.2(3a) y 3.2(a 1 2a) 3.2 a

164

2a



5. Reúnete con un compañero, analicen la figura y respondan. En la imagen se muestran el triángulo ABC (rojo), una recta paralela al lado AB que pasa por el vértice C y una recta paralela al lado BC que pasa por el vértice A. Al punto de intersección de las rectas paralelas se le llamó D. D A

B

a) ¿Qué tipo de paralelogramo es el cuadrilátero ABCD? R. M. Un rectángulo

Expliquen su respuesta.

 R. L.

bu

b) ¿Son congruentes los triángulos ABC y CDA?  Sí

ci ón

C

c) Si el segmento AB mide a unidades y el segmento BC mide b unidades, ¿cómo se

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

calcula el área del rectángulo ABCD?  Multiplicando a por b

d) ¿Qué relación guarda el área del triángulo ABC respecto al área del rectángulo ABCD? Área de ABC es igual a 1/2 del área de ABCD

e) Escriban una expresión algebraica para el área del triángulo ABC.  Área5 ab/2

•• Discutan sus conclusiones con el resto del grupo. Si hay diferencias, lleguen a un acuerdo. 6. Analiza la figura y responde. A

a

b

E

D

c

d

C

a) Escribe una expresión algebraica para el área del rectángulo ABFE. R. M. El área se puede expresar como ac. b) Observa que el segmento EB es diagonal del rectángulo ABFE. ¿Qué relación hay entre el área del triángulo EBF y el área del rectángulo ABFE? Es la mitad.

c) ¿Cuál es la fórmula para el área del rectángulo FCDE? R.  M. El área se puede expresar como bc. d) ¿Qué relación hay entre el área del triángulo FCE y el área del rectángulo FCDE? Es la mitad.

e) Compara las bases del triángulo rojo BCE y del rectángulo ABCD. ¿Qué puedes decir de ellas? Son  iguales

Glosario altura de un triángulo. Es el segmento de recta perpendicular a cualquiera de los lados del triángulo que pasa por el vértice opuesto a dicho lado. También se llama altura del triángulo a la longitud de este segmento.

f) ¿Cómo son la altura del triángulo rojo BCE y la del rectángulo ABCD? Son iguales. 165

Secuencia didáctica 20. Explorando áreas

F

P

©

B

g) ¿Qué relación existe entre el área del triángulo rojo BCE y el área del rectángulo ABCD? Es la mitad. h) Escribe una expresión algebraica para el área del triángulo BCE. R.  M. Área 5 cd/2 •• Discute tus conclusiones con el resto del grupo. Si hay diferencias, lleguen a un acuerdo. 7. Reúnete con un compañero y hagan lo que se pide.

bu

A

a b B

ci ón

a) En sus cuadernos construyan un triángulo obtusángulo ABE (E es el vértice correspondiente al ángulo obtuso). Con ayuda de sus escuadras, tracen perpendiculares al lado AB del triángulo en los puntos A y B. Ahora tracen una paralela al lado AB que pase por el vértice E. Llamen C y D a los puntos de intersección de la paralela con las perpendiculares.

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

E

b) Escriban una expresión algebraica para el área del rectángulo ABCD.   Área 5 ab

•• Comparen sus expresiones algebraicas con las del resto del grupo. Si hay diferencias, lleguen a un acuerdo.

Fórmula para el área de triángulos

Dado cualquier triángulo, siempre es posible construir un rectángulo cuya base coincida con alguno de los lados del triángulo y de modo que el tercer vértice esté en el lado opuesto a la base del rectángulo. El área del triángulo es la mitad del área del rectángulo así construido. b

c

b

h

j

c

a

a

P

©

c

Trimestre 2

b

a

Por esa razón, la fórmula para calcular el área de un triángulo es: ah 2

donde a es la longitud de uno de sus lados y h es la altura respecto a ese lado. Si se toma como base del triángulo el lado b y su correspondiente altura j, la fórmula es bj ck ; y si se toma como base el lado c y su altura k, la fórmula es . 2 2

166

k

¿Vamos bien? Aplica lo que has aprendido para resolver lo siguiente. Al terminar, compara tus procedimientos y los resultados que obtuviste con los de tus compañeros. I. El área del triángulo es de 6 unidades cuadradas. ¿Cuánto mide la base AC?

A

ci ón

4 u C 3

B

y

bu

II. Escribe una expresión algebraica para el área de la figura. Área 5 (3/2)hy y

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

h

y

8. Reúnete con un compañero, analicen la figura y respondan.

El romboide ABCD y el rectángulo BCEF tienen como lado común el BC y sus alturas son iguales (EC). F

A

B

E

D

C

b) ¿Cómo son sus áreas? Iguales

Secuencia didáctica 20. Explorando áreas

©

a) ¿Cómo son los triángulos AFB y DEC? Iguales 

c) ¿Hay alguna diferencia entre el área del rectángulo y el área del romboide?

P

No

d) Escriban una expresión algebraica para el área de un romboide con base de longitud b y altura h. Área 5 bh

•• Comparen su expresión algebraica con las de las demás parejas. Si hay alguna diferencia, identifiquen a qué se debe y validen sus expresiones. 167

9. Sigue las instrucciones y responde.

b Q

N

a) Traza en una hoja de papel un trapecio MNPQ. Recuerda que un trapecio es un cuadrilátero que tiene dos lados paralelos. P

B

b) Haz una copia M’N’P’Q’ del trapecio MNPQ y recórtala. Coloca la copia de manera que los lados MN y M’N’ coincidan (M’ sobre N y N’ sobre M). N’ M

P’

Q

ci ón

M

h Q’

P

M’N

c) Si la base mayor del trapecio mide B unidades y la base menor mide b unida-

bu

des, ¿cuál es la medida de los lados Q’P y P’Q del paralelogramo que se formó? B  1b d) ¿Hay alguna diferencia entre la altura del trapecio y la del paralelogramo? No

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

e) ¿Cuál es el área del paralelogramo P’Q’PQ? R. M. h (B  b), donde h es la altura f) ¿Qué relación hay entre el área del paralelogramo y el área del trapecio MNPQ? El  área del trapecio es la mitad del área del paralelogramo.

g) Escribe una expresión algebraica para el área del trapecio. A  (B  b)h/2

Para saber más

10. Reúnete con un compañero y hagan lo que se pide.

En las siguientes imágenes se muestra el proceso de transformación de un rombo en un rectángulo. La diagonal mayor del rombo mide D unidades y la diagonal menor mide d unidades.

D

A

B

C

E

d

E

A

C B

Trimestre 2

P

©

Lee y resuelve el problema 67, “Con doce cerillas”, de la sección 8, “Rompecabezas de Geometría”, del libro Matemáticas recreativas, de Yakob Perelman, de la serie Espejo de Ucrania de la colección Libros del Rincón. Si después de varios intentos no lo logras, revisa la solución en la segunda parte del libro.

•• Compara tu expresión algebraica con las del resto del grupo. Si hay alguna diferencia, lleguen a un acuerdo.

a) ¿Cuánto mide la base del rectángulo obtenido? d unidades unidades b) ¿Cuánto mide la altura del rectángulo obtenido? D/2  5 dD/2 c) Escriban una expresión algebraica para el área del rombo. Área 

•• Comparen su expresión algebraica con las del resto del grupo. Si hay alguna diferencia, lleguen a un acuerdo. 168

¿Qué aprendí? Resuelve los problemas. Al terminar, revisa tus procedimientos y resultados con ayuda de tus compañeros y tu profesor. 1. Encuentra el valor de la altura del rectángulo. 7.3745 m

Para saber más

16.5 m

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

w

bu

2. Escribe dos expresiones algebraicas equivalentes para el área de la figura.

Ingresa al sitio www.esant.mx/ essema1-015 y practica lo que has aprendido sobre áreas de paralelogramos.

ci ón

Área 5 121.68 m2

w

R. M. Área 5 4W2

y Área5 W2 1 W2 1 W21 W2

3. Los lados del rectángulo miden 8 y 6 cm respectivamente. Los vértices del cuadrilátero anaranjado son los puntos medios de los lados del rectángulo. ¿Cuál es el área del cuadrilátero anaranjado? 24 cm2

b) ¿Cuál es el área del cuadrado? 18  cm2

Contenido Calculo áreas de triángulos y cuadriláteros desarrollando y aplicando las fórmulas. A

Requiero ayuda para realizarlo.

B

Lo hago, pero en ocasiones necesito ayuda.

C

Lo hago de manera autónoma.

169

Secuencia didáctica 20. Explorando áreas

a) ¿El cuadrado es también un rombo? Sí

Marca con una ✔ la casilla que describe tu desempeño.

Nivel de logro

P

©

Escribe el procedimiento que seguiste para encontrar el área. R. M. Se calcula el el área del rectángulo y las áreas de los 4 triángulos formados. En seguida restamos al área del rectángulo azul la suma de las áreas de los triángulos. El resultado es el área del cuadrilátero anaranjado 4. Las diagonales de un cuadrado miden 6 cm.

Áreas de triángulos

1. Traza las alturas de un triángulo siguiendo estos pasos.

ci ón

Abre una hoja de GeoGebra. Coloca el cursor en “Vista Gráfica” y oculta los ejes y la cuadrícula.

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

bu

a) Con la herramienta “Polígono” del quinto icono traza un triángulo acutángulo. Con la herramienta “Perpendicular” del cuarto icono traza una perpendicular al lado AB que pase por el vértice C.

Imagen 1

P

©

b) Usando la herramienta “Intersección” (segundo icono) señala el punto donde la perpendicular corta al lado AB del triángulo y con la herramienta “Segmento” traza el segmento CD. Oculta la recta perpendicular.

Imagen 2

c) Siguiendo el mismo procedimiento, construye las otras dos alturas del triángulo ABC.

Trimestre 2

•• Escribe las tres expresiones algebraicas para el área del triángulo ABC; llama a, b y c a las longitudes de los lados AB, AC y BC y g, h y k a las de las alturas correspondientes a cada lado. Área del triángulo 5 ag/2 5 bh/2 5 ck/2 170

ci ón

d) En una nueva hoja de GeoGebra construye un segmento AB y una recta perpendicular al segmento que pase por alguno de sus extremos. Con la herramienta “Punto en objeto” señala un punto C sobre la perpendicular y traza el triángulo ABC con la herramienta “Polígono” (quinto icono). Oculta la recta perpendicular (imagen 3). •• ¿Cuál segmento corresponde a la altura del triángulo respecto al lado AB? El segmento AC, o equivalentemente, el lado b.

bu

e) Construye las otras dos alturas del triángulo.

Imagen 3

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

f) En una nueva hoja de GeoGebra, traza un triángulo obtusángulo ABC.

Imagen 4

P

©

g) Con la herramienta “Recta” (tercer icono) traza una recta que contenga alguno de los lados adyacentes al ángulo obtuso. Coloca el cursor sobre la recta y, presionando el botón derecho del ratón, elige la opción “Propiedades”; en la ventana que se abre, elige “Estilo” y ahí selecciona el “Estilo de trazo” punteado. Cierra la ventana.

Imagen 5 171

ci ón

h) Traza una recta perpendicular a la recta punteada, que pase por el vértice opuesto al lado contenido en la recta. Con la herramienta “Intersección” (segundo icono) señala el punto D donde se cortan las rectas. Y con la herramienta “Segmento” traza el segmento que une D con el vértice opuesto al lado que elegiste (imagen 6). Oculta la recta perpendicular. Imagen 6

Observa que el pie de la altura correspondiente al lado AB está fuera del triángulo, sobre la prolongación del lado AB.

bu

i) Siguiendo los pasos anteriores, construye la altura correspondiente al otro lado adyacente al ángulo obtuso.

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

2. Sigue estos pasos para comparar el área de un triángulo obtusángulo con el área de un rectángulo construido sobre uno de los lados adyacentes al ángulo obtuso. a) Abre una nueva hoja de GeoGebra y con la herramienta “Polígono” del quinto icono construye un triángulo obtusángulo ABC.

Imagen 7

Trimestre 2

P

©

b) Traza perpendiculares a uno de los lados adyacentes al ángulo obtuso del triángulo que pasen por los extremos del lado (en este ejemplo son B y C).

Imagen 8 172

bu

Imagen 9

ci ón

c) Traza una perpendicular a las rectas que acabas de trazar que pase por el vértice opuesto al lado que elegiste. Con la herramienta “Intersección” (segundo icono) señala los puntos donde se cortan las dos primeras rectas con la tercera.

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

d) Construye el rectángulo BCED con la herramienta “Polígono” del quinto icono. Oculta las rectas que construiste y, si quieres, cambia el color al rectángulo presionando el botón derecho del ratón y seleccionando la opción “Propiedades-Color”.

Imagen 10

P

©

•• ¿Qué relación hay entre la altura del triángulo ABC correspondiente al lado BC y la altura BD del rectángulo BCED? Son segmentos de recta paralelas y además tienen igual longitud. •• ¿Qué relación hay entre el área del triángulo ABC y la del rectángulo BCED? El área del triángulo siempre es la mitad del área del rectángulo. e) Repite la construcción para el otro lado adyacente al ángulo obtuso y compara el área del triángulo con el área del rectángulo.

Imagen 11 173

21

Eje: Número, álgebra y variación Tema: Proporcionalidad Contenido: Resuelves problemas de cálculo de porcentajes, del tanto por ciento y de la cantidad base.

Tanto por ciento 1. Lee y contesta con un compañero.

ci ón

En un centro comercial, varias tiendas anuncian descuentos en playeras de moda. En la tienda Ropa Casual ofrecen tres playeras por el precio de dos. En la tienda Tu Moda anuncian: “¡Llévese una playera y la segunda va a mitad de precio!”. En la tienda Julia, el precio de las playeras tiene 30% de descuento. Supón que las playeras que te interesan cuestan $100 cada una. ¿Cuál de las tres tiendas ofrece un descuento mayor? La tienda Ropa Casual

bu

•• Expliquen a sus compañeros cómo llegaron a la respuesta. Comparen su procedimiento con los de ellos y verifiquen que todos sean correctos. 2. Reúnete con un compañero y trabajen en lo siguiente.

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

Esta es la información del número de alumnos aprobados en tres grupos de la clase de Arte: Grupo A B C

Aprobados 17 16 18

No aprobados 10 9 12

a) Analicen cómo pueden determinar qué grupo tuvo mejor desempeño. Escriban el criterio que utilizaron y la conclusión a la que llegaron. R.  M. En cada grupo, se



divide el número de aprobados entre el número total de alumnos.

b) ¿Por qué no es suficiente con observar cuál de los grupos tiene más alumnos aprobados o menos no aprobados? R.  M. Porque cada grupo tiene diferente número de alumnos. c) ¿Cómo se puede hacer una comparación que contemple que los grupos tienen

Trimestre 2

P

©

distintos tamaños? R. M. Dividiendo el número de aprobados entre el total de alumnos, es decir, aprobados/(aprobados + no aprobados). •• Comparen sus respuestas y comenten sus opiniones sobre la mejor manera de hacer la comparación. 3. Recuerda lo que has estudiado sobre porcentajes y contesta.

a) Si 5% significa 5 de cada 100, ¿cuánto es 5% de 200? 10 ¿Cuánto es 5% de 500? 25 ¿Y 5% de 50? 2.5 b) Si 30% significa 30 de cada 100, ¿cuánto es 30% de 300? 90  ¿Cuánto es 30% de 450? 135 ¿Y 30% de 45? 13.5

•• Compara tu procedimiento y resultados con un compañero. 174

4. Responde y haz lo que se indica. a) ¿Cuántos cuadrados pequeños contiene el siguiente cuadrado? 100 cuadrados pequeños b) Identifica qué parte del área del cuadrado está cubierta por cada color y completa la tabla.

Amarillo

Área cubierta por cada color (u2) Fracción Decimal Porcentaje 18/100 0.18 18%

Rojo

41/100

0.41

41%

Azul

25/100

0.25

25%

Café

6/100

0.06

6%

Verde

10/100 0.1

bu

10%

ci ón

Color

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

c) Colorea el cuadrado de la derecha de manera que se cumpla con lo siguiente: •• 50% del área sea amarilla. 1

•• 4 del área sea azul.

•• 0.1 del área sea verde.

•• el resto del área sea roja.

•• Compara tus respuestas con tus compañeros y comenten la siguiente información.

Porcentaje o tanto por ciento

La frase n por ciento de una cantidad A significa tomar n unidades por cada 100 que haya en A. Así que una forma de calcular el n por ciento de A es dividir A entre 100 y multiplicar el resultado por n. Como se cumplen las igualdades n

( )5 A 100

( )

An 5A n , 100 100

n

Secuencia didáctica 21. Tanto por ciento

©

el cálculo de n% de A también se puede hacer multiplicando A por 100 . Así que el tanto por ciento se puede escribir como una fracción con denominador 100, n n% 5 , y esa fracción también se puede escribir en forma decimal. 100

P

Ejemplos:

•• Como 1 5 50 5 50% 5 0.5, la mitad de cualquier cantidad es el 50% de ella 100 2 y se puede obtener multiplicando la cantidad por 0.5. •• Como 1 5 1% 5 0.01, la centésima parte de cualquier cantidad es el 1% de ella y 100 se puede obtener multiplicando la cantidad por 0.01. 175

.

.

d) El 1% de 8 000 es 80 e) El 10% de 4 es 0.4

.

f) El 50% de 60 es 30

.

a) El 10% de 70 es 7

.

b) El 50% de 700 es 350 c) El 1% de 800 es 8

.

•• Compara tus respuestas con tus compañeros y corrige si encuentras algún error. Junto con tus compañeros, practica el cálculo mental de 50%, 10% y 1% de otras cantidades. Pueden usar calculadora para verificar sus cálculos mentales.

ci ón

En el sitio www. esant.mx/ essema1-016 encuentra los porcentajes equivalentes a las 1 6 fracciones , 9 7 y las fracciones equivalentes a 32% y 45%. ¿Qué es más grande: 10 o 95%? 11

5. Calcula mentalmente y escribe el resultado.

6. Resuelve los problemas con un compañero.

a) Una empresa que hace encuestas envía un cuestionario a 3 000 usuarios de internet. Por experiencia se sabe que nada más 35% de las personas que re-

bu

Para saber más

ciben cuestionarios los regresan contestados. ¿Cuántos usuarios se espera que contesten? 1 050 usuarios

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

b) María vio en internet el celular que le gusta a un precio de $935.00 más IVA. Si el IVA (impuesto al valor agregado) es de 16%, ¿cuánto debe reunir María para comprar el celular? $ 1 084.6

•• Contrasten sus procedimientos y comparen sus resultados con el resto del grupo.

¿Vamos bien?

Resuelve lo siguiente con base en lo que has aprendido. Al terminar, compara tus respuestas con las de tus compañeros y corrijan si es necesario.

Trimestre 2

P

©

I. Completa la tabla.

176

Porcentaje

Número decimal

Fracción

30%

0.3

3/10

8%

0.08

8/100

6%

0.006

3 50

II. Una población tiene 35 000 habitantes y 15% de ellos tiene acceso a internet en su casa. ¿Cuántas personas del poblado cuentan con ese servicio? 5 250 habitantes III. Si el salario mínimo diario era de $84.50 y aumentó 3.5%, ¿cuál es el nuevo salario mínimo diario? $87.45

El 85%

El 125%

a) Un porcentaje menor a 100% de una cantidad A es menor b) El 100% de una cantidad A es igual que A.

que A.

c) Un porcentaje mayor a 100% de una cantidad A es mayor

que A.

•• Discute tus respuestas con tus compañeros y juntos comenten el significado de porcentajes mayores a 100%. Elaboren un cartel con la explicación y ejemplos.

Marca con una ✔ la casilla que describe tu desempeño. Contenido Resuelvo problemas de cálculo de porcentajes, del tanto por ciento y de la cantidad base.

Nivel de logro

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

bu

El 100%

ci ón

7. Colorea la parte de los cuadrados que se indica en cada caso. Después completa los enunciados usando las palabras mayor, menor o igual.

A

Requiero ayuda para realizarlo.

B

Lo hago, pero en ocasiones necesito ayuda.

C

Lo hago de manera autónoma.

¿Qué aprendí?

Trabaja los siguientes ejercicios y problemas. Al terminar, revisa tus procedimientos y resultados con tu profesor y corrige si encuentras errores.

Secuencia didáctica 21. Tanto por ciento

©

1. En una venta de viviendas, se pide 5% del valor como enganche. Si una vivienda 000.00 cuesta $1 200 000, ¿cuánto se debe pagar de enganche? $60 

P

2. Luis compró una patineta. El precio marcado era de $1 800, pero tenía un descuento de 20%. ¿Cuánto pagó por la patineta? $1  440.00

3. En un teatro con 140 localidades, se vendió 65% del cupo. ¿Cuántas localidades quedaron vacías? 49 localidades 4. Un horno de microondas cuesta $1 050. A ese precio se le aplica primero el IVA de 16% y luego un descuento de 30%. ¿Cuál es su precio final? $852.60 177

22

Eje: Número, álgebra y variación Tema: Proporcionalidad Contenido: Resuelves problemas de cálculo de porcentajes, del tanto por ciento y de la cantidad base.

Más sobre porcentajes 1. Lee y contesta con un compañero. Laura trabaja en una tienda de ropa y le pagan, como comisión, 12% de lo que vende.

b) Y si vende $3 000, ¿cuánto recibe? $360.00 

ci ón

a) Si vende $1 000, ¿cuánto recibe de comisión? $120.00 c) Expliquen por qué el monto de ventas y el de la comisión que recibe Laura son cantidades proporcionales. R. M. Porque la comisión que recibe depende de lo   d) ¿Cuál es el factor de proporcionalidad? 0.12

bu

que ella venda.

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

e) Si la semana pasada vendió $4 650, ¿cuánto recibió de comisión? $558.00 f) ¿Cuánto tendrá que vender para recibir $600 de comisión? $5 000.00

•• Expliquen su procedimiento a sus compañeros de grupo y comparen sus resultados. 2. Resuelve mentalmente.

Una mesera ha atendido cinco mesas en las últimas dos horas. En esas mesas se han consumido alimentos por $821, $453, $398, $579 y $781. Suponiendo que todos los clientes le dan una propina de 10% de la cuenta, haz un cálculo aproximado de la propina que va a recibir por las cinco cuentas. $303.2

•• Comparte con tus compañeros la forma en que aproximaste el resultado y comparen sus cálculos. 3. Resuelve. Cuando sea necesario, usa dos cifras decimales.

= 1/5 a) Escribe la fracción que indica qué parte es 8 de 40. 8/40 

P

©

Determina el número decimal correspondiente a esta fracción. 0.2 Con base en lo anterior, indica qué porcentaje es 8 de 40. 20%

b) ¿Qué parte es 25 de 200? 1/8

¿Qué porcentaje es 25 de 200? 12.5% 

c) Escribe el número decimal que indica qué parte es 30 de 480. 0.0625 ¿Qué porcentaje es 30 de 480? 6.25%

Trimestre 2

d) Determina qué porcentaje es 65 de 80. 81.25%  e) ¿Qué porcentaje es 24 de 30? 80% 

178

f) ¿Cómo se determina qué porcentaje es 30 de 24? R. M. Divides 30 entre 24 y multiplicas el resultado por 100. ¿Este porcentaje es mayor o menor que 100%? Es mayor que el 100% de 24. •• Revisa tus respuestas con un compañero y juntos describan un procedimiento para determinar qué porcentaje representa una cantidad respecto a otra. Comparen su procedimiento con los de sus compañeros.

ci ón

4. Reúnete con un compañero y resuelvan los problemas. a) A un depósito de agua le caben 2 500 litros. ¿Qué porcentaje de su capacidad contiene si tiene 1 575 litros de agua? 63% 

b) Un dispositivo electrónico que costaba $1 800 fue rebajado a $1 584. ¿Qué por-

bu

centaje del precio original fue descontado? 12% 

c) Una empresa debe dar a sus trabajadores un reparto de utilidades de 11% de la ganancia que tuvo durante el año anterior. Si la cantidad que distribuye

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

entre los trabajadores es de $49 500, ¿cuál fue la ganancia anual de la empresa? $450 000.00

•• Comparen sus respuestas y el procedimiento que emplearon al resolver los problemas. Comenten con sus compañeros en qué se parecen las situaciones de los tres problemas. Después revisen la siguiente información.

