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ANALISIS ESTRUCTURAL (Métodos Energéticos)

“Introduccion,Trabajo real, trabajo virtual, primer y segundo teorema castigliano y teorema de maxwell y betii” Profesor: Ing. Angel Godinez Alumno: Erick Osvaldo Moreno Carrillo Fecha de elaboración: 16 de mayo del 2017

Analisis estructural (Metodos energeticos)

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1. INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS ENERGÉTICOS Los cálculos de deflexiones y rotaciones calculados con métodos geométricos (área del diagrama de momento y la viga conjugada), estos procedimientos son satisfactorios para muchas estructuras, incluidas algunas bastante complicadas. En este capitulo se mostrara que las mismas deflexiones y rotaciones pueden calcularse empleando el principio de conservación de la energía. Se presentaran cuatro métodos basados en tal principio: el del trabajo real, virtual, el primer y segundo teorema castigliano, además de los teoremas de maxwell y betii. Estos métodos pueden resultar más convenientes que los geométricos para algunas estructuras complicadas, debido a la sencillez con que puede establecerse las expresiones que nos permiten resolver el problema. Además, los métodos basados en la conservación de la energía son aplicables a un mayor número de tipos de estructuras.

2. TRABAJO REAL Introducción: En este acontecimiento hablaremos acerca de el Método de trabajo real en el cual este método utiliza el principio de conservación de energía, que genera el trabajo externo, el cual debe ser igual al trabajo interno de deformación producto por los esfuerzos causadas por las cargas. La desventaja del método radica en su limitación, porque solo analiza una incógnita, no se amplía este método a más de un desplazamiento o rotación.. el cual dicho tema lo desglosaremos a continuación Trabajo real: Se basa en la definición planteada en los cursos básicos de física: trabajo realizado por una carga a lo largo de una deformación. La acción de una carga externa a lo largo de una deformación produce un trabajo, llamado trabajo externo (De), el cual se acumula internamente forma de energía de deformación, llamada energía interna de deformación (EID), o trabajo interno (Si), responsable de que la estructura recupere su forma original, una vez suspendida la fuerza externa. El concepto de trabajo es similar al de energía y lo usaremos indistintamente en este capítulo. Trabajo externo: Para evaluar el trabajo externo, se supondrá comportamiento linealmente elástico de la estructura y deformaciones pequeñas. Se toma una estructura deformable, como la mostrada en la figura 1.1, bajo la acción de una carga Q, que produce una deformación final D; se supone que la aplicación de la carga es gradual desde cero hasta el valor final, según se muestra en la trayectoria carga contra deformación mostrada en la Figura 1.1a, b, parte (b).

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Figura 1.1 a, b. relación de carga y deflexión en estructura linealmente elástica

Si se toma una carga Q, el concepto de trabajo enunciado antes permite evaluar el trabajo externo realizado por la carga a lo largo del diferencial de de-formación, como:

Y recordando que la relación lineal entre carga y deformación se puede expresar como: Q = kD,

La expresión que permite evaluar la energía o trabajo externo para toda la deformación D se obtiene.

Y remplazando de nuevo, Q = kD:

En la Figura 1.2 puede verse el significado de la expresión en varias estructuras. En el caso de un momento (M) que produzca un giro (0), la expresión puede definirse también como el semiproducto del momento por la deformación angular:

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Figura 1.2

Energía Interna de Deformación (EID) : Para el cálculo de la Energía Interna de Deformación (EID), se supondrá que se puede aplicar el principio de superposición, por lo que la acción de un grupo de fuerzas internas: M, V, N, se puede evaluar mediante la suma de los efectos individuales de cada fuerza interna. Se supondrá un elemento longitudinal, recto, con sección constante y cuya sección transversal tiene un eje de simetría, respecto al eje y.

