UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍA E INGENIERÍA EJERCICIOS, GRÁFIC
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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍA E INGENIERÍA EJERCICIOS, GRÁFICAS Y PROBLEMAS TAREA 3: DERIVADAS
INGENIERIA INDUSTRIAL
CÁLCULO DIFERENCIAL TAREA 3 DERIVADAS
ALUMNO: LEONARDO PALMA FORERO
TUTOR: ANGELA DUBELLY MONTOYA
GRUPO: 638
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD CEAD IBAGUE ZONA SUR 08/05/2020
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INTRODUCCIÓN
En calculo diferencial, las derivadas es un concepto muy importante, ya que nos permite poder hallar la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto dado, las derivadas tienen múltiples aplicaciones como lo es en la física, química, carreras de administración y demás, es por eso que su estudio es de vital importancia para poder conocer sus diferentes aplicaciones y además por medio de este trabajo se desea poder establecer los distintos conceptos que se han abordado en el curso como lo son los diferentes métodos de derivación, regla de la cadena y demás que nos permite poder logar una correcta derivada, estos cálculos serán verificados con Geogebra, con el fin de poder comprobar que la derivada es la pendiente de la recta tangente a cualquier punto de una función dada y finalmente se desea poder establecer la importancia de la derivada por medio de la aplicación a diferentes ejercicios que se nos pueden llegar a presentar en nuestro diario vivir, como lo es el cálculo de la velocidad y la aceleración, como también lo es el cálculo de los máximos y los mínimos de una función, los cuales los podemos utilizar ya en la parte real como las alzas y las caídas de algún producto o bien en general.
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1. De acuerdo con la definición de derivada de una función f ´ ( x )=lim h →0
f ( x+ h )−f ( x) h
Calcular la derivada de las siguientes funciones siguiendo el proceso del límite: EJERCICIOS ESTUDIANTE 3 f ( x )=2 x 2−10 x Para determinar la derivada de la función f (x) se debe tener en cuenta lo siguiente f ( x )=2 x 2−10 x Y f ( x +h ) =2( x+ h)2−10(x +h) Ahora si lo reemplazamos en la definición de derivada de una función tenemos que f ´ ( x )=lim h →0
f ( x+ h )−f ( x ) h
2( x+ h)2−10 ( x +h ) −[2 x 2−10 x ] f ´ ( x )=lim h h →0 f ´ ( x )=lim
2 ( x 2 +2 xh+ h2 )−10 x−10 h−2 x 2 +10 x h
f ´ ( x )=lim
2 x 2+ 4 xh+ 2h 2−10 x −10 h−2 x 2+10 x h
h →0
h →0
4 xh+2 h2−10 h ( ) f ´ x =lim h h →0 f ´ ( x )=lim h →0
h(4 x+2 h−10) h
f ´ ( x )=lim 4 x +2 h−10 h →0
f ´ ( x )=lim 4 x + lim 2 h−lim 10 h →0
h →0
h →0
f ´ ( x )=4 x +2 ( 0 ) −10 f ´ ( x )=4 x + 0−10 f ´ ( x )=4 x−10 Por tanto, la derivada de la función f ( x )=2 x 2−10 x es f ´ ( x )=4 x−10