Cálculo del tanto por ciento

Para determinar a qué porcentaje de A corresponde la cantidad m, se puede dividir m entre A y convertir el número decimal obtenido a un tanto por ciento.

Por ejemplo, para calcular qué porcentaje es 12 de 400, se divide 12 4 400 5 0.03. De ahí se obtiene que 12 es el 3% de 400.

¿Vamos bien?

©

Secuencia didáctica 22. Más sobre porcentajes

Resuelve lo siguiente con base en lo que has aprendido. Al terminar, compara tus respuestas con las de tus compañeros y corrijan si es necesario. I. Calcula lo que se solicita.

P

a) ¿Qué cantidad es el 42% de 316? 132.72

b) ¿Qué porcentaje es $1 250 de $2 000? 62.5%

II. En un sindicato con 520 afiliados, 364 votaron por la planilla Violeta. ¿Qué porcentaje de los afiliados votó por esa planilla? 70% 179

5. Lee y resuelve. a) Escribe la multiplicación que debes hacer para determinar el 35% de 640. 640 3 0.35  Anota el resultado de la operación. 224 b) Si sabes que el 35% de una cantidad es 224, ¿qué división debes hacer para encontrar esa cantidad? 224 ÷ 0.35 ella es 840? 840 ÷ 0.42 ¿Cuál es esa cantidad? 2  000

ci ón

c) ¿Qué división debes hacer para encontrar una cantidad si sabes que el 42% de

Verifica tu respuesta calculando el 42% de la cantidad que obtuviste.

bu

d) Encuentra un número tal que su 60% sea 10.8. 18 

e) ¿Qué división debes hacer para determinar la cantidad que es el 100% si el 115% es 46? 46 4 1.15

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

¿Cuál es esa cantidad? 40

Verifica tu respuesta determinando el 115% de la cantidad que obtuviste.

•• Revisa tus respuestas con un compañero y juntos describan un procedimiento para determinar una cantidad sabiendo que otra cantidad es su n por ciento. Comparen su procedimiento con los de sus compañeros. 6. Completa.

a) Si hay un descuento de 12% en la compra de un producto, se tiene que pagar el 88% % del precio original. b) Si un auto ya consumió 37% de la gasolina que traía en el tanque, le falta por consumir el  63% %. c) Si al comprar un producto se debe pagar 16% de IVA, se paga el  116%

%

del precio sin IVA.

•• Compara tus respuestas con tus compañeros y lleguen a un acuerdo.

P

©

7. Reúnete con un compañero y resuelvan los problemas.

a) Un pantalón que tiene 20% de descuento cuesta $784. ¿Cuál era el precio antes del descuento? $980.00 

b) Me descontaron 25% en la compra de un libro y ahorré $122. ¿Cuánto costaba el libro antes del descuento? $488.00 

Trimestre 2

•• Expliquen a sus compañeros cómo llegaron a las respuestas y comparen sus procedimientos. Después revisen la información de la siguiente página.

180

Cálculo de la cantidad base Un método para determinar una cantidad cuyo n por ciento es m, es convertir n por ciento a decimal y dividir m entre ese número decimal.

A la cantidad que representa el total o el 100%, se le llama cantidad base.

¿Qué aprendí?

bu

El porcentaje que se obtiene después de una reducción de n por ciento es de (100 2 n) por ciento y el porcentaje que se obtiene al aplicar un aumento del n por ciento es (100 1 n) por ciento.

ci ón

Por ejemplo, para encontrar la cantidad cuyo 85% es 3 485, se puede usar que 85% es 0.85 y dividir 3485 4 0.85 5 4 100.

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

Trabaja los siguientes ejercicios y problemas. Al terminar, revisa tus procedimientos y tus resultados con tu profesor. Corrige si encuentras errores. 1. En una temporada de descuentos, una tienda de ropa ofrece precios reducidos en distintos porcentajes.

a) ¿Qué porcentaje de descuento tiene una falda que costaba $650 y está rebajada a $552.5? 15% 

b) ¿Cuánto cuesta un vestido cuyo precio era $550 si ahora tiene un descuento de 20%? $440.00

c) En la compra de un saco con 25% de descuento se obtiene un ahorro de $185. ¿Cuánto costaba el saco antes del descuento? $740.00 

2. Indica qué porcentaje del área de la figura está cubierta de cada color.

Anaranjado 1/24

P

3. Una florería aumenta sus precios 20% del 9 al 15 de mayo. A partir del 16 de mayo, la florería anuncia un descuento de 20% en los precios que tenía hasta el día anterior. Un arreglo floral costaba $350 el 5 de mayo. a) ¿Cuánto costaba el mismo arreglo el 10 de mayo? $420.00  b) ¿Cuánto costaba el mismo arreglo el 17 de mayo? $336.00 c) ¿Por qué los precios no vuelven al monto original?  Ver solucionario

Contenido Resuelvo problemas de cálculo de porcentajes, del tanto por ciento y de la cantidad base. A

Requiero ayuda para realizarlo.

B

Lo hago, pero en ocasiones necesito ayuda.

C

Lo hago de manera autónoma.

181

Secuencia didáctica 22. Más sobre porcentajes

©

Amarillo 7/24 Azul 1/6

Marca con una ✔ la casilla que describe tu desempeño.

Nivel de logro

Verde 1/6 Rojo 1/3

Fracciones, decimales y porcentajes Haz lo que se indica para identificar valores de fracciones, decimales y porcentajes equivalentes entre sí.

ci ón

a) Abre una hoja de cálculo y, en la primera fila de las tres primeras columnas, escribe los títulos “Fracción”, “Decimal” y “Porcentaje”.

bu

b) Antes de escribir en la primera columna, selecciona las celdas de la 2 a la 20. Usa el botón auxiliar para ir a “Formato de celda”, y en la pestaña “Número”, elige la opción “Fracción” y el tipo “Hasta dos dígitos”.

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

c) Escribe las fracciones que se muestran en la imagen 1. Selecciónalas y cópialas en las dos columnas siguientes buscando el símbolo (1) en la parte inferior derecha manteniendo presionado el botón principal. d) Selecciona la segunda columna, debajo del título “Decimal”. Busca “Formato de celda”, y en la pestaña “Número”, elige la opción “Número” con tres cifras decimales. e) Selecciona la tercera columna, debajo del título “Porcentaje”, y esta vez elige el formato “Porcentaje” con dos cifras decimales. f) Analiza los números que obtuviste en las tres columnas y la equivalencia de las expresiones escritas en cada renglón.

Imagen 1

•• Observa los porcentajes equivalentes a 

1 2 3 4 , , y .  ¿En cuánto aumenta el por5 5 5 5

centaje cada vez que se agrega un quinto?Aumenta en 20%

8 ? 160%  5 1 3 •• ¿Cuáles son los porcentajes que corresponden a ya ? 25% y 75% 4 4 7 •• ¿Cuál será el porcentaje que corresponde a 4 ? 175% 1 3 5 7 •• Observa los porcentajes equivalentes a  , , y . ¿Cuál será la fracción equi8 8 8 8

P

©

•• ¿Cuál será el porcentaje que corresponde a la fracción

valente a 112.5%? 9/8 

•• Escribe el porcentaje correspondiente al número decimal 0.6 redondeando a tres cifras

Trimestre 2

decimales. 66.7% Compara tus respuestas con un compañero y discutan las diferencias que encuentren. 182

Precios con y sin IVA Sigue las instrucciones para determinar precios con y sin IVA de cantidades dadas.

ci ón

a) En una nueva hoja de cálculo, escribe los títulos y cantidades que se muestran en la imagen 2. Recuerda usar los formatos “Número” con dos cifras decimales y “Porcentaje”.

• ¿Qué porcentaje del importe neto es el precio con IVA? 116%

bu

b) Debajo del título “Total con IVA”, escribe la instrucción =A2*(11B2) y haz clic en Enter. Copia la instrucción a las celdas C3 y C4.

• Explica por qué la instrucción escrita en el inciso b permite obtener el “Precio

Imagen 2

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

con IVA”. R. M. Porque 100% representa 1 entero y 16% representa 0.16. Por tanto, 1 + 0.16 equivale al 116%. c) Analiza qué porcentaje del precio con IVA es el importe neto y escribe la instrucción para determinar esa cantidad. Instrucción 5 Importe neto / Precio con IVA

d) Escribe la instrucción anterior en la celda A5 y cópiala a las celdas A6 y A7.

Compara tus respuestas con un compañero y discutan las diferencias que encuentren.

Monto de un descuento o incremento

Haz lo que se indica para calcular el monto de descuento o incremento de una cantidad. a) En otra hoja de cálculo, escribe los títulos y las cantidades que se muestran en la imagen 3. Usa el formato de celda apropiado para las columnas B y C.

©

b) Para calcular la diferencia en ventas como porcentaje de las ventas en abril, escribe en la celda D2 la instrucción 5(C22B2)/C2.

Imagen 3

P

c) Asegúrate de que el formato de los números en las celdas de la columna D sea “Porcentaje” con dos cifras decimales.  M. Debido • ¿Por qué algunos porcentajes resultan negativos y otros positivos? R.

a que, para ciertos artículos, las ventas fueron mayores en mayo que en abril, entonces la diferencia es negativa, lo que se traduce un porcentaje negativo. Compara tu respuesta con un compañero.

183

Elige la opción correcta. Con base en tus resultados, identifica los contenidos que necesitas repasar para mejorar tu desempeño. 1 ? 3 1 D) 2 3

1. ¿Cuál es el menor de los siguientes números: 20.3, 20.36, 0.01, 2 A) 20.3 B) 20.36

C) 0.01

2. ¿Cuál es el número faltante en la operación    2 (23) 5 25?

3. Un quinto de A)

B) 2

C) 28 D) 22

ci ón

A) 8 2 es… 3

2 10 2 5 . B) . C) . D . 15 3 5 3

B) 20 4 8

C) 6 3

20 8

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

A) 6 3 8

bu

4. Si para 8 raciones de flan napolitano se requieren 6 huevos, ¿qué operación permite determinar cuántos huevos se necesitan para 20 raciones? D) 8 3

20 6

5. En un mapa a escala, 4 cm de longitud representan 500 metros de distancia real. ¿Cuántos centímetros tendrá en el mapa una distancia de 1 200 metros? A) 8.6 cm

B) 2.4 cm

C) 125 cm

D) 9.6 cm

6. ¿Cuál es el resultado de 14 × 6 + 5 − 27 ÷ 3? A) 20.66

B) 42.33

C) 80

D) 145

P

©

7. ¿Cuál es el término general de la sucesión que indica el número de cuadrados que hay en cada figura?

Figura 1 A) 3  2n

184

Figura 2 B) n  2

Figura 3 C) 3n  2

D) 1  2n

8. Si el área del triángulo ABC es de 15.31 cm2 y el lado AB mide 9.95 cm, ¿cuál es la medida de la altura EC?

E A) 1.54 cm

B) 0.77 cm

B

C) 3.08 cm

bu

A

ci ón

C

2

D) 1.53 cm

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

9. ¿Cuál expresión algebraica representa el área de las regiones azules?

2

x

2

2

4

3

A) 8 4 2 1 x

B) 8 4 2 1 2x

C) 8 4 2 1 3x x 2

©

D) 8 4 2 1

10. El radio de una rueda de bicicleta mide 35.56 cm. ¿Cuántos centímetros recorrerá la rueda al girar dos vueltas? Usa 3.14 como aproximación al valor de p.

P

A) 446.63 cm

B) 223.31 cm

C) 111.65 cm

D) 71.12 cm

11. Si una juguetería aumenta sus precios 22% el 4 de enero, ¿qué porcentaje del precio anterior tendrán que pagar los clientes el 6 de enero? A) 78%

B) 22%

C) 122%

D) 104% 185

Resuelve los problemas. Con base en tus resultados, identifica los contenidos que necesitas repasar para mejorar tu desempeño. 1. Encuentra el número faltante en las operaciones. 2 7 ) 2 47/30     5 2 5 6 4 3 4 b) 216.9     1 5.3 5 211.6 d) 2 2 (2 ) 1 23/4     5 2 9 4 9

a) 22.8 2 24.2     5 1.4

c) 2(2

1

2

3

Aumento o disminución de peso (kg)

−1.56

−1.2

0.30

4

5

bu

Semana

ci ón

2. Para llegar a su peso ideal, doña Laura quiere seguir una dieta durante 6 semanas. Actualmente pesa 58 kg y quiere pesar 52 kg como máximo. Sin embargo, es muy inconsistente y no todas las semanas baja de peso. La siguiente tabla muestra su avance o su retroceso semanal.

0.46

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

−1.4

6

0.29

¿Logró doña Laura su peso ideal al término de las seis semanas? Justifica tu respuesta. R. M. No, en la semana bajó 4.16 kg, pero subió 1.05 kg, por lo que al final solo logró disminuir 3.11 kg en total. 2 3. Martha y Joel recibieron de regalo una caja con 30 chocolates. Martha se comió 5

partes y Joel se comió la mitad de los chocolates que quedaron. ¿Cuántos chocola-

tes sobran? Justifica tu respuesta. R. M. Entre Martha y Joel se comieron 2/5 1 3/10 5 7/10 de los 30 chocolates, por lo que quedaron 9 chocolates. 5 1 4. En una pista de de km, Ana Laura ha dado 2 vueltas y de vuelta. ¿Cuántos ki4

5

lómetros ha corrido? Justifica tu respuesta. Ana Laura corrió (5/4) (11/5) = 11/4 de km, es decir, 2 750 m.

5. Realiza las operaciones.

a) 3 1 5 3 2 1 10 4 2 5  3 + 10 + 5 = 18

b) ((3 1 5) 3 (2 1 10)) 4 2 5  (8  12) ÷ 2 = 48

6. Observa las figuras y realiza lo que se indica.

P

©

c) (3 1 5 3 (2 1 10)) 4 2 5 (3 + 5  12) ÷ 2 = (3 + 60) ÷ 2 = 63 ÷ 2 = 31.5

Figura 1 186

Figura 2

Figura 3

a) Escribe en la tabla los seis primeros términos de la sucesión que indica la cantidad de cuadritos que hay en cada figura de este patrón. Figura

1

2

3

4

5

6

Cuadritos

4

8

12

16

20

24

2

b) Encuentra una expresión algebraica para el término general de esta sucesión.

ci ón

7. Escribe una expresión algebraica que represente el área de la región verde. M es el punto medio del segmento AB. El área de la región verde 5 10x 2 5x/4 10 B

A

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

5

bu

M

x

8. El perímetro de un polígono regular de 13 lados mide 31.2 cm. ¿Cuánto mide el lado del polígono? Justifica tu respuesta. R. M. Como el polígono es regular y tiene 13 lados, entonces cada lado mide 31.2 4 135 2.4 cm.

9. Calcula el perímetro de la siguiente figura. El diámetro de la circunferencia que se formaría en la parte inferior mide 5.48 cm; usa 3.14 como aproximación al valor de p. Justifica tu respuesta. R. M. El diámetro de la circunferencia que se 8.48 cm formaría es de 5.48 cm, entonces el radio de esta misma es de 2.74 cm. Ahora bien, el 4 cm cálculo del perímetro de la semicircunferencia es 3.14  2.74 cm  8.60 cm. Así, sumando todas las longitudes, se tiene que el perímetro de la figura es 8.60 cm  8.48cm  1.5 cm (2  1.5 cm)  (2  4 cm)  28.08 cm.

©

10. Al vender una casa en $2 646 000, el vendedor gana 12%. ¿Cuánto vale la casa antes de incluir la comisión del vendedor? Justifica tu respuesta. R. M. Sabemos que $2 646 000 representa 112% del costo original, por lo que, si queremos conocer el precio original aplicamos una regla de tres:

P

(100  $2 646 000)  112  $ 2 362 500.

11. Un celular que costaba $2 650 está en promoción al precio de $2 067. ¿En qué porcentaje se redujo el precio original? Justifica tu respuesta. R. M. Sabemos que $2 650 representa 100% del precio, ahora queremos saber qué porcentaje del precio original representan $2 067, por lo que, haremos una regla de tres: (2 067  100)  2650  78. Así se redujo 22% el precio 187 187

ci ón bu S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

ProtoplasmaKid / Wikimedia Commons / CC-BY-SA 4.0

P

©

Las torres de Satélite son un conjunto escultórico de cinco prismas triangulares de distintos tamaños que se encuentran en una explanada al norte de la Ciudad de México.

188

Entremos a la espiral

Estudiarás también una forma de variación conocida como variación lineal, que se puede representar mediante una tabla de valores, una gráfica o una expresión algebraica. Conocerás la pendiente de una recta, que es una forma de medir su inclinación y verás que esta te permite diferenciar distintos tipos de variación lineal.

bu

Además, en este trimestre aprenderás a construir e interpretar gráficas circulares. Revisarás los conceptos de promedio, mediana y moda de una colección de datos para aprender cuál de esas medidas es más útil en distintas situaciones, además del rango de una colección de datos y su interpretación.

ci ón

¡Llegaste a la recta final del ciclo escolar! En este trimestre abordarás el planteamiento y resolución de ecuaciones, trabajando con ecuaciones lineales. Advertirás que hay muchos problemas en los que las relaciones entre las cantidades involucradas se pueden expresar por medio de una ecuación.

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

Finalmente, estudiarás las fórmulas para calcular el volumen de prismas rectos que tienen bases con distintas formas (cuadrada, rectangular o triangular) e identificarás la relación entre medidas de volumen y medidas de capacidad.

Recuerda revisar de nuevo esta sección al final del trimestre para que compruebes que hayas alcanzado los conocimientos que aquí se describen.

El álgebra

La aparición de las matemáticas como ciencia teórica comenzó en tiempos muy remotos (alrededor del siglo VII a. n. e.) y en ella jugaron un papel muy importante los científicos griegos, ya que fueron los primeros en usar razonamientos lógicos para demostrar resultados generales, llamados teoremas.

Los griegos fueron grandes geómetras y también hicieron progresos considerables en aritmética y álgebra, pero carecían de algunos elementos esenciales; por ejemplo, no conocían los números negativos ni el cero, y no tenían un sistema bien desarrollado de símbolos para representar relaciones generales usando operaciones y literales. Para describir una relación que ahora podemos representar por la igualdad y 5 x2, los griegos decían cosas como “un segmento que tiene una longitud igual al área de un cuadrado”.

©

age fotostock / www.photostock.com.mx

Desde los primeros siglos de nuestra era, el centro del desarrollo matemático se fue desplazando a la India, Asia Central y los países árabes.

P

La palabra álgebra proviene del nombre de un tratado del matemático y astrónomo árabe Mahommed ibn Musa al-Khwarizmi. Su tratado llevaba por título Al-jebr w´al-muqabala, que significa “Trasposición y eliminación”. Por trasposición (al-jebr) se entiende la transferencia de términos de uno a otro miembro de una ecuación. La palabra al-jebr se convirtió en álgebra al transcribirla al latín, mientras que al-muqabala fue desechada. El origen de este término responde muy bien al contenido real del álgebra, que es la doctrina de las operaciones matemáticas entre cantidades, sin considerar números concretos. Más tarde, Omar Khayyam definió el álgebra como la ciencia de resolver ecuaciones, definición que mantuvo su significado hasta finales del siglo XIX.

Mahommed ibn Musa al-Khwarizmi 189

23

Eje: Número, álgebra y variación Tema: Ecuaciones Contenido: Formulas ecuaciones lineales que representan diversas situaciones e identificas la incógnita.

La incógnita 1. Reúnete con dos compañeros y sigan las instrucciones.

ci ón

Cada integrante del equipo pensará un número entero positivo, lo multiplicará por 2 y al resultado le sumará 3. Por turnos, cada uno le dirá al resto del equipo el resultado que obtuvo. El primero que adivine el número que pensó su compañero gana el juego. Repitan el juego varias veces.

¿Algún integrante del equipo logró adivinar el número que pensó su compañero? M. Sí R.

En caso afirmativo expliquen cómo le hizo. Al resultado de las

•• Discutan sus observaciones con el resto del grupo.

bu

operaciones se le resta 3 y el nuevo resultado se divide entre 2.

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

2. Reúnete con un compañero para hacer lo que se pide.

a) Usen la literal x para representar un número desconocido y escriban las siguientes expresiones algebraicas. •• La que representa al número que se obtiene al multiplicar por 2 el número x.  2x •• La que representa al número que se obtiene al sumar 3 al resultado de multiplicar por 2 el número x.  2x + 3

b) En el juego de la actividad 1, el resultado que obtuvo Maru fue 23. Si llaman x al número en que pensó Maru, ¿cuál de las siguientes igualdades representa el hecho de que el resultado que obtuvo fue 23?  2x + 3 = 23 x  3  23

2(x  3)  23

2x  3  23

2x  23 2x  23  3

•• Comparen sus respuestas con otros compañeros y, si algunas no coinciden, analicen quién tiene razón.

P

©

Incógnitas y ecuaciones

Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones en la que al menos en una de ellas hay una cantidad desconocida, dicha cantidad se llama incógnita y para representarla se usa una literal. Los siguientes son ejemplos de ecuaciones:

Trimestre 3

x 1 13 5 22  

y2

1 1 5 2z 1 5 5 3 3(t  2) 5 t 1 5 2 4

Resolver la ecuación quiere decir encontrar el valor de la incógnita. 190

3. Reúnete con un compañero y hagan lo que se pide. a) Escriban una expresión algebraica en la que la literal sea z para representar cada enunciado. •• Al triple de un número se le suma 2  3z + 2 •• El 16% de una cantidad 16z/100 •• El perímetro de un rectángulo cuya base tiene 10 cm de longitud 2z + 20

ci ón

•• La suma de dos enteros consecutivos  z + (z + 1) •• La suma de los perímetros de un polígono regular de 5 lados y un cuadrado con lado de 3 unidades de longitud 5z + 12

bu

•• La cantidad de dinero que me quedó en el mercado después de haber gastado la tercera parte de lo que llevaba.  z – z/3

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

b) Con las expresiones que anotaron, escriban una ecuación que represente cada una de las siguientes situaciones. •• Al sumar 2 al triple de un número se obtiene 14.  3z + 2 = 14 •• El 16% de una cantidad es 32. 16z/100 = 32

•• La suma de dos enteros consecutivos es 25.  z + (z + 1) = 25

•• El perímetro de un rectángulo cuya base tiene 10 cm de longitud es 34.  2z + 20 = 34

•• La suma de los perímetros de un polígono regular de 5 lados y un cuadrado con lado de 3 unidades de longitud es 28.  5z + 12 = 28

•• Gasté la tercera parte del dinero que llevé al mercado y me quedaron 80 pesos.  z – z/3 = 80

•• Discutan sus respuestas con el resto del grupo y, si hay diferencias, lleguen a un acuerdo.

¿Vamos bien?

Resuelve lo siguiente con base en lo que has aprendido. Al terminar, compara tus respuestas con las de tus compañeros.

Secuencia didáctica 23. La incógnita

a) Escribe las siguientes expresiones algebraicas.

La edad que Juan tendrá dentro de 12 años.  a + 12 El doble de la edad actual de Juan.  2a

P

©

1. Haz lo que se indica. Representa la edad actual de Juan con la literal a.

b) Plantea la ecuación que representa que dentro de 12 años, la edad de Juan será el doble de su edad actual.  a + 12 = 2a

191

a) Escriban la ecuación que representa cada una de las situaciones. •• Pedro pensó en un número, le sumó siete y obtuvo 21. Si x es el número en que pensó Pedro, la ecuación es  x + 7 = 21 . •• En un grupo de primero de secundaria hay siete hombres más que mujeres, y hay 21 hombres. Si x es la cantidad de mujeres, la ecuación es  x + 7 = 21 .

ci ón

Al comparar sus resultados, revísenlos con cuidado. Si estos no coinciden, verifíquenlos hasta encontrar el error. Identificar dónde se equivocaron representa una oportunidad para aprender. Además, apoyarse entre sí les permite mejorar su desempeño y fortalecer la convivencia en su salón de clases.

4. Reúnete con un compañero para hacer lo que se pide.

•• Ricardo tiene 21 años, y tiene siete años más que su hermano Mauricio. Si x es la edad de Mauricio, la ecuación es  x + 7 = 21

.

