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• Lógica

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Matem´aticas I

at e UP

Proposiciones Simples

e

at

at e

1

1

Ejemplos 1.2. Algunos ejemplos de proposiciones son “El cielo es azul”, “Ma˜ nana es Lunes”, “´el no es vegetariano”. Las siguientes no son proposiciones: “¿Qu´e d´ıa es hoy?”, “¡Bravo!”, “No escribas esto”.

1

Definici´ on 1.1. Una proposici´ on es un enunciado que puede ser verdadero o falso.

M

M

Definici´ on 1.3. Si p es una proposici´on sus posibles valores se representan por medio de una p tabla de verdad como la siguiente: V F Definici´ on 1.4. La negaci´ on u opuesto de una proposici´on p es la proposici´on con los valores p ¬p opuestos y es denotada por ¬p. Su tabla de verdad ser´a entonces: V F F V

1

Observaci´on 1.6. ¿Cu´al es el opuesto de “Todos los d´ıas sale el sol”? Un error com´ un es pensar que el opuesto es “Nunca sale el sol”, cuando de hecho el opuesto es “Alg´ un d´ıa no sale el sol”. Esto lo estudiaremos en mayor profundidad cuando definamos cuantificadores.

e

at

M

Proposiciones Compuestas

M

2.

at e

1

Hasta ahora todas las proposiciones que hemos presentados son simples en el sentido que no pueden ser divididas en una combinaci´on de otras proposiciones. A continuaci´on veremos c´omo llevar a cabo dichas combinaciones.

1

UP

UP

Ejemplo 1.5. Si p = “Ma˜ nana es Lunes”, entonces ¬p = “Ma˜ nana no es Lunes”.

at e

q p∧q V V F F V F F F

p V V F F

q p∨q V V F V V V F F

1

p V V F F

UP

UP

Definici´ on 2.1. La conjunci´ on de dos proposiciones p, q es la nueva proposici´on “p y q” y es denotada por p ∧ q. La disyunci´ on es la proposici´on “p o q” y es denotada por p ∨ q. Las tablas de verdad de estas operaciones son

e at

1

M

at e

at e

1

1

c

2018 Todos los derechos reservados. Prohibida su reproducci´on parcial o total.

M

M

M

2018-2

UP

1.

M

M

at e

Clase 0: Proposiciones y Equivalencias

at e

M

1

Manual de imagen Universidad del Pacífico

at e

1

Logotipo institucional

M

M

q p↔q V V F F V F F V

at

p V V F F

M

M

q p→q V V F F V V F V

e

1

at e

1

p V V F F

1

pYq F V V F

UP

UP

p q V V V F F V F F

Definici´ on 2.4. Si p, q son proposiciones definimos la proposici´on condicional como el enunciado “Si p entonces q” y la denotamos como p → q. En este caso p se denomina el antecedente y q el consecuente. La proposici´on bicondicional se define como “p si y solo si q” y se denota por p ↔ q. Las tablas de verdad asociadas son

M UP

UP

Ejemplo 2.5. Si p = “Termin´e la tarea” y q = “Voy a la playa” entonces la condicional ser´a p → q = “Si termin´e la tarea entonces voy a la playa”. Los valores de la tabla de verdad de la condicional son claros en este caso cuando p es verdadero. Cuando p es falso p → q es siempre verdadera porque la condicional no especifica que deber´ıa pasar si ¬p es verdadero.

1

Definici´ on 2.6. Dada la proposici´on condicional p → q definimos tres proposiciones asociadas.

1

1

La proposici´on conversa o rec´ıproca se define como q → p.

La proposici´on contrapositiva se define como ¬q → ¬p.

e at

at e

at e

La proposici´on inversa es la proposici´on ¬p → ¬q.

M

M

Ejemplo 2.7. Vimos que la proposici´on “Si termin´e la tarea entonces voy a la playa” es una condicional. En este caso la rec´ıproca ser´a “Si voy a la playa entonces termin´e la tarea”, la inversa es “Si no termin´e la tarea entonces no voy a la playa” y la contrapositiva ser´a “Si no voy a la playa entonces no termin´e la tarea”. Ejercicio 2.8. Dada la proposici´on condicional p → q construya las tablas de verdad de las proposiciones conversa, inversa, y contrapositiva.

1

Definici´ on 2.10. Una proposici´on compuesta es una tautolog´ıa cuando su tabla de verdad tiene solo valores verdaderos sin importar el valor de verdad de sus proposiciones simples.

M

e at

2

M

at e

1

Ejemplo 2.11. La proposici´on p ∨ ¬p es una tautolog´ıa de la siguiente tabla.

1

UP

UP

Observaci´on 2.9. Las proposiciones en esta secci´on son llamadas compuestas porque son el resultado de una combinaci´on de proposiciones simples.

at e

M

at e

1 at e

1

at e

Definici´ on 2.3. La disyunci´ on exclusiva de dos proposiciones p, q es la nueva proposici´on “O p o q (pero no ambas al mismo tiempo)” y es denotada por p Y q. Su tabla de verdad esta dada por

at e

M

Ejemplo 2.2. Si p = “Termin´o la tarea” y q = “Voy a la playa” entonces la conjunci´on es la expresi´on “Termin´o la tarea y voy a la playa” y la disyunci´on es la expresi´on “Termin´o la tarea o voy a la playa”.

at e

1 at e

1

¬p F V

M

M

at e

UP

Equivalencias

UP

3.

q ¬p V F F F V V F V

e

∨ V F V V

q

M

M

p V V F F

at

at e

1

1

Ejemplo 3.2. La proposici´on p → q es equivalente a ¬p ∨ q como podemos ver de la tabla. Esto quiere decir que la proposici´on “Si termin´o la tarea entonces voy a la playa” es equivalente a “No termin´o la tarea o voy a la playa”.

1

Definici´ on 3.1. Decimos que dos proposiciones compuestas P , Q son equivalentes si tienen la misma tabla de verdad y en este caso escribimos P ≡ Q.

at e

Ejercicio 3.3. Demuestre cada una de las siguientes equivalencias

p∨p≡p

p∧(q∨r) ≡ (p∧q)∨(p∧r)

pYq ≡qYp

p ≡ ¬(¬p)

p∨(q∧r) ≡ (p∨q)∧(p∨r)

p∨q ≡q∨p

p → q ≡ ¬q → ¬p

¬p Y q ≡ p Y ¬q

p∧q ≡q∧p

¬(p Y q) ≡ p Y ¬q

¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q

M

e

¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q

Las dos u ´ltimas equivalencias se denominan “Leyes de De Morgan”.

Ejemplo 3.4. ¿Son las siguientes proposiciones equivalentes?

at

(p Y q) Y r ≡ p Y (q Y r)

M

(p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r)

at e

1

UP 1

at e

p → q ≡ ¬p ∨ q

¬(p Y q) ≡ p ↔ q

1

(p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r)

UP

p∧p≡p

Si una empresa tiene buenos empleados, entonces si dichos empleados trabajan duro la empresa no quebrar´a.

e at

3

M

at e

at e

1

1

Sea p = “Una empresa tiene buenos empleados”, q = “Los empleados trabajan duro”, y r = “La empresa no quebrar´a”. La primera proposici´on se puede representar por p → (q → r) y la segunda por (p ∧ q) → r. Escribiendo la tabla de verdad verificamos la equivalencia

1

UP

UP

Si una empresa tiene buenos empleados y dichos empleados trabajan duro entonces la empresa no quebrar´a.

