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FUNDACIÓN UNIVERSITARIA DEL ÁREA ANDINA INGENIERÍA DE SISTEMAS ESTADISTICA Y PROBABILIDAD

DOCENTE: OSCAR TARAZONA DURAN ESTUDIANTE: LUIS ALBERTO YATE CLAROS 20191_012 MAYO DE 2019

EXPERIMENTO DE LA TIENDA DE ROPA A&B PARTE I DISTRIBUCIÓN BINOMIAL La distribución de probabilidad binomial es una distribución de probabilidad discreta que tiene muchas aplicaciones. Está relacionada con un experimento de pasos múltiples al que se le llama experimento binomial, que tiene las cuatro propiedades siguientes: 

P1. El experimento consiste en una serie de 𝑛 ensayos idénticos.



P2. En cada ensayo hay dos resultados posibles. A uno de estos resultados se le llama éxito y al otro se le llama fracaso.



P3. La probabilidad de éxito, que se denota 𝑝, no cambia de un ensayo a otro. Por ende, la probabilidad de fracaso, que se denota 1−𝑝, tampoco cambia de un ensayo a otro.



P4. Los ensayos son independientes.

CONTEXTO. Considere las decisiones de compra de los próximos tres clientes que lleguen a la tienda de ropa A&B. Situación 1 A continuación, verifique que el experimento de las tres decisiones de compra en la tienda A&B es un experimento binomial. Es decir, observe las propiedades P1 a P4 descritas anteriormente y justifique en cada espacio por qué este experimento es binomial de acuerdo con cada propiedad.

TABLA 1. PROPIEDADES DEL EXPERIEMENTO DE A&B. PROPIEDAD P1 P2 P3 P4

JUSTIFICACIÓN, ¿POR QUÉ EL EXPERIMIENTO DE A&B CUMPLE CADA PROPIEDAD? Se puede realizar este ensayo con n clientes. Existen dos posibles resultados, que el cliente compre algo en la tienda o que no compre. Al ser eventos independientes la probabilidad de ocurrencia no cambia, por tanto, no se afectan ni p (éxito) ni q (fracaso). Los ensayos son independientes, pues la decisión de compra de cada cliente no afecta al otro.

El siguiente diagrama de árbol nos permite advertir que el experimento de observar a los tres clientes para ver si cada uno de ellos decide realizar una compra tiene ocho posibles resultados. Si 𝑆 denota éxito (una compra), y 𝐹, fracaso (ninguna compra), los 8 resultados son: Diagrama de árbol para el experimento de la tienda de ropa A&B.

Advierta, que 𝑥, la variable aleatoria discreta para este experimento significa el número de clientes que realizan una compra, es decir, 𝑥=𝑛u𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑛 𝑢𝑛𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑎.

Advierta también, que 𝑥, puede tomar 4 valores diferentes, es decir, los valores de 𝑥=0,1,2 𝑦 3. Por ejemplo, 𝑥=2, significa que interesan los resultados experimentales en los que haya dos éxitos, es decir, dos compras, en los tres ensayos. Situación 2 Usted sabe, que por ser este un experimento binomial, ya que presenta sus propiedades, basta conocer los valores de 𝑛 𝑦 𝑝, y utilizar la siguiente ecuación para calcular la probabilidad de 𝑥 éxitos en 𝑛 ensayos. 𝑃(𝑥)= (𝑛 𝑥) 𝑝𝑥(1−𝑝) 𝑛−𝑥 De acuerdo con la experiencia (posiblemente de algún estudio del año anterior), el gerente de la tienda estima que la probabilidad de que un cliente realice una compra (éxito) es 0,25. 1) De acuerdo con esta información, calcule las probabilidades para cada valor de la variable aleatoria 𝑥. Para esto, complete l tabla 2. P ( x ) =n p x∗¿ x P=0,25 n=3 q=1− p=1−0,25 q=0,75 P ( x=0 )=

( nx)∗p q x

3 0 3−0  P ( x=0 )= ∗0,25 ¿ 0,75 0

()

¿ 3 ∗0,250 ¿ 0,753 0

()