•• Gerardo tiene 21 estampas y tiene 7 más que Julieta. Si x es la cantidad de estampas que tiene Julieta, la ecuación es  x + 7 = 21

.

bu

Convivo en armonía

b) Escriban una situación, distinta de las anteriores, que se represente con la ecuación x  7  21.  R. L.

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri



•• Comenten con el resto del grupo cuántas situaciones distintas creen que pueden representarse con la ecuación x  7  21.

El papel de la incógnita

Pueden formular se muchos problemas que se resuelven con la misma ecuación, porque en ella se expresa solo la relación entre las cantidades involucradas, sin importar si se trata de años, dinero, estampas o cualquier otra cosa.

5. Haz lo que se solicita.

Posiblemente, al hacer las actividades iniciales de la secuencia detectaste que si en el juego de la actividad 1 llamas x al número en que pensó Maru, la ecuación que nos dice que el resultado que obtuvo fue 23 es 2x  3  23. Escribe otras dos situaciones, distintas de la del juego de la actividad 1, que se representen con esta ecuación.

©

a)  R. L. b)  R. L.

P

•• Contrasta tus respuestas con las del resto del grupo.

6. Reúnete con un compañero para hacer lo que se pide.

Trimestre 3

a) Escriban qué número es 4x  2 en cada uno de los siguientes casos: Cuando x es 8. 30 Cuando x es 2. 6 Cuando x es 3. 10 192

b) Escriban qué número es 3x + 1 en cada uno de los siguientes casos: Cuando x es 8. 25 Cuando x es 2. 7 Cuando x es 3. 10 c) Usen sus respuestas para contestar lo siguiente. En la ecuación 4x  2  3x  1, ¿cuál es el valor de x con el que las expresiones 4x  2 y 3x  1 representan al mismo número?  x 5 3

Para saber más

La solución de una ecuación

Consulta el texto 13, “¿Y si usamos también la cuchara?”, del libro Póngame un kilo de matemáticas, de Carlos Andradas, de la serie Espejo de Ucrania de la colección Libros del Rincón, y conoce más sobre ecuaciones.

bu

En esta secuencia has trabajado con ecuaciones lineales de una incógnita. Resolverlas significa encontrar el valor de la incógnita para el cual el número representado del lado izquierdo del signo de igualdad es el mismo que el número del lado derecho.

ci ón

•• Comparen sus respuestas con las de otra pareja y, si detectan errores, corríjanlos.

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

Por ejemplo, la solución de la ecuación 3x  1  20 es x  7, porque cuando x  3 se tiene (3 3 7)  1  20.

La solución de una ecuación lineal con una incógnita es un único número, es decir, no puede haber dos valores distintos de la incógnita que hagan cierta la igualdad. Por ejemplo, x  2 no es solución de la ecuación 3x  1  20, pues cuando x  2, (3 3 2)  1  5, que es distinto de 20.

¿Qué aprendí?

Haz lo que se pide. Al terminar, revisa tus resultados con tus compañeros y tu profesor. Corrige si encuentras errores. 1. El precio de un cuaderno grande es el doble del de un cuaderno chico.

Después escribe una ecuación que represente que a Juan le dieron 52 pesos de

cambio. 100 – 3z = 52 b) Analiza cuál de los siguientes valores de z es solución de la ecuación que escribiste en el inciso a, y subráyalo.

z  10

z  14

¿Cuál es el precio de un cuaderno chico?  $16

z  18

z  16

Contenido Formulo ecuaciones lineales que representan diversas situaciones e identifico la incógnita. A

Requiero ayuda para realizarlo.

B

Lo hago, pero en ocasiones necesito ayuda.

C

Lo hago de manera autónoma.

193

Secuencia didáctica 23. La incógnita



P

©

Juan si dio un billete de 100 pesos para pagar los dos cuadernos. 100 – 3z

Marca con una ✔ la casilla que describe tu desempeño.

Nivel de logro

a) Llama z al precio de un cuaderno chico y escribe las siguientes expresiones algebraicas: El precio del cuaderno grande 2z Lo que pagó Juan al comprar un cuaderno chico y uno grande 2z + z La cantidad de pesos que le dieron de cambio a

24

Eje: Número, álgebra y variación Tema: Ecuaciones Contenido: Resuelves problemas mediante la formulación y solución algebraica de ecuaciones lineales.

Hay que mantener el equilibrio 1. Reúnete con un compañero y hagan lo que se pide.

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

bu

ci ón

En uno de los platillos de una balanza hay dos bolsas con la misma cantidad de canicas más cuatro canicas sueltas y en el otro platillo hay 18 canicas sueltas; todas las canicas pesan lo mismo y la balanza está en equilibrio.

a) Representen con una literal el número de canicas que hay en cada bolsa y escriban una ecuación que describa la igualdad de lo que hay en los dos platillos de la balanza. 2x 1 4 5 18

b) ¿Se desequilibraría la balanza si quitaran una canica de cada lado? No ¿Y si quitaran cuatro canicas de cada lado? No

c) Escriban una nueva ecuación que represente la situación después de haber quitado cuatro canicas de cada lado. 2x  5 14

d) ¿Cuántas canicas hay en las dos bolsas? 14 e) ¿Cuántas canicas hay en cada bolsa? 7

f) Comprueben su respuesta sustituyendo el número de canicas de cada bolsa en la primera ecuación que obtuvieron y verificando que en ambos platillos de la balanza hay el mismo número de canicas.

Trimestre 3

P

©

•• Discutan sus respuestas con el resto del grupo y si encuentran errores corríjanlos.

194

2. Escribe los números faltantes en los espacios en blanco, verifica si la nueva igualdad se cumple y luego responde la pregunta. a) Si 5 1 9 5 14, entonces (5 1 9) 1 4 5 14 1 4

b) Si 3 1 12 5 15, entonces (3 1 12) 2 5 5 15 2 5 c) Si x 5 3, entonces x 1 4 5 3 1 4

.

d) Si x 5 5, entonces x 2 2 5 5 2 2

.

.

.

e) Explica qué pasa con una igualdad al sumar o restar el mismo número a ambos lados de la igualdad. Se sigue manteniendo •• Discute tus respuestas con el resto del grupo y lleguen a un acuerdo. 3. Escribe los números faltantes en los espacios en blanco, verifica si la nueva igualdad se cumple y luego responde. 25 1 5 2 9 5 3

b) Si 16 5 12 1 4, entonces 2 3 16 5 2

21 .   3   

ci ón

a) Si 25 1 5 2 9 5 21, entonces 

3 (12 1 4).

c) Explica qué pasa con una igualdad al dividir los dos miembros entre un mis-

bu

mo número distinto de cero y qué pasa al multiplicar los dos miembros por el mismo número. Se conserva siempre y cuando se realice la misma operación en  ambos lados de la igualdad.

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

•• Discute tus respuestas con el resto del grupo y lleguen a un acuerdo. 4. Escribe los datos faltantes y contesta las preguntas. a) Si x 1 7 5 16, entonces x 1 7 2 7 5 16 2 7

b) Si x 2 2 5 4, entonces x 2 2 1 2 5 4 1 2

 , y en consecuencia x 5 9 .  , y por tanto x 5 6

.

28 4x 5 , y por ende x 5 7 .  4 4   x x 5 27, entonces 3 5 3 3 27  , de donde se concluye que x 5 81 3 3

c) 4x 5 28, entonces d)

e) Si 5x 1 4 5 44, entonces 5x 1 4 2 4 5 44 2 4 entonces x 5 8

.

. Y si

5x 5 5

.

40 5

,

f) ¿Qué operaciones debes realizar para dejar sola a la incógnita de un lado de la igualdad en la ecuación 9x 2 3 5 51? Ver solucionario

Secuencia didáctica 24. Hay que mantener el equilibrio

g) ¿Cuál es la solución de la ecuación 9x 2 3 5 51? x 5 16

©

•• Compara tus respuestas con las de tus compañeros y lleguen a un acuerdo sobre el procedimiento que se debe realizar para dejar sola a la incógnita de un lado de la igualdad.

P

5. Reúnete con un compañero, analicen las igualdades y después respondan. 4x 2 20 5 80

4x 80 2 20 5 4 4

x 2 20 5 20 x 2 20 1 20 5 20 1 20  x 5 40 195

a) Sustituyan el valor de x 5 40 en la ecuación original. ¿Qué observan? No se cumple la igualdad. b) ¿Dónde está el error? En dividir entre 4 solo una parte del primer lado de la igualdad.

Para despejar la incógnita

ci ón

•• Comparen sus respuestas con las del resto del grupo, lleguen a un acuerdo y compárenlo con el siguiente texto.

bu

Despejar la incógnita en una ecuación significa realizar operaciones para dejarla sola de un lado de la igualdad y así obtener la solución. Para despejar la incógnita en una ecuación, se realizan las mismas operaciones en ambos miembros de la igualdad. Por ejemplo: Si la ecuación es de la forma x 1 a 5 b, restamos a en ambos lados de la ecuación, obteniendo x 1 a 2 a 5 b 2 a, de donde x 5 b 2 a.

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

Si la ecuación es de la forma x 2 a 5 b, sumamos a en ambos lados, obteniendo x 2 a 1 a 5 b 1 a, de donde se concluye que x 5 b 1 a. Si la ecuación es de la forma ax 5 b, dividimos entre a ambos lados de la ecuación

para llegar a

x5

b . a

ax b 5 (siempre que a sea distinto de 0), de donde se concluye que a a

Si la ecuación es de la forma

a, obteniendo a(

x 5 b, multiplicamos ambos lados de la ecuación por a

x ) 5 ab, de donde x = ab. a

Y si la ecuación es de la forma ax 1 b 5 c, primero restamos b en ambos lados de la igualdad, obteniendo ax 1 b 2 b 5 c 2 b, llegando a la ecuación ax 5 c 2 b y des-

Para saber más

Trimestre 3

P

©

Busca el sitio www.esant.mx/ essema1-017. Ingresa a la sección “Taller” y resuelve las ecuaciones utilizando operaciones inversas y las propiedades de la igualdad. Al terminar, presiona la pestaña “Comprueba”.

pués dividimos ambos lados entre a, para llegar a

¿Vamos bien?

Aplica lo que has aprendido para resolver lo siguiente. Al terminar, compara tus procedimientos y los resultados que obtuviste con los de tus compañeros. Escribe qué operaciones debes realizar en ambos miembros de la igualdad para despejar la incógnita en las ecuaciones. a) x 1 13.2 5 21: x 1 13.2 2 13.2 5 21 2 13.2 b) 4x 5 22: 4x/4 5 22/4 c) 5x 2 7 5 43: 5x 2 7 1 7 5 43 1 7 d)

196

ax c2b c2b 5  , de donde x 5 . a a a

x 1 1 5 19: x/4 + 1 2 1 5 19 2 1 4

y 5x/5 5 50/5 y 4(x/4) 5 4(18)

6. Reúnete con un compañero y después de analizar cada uno de los siguientes procedimientos para resolver ecuaciones, señalen los que no son correctos y escriban en sus cuadernos la forma correcta en que deben realizarse. e) 2x 2 10 5 0

8x 2 1 1 1 5 1 1 1

2x 2 10 1 10 5 0 1 10



8x 5 2

   2x 5 10

8x 2   5 8 8

   2x 2 2 5 10 2 2

  

b) 3x 1 20 5 47 3x 5 27 3x 27 5 3 3

f) 2x 2 3 5 22

2.5 2 2.5 1 1.3x 5 5.1 2 2.5   

1.3x 5 2.6  

1.3x 2.6 5 1.3 1.3

  x 5 1

2 3 22 x2 5 2 2 2 3 x2 5 11 2

 x 5 11 1

3 2

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri



  

d)    2.5 1 1.3x 5 5.1

3x 1 20 2 20 5 47 2 20  

x 23135113 4 x   54 4 x 4  4( ) 5 4 4

   x 5 8

 x 5 4

x 2351 4

ci ón

c) 8x 2 1 5 1

bu

a)

  

 x 5 9

  

 x 5 2

  

  x 5 12.5

•• Comparen sus respuestas con el resto del grupo. Discutan las diferencias hasta llegar a un acuerdo acerca de las respuestas correctas.

¿Qué aprendí?

Trabaja los siguientes ejercicios y problemas. Al terminar, revisa tus procedimientos y resultados con ayuda de tus compañeros y tu profesor.

1. ¿Qué operaciones debes hacer para despejar la incógnita en la ecuación 2 8 8.3x 1 2/5 2 2/5  8/52 2/5 8.3x/8.3  1.2/8.3 8.3x 1 5 ? y 2. Resuelve las ecuaciones y comprueba tus soluciones sustituyendo el valor de la incógnita en la ecuación.

a) Marisela pensó en un número, lo multiplicó por 3 y le sumó 7. El resultado que obtuvo fue 52. ¿En qué número pensó Marisela?

P

©

a) x 2 2.3 5 7.5   b) 5x 1 16 5 34      c) 0.01x 1 1.2 5 3.2 x  9.8 x  3.6 x  200 3. Formula y resuelve una ecuación que permita solucionar los problemas.

Ecuación: 3x + 7  52

Solución: x  15

b) Cada uno de los lados iguales de un triángulo isósceles mide 9 cm. ¿Cuánto mide el tercer lado si el perímetro del triángulo mide 25 cm? Ecuación: x + 18  25 Solución: x  7

Marca con una ✔ la casilla que describe tu desempeño. Contenido Resuelvo problemas mediante la formulación y solución algebraica de ecuaciones lineales. A

Requiero ayuda para realizarlo.

B

Lo hago, pero en ocasiones necesito ayuda.

C

Lo hago de manera autónoma.

197

Secuencia didáctica 24. Hay que mantener el equilibrio

5

Nivel de logro

5

Agrupar y distribuir 1. Reúnete con dos compañeros, analicen las figuras y hagan lo que se pide.

x12

x11

2 x

2(x 2 1)

ci ón

25

Eje: Número, álgebra y variación Tema: Ecuaciones Contenido: Resuelves problemas mediante la formulación y solución algebraica de ecuaciones lineales.

bu

a) Escriban una expresión algebraica para representar el perímetro del rectángulo y otra para el perímetro del triángulo. P  5 4(x 2 1) 1 4 5 4x y P 5 x 1 x 1 1 1 x 1  2 5 3x 1 3

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

b) Formulen una ecuación que describa el hecho de que los perímetros de ambas figuras son iguales. 4x  5 3x 1 3 c) Discutan cómo podrían encontrar el valor de x. Escriban su propuesta. Restamos  3x  de ambos lados de la igualdad y se tiene que x 5 3. 

•• Discutan su propuesta con el resto del grupo. 2. Analiza la figura y haz lo que se pide. x

Convivo en armonía

Trimestre 3

P

©

Cuando hayas concluido una actividad de manera individual y tus compañeros aún no, mantén el orden en tu salón de clases. De esta manera todos podrán concentrarse y terminarla. Recuerda que todos tenemos distinto ritmo para realizar las tareas.

3

12

a) Escribe una ecuación para representar el área del rectángulo bicolor, sabiendo 1 3) 5 48 que esta mide 48 unidades cuadradas. 12(x  b) Escribe una ecuación que represente la suma de las áreas del rectángulo azul y del rectángulo amarillo. 12x 1 36 5 48

c) ¿Qué relación hay entre ambas ecuaciones? Representan lo mismo. d) ¿Cuánto mide la altura del rectángulo amarillo? 1u 

e) Comprueba que el valor que obtuviste para la altura del rectángulo amarillo es correcto sustituyéndolo en ambas ecuaciones. 12(1 1 3) 5 48, 12(1) 1 36 5 48 •• Contrasta tus respuestas con el resto del grupo.

198

Al multiplicar la suma de dos o más números por otro número, se obtiene el mismo resultado si primero se hace la suma y luego la multiplicación, que si primero se hace la multiplicación por cada uno de los sumandos y luego se hace la suma de los resultados. Es decir: a(b 1 c) 5 ab 1 ac a(b 1 c 1 d) 5 ab 1 ac 1 ad etcétera. Por ejemplo 5(3 1 9) 5 5 3 12 5 60 y 5(3 1 9) 5 (5 3 3) 1 (5 3 9) 5 15 1 45 5 60

bu

Como las incógnitas representan números, esta propiedad también es válida para incógnitas. Así, por ejemplo 5(x 1 9) 5 5x 1 (5 3 9), o x(3 1 9) 5 3x 1 9x.

ci ón

Distribución de la multiplicación respecto a la suma

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

De la misma forma, si se multiplica la resta de dos números por otro número, se obtiene el mismo resultado si primero se hace la resta y luego la multiplicación que si primero se hace la multiplicación por cada término y luego se hace la resta. Es decir: a(b 2 c) 5 ab 2 ac Por ejemplo 4(8 2 3) 5 4 3 5 5 20 y 4(8 2 3) 5 (4 3 8) 2 (4 3 3) 5 32 2 12 5 20 y x(8 2 3) 5 5x o x(8 2 3) 5 8x 2 3x.

3. Reúnete con un compañero, analicen la figura y hagan lo que se pide. x

5

12

a) Escriban una expresión algebraica que represente la base del rectángulo rojo. b  12 2 x

A  5(12 2 x)

Secuencia didáctica 25. Agrupar y distribuir

©

b) Escriban una expresión que represente el área del rectángulo rojo. 

c) ¿Cuál es el área del rectángulo bicolor? 5(12 2 x) 5 60 2 5x o 60 5 5x 1 5(12 2 x)

P

d) Si el área del rectángulo rojo mide es el valor de x? A  60 cm2

3 partes del área del rectángulo bicolor, ¿cuál 4

e) Comprueben su solución sustituyendo el valor de x en las dos expresiones que formularon. x  3

•• Comparen sus respuestas con el resto del grupo y, si encuentran errores, corríjanlos. 199

¿Vamos bien? Resuelve lo siguiente con base en lo que has aprendido. Al terminar, compara tus procedimientos y los resultados que obtuviste con los de tus compañeros. I. Escribe los números o literales faltantes en cada caso.

ci ón

a) 3(2 1 5) 5 (3 3 2) 1 (3 3 5 ) e) 20(17 2 8) 5 (20 3 17) 2 20 3 8 f) 3.7(11 2 2) 5 ( 3.7 3 11) − ( 3.7 3 2)

b) 2(x 1 5) 5 2 x 1 (2 3 5)

5

5

1

1

c) 7(10 1 3) 5 (7 3 10 ) 1 (7 3 3) g) 6( 8 2 4 ) 5 (6 3 8 ) 2 ( 6 3 4 ) 1

1

5

2

1

5

2

5

1

d) 9(y 1 3 ) 5 9 y 1 9 3 3 h) 8 ( 3 2 5 ) 5 ( 8 3 3 )2( 8 3 5 )

a) x(17 2 4) 5 17x 2 4x 5 13x

3

1

 c) w( 5 1 5 ) 5 3w/5 1 w/55 4w/5  d)  3 (5 1 y) 5 15 1 3 y

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

b) 3.6(y 1 1.4) 5 3.6y 1 5.04

bu

II. Desarrolla los siguientes productos usando la propiedad distributiva.

4. Reúnete con un compañero, después de leer los enunciados, formulen una ecuación para cada caso y respondan. a) En una elección, el candidato ganador triplicó el número de votos del otro candidato. Si en total votaron 116 personas, ¿cuántos votos recibió el ganador? Ecuación: 3x 1 x 5 116

  Solución: x 5 29

Número de votos del candidato ganador: 87

b) Verónica, que estudia el primer grado de secundaria, fue al teatro con sus papás y sus dos hermanos que van en primaria. La tarifa para los adultos es el doble de la tarifa para los estudiantes y sabemos que el papá de Verónica pagó $420.00 por los cinco boletos. ¿Cuánto cuesta el boleto de un adulto? Ecuación: 3x 1 4x 5 420

  Solución: x 5 60

Trimestre 3

P

©

Costo del boleto de un adulto: $120

•• Comparen sus respuestas y procedimientos con el resto del grupo, corrijan si hay errores, y lleguen a un acuerdo. 5. Reúnete con un compañero y hagan lo que se solicita.

El precio de un televisor es cinco veces el precio de un reproductor de música. a) Usen la literal r para representar el precio del reproductor de música y escriban una expresión algebraica que represente el precio del televisor y en la que la única literal sea r.  5r

200

b) Usen lo anterior para formular y resolver una ecuación que permita contestar la siguiente pregunta. Si el televisor y el reproductor de música juntos cuestan $6 000, ¿cuánto cuesta el reproductor de música?   Solución: r 51000; el reproductor de música cuesta $1 000

Agrupación de términos semejantes Cuando en una expresión algebraica aparecen varios sumandos con la misma literal, podemos agruparlos en uno solo realizando las sumas o las restas correspondientes.

Por ejemplo, la expresión algebraica 3x 1 7x 2 5x se reduce a la expresión (3 1 7 2 5) x 5 5x.

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

Si en la expresión aparecen paréntesis, como en la expresión: 2.5(x 1 4) 1 3x 2 1.6,

bu

A este procedimiento se le conoce como simplificación de expresiones algebraicas mediante agrupación de términos semejantes.

ci ón

Ecuación: 5r 1 r 5 6000

primero eliminamos los paréntesis realizando las operaciones correspondientes: 2.5x 1 (2.5 3 4) 1 3x 2 1.6 2.5x 1 10 1 3x 2 1.6 2.5x 1 3x 1 8.4 y luego agrupamos los términos semejantes (2.5 1 3)x 1 8.4 5.5x 1 8.4

Secuencia didáctica 25. Agrupar y distribuir

a) Escriban una ecuación que describa la situación planteada en la imagen. 3x 1 15 5 2x 1 85

b) ¿Se desequilibra la balanza si de cada platillo se quita una pesa etiquetada con la literal x? No.  ¿Y si se quitan dos pesas etiquetadas con la literal x? Tampoco. 

P

©

6. Reúnete con un compañero y hagan lo que se pide.

c) Escriban una ecuación que represente la situación habiendo quitado dos pesas etiquetadas con la literal x. x  15  85 201

d) ¿Qué operaciones hay que hacer en la primera ecuación para llegar a la segunda? Restar de ambos lados de la igualdad 2x e) Resuelvan la segunda ecuación. x 5 85 2 15 x 5 70 f) Sustituyan la solución x de la segunda ecuación en la primera y escriban sus + 15 = 2(70) + 85 210 + 15 = 140 + 85 225 = 225 observaciones. 3(70)  Se  satisface la igualdad, lo cual indica que las dos ecuaciones son equivalentes.

62x x12

2

x11

2

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

Al trabajar en equipo, lean cuidadosamente las instrucciones y asegúrense de que todos las hayan comprendido. Si alguno tiene duda, ayúdenlo a entender, eso mejorará su desempeño. Apoyar a sus compañeros propicia la convivencia armónica.

7. Reúnete con dos compañeros, analicen las figuras y respondan.

bu

Convivo en armonía

ci ón

•• Discutan sus respuestas y procedimientos con el resto del grupo y, si hay diferencias, lleguen a un acuerdo.

x

82x

a) Escriban una expresión algebraica para el perímetro del triángulo. P 5 3x 1 3 

b) Escriban una expresión algebraica para el perímetro del trapecio. P 5 18 2 2x 

c) Ahora escriban una ecuación que represente el hecho de que el perímetro del triángulo es igual al perímetro del trapecio; agrupen los términos semejantes en su ecuación. 3x  1 3 5 18 2 2x

d) ¿Qué operación deben realizar para eliminar en alguno de los lados de la igualdad 2x en ambos lados de la igualdad. el término que contiene la incógnita x? Sumar  Escriban cómo quedó la ecuación. 5x  3  18

e) ¿Qué operaciones deben realizar para despejar la incógnita? Restar 3 en ambos lados de la igualdad.

P

©



Escriban la nueva ecuación. 5x  5 15

f) ¿Para qué valor de x ocurre que el perímetro del triángulo es igual al perímetro del trapecio? x 5 3 g) Comprueben su respuesta sustituyendo el valor de x en la ecuación original.