Figura 1.3 acción de las fuerzas internas sobre la tajada “dx”

Para el caso de la fuerza axial (N), (Figura 1.3 parte (a)), se supone una tajada de longitud dx, sometida a una fuerza axial N que produce una deformación axial dᴓ. De la definición de trabajo anterior, podemos suponer que la energía total dWe, es el semiproducto de la fuerza axial y de la deformación:

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Recordando la expresión de resistencia de materiales, para el caso axial, que relaciona la deformación unitaria (ϵ = de/dx) con el esfuerzo axial (δ= N/A): De=ϵ (dx) = (δ/E) (dx) = (N/AE) (dx), la cual, remplazándola en la expresión anterior

Si se evalúa la energía para toda la longitud del miembro, se tiene:

Para otras fuerzas internas como el momento M (figura 6.3, parte b), se procede similarmente:

Recordando la conocida relaci6n entre la curvatura y el momento flexor, estudiada en los métodos geométricos: dᴓ/dx = M/EI, se obtiene: dᴓ= (M/EI) (dx), la cual se remplaza en la ecuación anterior:

Al evaluarla para todo el miembro, da la expresión:

Para la cortante V (Figura 1.3, parte (c)), se plantea análogamente:

En la tajada mostrada se tiene que: y = dy/dx; de donde: dy = ydx; Recordando las conocidas expresiones de resistencia de materiales, se puede plantear pan la secci6n mostrada, y= t/G Y si se resume que t= KV/A, en la cual k es un coeficiente que depende de la forma de la sección transversal de la viga:

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La cual para toda la longitud del miembro da:

En la expresi6n de cortante, la constante k depende de la forma de la sección transversal; para secciones rectangulares, tiene un valor de 1,2; para secciones circulares 10/9 y para secciones de ala ancha usadas en perfileria metílica tiene un valor cercano a 1, en la cual A es el área del alma del perfil. Para momento de torsión T se puede obtener una expresión similar:

Esta expresión para torsión corresponde a secciones circulares. Para una estructura de muchos miembros (m) y pan todas las fuerzas in-ternas N, M, V y T, la Energía Interna Deformaci6n (EID) debe evaluarse para todos ellos y será la suma de las expresiones individuales:

Como se verá posteriormente, en algunos casos no se presentan todas las fuerzas internas; en las vigas, el momento M es la fuerza dominante y la fuerza de corte V se presenta en algunos pocos casos denominados "vigas alias" o de gran sección. En el caso de las cerchas, solo se consideran las fuerzas axiales N, por lo que la expresión anterior se simplifica, pues las fuerzas axiales y las secciones transversales no varían a lo largo del elemento y pueden tomarse como constantes en la evaluación de las integrales. La suma de integrales se convierte en una sumatoria de una expresión que se evalúa para cada miembro.

ANALISIS CLASICO DE ESTRUCTURAS Pan aplicar el Método del trabajo real, aplicamos el principio de la conservación de la energía; en este caso, el trabajo realizado por las cargas externas se convierte en ElD Esta igualdad de energías permite plantear la ecuación básica del método así: Las expresiones presentadas anteriormente permiten evaluar las energías para ambos casos: externo e interno y obtener, a partir de esta igualdad, la deformación requerida. En el caso en que

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los apoyos tengan desplazamientos, su trabajo deberá incluirse en el lado izquierdo de la identidad, como si se tratase de una carga externa.

Ejemplo 1.1 Obtener la deflexión en el centro de la luz, para la viga con carga mostrada en la figura 1.4.

Figura 1.4 ejercicio propuesto

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3. TRABAJO VIRTUAL Introducción: En este apartado hablaremos en base al método de tranajo virtual el cual nos dice que es el más versátil de los métodos tradicionales, para evaluar deflexiones, tambien se hablara de forma detallada como es aplicable a vigas, marcos y, sobre todo, a armaduras. aunque este método solo es aplicable a aquellos casos, en donde está permitido la superposición, por su forma finita de análisis lo cual lo analizaremos detalladamente. Sin embargo, veremos como contribulle la Ley

