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SEÑALES Y SISTEMAS 203042A761

UNIDAD 3: TAREA 3 – ANÁLISIS EN EL DOMINIO DEL TIEMPO

HENRY JOHEL ORJUELA GONZALEZ

GRUPO 203042_29

FREDDY VALDERRAMA TUTOR

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍA E INGENIERÍA 2020

INTRODUCCION

En este tema se desarrollarán las técnicas básicas para describir la dinámica tanto de los procesadores como de las señales digitales en el dominio del tiempo. Entre los aspectos más importantes está la convolución, la cual nos va a permitir determinar la señal de salida Y[n] y de cualquier procesador LTI (lineal invariante con el tiempo) para todo tipo de la señal de entrada X[n] siempre y cuando conozcamos la respuesta de procesador a la señal de entrada impulso unitario. La convolución tiene lugar íntegramente en el dominio del tiempo, sin necesidad de ningún tipo de consideraciones en el dominio de la frecuencia. La convolución está íntimamente relacionada al principio de superposición, puesto que modela una señal como suma de términos impulsionales ponderados y desplazados en el tiempo. Puesto que un procesador LTI cumple el principio de superposición la señal de salida será la suma de las respuestas a cada una de las entradas modeladas como una función impulso.

TAREA 3 – ANÁLISIS EN EL DOMINIO DEL TIEMPO

1. Definición de conceptos: estudiando el libro de (Ambardar), El estudiante investiga de manera individual y da respuesta a las siguientes preguntas teóricas:

a- Explique ¿qué es la transformada de Laplace? De un (1) ejemplo de uso y/o aplicación en la ingeniería. R: un determinado fenómeno físico que describimos por medio de un modelo matemático. Dicho modelo estará formado por una o varias ecuaciones diferenciales (ordinarias o en derivadas parciales) con sus correspondientes condiciones iniciales y/o de contorno. El problema consiste en resolver dicho modelo matemático, es decir, resolver una ecuación diferencial. Es ahora cuando intervienen las transformadas integrales, en particular la transformada de Laplace, para transformar dicha ecuación diferencial en otra ecuación (algebraica o también diferencial), la cual va a resultar más fácil de resolver que la ecuación diferencial de partida. De esta forma transformamos nuestro problema original complicado en un problema más sencillo. Resolvemos el problema transformado y luego calculamos la transformada inversa de la solución del problema transformado con la esperanza, claro está, de que esta solución inversamente transformada sea la solución de nuestro problema original. b- ¿Qué es función de transferencia? R: Una función de transferencia es un modelo matemático que a través de un cociente relaciona la respuesta de un sistema (modelada o señal de salida) con una señal de entrada o excitación (también modelada). En la teoría de control, a menudo se usan las funciones de transferencia para caracterizar las relaciones de entrada y salida de componentes o de sistemas que se describen mediante ecuaciones diferenciales lineales e invariantes en el tiempo. c- ¿Cómo se obtienen los polos y los ceros de una función de transferencia? R: Las raíces del denominador son denominadas los polos de la función de transferencia. Las raíces del numerador son denominadas los ceros de la función de transferencia (estos valores de “s” hacen a la función de transferencia igual a cero). Factorizando numerador y denominador se tiene e igualando a cero cada uno de ellos se obtienen dichos valores.

d- Explique el método de descomposición en fracciones simples. R: El método de descomposición en fracciones simples consiste en descomponer un cociente de polinomios en una suma de fracciones de polinomios de menor grado. Se utiliza principalmente en cálculo integral. El requisito más importante es que el grado del polinomio del denominador sea estrictamente mayor que el del numerador. Las fracciones parciales se utilizan para ayudar a descomponer expresiones racionales y obtener sumas de expresiones más simples. Hay tres casos: 1) Descomposición en fracciones parciales con factores lineales distintos. 2) Descomposición en fracciones parciales con factores lineales repetidos. 3) Descomposición en fracciones parciales con un factor cuadrático irreducible.

FACTORES LINEALES DISTINTOS 1. Observar si el grado de la función del numerador es menor que la del denominador. Si es mayor debemos realizar una división larga para bajar el grado de la función del numerador. 2. Factorizar el denominador para obtener un producto de factores lineales, , o factores cuadráticos irreductibles, 3. Observar de que tipo son: descomposición en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal o fracciones parciales con un factor lineal, lineal repetido, para acomodarlos de la forma siguiente:

e- Explique la utilidad de la transformada de Laplace en los sistemas. R: El comportamiento dinámico de los procesos en la naturaleza puede representarse de manera aproximada por los modelos de ecuaciones diferenciales lineales y con comportamiento dinámico lineal. La transformada de Laplace es una herramienta matemática muy útil para el análisis de sistemas dinámicos lineales.

La transformada de Laplace permite resolver ecuaciones diferenciales lineales mediante la transformación en ecuaciones algebraicas con lo cual se facilita su estudio. Una vez que se ha estudiado el comportamiento de los sistemas dinámicos, se puede proceder a diseñar y analizar los sistemas de control de manera simple.