Trimestre 3

3(3) 1 3 5 18 2 2(3) 

9 1 3 5 18 2 6

12 2 12

•• Comparen sus respuestas y procedimientos con los de sus compañeros y si detectan errores corríjanlos. 202

8. Vuelve a leer la primera actividad y haz lo que se pide. a) Escribe una ecuación que exprese la igualdad entre el perímetro del rectángulo y el perímetro del triángulo. 4x 5 3x 1 3 b) Resuelve la ecuación. x  3  c) Comprueba la solución que obtuviste. 4(3) 5 3(3) 1 3

12 5 12

bu

ci ón

d) ¿Cuáles son las dimensiones del triángulo y el rectángulo? 3 u, 4 u y 5 u para los catetos e hipotenusa del triángulo respectivamente. 2 u y 4 u para el altura y la  base del rectángulo respectivamente. •• Compara tus respuestas con las del resto del grupo. Si hay diferencias, lleguen a un acuerdo y compárenlo con la siguiente información.

Solución de ecuaciones de la forma ax + b = cx + d

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

Para resolver una ecuación de la forma ax 1 b 5 cx 1 d: •• Restamos b en ambos lados de la igualdad y obtenemos la ecuación ax 5 cx 1 d 2 b

•• Restamos cx en ambos lados de la igualdad y obtenemos la ecuación ax 2 cx 5 d 2 b

•• Agrupamos los términos semejantes y simplificamos hasta obtener una ecuación de la forma (a 2 c)x 5 d 2 b •• Por último, dividimos ambos miembros de la ecuación entre (a 2 c) para obtener x5

d2b a2c

Por ejemplo, para resolver la ecuación 8x 2 4 5 7x 1 3, restamos 24 en ambos lados de la igualdad para obtener: 8x 2 4 2 (24) 5 7x 1 3 2 (24) 8x 5 7x 1 7; 8x 2 7x 5 7x 1 7 2 7x 8x 2 7x 5 7

Secuencia didáctica 25. Agrupar y distribuir

©

restamos 7x en ambos lados de la igualdad:

P

y agrupamos los términos semejantes:

x57

Si en alguno de los miembros de la igualdad, o en ambos, hay paréntesis, primero realizamos las operaciones indicadas por ellos hasta obtener una ecuación de la forma: ax 1 b 5 cx 1 d.

203

¿Vamos bien? Resuelve lo siguiente con base en lo que has aprendido. Al terminar, compara tus procedimientos y los resultados que obtuviste con los de tus compañeros. Resuelve las ecuaciones y comprueba tus soluciones sustituyendo el valor de la incógnita en la ecuación.

ci ón

x 5 24 a) x 1 13 5 22x 1 1  d) 3(3w 2 7) 5 4(w 1 1) w 5 5 y 5 11/7 b) 4.5y 5 11 − 2.5y  e) 2(t 2 5) 5 4t 1 10 t 5 210 c) 6.2z 1 1 5 5.5 1 4z z 5 2.0245

bu

9. Reúnete con un compañero, escriban una ecuación para cada enunciado y resuélvanla.

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

a) Andrea y Pablo tenían la misma cantidad de dinero y compraron lápices del mismo precio. Si Andrea compró 5 lápices y le quedaron $15.00 y Pablo compró 3 lápices y le sobraron $29.00, ¿cuánto cuesta cada lápiz? Ecuación: 5x  1 15 5 3x 1 29 Solución de la ecuación: x 5 7 Precio de cada lápiz: $7

b) La altura de un rectángulo mide la tercera parte de la base. Si se restan 3 unidades a la base y se suman 3 unidades a la altura, la figura se transforma en un cuadrado. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo? Ecuación: 3x  235x13 Solución de la ecuación: x 5 3 Dimensiones del rectángulo: altura 5 3 u y base 5 9 u

•• Comparen sus respuestas y procedimientos con los del resto del grupo y, si detectan errores, corríjanlos.

P

©

¿Qué aprendí?

Trabaja los siguientes ejercicios y problemas. Al terminar, revisa tus procedimientos y resultados con ayuda de tus compañeros y tu profesor. 1. Resuelve las ecuaciones y comprueba tus soluciones sustituyendo el valor de la incógnita en la ecuación. a) 5 (x 2 4) 5 10 5x 2 20  10, 5x  30, x  6, 5(6 – 4)  5(2)  10

Trimestre 3

b) 8(2x 2 3) 2 7 5 17 16x 2 24 2 7  17, 16x 2 31  17, 16x  48, x  3 c) 1.2(x 1 3.4) 5 7.2 1.2x  4.08  7.2, 1.2x  3.12, x  2.6

204

2. Reduce los términos semejantes y resuelve las ecuaciones. Comprueba tus soluciones sustituyendo el valor de la incógnita en la ecuación original. a) 3x 1 2x 2 4 5 6 x 5 2 b) 7y 2 2y 1 20 5 220 y 5 28 c) 5z 1 2 2 3z 5 4 z 5 1 d) 2.3x 1 1.6x 1 x 2 3.6 5 1.3 x 5 1

a) 3x 1 5 5 x 2 3 x 5 2 4 3(24) 1 55 24 23 212 1 5 = 27 b) 21y 2 27 5 2y 1 11 y 5 2 21(2) 2 27 5 2(2) 1 11 15 5 15

27 = 27

ci ón

3. Resuelve las ecuaciones y comprueba tus soluciones sustituyendo el valor de la incógnita en la ecuación.

13(5 2 3) 5 3(2(5) 2 1) 2 1

26 5 26

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

e) 13(x 2 3) 5 3(2x 2 1) 2 1 x 5 5

bu

c) 1.23z 2 3.4 5 2.67z 2 1.23 2 z Para z 5 2 4.93 se cumple la igualdad d) 17(x 2 3) 1 17(x 2 5) 5 187 x 5 9.5, 17(9.523)117(9.5 2 5) 5 110.5176.55 187

4. Resuelve los problemas planteando una ecuación para cada uno. Comprueba las soluciones. a) La suma de tres números enteros consecutivos es 45. ¿Cuáles son los números? Ecuación: x 1 x 1 1 1 x 1 2 5 45

3x 1 3 5 45

Solución de la ecuación: x 5 14

Números consecutivos: 14, 15 y 16

b) Benjamín le dijo a Gustavo: “El doble del dinero que tengo más la mitad de esa cantidad es $200.00”. ¿Con cuánto dinero cuenta Benjamín? Ecuación: 2x 1 (1/2)x 5 200 Solución de la ecuación: x 5 80

Convivo en armonía

Comparar tus procedimientos y soluciones con los de tus compañeros te permite, además de verificar si son correctos, conocerlos más y establecer relaciones armónicas con ellos, incluso puedes formar vínculos de amistad.

Cantidad de dinero que tiene Benjamín: $80

Marca con una ✔ la casilla que describe tu desempeño.

¿Cuánto dinero tiene Liz? $10 

d) Dos recipientes contienen la misma cantidad de agua. Si se vierten 15 litros de un recipiente en el otro, este último tendrá el triple de litros que el primero. ¿Cuántos litros de agua tienen los recipientes? Ecuación: 3(x 2 15) 5 x 1 15 Cantidad de litros en los recipientes: 30  litros

Contenido Resuelvo problemas mediante la formulación y solución algebraica de ecuaciones lineales.

Nivel de logro

¿Cuánto dinero tiene Angélica? $30 

P

©

Ecuación: x 1 20 5 9x 2 60

A

Requiero ayuda para realizarlo.

B

Lo hago, pero en ocasiones necesito ayuda.

C

Lo hago de manera autónoma.

205

Secuencia didáctica 25. Agrupar y distribuir

c) Angélica le dijo a Liz: “Tengo el triple de dinero que tú y si te doy $20.00, tú tendrás el triple de dinero que yo”. ¿De cuánto dinero disponen Angélica y Liz?

Realiza lo que se indica. Con base en tus resultados, y con ayuda de tu profesor, identifica las secuencias correspondientes a los contenidos que debes repasar. 1. Escribe una ecuación que represente cada enunciado.

Ecuación:  200 2 x 5 72.8

x 5 127.2

b) ¿Qué número debe sumarse a

1 3 para obtener ? 35 7

bu

Ecuación:  1/35 1 x 5 3/7 x 5 14/35

ci ón

a) Claudia fue al mercado con un billete de $200.00. Después de hacer las compras le sobraron $72.80. ¿Cuánto gastó?

c) Don Anselmo, el plomero de la colonia, partió un tubo de 17 metros de largo en cuatro pedazos iguales y le sobraron 3 metros. ¿Cuánto mide cada pedazo? x 5 3.5

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

Ecuación:  4x 1 3 5 17

d) El perímetro de un rectángulo mide 26 cm. Si la base mide 8 cm, ¿cuánto mide su altura? Ecuación:  16 1 2x 5 26

x55

e) Enrique gana $180.50 más que Camila a la semana. Si el salario semanal de Enrique es de $935.50, ¿cuánto gana Camila? Ecuación:  x 1 180.50 5 935.50; x 5 755;

Camila gana $755.

f) ¿Cuánto mide la altura del rectángulo?

x

Área 5 13.64 cm2

5.29 cm

Trimestre 3

P

©

Ecuación:  5.29x 5 13.64;

206

x 5 2.57

La altura es de 2.57 cm.

g) Andrea está ahorrando para comprarse una patineta, pero aún le faltan $102.50. Si tiene $210, ¿cuánto cuesta la patineta? Ecuación:  x 2 210 5 102.50; x 5 312.50

La patineta cuesta $312.50.

2. Resuelve las siguientes ecuaciones. Comprueba tu solución. a) 0.59x 1 1.3 5 1.89 0.59x 5 1.89 2 1.3 0.59x 5 0.59 x 5 0.59/0.59 x51

Comprobación 0.59(1)  1.3  1.89 0.59  1.3  1.89 1.89  1.89

b) 5x 1 2 2 3x 5 4 Comprobación 5(1) + 2 2 3(1)  4 5+2234 7234 44

5x 2 3x  4 2 2 2x  2 x  2/2 x1

ci ón

c) 21y 2 27 5 2y 1 11 Comprobación 21(2) 2 27  2(2)  11 42 2 27  4  11 15  15

bu

21y 2 2y  11  27 19y  38 y  38/19 y2

d) 3.4(x 1 1.2) 5 2.6(x 1 2.4)

Comprobación 3.4(2.7  1.2)  2.6(2.7  2.4) 3.4(3.9)  2.6(5.1) 13.26  13.26

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

3.4x  4.08  2.6x  6.24 3.4x 2 2.6x  6.24 2 4.08 0.8x  2.16 x  2.16/0.8 x  2.7

3. Resuelve los siguientes problemas. Justifica tus respuestas.

a) Ocho veces un número más tres veces el mismo número es igual a 20 más nueve veces el número. ¿Cuál es el número? El  número es 10. 8x 1 3x 5 20 1 9x 8x 1 3x 2 9x 5 20 2x 5 20

x5 20/2 x5 10

b) Si el perímetro del triángulo y el perímetro del rectángulo miden lo mismo, ¿cuáles son las dimensiones de los lados del triángulo? 2 cm, 4 cm y 5 cm ,

x

P

©

¿cuánto mide la altura del rectángulo? 2  cm x12

x

x13

En la columna “Nota”, marca una ✔ en los reactivos que resolviste correctamente. Reactivo Nota Secuencia Páginas

3.5 cm

•• Reflexiona sobre tus resultados y, con tu profesor, busca estrategias para fortalecer tus áreas de oportunidad.

1

23

190-193

2

23, 24 y 25

190-205

3

23, 24 y 25

190-205

207

Círculos que informan 1. Lee con un compañero la siguiente información recolectada en una escuela.   Deporte que más se practica   Porcentaje de alumnos 35% 30% 12% 23% 100%

Futbol Basquetbol Beisbol Otro Total

Tipo Novela Cuento Poesía Otro Total

Porcentaje de alumnos 48% 25% 15% 12% 100%

bu

Deporte

Tipo de literatura que más gusta

ci ón

26

Eje: Análisis de datos Tema: Estadística Contenido: Recolectas, registras y lees datos en gráficas circulares.

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

Analicen a qué tabla corresponde cada una de las siguientes gráficas circulares. Escriban el título y el dato que va en cada región de las gráficas Tipo de literatura que más gusta

   

Deporte que más se practica

Novela

Futbol

Cuento

Basquetbol

Poesía

Beisbol

Otro

Otro

•• Comparen sus respuestas con las de sus compañeros y comenten en qué se basaron para decidir qué gráfica corresponde a cada tabla. Lleguen a un acuerdo en el grupo. 2. Revisa, junto con un compañero, la siguiente información sobre el trabajo infantil. Después, contesten.

Trimestre 3

P

©

2 475 990 niños y adolescentes mexicanos de 5 a 17 años trabajan.

Motivos por los que trabajan 11.5%

23.5%

10.1%

14.6% 16.8%

208

Para pagar su escuela y/o sus propios gastos

Para aprender un oficio

El hogar necesita su aportación económica

Por su gusto o solo por ayudar

El hogar necesita su trabajo

Porque no estudia u otra razón

Nivel de ingreso de la población ocupada de 5 a 17 años 2.1%

19.1%

No recibe ingresos

Más de 2 salarios mínimos

Hasta 1 salario mínimo

No especificado

Más de 1 hasta 2 salarios mínimos

28.8%

Trabajos que desempeña la población ocupada de 5 a 17 años

12.9%

16.8%

Comerciantes o empleados de ventas

Vendedores ambulantes

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

5.0%

ci ón

42.5%

bu

7.5%

6.2%

5.7%

30.2%

23.2%

Apoyo en actividades agrícolas, ganaderas o forestales

Servicios personales y de vigilancia

Apoyo en minería, construcción e industria

Otras actividades

Trabajadores domésticos o de limpieza

Fuente: cuentame.inegi.org.mx/poblacion/ninos.aspx?tema=P#uno (consulta: 17 de octubre de 2017). Datos de 2015.

a) ¿Qué porcentaje de esta población trabaja para pagar su escuela y/o sus propios gastos? 23.5%

2 76.5 5 23.5 ¿Cómo lo calculaste? 100 

b) ¿Cuántos niños y adolescentes trabajan porque el hogar necesita su trabajo? Escribe el entero más cercano al número que obtengas. 16.8% 

c) ¿Qué porcentaje recibe una remuneración económica por su trabajo? 97.9%

¿Cuántos niños y adolescentes son los que están en esta situación? Escribe el

Secuencia didáctica 26. Círculos que informan

d) ¿Cuántos niños y adolescentes ganan más de dos salarios mínimos? Escribe el niños y adolescentes entero más cercano. 185 699 

e) ¿Qué tipo de trabajo desempeñan más los niños y adolescentes? Apoyo en actividades agrícolas, ganaderas f) ¿Qué porcentaje de esta población son comerciantes, empleados de ventas o o forestales vendedores ambulantes? 16.8%

P

©

niños y adolescentes entero más cercano a tu resultado. 2 423 994 

•• Comparen sus respuestas con las de sus compañeros. Piensen en otras preguntas acerca de esta información y coméntenlas en el grupo. Discutan qué opinan sobre el trabajo infantil y cuáles pueden ser las consecuencias para niños y adolescentes. 209

3. Lee y haz lo que se pide. En un estudio sobre violencia escolar entre los estudiantes de una secundaria, se obtuvo la siguiente información. ¿Has sido víctima de violencia en la escuela? 70.3%

A veces

24.0%

ci ón

Nunca A menudo

5.7%

Total

100.0%

Glosario

Para construir una gráfica circular con esta información, se debe decidir el ángulo central del sector circular que corresponde a cada una de las respuestas a la pregunta planteada.

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

sector circular. Región comprendida entre un arco de círculo y los radios correspondientes a los extremos del arco.

bu

Fuente: diposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/95821/1/TFG_Raquel_Pujol_2015.pdf (consulta: 17 de octubre de 2017).

a) ¿Cuánto mide el ángulo que representa una vuelta completa? 360° b) Calcula el 70.3% del ángulo anterior: 253.08

grados.

c) Determina el 24% del ángulo que indica una vuelta completa: 86.4  grados. d) Calcula el 5.7% de ese mismo ángulo: 20.52  grados. e) Tomando como vértice el centro del siguiente círculo, mide con un transportador los ángulos que obtuviste al calcular los tres porcentajes indicados en la tabla. Empieza en el radio marcado. ¿Has sido víctima de violencia en la escuela?

Nunca

A veces

P

©

A menudo

f) Colorea cada uno de los sectores circulares que marcaste con distintos colores. g) Se le llama leyenda a la descripción que se hace de qué dato está representado por cada sector circular. Colorea los cuadrados y escribe la leyenda de la gráfica. h) En la línea superior, escribe como título la pregunta que encabeza la tabla.

Trimestre 3

•• Compara tu gráfica circular con la que hizo uno de tus compañeros. ¿Se parecen? ¿En qué son diferentes? Si hay diferencias en la medida de los ángulos de cada sector, verifiquen dónde está el error. 210

4. Lee, calcula y traza la gráfica circular correspondiente a la información de la tabla. ¿Has sido testigo de violencia en la escuela? 18.4% 42.7% 38.9% 100.0%

Fuente: diposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/95821/1/TFG_Raquel_Pujol_2015.pdf (consulta: 17 de octubre de 2017).

ci ón

Nunca A veces A menudo Total

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

bu

a) Determina los ángulos centrales de los sectores circulares. Ver solucionario b) Mide los ángulos, colorea y completa tu gráfica circular en tu cuaderno usando como referencia el siguiente esquema. Ver solucionario

•• Compara tu gráfica con la de un compañero. Analicen la información dada en las dos gráficas anteriores y discutan en el grupo qué medidas se pueden tomar para evitar la violencia escolar.

Construcción de gráficas circulares

Color preferido

Azul

Rojo

Verde

Otro

Total

Personas

10

8

12

10

40

Porcentaje

25%

20%,

30%

25%

100%

Ángulo

90º

72º

108º

90º

360º

Secuencia didáctica 26. Círculos que informan

©

En las gráficas circulares se asigna un sector circular a cada valor o dato de una tabla de frecuencias, determinando el ángulo del sector que corresponde de acuerdo con el porcentaje de ese dato o valor. Por ejemplo:

P

Digamos que x es el ángulo que corresponde al sector circular de Azul. Como 10 es el 25% de 40, entonces x debe ser el 25% de 360°. Dicho de otra manera, x debe ser una parte de 360° igual a la parte que 10 es de 40, es decir,

   

10 x 10 5 , o bien, x 5 3 360° 5 90° 40 360º 40

211

¿Vamos bien? Aplica lo que has aprendido para hacer lo siguiente. En medio pliego de cartulina, diseña un cartel que invite a no fumar, incluyendo una imagen o dibujo, la siguiente información y una gráfica circular con los datos de la tabla. El consumo de tabaco mata a más de cinco millones de personas cada año, es decir, más que el VIH/sida, la tuberculosis y el paludismo juntos. De ellas, más de 600 000 muertes al año son de personas no fumadoras expuestas al humo de tabaco.

ci ón

Entra al sitio www.esant.mx/ essema1-018. En la pestaña “Aprende” construye las gráficas que te piden. Y en la pestaña “Prueba” calcula porcentajes y ángulos centrales.

Fuente: Organización Mundial de la Salud, www.who.int/features/factfiles/tobacco/es (consulta: 17 de octubre de 2017).

Edad de inicio como fumador diario en México.

Porcentaje 24.5% 43.7% 19.0% 12.8%

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

Rango de edad Menos de 15 años De 15 a 17 años De 18 a 19 años De 20 años en adelante

bu

Para saber más

Fuente: Estadísticas a propósito del día mundial sin tabaco, Inegi, México, 2012.

Coloquen sus carteles en las paredes del salón de clase y discutan en el grupo sobre los problemas que genera el tabaquismo y cómo combatirlo.

5. Haz lo que se indica junto con un compañero.

a) Lancen 60 veces dos dados. Observen los números obtenidos y registren en su cuaderno si se trata de dos números pares, dos impares o, un par y un impar.

Un par y un impar

b) Escriban cuántas veces obtuvieron cada uno de los resultados descritos en la siguiente tabla y determinen los porcentajes correspondientes. R. L. Tipo de resultado

Cantidad de veces

Porcentaje

60

100%

Trimestre 3

P

©

Dos pares

Dos impares

Un par y un impar Total

c) Hagan los cálculos para determinar los ángulos interiores de los sectores circulares y escriban los resultados. R. L. Dos pares:

212

  Dos impares:

  Un par y un impar:

ci ón

d) Construyan una gráfica circular en el siguiente esquema. El título puede ser: “Tipos de resultados al lanzar 60 veces dos dados”. R. L.

los otros? R. L.

Si respondieron sí, escriban cuál fue.

bu

e) ¿Algún tipo de resultado ocurrió un número notablemente mayor de veces que

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

•• Comparen sus resultados con los de sus compañeros y decidan cuáles gráficas son correctas y cuáles no lo son.

¿Qué aprendí?

Trabaja la actividad. Al terminar, revisa tus procedimientos y tus resultados con tu profesor. Corrige si encuentras errores. R. L. Aplica la siguiente encuesta a 20 estudiantes de tu escuela. 1. Género: Hombre



Mujer

2. ¿Qué grado cursas? 1.° de secundaria 

    2.° de secundaria 

    3.° de secundaria 

3. ¿Cómo haces el recorrido de tu casa a la escuela?

   

En bicicleta

   

En automóvil particular

   

En motocicleta

   

De otra manera

   

4. ¿Cuánto tiempo inviertes en ir de tu casa a la escuela?

P

Menos de 15 minutos

Entre 16 y 30 minutos

   

Entre 31 y 60 minutos

   

   

Más de una hora

   

Con las respuestas de cada una de las preguntas, elabora una tabla de frecuencias con porcentajes y una gráfica circular.

Marca con una ✔ la casilla que describe tu desempeño. Contenido Recolecto, registro y leo datos en gráficas circulares. A

Requiero ayuda para realizarlo.

B

Lo hago, pero en ocasiones necesito ayuda.

C

Lo hago de manera autónoma.

213

Secuencia didáctica 26. Círculos que informan

En camión o autobús

Nivel de logro

   

©

Caminando

Gráficas circulares Haz lo que se indica para construir una gráfica circular con la información de una tabla de porcentajes.

ci ón

a) Abre una hoja de cálculo y copia la siguiente información, tomada de la encuesta nacional de lectura y escritura que realizó el Consejo Nacional para la Cultura y las Artes (Conaculta) en 2015 (imagen 1).

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

bu

b) Selecciona las celdas que contienen la información debajo de los títulos de la tabla, sin incluir el total, es decir, de A4 a B8. En la pestaña superior, titulada “Insertar”, selecciona el icono que corresponde a una gráfica circular y elige “Gráfico 2D”. Tras oprimir la tecla Enter, aparece una primera gráfica sobre la que vamos a trabajar.

c) En cuanto aparece la gráfica, en la parte superior cambia el menú de pestañas para ofrecerte opciones útiles para la construcción de tu gráfica. Puedes escoger un diseño de los que vienen predeterminados o ir modificando la gráfica a tu gusto. Aquí vamos a seleccionar el “Estilo 1” del menú “Diseño de gráfico” (imagen 2).

©

Imagen 1

Trimestre 3

P

Imagen 2

214

d) Selecciona el letrero “Título del gráfico” y escribe: “¿Cuánto tiempo dedicas a leer por gusto?”. El título aparecerá en ese lugar en cuanto presiones Enter. Puedes modificar el tipo y el tamaño de letra del título presionando el botón auxiliar (derecho) sobre él y seleccionando “Formato del título del gráfico...”.

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

bu

ci ón

e) Cuando seleccionas la gráfica y presionas el botón auxiliar (derecho), aparece la opción “Formato de etiqueta de datos” para que aparezcan los porcentajes sobre los sectores circulares correspondientes.

Imagen 3

f) En la opción de “Diseño de gráfico” puedes modificar el título y ajustar su posición en la gráfica: encima del gráfico o centrarla. También puedes modificar la posición de las “Etiquetas de datos” y agregar “Leyendas” que son los títulos de las situaciones que se desean analizar.

g) Puedes modificar el tamaño de la gráfica a tu gusto colocando el cursor en cualquiera de los pequeños círculos que aparecen en el contorno. También puedes cambiar de colores (imagen 4), con el menú “Cambiar colores” o usando las opciones que aparecen en la pestaña “Formato”. ¡Explora! h) Practica haciendo otra gráfica circular con la siguiente información.