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de la conservacion de la energiaen dicho analisis con ejemplos que nos daran una major idea de la definicion de tranajo virtual. Trabajo virtual: El método del trabajo virtual, llamado a veces método de la carga unitaria ficticia, es el de aplicación más amplia de entre todos los métodos empleados para calcular deflexiones. Es aplicable a vigas, marcos y, sobre todo, a armaduras. El trabajo virtual se basa en la ley de la conservación de la energía, según la cual el trabajo hecho por un grupo de cargas externas aplicadas gradualmente a una estructura es igual a la energía elástica interna almacenada en la estructura. Para emplear esta ley en las derivaciones que siguen, es necesario hacer las siguientes suposiciones: 1. Las fuerzas internas y externas están en equilibrio 2. El limite elástico del materia no se excede 3. Los apoyos no tienen movimiento

Figura 2.1

Deflexiones en armaduras logradas con el trabajo virtual Tomaremos como referencia para el siguiente análisis la armadura de la figura 2.1. Se aplican a la armadura las cargas p1 a la p3. Como se muestra; estas producen fuerzas en las barras. Cada barra de la armadura de acorta o se alarga dependiendo del carácter de la fuerza que actué en ella. Estas deformaciones internas causan deflexiones externas y cada una de las cargas se desplaza una pequeña distancia. Ahora podemos establecer en detalle el principio de la conservación de la energía, según se aplica a la armadura. El trabajo externo efectuado por las cargas p1 a p3, al moverse estas a través de sus respectivos desplazamientos, es igual al trabajo interno efectuado por las fuerzas en las barras al desplazarse sobre sus respectivos cambios de longitud. Para escribir una expresión del trabajo interno efectuado por una barra de la armadura, es necesario desarrollar una expresión para la deformación de la barra. Con este fin consideraremos la barra de la figura 2.2. La fuerza aplicada a la barra produce en esta un alargamiento de magnitud Δl. El alargamiento puede calcularse en función de las propiedades de la barra. El alargamiento unitario ϵ es igual al alargamiento total dividido por la longitud se la barra y es también igual al

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esfuerzo que actúa en esta, dividido por su modulo de elasticidad, puede escribirse una expresión para Δl de la siguiente manera

De acuerdo con las suposiciones previas, las barras de una armadura toman solo fuerza axial. A estas las llamaremos fuerzas F y casa barra sufrirá un cambio de longitud igual a Fl/ AE. Queremos encontrar una expresión que nos de la flexión en un nudo de la armadura de la figura 2.1. una marea conveniente de desarrollar tal expresión es quitar las cargas de la armadura, colocar una carga unitaria en el nudo donde se desea la deflexión, volver a colocar las cargas externas y escribir una expresión para los trabajos interno y externo efectuados por la carga unitaria y las fuerzas producidas al volver a colocar las cargas externas.

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Figura 2.2 Las fuerzas producidas en las barras de la armadura por la carga unitario se denominan fuerzas µ. Estas fuerzas causan pequeñas deformaciones en las barras y pequeñas deformaciones externas en la armadura. Cuando las cargas externas se regresan a la armadura, la fuerza en cada una de las barras cambia de acuerdo a la fuerza F y la deformación de cada barra cambia deacuerdo a Fl / AE. La armadura se deflecta y la carga unitaria se transmite a una distancia δ. El trabajo externo que realiza la carga unitaria cuando las cargas externas regresan a la estructura se puede expresar como sigue:

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Internamente, la fuerza µ en cada barra se desplaza una distancia de Δl = Fl / AE. El trabajo interno efectuado por todas las fuerzas µ al moverse esta distancia es

Igualando los trabajos interno y externo, la deflexión en un nudo de la armadura puede expresarse como sigue