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En los ejercicios 2, 3 y 4 calcule la derivada de las siguientes funciones aplicando las reglas Ejercicio 2 Función f ( x )=(1+ √ x)( x−x 3) Para determinar la derivada de la función f (x) debemos tener en cuenta que se debe aplicar la derivada de un producto, es decir, f ' ( x )=g' ( x ) k ( x )+ g ( x ) k ' (x ) Donde se tiene que g ( x )=1+ √ x y k ( x)=x−x 3, para esto entonces se debe calcular inicialmente la derivada de la función g( x ), teniendo en cuenta que esta puede ser reescrita de la siguiente manera: g ( x )=1+ √ x =1+ x
1 2
Entonces para determinar su derivada se tiene que aplicar la fórmula que nos dice que si f ( x )=a x m entonces su derivada esta dada por f ' ( x )=a (m x m−1 ), que la derivada de una constante en este caso 1 es cero y por último que la derivada de una suma es la suma de sus derivadas, de ahí se tiene que: 1 ' 2
g ( x )= ( 1 ) + ( x ) '
'
(
g' ( x )=0+
1
1 2 −1 x 2
)
1
1 −1 g' ( x )= x 2 2 1 g' ( x )= x 2 g' ( x )=
1 2x
g' ( x )=
−1 2
1 2
1 2 √x
Ahora será necesario determinar la derivada de la función k ( x )=x−x 3 donde se aplica que la derivada de una diferencia es la diferencia de sus derivadas y además de que la derivada de x es 1 y que si f ( x )=a x m entonces su derivada esta dada por f ' ( x )=a (m x m−1 ), entonces se tiene que
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k ' ( x )=( x )' −(x3 )' k ' ( x )=1−3 x 3−1 k ' ( x )=1−3 x 2 k ' ( x )=1−3 x 2 Como ya se hallaron las dos derivadas entonces para determinar la derivada de la función f (x) solo será necesario reemplazar los valores en la formula de la derivada del producto así f ' ( x )=g' ( x ) k ( x )+ g ( x ) k ' (x ) f ' ( x )= f ' ( x )= f ' ( x )=
1 2 √x
( x −x3 )+(1+ √ x)(1−3 x2 )
x−x 3 +1−3 x 2 + √ x−3 x 2 √ x 2√ x x 2 √x
−
x3 2√x
+1−3 x 2 + √ x−3 x2 √ x
x2 x3 f ' ( x )= √ − +1−3 x 2 + √ x−3 x2 √ x 2 √x 2 √ x f
'
x ( x ) x2 x √ ( x )= − +1−3 x 2+ √ x−3 x 2 √ x 2 √x
2 √x
√ x √ x x2 √ x √ x ( ) f x= − +1−3 x 2 + √ x−3 x2 √ x(1) 2 √x 2 √x '
√ x x2 √ x 2 ( ) f x= − +1−3 x 2 + √ x −3 x 2 √ x 2 2 2
()
'
2
2
√ x x √ x +1−3 x 2 + x − 6 x √ x ' f ( x )= − √ 2 2 2 2
√ x 7 x √ x +1−3 x 2 + x f ( x )= − √ 2 2 '
√ x −7 x ' f ( x )= 2
2
√ x +1−3 x 2+ x √
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Por
tanto,
√ x −7 x ' f ( x )= 2 .
la 2
derivada
de
√ x +1−3 x 2+ x √
la
función
f ( x )=(1+ √ x)( x−x 3)
esta
dada
por
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Ejercicio 3 Función f ( x )=
2 x−x 3 x ( 1−x ) x (1−x )( 1+ x ) x ( 1−√ x )( 1+ √ x ) (1+ x ) = = = 1+ √ x 1+ √ x 1+ √ x 1+ √ x
