razonamiento matemático tema 12 ecuaciones diofánticas SnIi2rm12 DESARROLLO DEL TEMA Problema Cinco hombres y un mono
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razonamiento matemático tema 12
ecuaciones diofánticas SnIi2rm12
DESARROLLO DEL TEMA Problema
Cinco hombres y un mono naufragan en una isla desierta, los hombres pasan todo el primer día recogiendo cocos. Por la noche uno de ellos despierta y desconfiado, decide separar su parte. Dividió los cocos en 5 montones y como sobraba un coco, se lo dio al mono. Poco después el segundo naufrago despierta y hace lo mismo. Al dividir los cocos en cinco montones volvió a sobrar un coco y también se lo dio al mono: Uno tras otro el tercero, cuarto y quinto náufragos hacen lo mismo. Por la mañana, al día siguiente, dividieron los cocos en cinco montones sin que sobrara ninguno. ¿Cuántos se habían recolectado inicialmente?
II. ECUACIÓN DIOFÁNTICA LINEAL
La ecuación diofántica ax + by = c tiene solución en los enteros si y sólo si d = mcd (a,b) es un divisor de c. Para resolver una ecuación diofántica se utilizan diversos criterios desde un simple tanteo hasta criterios de multiplicidad.
III. Multiplicidad A. Si N es múltiplo de n Si
° N = n ⇒ N = nk; k∈Z
° se lee múltiplo de n n Ejemplo: ° Si N = 5 N = 5k = {... –15, –10, –5, 0, 5, 10, 15, ...} ° Si N = 8 N = 8k = {... –24, –16, –8, 0, 8, 16, 24, ...}
B. Si N no es múltiplo de n ° ° N = n + rd ó N = n – re
I. ECUACIÓN DIOFÁNTICA
Se llama ecuación diofántica a cualquier ecuación algebraica, generalmente de varias variables, planteada sobre el conjunto de los números enteros (Z) o los números naturales (n), es decir, se trata de ecuaciones cuyas soluciones son números enteros. Un ejemplo de ecuación diofántica es: x+y=5 Esta ecuación tiene infinitas soluciones en los números reales. Como regla general, sin embargo las ecuaciones que aparecen en los problemas tienen restricciones que nos ayudan a limitarnos a un pequeño número de casos e incluso a una única solución. Por ejemplo en nuestra ecuación, si restringimos los posibles valores de x e y a los enteros positivos, tenemos 4 soluciones para (x,y): (1,4), (2,3), (3,2), (4,1).
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donde: rd + re= n rd: residuo por defecto re: residuo por exceso Ejemplo: °) 20 no es múltiplo de 6 (20 ≠ 6 20 6 20 6 24 4 18 3 -4 2 ° + 2 ⇒ 20 = 6 °–4 ⇒ 20 = 6 Donde: 2 + 4 = 6 Aplicación:
°–6 °+3⇒N=9 Si N = 9 ° + 11 ° – 1 ⇒ N = 12 Si N = 12
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Tema 12
ecuaciones diofánticas
iv. PRINCIPIO DE Multiplicidad
Ejemplos: ° =7 ° • 2(7) ° = 10 ° • 8( 10)
°+n °+n ° +... + n °=n ° 1. n Ejemplos:
°+8 °+8 ° • 8 ° + 15 ° + 15 ° + 15 ° = 15 ° • 15
V. PRINCIPIO DE Arquímedes
°–n ° = n ° 2. n
Ejemplos:
°–7 °=7 ° • 7 ° – 14 ° = 14 ° • 14
° Sea A × B = n ° Si A ≠ n ⇒ B = °⇒A= Si B ≠ n
° n ° n
Ejemplos: ° 4x = 5 °⇒x=° 4 ≠ 5 5
° = n; ° k∈Z 3. kn
PROBLEMAS RESUELTOS Problema 1 Un grupo de 20 caminantes entre hombres, mujeres y niños descubren un naranjo cuando ya la sed empezaba a hacerse sentir. El árbol tenía 37 naranjas que se reparten así: cada hombre come 6 naranjas, cada mujer una naranja y cada niño media naranja. ¿Cuántos niños había en el grupo? A) 5 niños B) 4 niños C) 6 niños D) 7 niños E) 9 niños San Marcos 2003 Nivel intermedio
Resolución: Sean: # de hombres # de mujeres
# de niños
b
a
c
c/u:6 naranjas c/u:1 naranja c/u:1/2 naranja
Como en total eran 20 los caminantes: a + b + c = 20 ... (I) Además el árbol tenía 37 naranjas: 1 6a + 1b + c = 37 .... (II) 2 Restando (I) de (II): 5a –
(×2)
1 c = 17 2
La primera solución es la que debemos tomar y las demás descartar debido a que el total de personas es 20.