Aplicación del trabajo virtual en armaduras Los ejemplos 2.1 y 2.2 ilustran las aplicaciones del trabajo virtual en las armaduras. En cada caso se calculan inicialmente las fuerzas debidas a las cargas externas. A continuación se retiran las cargas externas y se coloca una carga unitaria en el punto y en la dirección en donde se quiere tener la deflexión (no necesariamente horizontal o vertical). Se determinan las fuerzas debidas a la carga unitaria y por último, se encuentran los valores de Fµl / AE para cada barra de la armadura. Para simplificar las numerosas multiplicaciones, el cálculo se efectúa en forma tabular. El modulo de elasticidad se maneja como una constante hasta que se hace la suma sobre todas las barras; solo en esa etapa del cálculo es que se introduce su valor numérico. Si algunas barras tienen diferentes valores de E, es necesario considerar sus valores reales o relativos en las multiplicaciones individuales. Un valores positivo de ∑= ( Fµl / AE) indica que la deflexión tiene el sentido de la carga unitaria. Ejemplo 2.1 Determinar las componentes horizontal y vertical de deflexión en el nudo L4 de la armadura mostrada en la figura 2.3. Los números encerrados en los círculos indican áreas con las siguientes equivalencias:

Figura 2.3

Solución: Fuerzas debidas a las cargas externas, en KN:

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Fuerzas debidas a una fuerza unitaria vertical en L4:

Fuerzas debidas a una carga unitaria horizontal en L4:

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Calculo de deflexiones en vigas y marcos mediante el método del trabajo virtual La ley de la conservación de la energía se puede emplear a fin de determinar una expresión para la deflexión en un punto cualquiera de una viga o merca. En la siguiente deducción se considera que cada fibra de la estructura es una “barra o elemento estructural" como los de las armaduras analizadas en las secciones pre-cedentes. La suma del trabajo interno efectuado por la fuerza en cada una de las "barras" es igual al trabajo externo desarrollado por las cargas.

Figura 2.5

Para el análisis siguiente consideraremos la viga de la fig.2.5(a). La parte (b) de la figura muestra la sección transversal de la viga. Se desea conocer la deflexión vertical δ en el punto A de la

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viga, producida por las cargas externas P1 a P3. Si se quitaran las cargas de la viga y se colocara una carga virtual unitaria en A, se producirían pequeñas fuerzas y deformaciones en las "barras" y aparecería una pequeña deflexión con A. Al colocar nuevamente las cargas externas se producirían incrementos en las fuerzas y en las deformaciones y la carga unitaria en A se desplazaría una cantidad adicional δ. El trabajo interno desarrollado por las fuerzas producidas por la carga unitaria, al desplazarse según las deformaciones adicionales de las barras, es igual al trabajo externo realizado por la carga unitaria al desplazarse ésta la distancia adicional δ. Los siguientes símbolos se emplean para escribir una expresión para el trabajo interno desarrollado en una longitud dx de la viga: M es el momento en cualquier sección de la viga, debido a las cargas externas y ni es el momento en cualquier sección debido a la carga unitaria. El esfuerzo en un área diferencial de la sección transversal de la viga, debido a la carga unitaria, puede encontrarse a partir de la ecuación de la flexión de la siguiente manera:

Al área dA corresponde una longitud diferencial dx que se deforme una cantidad ϵ dx cuando las cargas externas se reintroducen a la estructura. La deformacion es comos sigue:

La fuerza total en dA debía a la carga unitaria (my / I) dA se desplaza según es deformación, y el trabajo que realiza es como sigue:

El trabajo total efectuado sobre la sección transversal es igual a la suma de los trabajos efectuados en cada área dA de la sección:

La expresión ∫ y² dA es bien conocida; se trata del momento de inercia de la sección, por lo que puede escribirse.

Ahora es posible determinar el trabajo interno realizado en toda la viga, pues es igual a la integral de 0 a t de la expresión anterior:

El trabajo externo efectuado por la carga unitaria al desplazarse esta una distancia δ es 1 x δ. Igualando el trabajo externo con el interno, se tiene una expresión para la deflexión en cualquier

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punto de la viga.