f ( x )=x ( 1−√ x ) ( 1+ x )=( x −x √ x ) ( 1+ x )=x + x 2−x √ x−x 2 √ x Luego f ( x )=x + x 2−x √ x−x 2 √ x Para poder determinar la derivada de la función f (x) se debe aplicar que la derivada de una suma o una diferencia es la suma o la diferencia de sus derivadas, también se debe tener en cuenta que si f ( x )=a x n entonces f ' ( x )=a ( n ) x n−1, por otro lado se aplica que si f ( x )= √ x=x 1 /2 y por último se tiene en cuenta la derivada de un producto, teniendo esto claro vamos a tener que: '
'
f ' ( x )=( x )' + ( x2 ) −( x √ x ) − ( x2 √ x ) '
'
'
1 '
2 '
'
2 '
'
2
f ( x )=( x ) + ( x ) −( ( x ) √ x+ x ( √ x)' )−( ( x ) √ x+ x ( √ x) ') 2 '
1 2
1 '
2 '
1 2
2
f ( x )=( x ) + ( x ) −(( x ) √ x + x (x )')−( ( x ) √ x + x ( x )' ) '
1−1
f ( x )=1 x
2−1
+2 x
[
− 1x
1−1
(
[
( )]
[
1
1 ' 0 1 0 f ( x )=1 x +2 x − 1 x √ x+ x x 2 f ' ( x )=1 ( 1 )+ 2 x− 1(1) √ x + x
[
f ' ( x )=1+2 x−
1
f ' ( x )=1+2 x−√ x−
x 2x x
2x f ' ( x )=1+2 x−√ x−
1 2
−1 2
x 2√x
[
− 2x
1
][
2x
1 2
]
x2 2x
1 2
(1)−2 x √ x−
2
( )] 1 x 2
1
x2 (1) 2√ x
−1 2
( )] 1
2x2
x2
− 2 x √x+
(
√x+x
− 2 x √ x+ x 2
1 2
−2 x √ x− 1 2
[
( )] [ 2x
√ x+
)]
1
1 −1 1 −1 √ x + x x 2 − 2 x 2−1 √ x+ x 2 x 2 2 2
)]
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f ' ( x )=1+2 x−√ x−
√ x −2 x √ x− x2 √ x 2√x √x 2√x √x x
( )
( )
2
x √x x √x ' f ( x )=1+2 x−√ x− −2 x √ x− 2x 2x x x x f ' ( x )=1+2 x−√ x(1)− √ −2 x √ x (1)− √ 2 2 f ' ( x )=1+2 x−√ x
( 22 )− √2x −2 x √ x( 22 )− x √2 x
f ' ( x )=1+2 x−
2 √ x √ x 2(2 x √ x) x √ x − − − 2 2 2 2
f ' ( x )=1+2 x−
2 √ x √ x 4 x√ x x √x − − − 2 2 2 2
f ' ( x )=1+2 x−
3 √ x 5 x √x − 2 2
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Ejercicio 4 Función 2x
f ( x )=( x3 +1 ) . ( 3 x )3 Para poder determinar la derivada de la función f (x) se debe aplicar la derivada de un producto, pero también se debe tener en cuenta que la función está dada por el producto de 2x dos funciones compuestas g ( x )=( x 3+ 1 ) y por el otro lado h ( x )=( 3 x )3, es por este motivo que para determinar la derivada de estas funciones será necesario tener en cuenta la regla de la cadena, entonces se tiene que la derivada está dada por: f ' ( x )=[ ( x 3 +1 ) Por la regla de la cadena f ' ( x )=[ ( x 3 +1 )
2x '
2x
3
2x '
3
2x
] ( 3 x ) +( x +1 ) ( 3 ( 3 x ) ( 3 x ) ) 3
3
'
Para determinar la derivada de [ ( x 3 +1 )2 x ] se tiene que 2x
3
2x
( x 3 +1 ) =eln ( ( x +1) ) =e 2 x ln ( x +1) 3
Derivando por la regla de la caden 2x '
[ ( x +1 ) ] =e 3
3
2 x ln ( x +1 )
( 2 xln ( x3 +1 ) )
'
Ahora derivando por la regla del producto 2x '
[ ( x +1 ) ] =e 3
3
2 x ln ( x +1 )
'
3
'
3
( ( 2 x ) ln ( x +1 )+ 2 x (ln ( x +1 ) ) )
Aplicando la regla de la cadena de nuevo 2x '
2 x ln ( x 3+1 )
[ ( x +1 ) ] =e 3
(
( 2 x )' ln ( x 3+1 ) + 2 x
(
2 ln ( x +1 ) + 2 x
( x 1+1 )( x +1) ' ) 3