M

M

∨ V V

Ejercicio 2.12. Muestre que la siguiente proposici´on es una tautolog´ıa: “Si hacer la tarea implica ir a la playa e ir a la playa implica broncearse, entonces hacer la tarea implica broncearse”.

M

M

p p V F

∧ V V F F F F F F

q) → V F V V V V V V

r

M

→ r) (p V F V V V F V V

at e

1 M

→ (q V F V V V V V V

UP

UP

q r p V V V F F V F F V V V F F V F F

at e

1

at e

M

p V V V V F F F F

e

1

1

p → (q → r) ≡ p → (¬q ∨ r) ≡ ¬p ∨ (¬q ∨ r) (p ∧ q) → r ≡ ¬(p ∧ q) ∨ r ≡ (¬p ∨ ¬q) ∨ r

at e

1

Otra formar de probar que que estas proposiciones son equivalentes es usando las equivalencias mostradas en los ejercicios. En efecto,

at

at e

implica que ambas proposiciones son equivalentes ya que las u ´ltimas dos expresiones lo son.

M

M

M

Ejercicio 3.5. Sean p, q y r proposiciones simples. Definimos la proposici´on T (p, q, r) = “Exactamente una de las proposiciones p, q o r es verdadera”. 1. Calcule la tabla de verdad de T (p, q, r)

1 e at M

1

UP e at M

at e 4

M

at e

1

1

UP

M

M

at e

at e

1

1

UP

UP

2. Encuentre una proposici´on compuesta equivalente a T (p, q, r) pero expresada en t´erminos de p, q, r y conectores l´ogicos conocidos.

at e

1 at e

1

at e

M

Ejercicios Adicionales

M

M

1. Escriba los siguientes enunciados en su forma l´ogica formal.

“Si llueve el piso se moja. Cuando el piso se moja hay que limpiarlo.” “Si llueve hay que limpiar el piso.” “No es cierto que si esta lloviendo entonces no uso el paraguas.”

at e

at

b) Determine el valor de verdad de la proposici´on bajo las siguientes condiciones

M

M

El valor de las acciones aumenta, no se declaran dividendos, los accionistas se reunir´an, la junta de directores convoca a reuni´on, y el presidente del directorio renuncia. El valor de las acciones cae, se declaran dividendos, los accionistas no se reunir´an, la junta de directores no llama a reuni´on y el presidente del directorio renuncia.

M

at e

a) Escriba la proposici´on anterior en su forma l´ogica formal.

e

1

1

UP

2. Considere la siguiente proposici´on compuesta: “Si el valor de las acciones de la compa˜ n´ıa aumenta o se declaran dividendos, entonces los accionistas se reunir´an si y solo si dos cosas ocurren: la junta de directores convoca a reuni´on y el presidente del directorio no renuncia”.

1

UP

“Est´a lloviendo y uso el paraguas.”

p∧q

¬q → ¬p

p ∨ ¬q ¬(¬q)

at

“Si hoy es Lunes, entonces tengo clase de Mate 1”.

at e

“No puedo entrar a la piscina si estoy con gripe”.

M

“Yo saco mi paraguas si llueve”.

M

M

e

at e

1

1

4. Escriba como una oraci´on la conversa, inversa, y contrapositiva de las siguientes condicionales.

1

p↔q

UP

¬p

UP

3. Si p = “Hace frio” y q = “esta nublado” escriba como una oraci´on los siguientes enunciados.

5. Verifique en cada caso si el primer enunciado es equivalente al segundo. Justifique su respuesta en cada caso usando la l´ogica de proposiciones. “Si llueve el piso se moja. Cuando el piso se moja hay que limpiarlo.” “Si llueve hay que limpiar el piso.”

b)

“No es cierto que si esta lloviendo entonces no uso el paraguas.” “Est´a lloviendo y uso el paraguas.”

UP

UP

a)

at M

M

5

e

1 at e

1

at e

1

6. Demuestre cada una de las siguientes equivalencias o justifique porque no lo son.

h) (p ↔ q) ∧ q ≡ p i ) (p ∨ q) ∧ ¬q ≡ p ∧ ¬q j ) ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q

M

M

p∧p≡p p∨p≡p (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r) (p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r) p ≡ ¬(¬p) p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)

at e

1 at e

1

k ) ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q l ) p Y q ≡ (p ∨ q) ∧ ¬(p ∧ q) m) ¬(p Y q) ≡ p Y ¬q

UP

at e

M

a) b) c) d) e) f) g)

UP

7. Demuestre que la proposici´on condicional es equivalente a su contrapositiva. Tambi´en demuestre que la rec´ıproca es equivalente a la inversa.

1

1

8. Demuestre que P ≡ Q es equivalente a afirmar que P ↔ Q es una tautolog´ıa.

e

at

at e

M

a) “Si hace fr´ıo me pongo la gorra.”

b) “Las empresas reducen personal o liquidan activos, siempre y cuando la econom´ıa nacional entre en recesi´on.”

M

M

at e

1

9. Escriba las siguientes proposiciones sin usar condicionales y sin negar proposiciones compuestas.

c) “Ma˜ nana hago la tarea si me levanto temprano y no voy al gimnasio.” 10. Escriba la negaci´on de cada proposici´on sin negar proposiciones compuestas.

UP

a) “Si no duermo bien no voy a poder concentrarme en clase.”

UP

b) “Voy a la playa si y solo si termino la tarea. ”

e

1

1

11. Determine el converso y contrapositivo de cada condicional sin negar proposiciones compuestas.

at

at e

M

b) “Las empresas reducen personal o liquidan activos, siempre y cuando la econom´ıa nacional entre en recesi´on.”

M

1 e at

6

M

at e

1

1

UP

UP

M

c) “Ma˜ nana hago la tarea si me levanto temprano y no voy al gimnasio.”

M

at e

a) “Si hace fr´ıo me pongo la gorra.”

at e

1

c) “Si llueve mucho entonces no saco el carro.”

at e M

at e

M

2018-2

UP

UP

Argumentos

1

1

Ejemplos 4.2.

at

at e

e

El argumento “Cuando llueve el piso esta mojado. En este momento esta lloviendo. Por lo tanto el piso esta mojado” puede representarse por

M

p → q, p ` q

M

M

1

Definici´ on 4.1. Un argumento es una lista de proposiciones P1 , P2 , ..., Pn llamadas premisas y una proposici´on Q llamada conclusi´ on. Un argumento se denota por P1 , P2 , ..., Pn ` Q.

at e

donde p = “Esta lloviendo”, q = “El piso esta mojado”.

El argumento “Si termino la tarea voy a la playa. No termin´e la tarea. Por lo tanto no ir´e a la playa.” puede representarse por p → q, ¬p ` ¬q

1

Ejemplo 4.4. De la tabla de la condicional vemos que si p es verdadero y p → q tambi´en lo es, entonces q es necesariamente verdadero. Esto nos dice que el argumento

e at

at e

es v´alido

at e

1

p → q, p ` q

¬p, p ↔ q ` ¬q

p, q ` p ∧ q

p ∨ q, ¬p ` q

p → q, q → r ` p → r

p → q, q → p ` p ↔ q

p Y q, p ` ¬q

p`p∨q

p, p ↔ q ` q

p Y q Y r, p ` q ↔ r

p → q, q → r, ¬r ` ¬p

1

es v´alido. En efecto, como

1

UP

Ejemplo 4.6. Deseamos mostrar que el argumento

UP

p → q, p → ¬q ` ¬p

at M

at e 1

e

c

2018 Todos los derechos reservados. Prohibida su reproducci´on parcial o total.

1

at e

M

p∧q `p

M

M

Ejercicio 4.5. Muestre que cada uno de los siguientes argumentos es v´alido. ¬q, p → q ` ¬p

1

UP

UP

Definici´ on 4.3. Un argumento es v´ alido cuando la veracidad de las premisas implica la veracidad de la conclusi´on.