Imagen 4

©

¿Con qué frecuencia lees lo que se publica en redes sociales? 54.4%

Varias veces a la semana

16.2%

P

Diario

Una vez a la semana

10.6%

Varias veces al mes

3.0%

Ocasionalmente

15.8%

Total 215

27

Eje: Número, álgebra y variación Tema: Funciones Contenido: Analizas y comparas situaciones de variación lineal a partir de su representación tabular y gráfica.

Puntos que hablan 1. Trabaja con un compañero en lo siguiente.

ci ón

En una actividad anterior (sobre valores faltantes) se observó cómo variaba la altura del agua en varios contenedores cuando iba transcurriendo el tiempo desde el momento en que empezaron a llenarse, usando una entrada de agua con un flujo constante. En uno de los contenedores, los valores eran:

5

10

15

20

Altura del agua (cm)

20

40

60

80

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

bu

Tiempo transcurrido (min)

Glosario

plano cartesiano. Sistema de referencia formado por dos rectas perpendiculares, llamadas ejes, que se intersecan en un punto correspondiente al cero de cada eje. Al punto de intersección de los ejes se le llama origen.

La información de la tabla también puede representarse en un plano cartesiano como el siguiente. Observen los títulos de los ejes y los puntos marcados. Relación de la altura del agua de un contenedor con el tiempo de llenado

Altura del agua (cm)

90

S

80 70

R

60

50

Q

P

©

40

30 20

P

Trimestre 3

10

0 216

10

20

30

40

50

Tiempo transcurrido (min)

a) ¿Cuál punto indica que 10 minutos después de haber empezado a llenar el tanque la altura del agua es de 40 cm? Q

Glosario

Escriban las coordenadas de ese punto. (10,  40) b) ¿Cuál indica que 5 minutos después de haber empezado a llenar el tanque la altura del agua es de 20 cm? P Escriban las coordenadas de ese punto. (5, 20)

ci ón

c) En el punto R, ¿cuánto tiempo ha transcurrido y cuál es la altura del agua? Al  transcurrir 15 min la altura del agua en el tanque es de 60 cm.

coordenadas de un punto. A cada punto del plano cartesiano le corresponde un número x en el eje horizontal y un número y en el eje vertical. Estos números se escriben como pareja ordenada (x, y) y se les llama coordenadas del punto.

d) Marquen el punto S 5 (20, 80) en el plano. ¿Qué información brinda ese punto? Al  transcurrir 205 min la altura del agua en el tanque es de 80 cm. e) Usen una regla para trazar la recta que pasa por los puntos P y S.

bu

f) ¿Los puntos Q y R se localizan arriba de esa recta, debajo de ella o en la recta? Los  puntos P y S están en la recta.

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

•• Comparen sus respuestas con sus demás compañeros y discutan cualquier diferencia que encuentren. 2. Lee y sigue las instrucciones.

Longitud del resorte (cm)

0

2.0

2

2.5

4

3.0

6

3.5

8

4.0

10

4.5

Secuencia didáctica 27. Puntos que hablan

Cantidad de balines

a) En el plano cartesiano, marca los puntos que se describen a continuación.

Punto F: El que indica la longitud del resorte cuando no sostiene balines. Punto G: El que indica la longitud del resorte cuando sostiene dos balines. Punto H: El que indica la longitud del resorte cuando sostiene cuatro balines. Punto I: El que indica la longitud del resorte cuando sostiene seis balines. Punto J: El que indica la longitud del resorte cuando sostiene ocho balines. Punto K: El que indica la longitud del resorte cuando sostiene diez balines.

P

©

En el laboratorio de Física de la escuela de Juan, unos alumnos colgaron balines de un resorte. Observaron que al variar la cantidad de balines sostenidos por el resorte cambiaba la longitud de este, e hicieron la siguiente tabla para reportar lo observado.

217

Variación de la longitud de un resorte

Longitud del resorte (cm) 5

K J

4

I H

3

F

1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

ci ón

2

G

9

Cantidad de balines

10

bu

b) Une los puntos que localizaste. ¿Qué tipo de línea se forma: recta o curva? Se forma una línea recta.

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

•• Revisa tu trabajo junto con un compañero. ¿Cuánto se alarga el resorte cuando se agrega un balín a la bolsa? Por cada balín se alarga 0.25 cm.

Glosario

variable. Una cantidad que puede tomar distintos valores.

Representación gráfica y en tablas

Si dos variables x y y están relacionadas de manera que a cada valor de x le corresponde un solo valor de y, se dice que entre ellas hay una relación funcional. A la variable y se le llama dependiente y a x se le llama variable independiente. Una relación funcional se puede representar mediante una tabla en la que se muestren distintos valores de las variables x y y. También se puede representar por medio de una gráfica en el plano cartesiano, ubicando los valores de x en el eje horizontal y los de y en el eje vertical para localizar los puntos de la gráfica.

3. Identifica la gráfica que corresponde a cada tabla. Valores de x

1

Valores de y

3 2

3 2 9 4

5 2 15 4

2

3

©

   Gráfica 1

P

0

1

2

3

Valores de y

0

1 2

2

9 2

    Gráfica 2

y 6

Gráfica 1

5

5

2

2

1

1 1

2

3

4

5

x

0

¿Cuál de las dos gráficas representa una variación lineal?  218

Gráfica 2

3

3

0

y

4

4

Trimestre 3

Valores de x

1

2

3

4

5

x

¿Vamos bien? Realiza lo que se solicita. Al terminar, compara con otros compañeros lo que hiciste y corrige si encuentras algún error.

Valores de x

0

3

6

9

Valores de y

1

2

3

4

ci ón

Supongamos que en la siguiente tabla la cantidad y es la altura de un árbol expresada en metros y x es la cantidad de años transcurridos a partir del momento en que ese árbol se plantó en un parque.

bu

a) Localiza los puntos (x, y) de la tabla en el plano cartesiano. y

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

11 10 9 8

7 6 5 4 3

2 1

0

1

2 3 4 5 6 7

8

9 10 11

x

b) ¿Qué información proporciona el punto (3, 2)? Que después de dos años de haberse plantado el árbol en el parque, ahora mide 2 m de altura.  c) ¿Qué altura tenía el árbol cuando fue plantado? Medía 1 m de alto d) ¿Están alineados los puntos localizados? Sí,  pasan por la recta que une los puntos (0, 1) y (9, 4)

Secuencia didáctica 27. Puntos que hablan

Tanto el perímetro como el área de un cuadrado dependen de cuánto mide cada lado. a) Completen la tabla.

P

©

4. Reúnete con un compañero y trabajen en lo siguiente.

Variable x: lado del cuadrado (cm) Variable y: perímetro del cuadrado (cm)

0.5

1

1.5

2

2

4

6

8

219

b) Localicen los puntos de la tabla en el plano cartesiano y tracen la línea que se forma al unir los puntos. Relación del perímetro de un cuadrado con la medida de su lado Perímetro del cuadrado (cm) 9

ci ón

8 7

bu

6 5

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

4 3 2 1

0

1

2

3

4

5

Lado del cuadrado (cm)

c) ¿Se trata de una línea recta o una curva? Una línea recta.

d) ¿Cuánto aumentó el perímetro cuando el lado pasó de 0.5 a 1 cm? Se duplicó. ¿Y cuando pasó de 1 a 1.5 cm? Aumentó 2 cm.

Glosario

Trimestre 3

P

©

abscisa. Primera coordenada de un punto en el plano, correspondiente a la distancia horizontal del punto al eje vertical.

220

e) Revisen otros puntos en los que la diferencia en las abscisas sea 0.5. ¿Es siempre igual el aumento en el perímetro cuando el lado se incrementa en 0.5 cm? Siempre es igual el aumento del perímetro cuando las abscisas difieren en 0.5 cm.

f) ¿Cuánto aumenta el perímetro cada vez que el lado se incrementa en 1 cm? Aumenta 4 cm. g) Completen la tabla.

Variable x: lado del cuadrado (cm)

0

1 2

1

3 2

2

3

Variable y: área del cuadrado (cm2)

0

1 4

1

9 4

4

9

h) Localicen los puntos en el plano. Área del cuadrado (cm2)

Relación del área de un cuadrado con la medida de su lado

9

ci ón

8 7 6

bu

5 4

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

3 2 1

0

1

2

3

4

5

Lado del cuadrado (cm)

i) Tracen la línea que se forma al unir los puntos. ¿Se trata de una línea recta o una curva? Una curva 1 j) ¿Cuánto aumentó el área cuando el lado pasó de 0 a 2 cm? 1/4 1 ¿Y cuando pasó de 2 a 1 cm? 3/4

1

k) Revisen otros puntos en los que la diferencia en las abscisas sea 2 . ¿Es siempre igual el incremento en el área cuando el lado se incrementa 1 en 2 cm? No, el crecimiento del área no es el mismo al variar 0.5 cm el valor de las abscisas.

©

Secuencia didáctica 27. Puntos que hablan

Variación lineal

P

Si x y y forman una relación funcional en la que cada vez que x varía en una cantidad fija, el cambio en y es siempre el mismo, en el plano cartesiano eso implica que los puntos (x, y) que representan la relación están alineados, y a este tipo de variación se le llama lineal.

Por ejemplo, en la actividad anterior se verificó que al variar el lado de un cuadrado, su perímetro muestra una variación lineal, mientras que su área tiene una variación que no es lineal.

221

Un pediatra considera que la cantidad de miligramos de un medicamento que debe dársele diariamente a un bebé cuyo peso esté dado en gramos es la cuarta parte de su peso menos 750. a) Completen la tabla. Peso del bebé (g)

3 000

3 500

Cantidad de medicamento (mg)

0

125

b) Localicen los puntos y tracen la línea que los une. Cantidad de medicamento (mg) 500

4 500

5 000

375

500

ci ón

Cuando un compañero no haya podido asistir a la escuela, apóyalo para que se reincorpore lo más pronto posible. Procura incluirlo en las actividades que se realicen en equipos o parejas. Así le será más fácil su integración.

5. Lee junto con un compañero y resuelvan.

Dosis de medicamento en relación al peso del bebé

bu

Convivo en armonía

400

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

350

300 250

200 150

100

50

0

Glosario

P

©

ordenada. Segunda coordenada de un punto en el plano, correspondiente a la distancia vertical del punto al eje horizontal.

1 000 2 000 3 000 4 000 5 000 6 000

Peso del bebé (g)

c) Sobre la línea que trazaron, localicen un punto cuya abscisa sea 4 000 g. ¿Cuál es la ordenada de ese punto? 4 000

d) ¿Cuántos miligramos de medicamento deben indicarse a un bebé que pese mg 4 000 g? 250  e) ¿Cuánto se incrementa la cantidad de medicamento al pasar de un peso de 3 000 g a 3 500 g? 125 mg ¿Y al pasar de 3 500 g a 4 000 g? 125  mg f) Observen otros puntos que correspondan a pesos que difieren en 500 g. ¿La variación en la cantidad de medicamento es siempre igual? Sí

Trimestre 3

g) ¿Se trata de una variación lineal? Sí, es una variación lineal. •• Discutan sus respuestas con sus demás compañeros y lleguen a un acuerdo acerca de cuáles son correctas. Piensen en ejemplos de variaciones lineales que hay en su entorno. 222

¿Qué aprendí? Resuelve los siguientes ejercicios y problemas. Al terminar, revisa tus procedimientos y tus resultados con tu profesor y corrige si encuentras errores. 1. En el siguiente plano se han localizado los puntos que corresponden al peso y precio de distintos empaques de café tostado y molido.

ci ón

Precio de café en relación al peso del empaque Precio ($) 100 G

80

bu

F E

60

D C

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

40 A

20

0

100

B

200

300

400

500

600

Peso (g)

a) ¿Qué empaque es el más pesado? El  de 500 g

b) ¿Qué empaques son más baratos? Los de 100 y 200 g c) ¿Qué empaques tienen el mismo peso? Los de 400 g

d) ¿Qué empaques tienen el mismo precio? Los de 100 y 200 g e) ¿En cuál de los empaques cuesta menos el café? El  de 200 g. ¿En cuál cuesta más? El  de 500 g

a) Elabora una tabla en tu cuaderno en la que se incluya el salario del vendedor para distintas cantidades de productos vendidos.

Contenido Analizo y comparo situaciones de variación lineal a partir de su representación tabular y gráfica.

ción lineal o no. Argumenta tu respuesta.  

c) Localiza los puntos de tu tabla en un plano cartesiano y únelos para formar la gráfica. ¿Se trata de una línea recta o una curva? 

Nivel de logro

b) Antes de localizar puntos en el plano cartesiano, analiza si se trata de una varia-

P

©

2. El sueldo de un vendedor consta de $3 000 mensuales más $500 por cada producto que vende. Analiza cómo va cambiando su sueldo mensual al ir variando el número de productos que vende. Ver solucionario

Marca con una ✔ la casilla que describe tu desempeño.

A

Requiero ayuda para realizarlo.

B

Lo hago, pero en ocasiones necesito ayuda.

C

Lo hago de manera autónoma.

223

Secuencia didáctica 27. Puntos que hablan

f) Localiza el punto correspondiente a un empaque que pesa 250 g y cuesta $60. g) ¿Hay una relación lineal entre el peso y el precio de los empaques? No

28

Eje: Número, álgebra y variación Tema: Funciones Contenido: Determinas la pendiente de una recta y la usas para comparar situaciones de variación lineal.

¿Pendiente suave o pronunciada? 1. Analiza la información con un compañero.

ci ón

Tres amigos viajan con sus familias en una autopista. Jorge viaja a una rapidez constante de 80 kilómetros por hora, Gustavo lo hace a 100 kilómetros por hora y Pedro se desplaza a 60 kilómetros por hora. a) Identifiquen en el plano el color de la recta que representa el recorrido de cada uno de los amigos. Recorrido de los tres amigos

bu

Distancia (km) 160 140

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

120

100 80

60

40

20

0

Jorge: rojo

1

2

3

   Gustavo: verde

Tiempo (h)

   Pedro: azul

la distancia que marca cada b) Expliquen en qué basaron su elección. Analizando  una de las rectas en una hora. 

©



c) Localicen los puntos de las rectas que tienen ordenada 120. ¿Cuánto tiempo tarda Jorge en recorrer 120 km? 1.5  h

¿Cuánto tarda Pedro en recorrer

Trimestre 3

P

esa distancia? 2 h

d) Localicen los puntos de las rectas que tienen abscisa 1.5. ¿Cuántos kilómetros recorre cada uno de los amigos en una hora y media? Gustavo: 150 km, Jorge: 120 km y Pedro: 90 km •• Comparen sus respuestas con sus compañeros y discutan cualquier diferencia que encuentren.

224

2. Haz lo siguiente con un compañero. a) Escriban las coordenadas de los tres puntos marcados sobre la recta. 4 2 6 3 10    ) 5 A 5 (    ,    )   B 5 (    ,    )   C 5 (    , y

yC 5

ci ón

6

C

4 yB 3 yA 2

bu

B A

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

1 0

1

2

3

4 xA

5

6 xB

7

8

9

10 xC

11

12

x

b) Si se desplazan de A a B solo mediante movimientos verticales y horizontales, ¿cuántas unidades deben subir verticalmente? Una



¿Cuántas deben avanzar horizontalmente? Dos Entonces, por cada unidad de cambio horizontal, ¿cuál es el tamaño del cambio vertical?  Es de la mitad de una unidad.

c) Esa misma razón de cambio se puede obtener usando cualquier otro par de puntos de la recta. Por ejemplo, si se mueven de B a C, ¿cuál es el cambio en las ordenadas? De dos unidades ¿Y el cambio en las abscisas? Es de cuatro unidades.

Secuencia didáctica 28. ¿Pendiente suave o pronunciada?

¿Cuál es la razón que indica el cambio en las ordenadas por cada unidad de cambio en las abscisas?  Es de la mitad de una unidad.

d) Observen las distancias que se recorren al pasar del punto A al C. Vamos a usar (xA, yA) para referirnos a las coordenadas del punto A y (xC, yC) para las coordenadas del punto C. Calculen la razón que indica el cambio de las ordenadas por cada unidad que cambian las abscisas.

P

©



yC 2 yA xC 2 xA 5

522 10 2 4

1 5 3 5 6

2

e) Escriban lo que observaron al calcular las razones anteriores. Todas son iguales. 

•• Discutan sus observaciones con sus compañeros y comparen sus respuestas. 225

3. Trabaja en lo siguiente con un compañero. a) Escriban las coordenadas de los puntos marcados en la siguiente curva. 1 21 2 2 4 3 A 5 (    ,    )   B 5 (    ,    )   C 5 (    ,    ) y

3

ci ón

4

C

B

bu

2

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

1

0

21

1

2

3

4

5

x

6

A

22

b) Para pasar de A a B, ¿cuántas unidades deben avanzar verticalmente? Tres  ¿Cuántas deben avanzar horizontalmente? Una

c) Calculen la razón de cambio entre las coordenadas de A y de B. yB 2 yA xB 2 xA 5

2 2 (21)

yc 2 yB xC 2 xB 5

322

5

3 53 1

5

1 2

Trimestre 3

P

©

221 d) Observen las distancias que se recorren al pasar del punto B al C. Después calculen la razón formada por la distancia vertical sobre la horizontal.

422 e) ¿Son iguales los resultados de las dos razones anteriores? No 

f) Escriban las diferencias entre los valores de las razones en esta gráfica curva y en la recta del ejercicio anterior. En  la recta, las variaciones horizontales y verticales son constantes para cada dos puntos dados; mientras que en la gráfica curva, las variaciones tanto verticales como horizontales no son iguales.

•• Comparen sus respuestas con sus compañeros de grupo. Lleguen a un acuerdo sobre las diferencias entre los resultados de esta actividad y la anterior. 226

Pendiente de una recta

A esta razón constante se le llama pendiente de la recta. Es decir, la pendiente de la recta que pasa por los puntos A 5 (xA, yA) y B 5 (xB, yB) es y 2y

m 5 xB x A B2 A

bu

La pendiente de una recta indica cuánto cambian las ordenadas al cambiar una unidad en las abscisas. Por ello, también se le llama razón de cambio de las ordenadas respecto a las abscisas.

ci ón

Para cualquier par de puntos sobre una línea recta, la razón (cociente) de la diferencia de las ordenadas entre la diferencia de las abscisas es siempre igual. En otras gráficas que no son rectas, esta razón cambia al usar diferentes parejas de puntos.

4. Lee y contesta.

Para saber más

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

La velocidad con que se propaga el sonido depende del medio. En el agua (a 25 °C) se propaga a 1 493 metros por segundo; en el aire (a 20 °C) se propaga a 343 metros por segundo, y en el plomo, a 926 metros por segundo. a) Identifica la recta que describe la propagación del sonido en cada uno de estos medios y escribe el color que corresponde. Distancia (m)

Propagación del sonido en distintos medios

5 000

4 500

4 000

Busca en la red el sitio www.esant. mx/essema1-019 y explora. En el primer interactivo, averigua qué pasa con la pendiente de una recta si los dos puntos que se eligen tienen la misma ordenada y si tienen la misma abscisa.

3 500

3 000

2 500

Secuencia didáctica 28. ¿Pendiente suave o pronunciada?

2 000

1 500

1 000

©

500

P

0

Agua: verde

0.5

1

1.5

    Aire: rojo

2

2.5

3

Tiempo (s)

    Plomo: azul

b) Compara la inclinación de las rectas. ¿En cuál de los medios la pendiente es mayor? Agua ¿En cuál es menor? Aire •• Compara tu respuesta con un compañero y comenten en qué basaron su elección. 227

¿Vamos bien? Haz lo que se solicita. Al terminar, compara con otros compañeros lo que hiciste y corrijan si encuentran algún error.

a)

ci ón

I. En las siguientes rectas, elige dos puntos en los que te resulte sencillo determinar las coordenadas y calcula la pendiente. y 10 9 8

bu

7 6

m5

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

5

3

4

3 2 1

21

0

b)

1

2

3

4

5

x

6

y

7

6

5 4

m5

1 4

3 2 1

P

©

21

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

II. Revisa las rectas de la actividad inicial.

a) Calcula la pendiente de las rectas que representan el recorrido de cada amigo. Jorge: m 5 80

 Gustavo: m 5 100

 Pedro: m 5 60

Trimestre 3

b) ¿Qué relación hay entre la velocidad constante de cada vehículo y la pendiente de la recta correspondiente? La  velocidad y la pendiente tienen el mismo valor, es decir, la velocidad es la representación física de la pendiente de las rectas. 228

5. Trabaja en la siguiente actividad con un compañero. a) Escriban las coordenadas de los puntos marcados en la siguiente recta. 0 7 3 5 9 1 A 5 (    ,    )   B 5 (    ,    )   C 5 (    ,    ) y A

ci ón

7 6

B

bu

5 4

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

3 2

C

1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

x

b) Al pasar del punto A al punto B usando movimientos verticales y horizontales, ¿se debe bajar o subir? Bajar

Entonces, ¿la diferencia

de ordenadas yB 2 yA es positiva o negativa? Negativa 

c) Observen las diferencias en las coordenadas de los puntos B y C. ¿La diferencia de ordenadas yC 2 yB es positiva o negativa? Negativa 

d) ¿Qué signo le pondrían a la pendiente para indicar que las ordenadas disminuyen

Secuencia didáctica 28. ¿Pendiente suave o pronunciada?

al aumentar las abscisas? Negativo

©

•• Verifiquen si hay acuerdo en su grupo respecto al signo que pondrían a la pendiente y comparen sus respuestas.

El signo de la pendiente

P

Cuando la recta es creciente, es decir, cuando al aumentar los valores de x aumentan también los de y, la pendiente de la recta es positiva.

Cuando la recta es decreciente, es decir, cuando al aumentar los valores de x disminuyen los valores de y, la pendiente de la recta es negativa.

229

6. Resuelve. a) ¿Cuánto debes avanzar verticalmente a partir de P para trazar una recta que pase 2

por el punto P del siguiente plano y que tenga pendiente 3 ? 2 ¿Cuánto debes avanzar horizontalmente? 3 b) Localiza otro punto después de hacer los movimientos anteriores y traza la recta.

ci ón

y

7 6

bu

5 4

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

3

2

P

1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

x

c) ¿Cuánto debes bajar verticalmente a partir de P para trazar otra recta que también 2

pase por el punto P y que tenga pendiente 2 3 ? 2 ¿Cuánto debes avanzar horizontalmente? 3 2 d) En el mismo plano traza la recta que pasa por P y tiene pendiente 2 3 .

•• Compara las rectas que trazaste con las de un compañero. Si no son iguales, revisen si hay errores con otra pareja de compañeros.

¿Qué aprendí?

Tres recipientes cilíndricos se llenan usando la misma entrada de agua.

Trimestre 3

P

©

Trabaja lo siguiente. Al terminar, revisa tus respuestas con ayuda de tu profesor.

230

Recipiente 1



Recipiente 2

Recipiente 3

a) Completa la siguiente tabla. Tiempo (s)

0

1

2

3

4

5

7.5

10

Altura del agua, recipiente 1 (cm)

0

2.5

Altura del agua, recipiente 2 (cm)

0

1.25

2.5

3.75

5

Altura del agua, recipiente 3 (cm)

0

0.5

1.0

1.5

2.0

ci ón

b) ¿Cuánto aumentó la altura del agua en cada recipiente por cada segundo transcurrido?

cm    Recipiente 2:      1.25 cm    Recipiente 3: 0.5 cm Recipiente 1: 2.5          

bu

c) Localiza los puntos y traza las tres gráficas en el siguiente plano cartesiano. Usa un color diferente para los puntos y gráficas de cada recipiente. Altura del agua en el llenado de distintos recipientes Altura del agua (cm)

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

10 9 8

Recipiente 1

7

Recipiente 2

6 5

Recipiente 3

4

2

Marca con una ✔ la casilla que describe tu desempeño. Contenido

©

1

0

1

2

3

4

5

Tiempo (s)

Determino la pendiente de una recta y la uso para comparar situaciones de variación lineal.

e) ¿En cuál recipiente la altura del agua cambia más rápidamente? En el primero ¿En cuál cambia más despacio? En el tercero

f) ¿En cuál de las gráficas la pendiente es mayor? En el primero ¿En cuál es menor? En el tercero

Nivel de logro

P

d) Calcula la pendiente de cada recta. m 5 2.5, m 5 1.25 y m 5 0.5

A

Requiero ayuda para realizarlo.