Como en total se repartieron 973 diplomas:
∴ En el grupo había 6 niños
Se observa que: 77a + 35b + 18c = 973 123 123 123 ° ° ° 7 7 7
Respuesta: 6 niños
Entonces: "c" debe ser múltiplo de 7
Problema 2 En el último congreso internacional sobre educación se observó que algunos ponentes eran varones, otras mujeres y algunos niños, quienes plantearon algunos temas sobre dicha realidad; al finalizar la reunión se entregaron diplomas de diferentes instituciones a cada expositor: 77 diplomas a cada uno de los varones, 35 a cada mujer y 18 a cada niño por lo que se repartieron en total 973 diplomas. Se desea saber el número de expositores mujeres, si el número de ponentes en la reunión es el mínimo posible. A) 12
B) 11
C) 6
D) 9
+1 +1
Tema 12
⇒ b=10 +10
5
16
6
26
+10
77a + 35b + 18c = 973 ↓ Reemplazando: ⇒ 11a + 5b = 121 11
5b
–5
... esta solución no se
toma porque deben
+11 haber mujeres 6
11
E) 15
Respuesta: 11 mujeres Pre San Marcos 2008 Nivel difícil
6
Como se quiere que el número de expositores sea el menor posible, "a" debe tomar el mayor valor, "b" y "c" deben ser pequeños. Entonces tomamos c = 7.
∴ Asistieron 11 mujeres
⇒ 10a – c = 34 4
77a + 35b + 18c = 973
Resolución: Sean:
# de varones # de mujeres
# de niños
a
b
c
c/u: 77 diplomas
c/u: 35 diplomas
c/u: 18 diplomas
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Problema 3 Al comprar peras y manzanas a 4 y 7 soles respectivamente, nuestro gasto fue de 125 soles en total. Determine el número de frutas que se compró, si el producto del número de peras con el número de manzanas es el mayor posible.