M

M

Clase 1: Argumentos y Cuantificadores

Matem´aticas I

4.

1

Manual de imagen Universidad del Pacífico

at e

1

Logotipo institucional

M

M

Teorema 4.7. El argumento P1 , P2 , ..., Pn ` Q es v´alido si y s´olo si P1 ∧ P2 ∧ · · · ∧ Pn → Q es una tautolog´ıa. Ejemplo 4.8. El argumento de la primera parte del ejemplo 1.2 es v´alido usando uno de los ejercicios anteriores. Tambi´en podemos verificarlo mostrando la siguiente tabla de verdad. q)

∧ p) → V V F V F V F V

q

1

→ V F V V

UP

q ((p V F V F

1

UP

p V V F F

e

M

M

at

at e

1

Ejemplo 4.9. Deseamos mostrar que el siguiente argumento es inv´alido: “Si eres un alumno de la U.P. entonces eres inteligente. De hecho, t´ u eres inteligente y emprendedor. Por consiguiente, si eres emprendedor entonces debes ser de la U.P.” En efecto, si hacemos p = “Eres alumno de la U.P.”, q = “Eres inteligente” y r = “Eres emprendedor” podemos entonces representar el argumento como p → q, q ∧ r ` r → p. Construyendo la tabla de verdad podemos mostrar que si p es falso y q, r son verdaderos entonces la condicional ((p → q) ∧ (q ∧ r)) → (r → p) es falsa lo cual muestra que el argumento es inv´alido. ∧

V

V

(q

∧ V

r )) → (r .. . F .. .

→ p) F

1

V

→ q)

Cuantificadores

e

V .. .

((p

1

5.

r

UP

F

q .. .

1

UP

p

M

M

M

P (a) P (b)

at

at e

Ejemplo 5.1. En la proposici´on “Esta pizarra es blanca” podemos identificar el sujeto: “Esta pizarra” y el predicado: “es blanca”. Si denotamos por a el sujeto “esta pizarra” y por P el predicado “es blanca” entonces podemos referirnos a la proposici´on original por P (a), es decir, “sujeto a tiene propiedad P ”. Si b = “esa pizarra” entonces

at e

= “sujeto a tiene propiedad P ” = “Esta pizarra es blanca”. = “sujeto b tiene propiedad P ” = “Esa pizarra es blanca”.

e at

2

M

at e

at e

1

1

Definici´ on 5.2. Una variable es un s´ımbolo que representa un miembro no especificado de una colecci´on.

1

UP

UP

En principio asumimos que los sujetos a y b son miembros de una colecci´on que debe ser clara por el contexto o establecida por el lector. En este caso la colecci´on podr´ıa ser todas las pizarras en este pabell´on, en esta universidad, en este pa´ıs, o en el mundo entero. Si denotamos por C la colecci´on de todas las pizarras en la U.P. la expresi´on a ∈ C significa “el miembro a pertenece a la colecci´on C” = “a es una pizarra de la U.P.”

M

M

at e

1 at e

1

at e

¬q, p → q ` ¬p se sigue entonces que ¬p es verdadero.

at e

M

p → q, q → r ` p → r es v´alido sabemos que p → r es verdadero. De la validez de

at e

M

M

Los cuantificadores nos permiten construir una proposici´on usando variables y predicados.

UP

1

1

∀x ∈ C, [P (x)] ≡ P (a) para todo a en C. ∃x ∈ C, [P (x)] ≡ P (a) para alg´ un a espec´ıfico de C.

1

UP

Definici´ on 5.5. El cuantificador universal se define como la expresi´on “Para todo ...” y se denota por ∀. El cuantificador existencial se define como la expresi´on “Existe ...” y se denota por ∃. En t´erminos de proposiciones tenemos

M

M

at

at e

e

Ejemplo 5.6. Con la notaci´on introducida en los ejemplos anteriores vemos que la expresi´on ∀x ∈ C, [P (x)] significa “Para toda pizarra x en la U.P., x es blanca” = “Toda pizarra en la U.P. es blanca”. Adem´as, la expresi´on ∃x ∈ C, [P (x)] significa entonces “Existe una pizarra x en la U.P. tal que x es blanca” = “Al menos una pizarra en la U.P. es blanca”.

Si no es cierto que todos los miembros de una colecci´on cumplen cierta propiedad entonces debe ser cierto que al menos uno de ellos no cumple dicha propiedad y viceversa. Esto quiere decir que los cuantificadores universal y existencial son opuestos el uno del otro. Esta idea se formaliza en la siguiente proposici´on.

UP

¬(∀x ∈ C, [P (x)]) ≡ ∃x ∈ C, [¬P (x)], ¬(∃x ∈ C, [P (x)]) ≡ ∀x ∈ C, [¬P (x)].

e

at

at e

1

1

Observaci´on 5.8. En ocasiones es necesario determinar si todo miembro de una colecci´on tiene cierta propiedad. En t´erminos l´ogicos se nos pide demostrar que ∀ x ∈ C, [P (x)]. Cuando esto no es cierto la proposici´on anterior nos dice que debemos encontrar por lo menos un elemento a ∈ C tal que ¬P (a). Dicho elemento que prueba la falsedad del enunciado original es llamado un contraejemplo.

1

UP

Proposici´ on 5.7. Para toda colecci´on C y predicado P tenemos

at e

¬(∀x ∈ C, [Q(x) → P (x)]) ≡ ∃x ∈ C, ¬[Q(x) → P (x)] ≡ ∃x ∈ C, ¬[¬Q(x) ∨ P (x])] ≡ ∃x ∈ C, [Q(x) ∧ ¬P (x])]

e at

3

M

at e

at e

1

1

Esto significa que la proposici´on original es equivalente a la proposici´on “Existe al menos una pizarra en este pabell´on que no es blanca”.

1

UP

UP

M

M

Ejemplo 5.9. Consideremos la siguiente proposici´on: “No es cierto que para toda pizarra en la U.P. se cumpla que si una pizarra esta en este pabell´on entonces dicha pizarra es blanca”. Queremos encontrar una proposici´on equivalente que no est´e en la forma de una negaci´on para entenderla mejor. Sea C la colecci´on de pizarras de la U.P., P es el predicado “es blanca” y Q el predicado “pertenece a este pabell´on”. Entonces la proposici´on inicial se puede expresar como ¬(∀x ∈ C, [Q(x) → P (x)]). Usando las propiedades estudiadas vemos que

M

M

M

1 at e

1

at e

Observaci´on 5.4. P (x) no es una proposici´on ya que x no est´a especificada y por ello P (x) no puede ser verdadero o falso hasta que le asignemos una valor espec´ıfico (como a o b).

at e

M

Ejemplo 5.3. Denotamos por C la colecci´on de todas las pizarras de la U.P. En este caso a representa “esta pizarra” y la variable x representa cualquier pizarra de la universidad. Entonces el enunciado P (x) significa “la pizarra x es blanca”.

M

M

∀x ∈ A, ∀y ∈ M, [P (x, y)] ≡ “Todo alumno est´a matriculado con todo profesor de Mate 1”.