B

Lo hago, pero en ocasiones necesito ayuda.

C

Lo hago de manera autónoma.

231

Secuencia didáctica 28. ¿Pendiente suave o pronunciada?

3

29

Eje: Número, álgebra y variación Tema: Funciones Contenido: Analizas y comparas situaciones de variación lineal a partir de sus representaciones tabular, gráfica y algebraica. Interpretas y resuelves problemas que se modelan con este tipo de variación.

Tres formas de describir lo mismo 1. Reúnete con un compañero y sigan las instrucciones.

Un estacionamiento cobra $30.00 por la primera hora y después de esta cobra $6.00 por cada 15 minutos adicionales.

0

30  6  0  30

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

1 hora

y Monto a pagar ($)

bu

Tiempo transcurrido

x Número de periodos de 15 min adicionales a la primera hora

ci ón

a) Escriban los datos solicitados en la tabla. En la tercera columna escriban las operaciones que deben realizar para calcular el monto a pagar, así como el resultado de dichas operaciones.

1 hora 15 minutos

1

30 1 6 3 1 5 36

1 hora 30 minutos

2

30  6  2  42

1 hora 45 minutos

3

30  6  3  48

2 horas

4

30  6  4  54

2 horas 45 minutos

7

30  6  7  72

3 horas

8

30  6  8  78

3 horas 30 minutos

10

30  6  10  90

b) Representen con x la cantidad de periodos de 15 minutos transcurridos después de una hora, y con y el monto que se debe pagar. Completen la siguiente expresión algebraica para representar la relación entre x y y.

©

y 5 30 + 6x

Glosario

P

flujo. Movimiento de un fluido.

c) Verifiquen en la tabla anterior si la expresión algebraica que escribieron sirve para obtener el monto del pago para los valores de x que ahí se usaron.

•• Comparen sus respuestas con sus compañeros y lleguen a un acuerdo sobre las que son correctas.

Trimestre 3

2. Trabaja con un compañero en lo siguiente. Para llenar una cisterna, se usa un flujo de agua constante de 50 litros por minuto. Cuando la entrada de agua inicia, la cisterna cuenta ya con 200 litros. 232

a) Analiza cómo va variando la cantidad de agua en la cisterna al ir variando el tiempo. Tiempo (min)

0

5

10

15

20

Cantidad de agua en la cisterna (l)

200

450

700

950

1200

b) Si la cantidad de litros de agua en la cisterna se representa por y, y el tiempo relación entre x y y. y la  = 200 + 50x c) ¿Se trata de una variación lineal? Sí

¿En qué basaron su respuesta?

R. M. En analizar la gráfica que representa los datos de la tabla. d) Tracen la gráfica en el siguiente plano cartesiano. Tiempo de llenado de una cisterna

bu

Cantidad de agua en la cisterna (l) 1 200

ci ón

transcurrido se representa por x, escriban una expresión algebraica que describa

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

1 100

1 000

900 800 700

600 500 400

200

©

100

5

10

15

20

Tiempo (min)

P

0

e) ¿Cuál es la pendiente de la recta que trazaron? m 5 50 f) ¿En qué punto interseca la recta al eje vertical? En el (0, 200)

•• Comparen sus respuestas con otra pareja de compañeros. Discutan las diferencias que encuentren y lleguen a un acuerdo.

Glosario rectas que se intersecan. Rectas que se cortan o se cruzan en un punto. Al punto donde se cortan se le llama punto de intersección.

233

Secuencia didáctica 29. Tres formas de describir lo mismo

300

3. Continúa trabajando con un compañero en la siguiente actividad. Ahora supongan que al iniciar la entrada de agua a la cisterna de la actividad anterior, la cisterna se encuentra vacía. a) Completen la tabla. Tiempo (min)

0

5

Cantidad de agua en la cisterna (l)

0

250

15

20

ci ón

10 500

750

1000

b) Escriban una expresión algebraica que describa la relación entre la cantidad de agua en la cisterna (y) y el tiempo transcurrido (x). y 5 50x

bu

c) Tracen la gráfica en el mismo plano cartesiano del ejercicio anterior. Usen otro color para distinguirla. d) ¿Cuál es la pendiente de la nueva recta que trazaron? m 5 50

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

e) ¿En qué punto corta al eje vertical? En el origen

•• Comparen sus respuestas con otra pareja de compañeros. Cotejen sus respuestas con la siguiente información.

Expresión algebraica de una variación lineal

Si dos variables x y y varían en forma lineal, entonces la expresión algebraica que representa la relación entre ellas es y 5 mx 1 b donde m es la pendiente de la recta y b es el punto en el que la recta interseca al eje vertical. A la b se le llama ordenada al origen. y

y

Trimestre 3

P

©

11

10

10

9

9

8

8

7

7

6

6

5

5

4 3

4 3

2

2

1 0

1

2

3 4 5

2

6

x

1 22 21 0

1

2 3

y 5 3 x 1 3            y 5 24x 1 7

234

4 5

x

Para saber más

¿Vamos bien? Haz lo que se solicita. Al terminar, compara con otros compañeros lo que hiciste y corrijan si encuentran algún error. I. Escribe la expresión algebraica que corresponde a cada gráfica. 6

7

5

6

ci ón

y

y

5

4

bu

4

3

3

2

Consulta la página www.esant.mx/ essema1-020. En el segundo interactivo, fija el punto (–2, 9) y encuentra las expresiones de tres rectas que pasan por él. Resuelve ejercicios en el tercer interactivo.

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

2

1

0

21

1

2

3

x

1

0

1

2

3

4

5

x

6

21

y   3x  2

y  –3x/5  6

II. Traza en tu cuaderno las siguientes rectas. Toma en cuenta que para trazarlas solo necesitas localizar dos puntos que estés seguro de que están en la recta. Ver solucionario 3 a) y 5 2 x 2 1 b)  y 5 x 1 4 c)  y 5 24x 1 2

4. Trabaja con un compañero en lo siguiente.

Secuencia didáctica 29. Tres formas de describir lo mismo

a) ¿A qué distancia se encuentra de su destino cuando lleva un minuto viajando? m 650 m ¿Y cuando lleva 2 minutos de viaje? 1300  b) Al ir aumentando el tiempo de viaje, ¿va aumentando o disminuyendo la distancia que le falta recorrer? Va disminuyendo

P

©

Un repartidor de un servicio de mensajería tiene que entregar un paquete en un lugar que está a 5 kilómetros de la oficina donde él lo recibe. Viaja en motocicleta a velocidad constante y recorre 650 metros en 1 minuto.

c) Completa la tabla. Tiempo (min) Distancia por recorrer (m)

0

1

2

3

4

5

5000 4350 3700 3050 2400 1750 235

d) Representen con t el tiempo que lleva viajando el repartidor y con d la distancia que le falta recorrer. Escriban una expresión algebraica para determinar la distancia que le falta recorrer cuando ha viajado t minutos. D 5 5000 2 650 t e) ¿Qué distancia le falta cuando ha viajado 3.5 minutos? 2 725 m

g) Tracen la gráfica correspondiente. Desplazamiento del repartidor

Distancia (m) 5 000

bu

4 500

ci ón

f) ¿Cuánto tiempo ha viajado cuando se encuentra a 450 metros de su destino? 7 min

4 000

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

3 500 3 000 2 500

2 000

1 500

1 000 500

0

1

2

3

4

5

6

7

8

Tiempo (min)

h) ¿Cuál es el valor de la pendiente de la recta? 2650 i) ¿Cuál es el valor de la ordenada al origen? 5000

Trimestre 3

P

©

•• Comparen sus respuestas con otra pareja de compañeros. Discutan las diferencias que encuentren y lleguen a un acuerdo.

236

Representación tabular, gráfica y algebraica de una variación lineal La variación lineal se puede representar de tres formas.

•• Indicando valores de las variables involucradas en una tabla. •• Mediante una recta en el plano cartesiano •• Usando una expresión algebraica de la forma y 5 mx 1 b.

¿Vamos bien? Haz lo que se solicita. Al terminar, compara con otros compañeros lo que hiciste y corrijan si encuentran algún error. I. Escribe la expresión algebraica que corresponde a los datos de cada tabla. Tabla 2

x

21

0

1

2

x

0

2

4

6

y

3

5

7

9

y

4

2

0

22

  y  2x  4

   

bu

y  2x  5

II. Escribe el número de tabla que corresponde a cada gráfica. y

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

y

ci ón

Tabla 1

7

9

6

8

5

7

4

6

3

5

2

4

1

3

0

21

1

2 3 4 5 6

x

2 1

21

23 22 21

22

Tabla 2

0

1

2

3

x

Tabla 1

5. Lee y resuelve.

P

x

x

y

Secuencia didáctica 29. Tres formas de describir lo mismo

©

Fernando tiene un cordón de 120 centímetros de longitud, y va a formar con él un rectángulo. Las dimensiones del rectángulo pueden variar. Supongamos que x indica la altura y y la base del rectángulo.

x

y

y

a) Linda piensa que la relación entre las magnitudes x y y es y 5 120 2 x. Daniel piensa que esa relación es y 5 60 2 x. ¿Quién crees que tiene razón? Daniel 237

b) Verifica tu respuesta anterior completando las siguientes tablas. Altura x Base y = 120 – x Perímetro

5

10

20

115

110

100

240 240

Altura x Base y = 60 – x Perímetro

240

5

10

20

55

50

40

120

120

120

ci ón

c) Entonces, ¿cuál expresión algebraica indica la relación entre x y y? y 5 60 2 x d) ¿Cuánto mide la base si la altura es 24.5 cm? 35.5 cm e) ¿Cuánto deberá medir la altura para que la base mida 32 cm? 28 cm •• Compara tus respuestas con las de tus compañeros.

bu

¿Qué aprendí?

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

Trabaja los siguientes ejercicios y problemas. Al terminar, revisa tus procedimientos y resultados con tu profesor y corrige si encuentras errores. 1. En muchos países de habla inglesa, la temperatura se mide en grados Fahrenheit (°F) y no en grados Celsius (°C), como lo hacemos nosotros. En la siguiente tabla se dan algunos valores de temperatura en las dos escalas. °C (x)

230

220

210

0

10

20

30

°F (y)

222

24

14

32

50

68

86

a) Elige dos puntos de la tabla anterior y localízalos cuidadosamente en el siguiente plano cartesiano. Traza la recta que los une. Relación de la temperatura en grados Fahrenheit y en grados Celsius Temperatura (ºF) 90 80 70

60 50

©

40

30 20

P

10

230 –20 –10 0 –10

Trimestre 3

–20 –30

238

10 20 30

Temperatura (ºC)

b) Verifica si los demás puntos de la tabla caen en la recta que trazaste. Si no es así, vuelve a localizar los puntos y a trazar la recta. c) Encuentra la expresión algebraica correspondiente. y 5 9x/5 1 32 d) ¿A cuántos grados Fahrenheit corresponden 100 °C? 212 °F e) ¿A cuántos grados Celsius corresponden 0 °F? 217.7 °C

ci ón

2. Una compañía ofrece a un vendedor dos opciones de pago. Una consiste en pagarle mensualmente un salario base de $1 500 más una comisión de 5% del monto de sus ventas. La otra consiste en no pagarle salario base, pero darle 25% del monto de sus ventas mensuales.

Opción 1: y 5 0.05x 1 1500

  Opción 2: y 5 0.25x

bu

a) Para cada opción, escribe una expresión algebraica que indique cómo depende el ingreso del vendedor (y) del monto de las ventas que realice cada mes (x).

b) Completa la tabla para comparar los ingresos posibles en cada opción de pago. 2 000

3 000

4 000

5 000

6 000

7 000

Ingreso opción 1

1600

1650

1700

1750

1800

1850

Ingreso opción 2

500

750

1000

1250

1500

1750

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

Ventas mensuales ($)

c) Traza las dos rectas que corresponden a las opciones de pago. Usa distintos colores para diferenciarlas. Relación de ingresos con la cantidad de ventas

Ingreso ($)

2 500 2 250

Opción 1

1 750

Opción 2

1 500 1 250

1 000 750

Ventas ($)

00 2  0 00 3  00 0 4 0 00 5  00 0 6  00 0 7 0 00 8  00 9  0 00 10 0  0 00

0

1 0

P

250

Contenido Analizo y comparo situaciones de variación lineal a partir de sus representaciones tabular, gráfica y algebraica. Interpreto y resuelvo problemas que se modelan con este tipo de variación.

d) ¿Cuánto deberá vender el empleado para que le convenga más la opción 2? Más de $7 500

Nivel de logro

©

500

Marca con una ✔ la casilla que describe tu desempeño.

A

Requiero ayuda para realizarlo.

B

Lo hago, pero en ocasiones necesito ayuda.

C

Lo hago de manera autónoma.

239

Secuencia didáctica 29. Tres formas de describir lo mismo

2 000

Pendiente y ordenada al origen de una recta

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

bu

ci ón

Abre una hoja de GeoGebra y elige una vista con ejes, cuadrícula y vista algebraica. Si es necesario, usa la herramienta “Desplazar Vista Gráfica” del último icono para mover los ejes de manera que queden más o menos en el centro.

Imagen 1

Analizarás rectas que tienen distintas pendientes y ordenadas al origen utilizando la herramienta “Deslizador”. Para ello sigue estos pasos.

Trimestre 3

P

©

a) Selecciona la herramienta “Deslizador” del penúltimo icono y haz clic en cualquier lugar de la vista gráfica. Se abrirá un cuadro de diálogo como el siguiente:

Imagen 2 240

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

bu

ci ón

b) En la casilla “Nombre”, escribe “m”; en la casilla “Intervalo”, escribe “-9” en “Mín” y “9” en “Máx”; en “Incremento” escribe el número “0.1”. En la pestaña “Deslizador”, asegúrate de que no esté señalada la casilla “Fijación” para que puedas mover el deslizador y colocarlo donde más te guste; en la posición, elige “Horizontal”, y en el ancho escribe “200”. En la pestaña “Animación”, deja la velocidad 1 y asegúrate de que en “Repite” aparezca la palabra “Oscilante”.

Imagen 3

c) Presiona “OK” para que aparezca el deslizador. Con el botón auxiliar, haz clic sobre el deslizador y selecciona “Propiedades”. En la nueva caja de diálogo elige un color rojo. d) Repite los pasos anteriores para crear un deslizador de un número que se llame “b”. En este caso, usaremos un intervalo de -8 a 8 variando con un incremento de 0.25 unidades, en posición horizontal y de una longitud de 200. Elige algún tono de azul. Observa los cambios en la vista algebraica al mover el punto de tus deslizadores.

P

©

e) Usando la flecha del primer icono, coloca los deslizadores en alguna esquina de la vista gráfica y, si quieres, fíjalos en esa posición usando el botón auxiliar y las instrucciones “Propiedades”-“Deslizador”-“Fijación”.

Imagen 4 241

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

bu

ci ón

f) En la parte inferior de la hoja, aparece la Barra de Entrada. Escribe en ella “m x 1 b”. Es muy importante que dejes espacio entre m y x porque eso activa la operación producto. Al presionar Enter, aparecerá la recta. Selecciona la flecha del primer icono (o presiona Esc) para mover los valores de los deslizadores y observa qué pasa con la recta y con la ecuación lineal que aparece en la vista algebraica.

Imagen 5

Trimestre 3

P

©

g) Selecciona “Intersección” en el segundo icono para marcar con un punto el origen del plano cartesiano y con otro punto la intersección de la recta con el eje Y. Traza el segmento que une esos dos puntos y, haciendo clic con el botón auxiliar sobre él, dale el mismo color que al deslizador de b. Luego oculta los puntos extremos de este intervalo haciendo clic sobre la bolita correspondiente en la vista algebraica o dando clic con el botón auxiliar sobre cada uno de ellos para quitar la marca en “Mostrar Objeto”. Observa cómo se modifica este segmento al variar b.

Imagen 6 242

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

bu

ci ón

h) Marca cualquier par de puntos sobre la recta y luego traza la recta que pasa por esos puntos, la cual se superpondrá a la recta que ya tienes. Esto te permitirá usar la herramienta “Pendiente” del octavo icono dando clic sobre la nueva recta. Esta herramienta ayuda a visualizar la relación entre la pendiente y la inclinación de la recta. Coloca el triángulo formado por la distancia entre dos ordenadas y la distancia entre dos abscisas en el lugar que te parezca mejor de la recta, y luego oculta los últimos dos puntos que marcaste. Observa qué pasa con este triángulo al variar m.

Imagen 7

P

©

i) Por último, coloca b en cero y en el deslizador de m selecciona “Animación” haciendo clic con el botón auxiliar. Observa qué pasa. Luego, coloca m en 2 y selecciona “Animación” en el deslizador de b. Observa qué pasa.

Imagen 8 243

Realiza lo que se indica. Con base en tus resultados, y con ayuda de tu profesor, identifica las secuencias correspondientes a los contenidos que debes repasar.

ci ón

1. Calcula la medida del ángulo central de cada sector de la gráfica circular. Gastos mensuales

Alimentación: 144°

Alimentación 40%

30%

Gas y luz

Gas y luz: 36°

Vivienda

Vivienda: 108°

bu

20%

Otros

10%

Otros: 72°

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

2. Para pintar las paredes de una casa, se contrata a un pintor que cobra una cantidad inicial, más cierta cantidad por cada hora de trabajo. La siguiente gráfica muestra la relación entre la cantidad cobrada por el pintor y el tiempo trabajado. Cantidad cobrada en relación al tiempo trabajado Cobro ($) 650 600

a) ¿Cuál es la cantidad inicial que cobra

550

el pintor? 150

500

b) ¿Cuánto cobra por hora? 100

450 400

c) ¿Después de cuántas horas se le

350

deben pagar $450?  3 h

300

d) ¿Cuánto se le debe pagar después de

250

cinco horas de trabajo? 650

200 150

100

50

Trimestre 3

P

©

0

244

1

2 3

Tiempo (h)

4 5 6

3. ¿Cuál de las siguientes tablas presenta una variación lineal? Tabla 1 Tabla 1

Tabla 2

Tabla 3

x

y

x

y

x

y

0

18

0

1

0

0

1

23

1

3

1

1

4

38

2

9

2

4

5

43

3

27

3

9

4. Determina la pendiente de cada recta. y y 3 2

5

24 23 22 21 0 21

1 2

3 4

x

4 3 2

22

1

23

0

1 2 3

4 5

6

7 8 9 10 11 12

m 5 0.25

m 5 21

ci ón

1

x

bu

5. El dueño de una pequeña empresa tiene gastos fijos (renta, luz, mantenimiento, etcétera) por $5 000 mensuales y, además, gasta en materiales y mano de obra $250 por cada 10 productos que se fabrican en su empresa. Representa con x el número de artículos producidos y con g el gasto total del dueño.

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

a) Completa la tabla.

Cantidad de artículos (x) Gasto total (g)

0 5 000

10 5 250

20 5 500

50 6 250

100 7 500

b) Escribe la expresión algebraica de la función lineal que corresponde. g 5 5000 1 25x

c) Traza la gráfica. Indica el título y el nombre de las variables representadas en cada uno de los ejes, así como sus unidades. Gasto total ($) Gasto total en relación al número de artículos 8 000 7 500 7 000 6 500

P

©

6 000 5 500 5 000 4 500 4 000 3 500 3 000 2 500 2 000 1 500 1 000 500

0

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Cantidad de artículos

•• Reflexiona sobre tus resultados y, con tu profesor, busca estrategias para fortalecer tus áreas de oportunidad.

En la columna “Nota”, marca una ✔ en los reactivos que resolviste correctamente. Reactivo Nota Secuencia Páginas 1

26

208-213

2

27

216-223

3

27

216-223

4

28

224-231

5

27, 28 y 29

216-239

245

30

Eje: Forma, espacio y medida Tema: Magnitudes y medidas Contenido: Calculas el volumen de prismas rectos cuya base sea un triángulo o un cuadrilátero desarrollando y aplicando fórmulas.

¿Cuánto espacio ocupa? 1. Reúnete con un compañero y respondan.

ci ón

Los trabajadores de la bodega Todo Cabe quieren almacenar 100 contenedores de las siguientes dimensiones: 2 m de ancho, 2 m de altura y 6 m de largo. El almacén mide 20 m de ancho, 40 m de largo y 4 m de altura.

6m

bu

2m

2m

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

a) ¿Caben todos los contenedores en el almacén? Sí

b) Escriban el procedimiento que siguieron para responder. R.  M. Primero calculamos el volumen de la bodega, el cual tiene 3 200 m2, después establecimos el volumen total de las 100 cajas, el cual es de 2 400 m2.

•• Discutan con el resto del grupo su respuesta y el procedimiento que siguieron. 2. Reúnete con un compañero y respondan.

El cubo rojo de la ilustración representa una unidad de volumen.

Glosario

cubo. Cuerpo geométrico cuyas seis caras son cuadrados.

P

©

arista. Segmento de recta que limita las caras de un cuerpo geométrico.

a) ¿Cuántos de estos cubos caben en el cubo azul? 27 3 b) ¿Cuál es el volumen del cubo azul? 27 u

c) ¿Cuántas unidades lineales mide cada arista del cubo azul? 3 u

Trimestre 3

d) ¿Observan alguna relación entre la longitud de la arista del cubo azul y su volumen? Sí Si es así, escriban esta relación. El  volumen es el resultado de elevar al cubo la longitud lineal de una cara del cubo. 246

e) ¿Cómo obtendrían el volumen de un cubo con 5 unidades de arista? 5  3 5 3 5 5 125 u3 f) ¿Y el de un cubo con aristas de 2.5 unidades? 2.5 3 2.5 3 2.5 3 15.625u3  g) Escriban los datos que faltan en la siguiente tabla: Volumen del cubo (u3)

2

8

4

64

3.3

103.823

4.7

35.937

10.6

1191.016

bu

ci ón

Longitud de la arista del cubo (u)

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

h) ¿Cómo obtendrían el volumen de un cubo cuya arista mide x unidades?  3 Elevando x al cubo (x )

i) Escriban una expresión algebraica que represente el volumen de un cubo con arista de x unidades. x3

•• Discutan sus respuestas con el resto del grupo.

3. Analiza las figuras y responde. El cubo rojo representa una unidad de volumen.

Arista C

Arista B

b) ¿Cuál es el volumen del prisma? 30  u3 c) ¿Cuáles son sus dimensiones? Lado A5 5 u, lado B 5 3 u y lado C 5 2 u

d) ¿Observas alguna relación entre las dimensiones del prisma y su volumen? Sí Si es así, escribe en qué consiste esta relación. El volumen es igual al número de cubos de una unidad que caben en el prisma original.

Glosario prisma rectangular. Cuerpo geométrico limitado por dos rectángulos paralelos e iguales (llamados bases) y por cuatro caras rectangulares.

247

Secuencia didáctica 30. ¿Cuánto espacio ocupa?

a) ¿Cuántos cubos de una unidad de volumen caben en este prisma rectangular? 30 cubos

P

©

Arista A

Lado A (u)

Lado B (u)

Lado C (u)

Volumen (u3)

5

3

1

4

2

2

15 16

3.6

5.8

4

82.52

1.5

3

3.9

17.55

ci ón

Respeta las ideas y argumentos de tus compañeros. Si consideras que no están en lo correcto, busca la manera más adecuada de hacérselos saber, sin faltarles al respeto. Las discusiones deben ser constructivas y sustentarse en lo que han aprendido.

e) Escribe los datos faltantes en la siguiente tabla:

f) ¿Cómo obtendrías el volumen de un prisma rectangular con aristas de longitudes a, b y c unidades? Multiplicando a 3 b 3 c

•• Discute tu propuesta con el resto del grupo y luego compárala con el siguiente texto.

bu

Convivo en armonía

Volumen de prismas rectangulares

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

El volumen de un prisma rectangular se obtiene multiplicando las longitudes de sus aristas. Si las aristas miden a, b y c unidades respectivamente, entonces el volumen del prisma está dado por la fórmula: V 5 a 3 b 3 c 5 abc

El cubo es un caso particular de prisma rectangular en el que todos los lados miden lo mismo. Por tanto, el volumen de un cubo con lados de longitud l unidades es: V 5 l 3 l 3 l 5 l3

Si las longitudes de las aristas están dadas en centímetros, el volumen se expresará en centímetros cúbicos (cm3); si están dadas en metros, el volumen estará en metros cúbicos (m3), etcétera.