Ejemplos de la aplicación del trabajo virtual en vigas y marcos

Para aplicar el método se coloca una carga unitaria en el punto y en la dirección en que se busca la deflexión. Se escriben expresiones para M y m en toda la estructura y los resultados se integran entre O y l. Rara vez es posible escribir una expresión para M o una para m que sea correcta en toda la estructura. Por ejemplo, consideremos la viga de la fig. 2.6 en la que se busca la deflexión bajo la carga P2. Se coloca una carga unitaria en este punto de la figura. Las reacciones Vl y V R son debidas a las cargas PI y P2, en tanto que al y uR son debidas a la carga unitaria. Los valores de M y m se escriben con respecto a la distancia x desde el apoyo izquierdo. Del apoyo izquierdo a la carga unitaria, m puede representarse por una sola expresión, uLx, pero la expresión para M no es constante en todo el tramo. Su valor es VLx del apoyo izquierdo a P1 y VLx — P1(x — a) de PI a P2. La integración se efectúa de O hasta a para VLx y uLx, y de a hasta b para VLx — P1(x — a) y uLx. A continuación se muestran las expresiones para todas las partes de la viga. El apoyo izquierdo se toma como el origen de x.

Se usa un signo positivo para un momento que produce tensión en las fibras inferiores de una viga. Si el resultado de la integración es positiva, la dirección usada para la carga unitaria es la dirección de la deflexión

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Figura 2.6

Ejemplo 2.3 Determinar la deflexión en el punto A de la viga mostrada en la figura 2.1, empleando el método del trabajo virtual

Figura 2.7

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Calculo de rotación por medio del trabajo virtual

El método del trabajo virtual puede emplearse para determinar las rotaciones o pendientes en varios puntos de una estructura. Para encontrar la pendiente en el punto A de la viga de la fig. 2.12, se aplica un par unitario en A, sin que actúen las cargas externas. El valor del momento en un punto cualquiera de la viga causada por este par es m. Al actuar las cargas externas se tendrá un momento adicional en cualquier punto del valor M. Si la aplicación de las cargas ocasiona una rotación ᴓ en el punto A de la viga, el trabajo externo realizado por el par es igual a 1 x ᴓ. El trabajo interno o la energía interna elástica almacenada es ∫ (Mm/EI) dx.

Si el par unitario aplicado en la posición donde se busca la pendiente es positivo y el resultado de la integración es positivo, la rotación será también positiva, o sea que tendrá el mismo sentido rotacional que el par. En el siguiente ejemplo se ilustran el cálculo de pendientes con el método del trabajo virtual. Las pendientes que se especifican estarán en radianes. Ejemplo 2.8 Encontrar la pendiente en el borde libre A de la viga mostrada en la figura 2.13

Figura 2.13

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4. PRIMER TEOREMA CASTIGLIANO Introducción: A continuación daremos a conocer como actúa el primer teorema castigliano siendo este la base para el segundo teorema. Este teorema nos proporciona un método especifico para el cálculo de deflexiones, el cual consiste en igualar la deflexión a la primera derivada parcial del trabajo interno de toda la estructura deseada a analizar, la cual se analizara respecto a una carga x que se encontrara situada en el punto en el cual se desea saber dicha deflexión, además de tomar en cuenta puntos muy relevantes como sus ventajas y desventajas al analizar dichos sistemas, sin menospreciar el ejemplo de dicho análisis Primer teorema castigliano: En general, los otros métodos para el cálculo de deflexiones (viga conjugada y trabajo virtual) son un poco más sencillos en su aplicación y más populares que el primer teorema de Castigliano. Sin embargo, para ciertas estructuras este método es muy útil y su estudio sirve al lector de base para el muy importante segundo teorema. La derivación del primer teorema (presentada en esta sección) es muy parecida a la realizada por KinnEY. La fig.3.16 muestra una viga sujeta a las cargas gradualmente aplicadas P1 y P2. Estas cargas producen las deflexiones δ1 y δ2. Se desea encontrar la deflexión δ1 bajo la carga P1. El trabajo externo realizado durante la aplicación de las cargas Es igual a la carga promedio multiplicada por la deflexión y es también igual a la energía de deformación interna de la viga.