UP

∀x ∈ A, ∃y ∈ M, [P (x, y)] ≡ “Todo alumno est´a matriculado con al menos un profesor de Mate 1”.

A

M

∀x ∈ A, ∀y ∈ M

∀x ∈ A, ∃y ∈ M

M

at

A

e

M

∃x ∈ A, ∀y ∈ M

M

A

at e

M

M

at e

A

1

1

∃x ∈ A, ∃y ∈ M, [P (x, y)] ≡ “Existe al menos un alumno matriculado con al menos un profesor de Mate 1”.

1

UP

∃x ∈ A, ∀y ∈ M, [P (x, y)] ≡ “Existe al menos un alumno matriculado con todos los profesores de Mate 1”.

∃x ∈ A, ∃y ∈ M

La negaci´on de la primera proposici´on es ∃x ∈ A, ∃y ∈ M, [¬P (x, y)] lo cual quiere decir en palabras que “existe al menos un alumno de la universidad que no est´a matriculado con al menos un profesor de mate 1”.

1

e

M

M

e at

4

M

at e

1

1

1

UP

M UP

M

at e

at

at e

1

1

UP

UP

Observaci´on 5.11. En ocasiones cuando se usa el cuantificador existencial es u ´til mencionar que dicha existencia es u ´nica. Si escribimos ∃! x ∈ C, [P (x)] esto quiere decir que existe un u ´ nico x ∈ C que satisface la propiedad P . Por ejemplo, todo alumno de Mate 1 est´a matriculado con al menos un profesor, pero de hecho nadie puede matricularse con m´as de un profesor. En este caso es m´as apropiado usar ∃! que ∃. El opuesto ¬∃! significa que no existe un u ´nico elemento con cierta propiedad, eso quiere decir que existen al menos dos elementos o ning´ un elemento con dicha propiedad.

at e

M

at e

1 at e

1

at e

M

Ejemplo 5.10. Es posible considerar predicados que dependen de dos variables. Por ejemplo, sean A la colecci´on de alumnos de la universidad, M la colecci´on de profesores de Mate 1, y P (x, y) = “el alumno x est´a matriculado con el profesor y”. Entonces

at e

1 at e

1

at e

M

1. El siguiente p´arrafo representa un argumento.

M

M

Ejercicios Adicionales

Cuando est´a soleado salgo a correr. Si duermo bien tambi´en salgo a correr. Hoy est´ a soleado o dorm´ı bien. Por lo tanto salgo a correr. Escriba el argumento de manera formal y muestre que es v´alido (debe analizar diferentes casos).

c) p → q, q → r ` p → r

b) ¬q, p → q ` ¬p

d ) p Y q, ¬p ` q

1

a) p, p Y q ` q

e

at

at e

M

a) “Si llueve entonces el piso se moja. Cuando el piso se moja hay que limpiarlo. Por lo tanto, si llueve hay que limpiar el piso”.

b) “Si hay nubes en el cielo el sol no brilla y si el sol no brilla hace fr´ıo. Como en este momento no hace fr´ıo entonces no deben haber nubes en el cielo”.

M

M

at e

1

3. Verifique si los siguientes argumentos son v´alidos. Justifique su respuesta en cada caso usando la l´ogica de proposiciones.

1

UP

UP

2. Demuestre que los siguientes argumentos son v´alidos o justifique por qu´e no lo son.

c) “Tu vas a la playa si y solo si terminas la tarea. Si vas a playa entonces no vas al gimnasio. Por lo tanto, o vas al gimnasio o terminas la tarea”.

UP

4. Traduzca al lenguaje simb´olico de l´ogica formal las siguientes proposiciones.

UP

a) En el banco de la esquina, alguien hizo sonar la alarma y todos salieron corriendo.

at

at e

e

5. Usando cuantificadores, indique un enunciado equivalente al siguiente, en donde no haya negaci´on de proposiciones compuestas ni aparezcan condicionales: “No es cierto que, si algunos de los pol´ıticos mienten entonces todos los pol´ıticos no son respetables”.

M

6. Estableciendo un diccionario e usando cuantificadores escriba en lenguaje formal los siguientes enunciados: “Si un pato no es vertebrado, entonces hay patos sin plumas”, “Todos los patos tienen plumas”.

M

M

at e

1

1

c) En este colegio, si es feriado, entonces todos los estudiantes est´an fuera del colegio.

1

b) Si todos los expertos creen que fumar es da˜ nino, entonces todos deber´an dejar de fumar.

7. Niegue los siguientes enunciados sin hacer uso de la negaci´on de proposiciones compuestas ni condicionales.

UP

∀  ∈ R, ∃ N ∈ N, ∀n ∈ N, [( > 0 ∧ n > N ) −→ |an − L| < ]

UP

∀  ∈ R, ∃ δ ∈ R, ∀x ∈ R, [( > 0 ∧ δ > 0 ∧ 0 < |x − x0 | < δ) −→ |f (x) − L| < ]

at M

M

5

e

1 at e

1

at e

1

∀ M ∈ R, ∃ N ∈ R, ∀x ∈ R, [(M > 0 ∧ N > 0 ∧ x > N ) −→ f (x) > M ]

at e M 2018-2

UP

UP

Conjuntos

1

1

Definici´ on 6.1. Un conjunto es una colecci´on abstracta cuyos miembros son llamados elementos. Si a es un elemento del conjunto A escribimos a ∈ A. Cuando a no es un elemento de A escribimos ¬(a ∈ A) o a ∈ / A.

1

Matem´aticas I

6.

M

at e

Clase 2: Conjuntos y Relaciones

at

at e

e

Axioma 6.2. Existe un conjunto que no posee elementos llamado conjunto vac´ıo y denotado por {} o por ∅.

at e

M

M

Existen dos maneras de describir los elementos de un conjunto. La primera es listarlos como en A = {a, b, c, ..., z}. A esta se le llama una definici´on por extensi´ on. La segunda es describir los elementos por medio de una propiedad, por ejemplo B = {pizarras en la U.P. : dichas pizarras son blancas}. A esta se le llama una definici´on por comprensi´ on y usualmente se expresa como B = {x : P (x)} donde P (x) = “x tiene propiedad P ”.

UP

UP

Ejemplos 6.3. Algunos ejemplos de conjuntos son A = {lapicero 1, lapicero 2, lapicero 3} y B = {lapiceros en la U.P. : dicho lapicero es rojo y nuevo} = {x ∈ U : P (x) ∧ Q(x)} donde U es el conjunto de lapiceros en la U.P., P (x) = “x es rojo” y Q(x) = “x es nuevo”.

e

[x ∈ A → x ∈ B].

at

∀x ∈ U,

M

at e

at e

1

Definici´ on 6.5. El conjunto A est´a incluido en B si todo elemento de A es un elemento de B. Esto es equivalente a mostrar que

1

1

Observaci´on 6.4. En una definici´on por comprensi´on se hace referencia a un conjunto universal de donde se escogen los elementos usando la propiedad. En el ejemplo anterior dicho conjunto es U .

M

En este caso escribimos A ⊂ B. A y B son iguales si A ⊂ B y B ⊂ A. Esto u ´ltimo es equivalente a mostrar que ∀x ∈ U, [x ∈ A ↔ x ∈ B]. Teorema 6.6. Sea U un conjunto universal. Para todo conjunto A se cumple ∅ ⊂ A.

