Tarea 1
Ricardo Alejos Cálculo Tensorial Tarea 01 Ejercicio 1 Evalúe la expresión . Esta expresión se puede contraer por la p
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Ricardo Alejos Cálculo Tensorial
Tarea 01 Ejercicio 1 Evalúe la expresión
.
Esta expresión se puede contraer por la propiedad de sustitución de la delta de Kronecker (
) en los pares con índices repetidos. Así entonces, podemos reacomodar los términos para
explicitar la aplicación de la propiedad mencionada. ⏟
⏟
Note que nuevamente podemos hacer una reducción por la propiedad de sustitución de la delta de Kronecker para dejar una sola delta con sus índices repetidos.
Dado que tiene sus índices repetidos, por el convenio de suma de Einstein, ésta representa una suma.
Ejercicio 2 Evalúe la expresión
.
Primero note que la expresión tiene el índice
repetido, de modo que se trata de una suma
de tres términos que contienen el símbolo de Levi-Civitá.
El símbolo de Levi-Civitá (
), se define de tal forma que para cualquier permutación par de
es igual a . Para cualquier permutación impar del mismo conjunto hará que valga 1
. Y en
Ricardo Alejos Cálculo Tensorial el resto de los casos será igual a cero. Nótese que el resto de los casos son prácticamente aquellos que repiten algún número del conjunto
. De modo que las sumas darán como resultado:
Ejercicio 3 Evalúe la expresión
.
Lo primero que aplicaremos será la sustitución de la delta de Kronecker para reducir la expresión a solo un símbolo de Levi-Civitá:
Ahora tenemos un caso muy similar al ejercicio anterior:
Ejercicio 4 Evalúe la expresión
.
Dado que la expresión tiene el índice repetido, indica una suma de tres términos por el convenio de suma de Einstein:
Recordando la definición del símbolo de Levi-Civitá, podemos sustituir esta suma de términos por sus respectivos valores dados por la definición:
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Ejercicio 5 Utilizando la propiedad de antisimetría total de “propiedad cíclica” (
, demuestre que éste satisface la
).
Note que la propiedad cíclica menciona la igualdad ante cualquier rotación de índices de derecha a izquierda. Esto mismo implica la obtención de una permutación par de cualesquiera índices que contenga la expresión, pudiéndose presentar entonces tres casos: 1. Si los índices son una permutación par de
, al aplicar una rotación de índices se
obtendrá otra permutación par y por lo tanto, en ambos casos, el símbolo de Levi-Civitá tendrá valor de . 2. Si los índices son una permutación impar de
, al aplicar una rotación de índices se
obtendrá otra permutación impar y por lo tanto, en ambos casos, el símbolo de LeviCivitá tendrá valor de
.
3. Si los índices no caen en ninguno de los dos casos anteriores, al aplicar una rotación de derecha a izquierda tampoco obtendremos permutaciones pares ni impares de
y
por lo tanto, en ambos casos, el símbolo de Levi-Civitá tendrá valor de . Así bien, queda demostrada la propiedad cíclica de
.
Ejercicio 6 Evalúe la expresión
:
Utilizando la propiedad cíclica podemos hacer que ambos factores de la expresión queden idénticos:
Ahora es posible utilizar el resultado del ejercicio visto en clase (
3
):
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Ejercicio 7 Exprese
en términos de la delta de Kronecker.
Podemos primero aplicar la propiedad de antisimetría de
haciendo un cambio en los ín-
dices de uno de los factores:
Ahora aplicamos la propiedad cíclica con el segundo factor y obtenemos:
Aplicando nuevamente el ejercicio visto en clase (el cual comprueba que
), en-
contramos que:
Ejercicio 8 Si las componentes (cartesianas) del vector
son las
¿qué significa la expresión
? Por el convenio de la suma de Einstein, sabemos que
. Que es lo
mismo que la suma de los cuadrados de las componentes del vector ⃗.
Ejercicio 9 Si las componentes (cartesianas) del vector ¿qué significado tiene la expresión
y las del vector
son las
,
?
√ La expresión
son las
√
puede también escribirse en notación vectorial de la siguiente manera: ‖ ‖‖ ‖
Ya que, respectivamente
y‖ ‖
√
dicha operación siempre es 1 para cualesquiera vectores 4
√ y
. El resultado de
ya que esta operación es equivalente
Ricardo Alejos Cálculo Tensorial a hacer el producto punto de los vectores unitarios en las direcciones
y . También, recurriendo a
la definición del producto punto, puede ser visto como el coseno del ángulo formado por los dos vectores :
‖ ‖‖ ‖
Ejercicio 10 Encuentre la traza de la matriz [
. ]
[
]
La traza de una matriz se puede escribir como es lo mismo que
, que por el convenio de suma de Einstein
. En este caso en específico:
Ejercicio 11 Haciendo referencia a la matriz
, evalúe la expresión
Por el convenio de suma de Einstein, la expresión
.
puede escribirse como una suma de
nueve términos:
Que es lo mismo que la suma de los cuadrados de todos los elementos de la matriz, es decir:
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Ejercicio 12 Haciendo referencia a la matriz
, evalúe la expresión
.
Expandamos primero la suma:
Y sustituimos con los valores de la matriz:
Ejercicio 13 Si
y
, calcule
.
Primero expandimos la suma de nueve términos que sale a razón del convenio de Einstein.
Ahora aplicamos la propiedad
Intercalamos los índices y y
para eliminar varios términos de esta suma.
del lado derecho de la igualdad, y aplicando las propiedades de
encontramos que
Al sumar las ecuaciones
y
obtenemos
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Ejercicio 14 Si
demuestre que
es simétrico.
La demostración será más rápida en notación matricial. [ [
]
]
[
[
]
[
]
[
] ]
Ejecutamos la suma y encontramos la matriz correspondiente a [
]
Note ahora que
[
.
]
y por lo tanto es simétrico.
Ejercicio 15 Si
demuestre que
es simétrico.
Siguiendo una estrategia similar a la del ejercicio anterior, representamos la igualdad propuesta como una suma resta de matrices. [ [
]
]
[
[
]
[
]
[
] ]
Y ahora ejecutamos la resta, encontramos que
Note que como
[
]
[
]
[
]
[
]
podemos decir entonces que es antisimétrico.
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Ejercicio 16 Demuestre que si La expresión
es un objeto antisimétrico, entonces
.
es una suma de nueve términos de los cuales tres son cero y tres positi-
vos y otros tres negativos. Los últimos seis términos se eliminan entre sí al ejecutar la suma y por lo tanto
.
Ejercicio 17 Usando la expresión en notación tensorial para el producto muestre que
vista en clase, de-
.
El producto cruz puede expresarse en notación tensorial
̂ . Sabemos que
es antisimétrico, y utilizando el resultado del ejercicio anterior podemos afirmar claramente que ̂
̂
.
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