Figura 3.16

(3.1) Si la carga P1 se incrementa una pequeña cantidad dp1, la viga sufrirá una deflexión adicional. La fig.3.17 muestra las deflexiones adicionales dδ1, y dδ2 bajo cada una de las cargas. El trabajo adicional realizado o energía de deformación almacenada durante la aplicación de dP1 es:

Efectuando las multiplicaciones indicadas e ignorando cl producto de los diferenciales, (3.2) Se procede de la misma manera, excepto que las cargas PI. P2 y dP1 se aplican todas al mismo tiempo y la energía total de deformación se denomina W'.

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Efectuando las multiplicaciones indicadas e ignorando el producto de los diferenciales, (3.3)

Figura 3.17 Es claro que dW = W’ – W y que puede determinarse restando la ecuación (3.1) de la (3.3)

(3.4) El valor de P2dδ2 puede determinarse de la ecuación 3.2 de la siguiente manera: Sustituyendo este valor en la ecuación (3.4) y despejando la deflexión δ1

Como generalmente se aplica más de acción a una estructura, esta deflexión se escribe por lo común como una derivada parcial:

Para determinar la deflexión en un punto de una viga o marco, el primer teorema se escribe del modo siguiente:

De acuerdo con esta expresión, M debe elevarse al cuadrado, integrarse y calcular la primera derivada parcial. Sin embargo, si M tiene una forma algebraica complicada, como es frecuente el caso, el proceso puede resultar muy tedioso. Por esta razón generalmente es más sencillo diferenciar bajo el signo de integral como el siguiente resultado;

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En una armadura es aconsejable seguir el mismo procedimiento, teniéndose entonces:

Ejemplo 3.11 Determinar la deflexión vertical bajo la carga de 45 kN en la viga mostrada en la figura 3.28

Figura 3.18

5. SEGUNDO TEOREMA CASTIGLIANO Introducción: En este acontecimiento se hablara en base al segundo teorema castigliano que es la continuación del ya mencionado anteriormente, en el cual este teorema también conocido como el método de

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trabajo mínimo nos da a conocer un método de suma importancia para el análisis de las estructuras estáticamente indeterminadas, sobre todo para armaduras y estructuras compuestas, en este teorema se hace cero cada primer derivada parcial del trabajo interno, además de tomar en cuenta puntos muy relevantes como sus ventajas y desventajas al analizar dichos sistemas, sin menospreciar el ejemplo de dicho análisis Segundo teorema castigliano; conocido comúnmente como el método del trabajo mínimo, ha desempeñado un papel histórico muy importante en el desarrollo del análisis estructural de las estructuras estáticamente indeterminadas. El segundo teorema de Castigliano, comúnmente conocido como el método del trabajo mínimo, ha desempeñado un importante papel en el desarrollo del análisis estructural a través de los dos y, ocasionalmente, se usa en la actualidad. Está íntimamente relacionado con el método de las deformaciones compatibles analizado en el capítulo I 1 y es muy efectivo para analizar estructuras estáticamente indeterminadas, sobre todo armaduras y estructuras compuestas (Las estructuras compuestas se definen aquí como estructuras que tienen algunos elementos que trabajan sólo a fuerza axial y otros elementos que trabajan a flexocompresión o a flexotensión.) Aunque el método es aplicable a vigas y a marcos, otros métodos, corno el de la distribución de momentos (capítulos 14 y 15), generalmente son más satisfactorios. El método del trabajo mínimo tiene la desventaja de que no es aplicable en su forma usual a fuerzas causadas por desplazamientos debidos a cambios de temperatura, asentamientos de los apoyos, ni a errores de fabricación. En el capítulo 9 se mostró que la primera derivada parcial del trabajo interno total con respecto a una carga P (real o imaginaria) aplicada en un punto de una estructura, es igual a la deflexión en la dirección de P. Para el siguiente análisis, consideraremos la viga continua de la fig. A.1 y su reacción vertical VB en el apoyo R.