UP

UP

El conjunto vac´ıo es u ´nico. (A = ∅) ≡ (∀x ∈ U, [x ∈ / A])

at M

1

e

1 at e

1

at e

1

c

2018 Todos los derechos reservados. Prohibida su reproducci´on parcial o total.

M

M

M

M

1

Manual de imagen Universidad del Pacífico

at e

1

Logotipo institucional

at e

1 M

Operaciones

at e

1

at e

7.

M

M

Definici´ on 7.1. Sea U un conjunto universal y A, B subconjuntos de U . El complemento de A en U es el conjunto Ac = {x ∈ U : x ∈ / A}.

La uni´ on de A y B se define como A ∪ B = {x ∈ U : (x ∈ A) ∨ (x ∈ B)}. La intersecci´ on de A y B es el conjunto A ∩ B = {x ∈ U : (x ∈ A) ∧ (x ∈ B)}.

UP

UP

La diferencia de A y B es el conjunto A − B = {x ∈ U : (x ∈ A) ∧ ¬(x ∈ B)}. La diferencia sim´ etrica de A y B es el conjunto A∆B = {x ∈ U : (x ∈ A) Y (x ∈ B)}.

at e

A

B

M

M

at e

B

at

A

A

U

Ac

e

U

M

1

U

1

1

En las siguientes figuras representamos los conjuntos mediante diagramas de Venn.

A∪B

A∩B

UP

Definici´ on 7.2. Decimos que los conjuntos A y B son disjuntos cuando A ∩ B = ∅.

UP

Teorema 7.3. Si U es un conjunto universal y A, B, C son subconjuntos entonces A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

at

at e

(A ∩ B)c = Ac ∪ B c

e

1

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

1

(A ∪ B)c = Ac ∩ B c

A∩B =B∩A

at e

1

A∪B =B∪A

M

x ∈ (A ∩ B)c ↔ ¬(x ∈ A ∩ B) ↔ ¬((x ∈ A) ∧ (x ∈ B)) ↔ ¬(x ∈ A) ∨ ¬(x ∈ B) ↔ (x ∈ Ac ) ∨ (x ∈ B c ) ↔ x ∈ Ac ∪ B c

M

M

La prueba de este teorema se deriva de la manipulaci´on de la definici´on usando la l´ogica de proposiciones. Por ejemplo la u ´ltima propiedad se deriva de la siguiente manera

e at M

at e 2

M

at e

1

1

UP

Ejemplo 7.4. Las dos u ´ltimas propiedades del teorema anterior son llamadas “Leyes de De Morgan” para conjuntos. En particular, la propiedad demostrada significa por ejemplo que si A = { lapiceros rojos en la U.P.} y B = {lapiceros nuevos en la U.P.} entonces el conjunto de lapiceros de la U.P. que no son simult´aneamente rojos y nuevos es igual al conjunto de lapiceros que no son rojos unido con el conjunto de lapiceros que no son nuevos.

1

UP

Es posible tambi´en demostrar estas propiedades mediante el uso adecuado de tablas de verdad. Las pruebas del resto de propiedades quedan como ejercicio.

at e

1 M

M

Definici´ on 8.1. Si a ∈ A y b ∈ B entonces definimos (a, b) como el par ordenado donde a es la primera coordenada y b la segunda. En este caso (a, b) = (c, d)

↔

a=c

∧

b=d

Definici´ on 8.2. El producto cartesiano de A y B se define como A × B = {(x, y) : (x ∈ A) ∧ (y ∈ B)}

b c

e

g

d

f

e

e

f

d

M

a

at

B

M

A

B

at e

1

1

Ejemplo 8.4. Sea A = {a, b, c} y B = {d, e, f, g}. Definimos la relaci´on R como el subconjunto R = {(a, d), (a, e), (c, e), (c, f )} ⊂ A × B.

1

UP

UP

Definici´ on 8.3. Una relaci´ on (binaria) entre los conjuntos A y B es un subconjunto R ⊂ A×B del producto cartesiano. En este caso A se llama el conjunto de partida y B el conjunto de llegada. Cuando A = B diremos que R ⊂ A × A es un relaci´on en A.

M

g a

b

c

A

UP

UP

En las figuras podemos ver dos formas en las que se puede representar una relaci´on. En la primera las flechas indican la forma en que los elementos de A est´an relacionados con los elementos de B. En la segunda los c´ırculos representan el producto cartesiano A × B y los que son s´olidos representan la relaci´on.

1

1

e

M

Ejemplo 8.6. En el ejemplo anterior dom R = {a, c} y ran R = {d, e, f }.

at

ran R = {y ∈ B : ∃ x ∈ A, [(x, y) ∈ R]}

M

at e

y el rango de R como

dom R = {x ∈ A : ∃ y ∈ B, [(x, y) ∈ R]}

at e

1

Definici´ on 8.5. Si R ⊂ A × B es una relaci´on entonces el dominio de R se define como

Definici´ on 8.7. Una relaci´on es una funci´ on cuando cada elemento del dominio se relaciona con un u ´nico elemento del rango. En s´ımbolos tenemos ∀x ∈ dom R, ∃! y ∈ ran R, [(x, y) ∈ R].

M

e at

3

M

at e

1

1

A veces escribimos f : A → B para denotar que A = dom f . Observaci´on 8.8. Si bien a cada elemento del dominio de una funci´on se le relaciona con un u ´nico elemento del rango, cada elemento del rango podr´ıa estar relacionado con varios elementos del dominio.

1

UP

UP

Esto es equivalente a verificar que (a, b) ∈ R y (a, c) ∈ R implican b = c. En este caso denotamos la funci´on por f en vez de R y escribimos f : dom f ⊂ A → B. En vez de decir que (a, b) ∈ f decimos que f (a) = b.

at e

M

at e

1

at e

Relaciones

at e

M

8.

at e

1 at e

1

at e

M

1. Definir por comprensi´on cada uno de los siguientes conjuntos

M

M

Ejercicios Adicionales a) A = {1, 4, 9, 16, 25}.

b) B = {1, 2, 4, 8, 16, 32}.

c) C = {1, 3, 5, 7, 9, 11, ...}

2. Sea U = {−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3} el conjunto universal, y sean A = {−1, 0, 1}, B = {−2, −1, 0, 1, 2}, C={-3,1,2}. Determinar cada uno de los siguientes conjuntos. e) (A ∩ B)c f ) (B ∪ C)c

d ) B ∩ Cc

b) Ac

1 A

B

e

B

M

M

at e

A

B

at

A

U

U

M

U

at e

1

3. Exprese el ´area sombreada en el diagrama de Venn en el lenguaje de teor´ıa de conjuntos.

1

UP

UP

c) Ac ∪ B c

a) B c

C

UP

4. Sean A y B dos subconjuntos del conjunto universal U . Definimos la diferencia de A con B, denotada por A − B, como A ∩ B c es decir A − B = {x ∈ U : (x ∈ A) ∧ (x ∈ / B)}. Definimos la diferencia sim´etrica de A y B como A4B = (A − B) ∪ (B − A).

1

c) Demuestre que (A − B)c = Ac ∪ B.

1

b) Si A ⊂ B, pruebe que A − B = ∅.

M

b) ¿Cu´al de las relaciones es funci´on?

=

at

at e

a) Halle el dominio y el rango de cada relaci´on.

M

M

at e

1

5. Sean A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 5, 6, 8}. Consideremos las relaciones R1 {(1, 5), (2, 8), (4, 6), (1, 6)} y R2 = {(2, 3)(3, 3)(4, 6)} en A × B.

e

UP

a) Represente los conjuntos definidos mediante diagramas de Venn.