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ecuaciones diofánticas
A) 26
B) 24
C) 30
D) 25
E) 29
125 4 1 31
Pre San Marcos 2009 Nivel difícil
Resolución: Sean: # de peras
# de manzanas
a
c/u: S/.7
Como el gasto fue de 125 soles: 4a + 7b = 125
–7
° 4a + (4a + 3b) = 4 +1
–7
° 4 ° ° 4 + + 3b = 4 + 1
–7
b=
b =
26
3
19
7
12
11
+4 +4
+4 5 15 Como se quiere que el producto del número de peras con el número de manzanas sea el mayor posible, eso ocurre cuando: a = 19; b = 7 ∴ Número de frutas = 19 + 7 = 26
° 3b = 4 + 1
b
c/u: S/.4
4a + 7b = 125
Trabajemos con múltiplos para encontrar una solución:
° 4 +1 3 ° 8 +1 =3 3
Respuesta: 26 frutas
Entonces:
PROBLEMAS de clase EJERCITACIÓN 1. Arturo compró un libro de S/.13, pero solo tiene monedas de S/.5 y el vendedor solo tiene monedas de S/.2 para dar vuelto. ¿De cuántas maneras diferentes podrá efectuar el pago si Arturo solo tiene 100 monedas? A) 46 B) 49 C) 50 D) 51 E) 47 2. Un grupo de personas conformado por adultos, jóvenes y niños gastó un total de 56 soles en la compra de entradas al teatro. Si el costo de las entradas es S/.5 por cada adulto, S/.2 por cada joven y S/.1 por niño, ¿cuántas personas como mínimo conformaban el grupo? A) 17 B) 16 C) 15 D) 13 E) 14 3. Si dos números suman 49 y uno es múltiplo de 5 y el otro de 6, halle el mayor de los dos números. A) 23 B) 24 C) 25 D) 30 E) 38
4. Si tengo una deuda de S/.100 y pago con monedas de S/.5 y S/.7, ¿cuántas monedas tengo? Considere que hay más monedas de S/.5 que de S/.7 A) 15 B) 18 C) 26 D) 20 E) 16 5. En un paseo escolar compuesto por 20 personas, entre profesoras y alumnos, se contaba con 37 soles, que se repartieron de la siguiente manera: cada profesor toma 6 soles; cada profesora, un sol y cada alumno, medio sol. ¿Cuántos alumnos fueron de paseo? A) 4 B) 6 C) 10 D) 8 E) 12
PROFUNDIZACIÓN 6. Con 88 soles se compran 39 frutas, ¿Cuántas manzanas se compró si cada manzana cuesta 2,4 soles, cada plátano 1,5 soles y cada naranja 3,2 soles? a) 10 b) 11 c) 12 d) 15 e) 16
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7. En una reunión de dos países asistieron 700 personas; se observa que del primer país los 2/5 son médicos, los 2/7 abogados y la onceava parte ingenieros. Determine con cuántas personas se presentó el otro país. A) 305 B) 315 C) 405 D) 415 E) 425 8. A un Congreso Internacional de Medicina asistieron 225 médicos entre europeos y americanos; se observó que entre los americanos los 3/8 eran cardiólogos, los 5/12 mujeres y los 2/15 peruanos. ¿Cuántos europeos asistieron a dicho congreso? A) 95 B) 125 C) 115 D) 90 E) 105 9. Rocío le debe S/.59 a Patricia, pero no tiene dinero, solo dispone de 40 tarjetas de recarga cuyo valor es de S/.12 cada una. Patricia acepta el pago con tarjetas pero solo tiene monedas de S/.5, exactamente 90 monedas, para dar vuelto.
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Tema 12
ecuaciones diofánticas
¿De cuántas maneras distintas Rocío puede pagar su deuda? A) 5 B) 9 C) 7 D) 8 E) 6
SISTEMATIZACIÓN 10. Alicia, al acercarse a pagar su cuenta que ascendía a S/.26, lo hace con monedas de S/.5 (solo tiene de este tipo) y le dan vuelto solo con monedas de S/.2. Si Alicia no tiene más de S/.100 y la cantidad de monedas de S/.2 que
Tema 12
tiene el vendedor no supera 30, ¿de cuántas maneras distintas puede realizarse la compra? A) 13 B) 10 C) 6 D) 8 E) 7 11. Un granjero gastó S/.1000 en comprar 100 animales entre cerdos, patos y pollos. Cada cerdo le costó S/.100; cada pato, S/.30; y cada pollo, S/.5. ¿Cuántos animales de cada clase compró el granjero? Dé como respuesta la mayor de dichas cantidades.
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A) 92 C) 93 E) 94
B) 96 D) 95
12. En una familia, todos los hijos tienen fechas de cumpleaños distintas, pero ocurre una situación peculiar para cada fecha: el triple del número del día aumentado en el quíntuplo del número del mes es igual a 100. ¿Cuántos hijos, como máximo, hay en dicha familia? A) 6 B) 3 C) 5 D) 4 E) 2
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