4. Reúnete con dos compañeros, analicen la figura y respondan.

Glosario

Trimestre 3

P

©

prisma triangular. Cuerpo geométrico limitado por dos triángulos paralelos e iguales (llamados bases) y por tres caras rectangulares.

Si el prisma rectangular de volumen abc se corta verticalmente por una de las diagonales de la base, como en la imagen, se obtienen dos prismas triangulares. b

a

c

abc

a) ¿Cuál es el volumen de cada uno de los prismas triangulares?  2

b) ¿Qué relación existe entre el área de la base del prisma rectangular y el área de la base del prisma triangular? El  área de la base triangular es la mitad del área de la base rectangular. 248

c) ¿Qué tipo de triángulo se obtiene al cortar un rectángulo por una de sus diagonales? Un triángulo rectángulo d) ¿Cómo se calcula el área de un triángulo rectángulo? Ver solucionario e) Escriban los datos faltantes en la tabla. Volumen del prisma triangular

3

7

3

21

1.7

5.6

10

4.76

47.6

4 5

1 2

3

1 4

bu

2

ci ón

Longitud Longitud Longitud Área de la base del de la arista de la arista de la arista prisma triangular a b c

4 5

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

•• Comparen sus respuestas y procedimientos con el resto del grupo y, si encuentran errores, corríjanlos. 5. Reúnete con un compañero, analicen la figura y hagan lo que se pide.

c

d

a) Si se conoce el volumen del prisma triangular y se pega una copia de él por la

cara de aristas c y d, ¿qué relación habrá entre el volumen del prisma triangular y

Secuencia didáctica 30. ¿Cuánto espacio ocupa?

©

el del nuevo cuerpo geométrico que se forma? El volumen del nuevo cuerpo será el doble del volumen del prisma triangular.

P

c

d

b) ¿Qué relación hay entre el área de la base del prisma triangular y el área de la base del nuevo cuerpo geométrico? El  área de la base del nuevo cuerpo es el doble del área de la base del prisma triangular. 249

c) ¿Hay alguna diferencia entre la altura del prisma triangular y la del nuevo cuerpo geométrico? No,  ambos cuerpos geométricos tienen la misma altura.

ci ón

d) ¿Cómo calcularían el volumen de los dos cuerpos geométricos? Primero debemos calcular el volumen del prisma triangular y después multiplicar ese  dato por 2 para obtener el volumen de la nueva figura. •• Discutan sus respuestas con el resto del grupo y lleguen a un acuerdo. Comparen su acuerdo con la siguiente información.

Volumen de prismas triangulares y cuadrangulares

bu

Un prisma cuadrangular es un cuerpo geométrico limitado por dos cuadriláteros paralelos, llamados bases, y por cuatro caras laterales rectangulares. El volumen de los prismas triangulares, así como el de los cuadrangulares, se obtiene multiplicando el área de su base por la altura. V 5 Área de la base 3 altura

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

Los prismas rectangulares son casos particulares de un prisma cuadrangular.

¿Vamos bien?

Resuelve lo siguiente con base en lo que has aprendido. Al terminar, compara tus procedimientos y tus resultados con los de tus compañeros. Escribe los datos faltantes en la tabla. Prisma

Área de la base (u2)

Altura (u)

Volumen (u3)

Cubo

16

4

64

Prisma rectangular

12

6

72

Prisma triangular

9

5.4

48.6

Prisma cuadrangular

16.8

2.4

40.32

P

©

6. Lee el texto y responde.

En una bodega de 10 m de largo, 4 m de ancho y 2.70 m de altura se van a almacenar cajas de cartón de 60 cm de largo por 35 cm de ancho y 30 cm de altura. a) ¿Cuál es el máximo número de cajas que se pueden almacenar si, además, se quiere que en el centro quede un espacio vacío de 1.5 m de ancho? 1 714 cajas

Trimestre 3

b) Escribe en tu cuaderno el procedimiento que seguiste para encontrar la respuesta. Ver solucionario •• Discute con el resto del grupo tu respuesta y tu procedimiento y, si detectas errores, corrígelos. 250

¿Qué aprendí? Trabaja los siguientes ejercicios y problemas. Al terminar, revisa tus procedimientos y resultados con ayuda de tus compañeros y tu profesor.

ci ón

1. Los dos prismas de la ilustración tienen el mismo volumen.

4 cm

2 cm 2 cm

4 cm

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

a) ¿Cuánto mide la altura del prisma verde? 2 cm

bu

8 cm

b) Escribe las dimensiones de otro prisma que tenga el mismo volumen, pero que sea diferente de los dos prismas anteriores. Altura del prisma: 4 cm. Área de la base: base 5 4 cm, altura 5 2 cm

2. El volumen de un prisma rectangular es de 125 cm3 y su base es un rectángulo con

Glosario

un lado de 3 cm y el otro de 4 cm. ¿Cuánto mide la altura del prisma? 10.416 cm

2

pilar. Columna de soporte o de ornato con base con base poligonal o circular.

Marca con una ✔ la casilla que describe tu desempeño.

5. Don Anselmo tiene que construir un pilar de granito. La base del pilar es un cuadrado de

©

30 cm de lado y la altura es de 2.40 m. Si un metro cúbico de granito tiene una masa de 62.5 kg, ¿cuál es la masa del pilar?  El volumen del pilar es de 0.216 m3, por lo que su peso es de 13.5 kg. 6. ¿Cuál debe ser la altura del prisma triangular para que tenga el mismo volumen que

Contenido Calculo el volumen de prismas rectos cuya base sea un triángulo o un cuadrilátero desarrollando y aplicando fórmulas.

Nivel de logro

P

el prisma rectangular? 

x

5 cm 4 cm

3 cm

2 cm 4 cm

A

Requiero ayuda para realizarlo.

B

Lo hago, pero en ocasiones necesito ayuda.

C

Lo hago de manera autónoma.

251

Secuencia didáctica 30. ¿Cuánto espacio ocupa?

3. La altura de un prisma rectangular es de a unidades y su volumen mide 2b unidades cúbicas. ¿Cuáles son las dimensiones de los lados del prisma? La  altura del prisma es de a, por lo que el área de la base es 2b/a u2, luego los lados pueden medir b y 2/a respectivamente, o bien, √(2b/a). 4. ¿Cuánto mide el área de la base de un prisma triangular con una altura de h unidades 1 2 h y volumen igual a unidades cúbicas?  2 u

31

Eje: Forma, espacio y medida Tema: Magnitudes y medidas Contenido: Exploras la relación entre el decímetro cúbico y el litro y relacionas capacidad y volumen para resolver problemas que implican esta relación.

¿Cuánto le cabe?

1. Analiza la información con un compañero y respondan.

EL MEJOR

23 cm

Jugo de piña Jugo de naranja

19.5 cm

1 Litro

1 Litro

6 cm

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

En las discusiones grupales, escucha a tus compañeros y espera tu turno. Puedes tomar nota de tus comentarios o dudas para que los tengas a la mano cuando participes. De esta manera fomentas el respeto y el orden en tu salón de clases.

NATURAL

bu

Convivo en armonía

ci ón

Mariluz compró dos jugos de 1 litro: uno de naranja y el otro de piña. Cuando llegó a su casa, su abuelita revisó los envases y le dijo que uno de los dos no contenía 1 litro, que la habían engañado.

7 cm

6 cm

9 cm

a) ¿En qué creen que se haya basado la abuelita de Mariluz para decir eso? En el de los empaques, el de naranja tiene menos de 1 000 cm3.

b) ¿Piensan que tiene razón la abuelita de Mariluz? Sí

c) ¿Por qué? Un litro equivale a 1 000 cm3 y el volumen del empaque naranja es 966 cm3. 

•• Discutan sus argumentos con el resto del grupo. 2. Reúnete con un compañero y respondan.

Trimestre 3

P

©

a) Laura llenó su pecera hasta la mitad.

40 cm

20 cm

60 cm Pecera de Laura ¿Cuánto espacio ocupa el agua de la pecera? El volumen total es de

252

48 000 cm3, por lo que, al llenar la pecera a la mitad, se ocuparon 24 000 cm3 o equivalentemente 24 litros de núcleo.

b) ¿Pueden saber cuántos litros de agua hay en la pecera? Sí hay que c) ¿Qué datos necesitan conocer para determinar cuántos litros hay? Solo  saber la equivalencia entre litros y centímetros cúbicos. 

Volumen y capacidad El volumen de un cuerpo expresa la cantidad de espacio que dicho cuerpo ocupa, mientras que la capacidad mide la cantidad máxima de líquido, sólido o gas que puede contener un recipiente.

bu

Todos los objetos tienen volumen, pues todos ocupan un lugar en el espacio, pero no todos los objetos son recipientes.

ci ón

•• Discutan sus respuestas con el resto del grupo y lleguen a un acuerdo. Después comparen su acuerdo con la siguiente información.

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

Por ejemplo, un cubo sólido no es un recipiente, mientras que una caja cúbica hueca sí lo es. Los recipientes pueden contener líquidos, sólidos o gases: agua, semillas, madera, plomo, etcétera. Los siguientes son ejemplos de recipientes:

Los siguientes objetos no son recipientes:

P

©

Un litro es la cantidad de agua que contiene un recipiente cúbico con arista de 1 decímetro (dm), es decir, 1 litro es equivalente a 1 dm3 o a 1 000 cm3.

1 dm  10 cm 1 dm  10 cm

1 dm  10 cm

Glosario decímetro. Es la décima parte de un metro.

253

Secuencia didáctica 31. ¿Cuánto le cabe?

Por lo regular el volumen se mide en metros cúbicos (m3), mientras que la capacidad generalmente se mide en litros (L).

¿Vamos bien? Resuelve lo siguiente con base en lo que has aprendido. Al terminar, compara tus procedimientos y tus resultados con los de tus compañeros. 24 litros ¿Cuántos litros de agua tiene la pecera de Laura (actividad 2)?  Sabiendo que la pecera contenía 24 000 cm3 ¿Cómo obtuviste la respuesta?  de agua.

ci ón

  

bu



3. Vuelve a leer el enunciado de la primera actividad y responde.

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

a) ¿Cuál es el volumen del envase de jugo de naranja que compró Mariluz?  966 cm3 

b) ¿Cuál es el volumen del envase de jugo de piña? 1 053 cm3 c) ¿Cuál de los envases no puede contener un litro de jugo? El de naranja

•• Compara tus respuestas con las del resto del grupo y, si detectas errores, corrígelos. 4. Reúnete con un compañero y respondan.

Fernando tiene 12 peces, pero su pecera se rompió. En el acuario le dijeron que la mínima cantidad de agua que requiere cada pez es de 4 litros. a) ¿Le sirve una pecera de estas dimensiones para los 12 peces? No 

P

©

30 cm

20 cm

50 cm

b) Si el nivel de agua debe quedar a tres cuartas partes de la altura de la pecera, ¿qué capacidad debe tener? 64 litros

Trimestre 3

c) ¿Cuál debe ser el volumen de la pecera? 64 000 cm3 •• Discutan sus respuestas con el resto del grupo y, si detectan errores, corríjanlos. 254

5. Reúnete con un compañero y respondan.

bu

ci ón

Una alberca con forma de prisma rectangular contiene 78 000 litros de agua, pero el nivel del agua está 20 cm por debajo de la altura de la alberca.

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

a) Si se sabe que la base de la alberca mide 60 m2, ¿cuál es la profundidad del agua? 1.3 m b) ¿Cuál es el volumen de la alberca? 90 m

3

•• Comparen sus respuestas y procedimientos con los de sus demás compañeros y, si detectan errores, corríjanlos. 6. Analiza las figuras y responde.

3m

1m

2m

3m

Secuencia didáctica 31. ¿Cuánto le cabe?

a) ¿Cuál es el volumen de los contenedores de la imagen?  El del amarillo es 3 3.  de 3 m y el del morado es de 6 m b) Expresa ese volumen en decímetros cúbicos (dm3).  El del amarillo es 3 3  de 3000 dm y el del morado es de 6000 dm .

P

©

1m

1m

c) ¿Cuántos litros caben en un cubo con arista de 1 m?  1000 litros d) ¿En cuál de los contenedores cabe más agua? En el morado cabe más agua.

•• Compara tus respuestas con las del resto del grupo y, si detectas errores, corrígelos. 255

¿Qué aprendí? Trabaja los siguientes ejercicios y problemas. Al terminar, revisa tus procedimientos y resultados con ayuda de tus compañeros y tu profesor.

Prisma rectangular: 0.002 m3

1.5 litros

   

ci ón

2 litros

Prisma triangular: 0.0015 m3

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

Consulta los textos 83 y 84 de la sección 9, “La geometría de la lluvia y la nieve”, del libro Matemáticas recreativas, de Yakob Perelman, de la serie Espejo de Ucrania de la colección Libros del Rincón y construye tu propio pluviómetro.

1. ¿Cuál es el volumen de los recipientes si su capacidad en litros es la señalada en la figura?

bu

Para saber más

Escribe el procedimiento que seguiste para obtener las respuestas. Mediante la equivalencia de litros a metros cúbicos se calcula la unidad de volumen con la unidad de capacidad dada.

2. Resuelve.

a) El área de la base de un prisma triangular es de 3 decímetros cuadrados. Si el prisma tiene una capacidad de 48 litros, ¿cuál es su altura? 1.6  m la Escribe el procedimiento que seguiste para obtener la respuesta. Convierto  unidad de capacidad a unidad de volumen, y los decímetros cuadrados del area  a metros cuadrados, por último, divido el volumen del prisma entre su área. b) La altura de un prisma rectangular es de 5 cm. Si la capacidad del prisma es de 2 20 litros, ¿cuál es el área de la base del prisma? 0.4 m

P

©

la Escribe el procedimiento que seguiste para obtener la respuesta. Convierto  unidad de capacidad a unidad de volumen, y los centímetros de la altura del  prisma a metros finalmente, divido en volumen entre la altura.

3. Una empresa está diseñando empaques para jugo con capacidad de 1 litro y con forma de prisma rectangular. m3 a) ¿Cuál debe ser el volumen del envase? 0.001  b) Traza en tu cuaderno el diseño de un posible envase, especificando sus dimensiones. Ver solucionario c) ¿Hay más de uno de estos envases? Sí

pueden ¿Por qué? Porque 

Trimestre 3

crearse prismas rectangulares de diferentes áreas y alturas, pero con el mismo  volumen. En caso afirmativo, especifica las dimensiones de otro envase. Un envase con área 0.05 m y altura de 0.02 m2. 256

Lado 1 de la base

Lado 2 de la base

0.1 m

0.2 m

0.05 m

0.1 m

0.25 m 0.04 m 0.025 m

0.02 m

0.5 m

0.1m

0.02 m

0.125 m

0.1 m

0.08 m 0.0125 m

0.05 m

Altura

Área de la base

0.02 m

0.05 m

0.025 m

0.04 m

0.05 m

0.02 m

0.0125 m

0.08 m

e) Analiza los datos de la tabla y escribe tus observaciones. Si  se conocen el área de su base o su altura respectivamente.

bu

volumen de un prisma y su altura o el área de su base se puede determinar el

ci ón

d) Escribe en la tabla los datos de los empaques que diseñaste y agrega todos los que se te ocurran. Completa los datos que faltan.

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

4. Las bases de los dos prismas triangulares de la siguiente ilustración tienen la misma

área. ¿Cuánto debe medir la altura del segundo prisma para que la capacidad del segundo sea el doble que la del primero? 2 h

h

2.5 m

3m

La cisterna está llena de agua hasta el tope. ¿Cuántos litros de agua deben sacarse para que el nivel de agua descienda 1 m? 7 500 litros

Contenido Exploro la relación entre el decímetro cúbico y el litro y relaciono capacidad y volumen para resolver problemas que implican esta relación. A

Requiero ayuda para realizarlo.

B

Lo hago, pero en ocasiones necesito ayuda.

C

Lo hago de manera autónoma.

257

Secuencia didáctica 31. ¿Cuánto le cabe?

P

4.5 m

Marca con una ✔ la casilla que describe tu desempeño.

Nivel de logro

©

las áreas de las bases de ambos prismas son iguales, Justifica tu respuesta. Como  las diferencias en sus volúmenes dependen de la altura de dichos prismas. Por lo tanto, si se quiere que un volumen sea el doble que el otro las alturas tendrán el mismo comportamiento 5. Una cisterna con forma de prisma rectangular tiene las siguientes dimensiones:

32

Eje: Análisis de datos Tema: Estadística Contenido: Usas e interpretas las medidas de tendencia central y el rango en un conjunto de datos, y decides cuál de ellas conviene más.

Entre medias, modas y medianas 1. Lee y resuelve con un compañero.

a) Seis alumnos usaron la misma báscula digital para determinar la masa de la tapa de plástico de una botella de agua. Las masas que obtuvieron fueron 1.93 g, 1.95

ci ón

g, 1.89 g, 1.96 g, 1.97 g y 1.90 g. Como no todas las mediciones pueden ser correctas, será necesario hacer una estimación. ¿Cuál les parece la mejor estimación de la masa real de la tapa? El promedio de los pesos que sería 1.95 g.

b) El día de la amistad, varios amigos decidieron regalarse chocolates de un tipo que

bu

a todos ellos les gusta. Gonzalo llevó cinco chocolates, Carmen llevó tres, Pati lle-

vó cuatro y Gerardo llevó seis. Si deciden repartirlos de forma equitativa, ¿cuántos

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

chocolates le tocarán a cada uno? Cuatro chocolates y medio

Glosario

promedio o media aritmética. Es el resultado de sumar los datos de una colección y dividir el resultado entre la cantidad de datos.

c) La altura promedio de las niñas de una secundaria es de 163 cm. Se elige al azar a seis alumnas de esa escuela y se les mide. Las cinco primeras midieron 161 cm, 162 cm, 166 cm, 164 cm y 163 cm. Si tuvieran que decir cuánto medirá la sexta alumna, ¿qué número elegirían? 163 cm

•• Comparen sus respuestas y comenten sus procedimientos con sus compañeros. Lleguen a un acuerdo en el grupo sobre los resultados correctos. 2. Resuelve lo siguiente con un compañero.

Una entrenadora aplicó una nueva técnica de entrenamiento entre las alumnas que practican el salto de altura. Midió la altura en centímetros de los saltos de 10 alumnas antes y después del entrenamiento. Obtuvo la siguiente información:

P

©

Alumna

Laura Berta Ana Alma Gilda Inés Ema Karla Diana Beti

Altura del salto antes del 107 entrenamiento (cm)

112

115

119

115

138 126 105

104

115

Altura del salto después del 106 entrenamiento (cm)

115

125

126

115

141 130 109

102

115

Trimestre 3

a) ¿En cuántos casos aumentó la altura del salto tras el entrenamiento? 6 ¿En cuántos se mantuvo igual? 2 258

¿En cuántos disminuyó? 2

b) Elijan un valor que represente la altura de los saltos antes del entrenamiento y otro que represente las alturas después del entrenamiento. 115 y 118 respectivamente c) ¿Creen que el entrenamiento fue efectivo? Sí •• Discutan en el grupo cómo eligieron el valor que representa las alturas y el criterio para decidir si el entrenamiento fue efectivo o no. ¿Todos usaron el mismo criterio?

ci ón

3. Hagan lo siguiente en equipos de dos o tres compañeros. a) Si en una colección de 10 datos todos son iguales a 15, ¿cuál es el promedio de los datos? 15 





bu

b) En una colección de datos diferentes entre sí, ¿es posible que el promedio sea igual al menor de los datos? No Si su respuesta es sí, escriban una colección de 10 datos diferentes que tenga esa característica. No hay

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

c) ¿Es posible que el promedio sea igual al mayor de los datos de una colección?  No d) Calculen la media aritmética de 16.2, 15.5, 15, 15.9, 14.8 y 16.5. 15.65

¿El resultado que obtuvieron es un número cercano a los datos?  R. M. Sí, está entre algunos datos.

e) En la colección anterior, sustituyan el número 16.5 por 50 y calculen nuevamente la media aritmética.  21.23



¿El resultado que obtuvieron es un número cercano a los datos?  No

•• Comparen sus respuestas con las de sus compañeros. Platiquen la estrategia que cada equipo usó para construir la colección de datos diferentes.

Interpretaciones del promedio o media aritmética

Secuencia didáctica 32. Entre medias, modas y medianas

El promedio o media aritmética tiene varias interpretaciones posibles de acuerdo con el contexto en que se use.

©

•• En repartos equitativos, cuando se desea distribuir en partes iguales la suma de las cantidades que indican los datos.

•• Para estimar un valor, cuando los datos son números obtenidos en diversas mediciones de ese valor.

P

•• Como valor representativo, ya que cuando no hay algún dato que tenga un valor extremo, es decir, muy diferente a los demás datos, el promedio es más o menos cercano a todos los datos. •• Medida de tendencia central, ya que cuando es un valor representativo, se localiza cerca de la mitad de los datos después de que estos han sido ordenados.

259

4. Resuelve lo siguiente con un compañero. a) Ordenen los siguientes datos de menor a mayor.

10

17

19

ci ón

b) Determinen la mediana de los datos anteriores. 13.5 La siguiente información se obtuvo en la página del Instituto Nacional de Estadística y Geografía (Inegi), de acuerdo con el censo de 2010. Edad mediana de mujeres (años) Nacional

26

Chiapas

22

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

mediana de una colección de datos. Dato que queda en el centro cuando estos se escriben en forma ordenada. Si no hay un valor central porque la cantidad de datos es par, la mediana se obtiene promediando los dos datos centrales.

17

bu

Glosario

12

17, 12, 13, 19, 10, 17, 12, 15, 14, 13 12 13 13 14 15

Ciudad de México

32

c) Con base en la tabla anterior, completen los siguientes enunciados. •• La mitad de las mujeres del país tiene una edad que va de 0 a 26 años y la otra mitad tiene una edad mayor o igual a 26

años.

•• La mitad de las mujeres que viven en Chiapas tiene 22

años o menos. •• La mitad de las mujeres que viven en la Ciudad de México tiene 32 años o más.

•• Comparen sus respuestas con sus compañeros.

5. Forma un equipo con otros dos compañeros y trabajen en lo siguiente. a) Construyan una colección de 10 datos diferentes entre sí cuya mediana sea 15. 3,  6, 9, 12, 14, 16, 18, 21, 24 y 27

Trimestre 3

P

©

b) ¿Cuánto vale el menor de los números de su colección de datos? 3 ¿Y el mayor? 27 c) Eliminen el mayor de sus datos y sustitúyanlo por el número 247. ¿Cambia el valor de la mediana? No

La mediana no Expliquen por qué. 

depende de los valores extremos, depende del valor o valores centrales. 

•• Comparen sus respuestas con las de sus compañeros. Platiquen la estrategia que cada equipo usó para construir la colección de datos diferentes. 260

6. Responde y sigue las instrucciones.

Glosario

a) ¿Cuál es la moda de los siguientes datos? 1.5

moda de una colección de datos. Es el valor que más se repite, es decir, el dato más frecuente de la colección.

1.5, 2.1, 2.3, 1.9, 1.5, 1.8, 2.0, 1.5, 2.3, 1.9 b) En los siguientes datos, ¿cuántas modas hay? 3 ¿Cuáles son? 235, 239 y 245

ci ón

245, 239, 235, 220, 242, 235, 228, 245, 237, 239 c) Explica por qué la siguiente colección de datos no tiene moda. 31, 33, 37, 32, 30, 38, 40, 42, 35, 39

bu

No hay ningún valor que se repita. •• Compara tus respuestas con tus compañeros.

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

¿Vamos bien?