6. Demostrar que si A y B son conjuntos entonces a) A ⊂ B ↔ B c ⊂ Ac b) A ∩ B = ∅ ↔ B ∩ Ac = B

a) Si A ⊂ B y B 6⊂ C entonces A 6⊂ C

e at M

at e 4

M

at e

1

c) (A − B) − C = A − (B ∪ C)

1

b) (A − B)c = Ac ∩ B

1

UP

UP

7. Sean A, B y C ⊂ U conjuntos. Demuestre las afirmaciones verdaderas y de contraejemplos para las falsas:

at e

1 at e

1

M

8. Sean A, B y C conjuntos. ¿Es verdad que

M

at e

M

d ) (A − B) ∩ C = (A ∩ C) − (B ∩ C)

a) Si A ∪ B = A ∪ C entonces B = C ? b) Si A ∩ B = A ∩ C entonces B = C ? 9. Determine todas las funciones de X = {a, b, c} en Y = {1, 2}.

UP

UP

10. Si A = {a + b, 8, 2a − 2b + 4} es un conjunto con un solo elemento y B = {x ∈ Z : x = ak, k ∈ Z}, C = {x ∈ Z : x = bk, k ∈ Z}; halle (B c ∪ C c )c .

e

at

at e

1

1

12. Sean a, b ∈ N. Si f = {(1, 8), (2, −3), (1, a2 + b2 ), (−1, a + b), (a2 + b, a), (b − b2 , b)} es una funci´on, halle a y b.

1

11. Sean A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 6}, C = {(x, y) ∈ A × B : y ≥ 2x}. Determine el dominio y rango de C.

M

1

UP e at M

1

UP e at M

at e 5

M

at e

1

1

UP

M

M

at e

at e

1

1

UP

M

M

at e

13. Sean A = {1, 3, 5}, B = {3, 4, 5, 9}, C = {(x, y) ∈ A × B : y = 3x}. Determine el dominio y rango de C.

at e M

M

Matem´aticas I

2018-2

e

1

Axioma 8.9 (Algebraico).

1

UP

UP

M

M

at

at e

1

1

UP

UP

La importancia de los n´ umeros reales se debe a su uso ubicuo en las ciencias. Junto con la l´ogica y la teor´ıa de conjuntos, los n´ umeros reales forman parte de los cimientos de las matem´aticas modernas. Es imposible dar una lista definitiva de las razones por las cuales es importante el estudio de los n´ umeros reales, pero podemos se˜ nalar dos aspectos relevantes. Desde el punto de vista geom´etrico, los n´ umeros reales forman una recta “continua”. En t´erminos te´oricos esto se traduce en la −1 0 1 2 completitud de los n´ umeros reales. No es dif´ıcil imaginar los n´ umeros Z enteros como entes aislados. De hecho los n´ umeros racionales tambi´en lo son en cierto sentido. La figura muestra la representaci´on gr´afica Q muchas veces usada. Desde el punto de vista algebraico, los n´ umeros√ reales proveen de R umero soluciones a ciertas ecuaciones. Mostraremos que 2 es un n´ real no-racional que soluciona la ecuaci´on x2 = 2. De la misma forma en que un conjunto puede ser definido por extensi´on o por compresi´on, los n´ umeros reales se pueden definir construyendo expl´ıcitamente sus elementos o enunciando las propiedades (axiomas) que satisfacen. Ya que la construcci´on de los n´ umeros reales requiere de un formalismo que va m´as all´a de los objetivos de este curso, definiremos este conjunto axiomaticamente. Denotamos por R el conjunto de n´ umeros reales el cual pensamos como una extensi´on de los racionales Q y por lo tanto N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R. La suma de dos n´ umeros reales a, b ∈ R se denota por a + b y el producto por a · b.

∀a ∈ R, [a + 0 = a ∧ a · 1 = a] (Elemento neutro) ∀a ∈ R, ∃b ∈ R, [a + b = 0] (Inverso aditivo)

e at

at e

∀a, b, c ∈ R, [a · (b + c) = a · b + a · c] (Distributividad)

M

at e

∀a, b ∈ R, [a + b = b + a ∧ a · b = b · a] (Conmutatividad)

M

1

∀a, b, c ∈ R, [a + (b + c) = (a + b) + c ∧ a · (b · c) = (a · b) · c] (Clausura)

M

1

at e

´ meros Reales Clase 3: Nu

at e

∀a 6= 0 ∈ R, ∃b ∈ R, [a · b = 1] (Inverso multiplicativo)

UP

UP

El axioma anterior no define completamente los n´ umeros reales pero si nos permiten mostrar que para solucionar ecuaciones los n´ umeros racionales no son suficientes. √ Teorema 8.10. 2 no es racional.

at M

1

e

1 at e

1

at e

1

c

2018 Todos los derechos reservados. Prohibida su reproducci´on parcial o total.

M

M

M

1

Manual de imagen Universidad del Pacífico

at e

1

Logotipo institucional

at e

1 at e

1

M

M

√

UP

UP

Teorema 8.11. Si p(x) = ax2 + bx + c donde a, b, c ∈ R y a 6= 0, entonces el polinomio tiene ra´ıces reales si y s´olo si b2 − 4ac ≥ 0. En este caso √ −b ± b2 − 4ac x= 2a

1

1

1

y definimos ∆ = b2 − 4ac como el discriminante del polinomio.

e at

at e

Observaci´on 8.12. Del teorema anterior vemos que si ∆ = 0 la soluci´on es u ´nica.

Axioma 8.13 (de Orden). Existe un subconjunto P ⊂ R con las siguientes caracter´ısticas.

M

∀a, b ∈ P, [(a + b ∈ P ) ∧ (a · b ∈ P )]

M

M

at e

∀a, b ∈ R − {0}, [(a ∈ P ) Y (−a ∈ P )] 0 6∈ P

El axioma anterior nos permite definir la relaci´on de orden de los n´ umeros reales.

e at

at e

at e

Decimos que a ≤ b o´ b ≥ a cuando a < b o a = b.

a < b, b < a, ´o a = b.

1 > 0.

M

Exactamente s´olo una de las siguientes condiciones siempre es verdadera:

M

a < b y c < 0 implica b · c < a · c

a < b y b < c implican a < c.

Si a < b entonces −b < −a.

a < b y c < d implica a + c < b + d.

Si a · b > 0 entonces ambos son positivos o ambos son negativos.

UP

M

Teorema 8.15. Si a, b, c, d ∈ R entonces

UP

a < b y 0 < c implica a · c < b · c.

0 < a < b implica 0
0.

1 1 < b a

e at

2

M

at e

at e

1

1

Demostraci´on. Cada uno de los enunciados se siguen de la definici´on y el axioma de orden de los n´ umeros reales.

1

1

Si a < 0 decimos que a es negativo.

1

Escribimos a < b o´ b > a cuando (b − a) ∈ P .

1

UP

Si a ∈ P decimos que a es positivo.

UP

Definici´ on 8.14.