3
Simplificando 2x '
2 x ln ( x 3+1 )
[ ( x +1 ) ] =e 3
3
3 '
] ( 3 x ) +( x +1 ) [ ( 3 x ) ]
( x 1+1 )3 x ) 2
3
2
'
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2x Teniendo en cuenta que ( x 3 +1 ) =e2 xln ( x +1 )[ ( x +1 ) 3
3
3
2x '
3
[ ( x +1 ) ] =2 ( x +1 )
2x
ln ( x 3+ 1 ) +6 x3 ( x 3 +1 )
3
2x '
3
2x
3
2x '
3
2 x−1
[ ( x +1 ) ] =2 ( x +1 ) [ ( x +1 ) ] =2 ( x +1 )
2x
2x '
] = ( x +1 ) 3
2x
( x 1+1 ) 3
2 x−1
ln ( x 3+ 1 ) +6 x3 ( x 3 +1 )
( ( x 3 +1 ) ln ( x3 +1 ) +3 x 3 )
Agrupando todo f ( x )=[ ( x +1 )
2x '
2x
] ( 3 x ) +( x +1 ) (3 ( 3 x ) ( 3 x ) ) f ( x )=[ 2 ( x +1 ) ( ( x + 1 ) ln ( x +1 ) +3 x ) ] 27 x +81 x '
'
3
3
3
2 x−1
3
3
3
2
'
3
3
2
( x 3+1 )
( ( x3 +1 ) ln ( x 3 +1 ) +3 x 3 ) +81 x2 ( x 3+ 1 )2 x 2 x−1 f ' ( x )=27 x 2 ( x 3 +1 ) [ 2 x (( x 3 +1 ) ln ( x 3 +1 ) +3 x3 )+ 3 ( x3 +1 ) ] f ' ( x )=27 x 3∗2 ( x 3+ 1 )
2 x−1
2x
2 x−1
f ' ( x )=27 x 2 ( x 3 +1 )
[ 2 x ( x 3+ 1 ) ln ( x 3 +1 ) +6 x 4 +3 x 3 +3 ]
(
3
2 ln ( x +1 ) +6 x
3
( x 1+1 )) 3
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Ejercicio 5 Calcule la derivada implícita de la Siguiente función. Función y 5 + x 2 y 3− y e x =1 para poder calcular la derivada implícita se debe tener en cuenta que la función esta dada en dos variables, sin embargo estas dos variables dependen únicamente de la variable x, ya que se tiene que la variable y es una variable que depende de x, es decir, y (x ), luego dy ' ' vamos a tener que la derivada implícita se denota como y ( x )= y = . Ahora para dx 5 2 3 x determinar la derivada de y + x y − y e =1, se debe aplicar que la derivada de una suma es la suma de sus derivadas y la derivada de una diferencia es la diferencia de las derivadas, también será necesario aplicar la derivada de un producto, que la derivada de la función f ( x )=a x n es f ' ( x )=a ( n ) x n−1 , que la derivada de una constante es cero y por último se tiene que aplicar que la derivada de e x es ella misma, entonces derivando ambos lados de la igualdad se tiene que: 5 y 5−1 y ' + ( 2 x2−1 y 3+ x2 3 y 3−1 y ' )−( 1 y 1−1 y ' e x + y e x ) =0 5 y 4 y ' + ( 2 x 1 y 3+ x 2 3 y 2 y ' )−( 1 y 0 y ' e x + y e x )=0 5 y 4 y ' + ( 2 x y 3+ 3 x 2 y 2 y ' )−( 1(1) y ' e x + y e x ) =0 5 y 4 y ' + ( 2 x y 3+ 3 x 2 y 2 y ' )−( 1 y ' e x + y e x ) =0 5 y 4 y ' + ( 2 x y 3+ 3 x 2 y 2 y ' )−( y ' e x + y e x )=0 5 y 4 y ' + 2 x y 3+3 x 2 y 2 y ' − y ' e x − y e x =0 5 y 4 y ' + 2 x y 3+3 x 2 y 2 y ' − y ' e x − y e x =0
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5 y 4 y ' + 3 x 2 y 2 y ' − y ' e x =0−2 x y 3+ y e x y ' (5 y 4 +3 x 2 y 2−e x )=−2 x y 3+ y e x '
y=
−2 x y 3+ y e x 5 y 4 +3 x 2 y 2−e x
Ejercicio 6 Función Estudiante 3
2 7 f ( x )= x 5 +6 x 4 −x3 + 2 3 x
f ' ' ' (x)=?