Resuelve lo siguiente con base en lo que has aprendido. Al terminar, compara con otros compañeros lo que hiciste y corrijan si encuentran algún error. Se le preguntó a un grupo de 11 personas su edad en años cumplidos. Los datos son 25, 19, 22, 18, 22, 24, 30, 18, 25, 33 y 18. a) Calcula la media aritmética de las edades. 23.09 b) Calcula la edad mediana. 22

c) Determina la moda de las edades. 18

7. Haz lo que se indica.

•• Colección 1: 71.5, 68.9, 76.6, 69.4, 73.9, 56.5, 72.8, 58.3



©

Rango: 20.1

•• Colección 2: 12, 18, 11, 10, 22, 26, 31, 15, 9   Rango: 22

P

•• Colección 3: 225, 220, 221, 224, 220, 223, 221, 226, 222, 223  Rango: 6

Glosario rango de una colección de datos. Es la diferencia del máximo menos el mínimo de los datos.

b) ¿En cuál de ellas los datos están más concentrados? Colección 3 c) ¿En qué colección los datos están más dispersos? Colección 2 •• Compara tus respuestas con tus compañeros. 261

Secuencia didáctica 32. Entre medias, modas y medianas

a) Calcula el rango de las siguientes colecciones de datos.

Interpretación del rango Cuando el rango de una colección es pequeño significa que los datos están cerca unos de otros y se dice que la colección está concentrada. Cuando el rango es grande, significa que el dato menor está muy alejado del dato mayor y se dice que la colección está dispersa.

ci ón

8. Trabaja con un compañero en lo que sigue.

a) Calculen el promedio y la mediana de los siguientes datos: 11, 8, 15, 12, 7 y 13. Promedio: 11

  Mediana: 11.5

bu

b) ¿Creen que el promedio es un buen representante de los datos? No ¿Y la mediana es buen representante? No

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

c) Ahora calculen el promedio y la mediana de estos datos en los que se modificó solamente el último valor de los datos anteriores: 11, 8, 15, 12, 7 y 150. Promedio: 33.83

  Mediana: 11.5

d) ¿El nuevo promedio obtenido se parece a los cinco datos más chicos? No ¿Se parece al dato más grande? Tampoco

e) ¿Cuál de las medidas les parece mejor representante de la segunda colección de datos: el promedio o la mediana? Mediana

f) Calculen el promedio y la moda de los siguientes datos: 7, 10, 10, 10, 11 y 30. Promedio: 13

  Moda: 10

g) ¿Cuál de las medidas les parece mejor representante de la mayoría de los datos de esta colección: el promedio o la moda? Moda

•• Discutan sus respuestas con el resto del grupo y lleguen a un acuerdo. Comparen su acuerdo con la siguiente información.

P

©

Comparación de medidas de tendencia central

La media aritmética o promedio, la mediana y la moda son medidas de tendencia central que se pueden calcular en cualquier colección de datos numéricos. La mediana es un valor que siempre está en el centro, es decir, la mitad de los datos numéricos son menores o iguales que la mediana y la otra mitad son mayores o iguales. Cuando un dato o unos pocos datos se alejan mucho del valor de los demás, el promedio se altera y la mediana es más representativa de los datos.

Trimestre 3

Cuando un valor se repite muchas veces en los datos, entonces la moda suele ser más representativa de la colección.

262

9. Lee y responde. En una báscula de la escuela, seis alumnos pesaron el mismo objeto y obtuvieron las siguientes medidas en gramos: 14.9, 15.1, 15.2, 14.7, 7.8 y 14.9. ¿Todos los pesos obtenidos son parecidos? Si

Entonces, ¿cuál de

las tres medidas de tendencia central usarías para obtener una estimación del peso real del objeto? Moda o mediana. Explica por qué. Ambas valen lo mismo

ci ón

y son mejor estimación que el promedio. •• Compara tus respuestas con las de tus compañeros.

bu

¿Qué aprendí?

Trabaja lo siguiente. Al terminar, revisa tus procedimientos y tus resultados con tu profesor. Corrige si encuentras errores.

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

1. En un elevador hay cuatro mujeres y seis hombres. El peso medio de las mujeres es de 60 kg y el de los hombres es de 80 kg. a) ¿El peso promedio de las 10 personas puede ser menor que 60 kg? No 

¿Por qué? Porque 60 kg representa un valor extremo y el promedio es un valor central. b) ¿El peso promedio de las 10 personas puede ser mayor que 80 kg? No ¿Por qué? Porque 60 kg representa un valor extremo y el promedio es un valor central. kg ¿Y el de los seis hombres? c) ¿Cuánto suma el peso de las cuatro mujeres? 240  480 kg

Entonces, ¿cuánto suma el peso de las 10 personas? 720 kg

d) ¿Cuál es el peso promedio de todas las personas que están en el elevador? 72  kg

Para saber más Entra al sitio www.esant.mx/ essema1-021. En la sección “Gráficas edades”, busca “Gráfica de edades 2”. Encuentra una altura de las barras para la que la media, la mediana y la moda sean iguales.

2. En cada uno de los siguientes enunciados hay un error. Encuéntralo.

veces cayó en 5 y dos veces en 6. El promedio de los números obtenidos es: 10 2141212 5 51 10 10

Error: Se deben promediar los números obtenidos en lugar del número de repeticiones de cada dato. c) En mi grupo hay dos alumnos que tienen 11 años, 20 alumnos que tienen 12 años y tres que tienen 13 años. La moda de las edades es 20. Error: La moda debe ser uno de los datos que forman la colección estudiada,

Contenido Uso e interpreto las medidas de tendencia central y el rango en un conjunto de datos, y decido cuál de ellas conviene más. A

Requiero ayuda para realizarlo.

B

Lo hago, pero en ocasiones necesito ayuda.

C

Lo hago de manera autónoma.

mas no el número de veces que se repite. 263

Secuencia didáctica 32. Entre medias, modas y medianas

b) Lancé 10 veces un dado; dos veces cayó en 1, cuatro veces cayó en 3, dos

P

©

Error: Hay que ordenar los datos de menor a mayor, entonces la mediana es 541

Nivel de logro

a) La mediana de la colección 541, 562, 530, 554, 500 es 530, por ser el valor del centro.

Marca con una ✔ la casilla que describe tu desempeño.

Elige la opción correcta. Con base en tus resultados, identifica los contenidos que necesitas repasar para mejorar tu desempeño. 1. ¿Cuál procedimiento es correcto para obtener la solución de la ecuación 4x − 16 = 2x + 6? C) 4x 2 2x 2 16 5 6

2x 2 16 5 6

2x 2 16 5 6

2x 2 16 5 6 2

2x 5 6 1 16



ci ón

A) 4x 2 2x 2 16 5 6

x 2 16 5 6

2x 5 6 1 16 2

x 5 6 1 16

x 5 6 1 16

B) 4x 2 2x 2 16 5 6

D) 4x 2 2x 2 16 5 6 2x 2 16 5 6

2x 2 16 5 6 2

2x 5 16 1 6

bu

2x 2 16 5 6 x 2 8 5 6

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

2x 5 22

2x 22 5 2 2

x 5 6 + 8

2. ¿Cuál ecuación representa el enunciado: Arturo le dijo a Julio: “Dispongo del doble de dinero que tú, y si te doy $5.00, los dos tendremos la misma cantidad”? A) x 2 5 5 2x 2 5

C) 2x 1 5 5 x 2 5

B) 2x 2 5 5 x 1 5

D) 2x 1 5 5 x 1 5

3. Una escuela secundaria está cerca de tres colonias: A, B y C. La siguiente gráfica representa el porcentaje de alumnos que viven en cada colonia. Porcentaje de estudiantes de cada colonia

©

C

A 40%

P

B 35%

¿Cuánto mide el ángulo central que corresponde a la colonia C? A) 90° 264

B) 25°

C) 126°

D) 144°

3

4. ¿Cuál de las siguientes tablas corresponde a esta gráfica? y 8 7 6

3 2 1 1

2 3

4 5

6

7 8

x

2 0

3 3

x 0 3 4 x B) D)  y 2 3 6 y

0 2

3 3

6 4 6 4

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

x 2 3 4 x A) C)  y 0 3 6 y

bu

0

ci ón

5 4

5. ¿Cuál expresión algebraica corresponde a los datos de la tabla?

A) y 5

x

0

y

3 2

1

2

3

2

5 2

3

3 1 1 3 1 1 3 3 x 1 B) y 5 x 1 C) y 5 x 1 D) y5 x1 2 2 2 2 2 2 2 2

6. El primer cubo de la imagen tiene arista de 2 cm. Si se duplica la longitud de sus aristas se obtiene el segundo cubo. ¿Cuál es el volumen del segundo cubo?

©

2 cm

B) 32 cm3

C) 64 cm3

D) 48 cm3

P

A) 16 cm3

7. ¿Cuál es el volumen de una cisterna con forma de prisma rectangular que contiene 3 000 litros de agua, pero está llena a la tercera parte de su capacidad? A) 3 000 dm3

B) 9 000 dm3

C) 4 500 cm3

D) 9 000 cm3

265

Resuelve los problemas. Con base en tus resultados, identifica los contenidos que necesitas repasar para mejorar tu desempeño. 1. Resuelve las ecuaciones. Comprueba tus soluciones.

1.2x 5 1.44

x 5 1.44/1.2 x 5 1.2

b) 6(x 2 1) 1 4 5 5x 1 3 6x 2 5x 5 3  2

6x 2 2 5 5x  3

x55

c) x(4 2 1) 2 2 5 2(x 2 2) 1 9 x57

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

4x 2 x 2 2 5 2x 2 4  9

bu

6x 2 6  4 5 5x + 3

ci ón

a) 1.2x 1 3.6 5 5.04 1.2x 5 5.04 2 3.6

3x 2 2x 5 5  2

2. Resuelve. Justifica tus respuestas.

a) Josefina pensó en un número y le sumó 7. Multiplicó el resultado por 3, al nuevo resultado le restó 3 y obtuvo 39. ¿En qué número pensó Josefina? Josefina pensó en el 7.

b) La suma de cuatro números consecutivos es 50. ¿Cuáles son los números?

P

©

Los números son 11, 12, 13 y 14.

266

c) Si se aumentan 20 cm al lado de un cuadrado y se divide entre 3 la longitud del lado adyacente, se obtiene un rectángulo con perímetro de 80 cm. ¿Cuáles son las dimensiones del cuadrado? Largo  35 cm, ancho  5 cm

3. Determina la pendiente, la ordenada al origen y la expresión algebraica de la siguiente recta. y

3

4 3

 m 5 23

2

0

24 23 22 21

1

2

3

4

x

b 5 23

21

ci ón

1

Expresión algebraica: y  5 2 3x 2 3

22 23 24

bu

4. Fernanda y Rubén leen cada día algunas páginas de un libro. Fernanda lee a razón de 30 páginas por hora, mientras que Rubén lo hace a razón de 40 páginas por hora.

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

a) Completa la siguiente tabla. Tiempo (h)

0

1

5

6

Páginas leídas por Fernanda

0

30

150

180

Páginas leídas por Rubén

0

40

200

240

b) De las dos rectas que representan la relación entre el tiempo y la cantidad de páginas que ha leído cada lector, ¿cuál tiene mayor pendiente? La  de Rubén

5. La siguiente tabla contiene información sobre los salarios mensuales (en pesos) en dos empresas. Empresa

Promedio de salarios

Mediana de salarios

Moda de salarios

A

6 840

4 000

2 500

B

6 840

6 000

4 000

ambas empresas manejan los comparar los salarios de las dos empresas? Que  mismos salarios mensuales. b) ¿Cuál es el salario que más trabajadores reciben en la empresa A? $2 500 ¿Y en la empresa B? $4 000

P

©

a) Si solo observaran los promedios salariales, ¿qué conclusión podrían obtener al

c) Completa: La mitad de los trabajadores de menos ingresos de la empresa A gana

$4 000 gana $6 000

o menos, y esa misma mitad en la empresa B o menos. 267 267

A

B

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

altura de un triángulo. Es el segmento de recta perpendicular a cualquiera de los lados del triángulo que pasa por el vértice opuesto a dicho lado. También se llama altura del triángulo a la longitud de este segmento.

ángulos alternos externos. Cuando dos rectas son cortadas por una recta transversal se forman ocho ángulos. A los que quedan en lados opuestos de la transversal y en la región exterior de las dos rectas cortadas por la transversal, se les llama ángulos alternos externos.

ángulos colaterales externos. Cuando dos rectas son cortadas por una recta transversal se forman ocho ángulos. A los que quedan del mismo lado de la transversal y en la región exterior de las dos rectas cortadas por la transversal, se les llama ángulos colaterales externos.

ci ón

agrupación de términos semejantes. Procedimiento para simplificar expresiones algebraicas en las que aparecen sumandos con la misma literal.

ángulos adyacentes. Pareja de ángulos de un polígono que comparten un lado de este.

bu

abscisa. Primera coordenada de un punto en el plano, correspondiente a la distancia horizontal del punto al eje vertical.

P

ángulo. Abertura o región del plano comprendida entre dos segmentos de recta que tienen un punto en común, llamado vértice. El símbolo denota la medida de un ángulo.

268

G

ángulos alternos internos. Cuando dos rectas son cortadas por una recta transversal se forman ocho ángulos. A los que quedan en lados opuestos de la transversal y en la región contenida entre las dos rectas cortadas por la transversal, se les llama ángulos alternos internos.

ángulos colaterales internos. Cuando dos rectas son cortadas por una recta transversal se forman ocho ángulos. A los que quedan del mismo lado de la transversal y en la región contenida entre las dos rectas cortadas por la transversal, se les llama ángulos colaterales internos.

altura

©

altura

altura

G

D

D

E F

coordenadas de un punto. A cada punto del plano cartesiano le corresponde un número x en el eje horizontal y un número y en el eje vertical. Estos números se escriben como pareja ordenada (x, y) y se les llama coordenadas del punto. cuadrilátero. Polígono de cuatro lados. Ejemplos:

expansión decimal. Son todos los números que aparecen después del punto decimal en un número decimal.

expansión decimal infinita y periódica. Si la expansión decimal de un número no termina, y hay una cifra o un grupo de cifras que se repiten una y otra vez, se dice que su expansión decimal es infinita y periódica. A la cifra o grupo de cifras que se repiten se le llama periodo.

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

E

ecuación. Igualdad entre dos expresiones en la que al menos en una de ellas hay una cantidad desconocida.

ci ón

A

arista. Segmento de recta que limita las caras de un cuerpo geométrico.

bu

ángulos correspondientes. Cuando dos rectas son cortadas por una recta transversal se forman ocho ángulos. A los que quedan del mismo lado de la transversal y del mismo lado de las dos rectas cortadas por la transversal, se les llama ángulos correspondientes.

ángulo interior (o ángulo interno). Ángulo formado por dos lados de adyacentes de un polígono y que está contenido en el interior del polígono.

ángulos opuestos por el vértice. Ángulos que tienen el mismo vértice y cuyos lados son la prolongación de los lados del otro.

©

B

A

P

ángulos suplementarios. Pareja de ángulos cuya suma es igual a 180°.

cubo. Cuerpo geométrico cuyas seis caras son cuadrados.

decímetro. Es la décima parte de un metro.

diagonal. Segmento de recta que une cualquier par de vértices no consecutivos de un polígono.

diagrama de árbol. Esquema que muestra los resultados posibles de un experimento que tiene varias etapas. Se forma con segmentos (ramas) que terminan en los resultados de cada etapa.

dígitos. Son los números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. En un número decimal, el dígito que indica los décimos es la primera cifra que está después del punto decimal; el que indica los centésimos es la segunda cifra y el que indica los milésimos es la tercera cifra.

experimento aleatorio. Un experimento aleatorio tiene la característica de que todas las veces que se repite, en las mismas condiciones, es imposible saber qué resultado se obtendrá. expresiones algebraicas equivalentes. Dos o más expresiones algebraicas son equivalentes si representan la misma cantidad. flujo. Movimiento de un fluido

fracción decimal. Fracción cuyo denominador es 10, 102 5 100, 103 5 1 000 o cualquier otra potencia de 10. fracciones equivalentes. Son fracciones que representan la misma cantidad. Cuando se multiplica o divide el numerador y el denominador de una fracción por un mismo número (distinto de cero), se obtiene una fracción equivalente.

269

frecuencia relativa. La frecuencia entre el total de datos.

pendiente de una recta. Para cualquier par de puntos sobre una línea recta, el cociente de la diferencia de las ordenadas entre la diferencia de las abscisas es siempre igual. A esta razón constante se le llama pendiente de la recta. Si la recta es creciente, la pendiente es positiva y si la recta es decreciente, la pendiente es negativa.

incógnita. Cantidad desconocida en una ecuación. lados adyacentes. Pareja de lados de un polígono que comparten un vértice.

pilar. Columna de soporte o de ornato con base con base poligonal o circular. plano cartesiano. Sistema de referencia formado por dos rectas perpendiculares, llamadas ejes, que se intersecan en un punto correspondiente al cero de cada eje. Al punto de intersección de los ejes se le llama origen.

Ejemplos: •• 2 3 2 3 2 3 2 5 24 5 16 •• 3 3 3 5 32 5 9 •• 10 3 10 3 10 3 10 3 10 5 105 5 100 000

Todo número natural formado por un 1 seguido de ceros es una potencia de 10. prisma rectangular. Cuerpo geométrico limitado por dos rectángulos paralelos e iguales (llamados bases) y por cuatro caras rectangulares.

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

magnitudes directamente proporcionales. Si el cociente entre dos magnitudes es constante, se dice que las magnitudes varían proporcionalmente. Al valor del cociente se le llama constante de proporcionalidad.

potencia. Forma resumida de escribir una multiplicación repetida del mismo factor.

ci ón

patrón matemático. Regla o regularidad que se repite constantemente.

bu

frecuencia. Cantidad de veces que aparece un dato en una colección.

mediana de una colección de datos. Dato que queda en el centro cuando estos se escriben en forma ordenada. Si no hay un valor central porque la cantidad de datos es par, la mediana se obtiene promediando los dos datos centrales.

minuendo y sustraendo. En la resta a 2 b, el término a se llama minuendo y el término b se llama sustraendo. Por ejemplo, en la resta 10 − 6, 10 es el minuendo y 6 el sustraendo.

y

5

4

(23, 2)

3

2

(2, 1)

1

25 24 23 22 21 0 1 2 3 21 (1, 22) 22

4

5

x

prisma triangular. Cuerpo geométrico limitado por dos triángulos paralelos e iguales (llamados bases) y por tres caras rectangulares.

23 24

©

moda de una colección de datos. Es el valor que más se repite, es decir, el dato más frecuente de la colección.

P

ordenada. Segunda coordenada de un punto en el plano, correspondiente a la distancia vertical del punto al eje horizontal. paralelogramo. Cuadrilátero en el que los lados opuestos son paralelos. 270

25

polígono. Figura geométrica plana, limitada por tres o más segmentos de recta. Los segmentos de recta se llaman lados y los puntos donde se cortan se llaman vértices. polígono regular. Polígono con todos sus lados y todos sus ángulos de la misma medida.

probabilidad frecuencial. Cociente entre el número de veces que en un experimento aleatorio aparece un resultado R y el número de repeticiones del experimento.

rectas perpendiculares. Rectas que se cortan formando un ángulo recto.

sucesión numérica. Colección ordenada de números que se obtienen a partir de una regla. Esta regla puede describirse mediante una expresión algebraica o fórmula. Los elementos de una sucesión se llaman términos. triángulo. Polígono de tres lados. De acuerdo con la medida de sus lados, el triángulo se clasifica en equilátero, con sus tres lados de la misma longitud; isósceles, con dos lados de igual longitud; y escaleno, sus tres lados de distinta longitud. De acuerdo con la medida de sus ángulos, el triángulo se clasifica en rectángulo, con un ángulo de 90°; acutángulo, sus tres ángulos internos son menores que 90°; y obtusángulo, con un ángulo mayor de 90°.

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propiedad de la desigualdad del triángulo. Si a, b y c son las longitudes de los lados de un triángulo, entonces se cumplen las tres siguientes condiciones: a 1 b . c, a 1 c . b y b 1 c . a.

rectas paralelas. Dos rectas son paralelas si, por más que se les prolongue, nunca se cortan. Las rectas paralelas tienen una perpendicular común.

segmento. Fragmento de recta comprendido entre dos puntos, llamados extremos del segmento. Si los extremos del segmento son los puntos A y B, al segmento se le denota como AB.

ci ón

propiedad de densidad de los números. Entre dos números decimales distintos y entre dos fracciones distintas siempre es posible encontrar otro número decimal u otra fracción. Además, entre una fracción y un número decimal distintos siempre es posible encontrar una fracción y un número decimal.

rango de una colección de datos. Es la diferencia del máximo menos el mínimo de los datos.

bu

promedio o media aritmética. Es el resultado de sumar los datos de una colección y dividir el resultado entre la cantidad de datos.

c

a

b

punto medio. El punto medio M de un segmento AB es el punto que se encuentra a la misma distancia de los extremos del segmento; es decir, la longitud del segmento AM es igual que la longitud del segmento MB.

©

A

M

B

P

punto medio entre dos puntos. Es el punto que se encuentra a la misma distancia de dos puntos dados.

rectas que se intersecan. Rectas que se cortan o se cruzan en un punto. Al punto donde se cortan se le llama punto de intersección. rectas transversales. Se dice que dos rectas son transversales si se cortan en algún punto.

triángulos congruentes. Pareja de triángulos cuyos lados y ángulos correspondientes miden lo mismo. A

A'

30º

sector circular. Región comprendida entre un arco de círculo y los radios correspondientes a los extremos del arco.

30º

60º

B

60º C

C’

B’

valor absoluto de un número. Distancia del número x al cero en el eje numérico. Se denota por |x|. variable. Una cantidad que puede tomar distintos valores.

271

Impresas

S ro A N hi T bi IL da L A su N A di st ri

bu

ci ón

•• Bosh, C. El billar no es de vagos: ciencia, juego y diversión, Fondo de Cultura Económica, México, 2009. •• Capó, M. El país de las mates. 100 problemas de ingenio 4, Rompecabezas, Madrid, 2006. •• Cerasoli, A. La sorpresa de los números, Ediciones Maeva, Madrid, 2006 (colección Biblioteca de Aula, serie Astrolabio). •• Elwes, R. Cómo contar hasta el infinito y otros 34 usos prácticos de las matemáticas, Ariel, Barcelona, 2011. •• Enzensberger, H. M. El diablo de los números. Un libro para todos aquellos que temen a las matemáticas, Siruela, Madrid, 1997. •• Jiménez, D. Matemáticos que cambiaron al mundo: vidas de genios del número y la forma que fueron famosos y dejaron huella en la historia, Tajamar Editores, Santiago de Chile, 2010. •• Marván, L. M. Representaciones numéricas, SEP-Santillana, México, 2000 (Libros del Rincón). •• Marván L. M. y A. P. Huesca. Explorando en matemáticas 1, Nuevo México, México, 2000. •• Paenza, A. Matemática… ¿Estás ahí? Sobre números, personajes, problemas y curiosidades, Siglo XXI, Buenos Aires, 2005 (colección Ciencia que Ladra). •• Ruiz Ruiz-Funes, C. y S. Regules. El piropo matemático. De los números a las estrellas, Lectorum, Barcelona, 2000. •• Tahan, M. El hombre que calculaba, Noriega, México, 1998. •• — Matemática, divertida y curiosa, Océano, México, 2013.

Electrónicas

P

©

•• www.aprende.edu.mx/Repository/recursos/index.html?level%5B%5D=5&grade%5B %5D=14&subject%5B%5D=matematicas-i (consulta: 13 de noviembre de 2017, 20:35 h) En esta dirección electrónica encontrarás videos, documentos y actividades de la SEP sobre temas relacionados con el programa de primero de secundaria, incluyendo ejemplos y situaciones de la vida cotidiana.

272

•• ntic.educacion.es//w3/eos/MaterialesEducativos/mem2005/geometria/geoweb/1eso. htm (consulta: 13 de noviembre de 2017, 20:42 h) En esta página podrás acceder a actividades para practicar diversos temas de geometría que te permitirán verificar propiedades y hacer construcciones de triángulos, cuadriláteros, círculos, etcétera. •• recursostic.educacion.es/descartes/web/ (consulta: 13 de noviembre de 2017, 21:16 h) Encontrarás en esta página multitud de actividades interactivas para reforzar tus conocimientos de matemáticas, por ejemplo, experimentos aleatorios y otras actividades de geometría, álgebra y probabilidad.

SECUNDARIA

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