M

M

at e

√ m 2 fuese racional entonces podr´ıamos escribir 2 = donde m y n no n √ tienen factores comunes. Luego m = 2n o´ m2 = 2n2 . Esto nos dice que m2 es par y por lo tanto m es par. Ahora, m = 2k y m2 = (2k)2 = 4k 2 lo cual implica que 4k 2 = 2n2 y entonces n2 = 2k 2 . Hemos demostrado as´ı que n2 es par, y por consiguiente n tambi´en lo es. Esta es una contradicci´on porque asumimos que m y n no ten´ıan factor com´ un. Por lo tanto la premisa es √ falsa, es decir, 2 no es racional. Demostraci´on. Si

at e

M

M

∃M ∈ R, ∀x ∈ A, [x ≤ M ]

1

1

UP

De la definici´on se sigue que si A tiene un elemento m´aximo, dicho elemento es u ´nico y el conjunto A es acotado superiormente. El rec´ıproco no es necesariamente cierto. El conjunto A = [0, 1] tiene un elemento m´aximo pero el conjunto B =]0, 1[ no lo tiene. En ambos casos el n´ umero 1 es una cota superior. De hecho el 1 es la menor de todas las cotas superiores de B. De esta manera llegamos a la siguiente definici´on.

1

UP

A dicha constante M se le denomina una cota superior.

M

M

An´alogamente se pueden definir los conceptos de cota inferior, m´ınimo e ´ınfimo.

at

at e

e

Definici´ on 8.18. El supremo de un conjunto A acotado superiormente es la menor de las cotas superiores. Denotaremos el supremo por sup A.

Axioma 8.19 (de Completitud o del Supremo). Todo subconjunto no vac´ıo de R y acotado superiormente tiene supremo.

1

1

1

UP

UP

2 El conjunto √ A = {x ∈ Q : x < 2} es acotado superiormente. Al supremo de este conjunto umero racional. se le llama 2, el cual hemos demostrado que no es un n´ Los axiomas algebraicos, de orden, y de completitud definen completamente a los n´ umero reales. De hecho se puede demostrar que cualquier conjunto con estas mismas propiedades debe ser necesariamente el conjunto de los n´ umeros reales. En ocasiones es necesario extraer la parte entera de un n´ umero real. Esto lo hacemos mediante la siguiente definici´on. En ocasiones es necesario extraer la parte entera de un n´ umero real. Esto lo hacemos mediante la siguiente definici´on.

Ejercicio 8.22. Demuestre que JxK = x si y solo si x ∈ Z.

M

M

at

at e

e

Definici´ on 8.20. El m´ aximo entero de un n´ umero real x se define como JxK = n ∈ Z donde n satisface n ≤ x < n + 1. De esta manera JxK es el m´aximo entero menor o igual a x. √ √ Ejemplos 8.21. Algunos ejemplos son J 2K = 1, JeK = 2, JπK = 3. Adem´as J− 2K = −2, J−eK = −3, J−πK = −4. De hecho, x es un n´ umero entero si y s´olo si JxK = x.

at e

1 e at

3

M

at e

at e

1

1

UP

UP

Ejercicio 8.23. Pruebe que Jx + mK = JxK + m para todo m ∈ Z y −J−xK es el menor entero mayor o igual a x.

M

M

M

1 at e

1

at e

Definici´ on 8.17. Un subconjunto no vac´ıo A ⊂ R es acotado superiormente si

at e

M

Definici´ on 8.16. Un subconjunto no vac´ıo A ⊂ R tiene un elemento m´aximo denotado por m = m´ax A cuando m ∈ A ∧ ∀x ∈ A, [x ≤ m]

at e

1 at e

1

at e

M

1. Sean a, b, c, x ∈ R − {0}. Si x es el inverso multiplicativo de (a + c) 6= 0 y c el inverso aditivo de (a + b); calcule el valor de bx + 1.

M

M

Ejercicios Adicionales

2. Demuestre que si c ≥ 0 y para todo  > 0 se verifica que c < , entonces c = 0.

√

2+

√

3 es un n´ umero irracional.

at

1 > 0. a < b y c < 0 implica b · c < a · c Si a < b entonces −b < −a.

M

M

at e

M

e

1

Exactamente s´olo una de las siguientes condiciones siempre es verdadera: a < b, b < a, ´o a = b. a < b y b < c implican a < c. a < b y c < d implica a + c < b + d. a < b y 0 < c implica a · c < b · c. Si a 6= 0 entonces a2 > 0.

at e

1

4. Si a, b, c, d ∈ R entonces demuestre cada una de las siguientes propiedades usando las definiciones y propiedades b´asicas del conjunto P .

1

3. Demuestre que

UP

UP

Soluci´on. Supongamos por contradicci´on que c 6= 0, entonces c > 0. Tomando  = 2c > 0 por hip´otesis tenemos que c <  = 2c . Cancelando c a ambos lados deducios que 1 < 12 lo cual representa una contradicci´on. Por lo tanto c = 0.

Si a · b > 0 entonces ambos son positivos o ambos son negativos. 1 1 0 < a < b implica 0 < < b a

UP

UP

5. Si p(x) = x2 + kx + 1/16, ¿para qu´e valores de k se cumple que p(x) = 0 tiene soluci´on u ´nica?, tiene dos soluciones reales?, no tiene soluci´on?

e

1

1

7. Si m, b y r son constantes reales, ¿qu´e condici´on debe satisfacer estas constantes para que la ecuaci´on (1 + m2 )x2 + (2mb)x + b2 − r2 = 0 tenga soluci´on u ´nica?

at

at e

8. Demuestre que −3/2 es negativo usando las definiciones.

{x ∈ R : −x ≥ 4}

M

{x ∈ R : x < 30}

M

9. Determine si los siguientes subconjuntos de R tienen un m´aximo y calcule el supremo en caso sea acotado superiormente.

M

at e

1

6. Si m 6= 0 y a son constantes, ¿qu´e condici´on deben satisfacer para que la ecuaci´on x2 −a2 = m(x − a) tenga una u ´nica soluci´on?

R−Q

{x ∈ R : x = −1/n, n ∈ N}

{x ∈ Q : 3x3 < 1}

{x ∈ R : x = (−1)n /n, n ∈ N}

1 e at M

at e 4

M

at e

1

1

UP

UP

10. Muestre que el supremo de un conjunto acotado es u ´nico. p 11. Si JxK es un n´ umero natural, ¿qu´e restricci´on tiene x?

at e M

M

at e

Clase 4: Intervalos y Valor Absoluto Matem´aticas I

2018-2

UP

Intervalos

UP

9.

-1

0

1

e π 2

e

-2

2

R

3

M

M

De vital importancia son los siguientes subconjuntos de los n´ umeros reales.

at

-3

at e

1

1

√

1

Los n´ umeros reales usualmente se representan por la siguiente figura a la cual se le conoce como la recta real.

at e

Definici´ on 9.1. Un intervalo es un subconjunto de R tal que cualquier n´ umero entre dos elementos del subconjunto tambi´en pertenece a dicho subconjunto. Es decir, I ⊂ R es un intervalo si cumple ∀x, z ∈ I, ∀y ∈ R, [x < y < z −→ y ∈ I].

b

1

a

b

at

at e

at e

donde a < b son n´ umero reales. La figura muestra su representaci´on gr´afica.

e

[a, b[ = {x ∈ R : a ≤ x < b} ]a, +∞[ = {x ∈ R : a < x} ] − ∞, b] = {x ∈ R : x ≤ b}

a

1

1

UP

UP

Ejemplo 9.2. De la definici´on se sigue que los siguientes subconjuntos son todos intervalos

M

M

Ejercicio 9.3. Los ejemplos dados no son la lista completa de todos los posibles tipos de intervalos. Complete la lista y grafique. Demuestre que un subconjunto de R con un elemento es un intervalo. Demuestre adem´as que el conjunto vac´ıo es un intervalo. En estos dos u ´ltimos casos el intervalo se dice degenerado.