¿ 1∗1∗0,421875

n−x

¿ 0,4218

( 31 )∗0,25 ¿ 0,75

 P ( x=1 )=

2

¿ 3∗0,25∗0,5625 ¿ 0,421875  P ( x=2 )=

(32 )∗0,25 ¿ 0,75 2

1

¿ 3∗0,0625∗0,75 ¿ 0,140625  P ( x=3 )=

(33 )∗0,25 ¿ 0,75 3

0

¿ 1∗0,015625∗1 ¿ 0,015625 TABLA 2. X 0 1 2 3 TOTAL

ACIERTOS 1 3 3 1 8

P(X) 0,4218 0,421875 0,140625 0,015625 1

Para este caso debe mostrar cómo encontró los resultados. 2) Represente gráficamente los valores de la variable aleatoria y sus respectivas probabilidades.

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD 0.45 0.42 0.4

0.42

PROBABILIDAD

0.35 0.3 0.25 0.2 0.14

0.15 0.1 0.05 0

0.02 0

1

2

3

PUNTO MUESTRAL

3) ¿Cuántos clientes se espera que realicen una compra? RTA: Se espera que 3 clientes realicen una compra. 4) Calcule la desviación estándar para este experimento y escriba su interpretación en el contexto del experimento. σ =√ npq n=¿ intentos p=éxito q=fracaso σ =√ 3∗0,25∗0,75 ¿ 0,75

PARTE II CONTEXTO. Considere las decisiones de compra de los próximos 5 clientes que lleguen a la tienda de ropa A&B. 1) Explique por qué este experimento es binomial. RTA: Se considera que este es un experimento binomial porque satisface las cuatro propiedades que lo justifican, de la siguiente manera:

PROPIEDAD

JUSTIFICACIÓN, ¿POR QUÉ EL EXPERIMIENTO DE A&B CUMPLE CADA

P1

PROPIEDAD? Se puede realizar este ensayo con n clientes.

P2

Existen dos posibles resultados, que el cliente compre algo en la tienda

P3

o que no compre. Al ser eventos independientes la probabilidad de ocurrencia no cambia,

P4

por tanto, no se afectan ni p (éxito) ni q (fracaso). Los ensayos son independientes, pues la decisión de compra de cada cliente no afecta al otro.

2) Elabore un diagrama de árbol que muestre todos los resultados posibles del experimento.

3) Calcule las probabilidades para cada valor de la variable aleatoria 𝑥. Para esto, complete la tabla TABLA 3.

P ( x=0 )= n ∗p x q n−x x

()

P=0,25 n=5 q=0,75 

P ( x=0 )= 5 ∗0,250∗0,755=0,2373 0



P ( x=1 )=



P ( x=2 )= 5 ∗0,252∗0,753=0,2636 2



P ( x=3 )=



P ( x=4 )= 5 ∗0,25 4∗0,751 =0,0146 4



P ( x=5 )=

()

( 51 )∗0,25 ∗0,75 =0,3955 1

4

()

(53 )∗0,25 ∗0,75 =0,0878 3

2

()

X 0 1 2 3 4 5 TOTAL

(55 )∗0,25 ∗0,75 =0,00097

ACIERTOS 1 5 10 10 5 1 32

5

0

P(X) 0,2373 0,3955 0,2636 0,0878 0,0146 0,00097 1

4) Represente gráficamente los valores de la variable aleatoria y sus respectivas probabilidades.

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD 0.45 0.4

0.4

PROBABILIDAD

0.35 0.3

0.26

0.24 0.25 0.2 0.15 0.09

0.1 0.05 0

0.01 0

1

2

3

4

PUNTO MUESTRAL

5) ¿Cuántos clientes se espera que realicen una compra? RTA: Se espera que 5 clientes realicen una compra. 6) Calcule la desviación estándar para este experimento y escriba su interpretación en el contexto del experimento. σ =√ npq n=¿ intentos p=éxito q=fracaso σ =√ 5∗0,25∗0,75 ¿ √ 0,9375 ¿ 0,9682

0 5