1

Ejercicio 1- Transformada de Laplace: Desarrolle las siguientes transformadas de Laplace de manera análitica utilizando la tabla de transformadas de la página 331 del libro guía y posteriormente verifique su respuesta con el uso de la herramienta online que se encuentra en la siguiente página web:

a) x ( t )=b∗t 2 .u ( t ) RTA: Sustituyo la constante individual b=4

L=[ 4.t 2 .u(t) ] Saco la constante

4 L [ t 2 u (t)] Aplico la formula n! (n +1)

5

l=4

2! (2+1 )

5

=4

2! 53

b) x ( t )=cos ⁡(b∗t ). u ( t ) RTA: Sustituyo la constante individual b=4 x ( t )=cos 4 t .u (t) Aplico formula L=cos k t=

s s + k2 2

L=[ cos ( 4 t ) u (t) ] =

5 5 = 2 2 5 +4 5 +16 2

c) x ( t )=t a∗e−4∗a∗t .u ( t ) (ítem grupal) RTA: Sustituyo la constante grupal a=5

L=[ t s . e−4.5 .t . u(t ) ] L=[ t s . e−20t . u(t ) ] Aplicamos el primer teorema de traslación

L [ e at f (t) ]=L [ f (t) ]|s → s−a L [ t 5 ]|s → s+20

Aplicando la siguiente formula L [ t n ]= 5! (s +1)

s ¿

=

n! (n+1)

s

5! |s → s+20 s6

6! ( s+20)6

2

Ejercicio 2 – Función de transferencia (polos y ceros): Usando como guía los ejemplos 11.4 y 11.5 de las páginas 338 y 339 del libro guía Ambardar, determine la función de transferencia, encuentre y dibuje los polos y ceros del siguiente sistema. y ' ' ' ( t ) + 4 y '' ( t ) + b y' ( t ) + 4 y (t)=ax ' ' ( t ) +5 x ' ( t )

posteriormente verifique sus respuestas diseñando un script en Matlab, Octave o Scilab y anexando el resultado junto con el script (práctica). A continuación, se encuentra un código guía desarrollado en el software Matlab que le servirá de apoyo para la parte práctica del ejercicio 2.

Nota: este código está diseñado para un sistema diferente al que ustedes deben desarrollar en esta actividad.

Los códigos y gráficas deben ir marcadas con el nombre del estudiante RTA: y ' ' ' ( t ) + 4 y '' ( t ) + b y' ( t ) + 4 y (t)=ax ' ' ( t ) +5 x ' ( t )

Sustituimos constantes a=5 y b=4 y ' ' ' ( t ) + 4 y '' ( t ) + 4 y ' ( t ) +4 y (t )=5 x '' ( t ) +5 x ' ( t ) Aplicamos propiedad de la derivada s3 Y ( s )+ 4 s2 Y ( s )+ 4 sY ( s )+ 4 Y ( s )=5 s2 X ( s ) +5 sX (s) Aplicamos función de transferencia y sustituimos H ( s )=

Y ( s) 5 s 2+ 5 s = 3 X (s) s + 4 s2 + 4 s +4

Aplico la siguiente fórmula para conocer CEROS identificando a, b y c par posteriormente sustituir y hallar s: CEROS= −b ± √ b2−4 ac s= 2a 5 s 2 +5 s=0 a=5 b=5 c=0 s=

−5 ± √5 2−4∗5∗0 2(5)

s=

−5 ± √ 25 10

s 1=

−5+5 =0 10

s 2=

−5−5 =−1 10

Aplico la siguiente fórmula para conocer POLOS utilizando el método de NewtonRaphson POLOS= x n +1=x n−

f ( xn ) f ´ ( xn )

Derivo: d =s 3+ 4 s2 +4 s +4 ds d =3 s2 +8 s+ 4+0 ds Se realiza apoyo con calculadora online

3

Ejercicio 3 – Transformada inversa de Lapace: Usando como guía el ejemplo 11.6 de la página 342 del libro guía Ambardar, determine analíticamente h(t), sabiendo que: ítem grupal

H (s)=

a ( s −as+ 4 ) ( s +a ) 2

Nota: Para la solución de este ejercicio, se deben desarrollar fracciones parciales.

RTA: H ( s )=

a (s −as+ 4)( s+a) 2

Sustituto la constante grupal a=5 H ( s )=

5 (s −5 s+ 4)( s+5) 2

Separamos en fracciones parciales de la siguiente forma: X ( s )=

L−1=

−5 5 5 + + 18(s−1) 54(s+5) 27 (s−4)

5 5 5 L−1= L−1 18 ( s−1 ) 54 ( s+ 5 ) 27(s−4)

Separo las constantes

5 5 5 ∗1 ∗1 ∗1 18 54 27 L−1= L−1= L−1 ( s−1 ) ( s +5 ) (s−4) 5 −1 1 5 −1 1 5 −1 1 L = L = L 18 ( s−1 ) 54 ( s +5 ) 27 (s−4) Aplico formula de transformada inversa de Lapace: L−1=

1 =e at ( s−a )

5 −1 1 5 L = = et 18 ( s−1 ) 18 5 −1 1 5 L = = e−5 t 54 ( s+5 ) 54 5 −1 1 5 L = e4 t 27 (s−4) 27

Unifico resultados:

−1

L =

5 −5 t 5 −5 t 5 4 t = e+ e + e 54 27 ( s −5 s +4)(s+ 5) 18 2