Ejercicio 9.4. En cada caso calcule A ∪ B, A ∩ B, A∆B, Ac , B c expresando el resultado como conjunto y grafic´andolo. A =] − 1, 2[, B = [−3, 0[

UP

UP

A = [−1, 2[, B = [5, 6[

A =] − ∞, 2[, B = [π, +∞[

A =] − ∞, 1[, B = [−1, +∞[

1

at M

at e 1

e

c

2018 Todos los derechos reservados. Prohibida su reproducci´on parcial o total.

1

at e

1

A =] − 1, 2[, B =]0, +∞[

A = [−1, 2], B =]0, 1[

M

M

M

M

1

Manual de imagen Universidad del Pacífico

at e

1

Logotipo institucional

at

M

{x ∈ R : p(x) ≤ 0} = [r1 , r2 ]

Teorema 9.6. Si p(x) = ax2 + bx + c donde a > 0 y ∆ < 0, entonces {x ∈ R : p(x) ≥ 0} = R.

P

Ejercicio 9.7. Exprese los siguientes conjuntos como uni´on de intervalos. {x ∈ R : 4x2 − 5x + 7 ≤ 0}

P

U

{x ∈ R : x2 + 2x ≤ 3}

M

Teorema 10.2. Si a, b ∈ R entonces √ |a| = a2

M

at e

Definici´ on 10.1. El valor absoluto de un n´ umero real a ∈ R se define como  a si a ≥ 0 |a| = −a si a < 0

at

1

Valor Absoluto

1

10.

{x ∈ R : x4 − x2 ≥ 0}

U

{x ∈ R : x2 − 2x + 1 > 0}

|a · b| = |a| · |b| |a|2 = a2 = |a2 | a |a| , para b 6= 0 = b |b|

P

|a| = | − a|

P

U

|a| = |b| ↔ a = b ∨ a = −b

|an | = |a|n , para a 6= 0 y n ∈ Z

U

|a| = b ↔ b ≥ 0 ∧ (a = b ∨ a = −b)

Si 0 < a < b entonces |5a − 5b| = 5b − 5a. Esto se debe a que b − a > 0 implica que 5b − 5a > 0.

M

M

at

Ejemplos 10.3.

M

at e

1

1

2 Demostraci´on. Para la primera propiedad, √ su ra´ız √ como a ≥ 0 entonces es posible calcular cuadrada. Cuando a ≥ 0 se tiene que a2 = a. Pero cuando a < 0 obtenemos a2 = −a porque estamos tomando la ra´ız positiva. Las otras quedan como ejercicio.

at e

Si |x − 2| = 4 entonces x − 2 = 4 ´o x − 2 = −4 de donde el conjunto de soluciones de esta ecuaci´on es {−2, 6}.

2

M

at e

at e

1

Proposici´ on 10.4. Si a > 0 entonces

at

1

U

P

U

P

Para que |x + 2| = −x se necesita que −x ≥ 0 y x + 2 = −x o´ x + 2 = x. Por lo tanto x ≤ 0 y x = −1 ´o 2 = 0. Esto nos dice que la u ´nica soluci´on es -1. 4x − 2 = 1 donde x 6= 1. De las propiedades tenemos que Queremos resolver la ecuaci´on x−1 |4x − 2| = |x − 1| y entonces 4x − 2 = x − 1 o´ 4x − 2 = −x + 1. Por lo tanto el conjunto de soluciones de esta ecuaci´on es {1/3, 3/5}.

M

M

M

at e

1

at e

{x ∈ R : p(x) ≥ 0} =] − ∞, r1 ] ∪ [r2 , +∞[

at e

M

Teorema 9.5. Sean r1 ≤ r2 las ra´ıces del polinomio p(x) = ax2 + bx + c donde a > 0. Entonces

x > a ∨ x < −a

M

↔

M

Demostraci´on. La primera desigualdad se sigue de la definici´on notando que |x| < a si y s´olo si x < a cuando x > 0 y −x < a cuando x < 0. La segunda propiedad queda como ejercicio. Ejercicio 10.5. En cada caso describa el conjunto de soluciones a la ecuaci´on sin usar valor absoluto y graf´ıquelo.

|x + 2| < 2

|2x − 1| ≥ 3

5 ≤ |x − 2| < 7

UP

|x + 6| ≥ 1

UP

|x| < 1

|9x + 3| < −3

Teorema 10.6 (Desigualdad Triangular). Dados a, b ∈ R se tiene que

1

1

1

|a + b| ≤ |a| + |b|

M

−|b| ≤ b ≤ |b|

M

∧

at

at e

−|a| ≤ a ≤ |a|

y por lo tanto

e

Demostraci´on. De las propiedades del valor absoluto obtenemos

−(|a| + |b|) ≤ a + b ≤ |a| + |b|.

Otra vez, de las propiedades del valor absoluto se sigue que |a + b| ≤ |a| + |b|. a

b

UP

UP

Desde el punto de vista geom´etrico ahora podemos pensar en la recta real como un sistema de coordenadas de una dimensi´on. A cada punto le corresponde un n´ umero real y esta correspondencia nos permite medir distancias.

Definici´ on 10.7. La distancia entre dos puntos a, b ∈ R en la recta real se define como

1

1

d(a, b) = |b − a|

d(a, b) = 0 ↔ a = b

M

d(a, b) = d(b, a) d(a, c) ≤ d(a, b) + d(b, c)

e at

d(a, b) ≥ 0

at e

Teorema 10.8. Si a, b, c ∈ R son puntos en la recta real entonces

M

1

La distancia satisface las siguientes propiedades.

at e

1 e at

3

M

at e

at e

1

1

UP

UP

Ejercicio 10.9. Demostrar cada una de estas propiedades (la u ´ltima se sigue de la desigualdad triangular).

M

M

M

|x| > a

at e

1 −a < x < a

at e

1

at e

↔

at e

M

|x| < a

at e

1 at e

1

at e

M

1. Dados los intervalos A =] − 1; 4], B = [−8; 14] y C =] − ∞; 8[, calcular los siguientes conjuntos

M

M

Ejercicios Adicionales

a) (A ∪ B) ∩ C b) (A ∩ C) ∪ B c) (B − A) ∩ C

UP

UP

2. Dados los intervalos A = [1, a] y B =]b, 2[ con a y b entero, si cada intervalo posee solamente 4 n´ umeros enteros ¿Cu´ales son los valores de a y b?.

1

1

a) El n´ umero 1 − x se encuentra en el intervalo [2, 4] siempre que x ∈ [−3, −1].

e at

at e

a) |4x − 1| = 5 b) |3x − 1| + 4 = 0

M

4. Resuelva cada una de las ecuaciones:

M

M

at e

b) Si x ∈] − 5; −2[ entonces 3 − x se encuentra en el intervalo ]5; 8[.

1

3. Analizar el valor de verdad de las siguientes proposiciones.

c) |4 − x| = 3|2x − 2| |2x + 3| =x d) 6−x

UP

a) |2x − 1| > 3 b) |x − 3| > −1

a + b + |a − b| 2

b) m´ın{a, b} =

a + b − |a − b| 2

M

at

at e

a) m´ax{a, b} =

M

M

at e

1

6. Dados a, b ∈ R. Verifique que

e

1

c) 3|x − 3| ≤ |x + 7|

1

UP

5. Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones:

7. Demuestre que para todo a, b ∈ R se tiene la inecuaci´on ||a| − |b|| ≤ |a − b| ≤ |a| + |b|.

at

e

|2x + 5| ≥ |x + 4|

1

3x − 1 x+7 2 |x|