Para determinar la derivada de la función 2 7 2 f ( x )= x 5 +6 x 4 −x3 + 2 = x 5 +6 x 4 −x3 +7 x−2 3 x 3 Será necesario aplicar que la derivada de una suma es la suma de sus derivadas, además de tener en cuenta que si f ( x )=a x n entonces se tiene que f ' ( x )=a ( n ) x n−1, luego se tiene que 2 f ' ( x )= ( 5 ) x 5−1 +6 ( 4 ) x 4−1−3 x 3−1+ 7 (−2 ) x−2−1 3 f ' ( x )=
2 5 4 x +24 x3 −3 x 2 + (−14 ) x−3 3 1
()
f ' ( x )=
10 4 x +24 x 3−3 x 2−14 x −3 3
10 x 4 14 ' 3 2 f ( x )= +24 x −3 x − 3 3 x Ahora para determinar la segunda derivada es decir f ' ' ( x) se debe hallar la derivada de la función anterior, es decir, la derivada de la función
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10 x 4 14 10 x 4 ' 3 2 3 2 −3 f ( x )= +24 x −3 x − 3 = +24 x −3 x −14 x 3 3 x Para hallar esta derivada se debe aplicar que la derivada de una suma o una diferencia es la suma o la diferencia de sus derivadas, por otro lado se tiene que si f ( x )=a x n entonces se tiene que f ' ( x )=a ( n ) x n−1, de ahí que f '' ( x) =
10 ( 4)x 4 −1+24 (3) x 3−1−3 (2) x 2−1 −14(−3) x−3−1 3 f '' ( x) =
10 4 3 x +72 x 2−6 x 1−(−42) x−4 3 1
()
f '' ( x) =
40 3 x +72 x 2−6 x + 42 x−4 3
f '' ( x) =
40 3 42 x +72 x 2−6 x + 4 3 x
Ahora para determinar la segunda derivada es decir f ' ' ' (x) se debe hallar la derivada de la función anterior, es decir, la derivada de la función f '' ( x) =
40 3 42 40 x +72 x 2−6 x + 4 = x 3 +72 x2 −6 x+ 42 x −4 3 3 x
Para hallar esta derivada se debe aplicar que la derivada de una suma o una diferencia es la suma o la diferencia de sus derivadas, por otro lado se tiene que si f ( x )=a x n entonces se tiene que f ' ( x )=a ( n ) x n−1, de ahí que f ' ' ' ( x )=
40 ( 3 ) x 3−1 +72 ( 2 ) x 2−1−6 ( 1 ) x 1−1 +42 (−4 ) x −4−1 3
f ' ' ' ( x )=
40 3 2 x + 72(2) x 1−6 ( 1 ) x 0 +42(−4) x−5 3 1
f ' ' ' ( x )=
120 2 x +144 x 1−6(1)+(−168) x−5 3
()
f ' ' ' ( x )=40 x2 +144 x 1−6−168 x−5 f ' ' ' ( x )=40 x2 +144 x−6−
168 x5
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Ejercicio 7 Realice el cálculo de la primera derivada de la función, compruebe en GeoGebra que, graficando las pendientes de las rectas tangentes en cada punto de la función original, obtendrá la función derivada (ver contenido derivadas en GeoGebra). Función Estudiante 3
a. f ( x )=4 x 2−8 x
b. f ( x )=3 sin x
Parte a. Para poder hallar la derivada de la función f ( x )=4 x 2−8 x se debe tener en cuenta que la derivada de una diferencia es la diferencia de sus derivadas y demás que si f ( x )=a x n entonces f ' ( x )=an x n−1, entonces f ' ( x )=4 ( 2 ) x 2−1−8 ( 1 ) x1−1 f ' ( x )=8 x 1−8 x 0 f ' ( x )=8 x 1−8(1) f ' ( x )=8 x−8 Si tomamos x=2, entonces al calcularlo en la función vamos a tener f ( 2 ) =4 ( 2 )2−8 ( 2 )=4 ( 4 )−16=16−16=0 y calculando en la derivada se tiene que f ' ( 2 )=8 ( 2 ) −8=16−8=8. Verificación en geogebra
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Parte b. Para poder hallar la derivada de la función f ( x )=3 sin (x) se debe tener en cuenta que la derivada de sin (x) es cos ( x), entonces f ' ( x )=(3 sin (x))' f ' ( x )=3(sin (x))' f ' ( x )=3(cos (x )) f ' ( x )=3 cos ( x) Si tomamos x=0, entonces al calcularlo en la función vamos a tener f ( 0 )=3 sin ( 0 )=3 ( 0 )=0 y calculando en la derivada se tiene que f ' ( 0 ) =3 cos ( 0 )=3 ( 1 ) =3. Verificación en geogebra