Figura A1. Si la primera derivada parcial del trabajo en esta viga se toma con, respecto a la reacción VB se tendrá la deflexión en B, pero tal deflexión es nula.

Esta es una formulación del segundo teorema de Castigliano. Pueden escribirse ecuaciones de este tipo para todo punto restringido de una estructura estáticamente indeterminada. Una estructura se deformará de una manera consistente con sus restricciones físicas o de una manera tal, que el trabajo interno de deformación sea mínimo. Las columnas y trabes que se conectan en un nudo de una estructura se deformarán lo mismo, o sea, lo mínimo posible. Ignorando el efecto de los otros extremos de esos elementos, puede verse que cada elemento no realiza más trabajo que el necesario y el trabajo total ejecutado por todos los elementos que llegan al nudo es el mínimo posible. El teorema del trabajo mínimo puede entonces formularse de la siguiente manera: el trabajo interno realizado por cada elemento o por cada segmento de una estructura estáticamente indeterminada, sujeta a un conjunto de cargas externas, es el mínimo necesario para mantener el

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equilibrio con las cargas. En algunas ocasiones (sobre todo en vigas continuas y marcos), el método del trabajo mínimo es muy laborioso en su aplicación. Por ello, en ocasiones algunos lectores expresan enérgicas opiniones acerca de lo que piensan sobre el término "trabajo mínimo". Para analizar una estructura estáticamente Indeterminada con el teorema de Castigliano. Se supone que ciertos elementos son las redundantes y se consideran eliminados de la estructura. Deben retirarse tantos elementos como sea necesario para dejar una estructura isostática y estable Las fuerzas F" en la estructura se determinan por medio de las cargas externas; las redundantes se reemplazan como cargas X1, X2, etc.; luego se determinan las fuerzas que producen las cargas. El trabajo interno total de deformación puede establecerse en términos de las fuerzas F ‘ y las fuerzas causadas por las cargas redundantes. El resultado se diferencia sucesivamente con respecto a las redundantes. Las derivadas se igualan a cero para determinar los valores de las redundantes. Los ejemplos A.1 al A.6 ilustran el análisis de estructuras estáticamente indeterminadas por medio del trabajo mínimo. Aunque los métodos del trabajo mínimo y de la deformación consistente son los más generales para analizar varios tipos de estructuras hiperestáticas, éstos no se usan con mucha frecuencia actualmente, porque otros métodos analizados previamente son más adecuados. Ejemplo A.1 Determine la reacción en el apoyo C en la viga de la fig. A.2 por medio del trabajo mínimo; E e I son constantes.

Figura A.2

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6. TEOREMA DE MAXWELL Y BETII Introduccion: En este apartado de explicara de manera determinada el teorema de Maxwell y Betii, en los cuales los analizaremos de forma separada para tener un major entendimiento del mismo, el teorema de maxwell y betti nos dice que en un solido elástico y lineal con cargas independientes, se establece que el trabajo interno realizado por el sistema de cargas (x) sobre el campo de desplazamientos producidos por las cargas del sistema (y), es igual a la viceversa de las mismas, a continuación lo analizaremos de forma detallada.

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TEOREMA DE BETTI (Ley de reciprocidad)

 

De la relación del Trabajo con funciones cuadráticas de las fuerzas y deformaciones, ratificamos lo ya señalado en el tema (1-2) de que no es aplicable el Principio de Superposición y por lo tanto el trabajo de deformación de varias fuerzas no es igual a la suma de los trabajos de cada una de ellas por separado. Supongamos que sobre un cuerpo actúa un sistema de fuerzas P que produce deformaciones  y una energía de deformación U igual a un trabajo Te, y dicho sistema de cargas P está formado por la suma de dos estados de carga que llamaremos P y P P = P + P

Si  es el conjunto de desplazamientos correspondientes a la carga P y  es el correspondiente a las cargas P se cumplirá:

 =  + 



Cualquiera sea el orden en que se aplican las fuerzas. P

P 

P



P;  producen Te = U y veamos de aplicar Las cargas P de dos formas distintas: a) Primero P y luego P



U =U +U  + U 

P 

P

Donde Ui, j representa el valor de la energía o trabajo externo de las cargas Pi a lo largo de los desplazamientos debido a las cargas Pj (i y j con valores  y )

 P



b) Primero P y luego P 

P



(a)

U =U  +U  + U 

(b)

Como los dos estados finales son iguales, también lo serán los Trabajos finales y de igualar las expresiones de a) y b)

obtendremos:

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U  = U 



O sus iguales: Te  =Te 



Expresión del Teorema de BETTI: “El trabajo de un estado de cargas en equilibrio P a lo largo de los desplazamientos producidos por otro estado de cargas en equilibrio P es igual al trabajo de las cargas P a lo largo de los desplazamientos producidos por P.” A estos trabajos se los denomina recíprocos o indirectos. Una aplicación teórica a una viga permite explicitar el significado de las expresiones: P1

P2

P a

b

c

P3

PII

U    1 P1 a  P2 c  2 1 U     P3 e  2 U    P1 d  P2 f U    P3 b

d

e

P1

P3

f

P2

P a+d

b+e

c+f





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



TEOREMA DE MAXWELL Este Teorema tratado aquí como un caso particular del Teorema de Betti fue enunciado con anterioridad a este ultimo. Betti solo generalizo las conclusiones a que había llegado Maxwell. En la figura siguiente de una viga tenemos dos estados de carga y deformaciones, con la salvedad que ambos estados de cargas son unitarios.  

P1=1 11 P2=1 12

21 22

I 1

P1=

2

11

(21

(d

II

12

P2=1

(22

Aplicando el Teorema de Betti: P1  12  P2   21 y siendo ambas cargas unitarias

 12   21 “El valor del corrimiento de un punto 1 según una cierta dirección P1 debido a una fuerza unitaria aplicada en 2 según una dirección P2, es igual al valor del corrimiento en 2 según la dirección P2, provocado por una fuerza unitaria aplicada en 1 según una dirección P1”. Mencionamos específicamente el “valor”, pues como se aprecia en el ejemplo, la igualdad no incluye a las unidades, pues 12 es un desplazamiento que se mide en unidades de longitud y 21 es un ángulo que se mide en radianes, ya que cuando hablamos de corrimientos entendemos tanto a un desplazamiento lineal como una Analisis estructural (Metodos energeticos)

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rotación, dependiendo del tipo de vector carga con el que se evalúa el trabajo. En otras palabras es un “corrimiento correspondiente” como ya que fue mencionado en 1-5 y por lo tanto el vector carga es colineal con el vector corrimiento.

Teorema de maxwell y betti:

7. CONCLUSION Como conclusión de los métodos energéticos nos damos cuenta de la suma importancia que es dicho acontecimiento ya que en conjunto de lo que es el trabajo real, el trabajo virtual, el primer teorema castigliano, segundo teorema castigliano y el teorema de maxwell y betii. Son muy importantes ya que nos dan a conocer un análisis matemático bien estructurado en base al análisis estructural ya que con lo aprendido podemos emplearlo de manera adecuada al momento de querer estudiar algún elemento como por ejemplo una viga de una manera más adecuada y más que nada entendiendo el comportamiento de la misma y como es que en base a ello se obtienen dichos teoremas ya mencionados anteriormente en este contexto.

8. BIBLIOGRAFIA 9. LIBRO: Analisis de estructuras, Metodos clásico y matricial, Autor: Jack McCormac, Rudolf Elling, Editorial: Alfaomega LIBRO:Analisis clásico de estructuras, Autor: Jose Oscar Jarimillo Jimenez, Editorial: sede Manizales LIBRO: Analisis Estructural 8va Edicion, Autor: R.C.Hibbeler, Editorial: Pearson

Analisis estructural (Metodos energeticos)

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