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Ejercicio 8 3. PROBLEMAS APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS Asignación Problemas A La posición de una partícula que se mueve a lo largo de una línea recta está definida por la función s ( t ) =√1+ 6t 2 con s en metros y t en segundos Estudiante 3
a. Determine la velocidad cuando t= 5s b. Encuentre la aceleración de la partícula cuando t=2s y t=5s B Calcular máximos, mínimos y puntos de inflexión de la función f ( x )=x 3−4 x 2 +3 x −5
a. La posición de una partícula que se mueve a lo largo de una línea recta está definida por la función s ( t ) =√1+ 6t 2 con s en metros y t en segundos a. Determine la velocidad cuando t= 5s b. Encuentre la aceleración de la partícula cuando t=2s y t=5s Solución: Para calcular la velocidad será necesario determinar la derivada de la función de posición, es decir, la derivada de la función: 2
1 2 2
s ( t ) =√ 1+ 6t =( 1+ 6t ) Entonces para determinar su derivada vamos a tener en cuenta las reglas de derivación (regla de la cadena), de donde se tiene que −1
1 s (t )= ( 1+6 t 2 ) 2 ( 0+6 ( 2 ) t 2−1 ) 2 1 s' (t )= ( 12 t 1 ) 1 '
s' (t )=
s' (t )=
2 ( 1+6 t 2 ) 2 12t 2 √ 1+6 t 2 6t
√ 1+6 t2
Luego la velocidad está dada por 6t v ( t )= √1+6 t 2
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Ahora calculamos la velocidad en un tiempo t=5 y se tiene que 6(5) v (5)= √ 1+6(5)2 30 v (5)= √ 1+6(25) 30 v (5)= √ 1+150 30 v (5)= √ 151 v ( 5 ) =2,44137 m/s Para el caso de la aceleración, tenemos que para poder determinarla es necesario hallar la derivada de la velocidad o la segunda derivada de la función de posición, de ahí se tiene que aplicar la derivada de un cociente de la siguiente manera: ( 6 t )' √1+6 t 2−( 6 t ) [ √1+6 t 2 ] ' v ' ( t )= 2 [ √ 1+6 t 2 ] (6) √ 1+ 6 t 2−( 6 t ) v ' ( t )=
v ' ( t )=
[
1+ 6 t
]
2
36 t 2 √1+ 6 t2
1+ 6 t 2 6 √1+6 t 2
v ' ( t )=
1+6 t 2
1+6 t 2 36 t 2 2 6 √1+6 t − √ 1+6 t 2
6 √ 1+6 t 2 ( 1 )− v' (t )=
6t
[√ ]
(
√1+ 6t 2 − 36 t 2 √1+ 6t 2 √ 1+6 t2
)
1+6 t 2 6 (1+6 t 2 )
36 t 2 − 2 √ 1+ 6 t √1+6 t 2 v ' ( t )= 1+ 6 t 2
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6+ 36 t 2−36 t 2 1+6 t 2 √ ( ) v' t = 1+6 t 2 6 1+6 t 2 v ' ( t )= √ 1+6 t 2 1 6 v ' ( t )= 2 √1+6 t (1+6 t 2) Por tanto, la aceleración esta dada por 6 A ( t )= 2 √1+6 t (1+6 t2 ) Ahora calculamos la aceleración en un tiempo t=2 s y se tiene que 6 A ( 2 )= m/ s2 2 2 √ 1+ 6(2) (1+ 6(2) ) 6 A ( 2 )= m/s2 √ 1+ 6 ( 4 ) (1+ 6( 4)) 6 m/s 2 . A ( 2 )= √ 1+ 24(1+24) A ( 2 )=
6 m/s 2 √ 25(25)
A ( 2 )=
6 m/ s2 5(25)
A ( 2 )=
6 m/ s2 125
A ( 2 )=0,048 m/ s2 Ahora calculamos la aceleración en un tiempo t=5 s y se tiene que 6 A ( 5 )= m/s 2 2 2 √ 1+ 6(5) (1+6(5) ) 6 A ( 5 )= m/s 2 √ 1+ 6 ( 25 ) (1+6(25)) 6 m/s 2 . A ( 5 )= √ 1+ 150(1+150)
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A ( 5 )=
6 m/s2 √ 151(151)
A ( 5 )=0,0032336 m/ s2
b. Calcular máximos, mínimos y puntos de inflexión de la función f ( x )=x 3−4 x 2 +3 x −5 Para iniciar debemos determinar la derivada de la función f (x), la cual es: f ' ( x )=3 x 3−2−4 ( 2 ) x 2−1+3 ( 1 ) x 1−1−0 ' 2 f ( x )=3 x −8 x+ 3−0 f ' ( x )=3 x 2−8 x+ 3 Ahora el siguiente paso es igualar la derivada a cero de la siguiente manera 3 x 2−8 x+ 3=0 De donde se debe despejar la variable x así: 2 −(−8 ) ± √(−8 ) −4 ( 3 )( 3 ) x= 2( 3 ) 8 ± 63−36 x= √ 6 8 ± 28 x= √ 6 8 ±2 √ 7 x= 6 8+2 √ 7 8−2 √ 7 Y x 2= x 1= 6 6 4+ √ 7 4−√ 7 x 1= Y x 2= 3 3 Luego se tiene dos soluciones, la primera x 1=
4+ √7 =2,21525 3
Y la segunda solución 4−√ 7 x 2= =0,451416 3 Ahora el siguiente paso es calcular en la función principal f (x) las dos soluciones 4+ √ 7 dadas, una cuando x toma el valor de y la otra cuando toma el valor de 3 4−√ 7 , entonces se tiene que 3
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3
2
4+ √7 4+ √7 4 +√ 7 4+ √ 7 = −4 +3 −5 3 3 3 3
( )( ) ( ) ( ) 4+ √7 148+55 √ 7 23+8 √ 7 4+ √ 7 f( = −4 ( +3 ( −5 ) ) 3 27 9 3 ) 4+ √7 148+55 √7 92+ 32 √ 7 f( = − +4 + √ 7−5 3 ) 27 9 4+ √7 148+55 √7 92+ 32 √ 7 f( = − + √7−1 3 ) 27 9 4+ √7 −155+14 √ 7 f( = =−7,11261 3 ) 27 f
Luego las coordenadas se encuentran en el punto
√ 7 (Mínimo). ( 4 +3√ 7 ,− 155+14 ) 27
Ahora tomando el otro valor de solución se tiene que: 3 2 4−√ 7 4− √7 4−√ 7 4−√ 7 f = −4 +3 −5 3 3 3 3
( )( ) ( ) ( ) 4−√ 7 148−55 √7 23−8 √ 7 4−√ 7 f( = −4 ( +3 ( −5 ) ) 3 27 9 3 ) 4−√ 7 148−55 √7 92−32 √ 7 f( = − +4− √ 7−5 3 ) 27 9 4−√ 7 148−55 √7 92−32 √ 7 f( = − − √ 7−1 3 ) 27 9 4−√ 7 −155+14 √ 7 f( = =−4,36887 3 ) 27
Luego las coordenadas se encuentran en el punto
√7 (Máximo) ( 4−3√7 , −155+14 ) 27
Se determina ahora la segunda derivada de la función f (x), de ahí se tiene que determinar la derivada de la función f ' ( x )=3 x 2−8 x+ 3, ahora la segunda derivada es: f ' ' ( x ) =3 ( 2 ) x 2−1−8 ( 1 ) +0 f ' ' ( x ) =6 x1 −8+0 f ' ' ( x ) =6 x−8 4+ √ 7 4−√ 7 Ahora se deben evaluar las soluciones x 1= y x 2= en la segunda 3 3 derivada para saber si los valores encontrados son máximos, mínimos o puntos de inflexión, entonces
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f ''
( 4 +3√ 7 )=6( 4 +3√ 7 )−8=8+ 2√ 7−8=2√ 7=5,2915(mínimo)
f ''
( 4−3√7 )=6( 4−3√7 )−8=8−2 √7−8=−2 √7=−5,2915(máximo)
Ahora se iguala la segunda derivada a cero y se tiene que despejar la variable x, entonces 6 x−8=0 Despejando 6 x=0+ 8 6 x=8 8 x= 6 x=
4 3
Ahora evaluando la solución en la función f (x) se tiene que 4 4 3 4 2 4 f = −4 +3 −5 3 3 3 3
()() () ()
( 43 )= 6427 −4 ( 169 )+3 ( 43 )−5 4 64 64 f ( )= − + 4−5 3 27 9 4 64 64 f ( )= − −1 3 27 9 f
f
=−5,407407407( punto de inflexión) ( 43 )= −155 27
LINK DEL VIDEO EN YOU TOBE http://youtu.be/cdBPPP0pbOk?hd=1v
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CONCLUSIONES
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Por medio del límite se puede determinar la derivada de cualquier función.
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Las derivadas se pueden aplicar a la vida diaria para poder determinar velocidad, aceleración, alzas, caídas y demás observaciones en la vida real.
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Por medio de diferentes programas, podemos comprobar de manera visual el concepto de derivada (pendiente de la recta tangente), esto para cualquier punto dado en una función cualquiera.
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BIBLIOGRAFÍA
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